potencia, eje radical y secciÓn Áurea
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DIBUJO TÉCNICO II. 2º BACHILLERATO
POTENCIA.Eje radical y centro radical
Sección Áurea Rectángulo Áureo
O1
O3
O2
A
B
P
D
C
er
EJE RADICAL
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
er
O1
O2
El EJE RADICAL de dos circunferencias es una recta perpendicular a la recta que une sus centros. Según la posición relativa de las dos circunferencias obtendremos el eje radical
por un procedimiento u otro
EJE RADICAL DE DOS
CIRCUNFERENCIAS SECANTES.
Es la recta que pasa por los puntos de intersección de ambas, cuya potencia
respecto de cada una de ellastiene el mismo valor, cero.
Es perpendicular a la línea que une los dos centros de las circunferencias dadas
EJE RADICAL
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
er
er
O1 O2
O2O1
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS
TANGENTES.
Tanto si son tangentes interiores como si son tangentes exteriores,
el eje radical es la perpendicular a O1O2
que pasa por el punto comúnde tangencia, cuya potenciarespecto de ambas es cero.
EJE RADICAL
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS
EXTERIORES
1er PROCEDIMIENTO:
Se trata de conecer, como en los casos anteriores, un puntoque tenga la misma potenciarespecto de las dos dadas.
O1
O2
EJE RADICAL
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
O1
O3
O2
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS
EXTERIORES
1er PROCEDIMIENTO:
1. Para ello trazamos una circunferencia auxiliar O3
que cortará a las dos dadas en los puntos A,B,C y D
A
B
D
C
EJE RADICAL
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
O1
O3
O2
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS
EXTERIORES
1er PROCEDIMIENTO:
2. Hallamos los ejes radicalesde cada una de las circun-
ferencias dadas con la circun-ferencia auxiliar.
Ambos ejes radicales, e1 y e2
se cortarán en el punto P
A
B
P
D
C
EJE RADICAL
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
O1
O3
O2
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS
EXTERIORES
1er PROCEDIMIENTO:
3. Unimos los centros O1 y O2
A
B
P
D
C
EJE RADICAL
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
O1
O3
O2
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS
EXTERIORES
1er PROCEDIMIENTO:
4. El eje radical soluciónserá la perpendicular a la
recta que une O1 O2 desde P
A
B
P
D
C
er
EJE RADICAL
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS
EXTERIORES
2º PROCEDIMIENTO:
1. Hallamos una recta tangente exterior, por el procedimiento ya aprendido al estudiar las
tangentes
A
B
T1
T3
O1
O2
t1
EJE RADICAL
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS
EXTERIORES
2º PROCEDIMIENTO:
2. Trazamos la mediatriz delsegmento que va de un punto
de tangencia al otro
A
B
T1
T3
t1
O1
O2
M
EJE RADICAL
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS
EXTERIORES
2º PROCEDIMIENTO:
3. Trazamos una perpendiculara O1O2 desde el punto
medio del segmento
A
B
T1
T3
t1
O1
O2
M
er
POLARIDAD
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
LA RECTA POLAR de un punto P (que se denomina polo) y una circunferencia
de centro O (también llamada circulo director) es el eje radical de esa circunferencia y otra cuyo diámetro es PO.
Si el polo es interior al círculo director, la polar es una recta exterior a éste. Si el polo pertenece al contorno del círculo director, la polar es
la tangente al círculo director por el polo.
P
Polar de P respecto a O
O
POLARIDAD
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Los puntos donde la recta polar corta a la circunferencia, T1 y T2, son los puntos de tangencia de las rectas tangentes de P a O
P
Polar de P respecto a O
O
T1
T2
POLARIDAD
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Una posible forma de trazar la recta polar es:
1. Trazamos la recta OP
P
O
POLARIDAD
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Una posible forma de trazar la recta polar es:
2. Trazamos dos secantes
simétricas a OP, que cortan a la circunferencia en los puntos A, B, C y D
P
A
C
DB
O
POLARIDAD
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Una posible forma de trazar la recta polar es:
3. Unimos los puntos de corte opuestos AD,
dando la recta que los une el punto F al cortar
la recta OP
P
A
C
D
F
B
O
POLARIDAD
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Una posible forma de trazar la recta polar es:
4. La perpendicular a OP en F es la polar de P
respecto a O
P
A
C
D
F
B
O
Polar de P respecto a O
POLARIDAD
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
OP
Segunda forma de trazar la recta polar:
POLARIDAD
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
OP
Segunda forma de trazar la recta polar:
1. Unimos P y O mediante una recta
POLARIDAD
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
OP
M
Segunda forma de trazar la recta polar:
2. Trazamos la mediatriz de OP = M
POLARIDAD
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
OP
M
A
B
Segunda forma de trazar la recta polar:
3. Trazamos la circunferencia de diámetro OP, obteniendo así A y B
POLARIDAD
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
OP
M
A
B
Segunda forma de trazar la recta polar:
4. Unimos A y B y obtenemos la recta polar buscada
POLARIDAD
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
OP
M
A
B
Segunda forma de trazar la recta polar:
5. Podemos comprobar que las rectas PA y PB son
las tangentes de P a la circunferencia O
POLARIDAD
Hallar el POLO de r respecto de la circunferencia O
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
O
r
POLARIDAD
Hallar el POLO de r respecto de la circunferencia O
Trazamos el radio OT,siendo T uno de los puntos
de intersección entre la rectar y la circunferencia O
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
O
r
T
POLARIDAD
