postklasi cno razdoblje gr cke matematike. matematika u

Postklasicni helenizam Kina Indija

Povijest matematikePostklasicno razdoblje grcke matematike. Matematika u Indiji i

Kini.

Franka Miriam Bruckler

22. ozujka 2021.


Poslije pada Sirakuze (212. pr. Kr.), Rimljani nastavljaju sosvajanjem Grcke. Tako je do 146. pr. Kr. osvojeno gotovo cijelogrcko kopno i pri tom mnogo toga unisteno. Godine 31. pr. Kr.Rimljani su zauzeli Aleksandriju i pritom spalili velik dio bibliotekeu museion-u.Znanstveni rad zamire, a novi rezultati u ovom periodu pojavljujuse gotovo iskljucivo kao rjesenja pojedinacnih problema ili kaoupotpunjavanje djela ranijih matematicara. Jedini znacajniji diomatematike koji se razvio je matematicka astronomija te u ovomrazdoblju nastaje trigonometrija i sferna geometrija.Ocem trigonometrija smatra se astronom i matematicarHiparh iz Niceje (oko 190.–120. pr. Kr.). Izracunao je trajanje

godine s tocnoscu do na 6 minuta te kut izmedu ekliptike iekvatora, otkrio je precesiju ekvinocija i izracunao koordinatemnogih zvijezda. Bavio se geometrijom na kugli i koristiostereografsku projekciju .

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hipparchus/

http://www.imaginary-exhibition.com/mpe2013/MPE2013/module-stereographic-projection.html


Izradio je prvu poznatu tablicu sredisnjih kuteva i pripadnih tetiva(na kruznici opsega 360 · 60′ = 21600′, dakle polumjera ca. 3438).

α

r

tet(α)

tet(α) = 2r sinα

2


Heron iz Aleksandrije , vj. 1. st.

Matematicar, fizicar, izumitelj i inzenjer. Na neki nacin suprotanEuklidu: orijentiran na prakticnu matematiku. Napisao je trimatematicka djela:

Metrica (o mjerenju, tu je npr. Heronova formula zapovrsinu trokuta i Heronovu metodu za vadenje korijenana primjeru

√720, ocito je da je znao da se povecanjem broja

iteracija povecava tocnost),Geometrica (o povrsinama)Stereometrica (o volumenima).

Tijekom vremena su im dodavani mnogi sadrzaji pa nije sigurnokoji dijelovi stvarno potjecu od Herona.

Heronov problem najkraceg puta

Jedan od najstarijih poznatih problema optimizacije: Za zadanetocke A i B s iste strane nekog pravca trazi se tocka C na tompravcu za koju je |AC |+ |CB| najmanja moguca.

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/


Menelaj iz Aleksandrije (ca. 70.–130.)

Jedino sacuvano djelo: Sphaerica u kojem se bavi sfernimtrokutima (trokutima omedenima lukovima velikih kruznica nanekoj sferi). To je najstarije poznato djelo u kojem su doticnidefinirani.

MA

BC

a

bc

Zbroj kutova u sfernom trokutu iznosi bar 2, a najvise 6 pravihkutova:

180◦ ≤ A + B + C ≤ 540◦


Teorem (Menelajev teorem)

Zadan je trokut ABC i pravac koji sijece pravce AB, BC , CAredom u tockama D, E , F . Tada je

|AD| · |BE | · |CF | = |BD| · |CE | · |AF |

ako je trokut ravninski, odnosno

sinAD · sinBE · sinCF = sinBD · sinCE · sinAF

ako je trokut sferni.

Napomena: Kod sfernih trukuta se duljine njihovih stanicapoistovjecuju s mjerama odgovarajucih sredisnjih kutova.


Klaudije Ptolemej (2. st.)

