ppt 05-calculo 1-regla cadena
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derivada regla de la cadenaTRANSCRIPT
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Departamento de Ciencias
DERIVADA DE UNA FUNCION COMUESTA
Regla de la cadena. Recta tangente.
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CASO 01: COSTO DE PRODUCCIN
El costo de produccin de x unidades de cierto producto es dlares, y el nivel de la produccin durante t horas en una lnea de produccin particular es unidades. A qu razn est cambiando el costo con respecto al tiempo despus de cuatro horas?
2( ) 4 53C x x x
2( ) 0,2 0,03x t t t
UPN
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Segn el anlisis cinemtico del Movimiento Armnico Simple (M.A.S.), la ecuacin de la elongacin es La amplitud del movimiento es de 100 m y el
periodo de 3 a) Obtener las funciones velocidad y aceleracin para el M.A.S. b) Calcular velocidad y aceleracin si t=2s.
( ) cosx t A t
CASO 02: MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
UPN
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LOGRO DE SESIN
Al finalizar la sesin de aprendizaje, el
estudiante resuelve ejercicios en los que
calcula la derivada de funciones compuestas;
la recta tangente y normal a una curva,
haciendo uso del clculo de derivadas de las
funciones que son representadas por las
curvas en estudio.
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CONTENIDOS
LA RECTA TANGENTE
REGLA DE LA CADENA
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x
y
0 x
) ( 0 x f
ECUACION DE LA RECTA TANGENTE
-
x
y
EJEMPLO DE RECTA TANGENTE
-
7. Ecuacin de la Recta Tangente y Recta Normal
Sea f : R R una funcin derivable en x=a, considerando la interpretacin geomtrica de f(a) se dan las siguientes definiciones:
Recta tangente:
))(()( axafafy
Recta Normal:
1( ) ( )
( )y f a x a
f a
Recta tangente
Recta normal
Ejemplo: Dada la funcin: f(x)= x - 2x + 3, obtener las ecuaciones de la
recta tangente y normal a la grfica de f en el punto P (2,3).
Solucin:
La pendiente de la recta tangente: m= f(x)=2x-2 m=f(2)=2(2)-2 = 2 Recta tangente: y-3=2(x-2) y-2x+1=0
Recta normal: y-3=-(1/2)(x-2) x+2y-8=0
a
f(a) y= f(x)
x UPN
-
Teorema. La Regla de la Cadena
TEOREMA.
Si y = f(u) es una funcin derivable de u
Y u = g(x) es una funcin derivable de x
Entonces:
y = f(g(x) es una funcin derivable de x y
O su equivalente:
.dy dy du
dx du dx
'( ( )) '( )d
f g x f g x g xdx
UPN
-
REGLA DE LA CADENA
xx gfgfxhObs )(:
xgxgfhxgfhSea ''')(
Ejemplo 1:
21 :Sea f x x y g x x hallar
)a h f g f g x
b) 'h
-
21 :Sea f x x y g x x hallar
2 2) 1a h f g f x x
1
2 21
b) ' 1 22
h x x
SOLUCION:
2'
1
xh
x
-
Observacin : Derivada de f n(x)
1[ ( )]' ( ). '( )n nf x n f x f x
10)23()( xxf Derivar
]')23[()(' 10xxf )'23()23(109 xx
99 )23(20)2()23(10)(' xxxf
Ejemplo 1:
Solucion:
-
( ) '( )x xSi f x e f x e
2.1 FUNCION EXPONENCIAL:
1
( ) '( ) ; 0Si f x Ln x f x xx
2.2 FUNCION LOGARITMO:
DERIVADA DE FUNCIONES ESPECIALES
-
OBSERVACION: DERIVADA DE ef(x)
( ) ( )[ ]' . '( )f x f xe e f x
3 4( ) xf x e
Ejemplo:
Solucin:
3 4'( ) 3 4 'xf x e x
3 4'( ) 3 xf x e
-
OBSERVACION : DERIVADA DE Ln(f(x))
)(
)('))]'([ln(
xf
xfxf
Derivar )12ln()( 2 xxxf
Ejemplo:
Solucin:
2
2
1'( ) (2 1) '
(2 1)f x x x
x x
2
4 1'( )
2 1
xf x
x x
-
Funciones Trigonomtricas y la Regla de la Cadena
2
cos '
tan sec '
sec sec tan '
dsen u u u
dx
du u u
dx
du u u u
dx
2
cos '
cot csc '
csc csc tan '
du sen u u
dx
du u u
dx
du u u u
dx
Sea u=u(x) una funcin diferenciable, entonces:
UPN
-
Ejemplos:
3( ) 4f t sen t
3( ) ( 4 )f t sen t
2'( ) 3( 4 ) 4d
f t sen t sen tdt
2'( ) 3( 4 ) (cos 4 ) 4d
f t sen t t tdt
2'( ) 3( 4 ) cos 4 4f t sen t t
2'( ) 12 4 cos 4f t sen t t
UPN
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Derivar las siguientes funciones
431) ( ) (3 2)f x x
22) ( ) (3 2)e xf x Ln x
3 12 1
3) ( )
x
x
Ln ef x
e
EJERCICIOS
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Forme grupos de 4 estudiantes.
Desarrolle los ejercicios impares de la HT 05 niveles :I y II.
TRABAJO EN EQUIPO
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QU HAS APRENDIDO EN LA SESIN DE CLASE?
Qu tipo de problemas cotidianos se podran resolver aplicando la regla
de la cadena?
Qu dificultades se presentaron en la resolucin de ejercicios?,
Qu he aprendido en esta sesin?
-
BIBLIOGRAFA
N Cdigo Autor Ttulo Paginas
[1] 515
STEW/D
JAMES
STEWART
CALCULO
DIFERENCIAL E
INTEGRAL
139 155
157 - 203
[3] 515
STEW/C
JAMES
STEWART
CALCULO DE UNA
VARIABLE
143 183
184 - 212