Hallar el POLO de r respecto de la circunferencia O
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
O
r
T
Trazamos la tangente a la circunferencia O en el punto T
POLARIDAD
Hallar el POLO de r respecto de la circunferencia O
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
O P
r
T
Trazamos la perpendicular a la recta r que pasa por el
centro O. Dicha perpendicularcorta a la tangente en el
punto P, polo que buscamos
POLARIDAD
Hallar el POLO de r respecto de la circunferencia O
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
O
r
POLARIDAD
Hallar el POLO de r respecto de la circunferencia O
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
O
Q
r
1. Trazamos la perpendicular a r desde O
POLARIDAD
Hallar el POLO de r respecto de la circunferencia O
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
O
r
M
2. Hallamos la mediatriz Mde OQ
Q
POLARIDAD
Hallar el POLO de r respecto de la circunferencia O
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
O
r
M
B
A
Q
3. Trazamos la circunferenciade diámetro OQ, que corta
a la circunferencia dada en A y B
POLARIDAD
Hallar el POLO de r respecto de la circunferencia O
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
O
P
r
M
B
A
Q
3. Uniendo AB obtenemos el eje radical de las dos circun-
ferencias, que corta a OQ en el punto P, polo buscado
POLARIDAD
Hallar el POLO de r respecto de la circunferencia O
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
O
P
r
M
B
A
Q
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Aplicando el concepto de potencia, hallar el segmento media proporcionalentre los segmentos a= 64 mm y b= 30 mm
Ejercicios de Potencia y eje radical
La media proporcional x a los segmentos a y b se obtiene sabiendo que la potencia de un punto respecto de una
circunferencia es igual al cuadrado de la tangente trazada desde el punto a la circunferencia, es decir,
x = a·b
a = 64
b = 30
2
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Aplicando el concepto de potencia, hallar el segmento media proporcionalentre los segmentos a= 64 mm y b= 30 mm
Ejercicios de Potencia y eje radical
a = 64
b = 30
1. Situamos el segmento a, y en la misma recta situamos b,
haciendo coincidir uno de los extremos de cada segmento
a
b
A C B
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Aplicando el concepto de potencia, hallar el segmento media proporcionalentre los segmentos a= 64 mm y b= 30 mm
Ejercicios de Potencia y eje radical
a = 64
b = 30
2. Se traza la circunferencia CB, que es la diferencia de a-b.
a
b
A C BO
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Aplicando el concepto de potencia, hallar el segmento media proporcionalentre los segmentos a= 64 mm y b= 30 mm
Ejercicios de Potencia y eje radical
a = 64
b = 30
3. Se traza la recta tangente ala circunferencia O desde
el punto A, obteniendo así elpunto T
A
T
C BO
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Aplicando el concepto de potencia, hallar el segmento media proporcionalentre los segmentos a= 64 mm y b= 30 mm
Ejercicios de Potencia y eje radical
a = 64
b = 30
4. El segmento AT es x, la mediaproporcional entre a y b,la solución del problema
A
T
x
C BO
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Sin utilizar una circunferencia auxiliar, determinar el eje radical de la circunferenciade centro O1 y el punto O2
O1
O2
Ejercicios de Potencia y eje radical
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Sin utilizar una circunferencia auxiliar, determinar el eje radical de la circunferenciade centro O1 y el punto O2
O1
O2
Ejercicios de Potencia y eje radical
Sabemos que:
El radio de O2 es 0.
El eje radical de dos circunferencias coplanarias es una recta cuyos puntos tienen la misma potencia respecto a
las dos circunferencias.
El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular a la recta que une sus centros.
Los puntos de tangencia T, de las rectas tangentes trazadas desde un punto cualquiera a las circunferencias
iniciales, se encuentran en la circunferencia
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Sin utilizar una circunferencia auxiliar, determinar el eje radical de la circunferenciade centro O1 y el punto O2
O1
O2
Ejercicios de Potencia y eje radical
1. Trazamos la recta que une O1 y O2
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Sin utilizar una circunferencia auxiliar, determinar el eje radical de la circunferenciade centro O1 y el punto O2
O1
M
T1O2
Ejercicios de Potencia y eje radical
2. Desde O2, dado que tiene de radio 0, se determina la tengente a O1.
Obtenemos el punto de tangencia T1
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Sin utilizar una circunferencia auxiliar, determinar el eje radical de la circunferenciade centro O1 y el punto O2
O1
M
T1
PO2
Ejercicios de Potencia y eje radical
3. El eje radical, er, se obtiene trazando por el punto medio P, de esta tangente, la perpendicular a la recta que une los
centros O1 O2
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Sin utilizar una circunferencia auxiliar, determinar el eje radical de la circunferenciade centro O1 y el punto O2
O1
M
T1
PO2
Ejercicios de Potencia y eje radical
3. El eje radical, er, se obtiene trazando por el punto medio P, de esta tangente, la perpendicular a la recta que une los
centros O1 O2
er
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Sin utilizar una circunferencia auxiliar, determinar el eje radical de la circunferenciade centro O1 y el punto O2
O1
M
T1
T2
P
Q
O2
er
Ejercicios de Potencia y eje radical
El valor de la potencia de un punto cualquiera Q, perteneciente al eje radical
er, respecto a la circunferencia de centro O2, es igual al cuadrado del segmento
tomado sobre una de las tangentes trazadas desde Q cuyos extremos son Q y el punto de tangencia T2, es decir, QT2 = K.
