pp 5(bab 5)
TRANSCRIPT
Slide - Slide - 22IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
IntegralIntegral
Jika F(x) adalah sebuah fungsi yg turunannya :Jika F(x) adalah sebuah fungsi yg turunannya : FF′′ (x) = f(x) pd interval tertentu dari sumbu-x, (x) = f(x) pd interval tertentu dari sumbu-x, maka F(x) disebut anti-turunan atau integral tak maka F(x) disebut anti-turunan atau integral tak tentu dari f(x) yg diberikan oleh : tentu dari f(x) yg diberikan oleh : F(x) + CF(x) + CDgn C sebarang konstanta, disebut Konstanta Integrasi.Dgn C sebarang konstanta, disebut Konstanta Integrasi.Anti-diferensiasi adalah proses menemukan anti-Anti-diferensiasi adalah proses menemukan anti-turunan dari suatu fungsi, simbol turunan dari suatu fungsi, simbol ∫∫ menyatakan menyatakan operasi anti-diferensiasi dan ditulis :operasi anti-diferensiasi dan ditulis :
∫∫ f(x) dx = F(x) + Cf(x) dx = F(x) + C
Slide - Slide - 33IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Rumus-rumus Dasar IntegralRumus-rumus Dasar Integral
Culnu
du +=∫ ∫≠>
+=
1a0,a
;Caln
adua
uu
Culnu
du +=∫
Anti-diferensiasi adl. operasi invers dari diferensiasi,Anti-diferensiasi adl. operasi invers dari diferensiasi,maka rumus-rumus anti-diferensiasi dpt diperoleh maka rumus-rumus anti-diferensiasi dpt diperoleh dari rumus-rumus diferensiasi.dari rumus-rumus diferensiasi.Rumus-rumus dasar u/ integrasi dpt dibuktikan dari Rumus-rumus dasar u/ integrasi dpt dibuktikan dari rumus diferensiasi bersangkutan.rumus diferensiasi bersangkutan.
1.1. 2.2.
∫ += Cxdx1
dxvdxudxv)(u ∫∫ ∫ +=+
3.3.
dxuadxua∫ ∫=
4.4. 1mC,1m
uduu
1mm −≠+
+=∫
+
5.5.
6.6.
∫ ≠>+= 1a0,a ;Caln
adua
uu
7.7. ∫ += Cedue uu
c+=∫ ulnu
du
Slide - Slide - 44IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
8.8.
10.10.
9.9.
11.11.
∫ +−= Cucosduusin
12.12.
Cusinduucos +=∫
13.13.
cusecduutan +=∫
14.14.
Cusinlnduucot +=∫
15.15.
∫ ++= Cutanuseclnduusec
16.16.
Cucotucsclnduucsc +−=∫
17.17.
∫ += Cutanduusec2
18.18.
∫ +−= Cucotduucsc2
19.19.
∫ += Cusecduutanusec
20.20.
∫ +−= Cucscduutanucsc
∫ +=−
Ca
usinarc
ua
du22
∫ +=+
Ca
utanarc
a
1
ua
du22
∫ +=−
Ca
usecarc
a
1
auu
du22
Slide - Slide - 55IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
21. 21. Cau
auln
2a
1
au
du22
++−=
−∫
22. 22. Cua
ualn
2a
1
ua
du22
+−+=
−∫
23. 23. ( ) Cauulnau
du 22
22+++=
+∫
24. 24. ( ) Cauulnau
du 22
22+−+=
−∫
C
a
usinarca
2
1uau
2
1
duua
222
22
++−=
−∫
C)au(ulna2
1auu
2
1
duau
22222
22
+++++=
+∫
25.25.
26.26.
27. 27.
Cauulna2
1auu
2
1
duau
22222
22
+−+−−=
−∫
Slide - Slide - 66IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Selesaikan soal integrasi dibawah ini :Selesaikan soal integrasi dibawah ini :
1.1. ∫ ∫ +== C5xdx55dx
∫ += C6
xdxx
652.2.
3.3. C
x
1C
1
xdxx
x
dx 12
2+−=+
−==∫ ∫
−−
Cz
4
3C
4/3
z
dzzdzz
4/34/3
1/33
+=+=
= ∫∫4.4.
