Permasalahan:

Pada penerapan persamaan Schrödinger bebas waktu dalam partikel yang bergerak di bawah

pengaruh potensial tangga, jika energi lebih kecil dari potensial penghalang ( < Vo) maka:

Menurut fisika klasik R = 1, yang berarti setiap gelombang yang datang akan dipancarkan akan

diantulkan seluruhnya dan tidak dapat ditransmisikan, sedangkan menurut mekanika kuantum

gelombang tidak hanya dapat dipantulkan tetapi selalu masih ada kemungkinan gelombang yang

dapat ditransmisikan, sehingga hubungan R + T = 1 akan terpenuhi. Buktikan!

Pembahasan:

Penerapan persamaan Schrödinger bebas waktu dalam partikel yang bergerak di bawah pengaruh

potensial tangga sebagai berikut,

Dalam hal ini partikel tidak mungkin memiliki energi total E<0, sebab jika E<0 energi kinetiknya

negatif di mana-mana. Jadi hanya ada dua macam nilai E yang mungkin dimiliki oleh partikel,

yaitu E>V0 dan 0<E<V0.

Untuk 0<E<V0

Gambar tersebut menyajikan plot fungsi energi potensial dan energi total E terhadap posisi x.

Persamaan Schrödinger bebas waktu di daerah I sebagai berikut,

Persamaan Schrödinger bebas waktu dalam satu dimensi adalah

Untuk daerah I, V(x) = 0, sehingga PSBW menjadi

Kalikan dengan , maka diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis

Persamaan Schrödinger bebas waktu di daerah II sebagai berikut,

PURNAMI

V(x)

V0

E

X0

I II

Untuk daerah I, V(x) = V0, sehingga PSBW menjadi

Kemudian kalikan kedua ruas dengan 2

2

m

, maka diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

Dengan demikian penyelesaian umum persamaan Schrödinger bebas waktu di daerah I sebagai

berikut,

,

Dan penyelesaian umum Persamaan Schrödinger bebas waktu di daerah II sebagai berikut,

,

Penyelesaian umum di daerah I sudah memenuhi syarat kelayakan (berhingga dan

kontinu). Perhatikan bahwa meskipun di x = , fungsi ini masih berhingga sebab

nilai maksimum fungsi ini adalah 1. Untuk penyelesaian di daerah II, karena di daerah ini nilai x

merupakan bilangan positif dari 0 sampai tak berhingga, maka suku pertama dapat

menyebabkan bernilai tak berhingga. Karena harus berhingga di mana-mana maka

suku ini tidak boleh muncul dalam penyelesaian. Dengan demikian kita harus memilih B 1 = 0.

Jadi penyelesaian di daerah II adalah .

Kombinasi penyelesaian di daerah I dan II harus menghasilkan fungsi yang kontinu di

mana-mana, dari sampai . Untuk sebarang nilai A da B, fungsi tersebut telah memenuhi

syarat kontinuitas kecuali di x = 0, maka didapatkan

A1 + A2 = B2, yang diperoleh dari pengkontinuan , yaitu .

ik (A1 – A2) = - B2 diperoleh dari pengkontinuan yaitu .

Sehingga diperoleh hubungan dan

Dengan demikian didapatkan penyelesaian persamaan Schrödinger bebas waktu sebagai berikut,

untuk dan

untuk

PURNAMI

Besarnya peluang partikel dipantulkan oleh suatu besaran yang dinamai koefisien refleksi (R). R

didefinisikan sebagai perbandingan rapat arus peluang partikel pantul terhadap rapat arus peluang

partikel datang. Rapat arus peluang partikel datang dengan menggunakan fungsi gelombang

hasilnya . Rapat arus peluang partikel pantul dengan menggunakan fungsi

gelombang hasilnya maka . Berarti

partikel pasti dipantulkan.

Untuk E>V0

Gambar tersebut menyajikan plot fungsi energi potensial dan energi total E terhadap posisi x.

