pptces029mt22-a15v1 clase proporcionalidad en la circunferencia mt-22
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PPTC
ES02
9MT2
2-A1
5V1
Clase
Proporcionalidad en la circunferencia
MT-22
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Resumen de la clase anterior
Teorema de Euclides
hc2 = p · q
a2 = q · cb2 = p · c
hc = a ∙ b c
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Aprendizajes esperados
• Aplicar la noción de semejanza a la relación entre las cuerdas en una circunferencia.
• Aplicar el teorema de cuerdas y propiedades asociadas a este.
• Aplicar la noción de semejanza a la relación entre secantes en una circunferencia.
• Aplicar el teorema de las secantes, de la secante y la tangente, y de las tangentes.
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Pregunta oficial PSU
48. En la figura 14, el segmento BC mide 15 cm y es tangente en C a la circunferencia de centro O. Si O está en el segmento AB que mide 25 cm y A pertenece a la circunferencia, ¿cuántos centímetros mide el diámetro?
A) 8B) 16 C) 9D) 16,6E) 24,6
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2011.
OA B
C
fig. 14
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1. Conceptos importantes2. Teoremas de proporcionalidad
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Cuerda y secante
Segmento que une dos puntos distintos de la circunferencia.
AB: Cuerda
B
A
AB: Secante
El diámetro es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia y tiene la mayor longitud.
Recta que intersecta a la circunferencia en dos puntos, formando una cuerda.
1. Conceptos importantes
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A: punto de tangencia
Recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia. Este punto es llamado “punto de tangencia” o “punto tangencial”.
O: centro de la circunferencia
OA ┴ L
OA: radio
LA
r
O
L: tangente
1. Conceptos importantes
Tangente
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Si el radio es perpendicular a una cuerda, la divide en dos segmentos iguales y el punto de intersección (P), divide el radio en dos segmentos llamados sagita y apotema.
O: centro de la circunferencia
OA: radio
D
CA
O
P
•
•
•
sagita
PA: sagita
OP: apotema
En la figura, el radio OA es perpendicular a la cuerda CD en su punto medio P.
CP = PD
apotema
1. Conceptos importantes
Sagita y apotema
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DA
P
B
C
Sean AB y CD dos cuerdas que se intersectan en P, entonces:
AP ∙ PB = CP ∙ PD
2. Teoremas de proporcionalidad
Teorema de las cuerdas
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DA
P
B
C
¿Cómo se relaciona el Teorema de las cuerdas con la semejanza de triángulos?
1° Tracemos las cuerdas AD y CB
2° El ángulo inscrito ADC es congruente con el ángulo inscrito ABC.
a
a3° El ángulo inscrito DAB es congruente
con el ángulo inscrito DCB.
b
b4° El ángulo APD es congruente con el
ángulo BPC.
g
g
Subtienden el mismo arco AC
Subtienden el mismo arco BD
Son opuestos por el vértice
Por lo tanto, ∆ APD CPB.
AP ∙ PB = CP ∙ PDLuego se cumple que es decir, PB
PD
CP
AP
Teorema de las cuerdas
2. Teoremas de proporcionalidad
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PA ∙ PD = PB ∙ PC
A
B
P
C
D
2. Teoremas de proporcionalidad
Sean PA y PB dos secantes que se intersectan en P, entonces:
Teorema de las secantes
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A
B
P
C
D
2. Teoremas de proporcionalidad
1° Tracemos las cuerdas AB y DC
¿Cómo se relaciona el Teorema de las secantes con la semejanza de triángulos?
2° En el cuadrilátero inscrito ABCD, se cumple que:
a
180° - ab g
180° - b
3° Lo anterior implica que
b
a
Por lo tanto, ∆ APB CPD.