5.5. ∫ ∫ +=== − C3x
1/3
xdxx
x
dx 1/31/3
2/3
3 2
∫ =+− 3)dx5x(2x2
6.6.
∫ ∫ ∫∫ +−= dx3xdx5dxx2 2
C3x2
5x
3
2x 23
++−=
7.7. ∫ ∫ −=− )dxx(xdxxx)(1 3/21/2
∫ ∫∫ −= dxxdxx 3/21/2
Cx5
2x
3
2 5/23/2 +−=
Slide - Slide - 77IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
=−+
∫ dxx
45xx2
23
8.8.
Cx
45xx
2
1
C1
4x5xx
2
1
)dx4x5(x
2
12
2
+++=
+−
−+=
−+=−
−∫C2xln ++=
Cxlndx
x +=∫9.9.
10.10. ∫ ∫ ++=
+ 2x
2)d(x
2x
dx
Mis. : u = 2x – 3 ⇒ du = 2 dx Sehingga :
11.11. ∫ − 32x
dx
Culn2
1
u
du
2
1
32x
dx +==− ∫∫
∫ ∫ −+=
− 32x
3)d(2x
2
1
32x
dx
:atau
C32xln2
1 +−=
C32xln2
1 +−=
Slide - Slide - 88IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Integral TrigonometriIntegral Trigonometri
Persamaan-persamaan dibawah ini diperlukan untuk Persamaan-persamaan dibawah ini diperlukan untuk menemukan integral-integral Trigonometri : menemukan integral-integral Trigonometri :
1) sin1) sin22x + cosx + cos22x = 1x = 12) 1 + tan2) 1 + tan22x = secx = sec22xx3) 1 + cot3) 1 + cot22x = cscx = csc22xx
4) sin4) sin22x =x =
( )2xcos12
1 −
5) cos5) cos22x =x =
( )2xcos12
1 +
6) sin 2x = 2 sin x cos x6) sin 2x = 2 sin x cos x
7) 2 sin x cos y = cos (x - y) – cos (x + y)
8) 2 sin x sin y = cos (x – y) – cos (x + y)
9) 2 cos x cos y = cos (x – y) + cos (x + y)
10) sin (x + y) = sin x cos y – cos x sin y
11) cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y
Slide - Slide - 99IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
12)12)
ytanxtan1
ytanxtany)(xtg
−+
=+
13) 13) sin x + sin y =
−
+
2
yxcos
2
yxsin2
14) 14) sin x - sin y = 2 cos
−
+
2
yxsin
2
yx
15) cos x – cos y = - 2 sin
−
+
2
yxsin
2
yx
Slide - Slide - 1010IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Contoh :Contoh :
Cx2
1cos2x
2
1.dx
2
1sin2dxx
2
1sin +−=
=
∫ ∫1)1)
2)2) ( ) ( ) ( ) ( ) Cxxdxdxx +==∫ ∫ 3sin3
13.3cos
3
13cos
3)3) ).(cossincossin 22∫ ∫= dxxxdxxx
C3
xsind(sinx)xsin
32 +== ∫
4)4) ( ) ( ) ( ) Csec2xln2
12x.d2xtan
2
1dx2xtan +== ∫∫
Slide - Slide - 1111IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
7)7) Misal : u = sin x ⇒ du = cos x dx Sehingga :
dxxcosxsin10∫
Cx
Cu
duuxdxx +=+== ∫∫ 11
sin
11cossin
11111010
8)8)
∫ +=−
C2
xsinarc
x4
dx2
9)9)
9)9) ∫ +=
+C
xarc
x
dx
3tan
3
1
9 2
∫ ∫ +=−
=−
Cx
arcx
dx
x
dx
5
4sin
4
1
)4(5
4
4
1
1625 222
10)10) ∫ ∫ +=
+=
+C
xarc
x
dx
x
dx
3
2tan
6
1
3)2(
2
2
1
94 222
Slide - Slide - 1212IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Integral ParsialIntegral Parsial
Bentuk integral yg sering timbul, adl. suatu integral yg integrannya merupakan hasil ganda dari suatu fungsi x, dgn differensial dari fungsi x yg lain.Andaikan U & V fungsi dari x, maka dicari hasil dari bentuk :
Dalam hitung differensial diketahui, bahwa :d(U.V) = U dV + V dU
atau U dV = d (U.V) – V dUmaka :
∫U.dV
Integral dgn bentuk ini disebut integral parsial.∫ ∫−= dUVU.VdVU
Slide - Slide - 1313IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Contoh :