Persamaan Schrödinger bebas waktu di daerah I maupun di daerah II memiliki bentuk

Dengan demikian penyelesaian umum di daerah I berbentuk, ,

Dan penyelesaian umum di daerah II berbentuk, ,

Ketika partikel sampai di dekat x = 0, partikel mendapatkan gaya pembalik sebesar

Akibatnya, walaupun energi partikel cukup untuk mengatasi tinggi potensial di x>0, ada peluang

bagi pertikel itu untuk dipantulkan. Karena di sepanjang x>0 tidak ada perubahan potensial maka

partikel tidak mungkin dipantulkan. Dengan demikian di daerah ini harus tidak ada gelombang

yang merambat ke kiri. Oleh sebab itu, kita harus membuang gelombang ini dari penyelesaian di

daerah II. Caranya adalah dengan memilih B2 = 0. Untuk mendapatkan penyelesaian yang

kontinu di mana-mana, kita paksa penyelesaian di kedua daerah tersebut kontinu di x = 0, dan

nantinya akan dihasilkan hubungan sebagai berikut, A1 + A2 = B1 yang diperoleh dari

pengkontinuan , yaitu .

k (A1 – A2) = - B1 yang diperoleh dari pengkontinuan yaitu .

Dari hubungan tersebut, diperoleh hubungan dan

PURNAMI

V(x)

V0

E

X0

I II

Dengan demikian penyelesaian umum persamaan Schrödinger bebas waktu adalah sebagai

berikut, untuk dan untuk . Tetapi

integrasi A1 dapat ditentukan dengan menormalkan, yaitu membuat .

Sekarang kita hitung berapa peluang partikel dipantulkan. Untuk itu kita hitung koefisien

refleksinya. Dengan argumen seperti sebelumnya, besarnya koefisien refleksi pada sistem ini

adalah:

...........................(1)

Persamaan di atas menyatakan bahwa koefisien refleksi tidak sama dengan 1, artinya

ada peluang bagi partikel untuk diteruskan. Patut diduga bahwa besarnya koefisien transmisi

tersebut adalah sebagian suku yang mengurangkan angka 1 tadi, yaitu suku terakhir persamaan

(1). Lalu hitung besar koefisien transmisi dengan prosedur yang sama dengan penjabaran

koefisien refleksi tadi.

Koefisien transmisi (T) didefinisikan sebagai perbandingan rapat arus peluang bagi

partikel terteruskan terhadap rapat arus peluang bagi partikel datang. Dalam kasus ini, rapat arus

peluang bagi partikel terteruskan adalah , dengan ( ) menyatakan kecepatan

gelombang terteruskan, yaitu , dan menyatakan rapat peluang yang diasosiasikan

dengan gelombang terteruskan tersebut. Sehingga besar koefisien transmisi adalah:

Persamaan (1) menunjukkan bahwa ada peluang bagi partikel untuk dipantulkan lagi ke

daerah I. Adanya peluang partikel dipantulkan ini bertentangan dengan fisika klasik. Menurut

fisika klasik partikel pasti diteruskan karena gaya pembalik yang dirasakan partikel terlalu kecil

dibandingkan energi totalnya. Pertentangan ini dapat dipertemukan pada kasus dimana E>>V0.

Untuk menunjukkan hal ini, kita ubah persamaan (1) menjadi bentuk yang secara eksplisit

memuat E. Dengan menggunakan definisi k dan sebagaimana yang dinyatakan pada

penyelesaian umum di daerah I dan penyelesaian umum di daerah II maka persamaan menjadi:

Ungkapan ini menunjukkan bahwa semakin besar E maka semakin kecil nilai R. Jika

E>>V0 sehingga . Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa tinjauan

kuantum sama dengan tinjauan klasik jika energi partikel jauh lebih besar daripada tinggi

potensial tangga.

PURNAMI