Matematicar, astronom, astrolog, geograf, teoreticar glazbe ifilozof. Jedinio cisto matematicko djelo sadrzi pokusaj dokazaEuklidovog postulata o paralelama (kaze Proklos). Usavrsio jeHiparhove i Menelajeve rezultate.Najznacajnije djelo: Almagest u kojem daje matematicku teorijukretanja nebeskih tijela. To ce djelo zbog izuzetno dobrogpoklapanja s dostupnim podacima sve do renesanse biti osnovazapadne astronomije. Nije sacuvano u originalu, nego samo uarapskom prijevodu.


U Almagestu (i drugim djelima) Ptolemej je ostavio mnogedoprinose za sfernu geometriju i trigonometriju. Tu je primjericetablica tetiva s pripadnim kutevima za kuteve od 0,5◦ do 180◦ ukoracima od po pola stupnja. Tocnost je na otprilike pet decimala,a racuni se temelje na Ptolemejevom teoremu te kombinacijiTalesovog i Pitagorinog teorema:

tet(α)2 + tet(180◦ − α)2 = d2.

α180◦ − αrr

s(α)s(180◦ − α)


Najvazniji Ptolemejev rezultat je

Teorem (Ptolemejev teorem)

U tetivnom cetverokutu je umnozak duljina dijagonala jednakzbroju umnozaka dva para nasuprotnih stranica.

Za tetivne cetverokute kojima srediste opisane kruznice lezi najednoj od dijagonala dobije se

”tetivna” varijanta adicijskog

teorema za sinus:

tet(α + β) · d = tet(α)tet(180◦ − β) + tet(β)tet(180◦ − α)

rr

180◦ − αα

180◦ − ββ

s(α)

s(180◦ − α)

s(β)s(180◦ − β)

s(α+ β)


Diofant Aleksandrijski (vjerojatno 3. st.)

Najznacajniji matematicar postklasicnog razdoblja i posljednji velikieuropski matematicar prije Fibonaccija.Jedna od rijetkih pouzdanih informacija o njegovom zivotu je ta daje autor matematickog djela Aritmetika. Cini se da je zivio 84godine — na to upucuje zadatak kojeg oko 500. g. u Grckojantologiji daje Metrodor:

Bog mu [Diofantu] je dozvolio da bude djecak sestinu svog zivota;kad je dodana dvanaestina, obrazi mu stekose bradu; On za njega

zapali svjetlo braka nakon sedmine, a u petoj godini nakon zenidbedarova mu sina. No ah! Kasno i jadno dijete, kad dostize mjeru

polovine oceva zivota, uze ga ledeni grob. Nakon sto je cetirigodine trazio utjehu u znanosti brojeva, dostignu kraj svog zivota.


Diofantske jednadzbe

Diofantova Aritmetika sastoji se od 150 algebarskih zadataka u 13

”knjiga”, bez pratece opce teorije. Sest od tih 13 knjiga je

sacuvano na grckom i cetiri na arapskom jeziku.Mnogi zadaci u Aritmetici su neodredene jednadzbe, tj. jednadzbes nejedinstvenim rjesenjima. Diofant razmatra samo rjesenja kojase mogu zapisati kao pozitivni razlomci. Neki od Diofantovihzadataka jos ni danas nisu rijeseni, a kopije i prijevodi Aritmetikeimale su velik utjecaj na mnoge renesansne i novovjekematematicare.U zadnjih se stotinjak godina naziv diofantske jednadzbe uvrijezioza algebarske jednadzbe s vise nepoznanica s cjelobrojnimkoeficijentima kojima se traze cjelobrojna rjesenja. Tipican primjerdiofantske jednadzbe je trazenje pitagorejskih trojki.


Diofantova algebarska notacija

Zbrajanje oznacava nadopisivanjem, a za oduzimanje koristivertikalno prekrizeni Λ (i on se odnosi na sve clanove iza njega).

moderno Diofantx0 = 1 o

Mx ζx2 ∆Υ

x3 KΥ

x4 ∆Υ∆x5 ∆KΥ

x6 KΥKx−1 ζx

x−2 ∆Υx

3x2 + 12 ∆ΥγoM ιβ

x3 − 5x2 + 8x − 1 KΥαζηΛ∆ΥεoMα


Papus iz Aleksandrije, 4. st.

