povijest matematike (history of math)

POVIJEST

MATEMATIKE

SREDNJA ŠKOLA NOVSKA

ŠKOLSKA GODINA 2014./2015.

eTwinning projekt „History of Math“

voditelj: Gordana Divić, prof. mentor

1

SADRŽAJ

UVOD ............................................................................................................................................................... 2

SUMERSKA I BABILONSKA MATEMATIKA ........................................................................................................ 3

EGIPATSKA MATEMATIKA ............................................................................................................................... 6

GRČKA MATEMATIKA .................................................................................................................................... 12

KINESKA, INDIJSKA I ARAPSKA MATEMATIKA ............................................................................................... 16

TALES ............................................................................................................................................................. 27

PITAGORA ...................................................................................................................................................... 31

PLATON ......................................................................................................................................................... 36

EUKLID ........................................................................................................................................................... 41

ARHIMED ....................................................................................................................................................... 44

DIOFANT ........................................................................................................................................................ 47

AL HVARIZMI ................................................................................................................................................. 51

FIBONACCI ..................................................................................................................................................... 54

VIÈTE ............................................................................................................................................................. 58

JOHN NAPIER ................................................................................................................................................. 62

HENRY BRIGGS .............................................................................................................................................. 65

RENÉ DESCARTES........................................................................................................................................... 67

CAVALIERI ...................................................................................................................................................... 71

BLAISE PASCAL .............................................................................................................................................. 75

LEIBNIZ & NEWTON ....................................................................................................................................... 78

DE MOIVRE .................................................................................................................................................... 81

EULER ............................................................................................................................................................ 83

GAUSS ........................................................................................................................................................... 88

CAUCHY ......................................................................................................................................................... 93

JOHN NASH ................................................................................................................................................... 96

ZAKLJUČAK .................................................................................................................................................... 99

LITERATURA ................................................................................................................................................. 100

2

UVOD

Povijest matematike djelo (knjiga) je nastalo kroz eTwinning projekt History of Math koji je

Srednja škola Novska iz Hrvatske provela u suradnji sa srednjom školom 2ο ΓΕΛ Έδεσσας iz

Grčke tijekom 2014./2015. školske godine. Naslovna slika je logo projekta za koji smo se

većinskim glasanjem odlučili.

U projektu su sudjelovali učenici u dobi od 16 do 19 godina čiji je zadatak bio istražiti dijelove

prošlosti u kojima se rađala matematika te pojedine matematičare (koje spominjemo u

kurikulu matematike) i njihove doprinose razvoju matematike. Surađivali su i dogovarali se

oko svojih zadataka međusobno i sa svojim grčkim kolegama.

Učenici Srednje škole Novska koji su sudjelovali u projektu:

1. Antonio Jakubek

2. Ella Cink

3. Doroteja Lukić

4. Ariana Gobac

5. Kornelija Čidić

6. Petra Kalanja

7. Marija Kožarić

8. Stella Moguš

9. Kristina Komljenović

10. Dominik Domitrović

11. Marko Crnojević

12. Barbara Mašunjac

13. Karolina Marenić

14. Laura Iličić

15. Patricia Kujundžić

16. Andrea Pupilo

17. Ivan Jurić

18. Antonio Horaček

19. Stjepan Marijan

20. Iva Ciprijanović

21. Tomislav Cikojević

22. Marta Ćurić

23. Ivan Brtan

24. Lana Matičević

i napisali 24 poglavlja ili priče ove knjige.

Projekt su zajedničkim snagama vodili nastavnici iz Grčke:

1. Elleni Stogiannou (osnivač)

2. Apostolos Tintinidis

te iz Hrvatske:

3. Gordana Divić (osnivač)

4. Tamara Tomić

Osim što su sudjelovali u pisanju ovoga djela, učenici su napravili i PowerPoint prezentacije

pomoću kojih su projekt predstavili nastavnicima matematike Sisačko-moslavačke županije za

koje su priredili i izložbu plakata te također nastavnicima i učenicima Srednje škole Novska

povodom Dana eTwinninga.

Svi zajedno uređivali su i stranicu projekta: http://twinspace.etwinning.net/490/home.

http://twinspace.etwinning.net/490/home

3

SUMERSKA I BABILONSKA MATEMATIKA

Antonio Jakubek, 4.g

Naše prvo znanje o matematici dolazi od Egipćana i Babilonaca. Obje su civilizacije razvile

matematiku koja je slična po opsegu, ali različita u pojedinostima. Babilonska matematika je

datirana za 4000 g. prije Krista sa Sumeranima u Mezopotamiji. Ipak, malo se zna o

Sumeranima. Sumer je prvi put naseljen između 4500 i 4000 godina prije Krista od strane ne

semitskih ljudi koji ne govore sumerski jezik. Danas se ti ljudi zovu Ubaidiansi, od sela Al-Ubaid

gdje su otkriveni njihovi posmrtni ostatci. Još je manje poznato o njihovoj matematici.

Sumerani su naselili Mezopotamijsku dolinu gdje su izgradili domove i hramove te ih ukrasili

umjetničkim posudama i mozaicima geometrijskih oblika. Raniji Sumerani su imali brojeve, ali

zbog nedostatka sredstava su se morali prilagoditi sveprisutnoj glini i razvoju pisma na

glinenim pločicama. Ostali narodi poput Babilonaca, Asiraca i Hitija naslijedili su Sumerski

zakon i književnost i, što je još važnije, njihov stil pisanja. Mezopotamska civilizacija često se

naziva Babilonska, ali to nije točno. Babilon nije bio prvi veliki grad, ali cijela civilizacija se

naziva Babilonska. Čak ni tijekom svog postojanja nije bio centar mezopotamske kulture.

Babilonska kultura se razvila oko 2000 godina prije Krista propašću sumerske civilizacije u

Mezopotamiji, području koje danas dijelom pripada Iraku. Babilonci su od Sumerana naslijedili

ideje za heksagezimalni brojevni sustav i klinasto pismo kojim su pisali po glinenim pločicama.

Babilonci su koristili brojevni sustav s bazom 60 koji su Sumerani razvili 2500. godine prije

Krista. Mnogi kao razlog navode velik broj djelitelja broja 60 (koji je najmanji prirodni broj

djeljiv sa 1, 2, 3, 4 i 5). Ono što smo zadržali do danas od Sumerana je podjela tjedna na 7 dana,

dana na 24 sata, sata na 60 minuta i minute na 60 sekundi.

Slika 1. Znamenke u babilonskom brojevnom sustavu

Babilonci su za prikaz brojeva koristili samo dva osnovna oblika; koristili su simbol za broj 10

(slika 1) i simbol za broj 1 ili 60 (slika 2).

Slika 2. Babilonski simbol za broj 10 Slika 3. Babilonski simbol za broj 1 ili 60

4

Babilonci nisu imali simbol za nulu niti simbol za decimalnu točku te se sve moralo prosuđivati

iz konteksta, što je vrlo kompliciralo tumačenje nalaza iz tog doba.

Slika 4. Plimpton 322

Pločica Plimpton 322 veličine je današnjeg džepnog računala te sadrži jedan redak čistog teksta

i tablicu brojeva s 4 stupca i 15 redaka. Pločica je djelomična u lijevom gornjem kutu, pa

nedostaje dobar dio prvog stupca, dok su drugi, treći i četvrti stupac potpuno vidljivi. U

početku se smatralo kako je Plimpton 322 samo još jedan primjer babilonskog zapisa, no,

početkom 40-ih godina prošlog stoljeća su povjesničari Otto Neugebauer i Abraham Sachs

primijetili kako reci na pločici zadovoljavaju zanimljivo svojstvo, usko vezano uz takozvane

Pitagorine trojke. To su uređene trojke prirodnih brojeva (a, b, c) koje zadovoljavaju jednakost

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2. Brojevi u srednja dva stupca su upravo duljine kraće stranice b i hipotenuze c

pravokutnog trokuta (gdje je b>a). Autor ove pločice je načinio i nekoliko pogrešaka. Pogrešku

u drugom retku možemo lako provjeriti jer pravokutni trokut duljine hipotenuze 11521 i jedne

katete 3367 nema drugu katetu cjelobrojne duljine. To ipak ne umanjuje činjenicu kako je

Plimpton 322 dokaz da su Pitagorine trojke bile poznate i tisućama godina prije pojave

matematičara antičke Grčke.

Slika 5. Nalizište u Nipuru

Nalazište u Nipuru blizu hrama u obliku stepenaste piramide (tzv. zigurat) je primjer izrazitog

matematičkog znanja Babilonaca. Na tom je mjestu nađeno oko 50 000 glinenih tablica koje

svjedoče znatnom matematičkom znanju.

5

Slika 6. i 7. Trokutasti, kvadratni i piramidalni nizovi brojeva

Babilonci su izgrađivali nizove koji uključuju trokutaste brojeve (1, 3, 6, 10, 15 itd.), kvadratne

brojeve (1, 4, 9, 16, 25 itd.) i piramidalne brojeve (1, 5, 14, 30, 50 itd.).

Primjer korištenja niza piramidalnih brojeva je slagalište municije u Calcutti sredinom 19. st.

Slagali su topovske kugle u piramide da što bolje iskoriste prostor (druga hrpa sa desne strane).

Poznavanje piramidalnih brojeva omogućavalo ja lako izračunavanje broja đuladi (topovske

kugle).

Slika 8. municija u Calcutti

6

EGIPATSKA MATEMATIKA

Ella Cink, 4.g

Jedna od najranijih velikih civilizacija bila je staroegipatska, stoga kod njih i nalazimo neke od

prvih matematičkih ideja. Najstarija egipatska bilješka o broju potječe otprilike oko 3300.

godine prije Krista. Staroegipatska matematika jedna je od najranijih epoha te znanosti. Jedna

od prvih grana matematike bila je geometrija. O staroegipatskoj matematici najviše

doznajemo iz papirusa, a dva najvažnija su Ahmesovo ili Rhindovo i Moskovsko.

Moskovski papirus pisan je na hijeratskom pismu,

te se temelji na podatcima iz 1800. godine pr.Kr.

Autor ovog papirusa nije poznat, a papirus sadrži 25

zadataka. U njemu nalazimo zadatke vezane uz

količinu radnika i posla, računanje plovidbe i stvari

vezanih za računanje količine hrane. Jedan dio

posvećen je geometriji, posebno trokutu,

površinama i volumenima piramida. U Moskovskom

papirusu nalaze se i najveća dostignuća egipatske

geometrije. Dužine je oko pola metra i širine malo

manje od 8 centimetara. Moskovski papirus otkrio je 1893. godine V. S. Golenichev. Čuva se u

Moskovskom muzeju.

Ahmesov ili Rhindov papirus je 1858. otkrio škotski egiptolog

Henry Rhind u Luxoru. Napisao ga je pisar Ahmes oko 1650.

godine pr.Kr. Ovaj svitak duljine 6 m i širine 30 cm danas se čuva

u British Museumu u Londonu. U samom papirusu piše da je to

"studija o svim stvarima, pogled u unutrašnjost svega što

postoji, saznanje o tamnim tajnama". Ahmesov papirus je

zbirka tablica i vježbi sa 87 matematičkih problema. Papirus

sadrži vježbe iz aritmetike, algebre, geometrije i raznih

mjerenja. Poseban dio posvećen je razlomcima. U njemu se

nalazi i najstariji poznati i sačuvani zapis broja π.

Stari Egipćani imali su oznake za svoje brojeve i razvijeni decimalni sustav. Koristili su brojevni

sustav s bazom 10, a jedna od glavnih razlika između hijeratskih brojeva i našeg brojevnog

sustava je taj da hijeratski brojevi nisu bili pisani u sustavu mjesnih vrijednosti. Znamenke se

mogu pisati bilo kojim redoslijedom. Hijeratski je sustav adicijski sustav.

7

Pisali su po kamenu, hijeroglifskim znacima s lijeva na desno, ali i obrnuto. Ponekad su pisali

odozgo prema dolje. Egipatski način pisanja nije pozicijski. Princip pisanja brojeva je

jednostavan, npr. broj 7 je 7 crtica --->

Manji znakovi grupiraju se po dva dok duguljasti stoje sami.

Broj 13

Broj 456

Broj 1339

8

Egipatski brojevni sustav nije bio pogodan za računanje, a trgovina je zahtijevala zbrajanje,

oduzimanje, množenje, dijeljenje i rad s razlomcima.

Kod zbrajanja koristio se ovaj znak koji bi se okrenuo kada se oduzimalo.

Zbrajalo se skupljanjem istih simbola zajedno i pretvaranjem njih 10 u jedan simbol sljedeće

razine.

Oduzimalo se tako što odmicao određeni broj istih simbola.

Egipćani su brojeve množili tako što su posjedovali tablice množenja s 2, npr. množenje 35 s

5 34 – 1

68 – 2

136 – 4

Na desnoj strani moramo naći pribrojnike koji će zajedno zbrojeni dati drugi pribrojnik 5 (to

su 1 i 4). Ti reci se podebljaju i zbrojimo ono što je s lijeve strane (34 + 136=170).

9

Brojevi su se analogno i dijelili, npr. 54 sa 7. Počnemo pisati s djeliteljem 7, a s druge strane

krenemo s 1 i udvostručavamo. 7 – 1

14 – 2

28 – 4

Od djeljenika oduzimamo lijevu stranu dok više ne možemo oduzimati 54 – 28 = 26, 26 – 14

= 12, 12 – 7 = 5. Tako smo dobili i ostatak (5), zatim brojeve koje smo dijelili zacrnimo i

zbrojimo desnu stranu. Konačno rješenje je 54 : 7 = 7 cijelih i 5 ostatka

RAZLOMCI

Egipćani su razlomke označavali na način koji nema sličnosti niti s jednom drugom kulturom.

Svaki razlomak pisali su s jediničnim brojnikom, a kada to nije bilo moguće, prikazivali su ga

kao zbroj takvih. Poznavali su samo jedinične razlomke, tj. razlomke s brojnikom 1. Iznimka u

tome je bio razlomak 2

3. Razlomci su zapisivani tako da je iznad nazivnika stavljen hijeroglif koji

je označavao "otvorena usta".

oko boga Horusa

Stari Egipćani vjerovali su da ih simbol „Rx“ štiti od zla. U matematiku su ugradili simboliku pa

su razvili i brojevni sustav koji se koristio za prepisivanje lijekova, podjelu zemlje ili sjemenja.

Razlomke su tvorili tako što su kombinirali pojedine dijelove simbola oka boga Horusa. Svaki

dio imao je različitu vrijednost, cjelokupni simbol oka ima vrijednost 1, a cijeli sustav temelji

se na podjeli na polovice.

10

GEOMETRIJA

Za izgradnju piramida i hramova Egipćani su morali imati dobro razvijenu geometriju i

stereometriju. Znali su računati nagib i obujam piramide, te obujam krnje piramide. Računali

su površinu trokuta kao 1

2 umnoška dviju kraćih stranica, također su znali izračunati i površinu

pravokutnika kao umnožak duljina njegovih stranica. U Ahmesovom papirusu pronađeno je

kako su računali površinu kruga. Suvremenim matematičkim jezikom ta formula glasila bi

𝑃 = (8

9 ∙ 𝑑𝑖𝑗𝑎𝑚𝑒𝑡𝑎𝑟)

2

, a kada bi ju usporedili s točnom formulom površine kruga 𝑃 = 𝑟2𝜋

što znači da su stari Egipćani prije stvarnog otkrića broja π znali njegovu približnu vrijednost (π

≈ 3.1605).

11

ALGEBRA

Staroegipatska algebra bila je retorička, problemi i rješenja dani su riječima. Rješavali su

jednadžbe prvog stupnja tako da su obavezno provodili analizu i sintezu pri rješavanju. Svako

rješenje su uvrštavali u početni problem da se uvjere da je dobro riješen. Stari Egipćani nisu

poznavali oznake za množenje, dijeljenje, jednakost, drugi korijen, decimalnu točku, nisu znali

ni za obični razlomak. Koristili su se sedmeroznamenkastim brojevima, u svojim računima imali

su mješavinu jednostavnosti i kompliciranosti, a taj se koncept prikazuje kao jedinstvena i

zatvorena cjelina. Zbog toga se može reći da je egipatska matematika jedini sačuvani

primjerak računske tehnike koja je bila vrlo razvijena. U cijelom svom razvoju nije doživjela

nikakav diskontinuitet te se u potpunosti temelji na osnovi računanja (brojenju i pojmu

razlomka).

12

GRČKA MATEMATIKA

Doroteja Lukić, 3.g

Izraz „grčka matematika“, koristimo kada govorimo o matematici koja je temeljena na

starogrčkim tekstovima te razvijena od 7. stoljeća prije Krista do 4. stoljeća poslije Krista duž

istočnih obala Mediterana. Poveznice između grčkih matematičara koji su živjeli u različitim

gradovima duž cijelog istočnog Mediterana, od Italije pa sve do Sjeverne Afrike, bili su upravo

zajednička kultura i jezik. Također, sam izraz „matematika“ potječe upravo od grčke riječi

mathema što znači – znanost. Glavna razlika između grčke matematike i matematika razvijenih

u prethodnim civilizacijama je u proučavanju matematike zbog samog proučavanja i korištenju

općih matematičkih dokaza i teorija.

Kako je grčko carstvo počelo širiti svoju sferu utjecaja na Malu Aziju, Mezopotamiju pa i dalje,

Grci su bili dovoljno pametni kako bi prisvojili i preradili korisne elemente naroda koje su

pokorili. Ovo se najviše vidi na njihovoj matematici, prisvojili su elemente matematike ne samo

od Babilonaca već i od Egipćana. Uskoro su počeli donositi važan doprinos te po prvi put

možemo razaznati doprinos pojedinaca. Do Helenističkog vremena, Grci su predsjedali

najdramatičnijom i najvažnijom revolucijom u matematici ikad.

U početku su se Grci bavili matematikom imajući jedan osnovni cilj – shvaćanje čovjekovog

mjesta u svemiru. O vremenu stvaranja grčke matematike možemo zaključiti na osnovi manjih

sastavnica, koje se nalaze u kasnijim radovima, kao i na osnovi zapažanja filozofa i drugih

13

znanstvenika koji nisu bili samo matematičari. Ona je u usporedbi sa ostalim znanostima

dostigla najviši nivo teorijskog razvitka.

U vrijeme pojave prvih zapisa o grčkoj matematici su grčki trgovci već bili naučili od svojih

egipatskih kupaca kako je za pisanje korisno upotrebljavati papirus jer se lakše prenosi i čuva

nego glinene pločice.

Vrijeme tijekom kojega su grčke mediteranske zajednice dale trajan doprinos razvoju

matematike može se podijeliti u tri velike faze: prva, koja nije ostavila nikakvih pisanih tragova,

proteže se od Talesa i Pitagore do Demokrita, od 600. do 400. godine prije Krista; druga, čiju

osnovu predstavlja Platonovo učenje, dolazi do vrhunca u Euklidovom sustavu; za treću ili

aleksandrijsku fazu karakteristično je odstupanje od formalizama i jak osjećaj za praktičnu

primjenu matematike.

Grčka tradicija ističe Talesa kao osnivača grčke matematike. Iako o tome nema

dokumentiranih dokaza ranijih od jednog stoljeća nakon Talesove smrti, jer rukopisi koji su se

sačuvali pripadaju vremenu Kršćanstva i Islama i samo veoma malo dopunjuju bilješke u

egipatskim papirusima, koji su nešto starijeg datuma, klasična filozofija je pomogla da se

rekonstruiraju tekstovi iz 4. stoljeća pr. Kr., kao i tekstovi iz bližeg perioda. Zahvaljujući tome

imamo solidna izdanja Euklida, Arhimeda, Apolonija i drugih velikih antičkih matematičara.

Međutim, ti tekstovi sadrže već potpuno izgrađenu matematičku znanost pa je teško, čak i

pomoću kasnijih komentara, pratiti tijek povijesnog razvoja. Prema tome, o razdoblju

formiranja grčke matematike možemo zaključivati samo na osnovi manjih sastavnica, koje se

nalaze u kasnijim radovima, kao i na osnovi zapažanja filozofa i drugih autora, koji nisu bili

samo matematičari. Veoma mnogo pažnje i truda bilo je posvećeno kritici tekstova i na osnovu

toga je osvijetljen veliki broj tamnih mjesta iz tog ranog perioda. Radovi raznih istraživača

omogućili su nam da steknemo dosta povezanu, iako samo hipotetsku sliku grčke matematike

u razdoblju njenog formiranja.

Drevni grčki brojevni sustav u potpunosti je razvijen oko 450. godine pr. Kr., a u redovnoj

upotrebi vjerojatno već u 7. stoljeću prije Krista. To je sustav sa bazom 10, sličan ranijem

egipatskog sustavu (pa čak i sličniji kasnijem rimskom sustavu), sa simbolima za 1, 5, 10, 50,

100, 500 i 1.000 ponavljanim onoliko puta koliko je potrebno za dobivanje željenog broja.

14

Većina Grčke matematike zapravo se temelji na geometriji. Tales se smatra prvim

matematičarem koji je postavio smjernice za apstraktni razvoj geometrije, iako se ono što

danas znamo o njegovom radu čini poprilično osnovnim. Tales je uspostavio, ono što je

danas poznato kao Talesov poučak. On govori da ako je trokut ucrtan u krug s dužom stranom

kao promjerom kruga, onda će suprotni kut uvijek biti pravi kut. On je također zaslužan

za drugi teorem, također poznat kao Talesov poučak, koji kaže da su kod jednakokračnih

trokuta kutovi uz osnovicu jednaki te da ako se jednake prave crte povuku dalje, kutovi pod

osnovicom bit će jednaki.

Legendarni matematičar iz 6. stoljeća pr.Kr., Pitagora, postao je sinonim rađanja grčke

matematike. Vjeruje se da je on izmislio obje riječi, „filozofija“ (ljubav spram mudrosti“) i

„matematika“ (ono što se nauči). Pitagora je vjerojatno prvi shvatio da cijeli sustav

matematike može biti izgrađen, gdje bi geometrijski elementi predstavljali brojeve. Pitagorin

poučak je jedan od najpoznatijih matematičkih poučaka. On postaje kontroverzna figura, ali

grčka matematika nipošto nije ograničena na jednog čovjeka.

Međutim, sigurno je istina da je Pitagora značajno utjecao na one koji su došli poslije njega,

uključujući i Platona, koji je osnovao svoju poznatu Akademiju u Ateni 387. godine prije Krista

te njegova štićenika Aristotela, čiji se rad na logici smatrao definitivnim više od dvije tisuće

15

godina. Platon je najpoznatiji po svom opisu pet Platonovih krutih tijela, ali vrijednost

njegovog rada kao učitelja i popularizatora matematike ne može biti precijenjena.

