por: josé francisco barros...
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Por: José Francisco Barros Troncoso
LA DERIVADA
La derivada es una herramienta que permite estudiar el comportamiento de
una cantidad (variable dependiente) cuando otra cantidad que está
relacionada con ella varía (variable independiente)
La derivada se interpreta como una razón de cambio promedio o tasa de
cambio
Problemas que conllevan a la creación del cálculo
• El primero: estaba asociado a la geometría y era como calcular las rectas
tangentes o normales a una curva en un punto.
• El segundo: fue la determinación de la velocidad y la aceleración de un
cuerpo si se conoce la distancia en función del tiempo.
• El tercero: fue determinar cuándo una función alcanza un valor máximo o
mínimo.
• Y el cuarto: fue el cálculo de longitudes, áreas y volúmenes determinados
por curvas o superficies.
http://www.konradlorenz.edu.co/images/stories/articulos/DESARROLLO_DE_LA_DERIVADA_SIN_LA%20NOCION_DEL_LIMTE.pdf
LA DERIVADA
Nuestro mundo es cambiante. Las variaciones de una cantidad inciden en que
otras cantidades cambien.
• Si se decide aumentar el precio de un artículo la utilidad de la empresa ya
no será la misma, probablemente la demanda disminuya y la cantidad de
materia solicitada cambiará.
• Si se aumenta la temperatura de un gas contenido en un recipiente
hermético la presión del gas sobre las paredes del recipiente aumenta.
• Si aumentamos nuestro consumo diario de azucares probablemente
aumente la insulina en sangre.
Observación
Cuando la tasa de cambio es positiva se dice que hay un incremento y si es
negativa hay una disminución
LA DERIVADA
En Economía
La derivada de una función se puede utilizar para determinar:
• Los beneficios, costos y el ingresos marginales, dadas las respectivas
funciones de beneficios, costo total e ingreso total,
• La optimización de procesos (minimizar el costo promedio, maximizar el
ingreso total, maximizar la beneficios, la eficiencia, etc.
• La elasticidad en la demanda.
LA DERIVADA
La derivada de una función, 𝑓 en un punto 𝑥0, se
indica 𝑓´ 𝑥0 y se define como
𝑓´ 𝑥0 = lim𝑥→0
𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥)
𝑥0 − 𝑥
Si dicho límite no existe , se dice que la función
𝑓(𝑥) no es derivable en 𝑥0
Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥 se
denota 𝑦´ ó𝑑𝑦
𝑑𝑥ó
𝑑[𝑓 𝑥 ]
𝑑𝑥ó 𝐷𝑥𝑦 o 𝐷𝑥[𝑓(𝑥)]
Animación con winplot
LA DERIVADA
Fórmulas de la Derivada
LA DERIVADA
Fórmulas de la Derivada
LA DERIVADA
Fórmulas de la Derivada
LA DERIVADA
Fórmulas de la Derivada
LA DERIVADA
Ejercicio. Derivar
𝑓 𝑥 = 100 𝑓 𝑥 = −1
2x 𝑓 𝑥 = 4𝑥3 𝑓 𝑥 =
3𝑥2
𝑓 𝑥 =𝟑
𝟐 𝒙𝑓 𝑥 = 4𝑥2 − 5𝑥 + 3 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 1 (5𝑥2 + 6𝑥) 𝑓 𝑥 =
x
x−1
𝑓 𝑥 =5𝑥 − 2
1 + 2𝑥2𝑓 𝑥 =
𝑥 − 3𝑥 𝑥
𝑥𝑦 =
2𝑥2 − 3𝑥 + 1
2𝑥 − 1
LA DERIVADA
𝑦 = 3𝑥2 − 4 𝑒𝑛 𝑥 = 2 𝑦 = 𝑥2 −1
𝑥2𝑒𝑛 𝑥 = −1 𝑦 =
𝑥+1
𝑥−1𝑒𝑛 𝑥 = −3
Ejercicios Calcule la derivada de cada función en el punto indicado
LA DERIVADA
Ejercicios Determine la ecuación de la línea tangente a la gráfica de las siguientesfunciones, utilice el winplot para graficar las funciones.
LA DERIVADA
Problemas