La potencia de dicho punto Q respecto a la circunferencia de centro O2 y radio 0 es el cuadrado de la distancia entre los puntos
Q y O2
K
K
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Calcular el punto P, situado por encima de la recta O1O2, que tiene la misma potencia respecto de las dos circunferencias dadas y desde el que el segmento O1O2
se ve bajo un ángulo de 30º
O1
O2
Ejercicios de Potencia y eje radical
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Calcular el punto P, situado por encima de la recta O1O2, que tiene la misma potencia respecto de las dos circunferencias dadas y desde el que el segmento O1O2
se ve bajo un ángulo de 30º
O1
O2
Ejercicios de Potencia y eje radical
Sabemos que:
El arco capaz de un segmento O1O2 bajo un ángulo a es el conjunto de puntos desde los cuales se ve el segmento O1O2 bajo un ángulo a.
El eje radical de dos circunferencias coplanarias es una recta, lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto a ambas.
El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular a la recta que une sus centros.Un punto del eje radical tiene igual potencia respecto a las circunferencias dadas.
Los puntos de tangencia T, de las rectas tangentes trazadas desde un punto cualquiera a las circunferencias iniciales, se encuentra en una circunferencia
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Calcular el punto P, situado por encima de la recta O1O2, que tiene la misma potencia respecto de las dos circunferencias dadas y desde el que el segmento O1O2
se ve bajo un ángulo de 30º
O1
O2
Ejercicios de Potencia y eje radical
1. Se traza la recta que une los centros O1 y O2
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Calcular el punto P, situado por encima de la recta O1O2, que tiene la misma potencia respecto de las dos circunferencias dadas y desde el que el segmento O1O2
se ve bajo un ángulo de 30º
O1
O
O2
Ejercicios de Potencia y eje radical
2. Se traza el arco capaz (centro O) del
segmento O1O2 bajo el ángulo de 30º
30º
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Calcular el punto P, situado por encima de la recta O1O2, que tiene la misma potencia respecto de las dos circunferencias dadas y desde el que el segmento O1O2
se ve bajo un ángulo de 30º
O1
O
O2
Ejercicios de Potencia y eje radical
3. Trazamos una tangente exterior
cualquiera a las dos circunferencias, quenos da los puntos de
tangencia T1y T2
30º
T1T2
RO2-RO1
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Calcular el punto P, situado por encima de la recta O1O2, que tiene la misma potencia respecto de las dos circunferencias dadas y desde el que el segmento O1O2
se ve bajo un ángulo de 30º
O1
O
O2
Ejercicios de Potencia y eje radical
30º
T1 M T2
4. Hallamos el punto medio M del
segmentoT1T2
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Calcular el punto P, situado por encima de la recta O1O2, que tiene la misma potencia respecto de las dos circunferencias dadas y desde el que el segmento O1O2
se ve bajo un ángulo de 30º
O1
O
T1 M T2
O2
Ejercicios de Potencia y eje radical
30º
5. Trazamos la perpendicular a la recta que une O1 y O2 desde el punto M, y obtenemos
el eje radical er de las dos circunferencias
er
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Calcular el punto P, situado por encima de la recta O1O2, que tiene la misma potencia respecto de las dos circunferencias dadas y desde el que el segmento O1O2
se ve bajo un ángulo de 30º
O1
O
T1 M T2
O2
Ejercicios de Potencia y eje radical
6. El eje radical er corta al arco capaz en el punto
P que buscamos. Este punto tiene la misma
potencia K respecto de las dos circunferencias dadas y desde el que el segmento O1O2 se ve bajo un ángulo de 30º
30º
er
P
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Calcular el punto P, situado por encima de la recta O1O2, que tiene la misma potencia respecto de las dos circunferencias dadas y desde el que el segmento O1O2
se ve bajo un ángulo de 30º
O1
O
30º
T1 M T2
O2
Ejercicios de Potencia y eje radical
6. El eje radical er corta al arco capaz en el punto
P que buscamos. Este punto tiene la misma
potencia K respecto de las dos circunferencias dadas y desde el que el segmento O1O2 se ve bajo un ángulo de 30º
30º
er
P
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Calcular el punto P, situado por encima de la recta O1O2, que tiene la misma potencia respecto de las dos circunferencias dadas y desde el que el segmento O1O2
se ve bajo un ángulo de 30º
O1
O
T1
T3
T4
M T2
O2
Ejercicios de Potencia y eje radical
6. El eje radical er corta al arco capaz en el punto
P que buscamos. Este punto tiene la misma
potencia K respecto de las dos circunferencias dadas y desde el que el segmento O1O2 se ve bajo un ángulo de 30º
30º
er
P
K K
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Hallar el centro radical de las circunferencias de centros O1 y O2 y la recta r
O1
r
Ejercicios de Potencia y eje radical
O2
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Hallar el centro radical de las circunferencias de centros O1 y O2 y la recta r
O1
C
O2
r
Ejercicios de Potencia y eje radical
1. Hallamos el eje radical e1 de las circunferencias O1 y O2, como ya se ha estudiado anteriormente,
mediante una circunferencia auxiliar OA
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Hallar el centro radical de las circunferencias de centros O1 y O2 y la recta r
O1
P
C
O2
r
Ejercicios de Potencia y eje radical
1. Hallamos el eje radical e1 de las circunferencias O1 y O2, como ya se ha estudiado anteriormente,
mediante una circunferencia auxiliar C
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Hallar el centro radical de las circunferencias de centros O1 y O2 y la recta r
O1
P
e1
C
O2
r
Ejercicios de Potencia y eje radical
1. Hallamos el eje radical e1 de las circunferencias O1 y O2, como ya se ha estudiado anteriormente,
mediante una circunferencia auxiliar C
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Hallar el centro radical de las circunferencias de centros O1 y O2 y la recta r
O1
P
e1
C
O2
r= e2
Ejercicios de Potencia y eje radical
2. En segundo lugar, buscamos el eje radical e2, entre O1 y la recta dada. Como ya se ha
estudiado al comenzar el tema, el eje radical entre
una circunferencia y una recta está en la
propia recta, que es una circunferencia con centro
en el infinito.