Posljednji veliki antickogrcki matematicar. Glavno Papusovo djeloje Kolekcija (jedan od glavnih izvora danasnjih znanja o antickojmatematici), vrsta enciklopedije starogrcke matematike. Sadrzi injegove vlastite rezultate, od kojih je najpoznatiji:

Teorem (Papusov teorem)

Dana su dva pravca i na njima po tri tocke: A, B, C odnosno A′,B ′, C ′. Neka je tocka 1 sjeciste AB ′ i A′B, tocka 2 sjeciste AC ′ iA′C te tocka 3 sjeciste BC ′ i B ′C . Tada su tocke 1, 2 i 3kolinearne.


A B C

A′

B′

C ′

1

2 3

Papus je uveo pojam fokusa i direktrise hiperbole. Iskazao je idokazao

Teorem (Boskoviceva definicija konika)

Neka je dan pravac AB i tocka C u ravnini. Neka je iz tocke D uistoj ravnini povucen pravac CD i okomica DE na AB i neka jezadan omjer |CD| : |DE |. Tada je D na konici, i to na paraboli akoje taj omjer jednak 1, na hiperboli ako je veci od 1 odnosno naelipsi ako je manji od 1.

Drugim rijecima: konika je geometrijsko mjesto tocaka u ravninikojima je omjer udaljenosti do cvrste tocke (fokusa) i cvrstogpravca (ravnalice) konstantan.


Matematika u rimskoj drzavi

Rimljani nisu cijenili matematiku, samo su koristili njezineprakticne rezultate u gradevini, mjeriteljstvu, racunanju kamata iudjela u nasljedstvima.Samostalnih matematickih doprinosa nije bilo, a mnogi grcki izvoripreneseni su, odnosno prevedeni iskrivljeno i bez razumijevanja.U skolama se ucilo racunanje na prste, u glavi i pomocu

(rimskog) abakusa .

Najpoznatija matematicka”ostavstina“starih Rimljana su rimske

brojke. Danasnja verzija je tek malo starija od zapadne verzijeindoarapskih brojki.

https://en.wikipedia.org/wiki/Roman_abacus


Rimske brojke u doba republike i carstva

Rimski je sustav primarno dekadski, ali sa tzv. sekundarnom bazom5. Suptraktivan je, tj. aditivan, osim sto se u slucaju da se ispredsimbola vece vrijednosti nade simbol manje vrijednosti, ta manjaoduzima od vece: IV = IIII.Rimljani su kod podjele jedinica mase i novca koristiliduodecimalne razlomke. Jedan as1 se dijelio na 12 unci (uncia).Znak za uncu bila je tocka, a za 1

2 slovo S (semis). Ostali razlomciizmedu 1/12 i 1 zapisivali su se aditivno koristenjem navedenih, asvaki je imao i svoj poseban naziv, npr. 2/3 je bes, zapisan kao S··.Kao i kod Grka ranije, koristeni su i egipatski razlomci.

1Jedinica novca i mase. Jedinica duljine bila je pes, stopa, i dijelila se na 12polices, palaca, ili na 16 digiti, prstiju.


Malo kineske povijesti

najstarije kulture oko rijeka Huang He i Jangce: 3000.–1500. pr. Kr.(iza 2000.: kinesko pismo; iza 1500.: dekadski brojevni sustav)

vec rano razvijena astronomija

kineski zid: 221.-207. prvi car Shi-Huang-ti

prvi pouzdaniji podaci: iz doba dinastije Zhou (Chou) (11.–5. st. pr.Kr.): Halleyev komet, kalendari, Konfucije i Lao Ce

od doba dinastija Han (206. pr. Kr. – 220.) procvat matematike,pridaje se vaznost matematickom obrazovanju, najstariji sacuvanimatematicki tekstovi; proizvodnja papira; Sunceve pjege, ZhangHeng (78.–139.) uci da je Zemlja kuglastog oblika i konstruraseizmograf; u 1. st. prodire budizam iz Indije; u 3. st. carstvo seraspalo

