ppf mars 2006 1/24 modélisation numérique de la propagation et du déferlement dun soliton f....
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PPF mars 2006 1/24
Modélisation numérique de la propagation et du déferlement d’un soliton
F. GolayP. Helluy
Université de Toulon, FranceANAM/MNC
PPF mars 2006 2/24
• Présentation
• Déferlement d’un soliton
• Quadtree
• Solveur 3D // isotherme
Plan
PPF mars 2006 3/24
ANAM
laboratoire d’Analyse Non-linéaire Appliquée et Modélisation
Directeur: Guy Bouchitte
Présentation
MNC
Equipe
Modélisation Numérique et Couplages
• Paola GOATIN
• Frédéric GOLAY
• Philippe HELLUY
• Sylvain MAIRE
• Jacques SCHNEIDER
ANLA
Equipe
d’Analyse Non-linéaire Appliquée
PPF mars 2006 4/24
Philippe HelluyMC 26 Hdr http://helluy.univ-tln.fr
Thèmes de recherche:Modélisation mathématique et numérique des écoulements multiphasiques compressibles
Mots clés: systèmes hyperboliques, volumes finis, écoulements multiphasiques, changement de phase, …
Frédéric GolayMC 60 http://freddy.univ-tln.fr
Thèmes de recherche:Modélisation numérique par EF de problèmes physiques couplés
Mots clés: Éléments et/ou volumes finis, raffinement de maillage, écoulements multiphasiques, …
Logiciels
Divaxi: Euler, biphasique, 2D axisymétrique, maillage non structuréBalot: Euler 2D, biphasique, maillage structuré V3D: Euler 3D, //, biphasique énergétique ou isotherme, maillage structuré SIC: Éléments et/ou volumes finis Solide (Élasticité, Plasticité, Sols ….), Fluide (NS, Transport, Euler biphasique, …), Thermique, Milieux Poreux, Optimisation topologique, Raffinement de maillage, …
PPF mars 2006 5/24
Déferlement d’un soliton
PPF mars 2006 6/24
Numerical simulation of wave breaking: Mathematical model
0ut
ugu)pE(divt
E
g)Ipuu(divt
u
0)u(divt
2
(x,y,t) is the density
u(x,y,t) is the velocity
g is the gravity
1E u is the energy
2is the internal energy
0 1 is the fraction of fluid
p( , , ) is the pressure
where
Equation Of State: stiffened gaz
(Abgrall-Saurel, 1996)
1)1(
11)(
)()(
1
1)1(
1
1
1)(
1
)()(1)(p
a
aa
w
ww
aw
)p(
c
Sound velocity
P. Helluy, F. Golay:”Mathematical and Numerical aspects of Low Mach Number Flows”, Porquerolles 2004
PPF mars 2006 7/24
The system has the form of a system of conservation laws
11 2
1 2
( ).
( )
: approximation of in the volume at time ,
: numerical flux (exact Godunov),
( ), ( ) : length of , volume of .
i
n n ii i
i C
ni i n
i i i i
L Cw w t F G
V C
w w C t
F G
L C V C C C
1 2
21 1 1 2 1 1
22 1 2 2 2 2
2
( ) ( ) ( ),
( , , , , ),
( ) ( , , , , ( ) , ),
( ) ( , , , , ( ) , ),
( ) (0,0, , ,0).
t x yw F w G w H w
w u u E
F w u u p u u E p u u
G w u u u u p E p u u
H w g gu
We solve it by a standard finite volume scheme
Ci
Cj
•Second order extension:MUSCL•No pressure oscillation thanks to a special non-conservative discretisation of the fraction evolution.