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Hallar el centro radical de las circunferencias de centros O1 y O2 y la recta r
O1
P
e1
C
Cr
O2
r= e2
Ejercicios de Potencia y eje radical
3. El Centro Radical de O1, O2 y r es la
intersección entre los
ejes radicales e1 y e2
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Hallar el centro radical de las circunferencias de centros O1 y O2 y la recta r
O1
P
e1
C
Cr
O2
T2
T1
T4
T3 r= e2
Ejercicios de Potencia y eje radical
Si trazamos tangentes del Cr a las dos
circunferencias podremos trazar una circunferencia
con centro en Cr que pasará por todos los puntos de tangencia
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Hallar el centro radical de las circunferencias de centros O1 y O2 y del punto O3
O1
O3
O2
Ejercicios de Potencia y eje radical
Sabemos que:El radio de la circunferencia de centro O3 es 0
El eje radical de dos circunferencias coplanarias es una recta, lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto a ambas.
El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular a la recta que une sus centros.Un punto del eje radical tiene igual potencia respecto a las circunferencias dadas.
Los puntos de tangencia T, de las rectas tangentes trazadas desde un punto cualquiera a las circunferencias iniciales, se encuentra en una circunferencia.
El centro radical de tres circunferencias es el punto del plano que tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias y se obtiene hallando el punto de intersección de los tres ejes radicales, tomando las circunferencias de
dos en dos
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Hallar el centro radical de las circunferencias de centros O1 y O2 y del punto O3
O1
O3
O2
Ejercicios de Potencia y eje radical
1. Comenzamos trazando el eje radical
e1, de las circunferencias O1 y O3. En primer lugar unimos ambos centros
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Hallar el centro radical de las circunferencias de centros O1 y O2 y del punto O3
O1
O3
O2
Ejercicios de Potencia y eje radical
2. Desde O3, que es una circunferencia de radio 0, trazamos la tangente a O1.
El punto de tangencia es R
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Hallar el centro radical de las circunferencias de centros O1 y O2 y del punto O3
O1
R
O3
O2
Ejercicios de Potencia y eje radical
3. Trazando por el punto medio de la tangente RO3, punto Q, una
perpendicular a la recta que une O1 y
O2, obtenemos el eje radical e1
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Hallar el centro radical de las circunferencias de centros O1 y O2 y del punto O3
O1
R
Q
e1
O3
O2
Ejercicios de Potencia y eje radical
4. En segundo lugar, hallamos el eje
radical e2, entre las circunferencias O1 y O2.