Možda je najvažniji pojedinačni doprinos Grka ideja dokaza i deduktivna metoda korištenja

logičkih koraka za dokazivanje ili opovrgavanje teorija. Starije kulture, poput Egipćana i

Babilonaca, oslonile su se na induktivno zaključivanje, koje koristi ponavljano promatranje

kako bi se ustvrdila pravila. Upravo je ovaj koncept dokazivanja, ono sto je dalo matematici

svoju snagu i osigurava da su dokazane teorije istinite i danas kao što su bile i prije dvije tisuće

godina te je postavilo temelje za sustavni pristup matematici Euklidu i onima koji su došli

poslije njega.

Matematika je doprinijela DA SE UVEDE RED, DA SE IDEJE POVEŽU U LOGIČNE NIZOVE TE

DA SE OTKRIJU OSNOVNI PRINCIPI.

16

KINESKA, INDIJSKA I ARAPSKA MATEMATIKA

Ariana Gobac, 3.g

KINA

Matematičari ove zemlje pisali su kineskim znakovljem te je kao takva bila izdvojena od drugih

civilizacija koje nisu bile upoznate s tim znakovljem. Kina je ostatku svijeta postala poznata tek

zahvaljujući Marku Polu, te raznim drugim misionarima (Isusovcima) koji su putujući svijetom

i trgujući došli u kontakt s kineskom civilizacijom i matematikom.

Zbog oskudno sačuvanih pisanih dokumenata ne zna se mnogo o matematici drevne Kine, te

o njenim začecima, no prilično je sigurno da počeci astronomije i matematike drevne Kine sežu

barem u 3. tisućljeće prije naše ere. Naime, u to doba Kinezi su već imali detaljno razrađen

kalendar, što dokazuje da je i aritmetika morala biti jako razvijena jer bez nje se ne bi mogli

napraviti proračuni potrebni za sastavljane imalo razvijenijeg kalendara.

Najstariji sačuvani matematički tekstovi potječu tek iz doba oko 200. pr.Kr., no to je posljedica

spaljivanja svih knjiga godine 213. pr.Kr. po naredbi vladajućeg tiranina.

Prema starim kronikama ˝Žuti car˝ Huang – Ti (vladao Kinom u 27.st pr. Kr.) dao je naredbe

svojim podanicima tj. zadao im je zadatke što moraju istraživati. Tako je trima znanstvenicima

dao zadatak da proriču pomoću Sunca, Mjeseca i zvijezda. Četvrtom znanstveniku dao je

zadatak da stvori glazbene note, petom znanstveniku Tai – Naou naredio je da konstruira

heksagezimalni sustav (Chia – Tsu), šesti znanstvenik Li – Skouu dobio je zadatak da izgradi

brojeve i umjetnost aritmetike, a posljednji sedmi znanstvenik dobio je zadatak da regulira

svih tih šest vještina te razradi kalendar.

Koristili su se heksagezimanim sustavom. To je najstariji kineski sustav numeracije. Baza mu je

broj 60, a funkcionirao je tako da su se brojevi od jedan do šezdeset tvorili kombiniranjem

elemenata jednog desetočlanog i jednog dvanaestočlanog ciklusa (najmanji zajednički

višekratnik od 10 i 12 je 60). Taj su sustav koristili za brojanje dana i godina.

Znanstvenici su kasnije ustvrdili da su počeci matematike u Kini imali srodnosti s počecima

razvoja matematike u staroj Mezopotamiji i vjeruje se da su na neki način povezani. Prvi dokazi

matematičke aktivnosti u Kini pronađeni su u obliku numeričkih simbola zapisanih na tankim

kostima stoke i drugih životinja, a procijenjeni su da potječu iz 14.st.pr.Kr.

17

Legenda o Lo Shu

Budući da nema drugih konkretnih pisanih dokaza,

sve se oslanja na jednu legendu koja govori kako su

Kinezi došli na ideju da stvore sustav brojeva i

istraživanja koje je dovelo do razvoja matematike:

Prema legendi, kralj Yu je primio dva božanska dara.

Prvi dar je primio od božanske ˝Kornjače˝ dok je

prelazio Žutu rijeku. Na Kornjačinim leđima je bila

zacrtana jedna figura, odnosno, dijagram zvan Lo

shu, za koji se vjeruje da sadrži osnove kineske matematike. Drugi dar, odnosno figuru, primio

je od božanskog konjonogog ˝Zmaja˝ kojemu su kopita ostavljala tragove u blatu.

Dijagram Lo Shu

Izrazi li se Lo Shu brojevima (na slici gore – koliko na pojedinom mjestu ima u skupinu

povezanih točaka) dobiva se taj ˝magični kvadrat˝ sa svojstvom da je zbroj brojeva u bilo

kojem njegovom retku, stupcu ili po dijagonalama jednak 15.

Taj prvi dijagram, Lo - Shu, kasnije nazvan ˝čarobni kvadrat˝ doveo je do razvoja dualističke

teorije Yina i Yanga, odnosno do dualističkog razvoja brojeva.

Yang predstavlja neparne brojeve (1, 3, 5, 7, 9, 11...)

Yin predstavlja parne brojeve (2, 4, 6, 8, 10...)

Kasnije su Kinezi uz parne i neparne brojeve usvojili koncept

nule. Znak za nulu je dugo vremena bio nepoznat. U osmom

se stoljeću nula označava točkom, a krug ili kvadrat kao

simboli za nulu se pojavljuju tek u 13. stoljeću.

18

Kineski brojevi

U Kini su ljudi, kao i u većini drugih zemalja, najprije računali ˝na prste˝, a već u 2. tisućljeću

prije Krista u Kini su imali simbole za brojeve, a oni su prikazani u tablici:

2000.god. pr. Kr.

Kasnije se u Kini računalo pomoću štapića (od bambusa,

slonove kosti ili metala). Svi štapići su bili jednake veličine, a

trgovci i su ih najčešće nosili stalno sa sobom u torbi. Brojevi

od 1 - 5 bili su prikazivani kao horizontalne crtice, odnosno

kao polegnuti bambusovi štapići, brojevi od 6 – 9 su

prikazivani kao jedan vertikalni štapić te kombinacija od

nekoliko horizontalnih štapića.

400.god pr.Kr

Nakon uvođenja negativnih brojeva, štapići za računanje su se

izrađivali u dvije boje - crveni za pozitivne i crni za negativne

brojeve.

Mnogo kasnije, tek u 16. stoljeću će se pojaviti abakus. Abakus

je preteča današnjih kalkulatora, a sastojao se od drvenog okvira

i niza žica po kojima su se mogli micati kamenčići. On se koristio do usvajanja arapskih brojeva,

a zanimljivo je to da se ponegdje u Kini trgovci još uvijek njime služe.

S vremenom kinesko se pismo malo promijenilo i oblikovalo. U sljedećoj tablici možemo vidjeti

suvremene kineske znakove za brojeve. Isti zapis brojeva može se naći i u Japanu i Koreji.

Prikaz suvremenih kinesko-japansko-korejskih brojeva

Razlomci su se pojavili u upotrebi gotovo istovremeno s prirodnim brojevima. Osnovne

računske operacije izvodile su se slično kao i danas, s tim da su množenje i dijeljenje

19

objašnjavali na konkretnim primjerima. Dalje se matematika razvijala iz skupa algoritama za

računanje i metoda za rješavanje praktičnih zadataka.

Najvažnija dostignuća

Kao i indijska, kineska matematika nije deduktivnog tipa, nego orijentirana na nalaženje

algoritama za rješavanje konkretnih zadataka. Mnoga od otkrića i postignuća u matematici

Kineza očuvana su u nekoliko starih i veoma važnih knjiga pisanih u periodu od 1. do 13.st.

Djela:

Knjiga o mijenama (I Ching) - jedna od najstarijih očuvanih knjiga. Koristila se za proricanje i

gatanje. Sadrži elemente binarne notacije brojeva.

Sveta knjiga o aritmetici (Chou – Pei) - nastajala je u periodu od 2. – 12. stoljeća. Sadrži

podatke, tvrdnje, razgovore i rasprave o matematici,

filozofiji, numerologiji, astronomiji ...

U toj knjizi se prvi put spominje tekst koji na indirektan

način govori o Pitagorinom poučku, zato neki

znanstvenici čak smatraju da je ono što mi smatramo

Pitagorinim poučkom zapravo informacija podrijetlom iz

Kine. Također u knjizi je navedeno da su Kinezi broj što

ga mi označavamo sa π, aproksimirali sa 3.

Aritmetika u devet knjiga ( Chiu Chang Suan Shu ) - je najstariji matematički tekst. Njen autor

je Chang Tsang. U toj je knjizi niz od 246 zadataka s rješenjima namijenjenih mjeračima,

inženjerima, činovnicima i trgovcima. U svakoj od knjiga raspravlja se o jednom matematičkom

problemu:

1. daje se postupak izračunavanja površine trokuta, četverokuta, kruga, kružnog odsječka

i isječka. Obrađuju se i razlomci; dane su korektne metode za njihovo zbrajanje,

oduzimanje, množenje i dijeljenje

2. obrađuju se omjeri i kamatni račun

3. govori se o produženim omjerima i razmjerima

4. obrađuje se vađenje drugog i trećeg korijena, te približni proračun opsega kruga dane

površine i promjera kugle danog obujma

5. uči se kako se računa obujam prizme, piramide, valjka, stošca, prikraćene (krnje)

piramide i stošca

6. obrađuje se ono što bismo zvali računom smjese

7. obrađuju se problemi sustava od dviju jednadžbi s dvije nepoznanice

8. ispituju se problemi što vode na sustav od više linearnih jednadžbi s više nepoznanica

9. rješava se pravokutni trokut pomoću «Pitagorina» poučka i neke oblike kvadratne

jednadžbe

20

Zhang Qiu-Jian (5. st.) – razvija ideje prethodnika i donosi nove matematičke probleme o

nizovima brojeva, jednadžbama višeg reda i teoriji brojeva. Dao je formulu za sumu

aritmetičkog niza.

Tsu Chung – chih (430 – 201) – za točnu vrijednost broja π uzima vrijednost , što daje šest

točnih decimalnih mjesta (ista vrijednost u Europi se pojavljuje tek 1600.god, odnosno

tisućljeće kasnije)

Quin Jiu - Shao (1202 -1261) - rješava sustave kongruencija (Kineski teorem o ostacima), a

promatra i algebarske jednadžbe, površine geometrijskih likova i sustave linearnih jednadžbi.

Tražio je i rješenja jednadžbi metodom koju nazivamo Hornerova (William Horner, 1819.), iako

je u Kini bila poznata 500 godina ranije.

Chu Shih - kieh (1270 - 1330.) - napisao je dva važna teksta: Uvod u matematiku za početnike

i Dragocjeno ogledalo četiri elementa (1303.) koje je vrhunac kineske matematike i nakon

njega dulje vremena nema napretka u matematici. Sadrži metodu transformacija za rješavanje

jednadžbi, koju koristi do stupnja 14, te ̋ Pascalov˝ trokut binomnih koeficijenata, koji je u Kini

poznat četiri stoljeća prije no što ga je Pascal ˝otkrio˝.

21

INDIJA

Staroindijska matematika bila je pretežno ˝aritmetičko-algebarski˝ orijentirana, za razliku od

starogrčke matematike koja je bila pretežno ˝geometrijski˝ orijentirana. Naravno, grčka

matematika nije bila isključivo geometrija, niti je staroindijska matematika bila bez geometrije;

riječ je samo o usmjerenju koje je dominiralo.

U staroindijskoj literaturi nema velikih djela isključivo posvećenih matematici; matematika je

prisutna tek kao dio, kao pojedinačno poglavlje u astronomskim ili astrološkim djelima.

Najstariji poznati matematički tekstovi su Sulvasutre (u

prijevodu Pravila konopa). Sulvasutre su dodaci vjerskim

tekstovima poznatim kao Vede. U njima se nalaze pravila

za mjerenje i izgradnju hramova i oltara na razini

elementarne geometrije. Sva su pravila dana bez dokaza.

Konop rastegnut preko dijagonale kvadrata daje duplu

površinu. Konop rastegnut preko dijagonale pravokutnika

daje površinu

koju čine

vodoravna i

okomita

stranica.

Nađi kvadrat koji je jednak zbroju površina danih

kvadrata. (rješenje se nalazi u svim Sulvasutrama)

Sve Sulvasutre sadrže metodu kvadrature kruga, tj. postoje različite aproksimacije broja od

3.00444, 2.99, 3, 3.029, itd. Jedan od najzanimljivijih rezultata iz Sulvasutra je aproksimacija

√2 točna na pet decimala, a dana je pravilom: Povećaj jediničnu dužinu za trećinu i tu trećinu

na njenu četvrtinu umanjenu za trideset četvrtinu te četvrtine, tj:

√2 1 + 1

3+

1

3∗

1

4−

1

3∗

1

4∗

1

34=

577

408= 1.414215686

Nakon zamiranja vedske religije nastaje razdoblje Jaina. O matematici tog doba se malo zna,

no sigurno je da u to doba sežu ideje o beskonačnosti i bavljenje velikim brojevima te osnove

kombinatorike.

Karakteristike indijskih matematičkih tekstova je da su općenito pisani u stihovima. Mnogi

tekstovi opisuju algoritme za računanje i pravila za rješavanje konkretnih zadataka, no

općenito nema skica, formula ni dokaza. Indijska je matematika osobito značajna zbog razvoja

raznih tehnika računanja, dok im je znanstveni doprinos manji. Današnja aritmetika je

Indijskog porijekla.

22

Indijci koriste pozicijski dekadski brojevni sustav, sa znamenkama od 1 do 9. Znak za 0 koristi

se vjerojatno od 4. stoljeća, a sigurno od 9. stoljeća. Nulu Indijci nazivaju sunya, što znači

praznina.

Kako su računali?

Na primjeru se može ilustrirati kako su stari Indijci na

računskim pločama podijeljenim na polja obavljali

množenje, ispisujući i brišući brojeve na pijesku kojim bi

posipali ploču. Ako je trebalo, recimo, pomnožiti 415 s

327 ispisali bi te brojeve u glavni redak i stupac

računske ploče. U svako dijagonalom podijeljeno polje

ispisali bi zatim parcijalni produkt odgovarajućih

znamenki, npr. u treće polje prvog retka ispisali bi

znamenke jedan i pet, jer je pet puta tri jednako

petnaest. Kada su tako sva polja bila ispunjena (znak za

nulu tu nije potreban jer ga može nadomjestiti prazno

polje). Zbrajali su brojeve po ˝dijagonalnim prugama˝ počevši od donjega desnog kuta (uz

prijenos u daljnju prugu ulijevo eventualnih desetica – kao i pri našem množenju).

23

Staroindijski matematičari

Aryabhatta (476. – 550.), već je među ostalim, znao vaditi drugi i

treći korijen podjelom radikanda u grupe s po dvije odnosno tri

znamenke (u načelu isto kao što radimo danas), bavi se područjima

astronomije, sferne i ravninske trigonometrije, aritmetike i algebre.

Dao je točne formule za površinu trokuta i kruga, piše o verižnim

razlomcima, kvadratnim jednadžbama, potencijama. Dao je dosta

točnu aproksimaciju broja ≈ 3.14164 i koliko je poznato prvu

tablicu sinusa (polutetiva, a ne tetiva kao Ptolomej).

Brahmagupta (598. – oko 670.) pisao je važna djela o matematici i astronomiji. Bavio se

aritmetičkim nizovima, kvadratnim i diofantskim jednadžbama, teoremima o pravokutnim

trokutima, za koristi aproksimaciju √10 . Prvi je matematičar koji je dao sistematski prikaz

pravila za računanje s negativnim brojevima. Pripisuje mu se pravilo oblika (+)*( - ) = ( - ) .

Pozitivne brojeve interpretira kao blago, a negativne kao dug. Brahmaguptin teorem: u

tetivnom četverokutu s okomitim dijagonalama visine iz sjecišta dijagonala na pojedine

stranice prepolavljaju njima nasuprotne. Brahmaguptina formula: poopćenje Heronove

formule na tetivne četverokute;

𝑃 = √(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐 )(𝑠 − 𝑑)

Mahavira (9. st.) se bavio elementarnom matematikom i prvi je indijski matematičar koji je

napisao samo matematici posvećen tekst. Poznavao je svojstva nule (za zbrajanje, oduzimanje,

množenje), ali nije znao što bi bio rezultat dijeljenja s nulom. Koristi pozicijski sustav, opisuje

rastave razlomka na jedinične razlomke, bavio se linearnim diofantskim jednadžbama, daje

pravila za korištenje permutacija i kombinacija, . . . Pravilno navodi pravila: a · 0 = 0, a − 0 = a,

ali i nepravilno tvrdi da je a : 0 = a.

Bhaskara (1114. – 1185.) najpoznatiji je indijski matematičar do 12. stoljeća. Puno je doprinio

razumijevanju brojevnih sustava i rješavanju jednadžbi, dokazivao je Pitagorin poučak i još

mnogo toga. Glavna su mu matematička djela Lilavati i Bijaganita. Bavio se ravninskom i

sfernom trigonometrijom. Izračunao je 𝑠𝑖𝑛18° i 𝑠𝑖𝑛36°. Dao je i adicijske formule za sinus.

Uočio je problem dijeljenja s nulom. Nakon Bhaskare indijska je matematika, općenito uzevši,

stagnirala i čak nazadovala sve do novijeg vremena.

24

ARAPI

Mnogi smatraju da u razdoblju od kraja grčke antičke znanosti do kasnog srednjeg vijeka u

Europi nije bilo važnih događaja u matematici osim prevođenja grčkih tekstova na arapski. No,

zapravo je doprinos arapskog područja matematici mnogo veći od samog prevođenja i

prijenosa podataka. Današnja matematika zapadnog stila mnogo je sličnija matematici kakvu

susrećemo u arapskim doprinosima, nego onoj u starogrčkim. Mnoge ideje koje su pripisane

Europljanima kasnog srednjeg vijeka i renesanse pokazale su se zapravo arapskim.

Prvi poticatelj znanosti i prevođenja grčkih tekstova na arapski bio je kalif al-Hajjaj, koji je na

vlast stupio 786.g. Glavni znanstveni centar postaje Kuća mudrosti, vrsta akademije ili

sveučilišta u Bagdadu (koji je osnovan 762.g.), koju je osnovao al-Hajjajev sin kalif al-Ma'mun.

Arapski brojevi

Indijski način zapisivanja brojki bio je temelj europskom načinu zapisivanja. No, oni nisu

odmah preneseni iz Indije u Europu već je njihov medij bio arapski narod.

Poprilično različiti brojevni sustavi korišteni su na arapskom poluotoku dugi niz godina.

Postojalo je najmanje 3 različita brojevna sustava:

računanje na prste: brojevi se pišu riječima (trgovci, računovođe)

heksagezimalni sustav: brojevi označeni arapskim slovima (astronomija)

indijski dekadski sustav: znamenke su preuzete iz Indije, ali bez standardnog skupa

simbola, tako da se u raznim krajevima koristilo donekle različite oblike znamenki

(ploče)

Posljednji sustav je omogućio napredak numeričkih metoda, npr. računanje korijena (Abu'l-

Wafa, Omar Khayyam), otkriće binomnog teorema za prirodne eksponente (al-Karaji),

aproksimaciju transcendentnih realnih brojeva i računanje n-tih korijena (al-Kashi).

25

Al-Hvarizmi, prvi veliki arapski matematičar (punim imenom Abu'

Abdallah Muhammad ibn Musa al-Magusi al-Khwarizmi al-

Choresmi). Živio je oko 780.- 850.g. i bio je učenik u Kući mudrosti,

a kasnije ju je i vodio i djelovao pod zaštitom kalifa al-Ma'muna.

Pisao je o algebri, geometriji, astronomiji i njemu se pripisuje

uvođenje arapskih brojeva u matematiku. No, on je samo zaslužan

za prenošenje arapskih brojeva u Europu jer brojčani sustav

bilježenja brojeva znamenkama od 0 do 9 vuče korijene iz Indije još

oko 500. godine.

Donosi odmak od grčke matematike, koja se većim dijelom odnosila

na geometriju, prema algebri. Algebra je omogućavala tretiranje

racionalnih i iracionalnih brojeva, geometrijskih veličina i drugih kao algebarskih objekata, što

je dovelo do potpuno novog razvoja matematike. Glavno djelo mu je udžbenik algebre Hisab

al-jabr w'al-muqabala. Iz njegova naziva izvedena je riječ algebra (al-jabr). Al-Hvarizmi svojom

knjigom želi olakšati rješavanje svakodnevnih problema (npr. pitanja nasljeđivanja u

muslimanskim zakonima), no prvi dio se može smatrati i ozbiljnije algebarskim: bavi se

linearnim i kvadratnim jednadžbama. Sastavio je tablice za funkcije sinus i tangens. Dao je

opću metodu (Al-Hvarizmijevo rješenje) za nalaženje dva korijena kvadratne jednadžbe:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ;

pokazao je da su korijeni

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Al-Karaji (punim imenom Abu Bekr Muhammad ibn al-Husayn Al-

Karaji, 953.g. - 1029.g.), bagdadski matematičar i inženjer, smatra

se prvom osobom koja je potpuno oslobodila algebru od

geometrijskih operacija i zamijenila ih aritmetičkim, što je osnova

moderne algebre. Tako npr. svođenje na potpun kvadrat provodi

čisto algebarski.

Prvi je definirao monome 𝑥, 𝑥2, 𝑥3, ... i ,1

𝑥 ,

1

𝑥2 ,1

𝑥3... dao pravila za

produkt bilo koja takva dva monoma. Osnovao je utjecajnu

algebarsku školu koja će uspješno raditi više

stoljeća. Kod njega se mogu naći i začeci

matematičke indukcije.

Al-Haytham (punim imenom Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham, 965.g. -

1040.g.) je vjerojatno prvi koji je pokušao klasificirati parne savršene

brojeve. Također je prva poznata osoba koja je izrekla Wilsonov teorem

(Ako je p prost broj, onda p dijeli 1 + (p - 1)!) Nije jasno je li to znao

26

dokazati. A teorem se zove po Johnu Wilsonu jer mu je njegovo poznavanje (ne i dokaz)

pripisano 1770.g. Prvi poznati dokaz dao je Lagrange 1771.g. Al-Haytham se bavio i optikom,

kvadraturom kruga i sustavima kongruencija.