1. Cari : ?
dxex2x3∫
Penyelesaian : Mis. : U = → dU = 2x dx dan : dV = x dx →
Maka :
2x2xe 2xe
2
1V =
Ce2
1ex
2
1
dxxeex2
1dxex
22
222
xx2
xx2x3
+−=
−= ∫∫
Slide - Slide - 1414IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
2. Hitung :2. Hitung :
dxxx∫ sin
Penyelesaian :Penyelesaian :
Misal : U = x Misal : U = x →→ dx = du dx = du dV = sin x dx dV = sin x dx →→ v = = - cos x v = = - cos x
Maka : Maka :
Atau :
dxsinx∫
∫∫ −−−= cosx)dx(xcosxdxsinxx
Cxxx ++−= sincos
∫∫ = [cosx]dxdxdxsinxx
Slide - Slide - 1515IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
3. Hitung :3. Hitung :
dxlnxx∫
Penyelesaian : Misal : U = ln x → dU = 1/x dx dan dV = x dx → 2
xV
2
=
)x2
1(xdlndxxlnx 2∫∫ =∴
∫−= )x(lndx2
1xlnx
2
1 22
∫∫ −=−= xdxxxdxx
xxx2
1ln
2
11
2
1ln
2
1 222
Cxxx +−= 22
4
1ln
2
1
Slide - Slide - 1616IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Integral Fungsi RasionalIntegral Fungsi Rasional
Suatu fungsi F (x) = , dimana f(x) & g(x) adl. polinomial, disebut : Fungsi Pecah Rasional. Jika pangkat f(x) lebih rendah daripada pangkat g(x), F(x) disebut Proper, sebaliknya F(x) disebut Improper. Sebagai contoh :
Setiap pecahan rasional yg proper dpt dinyatakan sebagai suatu jumlahan dari pecahan-pecahan yg sederhana yg penyebutnya berbentuk :(ax + b)n atau/dan (ax2 + bx + c)n, dimana n bulat positif.
g(x)
f(x)
2323
34
xx
1xx
xx
1xxx
−+−=
−−−−
Slide - Slide - 1717IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
4 Kemungkinan yg timbul dalam pecahan rasional proper :
(a) Semua faktor dari penyebut linier dan berlainan
Pecahan rasional yg proper F(x), penyebut g(x) dapat dinyatakan sbg perkalian faktor-faktor linier yg berlainan, misalnya : g(x) = (x – a1)(x – a2) ............. (x – an) dimana : , maka :
U/ menghitung A1, A2, ... An (koefisien-koefisien tak tentu) kedua bagian diatas disamakan, a/ mengambil harga-harga x tertentu.
n321 a......aaa ≠≠≠
n
n
3
3
2
2
1
1
ax
A......................
ax
A
ax
A
ax
A
g(x)
f(x)
−++
−+
−+
−=F (x) =
Slide - Slide - 1818IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Contoh :Contoh :
1) Tentukan : dxxx
x∫ −−
−6
132
Penyelesaian : Penyebut :
PPecahan rasional dapat ditulis :
Maka dipenuhi bentuk : 3x – 1 = A(x - 3) + B(x + 2) setara/ekivalen dgn : 3x – 1 = (A + B)x + (-3A + 2B)
3)1)(x(x6xx2 −+=−−
3x
B
2x
A
3)2)(x(x
13x
−+
+=
−+−
3)2)(x(x
2)B(x3)A(x
−+++−=
Slide - Slide - 1919IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
U/ menentukan nilai A & B :Bagian kiri identik dgn bagian kanan, berarti koefisien-koefisien dari x yg berpangkat sama dari kedua bagian tsb harus sama. Jadi : Koefisien x → 3 = A + B
Koefisien xo → -1 = -3A + 2BDari 2 persamaan tsb diperoleh A = 7/5 dan B = 8/5. Shg :
3x5
8
2x5
7
3)2)(x(x
13x
6xx
13x2 −
++
=−+
−=−−
−
∫ ∫∫ −+
+=
−−−
dx3x
1
5
8dx
2x
1
5
7dx
6xx
13x2
dan
Cxx +−++= 3ln5
82ln
5
7
Slide - Slide - 2020IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
(b) Semua faktor dari penyebut linier, (b) Semua faktor dari penyebut linier, tetapi ada beberapa yg sama tetapi ada beberapa yg sama (berulang)(berulang)
Untuk tiap faktor linier (ax + b) yg timbul n kali dalam penyebut dari pecahan rasional, ditulis sbg penjumlahan dari n pecahan parsial dalam bentuk :
dimana Ai ( i = 1, 2, …………., n) konstanta yg harus dicari.