Para ello, comenzamos uniendo O1 y O2
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Hallar el centro radical de las circunferencias de centros O1 y O2 y del punto O3
O1
R
Q
e1
O3
O2
Ejercicios de Potencia y eje radical
5. Trazamos la tangente exterior a las dos circunferencias O1 y O2, cuyos puntos de tangencia respectivos son
N y M
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Hallar el centro radical de las circunferencias de centros O1 y O2 y del punto O3
O1
R
MN
Q
e1
O3
O2
Ejercicios de Potencia y eje radical
Ro2 - RO1
6. Trazando la perpendicular a O1O2
desde el punto medio P de la tangente trazada anteriormente, obtenemos el eje
radical 2, e2
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Hallar el centro radical de las circunferencias de centros O1 y O2 y del punto O3
O1
R
P MN
Q
e1
e2
O3
O2
Ejercicios de Potencia y eje radical
Ro2 - RO1
7. El punto Cr de intersección de los dos ejes radicales es el centro radical que
buscamos
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Hallar el centro radical de las circunferencias de centros O1 y O2 y del punto O3
O1
R
P MN
Q
Cr
e1
e2
O3
O2
Ejercicios de Potencia y eje radical
Ro2 - RO1
Si trazamos una circunferencia de centro Cr y radio CrO3, dicha
circunferencia pasará por los cuatro puntos de tangencia de las tangentes de
Cr a O1 y O2
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Hallar el centro radical de las circunferencias de centros O1 y O2 y del punto O3
O1T1 T2
T3
T4
R
P MN
Q
Cr
e1
e2
O3
O2
Ejercicios de Potencia y eje radical
Ro2 - RO1
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
El punto Cr es el centro radical de tres circunferencias de centros O1, O2 y O3.Determina el radio de las dos últimas
O2
O3
Cr
O1
Ejercicios de Potencia y eje radical
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
O2
O3
Cr
O1
RECUERDA: Los puntos de tangencia de las rectas tangentes trazadas desde el centro radical a las circunferencias iniciales, se encuentran en
una circunferencia
Ejercicios de Potencia y eje radical
El punto Cr es el centro radical de tres circunferencias de centros O1, O2 y O3.Determina el radio de las dos últimas
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
O2
O3
Cr
O1
T1
T2
1. Desde el centro radical Cr, se trazan las tangentes a la circunferencia O1,obteniéndose
así los puntos de tangencia T1 y T2
Ejercicios de Potencia y eje radical
El punto Cr es el centro radical de tres circunferencias de centros O1, O2 y O3.Determina el radio de las dos últimas
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
O2
O3
Cr
O1
T1
T2
2. T1 y T2 pertenecen a una circunferencia de centro Cr y radio k, por tanto dicha
circunferencia pasará por los puntos de tangencia de Cr con las otras dos circunferencias
Ejercicios de Potencia y eje radical
El punto Cr es el centro radical de tres circunferencias de centros O1, O2 y O3.Determina el radio de las dos últimas
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
O2
O3
Cr
O1
T1
T2T3
T4
T5
T6
3. Hallamos los puntos de tangencia entre O2 y O3 y la circunferencia de centro Cr
Ejercicios de Potencia y eje radical
El punto Cr es el centro radical de tres circunferencias de centros O1, O2 y O3.Determina el radio de las dos últimas
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
O2
O3
Cr
O1
T1
T2T3
T4
T5
T6
4. Teniendo los puntos de tangencia, podemos trazar las dos circunferencias que
pide el problema
Ejercicios de Potencia y eje radical
El punto Cr es el centro radical de tres circunferencias de centros O1, O2 y O3.Determina el radio de las dos últimas
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Calcula el punto P, situado a la izquierda de la recta OM, cuya raiz cuadrada de lapotencia, K, respecto de la circunferencia de centro O y el punto M es igual al segmento
cuya sección áurea es el segmento x
Ejercicios de Potencia y eje radical
x
O
M
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Calcula el punto P, situado a la izquierda de la recta OM, cuya raiz cuadrada de lapotencia, K, respecto de la circunferencia de centro O y el punto M es igual al segmento
cuya sección áurea es el segmento x
Ejercicios de Potencia y eje radical
x
O
M
1. Calculamos el segmento m, que tiene por sección áurea el segmento conocido x.
Hacemos la mediatriz de x.
M
A
C
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Calcula el punto P, situado a la izquierda de la recta OM, cuya raiz cuadrada de lapotencia, K, respecto de la circunferencia de centro O y el punto M es igual al segmento
cuya sección áurea es el segmento x
Ejercicios de Potencia y eje radical
x
O
M
2. Trazamos el arco AM, obteniendo así el punto B
M
A
B
C
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Calcula el punto P, situado a la izquierda de la recta OM, cuya raiz cuadrada de lapotencia, K, respecto de la circunferencia de centro O y el punto M es igual al segmento
cuya sección áurea es el segmento x
Ejercicios de Potencia y eje radical
x
O
M
3. Trazamos la circunferencia de radio BA haciendo centro en B
M
B
A
C
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Calcula el punto P, situado a la izquierda de la recta OM, cuya raiz cuadrada de lapotencia, K, respecto de la circunferencia de centro O y el punto M es igual al segmento
cuya sección áurea es el segmento x
Ejercicios de Potencia y eje radical
x
O
M
4. Trazamos el segmento CB y lo prolongamos hasta que corte a la
circunferencia anterior en D
m
A
B
M
A
C
D
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Calcula el punto P, situado a la izquierda de la recta OM, cuya raiz cuadrada de lapotencia, K, respecto de la circunferencia de centro O y el punto M es igual al segmento
cuya sección áurea es el segmento x
5. El segmento CD es m, segmento del cual es sección áurea x
Ejercicios de Potencia y eje radical
x
O
M
m =
k
m
B
M
A
C
D
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Calcula el punto P, situado a la izquierda de la recta OM, cuya raiz cuadrada de lapotencia, K, respecto de la circunferencia de centro O y el punto M es igual al segmento
cuya sección áurea es el segmento x
6. Con ayuda de una circunferencia auxiliar de centro C que pasa por M y es secante a la circunferencia dada O, calculamos el eje radical er. Primero
trazamos la circunferencia auxiliar que pasa por M
Ejercicios de Potencia y eje radical
x
O
C
M
m =
k
m
B
M
A
C
D
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Calcula el punto P, situado a la izquierda de la recta OM, cuya raiz cuadrada de lapotencia, K, respecto de la circunferencia de centro O y el punto M es igual al segmento
cuya sección áurea es el segmento x
Ejercicios de Potencia y eje radical
x
O
C
M
m =
k
m
7. Trazamos el eje radical e1 de C y O, que está en la intersección de ambas
e1
B
M
A
C
D
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Calcula el punto P, situado a la izquierda de la recta OM, cuya raiz cuadrada de lapotencia, K, respecto de la circunferencia de centro O y el punto M es igual al segmento
cuya sección áurea es el segmento x
Ejercicios de Potencia y eje radical
x
O
C
M
e1
e2
m =
k
m
8. Trazamos el eje radical e2 de C y M, que está
en la tangente a C en el punto M. La intersección de e1 y e2 produce el centyro radical Cr
B
M
A
C
D Cr
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Calcula el punto P, situado a la izquierda de la recta OM, cuya raiz cuadrada de lapotencia, K, respecto de la circunferencia de centro O y el punto M es igual al segmento
cuya sección áurea es el segmento x
Ejercicios de Potencia y eje radical
x
O
Cr
C
M
e1
e2
e3
m =
k
m
9. Uniendo O y M por una recta y trazando una perpendicular
a la misma desde Cr obtenemos e3, el tercer eje radical que buscamos.