Omar Khayyam (punim imenom Ghiyath al-Din Abu'l-Fath Umar ibn

Ibrahim Al-Nisaburi al-Khayyami, 1048.g. – 1131.g.) uz matematiku bavio

se astronomijom, filozofijom i poezijom. Glavno djelo mu je Algebra. Dao

je potpunu klasifikaciju kubnih jednadžbi (14 tipova) s geometrijskim

rješenjima pomoću sjecišta konika i prvi uočio da ne moraju imati

jedinstveno rješenje. Poziva na prve dvije Apolonijeve knjige o konikama i

daje algebarsku metodu kako druge kubne jednadžbe pretvoriti u

kvadratnu ili neki od tipova iz svoje sistematizacije.

Nasir al-Din al-Tusi (punim imenom Muhammad ibn Muhammad ibn al-

Hasan al-Tusi, 1201.g. - 1274.g) Napisao je važna djela o logici, etici,

filozofiji, matematici i astronomiji, a napisao je i mnoge komentare grčkih

tekstova. Pisao je i o mineralima, draguljima i parfemima. U komentaru

Ptolemejeva Almagesta (1247.g.) uveo je razne trigonometrijske tehnike

za izračunavanje tablica sinusa. Najvažniji doprinos mu je stvaranje

trigonometrije kao matematičke discipline, a ne sredstva za astronomske

proračune, te je dao prvi potpuni prikaz ravninske i sferne trigonometrije.

U tom je djelu dao teorem o sinusima za ravninske trokute (danas poznat kao poučak o

sinusima):

𝑎

sin 𝛼=

𝑏

sin 𝛽=

𝑐

sin 𝛾

27

TALES

Kornelija Čidić, 2.g

Kod Grka se Talesovo ime oduvijek isticalo s velikim ponosom. Od Herodota do danas se o

njemu puno pripovijedalo, no sve ono što bi upućivalo na pomisao da je on utemeljio jonsku

filozofijsku školu zapravo je bezazlena Aristotelova tvrdnja. Aristotel je povezao tu tvrdnju s

pukim izrazom da je Tales odredio vodu kao supstanciju od koje je sve načinjeno. Taj je

„materijalni princip“ opisan pojmovima Aristotelova mišljenja. U svakom slučaju, Aristotel

jasno kaže da se oslanja na sekundarne izvore (λέγεται, Met. A, 984a2), ne znajući ništa povrh

toga o razložnosti na kojoj se temeljio spomenuti iskaz.

Tales je bio zainteresiran za filozofiju, povijest, matematiku … Ništa od njegovih pisanih djela

nije sačuvano, no mnogi grčki filozofi ostavili su traga o njemu i njegovom radu. O njegovom

životu se općenito se malo zna, a saznajemo najviše od Herodota iz djela „Povijest“. Rođen je

640. godine prije Krista u Miletu u uglednoj i poštovanoj plemićkoj obitelji. Neki tvrde da se

nikad nije ženio i da je usvojio sina svoje sestre, dok drugi tvrde da se oženio i imao sina po

imenu Kibist. Tales je prvi dobio nadimak filozofa i bio je među sedam drevnih mudraca. Još

jedan veliki uspjeh u njegovom životu je otvaranje jonske škole. Osim jonske škole, Talesa

možemo svrstati i u miletsku školu zajedno s Anaksimenom i Anaksimandrom. Tales je umro

za vrijeme 58. olimpijade oko 547. godine prije Krista. Za njegovu smrt postoje i tvrdnje:

„… od vrućine, žeđi i slabosti, već u godinama. I na njegovom je grobu natpis: mali je ovaj grob

– ali slava dopire do neba – ovo je mjesto najmudrijeg Talesa.“

Poznato je da je putovao Egiptom. U Egiptu je proučavao matematiku, glazbu i astronomiju.

Tamo je naučio osnove egipatske geometrije. Tamošnji su znanstvenici iskušali Talesovo

znanje i snalažljivost. Doveli su ga do velike piramide i pitali kako bi izmjerio visinu piramide.

Tales je zabio štap u pijesak i rekao: „Kada dužina sjene ovog štapa bude jednaka njegovoj

visini, izmjerite dužinu sjene piramide i dobiti ćete njezinu visinu.“

28

Ono najvažnije što matematičari pripisuju Talesu jest to da je prvi dao logičke temelje

dokazivanju teorema. Našao je metodu kako izračunati udaljenost brodova od obale.

TALESOVA MATEMATIKA

U pogledu matematike, za Talesa se općenito vjerovalo da je u Grčku uveo geometriju.

Posebno su mu se pripisivale zasluge za sljedeće teoreme:

(1) Krug je svojim promjerom podijeljen na dva jednaka dijela. (2) Kutovi uz osnovicu jednakokračnog trokuta su jednaki. (3) Kod pravca koji se sijeku kutovi pri vrhu su jednaki. (4) Kut upisan u polukrug je pravi kut. (5) Trokut je određen ako su mu zadani osnovica i kutovi uz osnovicu.

PROMJER

Promjer je dužina koja spaja dvije nasuprotne točke kružnice i prolazi središtem kružnice.

Dijametar je u geometriji pojam koji označava duljinu promjera. Ako znamo duljinu promjera

kružnice, možemo izračunati površinu kruga.

d – promjer

r – polumjer (polovica promjera)

TALESOV POUČAK

Talesov poučak govori da ako su A, B i C točke na kružnici,

a AC promjer kružnice, onda je trokut ABC pravokutan.

Talesov teorem koristi se za konstrukcije tangenta na

danu kružnicu kroz zadanu točku.

Imamo danu kružnicu k sa središtem O, a mi želimo

konstruirati tangente koje prolaze kroz točku P koju smo

proizvoljno izabrali. Pretpostavimo da tangenta t dodiruje kružnicu k u točki T. Iz simetrije se

jasno vidi da je radijus OT okomit na tangentu. Sada možemo konstruirati simetralu stranice

OP te je označiti točkom H. Konstruiramo kružnicu k' sa središtem H kroz O i P. Točke gdje se

29

sijeku kružnica k i k' nazovimo T i T'. Koristeći Talesov teorem vrijedi da je trokut OTP

pravokutan s pravim kutom u kutu OTP čime smo uspjeli konstruirati tangente na kružnicu.

TALESOV TEOREM O PROPORCIONALNOSTI

Ako su točke A,B,C,D na pravcu p′, a točke A′,B′,C′,D′ točke na pravcu p dobivene

paralelnom projekcijom, onda će se odgovarajući omjeri duljina sačuvati, tj.

.''''

,''

''

DC

CD

BA

AB

DC

BA

CD

AB

TALESOV POUČAK O PROPORCIONALNOSTI U PRAMENU PRAVACA

Ako se dva pravca a i b sijeku u točki O i ako su oni presječeni paralelnim pravcima 1t i

2t takvima da je

'

'

2

2

1

1

Bta

Atb

Bta

Atb

,

onda vrijedi:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2f/Thales'_Theorem_Tangents.svg

30

.''

'

,''

'

,'

'

AB

OB

BA

OB

BA

OA

AB

OA

OB

OA

OB

OA

TALESOV DOPRINOS U DRUGIM ZNANOSTIMA

1) Astronomija

Za predviđanje pomrčine Sunca postoji spis koji tvrdi da je Tales stvarno najavio pomrčinu

koja je bila 28. svibnja 585. godine prije Krista, iako točan način na koji je Tales predvidio

pomrčinu nije poznat.

2) Filozofija prirode

Za početak svijeta Tales je izabrao vodu. Nagađa se da je na tu pretpostavku došao tako

što je vidio da je hrana vlažna, da toplina nastaje iz vlage, da sjeme ima sa svih strana vlažnu

opnu, itd. Među razlozima je svakako i nužnost vode za rast i ishranu živih bića, važnost u

svakodnevnom životu. Od tih pretpostavki kreće i njegova tvrdnja da Zemlja pluta na vodi.

31

PITAGORA

Petra Kalanja, 2.g

Pitagora je rođen (oko 570. pr. Kr.) na grčkom otoku Samosu. Često se prikazuje kao prvi

„pravi“ matematičar. Bio je sin bogatog trgovca s kojim je mnogo putovao. Na tim se

putovanjima mladi Pitagora susreo s mnogim učiteljima i misliocima iz onog vremena koji su

ga poučavali filozofiji i znanosti. Jedan od tih učitelja bio je i glasoviti Tales iz Mileta. U to je

vrijeme Tales bio star čovjek i njegova su otkrića utjecala da se Pitagora još više zainteresira za

matematiku i astronomiju, te je savjetovao Pitagoru da otputuje u Egipat gdje će još više

naučiti o područjima koja ga zanimaju.

Otprilike 535. god. pr. Kr. Pitagora je otputovao u Egipat. Tamo je sudjelovao u mnogim

filozofskim raspravama sa svećenicima i učenjacima. Nakon ritualne svečanosti i sam Pitagora

je postao hramski svećenik u Diospolisu. 525. god. pr. Kr. Kambiz II., kralj Perzije, napada Egipat

i Pitagora je, kao i mnogi njegovi suvremenici, odveden kao rob i ratni zarobljenik u Babilon.

Tu se upoznao s babilonskim tajnovitim vjerskim obredima i s njihovim postignućima u

matematici.

Pitagora Tales iz Mileta

32

518. god. pr. Kr. Pitagora odlazi u Italiju u grad Krotonu i osniva matematičku školu koja

je imala mnogo sljedbenika. U njoj su učenici održavali stroga pravila družbe. Školu danas

nazivamo Pitagorejskom školom.

U Pitagorejskoj školi naglasak je bio na tajnosti i zajedništvu, tako da je danas teško

odgonetnuti što je rad samog Pitagore, a što njegovih učenika. Ono što je sigurno je da je

njegova škola dala velik doprinos matematici. Uspon Pitagore i njegovih sljedbenika bio je

neometan dvadesetak godina, tijekom kojih je Kroton proširio svoj utjecaj na susjedne

gradove u kojima su mnoge vodeće položaje zauzimali članovi bratstva Pitagorejaca. Na kraju

ovog razdoblja Krotonac Kilon potaknuo je narod na pobunu. U Kilonskoj uroti ubijen je veliki

broj Pitagorejaca, a Pitagora je prognan iz Krotona.

Pitagorejska škola imala je puno dostignuća, a jedno od tih dostignuća je dokaz za prije

poznat poučak: Površina kvadrata nad hipotenuzom jednaka je zbroju površina kvadrata nad

katetama. Taj iskaz kasnije je nazvan Pitagorin poučak.

PITAGORIN POUČAK

a² + b² = c²

33

DOKAZ PITAGORINOG POUČKA:

Veliki kvadrat čije su stranice duljine ba ima površinu 2baP .

Površinu velikog kvadrata možemo dobiti i kao zbroj površine malog kvadrata čija je stranica

duljine c i površine četiri sukladna pravokutna trokuta s katetama duljine a i b. Prema tome

vrijedi

abcP

abcP

trokutaPkvadrataPP

2

24

4

2

2

Izjednačavanjem površina dobije se

222

222

22

22

2

cba

abcbaba

abcba

34

Pitagora je smatrao da je u biti svega broj. Prema tome smatralo se da je ono ideal, koji

obično empirijsko znanje ne može pružiti. Na osnovi matematike se pretpostavljalo da je

misao iznad čula. Ukoliko se svijet čula ne slaže s matematikom, utoliko gore po svijet čula.

Spoznaja postoji samo u matematičkom mišljenju. Pitagora je smatrao kako se numerologija

temelji na matematici. Numerologija se danas temelji na dvije teorije, od kojih je jednu

utemeljio sam Pitagora. Prva teorija objašnjava i koncentrira se na čovjekovo ime. Čovjekovo

ime, po toj teoriji, u sebi sadrži važne pokazatelje njegova karaktera i sudbine. Druga teorija

koju je prije više od dva i pol tisućljeća, razvio Pitagora je teorija brojeva. Prema toj teoriji svaki

broj između 1 i 9 ima svoje osobito, jedinstveno značenje.

Kružnica i kugla za Pitagorejce su najsavršeniji među svim oblicima, pa Zemlja i nebeska

tijela moraju nužno biti sferna. Zbog istog razloga i staze nebeskih tijela moraju biti savršene

kružnice. Njihova gibanja moraju biti jednolika jer je takvo gibanje najsavršenije među svim

gibanjima.

GEOCENTRIČNI SUSTAV

Pitagora je sanjao samo o svojoj školi, samo o Grčkoj, samo o budućnosti svijeta. Kao

mnogi veliki adepti, i on se odrekao žena kako bi se mogao potpuno posvetiti svome djelu.

Onaj koji je upućen u tajne određenog društva ili kruga ljudi; slijepi, vjerni pristaša nekoga

35

Tek u šezdesetoj godini se oženio mladom djevojkom, svojom učenicom Teano, čiji otac

je bio Brontinos, stanovnik grada Krotona. Ona je rodila Pitagori troje djece, sinove Arimnesta

i Telogesa i kćerku Damo.

Umro je 475. god. pr. Kr. O njegovoj smrti ima puno legendi i priča, a najvjerojatnijom se

čini ona Dikearhova, prema kojoj je bio prisiljen skloniti se u hramu Muza gdje je gladovao do

smrti.

36

PLATON

Marija Kožarić, 4.g

Obzirom da su o Platonu mnogi pisali i istraživali ga, ima raznih podataka o njegovom rođenju

pa se tako najčešće pretpostavlja da je rođen u Ateni 428. Ili 427. godine pr.n.e. te da je umro

oko 347. godine pr.n.e. Potječe iz dobrostojeće aristokratske obitelji. Majka Periktiona dolazi

iz Solonovog kruga, a otac Ariston iz obitelji posljednjeg atičkog kralja. Pravo ime mu je

Aristokle dok mu je Platon bio samo nadimak kojeg je dobio navodno zbog njegove tjelesne

građe (platon bi u prijevodu značilo širok) ili zbog širine njegova znanja. Bio je grčki filozof,

idealist, Sokratov učenik, Aristotelov učitelj i osnivač Akademije.

Kako potječe iz dobrostojeće aristokratske obitelji prošao je dosta opsežno školovanje te se

upoznao s djelima mnogih grčkih filozofa što se i vidi kasnije u njegovom radu. Prvo je bio

učenik sofista Kratila no mnogo veći utjecaj na njega imao je Sokrat, čiji je učenik postao s 20

godina. Sokrat ga je poučavao posljednjih 9 godina svog života. Kako bi bolje shvatili daljnje

Platonovo djelovanje, treba spomenuti to da je Sokrat bio optužen da „uvodi nove bogove i

zavodi mladež na krivi put“ te ga je porota od 500 članova proglasila krivim. Platon je navodno

bio prisutan na suđenju, ali ne i na njegovu smaknuću. Nakon Sokratove smrti razočarao se u

atensku demokraciju te pobjegao iz Atene. Time započinju njegova putovanja koja su trajala

nekoliko desetljeća. Kroz svoja putovanja posjetio je Italiju, gdje je upoznao Pitagorejce,

Egipat, Siciliju i mnoge druge tada poznate zemlje. Sva ta putovanja utjecala su na Platona pa

tako i na njegov rad i djela koja je napisao.

U mladosti se zanimao za politiku, što je bilo za očekivati s obzirom da su se u obitelji također

bavili politikom, ali presudio je onaj postupak demokratske vlasti prema Sokratu i tako

zahvaljujući tome mi sada, kada pričamo o Platonu, govorimo o filozofu, a ne o političaru. Ipak

su u njegovom filozofskom razmišljanju ostala neka politička i etička pitanja. Tako je Platonov

najpoznatiji i najvažniji dijalog Država. U njemu govori o idealnoj državi koja je zasnovana na

ideji pravednosti, te u njoj svaki pripadnik staleža radi posao za koji je sposoban. Ljude je

podijelio u tri staleža te u sva tri staleža „dodijelio“ određene vrline. Prvi stalež su proizvođači

i njihova vrlina je umjerenost. Drugom staležu pripadaju čuvari kojima je dodijelio vrlinu

hrabrosti. Posljednji stalež su vladari kojima je dodijelio mudrost i razum. Kad se te tri vrline

spoje, ostvari se ideja pravednosti. Glavni cilj njegove države bila je dobrobit i sreća građana,

a glavna funkcija je njihov odgoj. Njegova filozofija ima polazište u učenju o idejama koje su

jedina prava zbilja, a svijet osjetilnih stvari samo je slika svijeta ideja. Ideje su vječne i

nepromjenjive, a bića su promjenjiva i nesavršena. Platonov idealizam potječe od Pitagorejaca

i njihovog razlikovanja pojavnih stvari i brojeva kao nečeg pojmovnog, ali i od Sokratovog

shvaćanja pojma kao općeg.

37

Po povratku u Atenu posvećuje se Akademiji čiji je osnivač. Akademija je jedna od prvih škola

Zapadne civilizacije. Kako je Akademija postojala davno u prošlosti nisu poznati detalji kako je

ona funkcionirala no smatra se da je bila nalik Pitagorejskim školama koje je Platon imao prilike

upoznati dok je boravio u Italiji. U njegovoj školi poučavala se aritmetika, planimetrija,

trigonometrija, astronomija i glazba. Na ulazu u Akademiju pisalo je: „Neka ne ulazi onaj koji

ne zna geometriju.“ Taj natpis pokazuje koliko je Platonu bila bitna matematika. Matematika

obilježava ispravljajuće ideje jedinstva, harmonije i proporcionalnosti što su prema Platonu

nužni sastojci istinske moralnosti, politike i zdravlja, tj. jednom riječju: odgoja. Cilj Akademije

bio je osposobiti učenike za kritičko i razumsko mišljenje, za razliku od sofističkih škola koje su

poučavale praktičnim stvarima. I u današnjem školstvu primjećuje se prisustvo Platonove

Akademije, ne samo u nazivu znanstvenih ustanova nego i u razumijevanju općih zakonitosti

te u razvijanju kritičkog mišljenja kao cilja obrazovnih ustanova.

Aritmetika je danas grana matematike koja proučava računske operacije s brojevima. Naziv

potječe od grčke riječi arithmetike, što bi se u prijevodu rastavilo na: arithmos (broj) i techne

(umijeće). Pojam aritmetike koristi se i za temeljnu teoriju brojeva, tj. osnovni teorem

aritmetike i aritmetičke funkcije. Poznajemo 4 osnovne aritmetičke operacije: zbrajanje,

oduzimanje, množenje i dijeljenje. Isto tako postoje i napredne aritmetičke operacije, a to su

kvadriranje, potenciranje i korjenovanje. Danas, u 21. Stoljeću, da bi izračunali neku

aritmetičku operaciju služimo se kalkulatorima i računalima što u Platonovo vrijeme nije

postojalo. Prema Platonu, aritmetika nas treba osposobiti za racionalno planiranje.

Trigonometrija potječe od dvije grčke riječi: trigonon (trokut) i metron (mjera). Proučava

odnose između segmenta pravaca i kutova trokuta na ravnini ili na površini kugle. Pomoću

crteža je najjednostavnije objasniti trigonometriju (naravno ukratko):

𝛼

http://hr.wikipedia.org/wiki/Datoteka:Trokut_(trigonometrija).svg

38

Trigonometrijske funkcije:

𝑠𝑖𝑛𝛼 =𝑎

ℎ

Sinus kuta pri vrhu A jednak je kvocijentu nasuprotne katete i hipotenuze pravokutnog trokuta.

𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝑏

ℎ

Kosinus kuta pri vrhu A jednak je kvocijentu priležeće katete i hipotenuze pravokutnog trokuta.

𝑡𝑔𝛼 =𝑎

𝑏

Tangens kuta pri vrhu A jednak je kvocijentu nasuprotne i priležeće katete pravokutnog trokuta.

𝑐𝑡𝑔𝛼 =𝑏

𝑎

Kotangens kuta pri vrhu A jednak je kvocijentu priležeće i nasuprotne katete pravokutnog trokuta.

Planimetrija je geometrija likova koju je Platon opisao u djelu Timej.

"Znanje kojem teži geometrija je znanje o vječnome“ Platon

Bavio se isključivo pravilnim geometrijskim tijelima. Tvrdio je da su geometrijska tijela i brojevi čisti, trajni, neuništivi i nikad vas neće iznevjeriti. Pravilna geometrijska tijela su ona tijela čije su sve plohe međusobno jednaki pravilni mnogokuti, koji se sastaju u vrhovima koje čini uvijek jednak broj ploha, a to su:

tetraedar(4 plohe) :

39

Heksaedar (poznatiji kao kocka - 6 ploha):

Oktaedar (8 ploha):

Dodekaedar (12 ploha):

Ikozaedar (20 ploha):

40

Astronomija je znanost o nebeskim tijelima i pojavama u svemiru, kao takva je jedna od najstarijih ljudskih djelatnosti. Za Platona, kad se promatra na pravi način (matematički), ona vodi um do uočavanja ljepote pokreta i relacija apstraktnih objekata.

Platon je iza sebe ostavio mnoge dijaloge od kojih su najpoznatiji: Država (O pravednosti), Simpozij (O ljubavi), Fedon (O duši) i Fedar, Parmenid (Dijalog o idejama), Protagora (O vrlini), Teetet i Sofist (O znanju) te Zakoni. Za razliku od Sokrata, on je svoja djela zapisao te mu na tome možemo biti zahvalni, jer da nije bilo njega, matematika danas možda ne bi bila ista.

I za kraj, jedan Platonov citat:

"Svim ljudima nisu sve stvari potrebne, ali je račun ne samo svima nego i svakome jako potreban. Tko računati ili barem brojiti ne zna, mora se izbrisati iz broja svih ljudi, inače nema prijateljstva među trgovcima, ni ljubavi među susjedima, ni sluge u općini, niti pravednost u pravdi stalno stanovati može!"

Platonova tijela i eTwinning kolege iz Grčke:

41

EUKLID

Stella Moguš, 2.g

Euklid je živio oko 330. - 260. godine prije Krista. Euklid je jedan

od najvećih grčkih matematičara starog vijeka.

O Euklidovu životu se ne zna gotovo ništa, ne zna se gdje se

rodio, gdje je studirao, a ne zna se čak ni gdje je umro. Često se

za njega govori da je svjetski misterij. Pretpostavlja se da je

studirao kod Platona u Ateni. U Aleksandriji je osnovao

matematičku akademiju te se pretpostavlja da je tamo dugo

boravio. Najznačajnije Euklidovo remek-djelo o geometriji su

Elementi. Elementi su poslije Biblije vjerojatno najcitiranija, najproučavanija i najprevođenija

knjiga u povijesti.

Geometrijska sinteza

Euklid je svoje bogato znanje sabrao u trinaest svezaka. Djelo je toliko uvjerljivo i

sveobuhvatno da je kao udžbenik ostalo nepromijenjeno već više od dva tisućljeća. Euklid je

sva znanja o geometriji želio sklopiti u jednu cjelinu. Tako su u njima uočljivi rezultati poznatih

grčkih matematičara Pitagore, Eudoksa i Teteusa.

