POTÊNCIA COM EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

As equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Já estudamos que potência é um produto de fatores iguais. O fator repetido chama-se base, o número de fatores repetidos chama-se expoente e o resultado da operação chama-se potência. Já estudamos, também, que qualquer número não nulo elevado a zero é igual a 1 e qualquer número elevado a um é igual ao próprio número. Neste estudo sobre potenciação temos os seguintes objetivos:

- O aluno deverá aplicar passo a passo nos exercícios dados, as definições sobre potências com expoentes inteiros negativos e potências com expoente racional fracionário; 

- Deverá escrever os exercícios pedidos sob forma de potência com expoente inteiro negativo e sob forma de potência com expoente fracionário;

- Aplicar os resultados aprendidos em assuntos que envolvem a disciplina Física.

Nesta postagem, para não sobrecarregar o blog com muitas equações, vamos estudar apenas a aplicação das definições sobre potências com expoentes inteiros negativos. Teremos apenas 10 exercícios respondidos. Na próxima postagem daremos continuidade a este assunto tão maravilhoso.

Primeira definição:

Segunda definição:

Para entendermos melhor estas definições vamos aplicá-las nas resoluções dos problemas abaixo. Obs: depois da questão da letra f vamos aplicar uma regra prática oriunda destas definições, em dois passos, muito usada em sala de aula. Lápis e caneta e caderno nas mãos e bons estudos.

1º) Aplicando as definições, calcule

a) 

Veja bem: o expoente é -1. O valor de a = 4. Vamos usar a primeira definição:

portanto, temos que

b) 

Olha aí novamente o expoente igual a -1, isso quer dizer que vamos usar a primeira definição.O valor de a  = - 8. Usando a primeira definição:

temos que

c) 

Veja bem: o expoente é igual a -2. Agora não temos mais o expoente -1, isso quer dizer que vamos aplicar a segunda definição. Vamos aplicar um macete: onde tiver n, você substitui por 2 e conserva o sinal de menos da fórmula da 2ª definição. O valor de a  = - 5. Portanto, usando a segunda definição

temos que

E aí? Você achou difícil? Recordando: a potência de um número inteiro não nulo com expoente par é sempre um número positivo, ou seja, no caso n é par (n = 2), o resultado (no caso foi 1/25) foi positivo. Vamos continuar exercitando.

d) 

Veja bem: o expoente n agora é -6. Vamos aplicar a segunda definição. Onde tiver n você substitui por 6 e conserva o sinal de menos da 2ª definição. Sendo a  = - 4, da definição

temos que

Recordando: a potência de um número inteiro (não nulo) com expoente par é sempre um número positivo, ou seja, no caso 1 elevado a 6 é igual a 1 e que (-4) elevado a seis é igual a 4096. Então, o resultado será

e) 

O expoente n agora é -3 (ímpar). Vamos, também, aplicar a segunda definição. Onde tiver  n você substitui por 3 e conserva o sinal de menos da definição. Sendo a = -2, da definição

temos que

Aqui pudemos observar que usamos no denominador a multiplicação de números relativos. Aprenda sobre números relativos acessando Números inteiro relativos.

Recordando: a potência de um número inteiro (não nulo) com expoente ímpar tem sempre o mesmo sinal da base, ou seja, lá no denominador temos (-2) elevado a 3 - a potência de um número inteiro (- 2 ) não nulo, com expoente ímpar (3) tem sempre o mesmo sinal (de menos, no caso resultou em -8) da base (-2).

E aí, ficou mais claro? Exercitando:

f) 

Expoente n agora é 5 (ímpar), portanto já sabemos que o resultado será negativo. Vamos aplicar a segunda definição. Onde tiver n você substitui por 5 e conserva o sinal de menos da definição. Sendo que a  = - 2, da definição

temos que

Sabemos que 1 elevado a 5 é igual a 1 e que (-2) elevado a cinco é igual a -32. Portanto,

Obs: Para a primeira e para a segunda definição existe uma regra prática, em dois passos, muito usada em sala de aula. Vamos aplica-la nos exemplos a seguir:

2º) Aplique a primeira definição usando uma regra prática nos seguintes exemplos:

a) 

Dois passos:- Coloque a unidade (1), positiva, no numerador;- Coloque no denominador a base (6) elevado ao expoente 1. Veja que o expoente, que era negativo, fica no denominador com o sinal positivo. Assim:

Na linguagem do aluno: “sempre colocar o número 1 em cima (numerador) e em baixo (denominador) colocar a base com o sinal conservado e o expoente com sinal trocado”.

b) 

- Coloque o número 1, positivo, no numerador;- Coloque no denominador a base (10) elevado ao expoente 1. Note que o expoente, que era negativo (-1), fica no denominador com o sinal positivo (1). Assim:

ou seja, um décimo. Já estudamos sobre os décimos, os centésimos e os milésimos, aprenda acessando  Divisão com números decimais.

c) 

- Coloque o número 1, positivo, no numerador;- Coloque no denominador a base (10) elevado ao expoente 5. Note que o expoente, que era negativo (-5), fica no denominador com o sinal positivo (5). Assim:

Já estudamos como ler estes números bem pequenos: aprenda acessando Leitura de números decimais. Podemos colocá-los também na forma de notação científica. Aprenda notação científica acessandoExercícios resolvidos de notação científica.

d) 

- Coloque o número 1, positivo, no numerador;- Coloque no denominador a base (-2) elevado ao expoente 3. Note que a base ficou com seu sinal negativo conservado, porém, o expoente, que era negativo (-3), fica no denominador com o sinal positivo (3). Assim:

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