B
M
A
C
D
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Calcula el punto P, situado a la izquierda de la recta OM, cuya raiz cuadrada de lapotencia, K, respecto de la circunferencia de centro O y el punto M es igual al segmento
cuya sección áurea es el segmento x
Ejercicios de Potencia y eje radical
x
O
C
M
P
e1
e2
e3
m =
k
m = k
m
10. Trazando un arco desde M con la distancia m de radio, obtenemos
el punto P, que pertenece a e3 y dista la distancia m de M
B
M
A
C
D Cr
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Hallar el centro radical Cr de las circunferencias de centros O1, O2 y O3.Determinar gráficamente la raiz cuadrada de la potencia, K, del centro radical
respecto de las tres circunferencias
Ejercicios de Potencia y eje radical
O2
O3
O1
1. Trazamos la circunferencia auxiliar de centro C, secante a las tres circunferencias
dadas.
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Hallar el centro radical Cr de las circunferencias de centros O1, O2 y O3.Determinar gráficamente la raiz cuadrada de la potencia, K, del centro radical
respecto de las tres circunferencias
Ejercicios de Potencia y eje radical
O2
O3
O1
C
2. Hallamos el eje radical e1 entre O1 y O2
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Hallar el centro radical Cr de las circunferencias de centros O1, O2 y O3.Determinar gráficamente la raiz cuadrada de la potencia, K, del centro radical
respecto de las tres circunferencias
Ejercicios de Potencia y eje radical
O2
O3
O1
e1
C
3. Hallamos el eje radical e2, entre O1 y O3. En la intersección de O1 y O2 estará el
centro radical Cr
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Hallar el centro radical Cr de las circunferencias de centros O1, O2 y O3.Determinar gráficamente la raiz cuadrada de la potencia, K, del centro radical
respecto de las tres circunferencias
Ejercicios de Potencia y eje radical
O2
O3
O1
Cr
e1
e2C
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Hallar el centro radical Cr de las circunferencias de centros O1, O2 y O3.Determinar gráficamente la raiz cuadrada de la potencia, K, del centro radical
respecto de las tres circunferencias
Ejercicios de Potencia y eje radical
O2
O3
O1
T
Cr
e1
e2C
4. La raiz cuadrada de la potencia, K, del centro radicalrespecto de las tres circunferencias es el segmento CrT,
siendo T el punto de tangencia entre Cr y O1
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
El punto Cr es el centro radical del punto O y de dos circunferencias de centros O1 y O2. Calcula el radio de esta última.
Ejercicios de Potencia y eje radical
O1
Cr
O2
O
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
El punto Cr es el centro radical del punto O y de dos circunferencias de centros O1 y O2. Calcula el radio de esta última.
Ejercicios de Potencia y eje radical
O1
Cr
O2
O
1. El segmento CrO es K, raiz cuadradade la potencia del punto Cr respecto de
las dos circunferencias O1 y O2
K
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
El punto Cr es el centro radical del punto O y de dos circunferencias de centros O1 y O2. Calcula el radio de esta última.
Ejercicios de Potencia y eje radical
O1
Cr
O2
O
T
2. Desde O2 trazamos una tangente a la circunferencia trazada desde Cr
K
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
El punto Cr es el centro radical del punto O y de dos circunferencias de centros O1 y O2. Calcula el radio de esta última.
Ejercicios de Potencia y eje radical
O1
Cr
O2
O
T
3. el punto de tangencia T pertenece a la circunferencia que buscamos, por tanto ya podemos trazarla
K
Sección áurea del segmento AB y el segmento del cual es sección áurea el segmento AB
A B
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
A B
1. Trazamos una perpendicular a AB desde uno de sus
extremos
Sección áurea del segmento AB y el segmento del cual es sección áurea el segmento AB
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
A M B
2. Trazamos la mediatriz de AB
Sección áurea del segmento AB y el segmento del cual es sección áurea el segmento AB
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
A M B
C
½ AB
3. Se traza el arco BM, que corta a la primera perpendi-cular trazada en el punto C
Sección áurea del segmento AB y el segmento del cual es sección áurea el segmento AB
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
A M B
½ AB
C
4. Unimos A con C mediante una recta
Sección áurea del segmento AB y el segmento del cual es sección áurea el segmento AB
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
A M B
D½ AB
C
5. Trazamos el arco CB, que corta a la recta
anteriormente trazadaen el punto D
Sección áurea del segmento AB y el segmento del cual es sección áurea el segmento AB