U prvih šest svezaka obrađena je ravninska geometrija i neka druga matematička ključna

načela, kao što je Eudoksova teorija razmjera.

U sljedeća četiri sveska bavi se o teorijom brojeva (uključujući dokaz da postoji beskonačan

broj prostih brojeva).

Zadnja tri dijela su usredotočena na geometriju prostora.

Neeuklidski prostori

''Paralelni'' aksiom tvrdi da se kroz točku koja leži izvan pravca može povući samo jedan pravac

koji se početnim pravcem ne siječe (tj. paralelni pravac). To je bilo pitanje u dvanaestom

stoljeću koji je istraživao mađarski matematičar Janos Bolyai.

42

Janos Bolyai je rođen u današnjem gradu Cluju, u Rumunjskoj.

Janos je pokušao dokazati Euklidov ''paralelni'' postulat, što je na kraju otkrio

da ga je nemoguće dokazati, te je time započela nova škola matematičkog

razmišljanja. Uvjerenje Alberta Einsteina je da je geometrija prostora

također neeuklidska, što je kasnije dokazano kao točno.

Euklidov algoritam

To je postupak kojim se određuje najveća zajednička mjera dvaju cijelih brojeva, dvaju

polinoma ili dviju dužina.

Za brojeve a i b uz uvjet a ≥ b, verižnim dijeljenjem dobivamo niz brojeva bi, kao ostatke

dijeljenja prema jednadžbama:

3221

211

1

bbnb

bbnb

bnba

dok bk ne bude jednak 0.

Posljednji bi različit od 0, je najveća zajednička mjera. Oznaka M.

Npr. Za brojeve 70 i 42 vrijedi:

014228

1442142

2842170

Prema tome, slijedi da je M = 14.

Euklidovi elementi

To je matematički spis objavljen oko 300. g. pr. Kr. u 13 knjiga. Vjekovima je bio nenadmašen

uzor stroge znanstvene dedukcije. Sve do XIX.st. oni su bili osnovni udžbenik geometrije, bilo

je čak 500 izdanja na mnogim jezicima. Izvorni tekst Euklidovih Elemenata na žalost se nije

sačuvao, pa se ne zna točno što je u njima izvorni Euklidov prilog, no svakako je velik.

U knjigama od I.-VI. obrađena je planimetrija.

Od VII.-X. obrađena je aritmetika i teorija brojeva u geometrijskom obliku.

43

U XI.-XIII. obrađena je stereometrija.

Za pitanja geometrijske aksiomatike najvažnija je I. knjiga, jer su u njoj skupljeni svi aksiomi na

kojima se zasnivaju Euklidovi elementi.

Najveću pozornost privukao je V. postulat: '' Ako pravac siječe dva pravca i čini s njima s iste

strane unutrašnje kutove koji su zajedno manji od dva prava, ta se dva pravca sijeku na strani

tih kutova.''

Analiza Euklidovih elemenata otkrila je u njima niz nedostataka, a u prvome redu nepotpunost

njihove aksiomatike.

Euklidovi teoremi

Ima pet pretpostavki na kojima se osniva klasična Euklidova geometrija.

A to su:

1.) Kroz bilo koje dvije točke moguće je provući jedan i samo jedan pravac

2.) Ako točka B leži između točaka A i C, onda sve tri leže na istom pravcu

3.) Gibanjem točaka prelazi u točku, pravac u pravac a ravnina u ravninu, čuvajući svojstva

točke, pravca i ravnine

4.) Svaki po volji veliki odlomak (pravca ili ravnine) moguće je prekriti bilo kojim drugim

odlomkom stavljajući ga na prvi dovoljan broj puta

5.) Ako pravac siječe dva pravca i čini s njima s iste strane unutrašnje kutove koji su zajedno

manji od dva prava, ta se dva pravca sijeku na strani tih kutova

44

ARHIMED

Kristina Komljenović, 4.g

Arhimed je rođen 287. pr. Kr. u Sirakuzi na Siciliji. Bio je fizičar,

astronom i jedan od najvećih matematičara svih vremena koji

su se intenzivno bavili praktičnim problemima.

Nazivaju ga vrhuncem helenske matematike i jednim od

najvećih fizičara starog vijeka.

Za života najviše vremena proveo je u rodnom gradu, iako je

jedno vrijeme boravio i u Aleksandriji.

Arhimedov otac zvao se Fidija. On je također bio matematičar,

astronom, ali i astrolog. Upravo je on taj koji je Arhimeda čitav

svoj život učio i prenosio mu sva znanja koja je posjedovao.

Arhimed je poginuo od ruke rimskog legionara za vrijeme

Drugog punskog rata, 212. godine pr. Kr., unatoč naredbi

rimskog vojskovođe Marcela da mu se poštedi život. Legenda kaže da je crtao krugove u

pijesku, koje je nagazio rimski legionar, te mu je Arhimed viknuo “Noli turbare circulos meos!“

(u slobodnom prijevodu: ''Ne dirajte moje krugove''), a ljutiti vojnik ga je usmrtio kopljem.

Grob mu je, zahvaljujući crtežu lopte i valjka na nadgrobnom spomeniku, pronašao Ciceron.

Najvažnija Arhimedova djela koja su sačuvana su: O kugli i valjku; O sferoidima i konoidima; O

mjerenju kruga; Metoda; O plivanju tjelesa; O ravnoteži ravnih likova.

Najveću slavu stekao je svojim raspravama o zaobljenim geometrijskim likovima čiju je

površinu izračunavao složenom metodom bliskom današnjem infinitezimalnom računu. Tako

je upisivanjem pravilnih poligona od 6, 12, 24, 38 i 96 stranica u krug i njihovim opisivanjem

oko kruga dobio dotad najbolju aproksimaciju broja π.

Primjenom te metode na tijela došao je do zaključka da se obujmi valjka, kugle i stošca

jednakih polumjera i visina odnose kao 3 : 2 : 1.

Arhimedov vijak

Od fizikalnih i tehničkih pronalazaka, ističe se i Arhimedov vijak, cijev svinutu kao zavoji vijka

koja, okretanjem, služi za dizanje vode; Arhimedov zakon uzgona, nakon pronalaska je

navodno gol istrčao na ulicu vičući ''Heureka!''; zakon poluge, legendarna je njegova izjava

„Dajte mi oslonac i dovoljno dugačku polugu pa ću pomaknuti Zemlju!“, itd.

45

Slika 1- Arhimedov vijak i eTwinning kolege iz Grčke

METODA EKSHAUSTIJE (ISCRPLJIVANJA)

Metoda ekshaustije ili iscrpljivanja je metoda pronalaženja površine nekog lika upisivanjem u

njega niza poligona čije površine se približavaju ili konvergiraju površini promatranog lika. Ako

je niz pravilno konstruiran, razlika površina između n-tog upisanog poligona i promatranog lika

postaje po volji malena kako n postaje po volji veliki.

Arhimed je pomoću metode ekshaustije riješio čitav niz problema koji se danas rješavaju

integralnim računom.

Kvadratura parabole

Arhimed je koristeći metodu ekshaustije izračunao površinu odsječka parabole dva tisućljeća

prije otkrića infinitezimalnog računa. Površinu je najprije izračunao koristeći teoreme iz

mehanike, a zatim je dao geometrijski dokaz.

46

Koncept integriranja

Često se postavlja pitanje je li Arhimed zapravo izumio integriranje. Naime, osim što je koristio

metodu ekshaustije, Arhimed je koristio i metodu upisivanja i opisivanja mnogokuta oko nekih

likova tako dugo dok razliku površina nije učinio proizvoljno malom, primjerice, tako je našao

površinu kruga, ali i volumen tijela nastalih rotacijom parabole, elipse i hiperbole. Kako nije

poznavao pojam limesa, odgovor bi bio negativan, ali se nikako ne može poreći da su njegove

metode jako slične onima kojima je Riemann definirao svoj integral. Isto tako, nije tražio

poopćenja svojih metoda, što bi isto bilo nužno za definiciju integrala, već najprimjereniji

geometrijski postupak za svaki problem posebno.

Arhimedova spirala

Arhimedova spirala je transcedentalna krivulja koja nastaje kada

točka, polazeći iz ishodišta, jednolično obilazi ishodište i jednolično

se udaljuje od njega; udaljenost neke točke Arhimedove spirale od

ishodišta razmjerna je pripadnom kutu zakreta.

Slika 2- Arhimedova spirala

Arhimedov aksiom

Arhimedov aksiom: za svaka dva realna broja 𝑎 > 0 𝑖 𝑏 > 0 postoji takav prirodni broj 𝑛 da

je 𝑛𝑏 > 𝑎.

47

DIOFANT

Dominik Domitrović, 2.g

Diofant iz Aleksandrije (Dióphantos ho Alexandreús) starogrčki je matematičar koji je otkrio

Diofantske jednadžbe. Unatoč tome što je bio istaknuti matematičar svog vremena, vrlo malo

je poznato o njegovom životu. Njegov rad je sačuvan u šest poglavlja Aritmetike. Sedmo

poglavlje je izgubljeno. Aritmetika je vjerojatno najstariji sistemski traktat o algebri.

Diofant je prvenstveno zanimala teorija brojeva i rješavanje jednadžbi. Dao je veliki doprinos

napretku algebre uporabom simbola za veličine, matematičke operacije i odnose. Prethodno

su ove veličine opisivane riječima.

DIOFANTSKE JEDNADŽBE

Neka je f polinom s n varijabli i cjelobrojnim koeficijentima. Jednadžba oblika

0),...,,(21

n

xxxf , čija su rješenja cijeli brojevi naziva se diofantska jednadžba.

Najjednostavnije jednadžbe su naravno linearne diofantske jednadžbe oblika

mxaxann ...

11, gdje su

naa ,...,

1 Z.

1. Linearne diofantske jednadžbe s dvije nepoznanice

cbyax ; cba ,, Z

Primjer 1. Riješimo homogenu diofantsku jednadžbu 053 yx

Izrazimo jednu nepoznanicu pomoću druge:

yx3

5

Budući da je x cijeli broj, rješenje y mora biti djeljivo s 3, tj. y je oblika ty 3 , gdje je t cijeli

broj. No, tada je tx 5 . Dakle, rješenja diofantske jednadžbe 053 yx su parovi (−5t,

3t), t Z.

http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Diofantove_jednad%C5%BEbe&action=edit&redlink=1

http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Diofantove_jednad%C5%BEbe&action=edit&redlink=1

48

Primjer 2. Riješimo diofantsku jednadžbu 51231000 yx .

Izvršavanjem uzastopnih dijeljenja dobivamo ovaj niz jednakosti:

1000 = 8 · 123 + 16

123 = 7 · 16 + 11

16 = 1 · 11 + 5

11 = 2 · 5 + 1

Kad je ostatak jednak 1 postupak dijeljenja završava. Iz tih jednakosti izražavamo ostatke:

16 = 1000 − 8 · 123

11 = 123 − 7 · 16

5 = 16 − 1 · 11

1 = 11 − 2 · 5

Uvrstimo u posljednju jednakost izraz za broj 5 iz pretposljednje jednakosti:

1 = 11 − 2 · 5 =

= 11 − 2 · (16 − 11 · 1) =

= 3 · 11 − 2 · 16 =

= 3 · (123 − 7 · 16) − 2 · 16 =

= 3 · 123 − 23 · 16

= 3 · 123 − 23 · (1000 − 8 · 123) =

= −23 · 1000 + 187 · 123.

Dakle, 1 = −23 · 1000 + 187 · 123, pa množenjem s 5 dobivamo

5 = −115 · 1000 + 935 · 123.

2. Nelinearne diofantske jednadžbe

a) Metoda faktorizacije

Primjer 3. Riješimo diofantsku jednadžbu 063 yxxy

Lijevu stranu jednadžbe rastavimo na faktore:

3131 yyx

331 xy

49

b) Metoda kvocijenta

Primjer 4. Riješimo diofantsku jednadžbu xyxy 2

Izrazimo jednu nepoznanicu, na primjer x

xy

2

c) Metoda posljednje znamenke

Primjer 5. Riješimo diofantsku jednadžbu 93199519941952 yx

Budući da kvadrat cijelog broja završava sa znamenkom 0, 1, 4, 5, 6 ili 9, a broj 5y sa

znamenkom 0 ili 5, slijedi da zbroj na lijevoj strani završava s 0,1,4,5,6 ili 9, a nikako s 3. Dakle,

zadana diofantska jednadžba nema rješenja.

d) Metoda kongruencija

Primjer 6. Riješimo diofantsku jednadžbu 199542 yx

Budući da je 1995 neparni broj, a 4y parni, tada je x2 neparan, tj. x je neparan. Možemo ga

pisati u obliku kkx ,12 Z. Uvrstimo li to u početnu jednadžbu dobivamo:

1994)(4

19954144

1995412

2

2

2

ykk

ykk

yk

Lijeva strana je djeljiva s 4, dok desna strana nije, pa jednadžba nema rješenja.

e) Metoda zbroja potencija s parnim eksponentima

Primjer 7. Riješimo diofantsku jednadžbu 084222 yxyx

Prikažimo ovu jednadžbu u obliku zbroja kvadrata. Dopunom do potpunih kvadrata dobivamo:

08444112 22 yyxx

132122 yx

Rješenja su (x, y) 4,25,1

50

f) Metoda nejednakosti

Primjer 8. Riješimo diofantsku jednadžbu xxx 543

Očito je x = 2 jedno rješenje ove jednadžbe. Dijeljenjem zadane jednadžbe s x5 dobivamo

15

4

5

3

xx

za 2x je 15

4

5

3

5

4

5

322

xx

,

a za 2x je 15

4

5

3

5

4

5

322

xx

.

Prema tome, x = 2 je jedino rješenje ove jednadžbe.

51

AL HVARIZMI

Marko Crnojević, 4.g

Kada želimo zapisati nečiji broj telefona ili izračunati

koliko će nas ukupno koštati neka roba koju

namjeravamo kupiti, služimo se arapskim brojkama.

Točnije rečeno, služimo se indijsko-arapskim brojevnim

sustavom. Naime, temelj suvremenog decimalnog

sustava u kojem se koriste znamenke od 0 do 9 razvio se

u Indiji te je dospio na Zapad zahvaljujući

srednjovjekovnim učenjacima koji su svoja djela pisali na

arapskom jeziku. Među njima je najistaknutiji bio

Muhamed ibn Musa al-Hvarizmi. On se najvjerojatnije

rodio na području današnjeg Uzbekistana oko 780.

godine. Hvarizmi je bio od izuzetne važnosti kao jedan

od prvih arapskih istaknutih matematičara, koji je

napravio odmak od grčkih zapisa i otvorio novu eru u

matematici. Mnogi ga smatraju jednim od najvećih

arapskih matematičara. Čime je zaslužio tu laskavu

titulu?

ČUVENI MATEMATIČAR

Al-Hvarizmi je pisao o upotrebi decimalnih brojeva te o jednoj metodi rješavanja složenih

matematičkih problema. Tu je metodu objasnio u svom djelu Knjiga o uspostavljanju i

suprotstavljanju. Time je postavio temelje za razvoj algebre. Naziv algebra nastao je od izraza

al-jabr, koji se javlja u arapskom naslovu al-Hvarizmijevog djela. Publicist Ehsan Masood,

vrstan poznavatelj povijesti arapske znanosti, smatra da je izum algebre “najvažnije

matematičko otkriće svih vremena i temelj svih znanosti”.

Koliko je arapski brojevni sustav jednostavniji od rimskog? Za usporedbu recimo samo da se

broj 188 rimskim brojkama piše CLXXXVIII

“Nebrojeni naraštaji srednjoškolaca baš i nisu presretni zbog tog otkrića”, rekao je u šali jedan

pisac. No al-Hvarizmi nije želio ljudima zagorčati život. On je u svojoj knjizi napisao da je samo

htio objasniti i pojednostaviti računske radnje koje se primjenjuju u trgovini, podjeli

nasljedstva, geodetskim mjerenjima i raznim drugim djelatnostima.

Stoljećima kasnije zapadnjački matematičari, među kojima su bili Galileo Galilei i Leonardo

Fibonacci, jako su cijenili al-Hvarizmija zbog toga što je na lako razumljiv način objasnio

primjenu jednadžbi. Al-Hvarizmi je svojim objašnjenjima utro put daljnjim istraživanjima na

području algebre, aritmetike i trigonometrije. Otkrića iz trigonometrije omogućila su

52

bliskoistočnim učenjacima da računaju kutove i duljine stranica različitih trokuta te vrše

napredna astronomska istraživanja.

Neki su matematičari na temelju al-Hvarizmijevih otkrića kasnije osmislili nove načine

korištenja decimalnih razlomaka i nove metode izračunavanja površine i volumena. Graditelji

koji su živjeli na Bliskom istoku počeli su koristiti te napredne metode računanja mnogo prije

negoli graditelji iz zapadnih zemalja. Oni su se s tim otkrićima upoznali tijekom križarskih

ratova te su ih kasnije prenijeli u zapadni svijet. Značajnu ulogu u širenju tih spoznaja odigrali

su i učeni muslimanski zarobljenici te doseljenici iz bliskoistočnih zemalja.

ALGEBRA

Al Hvarizmi je svoj najveći trag ostavio na polju algebre. Njegovo najveće djelo; Al-Kitāb

al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala, što u slobodnom prijevodu znači „Sažeta knjiga o

metodama računanja“ ima upravo tu tematiku. Smatra se da je upravo ta knjiga oblikovala i

definirala algebru. Štoviše, od naziva njegove metode „al-jabr“, koja se odnosila na operaciju

„upotpunjavanja“, odnosno dodavanja brojeva na obje strane jednadžbe u svrhu zbrajanja ili

poništavanja vrijednosti, dolazi i današnja riječ „algebra“ te ga se zbog toga smatra njenim

ocem. Druga operacija koju je koristio, „al muqabala“, se odnosila na proces skraćivanja

pozitivnih članova istog stupnja kada se oni pojavljuju na obje strane jednadžbe. Prema njemu,

jednadžbe su sastavljene od jedinica, korijena i kvadrata. Jedinicu predstavlja broj, korijen je

𝑥, a kvadrat 𝑥2.

TRIGONOMETRIJA

Al Hvarizmi se je uz algebru i aritmetiku bavio i trigonometrijom. Prvi je napravio

tablicu trigonometrijskih funkcija sinusa i kosinusa, što nije opće poznati podatak. Proučavao

je i sfernu geometriju, što je bilo značajno za geografska otkrića.

ARITMETIKA

Drugo najveće djelo Al Hvarizmija bavi se

aritmetikom. Točan naziv knjige nije poznat jer su originalni

arapski spisi izgubljeni, a za latinski prijevod je poznato da je

dosta izmijenjen. Tekst poznajemo po početne dvije riječi

„Dixit Algorizmi“ što bi slobodno prevedeno značilo

„Hvarizmi je rekao“. Smatra se da je riječ „algoritam“ upravo

nastala iz latinizacije njegovog imena. Zna se da je opisao

brojevni sustav temeljen na brojevima 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

i 0 (danas nam je poznat kao dekadski brojevni sustav).

Preuzeo ga je od indijskih matematičara i uveo ga u

matematiku Bliskog Istoka i Europe. Također, kao posljedica

njegovog učenja navodi se prvo razumijevanje nule kao broja

te njena primjena.

53

ZAPAD OTKRIVA DOSTIGNUĆA ARAPSKE MATEMATIKE

S vremenom su al-Hvarizmijeva djela bila prevedena na latinski. Općenito se smatra da je

talijanski matematičar Fibonacci (oko 1170.-1250.) zaslužan za to što je zapadni svijet prihvatio

indijsko-arapski brojevni sustav. Fibonacci se s njime upoznao dok je putovao po Sredozemlju,

a kasnije ga je podrobno opisao u svojem djelu Knjiga o abacima.

JESTE LI ZNALI?

Preteče današnjih brojki koristile su se u Indiji već u 3. stoljeću pr.Kr.

Kasnije su indijski učenjaci svoje znanje iz matematike prenijeli podanicima kalifa al-Mansura

na njegovom dvoru u Bagdadu.

U svom djelu Računanje s indijskim brojevima al-Hvarizmi je zagovarao korištenje decimalnog

brojevnog sustava. Podrobno je objasnio i razne pojmove iz starijih izvora, primjerice iz djela

grčkih, židovskih i indijskih učenjaka.

Iznimno vrijedno nasljeđe

“Kad govorimo o brojevima i matematici, neosporno je da su nam [srednjovjekovni

bliskoistočni učenjaci] ostavili u nasljeđe veliko i iznimno vrijedno znanje” (Ehsan Masood).

“Glavni je doprinos koji su Arapi dali matematici to što su povezali dvije različite matematičke

misli, grčku i indijsku… Tako je preko Arapa došla u Europu i indijska matematika, a posebno i

indijske brojke, koje su inače poznate kao arapske brojke” (Hrvatska opća enciklopedija).

U europskim je zemljama indijsko-arapski brojevni sustav “ušao u širu upotrebu tek tijekom

15. stoljeća”(Encyclopedia of Society and Culture in the Medieval World).

Al Hvarizmi je svakako bio jedan od značajnih arapskih matematičara. Zaslužan je za nove ideje

u matematici i bez njega ne bi bilo današnje algebre kakvu poznajemo. Zasluženo ga se zove

ocem algebre i smatra se da on možda više zaslužuje taj naslov od Diofanta, jer su njegovi

principi elementarni i temeljni za današnju algebru, dok se Diofant više bavio teorijom brojeva.

Osim što je pridonio i samom matematičkom jeziku, zbog čega danas imamo riječi „algoritam“

i „algebra“, bavio i drugim znanostima gdje je ostavio traga. Napravio je most između

matematike Antičke Grčke i Indije s matematikom Europe i Zapada. Al Hvarizmi je svojim

radom utjecao na mnoge druge matematičare. Uz njega, poznati arapski matematičari su bili

Al Karaji, koji je algebru oslobodio u potpunosti od geometrijskih operacija, Al Haytham, koji

se je bavio klasifikacijom parnih savršenih brojeva, Omar Khyyam, koji je dao potpunu

klasifikaciju kubnih jednadžbi i Nasir Al Din Al Tusi, koji je pridonio stvaranju trigonometrije

kao matematičke discipline. Zaključujemo kako je arapska matematika izuzetno važna u

povijesti i da je pridonijela mnogim današnjim granama.

slika 5.