nn
33
221
b)(ax
A................
b)(ax
A
b)(ax
A
bax
A
+++
++
++
+
Slide - Slide - 2121IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Contoh :Contoh :
1) Tentukan : dx3)2)(x(x
19)22x(3x2
2
∫ −++−
Penyelesaian : Perhatikan :
Dgn menyelesaikan persamaan ini didapatkan harga- harga A=3, B=0 dan C = -4. Maka :
22
2
3)(x
C
3x
B
2x
A
3)2)(x(x
1922x3x
−+
−+
+=
−++−
2)C(x3)2)(xB(x3)A(x1922x3x 22 ++−++−=+−
∫ ∫∫ −−
+=
−++−
22
2
3)(x
dx4
2x
dx3dx
3)2)(X(x
19)22x(3x
C3x
42)ln(x3 +
−++=
Slide - Slide - 2222IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
(c) Beberapa faktor penyebut adl. kuadratis & tak berulang
Untuk tiap-tiap faktor yg memiliki bentuk : , dinyatakan sbg pecahan parsial dari bentuk :
cbxax2 ++
cbxAx
BAx2 ++
+
Contoh :1) Tentukan : ∫ + xx
dx3
Penyelesaian : Penjabaran :
1)x(x
1
xx
123 +
=+
1)x(x
C)x(Bx1)A(x
1x
CBx
x
A2
2
2 ++++=
+++=
Dgn menyelesaikan persamaan didapatkan harga-harga A = 1, B = -1 dan C = 0 Jadi :
C)x(Bx1)A(x1 2 +++=ACxB)x(A1 2 +++=
∫ ∫ ∫ +−=
+dx
1x
x
x
dx
xx
dx23
Cxx ++−= )1ln(2/1ln 2
C1x
xln
2
12
++
=
Slide - Slide - 2323IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
(d) Beberapa Faktor Penyebut adl. kuadratis dan berulang Untuk faktor kuadratis dgn bentuk yg berulang n kali dlm penyebut pada pecahan rasional yg proper, ditulis sbg jumlahan dari n pecahan parsial dlm bentuk :
di mana A1 dan B1 konstanta yang harus dicari.
cbxax2 ++
n2nn
2222
211
c)bx(ax
BxA..................
c)bx(ax
BxA
cbxax
BxA
++++
+++
+++
Slide - Slide - 2424IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Contoh :
1) Tentukan :
∫ +++
dx2)(x
3x2x22
3
Penyelesaian :
Penjabaran :
Maka :
22222
3
2)(x
DCx
2X
BAx
2)(x
3x2x
+++
++=
+++
22
2
2)(x
D)(Cx2)B)(x(Ax
+++++=
D)(Cx2)B)(x(Ax3x2x 23 ++++=++
D)(2BC)x(2ABxAx3x2x 233 +++++=++
Dgn menyelesaikan pers. Didapat : Koefisien : x3 → 2 = A x2 → 0 = B x1 → 1 = 2A + C ; C = -3 x0 → 3 = 2B + D ; D = 2
Slide - Slide - 2525IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Diselesaikan dulu integral :
Misalkan :
∫ ∫∫ +−−
+=
+++
dx2)(x
23xdx
2x
2xdx
2)(x
3x2x22222
3
∫ ∫ ++
+−+=
22222
2)(x
dx2
2)(x
xdx32)ln(x
dqqsec2dxqtg2x 2=→=
Jadi bentuk integral :
Lanjutan :Lanjutan :
Slide - Slide - 2626IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
∫ ∫∫ ==+
dqqdqq
q
x
dx 24
2
22cos24
1sec4
sec2
)2(
∫ += dqq)2cos1(2124
1
C)2x(4
x
2
xtgarc28
1C)q2sin21q(28
12
++
+=++=
Hasil integral seluruhnya :Hasil integral seluruhnya :
Cx
xxtgarcxdx
x
xx ++
++++=+
++∫ )2(2
3
224
1)2(ln)2(
322
222
3
Lanjutan :Lanjutan :
Slide - Slide - 2727IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Integral TertentuIntegral Tertentu
Notasi untuk integral tertentu , maka f(x) disebutNotasi untuk integral tertentu , maka f(x) disebut
integran a disebut batas bawah dan b disebut batas atas.integran a disebut batas bawah dan b disebut batas atas.