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
A M B
D½ AB
C
BA aeruá nóicces
6. El segmento AD es laSECCIÓN ÁUREA de AB.
Sección áurea del segmento AB y el segmento del cual es sección áurea el segmento AB
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
A M B
D½ AB
C
sección áurea AB
7. Abatimos AD sobre ABpara tener la sección áurea
sobre el segmento
Sección áurea del segmento AB y el segmento del cual es sección áurea el segmento AB
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
A
A
M B
D½ AB
C
sección áurea AB
8. Para calcular el segmento delcual es sección áurea AB, completamos el arco CBD
en una circunferencia
Sección áurea del segmento AB y el segmento del cual es sección áurea el segmento AB
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
A
A
M B
D
E
½ AB
C
sección áurea AB
9. La recta que pasaba por A, Dy C, se prolonga y corta la
circunferencia trazada en elpunto E
Sección áurea del segmento AB y el segmento del cual es sección áurea el segmento AB
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
A
A
M B
D
E
½ AB
C
sección áurea AB
segmento del que es sección áurea AB
10. El segmento AE es el segmento del cual es sección
áurea AB
Sección áurea del segmento AB y el segmento del cual es sección áurea el segmento AB
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Sabiendo que el lado de un pentágono regular es sección áurea de su diagonal,dibujar dicho polígono conocidos dos de sus vértices, A y C, no consecutivos
A
Ejercicios de Sección Áurea
C
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Sabiendo que el lado de un pentágono regular es sección áurea de su diagonal,dibujar dicho polígono conocidos dos de sus vértices, A y C, no consecutivos
A
C
Ejercicios de Sección Áurea
1. Primero hallaremos la sección áurea de AC, En primer lugar, por el punto C
levantamos una perpendicular a la diagonal diagonal AC
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Sabiendo que el lado de un pentágono regular es sección áurea de su diagonal,dibujar dicho polígono conocidos dos de sus vértices, A y C, no consecutivos
A
M
C
O
Ejercicios de Sección Áurea
2. Calculamos la mitad de AC, punto M, y trazamos el arco CM, mediante el cual obtenemos el punto O sobre la primera
perpendicular trazada
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Sabiendo que el lado de un pentágono regular es sección áurea de su diagonal,dibujar dicho polígono conocidos dos de sus vértices, A y C, no consecutivos
A
M
C
O
Ejercicios de Sección Áurea
3. Trazamos, con centro en O, el arco de radio OC (OC = 1/2 diámetro)
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Sabiendo que el lado de un pentágono regular es sección áurea de su diagonal,dibujar dicho polígono conocidos dos de sus vértices, A y C, no consecutivos
A
M
P
C
O
Ejercicios de Sección Áurea
4. Trazamos el segmento AO, que corta al arco anterior en el punto P
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Sabiendo que el lado de un pentágono regular es sección áurea de su diagonal,dibujar dicho polígono conocidos dos de sus vértices, A y C, no consecutivos
A
M
P
C
O
Ejercicios de Sección Áurea
5. El segmento AP = l, es la sección áurea de AC, por tanto es el lado que
buscamos
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Sabiendo que el lado de un pentágono regular es sección áurea de su diagonal,dibujar dicho polígono conocidos dos de sus vértices, A y C, no consecutivos
A
M
P
B
C
O
Ejercicios de Sección Áurea
6. Haciendo centro en A y C respectivamente, se trazan sendos
arcos de radio l (AP), que se cortarán en el punto B, vértice del pentágono.
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Sabiendo que el lado de un pentágono regular es sección áurea de su diagonal,dibujar dicho polígono conocidos dos de sus vértices, A y C, no consecutivos
A
M
P
E
D
B
C
O
Ejercicios de Sección Áurea
7. Desde A y C, y con radio igual a la diagonal dada (AC), trazamos sendos
arcos que cortarán a los arcos trazados anteriormente en los puntos que faltan
para completar el pentágono, D y E
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Sabiendo que el lado de un pentágono regular es sección áurea de su diagonal,dibujar dicho polígono conocidos dos de sus vértices, A y C, no consecutivos
A
M
P
E
D
B
C
O
Ejercicios de Sección Áurea
8. Uniendo los vértices A, B, C, D y E,
definimos el pentágono.