54

FIBONACCI

Barbara Mašunjac, 4.g

Leonardo od Pise (12. – 13.st.), nama poznatiji kao Leonardo Fibonacci, ili samo Fibonacci, bio

je talijanski matematičar, jedan od najpoznatijih matematičara srednjeg vijeka. Već kao dječak

putovao je s ocem koji je bio carinik te je tako svoju mladost proveo u Arabiji. Tamo se upoznao

s arapskom, te s indijskom matematikom. Stoga je temelj njegove matematike upravo broj.

Leonardo je poznate i nepoznate veličine promatrao kao konkretne, nazivajući zadani broj

numerus ili denarius, u prijevodu novac, a nepoznati res, što znači stvar.

Fibonnaci je iza sebe ostavio čitav niz otkrića, kao što je razlomačka crta i računanje s

razlomcima, aritmetički niz, jednadžbe, iracionalne veličine, kvadratne jednadžbe, no dvije

stvari u kojima je ostavio najupečatljiviji trag su raširenost uporabe arapskih brojeva u Europi

te Fibonaccijev niz.

Arapski brojevi su nam svima vrlo bliski te se s njima susrećemo u svakodnevnom životu. To

su brojevi 0 (nula), 1 (jedan), 2 (dva), 3 (tri), 4 (četiri), 5 (pet), 6 (šest), 7 (sedam), 8 (osam), 9

(devet). Fibonacci je ovdje ostavio poseban trag iz razloga što je prvi upotrijebio nulu u

brojevnom sustavu.

Fibonacci je otkrio svoje brojeve tako što je promatrao kako brzo se zečevi mogu razmnožavati

u idealnim uvjetima, tj. koliko će se zečeva razmnožiti kroz godinu dana, s tim da zečevi, u

ovom slučaju, nikada ne umiru. Pretpostavka je zvučala ovako: prvi mjesec imamo jedan par

zečeva (1 muški, 1 ženski). Na kraju drugog mjeseca imamo dva para zečeva, na kraju trećeg

mjeseca tri para zečeva, itd. Nakon 12 mjeseci bismo došli do rezultata od 233 para zečeva.

Do tog broja smo došli tako što smo zbrajali uvijek dva prethodna broja.

55

Jednostavno pravilo Fibonaccijevog niza je da zbrojimo dva prethodna broja kako bismo dobili sljedeći, odnosno to je kompozicijski zakon u kojem se manji dio odnosi prema većem kao veći dio prema ukupnom.

Fibonaccijev niz se često povezuje sa brojem zlatnog reza fi, 𝜑 . Taj broj je često nazivan

''Božanskim omjerom''. Fibonaccijeve brojeve pronalazimo svugdje u prirodi. Npr.

razmnožavanje pčela, oblik školjke, u oblicima mnogih biljaka, i sl. Jedan od primjera

Fibonaccijevog niza imamo u suncokretu: red sjemena u centru suncokreta izgleda kao spiralni

uzorak. Ako podijelimo spirale koje idu u lijevo i one koje idu u desno, dobit ćemo dva

Fibonaccijeva broja.

Fibonaccijev broj ćemo

često dobiti ako

prebrojimo latice na

nekom cvijetu. Nama

najzanimljiviji primjer

''Božanskog omjera'' je

upravo u ljudskom tijelu.

Ljudsko tijelo se u

potpunosti sastoji od

Fibonaccijevog niza. Naše

tijelo se sastoji od brojeva 1, 2, 3 i 5. Imamo jedan nos, dva oka, tri

dijela svakog uda te pet prstiju na svakoj ruci. Izmjerimo li cijelu

dužinu svoga tijela i podijelimo je s dužinom od pupka do poda,

dobit ćemo broj 𝜑. Također, izmjerimo li udaljenost od ramena do

vrhova prstiju i podijelimo je s udaljenosti od lakta do vrhova

prstiju, dobit ćemo 𝜑, tj. 1,618. Isto tako, udaljenost od kuka do

poda podijeljena s udaljenošću koljena do poda daje 1,618.

56

Zlatni rez odnosno broj 𝜑 danas pronalazimo gotovo svugdje pa tako i u umjetnosti i glazbi.

Leonardo da Vinci jedan je od prvih umjetnika koji je proučavao proporcije ljudskog tijela i na

temelju toga izrađivao svoje portrete. Zbog toga se njegovo djelo ''Mona Lisa'' smatra

sinonimom savršenstva.

Fibonaccijev niz također često pronalazimo u arhitekturi. Matematika i arhitektura su uvijek

bile bliske, ne samo zbog toga što arhitektura ovisi o razvoju matematike, nego i zbog njihove

zajedničke težnje redu i ljepoti, odnosno forme u konstrukciji. Jedna od najpoznatijih

građevina, građena na principu zlatnog reza, tj. omjera BC : AB = AB : BC, je Partenon. Partenon

je antički hram posvećen božici Ateni. Partenon je jedna od najskladnijih građevina iz razloga

što su Grci za mjerenje koristili mjere preuzete iz veličine dijelova ljudskog tijela: palac – dlan

– pedalj – lakat – ruka – korak. Načelo ˝Čovjek je mjerilo stvari!¨ je realizirano u Partenonu.

57

Školjka puža Nautilus je jedan od najsavršenijih oblika u prirodi. Ona je u obliku spirale čiji su

sastavni dijelovi kvadrati, svi dužine jednog od Fibonaccijevih brojeva.

Liber Abaci, ili u prijevodu knjiga računanja, je Fibonaccijevo najpoznatije djelo u kojem govori

o aritmetici. Liber Abaci je jedna od prvih zapadnih knjiga u kojoj su opisane arapske brojke.

Fibonacci je svojom knjigom htio uvjeriti narod o superiornosti novih brojeva. Prvi dio knjige

predstavlja novi brojevni sustav, uključujući pretvaranje između različitih sustava. Drugi dio

knjige donosi primjere iz trgovine, tj. govori o pretvaranju valuta, te izračunu dobiti i interesa.

Treći dio razmatra problem matematičkog niza, u kojem se opisuje rast populacije zečeva, po

čemu je Fibonacci i najpoznatiji. Posljednji, četvrti dio je vezan uz iracionalne brojeve, poput

korijena.

Fibonacci je jedan od najvećih i najznačajnijih matematičara svih vremena i možemo mu

zahvaliti na mnogočemu.

58

VIÈTE

Karolina Marenić, 2.g

François Viète (1540.-1603.) bio je znameniti francuski matematičar, koji to zapravo nije bio.

Po struci je bio pravnik i radio je kao pravnik i zastupnik u parlamentu u Francuskoj, a

matematikom se bavio iz hobija te je svojim matematičkim znanjem uvelike pomogao svojoj

državi.

U vrijeme francuskog kralja Henrika IV., španjolski kralj Filip II. 1590. godine šalje zahtjev za

francuskim prijestoljem na osnovi rodbinskih veza. Kralj Henrik odbija zahtjev te dolazi do rata.

U to doba španjolski su agenti komunicirali koristeći šifre sa oko 500 znakova. Francuzi

presreću jednu od španjolskih poruka te ju kralj Henrik IV. daje Viètu da ju dešifrira. 15. ožujka

1590. Viète kralju daje dešifriranu poruku. Španjolci su nakon dvije godine shvatili da Francuzi

razumiju njihove poruke te je španjolski kralj Filip II. tužio Francusku papi da se koristi crnom

magijom, a Vièta da se osudi da je čarobnjak, u što papa nije povjerovao te je odbio zahtjev

španjolskog kralja.

François Viète kralj Henrik IV. kralj Filip II.

Françoisa Vièta smatramo osnivačem moderne algebre te nakon njega algebru smatramo

općom znanosti o algebarskim jednadžbama oslonjenu na simboličke oznake. Viète je također

zaslužan i za uvođenje prvog sustavnog označavanja algebarskih veličina. Godine 1591. Viète

objavljuje „In artem analyticem isagoge“, knjigu u kojoj je opisao primjenu algebre na

geometriju. François Viète nam u svom dijelu prikazuje već neke poznate, ali i svoje nove

metode rješavanja jednadžbi do 4. stupnja te daje vezu tj. Viètove formule između koeficijenta

i rješenja jednadžbe. Pojam „koeficijent“ uveo je Viète. Za poznate veličine koristio se

suglasnicima, a za nepoznanice je koristio samoglasnike.

59

KVADRATNA JEDNADŽBA KUBNA JEDNADŽBA

02 cbxax 023 dcxbxax

a

cxx

a

bxx

21

21

a

dxxx

a

cxxxxxx

a

bxxx

321

133221

321

Godine 1593. Adriaan van Roomen, belgijski matematičar, zadao je zadatak sa jednadžbom

45. stupnja. Iako je tadašnji nizozemski ambasador izjavio da Francuska nema dovoljno dobrih

matematičara koji bi riješili van Roomenov problem, kralj Henrik IV. ga daje Viètu. Viète,

uočivši da se radi o trigonometrijskoj relaciji, s lakoćom rješava problem te spašava ugled

francuskih matematičara.

Adriaan van Roomen

VAN ROOMENOVA JEDNADŽBA 45. STUPNJA

64

45

8

15

16

5

4

74537959563411385007811375

34512074105306075232676280384942375488484125

483841800378658800236030652117679100469557800

1494504037645657404591111501230094545

3579

1113151719

2123252729

3133353739414345

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxxxxx

60

Viète je također uspio riješiti problem jednog od najvećih grčkih matematičara-geometra

Apolonija, a problem glasi „Konstruiraj kružnicu koja dira tri dane kružnice.“

VIETEOVO RJEŠENJE APOLONIJEVA PROBLEMA

r4 r3

r1 S1 S3

S r

r5 r2 R

S2

1579. godine pokušao je pomoću Arhimedove metode računanja opsega opisanih i upisanih

poligona izračunati broj te je dobio:

3.1415926535 < < 3.1415926537

VIETEOVO RAČUNANJE BROJA

222222

12

61

1579. godine François Viète u svom dijelu „Canon mathematicus“ objavljuje tablice

trigonometrijskih vrijednosti (sinus, kosinus,… )

SINUS I KOSINUS VIŠESTRUKOG ARGUMENTA

xxx

xxx

22 sincos2cos

cossin22sin

DVOSTRUKI ARGUMENT

TROSTRUKI ARGUMENT xxx

xxx

sin3cos43cos

sin4sin33sin

3

3

62

JOHN NAPIER

Laura Iličić, 3.g

John Napier (Edinburgh, 1550. - Edinburgh 1617. godine)

Općenito

Godine 1563. John se upisao na sveučilište St. Andrews. Diplomu je vjerojatno stekao u

inozemstvu, na sveučilištu u Parizu, a zna se i da je neko vrijeme boravio u Italiji i Nizozemskoj.

Napier je relativno slabo poznat izvan matematičkih i inženjerskih krugova, u okviru kojih je

napravio ključni pomak u uporabi matematike. Najpoznatiji je kao izumitelj logaritama i

Napierovih kostiju, te zbog popularizacije uporabe decimalnog zareza.

LOGARITMI

Metodu prirodnog logaritma prvi je predložio 1614. John Napier u svojoj knjizi Mirifici

Logarithmorum Canonis Descriptio. Ova metoda doprinijela je napretku znanosti, a posebno

astronomiji, čineći neke teške računice mogućim. Sve do uporabe računala u znanosti, ova

metoda je korištena u svim granama praktične matematike. Pored svoje uporabe u računima,

logaritmi su popunili važno mjesto u višoj, teorijskoj matematici.

U početku, Napier je logaritme zvao "umjetnim brojevima", a antilogaritme "prirodnim

brojevima". Kasnije, Napier je stvorio riječ logaritam, zvučnu kovanicu koja je trebala označiti

odnos: λoγoς (logos) i αριθμoς (arithmos) što predstavlja broj. Termin antilogaritam je uveden

pred kraj 17. stoljeća i, iako se nikada nije pretjerano koristio u matematici, postojao je u

tablicama dok nije izašao iz uporabe.

Po zanimanju je bio teolog, matematičar,

fizičar, astronom i astrolog.

Nakon što je umro od gihta, Napier je sahranjen

u crkvi St. Cuthberta, Edinburghu.

http://hr.wikipedia.org/wiki/1550

http://hr.wikipedia.org/wiki/1617.

http://hr.wikipedia.org/wiki/Teologija

http://hr.wikipedia.org/wiki/Matematika

http://hr.wikipedia.org/wiki/Fizi%C4%8Dar

http://hr.wikipedia.org/wiki/Giht

http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Crkva_St_Cuthberta&action=edit&redlink=1

63

LOGARITAMSKE OPERACIJE

NAPIEROVE KOSTI

Napierove kosti su neka vrsta mehaničkog računala koje služi za množenje, dijeljenje i

računanje drugog korijena. Svoj izum je opisao u djelu koje se zove «Rabdology». Knjiga je

izdana u Edinburghu krajem 1617. godine.

Sastoje se od ploče s okvirom unutar koje se stavljaju štapići s brojevima. Prve verzije

Napierovih kostiju su bile izrađene na slonovači po čemu su i dobile ime. Lijevi rub ploče je

podijeljen na 9 kvadrata u kojima su brojevi od 1 do 9. Štapići su također podijeljeni na 9

kvadrata tako da su svi osim prvog podijeljeni dijagonalnom crtom. U prvom kvadratu se nalazi

neki broj od 1 do 9 dok su ostali kvadrati na štapiću umnošci tog broja s brojem na lijevom

rubu ploče u čijem se redu nalazi.

DECIMALNI ZAREZ

Napier je popularizirao korištenje decimalnoga zareza pri pisanju brojeva.

64

Najpoznatija djela:

Plaine Discovery of the Whole Revelation of St. John, 1593.

Statistical Account

Mirifici logarithmorum canonis descriptio, 1614.

Construction of Logarithms, 1619.

Po Johnu Napieru nazvana je alternativna jedinica za decibel kao i Sveučilište Napier, u

Edinburghu, Škotska.

http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Sveu%C4%8Dili%C5%A1te_Napier&action=edit&redlink=1

65

HENRY BRIGGS

Patricia Kujundžić, 3.g

Henry Briggs (1561.- 1630.) bio je engleski matemtičar te uzoran profesor, u svoje vrijeme.

Poznat je po mijenjanju izvornih logaritama, koje je izmislio John Napier, u logaritme s bazom

10. Sada ih, u njegovu čast, nazivamo Briggsovim ili dekadskim logaritmima.

Rođen je u Warleywood-u, u Yorkshireu, u Engleskoj. Učio je grčki i latinski jezik u lokalnoj

gimnaziji. Kasnije je studirao u St. John's Collegeu, u Cambridgeu, na kojem je diplomirao 1581.

godine. Čitao je matematičku literaturu te se za to vrijeme zanimao za astronomiju, zajedno s

Edwardom Wrightom.

Od 1596. postaje prvi profesor, tada novoosnovane puritanske škole po imenu Gresham

College, u Londonu. (U puritanskim se školama učila geometrija, astronomija i navigacija.)

Ondje je predavao gotovo 23 godine i napravio ju je centrom engleske matematike. Podržavao

je ideje Johannesa Keplera.

Bio je dobar prijatelj Christophera Heydona, pisca o astrologiji,

iako je sami Briggs odbacio astrologiju zbog vjerskih razloga. U

to je vrijeme dobio kopiju Napierove knjige Mirifici

Logarithmorum Cannonis Descriptio, u kojoj je uveo osnovnu

ideju logaritama. Iako je knjiga bila pomalo čudna za shvatiti,

Briggs se njome služio na svojim predavanjima u Gresham

Collegeu te ga je potaknula na vlastite ideje.

Briggs kreće od uvjeta log(10) = 1 i konsturira nove pomoću

korijena (logaritam drugog korijena broja je pola njegova

logaritma); 1624. Briggsova knjiga, Arithmetica Logarithmica –

sadrži tablicu logaritama od brojeva od 1 do 20000 i od 90000

do 100000 na po 14 decimala.

66

Dekadski, obični ili Briggsovi logaritmi - logaritmi s bazom 10.

Oznaka: 𝑙𝑜𝑔𝑥 ili 𝑙𝑜𝑔10𝑥

ZANIMLJIVOSTI

Mjesečev krater Briggs dobio je ime upravo po Henryju Briggsu.

Briggs je imao dva sina, Henryja i Thomasa.

Bio je aktivan u astronomiji, navigaciji i mjerenju.

67

RENÉ DESCARTES

Andrea Pupilo, 2.g

René Descartes rođen je u plemićkoj obitelji 31. ožujka 1596. godine u tadašnjem mjestu La

Haye Touraine (danas Descartes) u Francuskoj. Kao dijete bio je boležljiv pa mu je bilo

dozvoljeno da do 11 sati ujutro ostane u krevetu ležati, a tu je naviku zadržao i poslije.

Obrazovan je na aristokratskom fakultetu koji su tada vodili Isusovci te se tamo počeo

ozbiljnije zanimati za matematiku, kao i ostale prirodne znanosti. Švedska kraljica Kristina

pozvala ga je 1649. godine da ju poučava matematiku, te je Descartes prihvatio poziv. Kako je

kraljica zahtijevala ranojutarnju poduku Descartes je bio prisiljen svakodnevno u pet sati

ujutro prolaziti kroz hladan dvorac do kraljice. Zbog svoje navike ležanja do kasnog jutra i

svojeg slabog zdravlja hladnoća je uzrokovala upalu pluća te je Descates nakon dva mjeseca

provedena u Stockholmu umro.

Slika 1. – René Descartes

Descartes je, između ostalog, utemeljio vezu između algebre i geometrije. On je shvatio

da se geometrija može zabilježiti u obliku algebre, pomoću koordinata koje određuju položaj

u odnosu na fiksne, okomite crte (os apscisa i ordinata) i obrnuto (svaka se algebarska

jednadžba može prikazati grafom).

68

RAZVOJ KOORDINATNOG SUSTAVA

Koordinate su se već tisućama godina prije Descartesa upotrebljavale na kartama, a

Descartesovo je otkriće bilo razumijevanje povezivanja geometrije i algebre koordinatama.

Descartes je, prema anegdoti, inspiraciju za uvođenje koordinatne ravnine dobio gledajući

muhu na stropu gdje su rubovi spajanja zidova i stropa predstavljali koordinatne osi, a muha

neku točku koja ima određenu udaljenost od tih ''osi''.

U svom djelu La Géométrie iz 1637. Descartes detaljnije govori o korištenju jednadžbe s

jednom nepoznanicom u svrhu određivanja bilo koje točke na krivulji prema njenoj udaljenosti

od dvije fiksne crte (osi x i y). Drugi naziv za koordinatni sustav je Kartezijev koordinatni sustav

u čast Descartesu po latiniziranom prezimenu Cartesius. Descartes je svoju ideju objasnio na

način da se svaka točka u nekoj ravnini može opisati pomoću dva realna broja, koja je označio

slovima x i y (uređeni par), koja opisuju udaljenost te točke s obzirom na os apscisa i os

ordinata. Nakon te tvrdnje došao je do zaključka da se svaki pravac može opisati kao skup

točaka (x, y) koje zadovoljavaju jednakost 0 cbyax , a konike kao skupove točaka (x, y)

za koje vrijedi 022 feydxcybxyax . Descartes je rekao i da se takvo učenje

može primijeniti i u prostoru uvođenjem treće, prostorne osi (z), no tu je ideju ostavio

nerazrađenu.

Slika 2. – Koordinatni sustav s tri osi

Descartes je također uveo i danas općeprihvaćene oznake za nepoznanice (x, y, z...),

početna slova abecede koja predstavljaju koeficijente (a, b, c...) te označavanje potencija

pomoću eksponenta i baze ( nx ). Također, jedan od njegovih noviteta u matematici je

zapisivanje jednadžbe na način da su na jednoj strani jednadžbe članovi, a na drugoj strani

nula (npr. 0 cbyax )

69

DESCARTESOV TEOREM

Descartes je utvrdio da se za kružnicu koja ima polumjer r njezina zakrivljenost opisuje kao

rk

1 . Ako su

1k ,

2k ,

3k i

4k kružnice u ravnini među kojima se svake dvije dodiruju, tada

vrijedi jednakost:

2

4321

2

4

2

3

2

2

2

12 kkkkkkkk

Prema tome Descartes je zaključio da za tri kružnice od kojih se svake dvije dodiruju postoje

dvije koje diraju sve tri.

OSTALE ZANIMLJIVOSTI

Descartes je također poznavao i formulu 2 SBV , gdje je V broj vrhova, B broj

bridova, a S broj strana za konveksne poliedre. Tim teoremom započela je teorija grafova.

Descartesov list jest naziv algebarske krivulje trećeg reda, a zadana je jednadžbom

axyyx 333 . Krivulja se sastoji od čvorne točke koju dodiruju koordinatne osi i asimptote

0 ayx .

Slika 3. – Descartesov list

70

Descartesov oval je algebarska krivulja četvrtog reda. Za ovu je krivulju specifično da

udaljenost 1r i

2r bilo koje točke P od dviju čvrstih točaka

1F i

2F povezuje jednakost

amrr 1

(m i a su konstante). Ako je 1m dobivamo elipsu, a ako je 1m onda je riječ

o hiperboli.

Slika 4. – Descartesov oval

71

CAVALIERI

Ivan Jurić, 2.g

Bonaventura Francesco Cavalieri bio je talijanski matematičar. Rođen je 1598. godine.

Pristupio je Jezuitima u dobi od 15 godina. Živio je u Milanu i Rimu, postao je profesor u Bologni

1629. gdje je radio do smrti 1647. godine. Radio je u vrijeme renesanse. Kako se u renesansi

istraživalo kako svijet funkcionira tako je Cavalieri pisao puno toga o osnovnoj i primijenjenoj

matematici, o geometriji, astronomiji, astrologiji, trigonometriji i optici. On je prvi talijanski

pisac koji je uvidio važnost logaritama pa je 1632. godine izdao knjigu Directorium universale

uranometricum. U njoj je objavio logaritamske tablice za tangente, sekante... Cavalieri je

objavio više djela: Lo Specchio ustorio, Ovvero trattato delle settioni coniche (1632.),

Trigonometria plana et sphrica linearis et logarithmica (1635.), Rota planetaria (1640.).

Najpoznatije djelo mu je Geometria indivisibilibus continuorum nov qudam ratione promota

koje je prvi put tiskano 1635. godine.

CAVALIERIJEVA MATEMATIKA

U prvoj polovici 17. stoljeća mnogi astrofizičari i matematičari prihvaćali su teoriju nedjeljivih

geometrijskih objekata i fizikalnih veličina. To je bilo protivno Aristotelovu shvaćanju o

neprekinutosti tvari i geometrijskih oblika. To je podržavao Kepler. On je smatrao da je krug

pravilan mnogokut koji ima beskonačan broj stranica, a površina takvog kruga sastavljena je

od infinitezimalnih trokuta čije su osnovice stranice mnogokuta. Njihov vrh je u središtu kruga.

