ponto É um elemento da geometria que não há como dimensionar. os pontos são representados por...
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CONCEITOS PRIMITIVOSPONTO
É um elemento da Geometria que não há como
dimensionar.Os pontos são
representados por uma letra maiúscula do nosso
alfabeto.
A
RETAReta é uma linha sem comprimento e sem
largura."As relas são representadas por uma letra minúscula do
alfabeto.
r
PLANOPlano ou Superfície é
aquilo que tem somente comprimento e largura.O plano é representado
por uma letra grega minúscula.
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CONCEITOS IMPORTANTES
TEOREMA
São as proposiçõesque necessitam
de demonstrações paraserem aceitas.
Os pontos quepertencem à
mesma reta sãodenominados
colineares.
POSTULADOS OU AXIOMASSão as proposições primitivas geométricas que são aceitas sem
demonstração.
Vamos conhecer alguns Postulados.
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POSTULADOS
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POSTULADO 1Dada uma reta r, existem infinitos pontos
pertencentes a ela e há infinitos pontos não pertencentes a ela.
Os pontos A, C e E são colineares, pois existe uma reta que passa por eles.
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POSTULADO 2Dado um plano alfa, existem infinitos pontos pertencentes a ele e há infinitos pontos não
pertencentes a ele.
Os pontos A, B e C são coplanares.
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POSTULADO 3Dados dois pontos distintos A e B, existe uma, e somente uma, reta r que passa por esses dois
pontos.
Dois pontos distintos sempre serão colineares.Dois pontos distintos A e B determinam uma reta AB.
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POSTULADO 4Se dois pontos distintos A e B pertencem a um plano
alfa, então a reta r que passa pelos pontosA e B está contida em alfa.
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POSTULADO 5Dados três pontos distintos A, B e C, não
pertencentes à mesma reta (não colineares), existe um único plano alfa que passa por esses três pontos.
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POSTULADO 6
Dado um ponto P, por ele passam infinitas retas.
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POSTULADO 7
Dados uma reta r e um ponto P não pertencente à reta r, existe uma, e somente uma, reta s
paralela a r passando por P.
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POSTULADO 8
Um ponto P pertencente a uma reta r divide-a em duas semirretas opostas cuja origem é P.
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POSTULADO 9
Uma reta r contida em um plano alfa divide-o em dois semiplanos opostos cuja origem é r.
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POSIÇÕES RELATIVAS
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POSIÇÕES RELATIVASDE UM PONTO E UMA RETA
Um ponto pode pertencer ou não a uma reta.
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POSIÇÕES RELATIVASDE UM PONTO E UM PLANO
Um ponto P pode pertencer ou não a um plano alfa.
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POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETASRETAS
COPLANARES
PARALELAS
CONCORRENTES
REVERSAS
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RETAS PARALELASDuas retas r e s são paralelas quando são coplanares
e não tem ponto em comum..
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RETAS CONCORRENTES
Duas retas r e s distintas são concorrentes quando tem um único ponto P em comum..
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RETAS CONCORRENTES
Quando duas retas concorrentes formam ângulo reto (90°), são chamadas de retas perpendiculares.
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RETAS REVERSASDuas retas r e s são reversas quando não são
coplanares.
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RETAS REVERSASPor duas retas reversas, é possível passar uma, e
somente uma.
Quando duas relas são reversas e formam
ângulo reto, são denominadas retas
ortogonais.
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EXEMPLO DE RETAS ORTOGONAIS
No cubo ABCDEFGH, as retas r e s são ortogonais.
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EXEMPLOS DE RETAS PARALELAS
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EXEMPLOS DE RETAS CONCORRENTES
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Concorrentes e não perpendiculares
Concorrentes e perpendiculares
Todos os tipos
Todos os tipos
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DETERMINAÇÃO
DE UM PLANO
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DETERMINAÇÃO DE UM PLANO
O que define um PLANO?
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TEOREMAS DA DETERMINAÇÃODE UM PLANO
três pontos A, B e C não colineares são semprecoplanares e sobre eles passa um único plano.
T.01
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TEOREMAS DA DETERMINAÇÃODE UM PLANO
Duas retas r e s paralelas.
T.02
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TEOREMAS DA DETERMINAÇÃODE UM PLANO
Duas retas r e s concorrentes.
T.03
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TEOREMAS DA DETERMINAÇÃODE UM PLANO
Uma reta r e um ponto P fora dela.
T.04
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POSIÇÕES RELATIVASENTRE DOIS
PLANO
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PLANOS PARALELOSDois planos distintos, alfa e beta, que não têm ponto em comum. A intersecção dos planos é um conjunto
vazio.Exemplo
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PLANOS CONCORRENTESOU SECANTES
São dois planos distintos, alfa e beta, que têm uma reta em comum.
Exemplo
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POSIÇÕES RELATIVASENTRE UMA RETA
E UM PLANO
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RETA PARALELA AO PLANO
Uma rela s é paralela a um plano alfa se s e alfa não têm ponto em comum.
Exemplo
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RETA CONTIDA NO PLANO
Uma reta r está contida em um plano alfa quando todos os pontos da reta pertencem ao plano.
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RETA CONCORRENTE APLANO
Uma reta r é concorrente a um plano a quando r alfa e apresenta apenas um ponto P em comum
ao plano.
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PERPENDICULARIDADEENTRE UMA RETA
E UM PLANO
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UMA RETA É PERPENDICULAR A UM PLANO QUANDO:
A reta t for perpendicular a duas retas concorrentes r e s do plano alfa.
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UMA RETA É PERPENDICULAR A UM PLANO QUANDO:
A reta t for perpendicular a uma reta e ortogonal a outra, sendo r e s retas
concorrentes do alfa.
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UMA RETA É PERPENDICULAR A UM PLANO QUANDO:
A reta t for ortogonal às retas r e s concorrentes do plano alfa.
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PERPENDICULARIDADE
ENTRE DOIS PLANO
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UMA RETA É PERPENDICULAR A UM PLANO QUANDO:
Dois planos, alfa e beta, são perpendiculares se uma reta r de alfa é perpendicular a beta.