618.–906. dinastija Tang: novi procvat uz dominaciju budizma

960.–1278. sjeverna pa juzna dinastija Sung: tisak s pomicnimslovima, drzavni ispiti za sluzbenike, konfucijanizam obvezan

u 13. st. Mongoli (Marko Polo: 1275. u Pekingu); nula


Starokineska matematika

Kineska aritmetika je vjerojatno stara otprilike koliko i egipatska isumerska. Najkasnije od 5. st. pr. Kr. koristen je decimalnipozicijski sustav bez nule: Brojevi se prikazuju pomocu stapica,koji su ujedno racunsko pomagalo. Iz tog su se razvile kineskestapicaste brojke (vertikalno: neparne potencije, horizontalno:

parne potencije). Najkasnije u 5. st., vjerojatno dosta ranije,razlikuju se i pozitivni (

”shi”=blago) i negativni brojevi (

”fa”=dug)

(prihodi i rashodi, crni i crveni stapici), no krug kao simbol za nuluuveden je tek u 13. st. Kineski abakus ( suanpan ) je uvedenkasnije od stapica; poznato je da je u opcoj uporabi tek od 16. st.O kineskim brojkama

http://www.omniglot.com/images/writing/rod_numerals.gif

https://en.wikipedia.org/wiki/Suanpan

http://www.omniglot.com/chinese/numerals.htm


Magicni kvadrati

Stari Kinezi su se prvi bavili magicnim kvadratima (najkasnije u7. st. pr. Kr.).

Veci magicni kvadrati se spominju u Kini tek u 13. st., a nestoranije poznati su u Indiji. Arapski matematicari ce se magicnimkvadratima baviti od 9. st.


Permutacije

Najstariji poznati primjer permutacija: I Ching (Knjiga promjena),vj. iz 7. st. pr. Kr.Da simbola, jang (—) i jin (– –) se prvo slazu u 23 = 8 trigramapa oni u 82 = 64 heksagrama.


Zhoubi suanjing (Aritmetika Zhou-gnomona)

Najstariji potpuno sacuvan kineski matematicki tekst (izmedu 100pr. i poslije Kr.).Sadrzi grafiku koja se lako poopcava na dokaz Pitagorinog teorema(u Kineza: pravilo gougu).

c2 = 4 · ab2

+ (a− b)2


Devet poglavlja umijeca racunanja (Jiuzhang Suanshu)

246 zadataka u 9 poglavlja; vrlo utjecajno djelo, kompilacija raznihmanuskripta iz 200. pr. Kr.–300.

1 mjerenje (povrsine) ukljucivo racuna s razlomcima; π ≈ 3

2 preracunavanja kolicina za razmjenu (pravilo trojno)

3 raspodjela dobara i novca (proporcionalnost)

4 geometrijski problemi: kvadratni i kubni korijeni, iracionalnibrojevi, povrsine i volumeni

5 radni ucinci (volumeni, cak i kompliciranih tijela)

6 porezni racuni (proporcionalnost)

7 visak i manjak (linearne jednadzbe)

8 pravokutne tablice (sustavi linearnih jednadzbi se rjesavajumetodom fang-cheng koja je u osnovi Gaussova metodaeliminacija!)

9 pravokutni trokut (Pitagorin teorem)


astronom i filozof Zhang Heng (2. st.): kvadrat opsega krugase prema kvadratu opsega krugu opisanog kvadrata odnosi uomjeru 5 : 8) – π ≈?;

Liu Hui (3. st.) – komentari Devet poglavlja; π ≈ 3,14150(upisuje k · 2n-terokute pocevsi od sesterokuta i jasno navodida s povecanjem broja stranica dobijemo tocnijuaproksimaciju)

Matematicki prirucnik o jednom otoku u moru : odredivanjeudaljenosti i velicina nedostupnih objekata.