Jako važnu primjenu nedjeljivih dijelova učinio je Cavalieri. To je učinio kad je objavio svoju

knjigu Geometria indivisibilibus continuorum. Ta se knjiga smatra velikim događajem u

povijesti matematike. Tvrdnja na kojoj se ta knjiga temelji je da se površina sastoji od

indivizibila ili pravaca te da se cjelokupan volumen sastoji od nedjeljivih površina ili od kvazi-

atomskih volumena. Geometrijske se likove promatra kao nekakve strukture koje su satkane

od nekih nedjeljivih elemenata: ravnih slojeva ili točaka tankih niti. To bi značilo da je svaka

dužina unija nedjeljivih točaka. Ravninski je lik sastavljen od beskonačno mnogo međusobno

paralelnih tankih dužina, a prostorni oblik od beskonačno međusobno paralelnih i tankih

slojeva. Ni Cavalieri to tada nije mogao skroz shvatiti pa je pratio korake vrijedne štovanja jer

i Arhimed nekoliko stoljeća prije Krista u njegovoj 'Metodi' koristio isti način razmišljanja

nakon čega se on gubi. No Cavalieri nije osjećao krivnju zbog logičkih nedostataka iza takvih

postupaka za razliku od Arhimeda. U njegovoj metodi računanja nema izostavljanja nikakvih

uvjeta zato što u uspoređivanju dvaju oblika ili likova uparivao svaki dio, ali baš svaki dio

jednog s nekim dijelom drugog lika ili oblika, ali nije izostavljao ni jedan element, ma kako

malih dimenzija on bio.

72

1. Prvi Poučak

Ako dva tijela imaju jednake visine, i ako su usporedni presjeci s osnovicama u jednakim

udaljenostima od njih uvijek u zadanom omjeru, onda su površine tijela također u tom omjeru.

U različitim literaturama ovaj poučak može se pronaći u različitim oblicima, ali njegova bit se

ne mijenja. On govori o ekvivalentnosti dvaju likova u ravnini, odnosno o uvjetima dovoljnim

da bi dva lika imala jednake površine.

Primjer 1.

Nacrtamo kružnicu promjera 2r. AB je promjer kružnice. Pravac p koji je okomit na

AB siječe kružnicu u točkama C i D, a tu dužinu u točki P. Od točke C ulijevo i od točke D

udesno odredimo na pravcu p točke E i F tako da je BPDFCE . Ako provedemo taj

postupak za sve pravce koji su paralelni s pravcem p dobit ćemo krivulju u obliku gljive.

Slika 1.

Primjer 2.

Kružnica k koja ima promjer duljine d = 2r kotrlja se po pravcu p. Točka A je u početnom

položaju točka dodira kružnice i pravca. Neka ona pri kotrljanju opiše luk AC cikloide.

Slika 2.

73

Točka T na luku te cikloide i pravac q paralelan je pravcu p koji prolazi kroz točku T. Za točku R

vrijedi da je PQTR za Q točku presjeka pravca q i kružnice. Ako taj postupak provedemo

za sve točke tog luka, dobijemo krivulju zvanu 'suputnica cikloide' kako ju je Roberval zvao.

Može se i pokazati da je ona sinusoida. Ta krivulja dijeli pravokutnik ABCD na dva sukladna

dijela što se može objasniti sukladnošću dužina PR i EF , a kako svakoj dužini poput PR

odgovara sukladna dužina EF , ispunjeni su uvjeti Cavalierijevog prvog poučka pa ta sinusoida

dijeli pravokutnik na dva dijela koji imaju sukladne površine.

2. Drugi poučak

Ako dva tijela u prostoru siječemo skupom paralelnih ravnina te ako su površine presjeka u

svakom pojedinom slučaju u istom omjeru, onda su u tom omjeru i volumeni tih dvaju tijela.

Iz tog poučka zaključujemo da svake dvije prizme koje imaju jednaku visinu i površinu imaju

jednak volumen.

Primjer 3. (Formula za volumen trostrane piramide)

ABCD je trostrana piramida kojoj treba odrediti volumen. Svaku trostranu piramidu možemo

nadopuniti do trostrane prizme. Pri tome piramida i prizma imaju sukladne osnovke i jednake

visine. DEF je sukladan trokutu ABC tako da su im stranice paralelne. Spojnice AD , BE i CF

su tada bočni bridovi piramide.

Slika 3.

Prizma ABCDEF je unija tri piramide: ABCD, BCDE i CDEF. One imaju jednak volumen. Piramide

ABCD i BCDE imaju sukladne osnovke. Trokuti BED i ABD u istoj ravnini, imaju iste visine jer im

je točka C zajednički vrh. Znači da imaju i jednake volumene. Piramidama BCDE i CDEF su

osnovke trokuti BCE i CFE koji su sukladni, a imaju jednake visine jer im je točka D zajednički

vrh, ujedno imaju i jednake volumene. Volumen piramide jednak je trećini volumena prizme

sa sukladnom osnovkom i jednakom visinom. Volumen piramide jednak je: BvV3

1 , gdje

je B površina baze, a v duljina visine.

74

INTEGRALI

Kako je koristio svoju ideju nedjeljivih dijelova, svoj prvi poučak, Cavalieri je došao do rezultata

koji su bili prekretnica u povijesti računanja. Tada je ustanovio ono što je danas poznato kao

a n

n

n

ax

0

1

1

Ta se tvrdnja dokazuje promatrajući paralelogram, trokute na koje ga dijagonala dijeli i na

indivizibile od kojih su ti trokuti sastavljeni. Ako je ABCD paralelogram, BD mu je dijagonala,

c tetiva paralelograma koja je paralelna sa AB , a x je dio tetive c koja je tetiva trokuta ABD.

Tada, promatrajući c kao invizibil paralelograma i x kao indivizibil trokuta, Cavalieri je tvrdio

da je xc 2 , a predstavlja sumu tih tetiva. Skup tetiva c i x smatra se opisom

paralelograma ABCD i trokuta ADB što znači da c i x pokazuju odnos njihovih

površina.

75

BLAISE PASCAL

Antonio Horaček, 4.g

Blaise Pascal bio je francuski matematičar, fizičar, izumitelj, pisac i kršćanski filozof. Bio je

''čudo od djeteta'', a školovao ga je otac. Pascalovi najraniji poslovi bili su u primjenjenim i

prirodnim znanostima, gdje je doprinio proučavanju tekućina te je pojasnio pojmove tlaka i

vakuuma generalizacijom rada Evangelista Torricellija.

Slika 1. Blaise Pascal Slika 2. Pascalina- prvi stroj za računanje

1642. godine, dok je još bio tinejdžer, počeo je pionirski rad na računalnim strojevima. Nakon

tri godine truda i pedeset prototipa, sagradio je dvadeset gotovih strojeva zvanih ''Pascalova

računala'', a kasnije Pascaline. Pascalina je mogla obavljati četiri osnovne računske operacije,

a radila je s brojevima do 9 999 999. Upravo su ga ti strojevi, tijekom sljedećeg desetljeća,

učinili prvim od dva izumitelja mehaničkih računala.

Pascalov doprinos matematici

Prvi značajan rad, Blaise je napisao sa samo 16 godina, a bio je to osnovni nacrt njegove čuvene rasprave o presjecima stožca.

Slika 3. Presjeci stožca

76

Sa šesnaest godina Blaise Pascal, također je stvorio i svoj čuveni mistični heksagram (Pascalov teorem), koji nije sačuvan. Tim svojim mladalačkim radovima stekao je glas ozbiljnog znanstvenika u koga su polagane velike nade.

Slika 4. Pascalov mistični heksagram

U njegovoj ''Raspravi o aritmetičkom trokutu'' (Traité du triangle arithmétique), opisao je zgodan, praktičan tablični prikaz za binomne koeficijente, sada nazvan ''Pascalov trokut''. Trokut prikazuje mnoga matematička svojstva pokazujući binomne koeficijente. Svaki broj u Pascalovu trokutu zbroj je dva neposredno iznad njega te to definira ovako:

Slika 5. Pascalov trokut

1654. godine, zbog vjerskih razloga, Pascal je u potpunosti odustao od rada u matematici.

77

Pascalov doprinos fizici

Njegov rad na području hidordinamike i hidrostatike bio je usmjeren na načelima hidrauličkih

tekućina. Njegovi izumi uključuju hidrauličku prešu (koristi hidraulični tlak da umnoži snagu) i

špricu. Dokazao je da hidorstatski tlak ne ovisi o težini tekućine, nego o razlici u visinama, što

je i dokazao pokusom koji pokazuje djelovanje Pascalova zakona.

Hidrostatski tlak povećava se dubinom, djeluje jednako u svim smjerovima te je jednak na svim

mjestima na istoj dubini. Matematički se to izražava ovako:

Slika 6. Pokus koji je Blaise osmislio i izvršio. On dokazuje Pascalov zakon.

Pascalov zakon

Temeljni je zakon hidrostatike, a glasi: ''U tekućini koja se nalazi u zatvorenoj posudi, vanjski

tlak širi se jednako na sve strane, odnosno čestice tekućine prenose tlak u svim pravcima

jednako.''

78

LEIBNIZ & NEWTON

Stjepan Marijan, 4.g

Gottfried Wilhelm Leibniz je rođen u Leipzigu 1. srpnja 1646.

godine. Bio je njemački filozof, matematičar, fizičar i diplomat. S

nepunih 20 godina proučio je većinu matematičkih djela koja su

do tada bila poznata. Prije nego što je odabrao diplomatsku

karijeru studirao je pravo. Tijekom svojih brojnih putovanja kroz

Europu upoznao je mnoge vodeće matematičare svojega

vremena. Većinu svoga slobodnoga vremena posvećivao je

matematici. Bio je preteča Georgea Boolea i simboličke logike.

Leibniz je također zaslužan za današnje oznake za „diferencijal“

i „integral“. Primljen je u Francusku akademiju znanosti 1559.

godine kao

„vanjski“ član. U

Parizu je uspio ostvariti značajne pomake na

području matematike. Ondje je razvio

infinitezimalni račun koji je objavio tek 1686.

godine i koji će poslije postati povod za sukob s

Isaacom Newtonom. Leibniz je još poznat i po

prvom modelu računalnog stroja. Na temelju tog

izuma primljen je u veoma uglednu Kraljevsku

akademiju u Londonu.

Isaac Newton je rođen u Woolsthorpe-by-Colsterworthu 4.

siječnja 1643. godine. Bio je engleski astronom, matematičar i

fizičar. Završio je studij matematike u Cambridgeu gdje je poslije

radio i kao profesor. Isaac Newton si je s nepunih 20 godina

osigurao mjesto jednog od najvećih matematičara u povijesti s

postavljanjem metode fluksije. Otkrio je još opći zakon gravitacije

i da se bijela svijetlost sastoji od

spektra boja. 1668. je izumio zrcalni

teleskop uz pomoć kojega je promatrao Jupiterove satelite. Na

temelju njega je primljen u Kraljevsku akademiju. Po primanju u

Kraljevsku akademiju dolazi u sukob sa mnogim znanstvenicima

svoga doba, a najpoznatiji je onaj s Gottfriedom Wilhelmom

Leibnizom oko pitanja prvenstva u otkriću infinitezimalnog računa.

79

INFINITEZIMALNI RAČUN

Infinitezimalni račun je grana matematike koja se bavi funkcijama, derivacijama, integralima,

graničnim vrijednostima i limesima funkcije. Središnji koncept kojim se opisuje promjena

varijable je funkcija. Dvije glavne grane su diferencijalni i integralni račun. Infinitezimalni račun

čini osnovu matematičke analize. Koristi se u znanosti, ekonomiji, inženjerstvu itd. Služi za

rješavanje mnogih matematičkih problema, koji se ne mogu riješiti algebrom ili geometrijom.

POVIJEST INFINITEZIMALNOG RAČUNA

Počeci infinitezimalnog računa sežu još u antičku Grčku. U 5. st. pr. Kr. Zenon iz Eleje je prvi

razmatrao pitanja beskonačno malih veličina, a Eudoksova metoda ekshaustije iz 4. st. pr. Kr.

je bila rani i vrlo precizan oblik integralnog računa. Arhimed je oko 225. godine pr. Kr. koristeći

Eudoksove metode ekshaustije izračunao

površinu dijelova parabole upisujući u nju

trokute. Isto tako je izračunao i površinu kruga

upisujući u krug pravilne poligone. Do početka

17. stoljeća nisu se dogodili znatni pomaci na

području infinitezimalnog računa. Isusovac Bonaventura Francesco Cavalieri je na temelju

Keplerovih metoda integriranja došao do svoje metode nedjeljivih veličina koje je objavio u

djelu Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota.

SUKOB NEWTONA I LEIBNIZA

Krajem 17. stoljeća, neovisno jedan o drugom, Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz su

otkrili moderni infinitezimalni račun, odnosno deriviranje, integriranje i njihovu međusobnu

inverznost. Iako su imali jednake rezultate oni su se ipak razlikovali notacijski i pojmovno.

Njima možemo zahvaliti na otkrivanju inverznosti deriviranja i integriranja, te to što su za obje

operacije razvili odgovarajuće tehnike.

Isaac Newton je 1671. godine napisao tekst o fluksijama pod nazivom De Methodis Serierum et Fluxionum. Koji je objavljen 60 godina kasnije. Kako su izdavači Barrowovih djela bankrotirali, u to doba su se vrlo teško objavljivali matematički rezultati pa je zato većina djela objavljena puno kasnije nego što su napisana.

Gottfried Wilhelm Leibniz je po povratku iz Pariza već imao prve rezultate o infinitezimalnom računu. Godinu dana kasnije postao je članom Kraljevske akademije. Postoji mogućnost da je prilikom posjeta Kraljevskoj akademiji u Londonu vidio Newtonove zapise. No vjerovatno ih tada još nije mogao razumjeti zbog Newtonovog načina pisanja. Newtonovi rezultati su bili pisani za današnji način zapisivanja vrlo nejasno. Leibnizov stil pisanja bio je mnogo sličniji suvremenom matematičkom zapisu. Leibniz je puno pažnje posvećivao notaciji. Uz želju da

80

dobije formalne metode za infinitezimalni račun, motivaciju za svoje rezultate našao je i u razmatranju nizova diferencija i Pascalova karakterističnog trokuta.

Newtonovi rezultati su nešto stariji od Leibnizovih, no nisu objavljivani dosta vremena. Leibnizovi rezultati sežu u doba postojanja neobjavljenih Newtonovih rezultata o infinitezimalnom računu. Leibnizovi prvi objavljeni rezultati su iz godine 1684., a Newton je svoje prvi put objavio 1687. Iako isti, Leibnizov koncept je i notacijski i konceptualno dosta drugačiji od Newtonovog: Leibniz problemima pristupa više geometrijski, dok je Newtonov pristup više fizikalan. Stoga je opravdano obojicu smatrati podjednako zaslužnim. Leibniz je 1684. i 1686. godine objavio radove u kojima detaljno opisuje svoj diferencijalni i integralni račun. Newton je pak godinu kasnije objavio svoj zapis o metodama fluksije.

Godine 1711. John Keill je u svom članku u Transactions of the Royal Society of London optužio Leibniza za plagijat. Na što je Leibniz odgovorio da za račun fluksija nije znao dok nije pročitao Wallisova djela. Ali je Keill uzvratio da je te rezultate mogao iščitati iz pisama koja mu je poslao Newton. Leibniz se je požalio Kraljevskoj akademiji za nepravdu koju mu je nanio Keillov članak. Kraljevska akademija je na temelju te žalbe osnovalo komisiju koja je trebala utvrditi prvenstvo u otkriću infinitezimalnog računa. Zanimljivo je to da Leibniza nitko nije bio pitao za njegovu verziju događaja, te da je komisijin izvještaj napisao sam Newton, naravno u svoju korist. Izvještaj je objavljen 1713., a Leibniz je za njega saznao iz pisma koje mu je uputio Johann Bernoulli.

Leibniz je potom objavio anonimni pamflet naslova Charta volans u kojem je naveo jednu Newtonovu grešku vezanu za više derivacije. Na taj pamflet je ponovno odgovorio Keill, no Leibniz je odbio raspravljati s njime i pritom je rekao da se ne može raspravljati s idiotom. Nešto kasnije pisao mu je i sam Newton kojemu je odgovorio s detaljnim opisom svojih otkrića. Rasprava o prvenstvu nikad nije završena te je nastavljena i nakon Leibnizove smrti 1716. S vremenom je više manje prihvaćena ideja podjednake zasluge obojice.

81

DE MOIVRE

Iva Ciprijanović, 4.g

Abraham de Moivre rođen je u mjestu Vitry u Francuskoj, 26.

svibnja 1667. godine. Bio je francuski matematičar poznat po

formuli koja povezuje kompleksne brojeve i trigonometriju te

po svojem radu na području normalne distribucije i teorije

vrijednosti. Iako je de Moivre najpoznatiji po formuli za

kompleksne brojeve, njegovi najbitniji doprinosi matematici

tiču se teorije relativnosti. Dopunio je i pojednostavio

rezultate Jacoba Bernoullija. Kako je de Moivre bio

protestant, nakon edikta iz Nantesa (1685.) bio je neko

vrijeme u zatvoru, a nakon tog odselio se u Englesku gdje je

proživio ostatak života. Nakon dolaska u London za život je

zarađivao kao privatni učitelj matematike te je učenike

podučavao u njihovim domovima, ali i u londonskim kafićima. Prema nekim izvorima, za život

je zarađivao i dajući savjete kockarima. Prijatelji su mu bili Edmund Halley i Newton. Tako je

1710. postao i članom komisije koja je trebala razriješiti svađu Newtona i Leibniza oko

prvenstva u otkrivanju infinitezimalnog računa. Royal Society ga je na to mjesto imenovalo

upravo zbog prijateljstva s Newtonom. Ipak zanimljivo je da je imenovan kao član komisije

tako uglednog društva, a da pritom nije bio zaposlen na nekom sveučilištu.

De Moivre se naime nadao dobiti poziciju profesora matematike, no kao što je u Francuskoj

bio diskriminiran zbog svoje protestantske vjere, u Engleskoj je bio diskriminiran jer je Francuz.

Tako je de Moivre cijeli život proveo prilično siromašno i bez stalnog zaposlenja, u čemu mu

nisu uspjeli pomoći ni njegovi utjecajni prijatelji. De Moivre se nikad nije oženio. Poznata je

anegdota da je predvidio dan svoje smrti tako što je utvrdio da svaki dan spava po 15 minuta

dulje te je sumacijom odgovarajućeg aritmetičkog niza izračunao da će umrijeti na dan kad

prespava puna 24 sata, i bio je u pravu.

Glavno de Moivreovo djelo je The Doctrine of Chance: A method of calculating the probabilities

of events in play (latinska verzija 1711., engleska 1718.).U toj se knjizi može naći definicija

statističke nezavisnosti događaja te niz zadataka vezanih za razne igre, primjerice (izdanje

1738.):

Primjer

Dan je niz različitih slova i biraju se nasumično. Treba naći vjerojatnost da će se neka od njih

pojaviti na istom mjestu u redoslijedu kako su i u abecedi, a da su pritom druga na krivim

mjestima. Za slučaj samo tri slova, recimo a, b i c, varijanta gornjeg zadatka bila bi: koja je

vjerojatnost da se pri slučajnom rasporedu rasporede tako da a bude prvo, a b i c zamijene

82

mjesta. Imamo 3!=6 mogućih načina (permutacija) da poredamo ta tri slova. Od tih šest načina

samo jedan (abc) zadovoljava navedene uvjete te je vjerojatnost takvog rasporeda 1/6. Ako

bismo imali četiri slova a, b, c i d (uz zabranjeno ponavljanje slova) i želimo vjerojatnost da

točno tri budu na pravim mjestima, ta je vjerojatnost 0 - ako su tri na pravim mjestima, onda

je i četvrto.

PROBLEM KOCKAREVE PROPASTI (izdanje 1756.)

Dva kockara igraju igru u kojoj u svakom krugu ulažu isti iznos (recimo 1 novčanu jedinicu) i

što jedan dobije drugi gubi (primjerice, bacaju novčić i ako padne pismo, dobiva prvi, a ako

padne glava, dobiva drugi). Neka je p vjerojatnost da prvi dobije u nekom krugu, a vjerojatnost

da drugi dobije je q= 1 – p. Igra se igra sve dok jedan od njih ne ostane bez novca (bankrot).

Ako prvi kockar na raspolaganju ima n novčanih jedinica za ulaganje, a drugi njih m, koja je

vjerojatnost da će prvi biti upropašten?

Tim zadatkom se za neke vrijednosti n = m bavio Huygens, a poopćili su ga Jacob Bernoulli i de

Moivre. Upravo de Moivre je 1712. dao prvo objavljeno rješenje tog problema. Ako p nije

jednako q tražena vrijednost iznosi:

𝒑𝑨 =𝟏 − (

𝒒𝒑)

𝒏

𝟏 − (𝒒𝒑)

𝒏+𝒎

Za slučaj kad je p = q =1/2 (recimo, o pobjedi odlučuje bacanje novčića) formula je:

𝒑𝑨 =𝒎

𝒏 + 𝒎

Moivre je osmislio i formulu za binomne koeficijente koja glasi:

a to znači ako sve binomne koeficijente (𝑛𝑘

) „normaliziramo“ dijeljenjem s 2𝑛, zbroj takvih

normaliziranih koeficijenata bit će 1. No, znamenita i najvažnija de Moivreova formula je:

Tu formulu je izveo 1707. godine, a nešto kasnije 1722.godine, predložio je drugi oblik

identiteta, sada poznatog pod nazivom DE MOIVREOVA FORMULA:

De Moivre je nastavio proučavati područje vjerojatnosti i matematiku sve do svoje smrti

1754. godine u Londonu i izvjestan broj dodatnih radova objavljen je tek nakon njegove

smrti. Najozbiljnije se vjeruje da je točno predvidio dan svoje smrti. Jednostavnim računom

došao je do nadnevka od 27. studenog 1754. godine i zaista je umro na taj dan.

