A quick review…

First Order ODE’sLinear ODE is of the form

Solution can be derived using integrating factor method   i ti   f  t   th dor variation of parameter method

Separable Equation:

First Order ODE’s (…cont)Homogeneous Equation*:

Results in a separable equation

*Homogeneous equation can also mean a linear ODE that has zero as its “forcing function” on the right‐hand side

First Order ODE’s (…cont)Bernouilli Equation:

By making the substitution

lWe can get a linear ODE:

First Order ODE’s (…cont)Exact Equation:

Thus we seek a solutionTest for exactness:Test for exactness:

Solve for F(x,y):( y)

Now we need to solve for A(y)Now we need to solve for A(y)

First Order ODE’s (…cont)

Thus, the implicit solution is:

First Order ODE’s (…cont)Integrating Factors:

In the case the equation is not exact, we can make it t b   lti l i  th   ti   ith   i t ti  exact by multiplying the equation with an integrating 

factor σ(x) or σ(y) before solving (same steps as before)If (My‐Nx)/N is a solution in terms of x only( y x)/ y

If (My‐Nx)/M is a solution in terms of y only

Higher Order ODE’s2nd order homogeneous equation with constant coefficients

S k  l i   f  h  fSeek solution of the formObtain characteristic equation and solve for λ:

If λ1, λ2 are real & distinct solution is:

If λ1=λ2 (repeating roots), then the solution is:

If λ  λ are complex i e  of the form                    the solution is:If λ1, λ2 are complex i.e. of the form                  , the solution is:

Higher Order ODE’s (…cont)Solving for higher order equations is similar

Note that for k repeated roots, the linearly independent (LI)  l ti   i t d  ith th t λ(LI) solutions associated with that λ are:

Higher Order ODE’s (…cont)Cauchy‐Euler Equation:

S k  l ti   f th  fSeek solution of the formObtain characteristic equation and solve for λ:

If λ1, λ2 are real & distinct solution is:

If λ1=λ2 (repeating roots), then the solution is:

If λ  λ are complex i e  of the form                    the solution is:If λ1, λ2 are complex i.e. of the form                  , the solution is:

Higher Order ODE’s (…cont)Reduction of Order (for homogeneous non‐constant coefficients)If   k     l i  f   h  ODE  i        If we know 1 solution for the ODE equation, we can use Lagrange’s method of variation of parameters to determine the second solutiondetermine the second solution…

LetLetThen we get:

Higher Order ODE’s (…cont)LetThen we get:This becomes a linear first order homogeneous ODESolve for p(x), integrate p(x) to solve for A(x) 

Higher Order ODE’s (…cont)E.g. Legendre’s Equation

We can easily see that one solution would be Let the second solution be of the form: Plug in the solution into the ODE, simplify, and make th   b tit ti  A’( )    ( ) t   tthe substitution A’(x) = p(x) to get:

Higher Order ODE’s (…cont)

Integrating p(x) and multiplying A(x) by y1(x) to get:

Higher Order ODE’s (…cont)And the general solution of the Legendre Equation is:

Higher Order ODE’s (…cont)2nd Order Non‐homogeneous Equations

Where L[y] is the nth order linear differential operatorf(x) is a linear combination of terms fk(x)G l  l ti   i t   f th  h   l ti  General solution consists of the homogeneous solution and particular solution:  

Higher Order ODE’s (…cont)Method of Undetermined Coefficients

Two conditions:1. L is a linear, constant‐coefficient type2. Repeated differentiation of each fk(x) term results in only a finite number of LI termsUsed to find the particular solution y (x)Used to find the particular solution yp(x).

Steps:1. For each fk(x) term, determine the sequence consisting of itself and its derivatives2 The particular solution corresponding to fk(x) consists of a linear combination of the 2. The particular solution corresponding to fk(x) consists of a linear combination of the 

LI terms found in the sequence generated3. If any terms are duplicated in the homogenous solution, multiply the entire linear 

combination of terms by the lowest positive integer power of x so that no duplications are foundS b i   h   i l   l i  i   h   i  L[ ]   f ( )4. Substitute the particular solution into the equation L[y] = fk(x)

5. Solve for the undetermined coefficients6. The general solution is the sum of the homogeneous solution and all particular 

solutions

Higher Order ODE’s (…cont)E.g.

Determine LI terms:

Thus, particular solutions will be of the form:

Higher Order ODE’s (…cont)Solve for the undetermined coefficients:

General solution:

Higher Order ODE’s (…cont)Method of Variation of Parameters

Not limited by the conditions imposed for method of d t i d  ffi i tundetermined coefficients

Suppose you are given a second order ODE:

The homogeneous solution is:

Then we guess that the particular solution is similar to the homogeneous one by allowing the constants C1 and C  t  C2 to vary

Higher Order ODE’s (…cont)Derivation in your textbook…

Where