Primjer

Neka su dva stapa visine 5 pua (1 pu ≈ 1,7907 m) zabijeni uzemlju i razmaknuti 1000 pua. Jedan je blizi udaljenom otoku negodrugi. Ako promatrac stoji 123 pua iza prvoga, vidi vrh otoka uliniji s vrhom tog stapa, a ako stoji 127 pua iza drugoga, vidi vrhotoka u liniji s vrhom tog drugog stapa. Koliko je visok otok ikoliko je daleko od blizeg mu stapa?

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Liu_Hui.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Haidao_Suanjing


Teorija brojeva

Sunzi Suanjing (3., 4. ili 5. st.): Kineski teorem o ostatcima :

”Prebroji po 3, ostanu 2; prebroji po 5, ostane 3; prebroji po

7, ostane 2. Koliko je toga?” (opisuje i rjesenje koje je uosnovi suvremena metoda, za razlicite ostatke, ali samomodulo 3, 5 i 7)

u 13. st. Qiu Jiushao (ca. 1202–1261) opisuje opci slucaj usvom djelu Devet knjiga o matematici (Shushu jiuzhang,1247)

u Devet poglavlja Zadatak 100 ptica: Ako jedan pijevac kosta5 novcica, jedna kokos 3, a tri pilica zajeno 1, koliko pijevaca,kokosi i pilica se moze kupiti za 100 novcica ako treba kupitiukupno 100 ptica?

http://www.math.uniri.hr/~ajurasic/trece%20predavanje1.pdf


Iterativne metode za rjesavanje jednadzbi

Zhoubi suanjing (Aritmetika Zhou-gnomona): metoda zaracunanje

√x ; kasnije poopcena na 3

√x : u Devet poglavlja

tijekom prvog tisucljeca te su metode poopcene na iterativnemetode rjesavanja kubnih jednadzbi

vrhunac: Qui Jiushao i njegovih Devet knjiga o matematici –rjesava polinomijalne jednadzbe proizvoljnog stupnjametodom tianyuan koja je u osnovi Hornerov algoritam

Starokineski izracun√

55225

Ocito je b√

55225c troznamenkasti broj (abc),tj. 55225 = (100a + 10b + c)2.55225 = 10000a2 + 100(20a + b)b + (20(10a + b) + c) c ⇒ a = 215225 = 100(40 + b)b + (20(20 + b) + c) c ⇒ b = 3

2325 = (460 + c) c ⇒ c = 5⇒√

55225 = 235.


Linearna interpolacija

Zadatak iz 7. knjige Devet poglavlja

Imamo zid, debel 5 stopa. Dva stakora se probijaju kroz njeg jedanprema drugom. Pritom veliki stakor prvi dan probije 1 stopu; i malistakor prvi dan probije 1 stopu. Veliki stakor dalje svaki dan prokopadvostruko od prethodnog dana, a mali upola manje nego prethodnogdana. Nakon koliko dana ce se sresti i koliko je koji prokopao?Odgovor kaze: 2 2

17 dana treba. Veliki stakor prokopa 3 stope i 4 1217 palca.

Mali stakor prokopa 1 stopu i 5 517 palaca.

Vrijeme (u danima)

Udaljenost (u stopama)

0 1 2 30

1

2

3

4

5

G

K

Rjesenje


Sustavi linearnih jednadzbi: Metoda fang-cheng

Zadatak iz 8. knjige Devet poglavlja

Iz tri snopa dobrog zita, dva snopa srednjeg i jednog snopa loseg zitadobije se prinos 39 tou.Iz dva snopa dobrog zita, tri snopa srednjeg i jednog snopa loseg zitadobije se prinos 34 tou.Iz jednog snopa dobrog zita, dva snopa srednjeg i tri snopa loseg zitadobije se prinos 26 tou.Koliki je prinos po jednog snopa dobrog, srednjeg i loseg zita?