83

EULER

Tomislav Cikojević, 4.g1

Leonhard Euler rođen je u Baselu, 15. travnja 1707. Bio je švicarski matematičar, fizičar i astronom. Otac Paul bio je pastor u protestantskoj crkvi, majka Marguerite Brucker, potjecala je iz svećeničke obitelji. Euler je imao dvije mlađe sestre, Anna Mariju i Mariju Magdalenu. Nedugo nakon njegova rođenja, obitelj je preselila u obližnji gradić Riehen, gdje je Euler proveo djetinjstvo. Jedan od bliskih prijatelja obitelji bio je, tada već u Europi priznati matematičar, Johann Bernoulli, a to je prijateljstvo zasigurno bilo presudno za životni put Leonharda Eulera. Sa školskim obrazovanjem započeo je u Baselu gdje je živio s bakom po majci. Već s 14 godina upisao se na fakultet. Najprije prolazi temeljito opće obrazovanje a 1723. završava studij radom u kojem uspoređuje učenje Descartesa i Newtona. Pokazuje sve veće zanimanje za matematiku i uočava rupe u svojem znanju, pa moli Johanna Bernoullija za redovitu privatnu poduku. No ovaj je pristao tek subotom ili nedjeljom poslijepodne odvojiti nešto vremena, kako bi mu odgovarao na pitanja i davao savjete što čitati i proučavati. Iskusni Bernoulli je brzo uočio Eulerovu izuzetnu nadarenost, te nazreo njegov silni znanstveni potencijal.

Kad je Euler počeo studirati teologiju, učiti grčki, latinski i hebrejski jezik, njegov se otac ponadao da će sin poći njegovim stopama. Nije Bernoulliju stoga bilo nimalo lako uvjeriti oca kako mu je sin sudbinski predodređen postati velikim matematičarom. Godine 1727. Euler završava svoj doktorat o širenju zvuka (De Sono). Iz iste godine potječe njegovo prvo značajno priznanje. Pariška akademija dodijelila mu je drugu nagradu za rješenje problema o optimalnom smještanju jarbola na jedrenjak. Svoju znanstvenu djelatnost razvio je u Berlinu i Petrogradu, gdje je držao katedru fizike i matematike. Njegova aktivnost nije stala ni kada je oslijepio, jer je tada diktirao svoje radove kojih ima približno 900. Razvio je teoriju redova, uveo tzv. Eulerove integrale, riješio mnoge diferencijalne jednadžbe, a u diferencijalnoj geometriji dao je prvu formulu zakrivljenosti ploha (Eulerov poučak). Posebno su važna dva njegova istraživanja u hidrodinamici, gdje je razvio teoriju turbina. Proučavao je širenje zvuka i svjetlosti. Eulerov odbor Švicarske akademije znanosti osnovan 1907., dobio je u zadatak objaviti cjelokupno Eulerovo djelo. U 100 narednih godina objavljena su 84 enciklopedijskog formata. Euler je najproduktivniji matematičar u povijesti. Nakon njegove smrti, Petrogradska je akademija još punih 50 godina tiskala njegove neobjavljene radove. Ruska je akademija, zbog obilate novčane carske potpore i uvjeta rada bila privlačna za mlade i ambiciozne europske znanstvenike. I kada je u srpnju 1726. Nicolas Bernoulli umro od upale slijepog crijeva i Daniel pozvao na upražnjeno mjesto obiteljskog prijatelja Leonharda Eulera, ovaj se nije mnogo dvoumio. U Sankt Petersburgu je stigao 17. svibnja 1727., te se zaposlio na medicinskom odjelu Akademije. Nedugo nakon njegova dolaska, umire carica Katarina I. i prijestolje preuzima dvadeset jednogodišnji Petar II. Rusko je plemstvo sumnjičavo prema stranim znanstvenicima što stvara probleme i umanjuje im carsku podršku. No Petar II. već 1730. umire i uvjeti se opet poboljšavaju. Godine 1731. Euler postaje profesorom fizike. Zanimljivo je da je u tom vremenu napisao Mehaniku, knjigu o teoriji glazbe, te djelo Scientia navalis u kojoj izlaže znanja iz hidrodinamike, gradnje brodova i navigacije. Dvije godine

84

kasnije, nakon što je Daniel Bernoulli napustio Rusiju i vratio se u Basel, Euler ga nasljeđuje na mjestu voditelja matematičkog odjela.

Euler se ženi 1734. Njegova je žena Katharina Gsell, kći švicarskog slikara Georgea Gsella, koji je živio u Sankt Peterburgu. Uskoro su kupili kuću na obali rijeke Neve. Imali su trinaestoro djece, od kojih je samo petoro preživjelo djetinjstvo, a samo je troje nadživjelo oca. Sin Johann Albrecht je Eulerov jedini potomak koji je slijedio očeve stope, bavio se matematikom i bio član Akademije. Euler je imao 21 unuka. Volio je djecu i pričao je kako je do svojih najvećih otkrića došao dok je držao bebu na rukama i dok su se oko njega motali drugi mališani.

Zabrinuti zbog učestalih nemira u Rusiji, Euler razmišlja o napuštanju Sankt Petersburga. Prihvaćaju ponudu pruskog kralja Frederica II. da prijeđe na fakultet u Berlinu i 19. lipnja 1741. s obitelji seli u Berlin. Euler je na fakultetu bio predvodnik matematičkog odjela. U Berlinu Euler provodi sljedećih 25 godina. U tom je periodu napisao preko 380 znanstvenih članaka i objavio svoja dva velika djela: Introductio in analysis infinitorum i Institutiones calculi differentialis. Tu je nastala i većina njegovih radova izračuna varijacija, teorije specijalnih funkcija, diferencijalnih jednadžbi, astronomije, mehanike. Bio je član gotovo svih značajnijih akademija u Europi i dobitnik brojnih priznanja i nagrada. Usprkos iznimnom utjecaju što ga je imao u Berlinskoj akademiji, Euler se sukobljavao s Fredericom II., čiji je ljubimac Voltaire zauzeo središnje mjesto u njegovu društvu.

Počeli su i problemi s vidom. 1738. oslijepio je na desno oko. Sljepoća je bila posljedica trovanja zbog gnojnog čira. Usprkos svemu nastavio je raditi s jednakim žarom, posvetio se čak izradi atlasa (izradio je prvu pomorsku kartu Rusije), zbirci karata za Petrogradsku akademiju. Nije prošlo dugo vremena, a siva mrena je prekrila i njegovo lijevo oko, te je bio potpuno slijep. Koliko ga god vrlo slab vid ometao u radu, zbog svog fantastičnog pamćenja nastavio se punim žarom baviti znanošću. Biografi u želji da prikažu Eulerovu memoriju često navode kako je bio u stanju napamet, bez zamuckivanja, izrecitirati cijelu Vergilijevu Eneidu i kako je za svaku stranicu mogao reći koji je redak na njoj prvi, a koji posljednji. Nakon gubitka vida, Euler je stvorio gotovo pola svog znanstvenog opusa, između ostalog, djelo o integralnom računu. Euler 1766. godine prihvaća poziv ruske carice Katarine II. i vraća se u Sankt Petersburg, gdje provodi ostatak života.

Nakon neuspjele operacije oka 1771. Euler je potpuno oslijepio. Iste godine zatiče ga još jedna nesreća. U velikom požaru koji je zahvatio Sankt Petersburg, nestao je i njegov dom, a iz kućice u plamenu, jedva ga je uspio izvući neki znanac. Bio je to početak Eulerova tužnog kraja. Nakon 40 godina zajedničkog života, 1773. umire mu žena. Nesposoban brinuti se o sebi, on nakon tri godine oženi ženinu sestričnu Abigail Gsell. 18. rujna 1783. Euler umire od izljeva krvi u mozak. Brzo i bezbolno. Sahranjen je u Pskovu na Lazarevskom groblju.

85

EULEROVA MATEMATIKA

Uočio je važnost pitanja konvergencije reda, iako nije uvijek pazio na to. I on je razvoje funkcija

u redove potencija koristio je za rješavanje diferencijalnih jednadžbi. Euler je upravo temeljem

razvoja eksponencijalne funkcije u red potencija uočio njenu vezu s funkcijama sinus i kosinus,

danas poznatu kao Eulerova formula:

Matematička analiza dugo je bila središnja točka njegova rada i zanimanja, a svoje najznačajnije djelo Uvod u analizu beskonačnosti objavljuje 1748. U tom djelu Euler definira funkciju kao analitički izraz sastavljen nekom metodom od promjenjive vrijednosti i brojeva ili od konstantnih vrijednosti, definira polinome, trigonometrijske funkcije, eksponencijalne funkcije, te njegovu suprotnu funkciju – logaritamsku funkciju.

Euler definira eksponencijalnu funkciju i na skupu kompleksnih brojeva, te je povezuje sa trigonometrijskim funkcijama. Za bilo koji realni broj vrijedi:

Kako je sinus ispruženog kuta jednak nuli, a kosinus jednak −1, za φ=180= π gornja formula

(nakon prebacivanja svih članova na lijevu stranu) poprima oblik:

Mnogi upravo zapisanu formulu smatraju najljepšom matematičkom formulom jer povezuje

pet najznamenitijih brojeva: 0, 1, e, π te i. Gornju vezu eksponencijalne funkcije sa sinusom i

kosinusom Euler je otkrio razmatrajući redove potencija. Redovi su beskonačne sume i neke

su razmatrali još srednjevjekovni matematičari, primjerice d’Oresme.

Eulerov pravac je pravac na kojem leže: težište T (tj. sjecište težišnica), centar O opisane

kružnice (tj. sjecište simetrala stranica) i ortocentar H (tj. sjecište visina) nekoga trokuta. Pri

tome vrijedi jednakost OT : TH = 1 : 2. Eulerov pravac jednoznačno je određen za svaki trokut

osim jednakostraničnoga; za jednakostranični trokut T, O i H se podudaraju, pa je Eulerov

pravac neodređen.

Jedan Eulerov jednostavan, ali značajan doprinos matematici, koji se smatra temeljem

topologije, a to je Eulerova poliedarska formula (Eulerov poučak) – jednakost koja povezuje

broj vrhova (V), broj bridova (B) i broj strana svakog konveksnog poliedra:

𝑉 − 𝐵 + 𝑆 = 2.

86

Posljedica Eulerove poliedarske formule je postojanje točno pet pravilnih poliedara. To su

pravilni tetraedar, heksaedar (kocka), oktaedar, dodekaedar i ikosaedar (Platonova tijela).

Grad Konigsberg (danas Kaliningrad) leži na rijeci Pregel. Četiri dijela grada povezana su sa

sedam mostova, Kako je prikazano slikom 1. Može li se grad obići tako da se svaki most prijeđe

točno po jednom?

Slika 1. Problem mostova u Königsbergu.

Upravo navedeni zadatak, poznat kao problem mostova u Konigsbergu, jedan je od

najpoznatijih zadataka tzv. zabavne matematike. Konačno rješenje, dokaz da je odgovor “ne”,

dao je Leonhard Euler. Metoda kojom je riješio problem postala je temelj nove matematičke

discipline topologije. Euler je naime uočio da je u ovom problemu nebitno koliko je što

udaljeno kao i kakav je točno raspored dijelova grada, jedino bitno je što je s čime povezano

mostovima. Upravo ta koncentracija na pitanja povezanosti dijelova nekog objekta umjesto

na njegova geometrijska svojstva (oblik, veličina i sl.) je temeljna razlika topologije i

geometrije.

Sam Euler je rješenje tog problema objavio 1736. godine pod naslovom Solutio problematis ad

geometriam situs pertinentis: iz naslova je vidljivo da je Euler bio svjestan da se radi o obliku

geometrije u kojemu su udaljenosti nebitne. Pritom je Euler dao puno općenitiji rezultat od

samog rješenja problema mostova u Konigsbergu— dao je pravilo kako općenito riješiti takve

probleme.

Suvremenim jezikom iskazano, Euler je primijetio da se radi o problemu iz teorije grafova, pri

čemu su grafovi objekti koji se sastoje iz nekog broja točaka (vrhova) povezanih linijama

(bridovima). Četiri dijela Konigsberga se mogu shvatiti kao četiri vrha grafa, a sedam mostova

kao sedam bridova (vidi sliku 2). Želimo li obići graf, u svaki vrh moramo ući i izaći. Kako je

uvjet zadatka bio svaki most, dakle brid, preći samo jednom, znači da se u svakom vrhu mora

sastajati paran broj bridova, što očigledno nije istina za graf problema mostova u Konigsbergu

pa grad nije moguće obići na zadani način.

87

Slika 2. Graf problema Konigsbergških mostova

Uz Eulerovo ime veže se čitav niz pojmova. Osim oznake 𝑓(𝑥) za standardni zapis realne

funkcije (1734.), uveo je još oznaku 𝑖 za √−1 (1777.), slovo 𝑒 za zapis poznatog Eulerovog

broja (1727.), oznaku 𝛴 za zbrajanje (1755.), oznake 𝛥, 𝑠𝑖𝑛, 𝑐𝑜𝑠 i mnoge druge. Iako mu se to

pripisuje, on nije uveo oznaku π u opseg i površinu kruga, ali je dosljednom upotrebom

pridonio da bude prihvaćena.

88

GAUSS

Marta Ćurić, 3.g

Slika 1. Johann Carl Friedrich Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss bio je njemački matematičar koji se, osim matematikom, bavio i

astronomijom, geodezijom, fizikom i topografijom. Rođen je 30. travnja 1777. u

Braunschweigu, a umro 23. veljače 1855. u Göttingenu. Već u ranom djetinjstvu, Gauss je

pokazivao iznimnu oštroumnost i genijalnost. Naime, učitelj je zadao zadatak zbrajanja brojeva

od 1 do 100, za što je prosječnim učenicima potrebno dosta vremena. Međutim, Gauss je taj

zadatak riješio na mnogo brži način, tako što je zbrojio prvi i posljednji broj, drugi i

pretposljednji broj te tako stvorio pedeset parova:

(1 + 100) + (2 + 99) + ... + (49 + 52) + (50 + 51) = 50 * 101 = 5050

S dvanaest godina shvaćao je osnove Euklidske geometrije, sa šesnaest je osmislio geometriju

drugačiju od Euklidove i nazvao ju „neeuklidska geometrija“, a sa sedamnaest godina počeo je

dokazivati teoriju brojeva. Svojim radom i preciznošću učinio je matematiku potpuno

različitom od matematike njegovih prethodnika.

Gauss je odrastao u skromnoj obitelji, a imao je veliku sreću što je naišao na potporu učitelja

Bütnera, koji je odmah uočio njegov izniman talent za matematiku.

Za svoju disertaciju „Novi dokaz da se svaka razumna integralna funkcija jedne varijable može

rastaviti u realne faktore prvog i drugog stupnja“ dobio je od Sveučilišta u Helmstedtu 1799.

godine titulu doktora znanosti.

1801. godine, dvadeset četverogodišnji Gauss objavio je svoje prvo majstorsko djelo-

Disquisitiones Arithmeticae.

89

Prema njegovim izračunima, 1801. godine otkriven je planetoid Ceres, a dao je i novu metodu

izračunavanja orbita svemirskih tijela.

Gauss je uz pomoć Laplaceove jednadžbe uspio odrediti lokaciju južnog magnetskog polja, a

budući da je njegova primjena matematike na magnetizam i elektricitet jedno od važnijih

doprinosa fizici, njemu u čast jedinica magnetske indukcije nazvana je gauss (danas je mjerna

jednica za magnetsku indukciju tesla). U suradnji s Weberom, otkrio je Kirchhoffove zakone,

napravio primitivni telegraf i stvorio vlastite novine - Magnetischer Verein.

Slika 2. Magnetischer Slika 3. Disquisitiones

Verein Arithmeticae

ZAKON KVADRATNIH OSTATAKA

Da bi riješio problem duljine perioda koji se dobiva dijeljenjem broja 1 s prostim brojem p,

provjerio je sve proste brojeve manje od 1000, čime je zapravo došao do zakona kvadratnog

reciprociteta. Iako je ranije Euler već došao do tog zaključka, Gauss ga je prvi potvrdio.

Osmislio je i poboljšanje u aritmetičkoj nomenklaturi i znakovima – kongruencije:

Ako je razlika dva broja a i b ( a – b ili b – a) djeljiva s brojem m, a i b su kongruentni u odnosu

na modulo m.

100 ≡ 2 (mod 7), 35 ≡ 2 (mod 11).

Zakon kvadratnog reciprociteta nalaže da su kvadratne kongruencije

𝑥2 ≡ p(mod q) i 𝑥2 ≡ q(mod p)

ili obje rješive ili obje nerješive za sve proste brojeve p i q, osim ako oba pri dijeljenju s 4 daju

ostatak 3 i u tom slučaju rješiva je točno jedna od te dvije kongruencije.

90

KONSTRUKCIJA SEDAMNAESTEROKUTA

Gauss je primijetio da potencije broja 3 pri dijeljenju sa 17 daju za ostatke brojeve od 1 do 16.

Tako je spoznao kriterij koji govori može li se neki pravilni mnogokut konstruirati ravnalom i

šestarom:

𝑥17 − 1 = 0

Konstrukcija sedamnaesterokuta, odnosno heptadekagona izvediva je ako je poznato kako

konstruirati kut od 2𝜋

17 uz pomoć ravnala i šestara, iz čega slijedi da se trigonometrijske funkcije

argumenta 2𝜋

17 mogu izraziti pomoću osnovnih aritmetičkih operacija i korjenovanja, što se vidi

u sljedećoj jednadžbi:

𝑐𝑜𝑠2𝜋

17=

1

16 ( −1 + √17 + √2 (17 − √17 + 2√17 + 3√17 − √2(17 − √17) − 2√2(17 + √17)

Slika 4. pravilan sedamnaesterokut

Otkrićem pravilnog sedamnaesterokuta, Gauss je počeo voditi svoj znanstveni dnevnik.

OSNOVNI TEOREM ALGEBRE

U svojem doktorskom radu, Gauss je dokazao osnovni teorem algebre:

Svaka algebarska jednadžba 𝒇(𝒛) = 𝟎 ima u skupu kompleksnih brojeva barem jedno

rješenje. Pritom se oslanjao na geometrijsku interpretaciju te tako uveo geometrijsku

predodžbu kompleksnih brojeva, a tako je nastala Gaussova ravnina, odnosno ravnina u kojoj

je os 𝑥 realna, a os 𝑦 imaginarna.

91

Slika 5. pravilo paralelograma za zbrajanje i odbijanje točaka u Gaussovoj ravnini

ANALITIČKA FUNKCIJA KOMPLEKSNIH BROJEVA

U pismu Besselu iz 1811., Gauss govori o svojem otkriću jednog teorema, kojeg danas najčešće

nazivamo Cauchyjevim integralnim teoremom, koji nalaže kako je linijski integral duž

zatvorene linije jednak nuli.

Godinu kasnije, Gauss je objavio veliko djelo o hipergeometrijskim redovima. To su redovi

oblika:

1 + 𝑎𝑏

𝑐𝑥 +

𝑎(𝑎+1) 𝑏(𝑏+1)

𝑐(𝑐+1)∗

𝑥2

2!+

𝑎(𝑎+1)(𝑎+2)∗𝑏∗(𝑏+1)(𝑏+2)

𝑐(𝑐+1)(𝑐+2)∗

𝑥3

3! ...

GAUSSOVA KRIVULJA

Gaussova krivulja ili normalna distribucija koristi se u raznim prirodnim znanostima, kao i u

znanostima koje se bave proučavanjem ponašanja. Ona govori o nasumičnosti i predstavlja

normalnu raspodjelu. Točnije, smisao krivulje je u tome da stvari, kad se mijenjaju nastoje

ostati u blizini točke prosjeka te se raspoređuju oko tog prosjeka po zvonolikoj krivulji. Krivulja

nikada ne siječe os 𝑥, već joj se samo približava, a važna činjenica jest da se 50% podataka za

koje se krivulja crta nalazi na jednoj, dok je ostalih 50% na drugoj strani krivulje. Formula

Gaussove funkcije je:

𝜑(𝑥) = 1

√2𝜋𝑒

−𝑥2

2

92

Slika 6. Gaussova krivulja

93

CAUCHY

Ivan Brtan, 4.g

Konačnu formalizaciju diferencijalnog računa postigao je Augustin Louis Cauchy. Rođen je u

Parizu, 21. kolovoza 1789. , a umro u Sceaux-u , 23. svibnja 1857. Bio je profesor matematike

i astronomije u Parizu. Smatra se osnivačem teorije funkcija jedne kompleksne varijable.

Razvio je teoriju valova u optici, radio na teoriji elastičnosti. Bio je jedan od prvih koji je

matematički strogo zasnovao i razvijao infinitezimalni račun.

Bio je vrlo plodan matematičar te je napisao mnogo djela iz različitih područja matematike.

Objavio je 789 radova, a nadmašili su ga samo Euler i Cayley.

Ono po čemu je posebno poznat je sklonost zagubljivanja radova drugih matematičara

(primjerice Galoisa). Poslije tog „slučajnog“ zagubljivanja objavljivao bi njihove rezultate pod

svojim imenom.

Ipak, njegova vlastita zasluga je postavljanje novih mjerila za strogost matematičkog dokaza i

postavljanje opće prihvaćenih temelja matematčke analize dosljednim korištenjem teorije

nejednakosti.

Upravo njemu zahvaljujemo za suvremene ε − δ formulacije u matematičkoj analizi, s tim da

je on suvremene ε – δ definicije limesâ izrazio riječima. Ovdje je zgodno napomenuti da je

Bernhard Bolzano (1781.-1848.) nekoliko godina ranije nego Cauchy (1817.) koristio ε – δ

formulacije u pokušaju definiranja neprekidnosti funkcija, no njegov rad nije postao poznat za

njegova života. Iako po rezultatima nije bio originalan, Cauchyjeve zasluge za novi okvir

matematičke analize su neosporne.

94

Laplace i Lagrange bili su česti gosti u domu Cauchy-jevih u doba Augustinova djetinjstva, a

Lagrange je nagovorio njegova oca da sinu da solidno matematičko obrazovanje. Pohađao je

École Polytechnique u Parizu.

Prvo zaposlenje mu je bilo vojni inženjer: 1810. je u Cherbourgu radio na utvrdama i lukama

za invaziju Napoleonove flote na Englesku. Kad se 1813. vratio u Pariz, Lagrange i Laplace su

ga uvjerili da se posveti matematici.

Postao je profesor matematike na raznim visokim školama, među inim i na École

Polytechnique, te član Akademije znanosti. Usprkos velikom uspjehu i neosporno važnim

matematičkim rezultatima, bio je neomiljen među kolegama: arogantan i samodopadan, uz to

relativno fanatičan katolik. S druge strane, bio je konzistentan u svojim političkim i vjerskim

uvjerenjima: nakon srpanjske revolucije 1830., odbio je dati zakletvu novom režimu i otišao u

egzil. Godine 1838. se vratio u Pariz u Akademiju znanosti, no zbog nedavanja zakletve nije

mogao dobiti natrag svoje predavačke pozicije.