Numerical simulation of wave breaking: Numerical model
PPF mars 2006 8/24
Numerical simulation of wave breaking: Test case
In the air sound velocity c=20m/s, p=105 Paa=-99636 Pa, a=1.1
In the water sound velocity c=20m/s, p=105 Paw=263636 Pa, w=1.1
PPF mars 2006 9/24
Mesh: 2000x150
Numerical simulation of wave breaking: Numerical results wave propagation
PPF mars 2006 10/24
Numerical simulation of wave breaking: Numerical results wave breaking
PPF mars 2006 11/24
• Intégration dans SIC
• Quadtree
• Critère entropique
Premier développement: le raffinement de maillage
PPF mars 2006 12/24
FV & FE: Finite Volume formulation
0ut
ugu)pE(divt
E
g)Ipuu(divt
u
0)u(divt
x
ye
u
uU
E
e
ee
1U(x) U U(x)dx
e
e e
l rlre e
e eef (U , U , n )dx
t tU (t t) U (t d) S x
Geometrical node with no dof
Centroid node with 5 dof
1
2
4 3
Compute numerical flux exact Godunov schemeHelluy, Barberon, Rouy 2003
1
24
3
5N+1
Compute nodal load vector Estimation of U with slope limiter Display the result
PPF mars 2006 13/24
• time cpu improved
• best precision
• « static » front captured
• but conformity!
• local unrefinement is difficult
PPF mars 2006 14/24
Mesh refinement: Quadtree mesh refinement
Hierarchical approach on quadrilateral
PPF mars 2006 15/24
Mesh refinement: Quadtree (un/)refinement criteria
Croisille1990
e
t x
e(t t) (t) (t)
, U Lax's entropy and G=Uu, we have
as U=- s, the entropy's production per c
U (w) G (w) 0
-P
ellule per unit of time is approximated by
In our case the en
e= s s ( su) ndl
Lax Cr t r
t
i e ia
ptropy is defined by s=ln
Remarks:• If w is regular, the Lax criteria vanish• Pe vanish across a contact discontinuity• Pe vanish across an expansion• Pe is strictly negative across a shock
(un)refinement criteria for each cell:• If -Pe<Pmin unrefinement• If Pmin<-Pe<Pmax we do nothing• If Pmax<-Pe refinement
PPF mars 2006 16/24
Mesh refinement: Proof
x y2 , p 2 , u 0 , u 0 x y1 , p 1 , u 0 , u 0
PPF mars 2006 17/24
Mesh refinement: Example
Entropy production per unit of time
Initial mesh t=0.05
First mesh refinement t=0.05
Second mesh refinement t=0.05
PPF mars 2006 18/24
mesh t=0.10
mesh unrefinement t=0.10Criteria < 10%
mesh refinement t=0.1020% < Criteria
mesh refinement AND unrefinement t=0.10Criteria < 10% & 20% < Criteria
PPF mars 2006 19/24
• Modèle isotherme
• Calcul //
Deuxième développement: 3D // Isotherme
PPF mars 2006 20/24
0ut
g)Ipuu(divt
u
0)u(divt
wa200 )1(cpp
Modèle isotherme
-5 m 22m-1m
2m
0
0.6 m3.92 m/s
Water
Air
-5 m 22m-1m
2m
0
0.6 m3.92 m/s
Water
Air
Reef
5.225m
V3DVolume fini 3D par sous domainesSolveur Riemann exact énergétique ou isothermeOrdre 1 ou 2: Euler, Hancock, Barth, Weno
PPF mars 2006 21/24
Propagation du soliton
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
10 12 14 16 18 20
Soliton
8x75x90
8x150x180
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
10 12 14 16 18 20
Isotherme ordre 1Isotherme + BarthIsotherme + Barth + EulerEnergétique ordre 1Energétique + BarthEnergétique + Barth + EulerSoliton
Hancock, Weno
PPF mars 2006 22/24
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Déferlement du soliton
PPF mars 2006 23/24
Modèle Isotherme
Modèle Énergétique
Premier ordre 0h 39 min 1h 28 min
Euler & Barth 2h 30 min 6h 14 min
1h 20 min 3h 17 minBarth
PPF mars 2006 24/24
Wave breaking
To be continued …..