1 2 3

2 3 2

3 1 1

26 34 39

3

4 5 2

8 1 1

39 24 39

3

5 2

36 1 1

99 24 39

Rjesenje je 9936 = 2 3

4 tou za lose, (24− 1 · 2 34 ) : 5 = 4 1

4 tou za srednje i(39− 1 · 2 3

4 − 2 · 4 14 ) : 3 = 9 1

4 tou za dobro zito.


Malo indijske povijesti

u 3. tisucljecu pr. Kr. gradske civilizacije oko rijeke Ind (MohendaDara, Harappa) — decimalni sustav mjera, astronomija

iza 1500. pr. Kr. indoarijski doseljenici

1200.–500.: razdoblje veda (druga datiranja: 1500.–800.), prvedrzave, veliki brojevi

oko 600. pr. Kr.: sanskrt (jezik brahmana)

u to doba nastaju pravila za oltare (pocetak geometrije)

oko 500. pr. Kr.: budizam, jainizam, hinduizam

327.–325. Aleksandar Veliki na Indu

322.–184. dinastija Maurya

nakon 184. pr. Kr. helenisticki utjecaj

320.–544. dinastija Gupta: vrhunac indijske civilizacije

5.–12. st.: razne dinastije u malim drzavama; vrhunac indijskematematike


Ugrubo se staroindijska matematika moze podijeliti na dvarazdoblja:

1 Doba Sulb(v)asutra (”pravila konopa”) — ca. 8.–5. st. pr. Kr.

2 Doba procvata matematike (5.–12. st.)

Glavne karakteristike indijske matematike: prakticna orijentacija,uglavnom iskustvena — razvoj matematickih postupaka (ganita —znanost o racunanju), nema dokaza, ravnopravnost racionalnih iiracionalnih brojevaNajvazniji indijski doprinos matematici: decimalni pozicijski sustavs nulom. Razvio se postepeno iz brahmanskih brojki (odca. 3. st. pr. Kr.).


Koristeni su i alfasilabicki sustavi: slicno alfabetskim sustavima —slova predstavljaju slogove (tocnije: suglasnici s dijakritickimznakovima za slogove).

Nula kao broj se pojavljuje najkasnije u 7. st.: kmerski natpis

(Sambor, 683.). Najveci indijski matematicar tog doba,Brahmagupta (598–ca. 670), nulu definira kao rezultat oduzimanjabroja od sebe. Kod njega se moze naci i opis pravila za racunanje(+, −, ·, :) s pozitivnim i negativnim brojevima te nulom.2

Negativni brojevi su vjerojatno bili poznati nekoliko stoljeca ranije.Nulu indijci nazivaju sunya, sto znaci praznina. U arapskomprijevodu to je sifr, sto je u latiniziranoj verziji dalo pojam cifre.S vremenom se brahmanski brojevni sustav preoblikovao upozicijski.

2Iznimka u ispravnosti je dijeljenje s nulom: kod njega je 0 : 0 = 0, adozvoljava i razlomke oblika m/0.

http://nickythump.s3.amazonaws.com/blog/wp-content/uploads/2015/05/29235747/wpid-wp-1430558172916.jpeg


Prvo poznato koristenje posebnih simbola za decimalne znamenkeukljucivo simbola za znamenku nula (mali krug) je na kamenom

natpisu u hramu u Gwalioru (876.). U to doba: Gupta- iNagari-znamenke:

Indijci su razvili efikasne algoritme za racunanje u dekadskompozicijskom sustavu. Cini se da je najstariji spis koji ih opisujerukopis Bakhshali koji se datira izmedu 2. st. pr. Kr. i 12. st. n. e.