PA ∙ PD = PB ∙ PC
ADC y CBA son suplementarios BAD y DCB son suplementarios
CDP = y PCD =
Luego se cumple que es decir, PD
PB
PC
PA
Teorema de las secantes
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PA ∙ PD = PB ∙ PC
A
B
P
C
D
12
20
6
x
12 ∙ PD = 20 ∙ 6
12 ∙ PD = 120
PD = 10
En la figura, PA y PB son secantes. ¿Cuál es el valor de PD?
Ejemplo
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Sean PA una tangente en A y PC una secante, que se intersectan en P. Entonces:
( PA )2 = PC ∙ PD
A
C
P
D
2. Teoremas de proporcionalidad
Teorema de la tangente y la secante
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( PA )2 = PC ∙ PD
A
C
P
D
2. Teoremas de proporcionalidad
¿Cómo se relaciona el Teorema de la tangente y la secante con la semejanza de triángulos?
Al trazar las cuerdas AC y AD, se forman dos triángulos semejantes, APD y CPA.
PDA y APD , DAP Si
ab
g
γα CAP y PCA entoncesa
g
Luego se cumple que es decir, PA
PD
PC
PA
Teorema de la tangente y la secante
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Sean PA y PC tangentes en A y en C, respectivamente, que se intersectan en P, entonces:
PA = PC
A
C
P
2. Teoremas de proporcionalidad
Teorema de las tangentes
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PA = PC
2. Teoremas de proporcionalidad
¿Cómo se relaciona el Teorema de las tangentes y la congruencia de triángulos?
Al trazar los radios OA y OC, junto con OP, se forman dos triángulos congruentes por LLA.
A
C
P
O
r
rOP, es lado común (hipotenusa) de los triángulos OAP y OCP
90 PCO OAP
Por lo tanto, ∆OAP y
Teorema de las tangentes
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8
5
7
c
AB
C
D
Sea ABCD cuadrilátero circunscrito a la circunferencia, entonces:
a + c = b + d
d
a
b
c
AB
C
D
5 + c = 7 + 8
c = 10
Ejemplo:
2. Teoremas de proporcionalidad
Cuadrilátero circunscrito
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Pregunta oficial PSU
48. En la figura 14, el segmento BC mide 15 cm y es tangente en C a la circunferencia de centro O. Si O está en el segmento AB que mide 25 cm y A pertenece a la circunferencia, ¿cuántos centímetros mide el diámetro?
A) 8B) 16 C) 9D) 16,6E) 24,6
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2011.
OA B
C
fig. 14ALTERNATIVA
CORRECTA
B
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Tabla de corrección
Nº Clave Unidad temática Habilidad
1 A Geometría de proporción Aplicación
2 B Geometría de proporción Aplicación
3 D Geometría de proporción ASE
4 E Geometría de proporción Aplicación
5 B Geometría de proporción Aplicación
6 C Geometría de proporción ASE
7 C Geometría de proporción ASE
8 B Geometría de proporción Aplicación
9 D Geometría de proporción Aplicación
10 A Geometría de proporción Aplicación
11 D Geometría de proporción Aplicación
12 E Geometría de proporción Aplicación
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Tabla de corrección
Nº Clave Unidad temática Habilidad
13 B Geometría de proporción ASE
14 B Geometría de proporción Aplicación
15 C Geometría de proporción ASE
16 C Geometría de proporción Aplicación
17 E Geometría de proporción Aplicación
18 E Geometría de proporción Aplicación
19 D Geometría de proporción ASE
20 D Geometría de proporción ASE
21 A Geometría de proporción Aplicación
22 B Geometría de proporción ASE
23 C Geometría de proporción ASE
24 E Geometría de proporción ASE
25 C Geometría de proporción ASE
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Síntesis de la clase
Circunferencia
Teoremas de proporcionalidad
cuerdas secantes tangentessecante ytangente
cuadrilátero circunscritoigualdad
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Prepara tu próxima clase
En la próxima sesión, realizaremosTaller de geometría de proporción
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Equipo Editorial Matemática