Untuk menyelesaikan integral tertentu gunakan teorema dasar kalkulus integral, yaitu : jika f(x) kontinu dalam selang [a,b] dan jika F(x) adalah integral tertentu dari f(x), maka :
∫b
a
dxf(x)
F(a)F(b)F(x)dxf(x)b
a
b
a
−==∫
Slide - Slide - 2828IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Contoh :Contoh :
1)1)
[ ]3
28
3
2613
3
1x
3
1dxX 33
3
1
33
1
2 ==−=
=∫
2)2)
∫∫ +−=−6
1
26
1
2 4)dx4x(xdx2)(X
3
22142
3
12472
3
216
4(1)2(1)(1)3
14(6)2(6)(6)
3
14x2xx
3
1 23226
1
23
=
+−−
+−=
+−−
+−=
+−=
3)3)
0
π/2
0
π/2
0
π/2
cos(2x)2
1x)sin(2x)d(2
2
1sin(2x)dx∫ ∫
−==
[ ]
[ ] 1)]1(1[2
1)cos()0cos(
2
1
)2..2cos()0.2cos(2
1
−=−−−=−−=
−−=
π
π
Slide - Slide - 2929IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Lanjutan :Lanjutan :
4) 4) ∫∫ −−= −−3
2
x/23
2
x/2 )2
xd(e2dxe
)e2(e]2[e 13/232
x/2 −−− −−=−=
)e2(e 3/21 −− −−=
5) 5) ∫−
−
−
−+=
+
10
6
10
62xln
2x
dx
2ln4ln8ln =−=
6) 6) 2
2
2
22 2
xtanarc
2
1
4x
dx
−−∫ =
+
π4
1π4
1π4
1
2
1 =
−−=
Slide - Slide - 3030IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Lanjutan :Lanjutan :
7)7) ∫ ∫ ++=+2
0
2
0
21/222 5).(1/2)d(x5)(xdx5xx
2
0
3/222
0
3/22 5)(x3
15)(x
3/2
1
2
1 +=+
=
3
559)55(27
3
1)5(9
3
1
5)(03
15)(2
3
1
3/23/2
3/223/22
−=−=−=
+−+=
8)8) ∫ ∫ −=−−=−1/5
0
1/5
0
101/5
0
99 1)(5x10
1(1/5).1)(1/5)d(5x1)(5xdx1)(5x
[ ]
50
1)10(
50
1
}1)0(5{}1)5/1(5{50
1)15(
50
1 10105/1
0
10
−=−=
−−−=−= x
Slide - Slide - 3131IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Soal-soal tambahan :Soal-soal tambahan :
A. Kerjakan soal integrasi berikut ini :A. Kerjakan soal integrasi berikut ini :
1. 1. 4)dx5x4x(2x 23 ++−∫ 2. 2. ∫
+− dx
x
2x
2
1x
3. 3. ∫ − 31)(x
dx
4. 4. ∫ − dyyy1 34
5. 5. ∫ + 2x
3xdx2
6. 6. dxx)x(4 222∫ −
7. 7. ∫ dxxcotx 2
8. 8. dxx3tanx3sec∫
9. 9. dxxx∫ + )cos(sin
10. 10. dxx
e x∫
− 2
Slide - Slide - 3232IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR
Lanjutan :Lanjutan :
11)11)
12. 12.
13. 13.
14. 14.
15. 15.
16. 16.
17. 17.
18. 18.
19. 19.
20. 20.
21. 21.
∫ + 2x1
xdx2
dxeex 33)1( +∫
∫ xdx2sin
∫ dxe6 x3
∫ +12
2
x
x
e
dxe
dxx∫ 2
1cos
dxx∫ 2tan
dxax4
∫dxex4
∫
∫ dxex x32
dxxx 322 sec∫
22. 22. dxe x∫ + )32(