Nakon promjene režima 1848., Cauchyju su vraćene sveučilišne pozicije, no u tom kasnijem

razdoblju njegova života intenzivirali su se sukobi s kolegama. Cauchy je pitanje konvergencije

preveo na jezik algebre nejednadžbi. Tako je primjerice već Maclaurin pisao da je suma reda

granica njegovih parcijalnih suma, no ta formulacija kod Cauchyja postaje precizna: za svaki

𝜀 > 0 može se naći 𝑛 takav da je za sumu više od 𝑛 početnih članova reda razlika između

ukupne i te sume manja od 𝜀. Iz takve definicije sume reda Cauchy je izveo dokaz konvergencije

geometrijskog reda za kvocijente koji su po apsolutnoj vrijednosti manji od 1 i zatim

uspoređivanjem drugih redova s geometrijskim dokazao razne kriterije konvergencije.

Cauchy je definirao i neprekidnost funkcije: funkcija 𝑓 je neprekidna na nekom intervalu ako

za sve 𝑥 iz tog intervala 𝑓(𝑥 + 𝛼) − 𝑓(𝑥) neograničeno opada s 𝛼 (prema nuli). Tu je malo

neprecizan jer se ovako formulirana definicija može shvatiti i kao definicija obične i kao

definicije uniformne neprekidnosti jer nije jednoznačno shvatljiv poredak kvantifikatora. Svoju

definiciju neprekidnosti koristio je u dokazu teorema o međuvrijednosti za neprekidne

funkcije (ako je funkcija neprekidna na intervalu [𝑏, 𝑐] i ako je 𝑓(𝑏) > 0 𝑖 𝑓(𝑐) < 0, onda za

neki 𝑥 iz istog intervala vrijedi 𝑓(𝑥) = 0). U dokazu konstruira nizove koji konvergiraju prema

toj nultočki 𝑥 , s tim da prešutno podrazumijeva potpunost skupa realnih brojeva (kao

očiglednu koristi tvrdnju da monoton ograničen niz konvergira).

Dok je kod Lagrangea derivacija funkcije koeficijent linearnog člana u Taylorovom razvoju te iz

njega izvodi osnovnu relaciju koja je aproksimacija bitna za primjene, Cauchy tu istu relaciju

iskorištava za egzaktnu definiciju derivacije. Cauchy se bavio i preciziranjem pojma integrala.

Cauchy funkcije još uvijek shvaća kao formule oblika 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑖𝑙𝑖 𝑓(𝑥; 𝑦) = 0 : godine

1821. dao je sljedeću definiciju funkcije: Ako su promjenjive veličine tako povezane da kad je

zadana vrijednost jedne od njih možemo zaključiti koliko iznose sve ostale, obično se te različite

veličine doživljavaju kao izražene preko one jedne od njih, koja se onda zove nezavisnom

varijablom, a sve ostale koje su izražene preko nezavisne varijable se zovu funkcijama te

95

varijable. Nakon te definicije precizirao je razliku između eksplicitno i implicitno zadanih

funkcija.

Mnoge nejednakosti koje se pojavljuju na natjecanjima iz matematike mogu se lako dobiti

primjenom Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeve nejednakost (CSB). Dokaz ove nejednakosti

može se izvesti analizom odgovarajuće kvadratne funkcije, što je razumljivo već učenicima

drugog razreda srednje škole.

Primjer 1. Neka su 𝑥 i 𝑦 realni brojevi, takvi da je 4𝑥 + 5𝑦 = 1.

Pokažimo da je tada 𝑥2 + 𝑦2 ≥ 1

41 .

Pomoću CSB nejednakosti dobivamo

1 = (4𝑥 + 5𝑦)2 ≤ (42 + 52 )(𝑥2 + 𝑦2 ) = 41(𝑥2 + 𝑦2),

odakle slijedi tražena nejednakost.

Primjer 2. Ako su 𝑥, 𝑦, 𝑧 realni brojevi takvi da je 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1

Pokažimo da je 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≥ 12.

Koristeći CSB nejednakost dobivamo

62 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2 ≤ (12 + 12 + 12)(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2),

odakle slijedi tražena nejednakost

96

JOHN NASH

Lana Matičević, 3.g

John Forbes Nash Mlađi 1 rođen je 13. lipnja 1928. godine u

Bluefieldu, Zapadna Virginia. Ime je dobio po svojem ocu koji se

također zvao John Nash (John Nash Stariji). Njegova majka

Margaret Virginia Martin je bila učiteljica dok mu je otac radio kao

električni inženjer. Ima mlađu sestru Marthu koja se rodila 16.

studenoga 1930. Tijekom djetinjstva bio je mirno dijete i pokazivao

je veliki interes za knjige, ali se nije volio družiti sa svojim

vršnjacima. Dok su se njegova sestra i majka zajedno s rodbinom

igrali nogomet i skrivača, John je sjedio postrani i igrao se sam s

autićima i avionima. Njegova majka je igrala veliku ulogu u

njegovom obrazovanju. Od samog početka je provodila puno

vremena s njim i učila ga dok se njegov otac ponašao prema njemu kao prema odraslom

čovjeku. Kakogod, Johnovi učitelji u školi nisu prepoznali njegovu sposobnost. Misli se da im

John nije davao razloga kako bi to mislili, jer je bio vrlo povučen. Njegovi učitelji su zapravo bili

zabrinuti za njega zbog nedostatka komunikacije s okolinom. John je kasnije dao do znanja da

se u školi dosađuje i da zapravo kod kuće pokazuje veliko zanimanje za znanstvena istraživanja.

Bilo je jasno da je kod kuće naučio više nego što je u školi. Nash je prvi put pokazao zanimanje

za matematiku kada je imao četrnaest godina. Inspirirala ga je knjiga ''Men of the

mathematics''. Pokušao je dokazati sam sebi rezultate iz te knjige te se tako zainteresirao za

matematiku. Također je važno napomenuti da je knjiga ''Men of the mathetatics'' vrlo nejasna,

ali to Johna nije sputavalo da se zainteresira za matematiku. 1941. godine je upisao kemiju na

Buefieldskom sveučilištu te je uz kemiju uzeo i predmet matematiku. Iako je zapravo studirao

kemiju, počeo je pokazivati više zanimanja za matematiku i rješavanje problemskih zadataka

tako da je zapostavio svoj društveni život. U to vrijeme još nije pokazivao takvo zanimanje za

matematiku da bi se s njom bavio do kraja života. Do 1945. godine osvajao je nekoliko puta

nagrade za rješavanje problemskih zadataka iz matematike te je tako uspio dobiti stipendiju

za Princeton. U rujnu 1948. godine počeo je pokazivati sklonosti prema matematici koja je

obuhvaćala teoriju igara, algebru, topologiju i geometriju, ali također je pokazivao veliko

zanimanje za logiku. Razni izvori govore da je Johna sve zanimalo osim pohađanje nastave, kao

što je uvijek govorio da nastava i predavanja zapravo sprječavaju razvijanje ljudskog uma.

1949. godine dok je spremao doktorat napisao je rad koji je 45 godina kasnije osvojio Nobelovu

nagradu za ekonomiju. Tijekom pisanja doktorata otkrio je matematičke izraze za teoriju igara.

1950. godine John Nash je doktorirao s temom ''Non-cooperative games''. Njegova tema ga je

1 Nakon pisanja ovoga rada u svibnju 2015. godine John Nash je poginuo u prometnoj nesreći.

97

uspjela progurati do RAND korporacija koja se u to vrijeme bavila problemima Hladnog rata te

je tako pokušavao svoje teorije igara primijeniti na vojnu strategiju. Uz to radio je kao i

profesor na Princetonu gdje je upoznao i svoju buduću djevojku. Upoznao je Eleanor Stier s

kojom je imao sina John David Stier (rođen 19. lipnja 1953.). Kakogod, Nash se nije oženio s

Eleanorom iako ga je pokušala nagovoriti na brak. Dvije godine poslije prevario je svoju curu

sa studenticom. Nakon što je bio uhvaćen počeo je ponavljati iznova rečenicu ''Moj mali svijet

je uništen.'' Dosta izvora misli da je tu bio početak njegovog razvoja shizofrenije. Njegova

mentalna disabilnost nije ga spriječila za obavljanje novih matematičkih problema. Iz mentalne

bolnice je redao uspjehe i uspjehe na području algebarske matematike.

NASHOV EKVILIBRIJUM

Nashov ekvilibrijum uključuje teoriju igara s dva ili više igrača u slučaju gdje svaki igrač zna

svoju i protivnikovu strategiju. Najčešće se koristi u izradi vojne strategije.

Formula:

Neka (𝑆, 𝑓)budu igre s 𝑛 igrača, gdje je 𝑆𝑖 strategija stvorena za igrača 𝑖,

je skup strategija i

je funkcija za 𝑥 ∈ 𝑆. Neka je 𝑥𝑖 strategija profila igrača 𝑖 i 𝑥 − 𝑖 strategija od svih igrača osim igrača 𝑖 . Gdje svaki igrač 𝑖 ∈ {1, … , 𝑛} izabire strategiju 𝑥𝑖 rezultira profil strategije 𝑥 =(𝑥1, … , 𝑥𝑛) tada igrač 𝑖 gubi od funkcije igrača 𝑓𝑖(𝑥). Igra ovisi o strategiji koja je izabrana. Strategija koja je izabrana od strane 𝑖 je ona također koja je izabrana od svih ostalih igrača. Profil strategije 𝑥∗ ∈ 𝑆 je '' Nash equilibrium (NE)'' ako nema smetanja u izvođenju strategija kod svakog ostalog igrača, ako nema onda smo dobili Nashov ekvilibrijum, odnosno Nashovu teoriju strateških igara za dva ili više igrača.

Ako nam je nejednažba iznad striktno veća od drugog dijela, tada za sve igrače dobivamo alternativnu strategiju i ta se strategija zapravo zove oštar ili jak Nashov ekvilibrijum.

Ako umjesto, za nekog igrača, nema jednakosti između𝑥𝑖∗ i nekih drugih strategija tipa , tada

se za nejednažbu kaže da je slab Nashov ekvilibrijum.

98

PLAN VOŽNJE GRADSKIH PRIJEVOZA

Pomoću Nashovog ekvilibrijuma nastali su i planovi vožnje gradskih prijevoza. Svaki plan

prijevoza ima točno tri načina kako može započeti i kako može završiti svoje putovanje.

''Igrač'', odnosno putnik sam može izabrati koju strategiju će izabrati, odnosno kojim putem

će ići. Treba uzeti u obzir da ovaj način putovanja može biti netočan. Primjerice ako 50 auta

ide putem B i 50 automobila putem C oni će se svi sastati u jednoj točki. U ovom slučaju u točki

D. Jedno vrijeme tvrdilo se da pomoću ove strategije se može izbjeći gužva, međutim to nije

istina. Svi se moraju sastati u jednoj točki u nekom određenom vremenu. Stoga, danas se

koristi samo u planiranju plana vožnje u podzemnim željeznicama.

BEAUTIFUL MIND

Beautiful mind (Genijalni um) je film koji prikazuje Nashov život. Iako film prati stvarne

događaje Nashovog života, sam je u jednom razgovoru rekao da nije bilo tako kako je

prikazano. Da je u nekim trenutcima bilo još gore, a da su neke scene dodane radi koristi filma.

Tako je priznao da na prvom satu kao profesor nije bacio knjigu u koš za smeće, nego da je

priznao studentima da je knjiga zapravo netočna, ali da je ipak radio po njoj. Međutim, sve

ostalo se podudara s Nashovim životom. Johna Nasha je glumio vrhunski glumac Russell Crowe

te je za tu istu ulogu nominiran za Oscara. Sam film je napravljen na način da prikazuje stvarni

i izmišljeni svijet Johna Nasha te su tako prikazali i vrlo realistično njegove halucinacije.

99

ZAKLJUČAK

Vrijedni učenici istražili su svoje teme te sastavili seminarske radove. Moguće je da nisu sami

smišljali sve rečenice, već da su dobar dio njih prepisali iz svojih izvora. Ali sigurno je da se

ovakav popis tema s ovakvim sadržajem ne može nigdje naći na istom mjestu. Stoga je ovo

djelo po tome jedinstveno, jer obrađuje matematičare koje spominjemo u kurikulu

matematike u srednjim školama.

Ispričavamo se unaprijed ukoliko se u našem djelu potkrala koja greška, ali nadamo se da smo

ipak odradili dobar posao te vjerujemo da će biti od pomoći budućim generacijama.

Žao nam je što nismo uspjeli prevesti naš rad na engleski jezik, ali to može biti zadatak nekog

drugog projekta.

Nadamo se da će naš rad biti inspiracija nekim drugim učenicima i njihovim nastavnicima te

motivacija za rad na projektima.

Voditeljica i sumentorica projekta Gordana Divić.

U Novskoj, 15. lipnja 2015.

100

LITERATURA

1. Stvaranje matematike, Lanselot Hogben, Zajedničko izdanje 1972.

2. http://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/egypt_babylon/babylon.pdf

3. M. Libl, I. Matić (2014). Plimpton 322. Miš. 73: 114-118.

4. http://ahyco.uniri.hr/seminari2007/povijestmatematike/

5. http://www.starapovijest.eu/egipatska-matematika/

6. http://www.storyofmathematics.com/greek.html

7. http://hr.wikipedia.org/wiki/Tales

8. http://hr.wikipedia.org/wiki/Pitagora

9. http://hr.wikipedia.org/wiki/Grci

10. http://ahyco.uniri.hr/seminari2007/povijestmatematike/prva.htm

11. http://prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/povmat5.pdf

12. http://www.pmfst.unist.hr/~zzoric/POVIJEST%20MATEMATIKE/staroindijska%20mat

ematika.pdf

13. http://sh.wikipedia.org/wiki/Kineski_brojevi

14. http://en.wikipedia.org/wiki/Lo_Shu_Square

15. http://en.wikipedia.org/wiki/Al-Karaji

16. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Karaji.html

17. http://wzzz.tripod.com/KHAWARIZ.html

18. http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Al-Khwarizmi.html

19. W. K. C. Guthrie „Povijest grčke filiozfije“ , Naklada Jurčević, Zagreb, 2005.

20. seminarski rad: „Tales“, Ivana Flis, Ivana Šokčić, Biljana Stipetić, akademska godina:

2010./11.

21. http://hr.wikipedia.org/wiki/Promjer, (prosinac 2014.)

22. http://www.mathos.unios.hr/~ivuic/pitagora/index.html

23. http://www.mathos.unios.hr/~ivuic/pitagora/zivotopis.html

24. http://www.mathos.unios.hr/~ivuic/pitagora/skola.html

25. http://www.mathos.unios.hr/~ivuic/pitagora/poucak.html

26. http://www.hazu.hr/~duda/pitagora.html

27. http://cerebro.cs.xu.edu/math/math147/02f/archimedes/archpartext.html 28. http://mis.element.hr/list/11/broj/50/clanak/637/kako-je-arhimed-racunao-

povrsinu-odsjecka-parabole 29. http://www.math.mcgill.ca/rags/JAC/NYB/exhaustion2.pdf 30. http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_exhaustion 31. http://en.wikipedia.org/wiki/The_Quadrature_of_the_Parabola 32. http://hr.wikipedia.org/wiki/Arhimed 33. http://www.jw.org/hr/izdanja/casopisi/g201505/al-hvarizmi-otac-algebre/

http://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/egypt_babylon/babylon.pdf

http://ahyco.uniri.hr/seminari2007/povijestmatematike/

http://www.starapovijest.eu/egipatska-matematika/

http://www.storyofmathematics.com/greek.html

http://hr.wikipedia.org/wiki/Tales

http://hr.wikipedia.org/wiki/Pitagora

http://hr.wikipedia.org/wiki/Grci

http://ahyco.uniri.hr/seminari2007/povijestmatematike/prva.htm

http://prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/povmat5.pdf

http://www.pmfst.unist.hr/~zzoric/POVIJEST%20MATEMATIKE/staroindijska%20matematika.pdf

http://www.pmfst.unist.hr/~zzoric/POVIJEST%20MATEMATIKE/staroindijska%20matematika.pdf

http://sh.wikipedia.org/wiki/Kineski_brojevi

http://en.wikipedia.org/wiki/Lo_Shu_Square

http://en.wikipedia.org/wiki/Al-Karaji

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Karaji.html

http://wzzz.tripod.com/KHAWARIZ.html

http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Al-Khwarizmi.html

http://hr.wikipedia.org/wiki/Promjer

http://www.mathos.unios.hr/~ivuic/pitagora/index.html

http://www.mathos.unios.hr/~ivuic/pitagora/zivotopis.html

http://www.mathos.unios.hr/~ivuic/pitagora/skola.html

http://www.mathos.unios.hr/~ivuic/pitagora/poucak.html

http://www.hazu.hr/~duda/pitagora.html

http://mis.element.hr/list/11/broj/50/clanak/637/kako-je-arhimed-racunao-povrsinu-odsjecka-parabole

http://mis.element.hr/list/11/broj/50/clanak/637/kako-je-arhimed-racunao-povrsinu-odsjecka-parabole

http://www.math.mcgill.ca/rags/JAC/NYB/exhaustion2.pdf

http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_exhaustion

http://en.wikipedia.org/wiki/The_Quadrature_of_the_Parabola

http://www.jw.org/hr/izdanja/casopisi/g201505/al-hvarizmi-otac-algebre/

101

34. http://ahyco.uniri.hr/seminari2007/povijestmatematike/8-2-2-1.htm, (prosinac

2014.)

35. http://e.math.hr/dvoboji/index.html, (prosinac 2014.)

36. http://prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/povmat7.pdf, (prosinac 2014.)

37. http://prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/Seminar-MilaStrpic.pdf, (prosinac

2014.)

38. http://www.google.hr/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=3&cad=rja&uact

=8&ved=0CCwQFjAC&url=http%3A%2F%2Fwww.os-

zmijavci.skole.hr%2Fupload%2Fos-zmijavci%2Fmultistatic%2F36%2FBroj_PI-

Kristina_i_Sandra.ppt&ei=Vj-

HVO6sFoOPPciLgLAO&usg=AFQjCNHOtYVYS58tglcYlSyiltdpmuj05w&bvm=bv.814496

11,d.ZWU, (prosinac 2014.)

39. http://translate.google.hr/translate?hl=hr&sl=fr&u=http://histoiredechiffres.free.fr/

mathematiciens/viete.htm&prev=search , (prosinac 2014.)

40. http://hr.wikipedia.org/wiki/John_Napier

41. http://hr.wikipedia.org/wiki/Napierove_kosti

42. http://savjetnik.ihjj.hr/savjet.php?id=92

43. http://bs.wikipedia.org/wiki/Slonova%C4%8Da

44. https://word.office.live.com/wv/WordView.aspx?FBsrc=https%3A%2F%2Fwww.face

book.com%2Fattachments%2Ffile_preview.php%3Fid%3D1573851529510755%26ti

me%3D1420910197%26metadata&access_token=100007779133578%3AAVIoqttZuC

VNBrXdiLAPb2zvcIySSPJgsouqzpctNC5dAQ&title=Seminar-Descartes+%281%29.docx

(javno dostupno 10.1.2015.)

45. http://prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/povmat8.pdf (javno dostupno

10.1.2015)

46. http://www.jstor.org/discover/10.2307/2689662?uid=2&uid=4&sid=2110468896113

1

47. http://www.jstor.org/stable/2973769?origin=JSTOR-pdf

48. Dadić, Ž., Povijest ideja i metoda u matematici i fizici. Školska Knjiga, Zagreb, 1992.

49. Dakić, B., Više nego u udžbeniku. Element, Zagreb, 10.mjesec 2009.

50. Biografije.hr

51. Wikipedia.org

52. Britannica.com

53. Encyclopedia.com

54. http://mis.element.hr/fajli/754/28-03.pdf

55. http://www.grad.hr/nastava/matematika/mat2/node32.html

56. Borovec E., Cikojević M., Golubić K., Zagreb, 2010., Seminar- Johan Carl Friedrich

Gauss- životopisi matematičarki i matematičara

57. http://hr.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

58. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Gauss.html

http://ahyco.uniri.hr/seminari2007/povijestmatematike/8-2-2-1.htm

http://e.math.hr/dvoboji/index.html


http://prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/Seminar-MilaStrpic.pdf

http://www.google.hr/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=3&cad=rja&uact=8&ved=0CCwQFjAC&url=http%3A%2F%2Fwww.os-zmijavci.skole.hr%2Fupload%2Fos-zmijavci%2Fmultistatic%2F36%2FBroj_PI-Kristina_i_Sandra.ppt&ei=Vj-HVO6sFoOPPciLgLAO&usg=AFQjCNHOtYVYS58tglcYlSyiltdpmuj05w&bvm=bv.81449611,d.ZWU






http://translate.google.hr/translate?hl=hr&sl=fr&u=http://histoiredechiffres.free.fr/mathematiciens/viete.htm&prev=search

http://translate.google.hr/translate?hl=hr&sl=fr&u=http://histoiredechiffres.free.fr/mathematiciens/viete.htm&prev=search

http://hr.wikipedia.org/wiki/John_Napier

http://hr.wikipedia.org/wiki/Napierove_kosti

http://savjetnik.ihjj.hr/savjet.php?id=92

http://bs.wikipedia.org/wiki/Slonova%C4%8Da

https://word.office.live.com/wv/WordView.aspx?FBsrc=https%3A%2F%2Fwww.facebook.com%2Fattachments%2Ffile_preview.php%3Fid%3D1573851529510755%26time%3D1420910197%26metadata&access_token=100007779133578%3AAVIoqttZuCVNBrXdiLAPb2zvcIySSPJgsouqzpctNC5dAQ&title=Seminar-Descartes+%281%29.docx





http://www.jstor.org/discover/10.2307/2689662?uid=2&uid=4&sid=21104688961131

http://www.jstor.org/discover/10.2307/2689662?uid=2&uid=4&sid=21104688961131

http://www.jstor.org/stable/2973769?origin=JSTOR-pdf

http://mis.element.hr/fajli/754/28-03.pdf

http://www.grad.hr/nastava/matematika/mat2/node32.html

http://hr.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Gauss.html

102

59. Opća enciklopedija, Zagreb, 1977.

60. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Nash.html

61. https://www.youtube.com/watch?v=UiWBWwCa1E0

62. http://www.nobelprize.org/mediaplayer/index.php?id=429

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Nash.html

https://www.youtube.com/watch?v=UiWBWwCa1E0

http://www.nobelprize.org/mediaplayer/index.php?id=429

povijest matematike (history of math)

Education