U svakom slucaju se opis pravila racunanja s prirodnim brojevima irazlomcima moze naci kod Mahavıre (9. st.). On je bio autorprvog indijskog samo matematici posvecenog teksta. Prviznameniti matematicar koji korektno opisuje sva ta pravila jeBhaskara II (1114–ca. 1185). Kod njega dijeljenje s nulom kaorezultat daje beskonacno.

http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-india-zero

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Diagrams/Indian_num_2.gif

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/64/Bakhshali_numerals_1.jpg


Sulvasutre

”Pravila konopa”

dodatci vedskim tekstovima, opisuju mjerenja i konstrukcijevezane za izgradnju hramova i oltara

elementarna geometrija: povrsine i volumeni, Pitagorinpoucak, . . .

npr. u Baudhayana sulvasutri (ca. 800. pr. Kr.) Konoprastegnut preko dijagonale kvadrata daje povrsinu dvostrukupovrsini polaznog kvadrata.

sva pravila su dana bez dokaza

egzaktne i aproksimativne konstrukcije (no nigdje se ne isticerazlika)

razlicite procjene povrsine kruga (najcesce se uzima 1315

promjera kao stranica kvadrata (sto odgovara ne bas dobrojaproksimaciji π ≈ 3, 00444).

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Indian_sulbasutras.html


Aryabhata I (ili stariji, ca. 476–550)

Prvi poimence poznat indijski matematicar.

Aryabhatıya: astronomsko djelo, u stihovima, sadrzi tada uIndiji poznate matematicke rezultate bez dokaza

aritmetika i algebra, sferna i ravninska trigonometrija

Dodaj 4 k 100, pomnozi s 8 i svemu dodaj 62000. To sto sidobio je priblizna duljina opsega kruga s promjerom 20000(π ≈ 3,1416), na drugom mjestu π ≈

√10.

koliko je poznato prva tablica sinusa (polutetiva), kosinusa isinus versus-a (r − cosφ) (neki autori spominju jedan nestostariji rukopis nepoznatog autora kao prvu pojavu sinusa)


Trigonometrija

Vidimo: indijski su se matematicari odmakli od starogrckog racunatetiva na jednostavniji racun polutetiva, tj. sinusa. Moze se reci damoderna trigonometrija potjece iz Indije.Oko 500. g. vec se pojavljuju pravila ekvivalentna mnogim vaznimtrigonometrijskim formulama.U 10. st. se vec sinusi i kosinusi gledaju u sva cetiri kvadranta.Ipak, indijska trigonometrija nije postala sustavna disciplina, negose radilo o rjesavanju pojedinacnih problema.

Zanimljivost

U sanskrtu se sinus (polutetiva) nazivao bhuya jya, tj. tetiva,skraceno jya jia. Arapi su taj izraz modificirali u giba, koji je kasnijepostao gaib: prsa, izrez na haljini, izdignuce. Pri prijevodu jednogarapskog djela je Robert iz Chestera 1154. na odgovarajucemmjestu upotrijebio latinski izraz sinus (zaobljenost, uvala, prsa).


Teorija brojeva

pojavljuje se”razbacano” u razlicitim djelima

u Sulvasutrama: pitagorejske trojke (5, 12, 13), (12, 16, 20),(8, 15, 17), (15, 20, 25), (12, 35, 37), (15, 36, 39),

(2 1

2 , 6, 612

),(

7 12 , 10, 12 1

2

)u klasicno doba: diofantske jednadzbe

posebno: Pellova jednadzba nx2 + 1 = y2 (ime nosi poengleskom matematicaru iz 17. st. John-u Pell-u

u 7. st. je Brahmagupta otkrio Brahmaguptin identitet

(a2 + nb2)(c2 + nd2) = (ac ∓ nbd)2 + n(ad ± bc)2

i koristio ga za zakljucivanje o rjesenjima Pellove jednadzbe,dobio je npr. tri rjesenja (9, 82), (1476, 13.447),(242.055, 2.205.226) jednadzbe 83x2 − 2 = y2


Brahmagupta (598.–670.)

