1

Bölüm 3

Tanımlayıcı İstatistikler

2

Tanımlayıcı İstatistikler

• Bir veri setini tanımak veya birden fazla veri setini

karşılaştırmak için kullanılan ve ayrıca örnek

verilerinden hareket ile frekans dağılışlarını sayısal

olarak özetleyen değerlere tanımlayıcı istatistikler

denir.

• Analizlerde kullanılan veri tiplerine (basit,

gruplanmış, sınıflanmış) göre hesaplamalarda

kullanılacak formüller değişmektedir.

3

Tanımlayıcı İstatistikler

Yer Ölçüleri

1)Aritmetik ort.

2)Geometrik ort.

3)Harmonik ort.

4)Mod

5)Medyan

6)Kartiller

Değişkenlik Ölçüleri

1) Range

(Değişim Aralığı)

2) Ort. Mutlak sapma

3) Varyans

4) Standart Sapma

5) Değişkenlik(Varyasyon)

Katsayısı

Çarpıklık Ölçüleri

1)Pearson Asimetri Ölçüsü

2)Bowley Asimetri Ölçüsü

Basıklık

Ölçüleri

4

Yer Ölçüleri

• Yer ölçüsünü belirlemek amacıyla veri

analizini yapacak kişi, öncelikle veri seti

için hangi ölçüyü kullanması gerektiğine

karar vermelidir.

5

Tanım

Merkezi Eğilim Ölçüsü

Veri setinin orta noktası veya merkezinin değeridir.

6

Yer Ölçüleri

Hesaplama tüm verilerin

kullanıldığı ölçüler

-Aritmetik Ort.

-Ağırlıklı Arit. Ort.

-Geometrik Ort.

-Harmonik Ort.

Hesaplama tüm verilerin

kullanılmadığı ölçüler

-Mod

-Medyan

-Kartil

7

1) Aritmetik Ortalama

• Üzerinde inceleme yapılan veri setindeki elemanların toplanıp incelenen eleman sayısına bölünmesiyle elde edilen yer ölçüsüne aritmetik ortalama denir.

• Örnek:

– Sınav notlarının ortalaması,

– Yaz aylarında m2’ye düşen ortalama yağış miktarı

8

Örnek Ortalaması ve Anakütle Ortalaması

µ, “mü” şeklinde telaffuz edilir ve anakütle

ortalamasıdır

x = n

x , x-bar şeklinde telaffuz edilir ve örneklemin ortala

masıdır.

x

N µ =

x

9

Bir Denge Noktası Olarak

Ortalama

• 1, 14, 19, 31, 50 sayılarının ortalaması =23 tür.

Şekil sayıları bir çizgi üzerinde yerleştirilmiş eşit

küçük ağırlıklar şeklinde gösterir.1,14,19,31,50

• Aritmetik ortalama denge noktasıdır.

1 14 19 31 50

10

Eğer çizgiyi üzerinde ağırlıklar olan bir tahta

olarak düşünürsek, tahtayı dengede tutmak için

’nün bulunduğu yerden denge noktası

koymalıyız. Bu aritmetik denge noktasının özelliği;

her bir sayı için xi- ‘yü hesaplarsak pozitif ve

negatif sayılar dengede kalır çünkü toplamları 0

olur.

Herhangi bir veri seti için,

0)( ix

olur.

i

x uzaklığı

i

x

i

x

Örnek: İzmir ilinde ilköğretim ikinci sınıfta okuyan

öğrenciler üzerinde yapılan bir araştırmada rasgele

8 öğrenci seçilmiş ve ailenizde kaç çocuk vardır

sorusuna aşağıdaki gibi cevap vermişlerdir. Ailelerin

çocuk sayılarının ortalamasını hesaplayınız.

1,3,2,1,4,5,6,2

n = 8 i = 1,2,…,8

1 1 1 2 2 3 4 5 63

8

n

i

i

x

xn

Basit Veriler için Aritmetik Ortalama Örneği

Gruplanmış Veriler İçin

Aritmetik Ortalama

nfk

ii

1

k

ii

k

iii

f

fxx

1

1

f : frekans

k: grup sayısı

i = 1,2,3,……….,k

Örnek: Bir otomobil bayisinde 80 gün boyunca yapılan inceleme sonucunda satılan arabaların adetlerine göre dağılımı yandaki tabloda verilmiştir. Buna göre bir gün içinde satılan ortalama araba sayısını hesaplayınız.

