ppt sistemas de coordenadas rectangulares y ecuació¦n de la recta
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GEOMETRÍA ANALÍTICA
LOGRO DE LA SESIÓN
• Al término de la sesión el estudiante
aplicará, correctamente, las
propiedades de las rectas, asimismo
graficará y encontrará ecuaciones de
rectas.
PLANO CARTESIANO
Se llama así a un plano que ha sido dividido en cuatro regiones por dos rectas
perpendiculares llamadas EJES DE COORDENADAS.
Eje de abscisas
Eje de ordenadasY
X
0
Primer
cuadrante
Segundo
cuadrante
Tercer
cuadrante
Cuarto
cuadrante
UBICACIÓN DE UN PUNTO EN EL PLANO CARTESIANO
Un punto se ubica en el PLANO CARTESIANO por medio de sus COORDENADAS,
escritas en la forma de un par ordenado
a
b
a : Abscisa del punto “P”
P = (a; b)
Eje de abscisas
Eje de ordenadasY
X
b : Ordenada del punto “P”
(a; b) : Coordenadas del punto “P”
0
Ejemplos:
Ubicar los puntos: A = (5; 12) B = ( 7; 2) C = (8; 15)
D = ( 4; 0 ) E = ( 0; 5 )
2
A = (5; 12 )
Y
X0
5
8
15
B = ( 7; 2 )
C = (8; 15 )
7
12
4
D = (4; 0 )
5E = (0; 5 )
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
x1
Eje de abscisas
Eje de ordenadasY
X0 x2
y1
y2
x2 x1
y2 y1
En el triángulo sombreado:
2)12(
2)12( yyxxd
d
Ángulo de inclinación: es el ángulo que forma la recta con el eje X medido
en sentido antihorario
LA RECTA EN EL PLANO CARTESIANO
X
Y
L
: ángulo de inclinación
de la recta L
Pendiente de una recta : es la tangente trigonométrica del ángulo de
inclinación
m = Tg pendiente de la recta L
CÁLCULO DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA
CONOCIENDO DOS PUNTOS
x1
Eje de abscisas
Eje de ordenadasY
X0 x2
y1
y2
x2 x1
y2 y1
Por definición: m = Tg
En el triángulo sombreado:12
12
xx
yyTg
12
12
xx
yym
Ejemplo: Calcular la pendiente de una recta que contiene a los puntos
(3; 5) y (6; 2)
Solución:
)6(3
)2(5m
9
7m
PENDIENTE POSITIVA (recta ascendente de
izquierda a derecha)
Y L
m > 0
X
PENDIENTE NEGATIVA (recta descendente
de izquierda a derecha)
Y
L
m < 0
X
PENDIENTE NULA (recta horizontal)
Y
m = 0
L
X
PENDIENTE INDEFINIDA (recta vertical)
Y L
m = indefinida
X
Observaciones y propiedades de la pendiente:
RECTAS PARALELAS (pendientes iguales)
Y m1 = m2
L1
L2
X
RECTAS PERPENDICULARES (producto de
pendientes igual a 1)
Y L1
m1.m2 = 1L2
X
Ejemplo: Los vértices de un triángulo son A=(3; 1) B=(2; 7) C=(8;2),
calcular la pendiente de la altura AH
( 3; 1) = A
B = (2; 7)
X
Y
C = (8; 2)
H
Solución:
Primero se calcula la pendiente de BC
2
3
6
9
82
)2(7mBC
3
2mAH
ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RECTA
A(x1 ; y1 ) es un punto de paso
m : pendiente de la recta L
( x1 ; y1 ) = A
P = (x; y)
Sobre dicha recta se toma un punto cualquiera
P(x; y), y aplicamos cálculo de pendiente
1
1
xx
yym
y – y1 = m(x – x1 )Luego:
Ecuación de la recta (forma punto pendiente)
L
X
Y
Datos:
Ejemplo: Determinar la ecuación de una recta que pasa por ( 3; 2 ) y tiene
pendiente igual a 3/5
Solución: Reemplazando datos: )]3(x[5
32y
)3x(5
32y
es la ecuación de la recta en
su forma punto- pendiente
Esta forma se obtiene despejando la variable “y” :
( 4; 2)
L
X
Y
Ecuación de la recta en su forma: pendiente ordenada en el origen
y = mx + bm : pendiente de la recta
b : intersección con el eje Y ( ordenada en el origen)
Ejemplo: Determine la ecuación (pendiente – ordenada en el origen)
de la recta que pasa por los puntos (– 4; 2 ) y ( 4; – 8 )
( 4, 8 )
3
Se calcula la pendiente:44
)8(2m
4
5m
Se determina la ecuación
punto – pendiente:)4x(
4
52y
Se despeja la variable “y”:
20x58y4 3x4
5y
Pendiente = – 5/4
Intersección con el eje Y = – 3
Ecuación general de la recta
Se denomina ecuación general de la recta a la expresión de la forma:
Ax + By + C = 0A, B, C son números reales, donde A
y B no son nulos simultáneamente.
Ejemplo: Determine la ecuación general de la recta que pasa por los
puntos (– 3; 4 ) y ( 4; – 6 )
Se calcula la pendiente:43
)6(4m
7
10m
Se determina la ecuación
punto – pendiente:)3x(
7
104y
Se agrupan todos los términos en un solo miembro:
30x1028y7 02y7x10
Intersección entre dos rectas
Es el punto común entre dos rectas que no son paralelas en el plano
cartesiano. Las coordenadas del punto de intersección se obtienen
resolviendo el sistema de ecuaciones de ambas rectas
Ejemplo: Determine el punto de intersección
entre las rectas L1: 5x 2y 25 = 0;
L2: 3x + 4y +11 = 0
Se forma el sistema:
)II(yx
)I(yx
1143
2525
3x2(I) + (II): 3913 x
Reemplazando y despejando en (I): 5y
);(P 53
L1
L2
P
Solución:
Gráfica de una recta conociendo su ecuación
Graficar: 3x – 2y – 10 = 0
Se da arbitrariamente dos valores a “x” y se calculan los respectivos
valores de “y”
Solución:
x y
2
4
2
1
X
Y3x – 2y – 10 = 0
0 4
2
1
2
Ejercicio 1
Calcular la ecuación general de una recta L1 que pasa por el punto
( 3; 4) y es paralela a la recta L2 : 3x – 2y = 10
L2: 3x – 2y = 10 )2
3(m 5x
2
3y 2
2
3mm 21 Como son rectas paralelas:
Solución:
Luego, L1: )3(x2
34y
2y – 8 = 3x + 9
L1: 3x – 2y + 17 = 0
Ecuación punto pendiente
Ecuación general de L1
Ejercicio 2
Calcular la ecuación general de una recta L1 que pasa por el punto
( 2; 5) y es perpendicular a la recta L2 : 8x + 6y + 21 = 0
L2: 8x + 6y + 21 = 0 6
21x
6
8y
1m.m 21 Como son rectas
perpendiculares:
Solución:
Luego, L1: )2(x4
35y
4y – 20 = 3x + 6
L1: 3x – 4y + 26 = 0
Ecuación punto pendiente
Ecuación general de L1
Simplificando las fracciones: )3
4(m
2
7x
3
4y 2
4
3m1
Ejercicio 3
Calcular la ecuación general de una recta que pasa por los puntos
( 3; 6) y ( 4; 3)
Primero se calcula la
pendiente de esta recta: 43
36
m
Solución:
Luego se elige como punto de paso
cualquiera de los puntos conocidos
)(x)(y 37
96
7y + 42 = 9x +27
9x – 7y 15 = 0
7
9m
X
Y
(4; 3)
(3; 6)