Najveci indijski matematicar svog doba.

Brahmaguptin teorem: u tetivnom cetverokutu s okomitimdijagonalama visine iz sjecista dijagonala na pojedine straniceprepolavljaju njima nasuprotne.

Brahmaguptina formula: poopcenje Heronove formule natetivne cetverokute; P =

√(s − a)(s − b)(s − c)(s − d).

Jedna od prvih pojava kvadratne interpolacije (slicna u gotovoisto vrijeme i u kineskog astronoma Liu Zhou-a):

f (a + xt) = f (a) +x

2(f (a + t)− f (a− t)) +

+x2

2(f (a + t)− 2f (a) + f (a− t))


Iterativne metode

Kao i Kinezi, i Indijci su razvili metode racunanja korijena, vecinomtemeljene na binomnoj formuli: ako je x = y2 (x = y3) i imamoprvu procjenu a za y , onda je y = a + b i x − a2 = 2ab + b2

(x − a3 = 3a2b + 3ab2 + b3), pa se to moze slicno kao i ustarokineskoj metodi iskoristiti za odredivanje b. Poznata je i

Staroindijska metoda za rjesavanje f (x) = x2 − N = 0

Radi se o ranoj verziji Newtonove metode. Neka je prva procjenarjesenja α (α2 ≤ N, x = α + y). Iz f (α + y) = 0 dobijemo

y =−f (α)

2α + y=

N − α2

2α + y≈ N − α2

2α.


Postupak je dakle: Iz trenutne vrijednosti α gornja procjena dajey = N−α2

2α (gledamo samo do prve nenul znamenke). Provjerimo jeli (α + y)2 ≤ N, ako nije, smanjujemo tu prvu nenul znamenku ody . Novi α je stari α plus taj y .

Primjer

x =√

2 : α = 1

(α + y)2 = α + (2 + y)y = 2⇒ y =2− α2

2 + y≈ 2− α2

2

Za α = 1 to daje y = 0,5, no 1 + 0,5 = 1,5 je prevelik, dakle jenovi α = 1,4. Sad je

y ≈ 2− 1,42

2= 0,01 . . . ,

dakle y = 0,01 i novi α postaje 1,41 . . .


Bhaskara II (1114-1185)

Najveci matematicar klasicnog indijskog razdoblja.

Dva cisto matematicka djela: Lilavati (? utjeha kceri ?) iBijaganita

Znao je da primjerice jednadzba x2 = 9 ima dva rjesenja.

Opisao racun u decimalnom pozicijskom sistemu.

Poznavao je adicijski teorem za sinus.

Dalje razvio Brahmaguptine metode za Pellovu jednadzbu teje otkrio jedan algoritam za racunanje njenih rjesenja(”ciklicka metoda”)

Siddhanta-siroman. i : rjesenje(x , y) = (226.153.980, 1.766.319.049) jednadzbe61x2 + 1 = y2

U Lilavati se vidi da su mu bila poznata pravila za racunanjekombinacija i permutacija.


Primjer

Kako naci broj mogucih rasporeda otvorenih i zatvorenih vrata uzgradi s 8 vrata?Koliko varijacija boga Sambhu-a se dobije rasporedivanjem 10atributa u njegovih 10 ruku?

Opcenito, stari Indijci su od najranijih vremena imali interes zavelike brojeve. Najkasnije u 6. st. pr. Kr. bave se i prebrajanjemrazlicitih rasporeda. Tada je Sushruta u jednom tekstu nabrojiomoguce okuse koji nastaju iz 6 osnovnih (slatko, kiselo, slano,ljuto, gorko, trpko).Tekst Brhatsamhita iz 6. st.: kako dobiti mirise mijesanjem 4 od16 sastojaka u razlicitim omjerima? Navodi se 1820 mogucnostiodabira 4 od 16 sastojaka.

postklasi cno razdoblje gr cke matematike. matematika u

Documents