1

1

0 12 70 42 32 30 1862,33

80 80

k

i i

ik

i

i

x f

x

f

Araba

(xi)

Gün (fi) xi.fi

0 5 0

1 12 12

2 35 70

3 14 42

4 8 32

5 6 30

∑fi=80

14

Sınıflanmış Veriler İçin Aritmetik

Ortalama

nfk

ii

1

k

ii

k

iii

f

fmx

1

1

f : frekans

k : sınıf sayısı

i = 1,2,3,……….,k

m : sınıf orta noktası

• Sınıflanmış verilerde her bir sınıf içindeki değerlerin neler

olduğu bilinmediğinden dolayı ve yalnızca her bir sınıfın

frekans değerleri bilindiğinden dolayı sınıfı temsil etmek

üzere sınıf orta noktaları hesaplamada kullanılır.

• Kullanılan formül gruplanmış veriler için kullanılan

formüle benzerdir.

Örnek: Bir sınıftaki öğrencilerin boyları hakkında bir araştırma

yapılmaktadır. Bu amaçla 50 öğrencinin boyları ölçülerek

kaydedilmiştir.Öğrencilerin boylarının aritmetik ortalamasını

hesaplayınız.

Sınıflar fi mi mifi

150-157’den az 5 153,5 767,5 157-164’den az 7 160,5 1123,5

164-171’den az 14 167,5 2345 171-178’den az 9 174,5 1570,5 178-185’den az 8 181,5 1452 185-192’den az 4 188,5 754 192-199’dan az 3 195,5 586,5

Toplam 50 8599

1

1

153,5(5) 160,5(7) ... 195,5(3) 8599171,98 .

50 50

k

i i

i

k

i

i

m f

x cm

f

16

Aritmetik Ortalama

0.1 xnxnxxxx

Aritmetik ortalamadan sapmaların toplamı sıfırdır.

min.22 xx

3. Örnek değerlerinde meydana gelen değişim çok küçük de olsa aritmetik

ortalama bu değişimden etkilenir. Verilerin tümünün bir fonksiyonudur.

17

Aritmetik Ortalama

4. Örnek gözlemlerin tümü a gibi bir sabit ile çarpılırsa bu yeni veri setinin

aritmetik ortalaması da eski veri setinin aritmetik ortalamasının a ile çarpımı

kadar değişir.

5. Örnek gözlemlerin tümü a gibi bir sabit ile toplanırsa bu yeni veri setinin

aritmetik ortalaması da eski veri setinin aritmetik ortalamasının a ile toplamı

kadar değişir.

6. Aritmetik ortalama tüm verileri hesaplama fonksiyonu içinde kullanması

nedeni ile güçlü bir istatistiktir.

7. Aritmetik ortalama verilerdeki uç değerlerden etkilenmesi ise bu

istatistiğin zayıf yönünü oluşturur.

18

Ağırlıklı Aritmetik Ortalama

Veri setindeki gözlemlerin belirli bir kritere göre

ağırlıklandırılması durumunda veri setinin ortalamasının

hesaplanması için kullanılan ortalamadır.

i i

w

i

w xx

w

19

Ağırlıklı Aritmetik Ortalama

• Gözlemler belli bir kritere göre

ağırlıklandırılmış ise ağırlıklı aritmetik

ortalama kullanılır. Ağırlıklı aritmetik

ortalama kullanılırken tüm gözlemlerin

ağırlıkları eşit ise aritmetik ortalama ile

aynı sonucu verir.

• İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi İşletme

Bölümü’ndeki birinci sınıf öğrencisinin güz

döneminde aldığı dersler, başarı notları, başarı

notlarının katsayıları ve kredi değerleri aşağıda

verilmiştir:

Öğrencinin dönem not ortalamasını katsayı

cinsinden hesaplayınız.