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar el rectángulo áureo cuyo lado menor mide 28 mm
Ejercicios de Sección Áurea
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar el rectángulo áureo cuyo lado menor mide 28 mm
Ejercicios de Sección Áurea
28 mmAP
1. Situamos el segmento AP de 28 mm.
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar el rectángulo áureo cuyo lado menor mide 28 mm
Ejercicios de Sección Áurea
28 mmAP
N 2. Trazamos el arco PA, que corta a la perpendicular
trazada desde P en el punto N
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar el rectángulo áureo cuyo lado menor mide 28 mm
Ejercicios de Sección Áurea
28 mmAPM
N 3. Hallamos la mitad de AP, punto M
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar el rectángulo áureo cuyo lado menor mide 28 mm
Ejercicios de Sección Áurea
28 mmAPM
N
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar el rectángulo áureo cuyo lado menor mide 28 mm
Ejercicios de Sección Áurea
28 mmAP
BM
N 4. Trazamos el arco MN, y obtenemos, sobre la
prolongación de AP, el punto B, segundo vértice
del rectángulo
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar el rectángulo áureo cuyo lado menor mide 28 mm
Ejercicios de Sección Áurea
28 mmAPM
N
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar el rectángulo áureo cuyo lado menor mide 28 mm
Ejercicios de Sección Áurea
28 mmA
CD
PB
M
N
5. Trazamos la paralela a AB desde N, y las
perpendiculares a AB desde dichos puntos.
Así obtenemos el rectángulo completo
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar el rectángulo áureo cuyo lado mayor es AB
Ejercicios de Sección Áurea
A BB
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar el rectángulo áureo cuyo lado mayor es AB
Ejercicios de Sección Áurea
A BB
1. Trazamos una perpendicular a AB desde uno de sus
extremos
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar el rectángulo áureo cuyo lado mayor es AB
Ejercicios de Sección Áurea
A M B
2. Trazamos la mediatriz de AB
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar el rectángulo áureo cuyo lado mayor es AB
Ejercicios de Sección Áurea
A M B
C
½ AB
3. Se traza el arco BM, que corta a la primera perpendi-cular trazada en el punto C
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar el rectángulo áureo cuyo lado mayor es AB
Ejercicios de Sección Áurea
A M B
½ AB
C
4. Unimos A con C mediante una recta
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar el rectángulo áureo cuyo lado mayor es AB
Ejercicios de Sección Áurea
A M B
D½ AB
C
5. Trazamos el arco CB, que corta a la recta
anteriormente trazadaen el punto D
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar el rectángulo áureo cuyo lado mayor es AB
Ejercicios de Sección Áurea
A M B
D½ AB
C
BA aeruá nóicces
6. El segmento AD es laSECCIÓN ÁUREA de AB.
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar el rectángulo áureo cuyo lado mayor es AB
Ejercicios de Sección Áurea
A M B
D½ AB
CBA
aer
uá
nói cc
es
7. Trazamos una perpendicularen A con medida AD
(sección áurea de AB)
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar el rectángulo áureo cuyo lado mayor es AB
Ejercicios de Sección Áurea
A M B
D½ AB
C
F E
BA
aer
uá
nói cc
es
8. Trazamos el rectángulo ABEF
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar un cuadrado equivalente al rectángulo áureo cuyo lado mayor es el segmento dado
Ejercicios de Sección Áurea
B Am
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar un cuadrado equivalente al rectángulo áureo cuyo lado mayor es el segmento dado
Ejercicios de Sección Áurea
B A
1.El lado menor x del rectángulo áureo es sección áurea del mayor m. A partir de m calculamos su áureo, x
m
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar un cuadrado equivalente al rectángulo áureo cuyo lado mayor es el segmento dado
Ejercicios de Sección Áurea
B Am
1.El lado menor x del rectángulo áureo es sección áurea del mayor m. A partir de m calculamos su áureo, x
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar un cuadrado equivalente al rectángulo áureo cuyo lado mayor es el segmento dado
Ejercicios de Sección Áurea
B Am
1.El lado menor x del rectángulo áureo es sección áurea del mayor m. A partir de m calculamos su áureo, x
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar un cuadrado equivalente al rectángulo áureo cuyo lado mayor es el segmento dado
Ejercicios de Sección Áurea
B
x
Am
1.El lado menor x del rectángulo áureo es sección áurea del mayor m. A partir de m calculamos su áureo, x
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar un cuadrado equivalente al rectángulo áureo cuyo lado mayor es el segmento dado
Ejercicios de Sección Áurea
B
x
x
Am
1.El lado menor x del rectángulo áureo es sección áurea del mayor m. A partir de m calculamos su áureo, x
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar un cuadrado equivalente al rectángulo áureo cuyo lado mayor es el segmento dado
Ejercicios de Sección Áurea
B
DC
x
x
Am
2.Teniendo x y m, podemos trazar el rectángulo
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar un cuadrado equivalente al rectángulo áureo cuyo lado mayor es el segmento dado
Ejercicios de Sección Áurea
B
D NC
x
x
x
m
Am
3. Para trazar el cuadrado equivalente al rectángulo ABCD, debemos tener en cuenta que el lado l del cuadrado ha
de ser media proporcional de m y x
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar un cuadrado equivalente al rectángulo áureo cuyo lado mayor es el segmento dado
Ejercicios de Sección Áurea
B
DC
x
x
x
m
Am
4. AN es l : lado del cuadrado que buscamos, el cateto media proporcional entre x y m (en
este caso se ha utilizado el teorema del cateto)
N
l
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
Dibujar un cuadrado equivalente al rectángulo áureo cuyo lado mayor es el segmento dado
Ejercicios de Sección Áurea
B
DC
x
x
x
m
Am
4. AN es l : lado del cuadrado que buscamos, el cateto media proporcional entre x y m (en
este caso se ha utilizado el teorema del cateto)
N
l