20

21

22

2) Geometrik Ortalama

• Bir veri setinde bulunan n adet elemanın çarpımının n nci dereceden kökünün alınmasıyla elde edilen yer ölçüsüdür.

nnxxxG ....21

• Geometrik ortalamanın formülüne bakıldığında hesaplama zorluğu olduğundan dolayı logaritma ifadesi kullanılır. Genellikle basit veriler için kullanışlı olup negatif sayılar için kullanışlı değildir.

n

x

GLog

n

i

i 1

log

n

i

ixn

antiG1

log1

log

Geometrik Ortalama’nın

Kullanım Alanları

• Ortalama oranları,

• Değişim Oranları,

• Logaritmik dağılış gösteren veri setleri,

için kullanışlıdır.

Örnek: fiyat indeksleri, faiz formülleri.

24

Geometrik Ortalama

3. Uç değerlerden aritmetik ortalama kadar

etkilenmez.

xG 2.

olmalıl0.1

ix

Örnek: Abac şirketinin yıldan-yıla olan fuel deki

tüketim harcamalarının değişimi yüzde -5, 10, 20, 40,

ve 60. büyüme faktörlerinin geometrik ortalamasını

kullanarak harcamalardaki ortalama yıllık yüzde

değişim belirlenir. Büyüme faktörleri için yüzde

değişim dönüştürme ile elde edilenler;

0.95 1.10 1.20 1.40 1.60

51 2

5

.... (0,95)(1,10)(1,20)(1,40)(1,60)

2.80896 1,229

nnG x x x

1

log0,022276 0,041393 0,079181 0,146128 0,204120

5

0,4485460,08971

5

n

i

i

x

Log Gn

Log G

G = anti log 0,27045 = 100,08971 ≈ 1,229

27

3) Harmonik Ortalama

• Bir veri setinde bulunan n adet elemanın çarpma işlemine göre terslerinin ortalamasının tersinin alınmasıyla elde edilen yer ölçüsüdür. Genellikle basit veriler için kullanışlıdır.

nnxxx

n

n

xxx

H1

....111

....11

1

2121

n

x

H

n

i i

1

1

1

28

Harmonik Ortalama’nın Kullanım Alanları

Zaman verileri için kullanışlıdır.

Örnek: Zaman birimi başına hız, para birimi başına satın alınan birim sayısı.

Belirli koşullar ve fiyat tipleri için zaman verilerinin

ortalamalarının hesaplanmasında kullanılan bir yer

ölçüsüdür.

Zamana bağlı hız, fiyat verimlilik gibi oransal olarak

ifade edilebilen verilerin ortalamasın alınmasında da

kullanılabilir.

NOT: ARİTMETİK ORT. > GEOMETRİK ORT. > HARMONİK ORT.

29

Örnek: Bir tekstil fabrikasında çalışan dört kişinin bir

pantolonu ütüleme süreleri aşağıda verilmiştir. Buna göre

bu fabrikada bir pantolon ortalama kaç dakikada ütülenir?

İşçi 1: 10 dk. İşçi 2: 6 dk. İşçi 3: 4 dk. İşçi 4 : 5 dk.

240

43

4

10

1

6

1

5

1

4

11

1 1

n

x

H

n

i i

.58,543

240dkH

• Örnek: A ve B gibi iki şehir arasında 100km lik bir yol vardır.

Bir otomobilli yolun ilk yarısını 30 km/saat hızla gidiyor. Diğer

yarısını 40 km/saat hızla gidiyor. Hız ortalaması nedir?

30

• Bir hızlı tren gittiği

mesafesinin ilk üçte

birinde 300km/s, ikinci

üçte birinde 450 km/s ve

son üçte birinde 360 km/s

hız yapmıştır. Buna göre

aracın ortalama hızı ne

olmuştur.

31

32

4) Mod

• Bir veri setinde en çok gözlenen ( en çok tekrar eden ) değere veya frekansı en fazla olan şans değişkeni değerine mod adı verilir.

• Veri setinin modu olmayacağı gibi birden fazla da modu olabilir.

• Mod genellikle kesikli şans değişkenli için oluşturulan gruplanmış verilerde aritmetik ortalama yerine kullanılabilir.

33

Mod

• Mod, büyük veri setlerinde verinin daha çok nerede

toplandığını bulmak için kullanılır. Örneğin erkek

kıyafetleri satan bir perakendeci, potansiyel

müşterilerini belirlemek için gömlek kol uzunluğu ve

gömlek yaka ölçüsüyle ilgilenebilir.

34

1) 5,40 1,10 0,42 0,73 0,48 1,10

2) 27 27 27 55 55 55 88 88 99

3) 1 2 3 6 7 8 9 10

Örnekler

Modu 1,10

1 den fazla moda

sahip , 27 ve 55

Modu yok

35

Gruplanmış Veriler İçin Mod

Basit verilerde bulunduğu gibi hesaplanır.

Örnek: Bir gömlek bayisinde 80 gün boyunca yapılan inceleme sonucunda satılan gömleklerin adetlerine göre dağılımı yandaki tabloda verilmiştir. Buna göre gömlek satışları için mod değeri nedir?

Gömlek

bedeni(xi)

Satış adedi (fi)

0 5

1 12

2 35

3 14

4 8

5 6

En yüksek frekansa sahip olan gözlem değeri 2

olduğundan dolayı gömlek satışları için mod değeri 2’dir.

36

Sınıflanmış Veriler İçin Mod

• Sınıflanmış verilerde mod değeri hesaplanırken ilk olarak

mod sınıfı belirlenir.

• Mod sınıfı frekansı en yüksek olan sınıftır.

• Mod sınıfı belirlendikten sonra bu sınıf içerisinde yer alan

modun tam değeri sınıf frekansı ve kendine komşu olan

sınıf frekansları dikkate alınarak hesaplanır.

37

iL .21

1mod

= Mod Sınıfı Aralığının Alt Sınırı

1 = Mod Sınıfı Frekansı - Kendinden Bir Önceki

Sınıf Frekansı

2 = Mod Sınıfı Frekansı – Kendinden Bir Sonraki

Sınıf Frekansı

i = Mod Sınıfının Sınıf Aralığı

Mod =

ModL

Örnek: Bir sınıftaki öğrencilerin boyları hakkında bir araştırma

yapılmaktadır. Bu amaçla 50 öğrencinin boyları ölçülerek

kaydedilmiştir.Öğrencilerin boylarının mod değerini hesaplayınız.

Sınıflar fi

150-157’den az 5 157-164’den az 7

164-171’den az 14 171-178’den az 9 178-185’den az 8 185-192’den az 4 192-199’dan az 3

Toplam 50

Mod sınıfı

Frekansı en yüksek olan sınıf mod sınıfı olarak

belirlenir.

Mod sınıfı belirlendikten sonra formülde ilgili

değerler yerine koyularak mod değeri hesaplanır.

1mod

1 2

(14 7)164 7 168,08 .

(14 7) (14 9)

Mod L i

cm

40

5) Medyan

• Bir veri setini büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe sıraladığımızda tam orta noktadan veri setini iki eşit parçaya ayıran değere medyan adı verilir.

• Veri setinde aşırı uçlu elemanlar olduğunda aritmetik ortalamaya göre daha güvenilirdir.

• Medyan, veri setindeki tüm elemanlardan etkilenmez.

41

Basit Veriler İçin Medyan

2

1n

12

n

• Veri Setinin Hacmi Tek Sayı İse;

nci gözlem değeri medyandır.

• Veri Setinin Hacmi Çift Sayı İse;

ve nci gözlem değerinin aritmetik

ortalaması medyandır.

2

n

42

5.40 1.10 0.42 0.73 0.48 1.10 0.66

0.42 0.48 0.66 0.73 1.10 1.10 5.40

Tam ortadaki değer medyandır.

MEDYAN 0.73

5.40 1.10 0.42 0.73 0.48 1.10

0.42 0.48 0.73 1.10 1.10 5.40

0.73 + 1.10

2

Medyan bu iki noktanın arasına düşmektedir

MEDYAN 0.915

43

Gruplanmış Veriler İçin Medyan

• Gruplanmış verilerde medyan değeri hesaplanırken

veri setinin tam orta noktasının hangi gruba ait

olduğunu belirlemek için birikimli frekans sütunu

oluşturulur.

• Sıra numarası belirlendikten sonra o sıra numarasına

ait grup medyan değeri olarak ifade edilir.

Örnek: Bir gömlek bayisinin satış mağazasında bir

gün içinde satılan gömleklerin dağılımı aşağıda

verilmiştir. Buna göre veri seti için medyan değerini

hesaplayınız. Gömlek

bedeni Satış adedi Birikimli Frekans ( ∑f )

0 5 5

1 12 17

2 35 52

3 14 66

4 8 74

5 6 80

• n/2 ve (n/2)+1 nci gözlem değerlerine karşılık gelen değerler

(40 ve 41 nci sıra ) 2 olduğundan dolayı medyan değeri 2’dir.

•Frekans dağılımı aşağıdaki gibi olsaydı (n+1)/2 nci

elemana (40 ncı elemana) karşılık gelen değer

8 olacağından dolayı veri setinin medyanı 3 olarak

hesaplanacaktı.

Gömlek

bedeni

Satış adedi Birikimli Frekans ( ∑f )

0 5 5

1 12 17

2 22 39

3 32 61

4 14 75

5 4 79

46

Sınıflanmış Veriler İçin Medyan

• Sınıflanmış verilerde medyan değeri hesaplanırken ilk

olarak medyan sınıfı belirlenir.

• Medyan sınıfı birikimli frekanslar dikkate alındığında

toplam frekansın yarısını içinde bulunduran sınıftır.

• Medyan sınıfı belirlendikten sonra medyan sınıfından bir

önceki sınıfın birikimli frekansı ve medyan sınıfı frekansı

dikkate alınarak hesaplanır.

47

if

ff

LMedyanmed

l

i

med.2

Lmed : Medyan sınıfının alt sınırı

fl : Medyan sınıfından bir önceki sınıfın birikimli

frekansı

fmed : Medyan sınıfının frekansı

Örnek: Bir sınıftaki öğrencilerin boyları hakkında bir araştırma

yapılmaktadır. Bu amaçla 50 öğrencinin boyları ölçülerek

kaydedilmiştir.Öğrencilerin boylarının mod değerini hesaplayınız.

Sınıflar fi ∑fi

150-157’den az 5 5 157-164’den az 7 12

164-171’den az 14 26 171-178’den az 9 35 178-185’den az 8 43 185-192’den az 4 47 192-199’dan az 3 50

Toplam 50

Medyan sınıfı

2 .

25 12164 .7 170,5

14

il

med

med

ff

Medyan L if

cm

Toplam 50 adet gözlem olduğundan dolayı, birikimli

frekans sütununda 50/2 =25 nci gözlemin

bulunduğu sınıf medyan sınıfı olarak belirlenir.

50

Merkezi

Ölçüm

Tanım Nasıl

Kullanılıyor

Varlığı Her

değer

Dikkate

Alınırmı?

Uç

Değerlerden

Etkilenirmi?

Avantajları ve

Dezavantajları

Ortalama

n

xx

En Bilinen

‘ortalama’

Her zaman

vardır.

Evet

Evet

Birçok

istatistiksel

metodla iyi

çalışır.

Medyan

Orta değer

Sıklıkla

Kullanılır

Her zaman

vardır.

Hayır

Hayır

Birkaç uç değer

varsa genellikle

iyi bir tercihtir

Mod En sık tekrar eden

veri değeri

Ara sıra

kullanılır

Olmayabilir

ya da

birden fazla

olabilir.

Hayır

Hayır

Nominal

düzeyde veriler

için uygundur

Veriler mod etrafında simetrik oldukları zaman, mod, medyan ve artimetik ortalama

birbirlerine eşit olur.

Eğer örneklem aynı anakütleden çekilmişse, aritmetik ortalama diğer ölçülere göre

daha güvenilirdir

51

6) Kartiller •Bir veri setini büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe sıraladığımızda dört eşit parçaya ayıran üç değere kartiller adı verilir.

•İlk % 25’lik kısmı içinde bulunduran 1. Kartil (Q1), % 50’lik kısmı içinde bulunduran 2. Kartil (Q2), % 75’lik kısmı içinde bulunduran 3. Kartil (Q2), olarak adlandırılır.

•%50’lik kısmı içinde bulunduran 2. Kartil (Q2) aynı zamanda veri setinin medyanıdır.

%25 %25

%25 %25

Q1 Q2 Q3

52

Basit Veriler İçin Kartiller

4

1n

• 1.Kartil Q1

nci gözlem değeri,

• 3.Kartil Q3

nci gözlem değeri,

3( 1)

4

n

53

Örnek: İstatistik I dersini alan 10 öğrencinin vize

notları aşağıdaki gibi sıralanmıştır. Buna göre vize

notları için Q1 ve Q3 değerlerini hesaplayınız.

30,42,56,61,68,79,82,88,90,98

(n+1)/4 ‘ncü verinin sıra numarası (10+1)/4 = 2,75’dir.

Q1= 42 + 0,75 .(56 - 42) = 52,5 ,

3(n+1)/4 ‘ncü verinin sıra numarası 3(10+1)/4 =

8,25’dir.

Q3= 88 + 0,25.(90 - 88) = 88,5 ‘dir.

Veri seti aşağıdaki gibi verilseydi,

30,42,56,61,68,79,82,88,90,98

(n+1)/4 ‘ncü verinin sıra numarası (9+1)/4 = 2,5’dir.

Q1= 42 + 0, 5 .(56 - 42) = 49 ,

3(n+1)/4 ‘ncü verinin sıra numarası 3(9+1)/4 = 7,5’dir.

Q3= 82 + 0, 5.(88 - 82) = 85 ,

olarak hesaplanacaktı.

55

Gruplanmış Veriler İçin Kartiller

• Gruplanmış verilerde kartiller hesaplanırken veri

setinin ilk çeyrek ve son çeyrek kısmını tam olarak

ifade etmek amacıyla birikimli frekans sütünü

oluşturulur.

• Gruplanmış verilerde örnek hacminin tek veya çift

olduğuna bakılmaksızın

n/4 ncü eleman 1.Kartil (Q1),

3n/4 ncü eleman ise 3.Kartil (Q3),

olarak ifade edilir.

Örnek: Bir gömlek bayisinin bedenlerine göre satış adetleri

aşağıda verilmiştir. Buna göre veri seti için Q1 ve Q3 nedir?

Gömlek

bedeni

Satış adedi Birikimli Frekans ( ∑f )

0 5 5

1 12 17

2 35 52

3 14 66

4 8 74

5 6 80

• n/4 ncü ( 20 nci ) sıra numarasına karşılık gelen gözlem 2

olduğundan; 1.kartil 2, 3n/4 ncü ( 20 nci ) sıra numarasına

karşılık gelen gözlem 3 olduğundan; 3.kartil 3’dür.

57

Sınıflanmış Veriler İçin Kartiller

• Sınıflanmış verilerde kartiller hesaplanırken ilk olarak

birikimli frekans sütunu oluşturularak kartil sınıfları

belirlenir.

• Kartil sınıfları belirlenirken gruplanmış verilerde olduğu

gibi n/4 ve (3n)/4 ncü sıralardaki elemanların hangi sınıflara

ait iseler o sınıflar kartil sınıfları olur.

• Kartil sınıfları belirlendikten sonra bu sınıflardan bir

önceki sınıfın birikimli frekansı ve mevcut sınıf frekansı

dikkate alınarak kartil değerleri hesaplanır.

58

if

ff

LMedyanQQ

l

i

Q .2

2

22

if

ff

LQQ

l

i

Q.4

3

3

33

if

ff

LQQ

l

i

Q .4

1

11

1. Kartil

3. Kartil

2. Kartil

59

1 1

1

4 .

12,5 12164 .7 164,58

6

il

Q

Q

ff

Q L if

cm

Q1 sınıfı

Q3 sınıfı

Sınıflar fi ∑fi

150-157’den az 5 5 157-164’den az 7 12 164-171’den az 14 26 171-178’den az 9 35 178-185’den az 8 43 185-192’den az 4 47 192-199’dan az 3 50

Toplam 50

Örnek: Bir sınıftaki öğrencilerin boyları hakkında bir araştırma

yapılmaktadır. Bu amaçla 50 öğrencinin boyları ölçülerek

kaydedilmiştir.Öğrencilerin boylarının birinci ve üçüncü kartillerini

hesaplayınız.

7