pptmall liu 2008 svenskwebstaff.itn.liu.se/~clryd/kurser/tnk049/fo/fo5.pdfsimplexmetoden på ett...

Clas Rydergren, ITN

TNK049 Optimeringslära

Föreläsning 5

Simplexmetoden på tablåform och algebraisk form

Fas I (startlösning) · Känslighetsanalys

Tolkning av utdata

Agenda

2

• Halvtidsutvärdering

• Simplexmetoden (kap 4.5–4.8)

• Ett exempel

• Tablåform (kap 4.7)

• Algebraisk form (kap 4.8)

• ”Fas I”: Tillåten startlösning i Simplexmetoden (kap 4.9)

• Känslighetsanalys (kap 5)

• Relaxering och restrifiering (kap 5.2)

• Skuggpriser (kap 5.3)

• Tolkning av utdata från ett datorprogram (kap 5.4)

Simplexmetoden (exempel från Fö4)

213max xxz

3

5

22då

2

21

21

x

xx

xx

0, 21 xx

1 5

1

(2)

(1)

5

(3)

2x

1x

213max xxz

3

5

22då

52

421

321

xx

xxx

xxx

0,,,, 54321 xxxxx

Omskrivet på standardform:

3

Simplexmetoden på ett exempel 1 (3)

• Identifiera en tillåten baslösning.

• Hur vill vi förändra variablerna? 213max xxz

3

5

22då

52

421

321

xx

xxx

xxx

0,,,, 54321 xxxxx

213 xxz

25

214

213

3

5

22

xx

xxx

xxx

),(),,,( 21543 xxxxx NB xx

3,5,2,0,0 54321 xxxxx

1x 2x

)3( 11 cx

1x1x

1x

1x

1x

1x3x

3x

3x

4x

5x

1x

1x

Alltså:

0z

• Uttryck alla bivillkor och

målfunktion i icke-basvariabler

– Öka eller • Varför inte den med störst

reducerad kostnad,

• Hur mycket kan vi öka ?

– minskar när vi ökar • Får ej bli negativ.

• Öka med högst 2.



– påverkas inte av

• Öka med steglängden t = 2,

minskar till 0.

• inkommande basvariabel.

• utgående basvariabel.

• Motsvarar riktningen d = (1, 0, –1, –1, 0)T

4


3x

32

232

376

)22(3

xx

xxxz

25

32

2324

321

3

33

)22(5

22

xx

xx

xxxx

xxx

3,3,0,0,2 54321 xxxxx

),(),,,( 32541 xxxxx NB xx2x

• Identifiera nya baslösningen.



• Hur vill vi förändra variablerna? – Öka eller

• Endast den ena går!

Vilken? Varför?

• Hur mycket kan vi öka ? – ökar när vi ökar

• Inga problem!





• Öka med steglängden t = 1, vilket minskar till 0.

• inkommande basvariabel.

• utgående basvariabel.

• Motsvarar riktningen d = (2, 1, 0, –3, –1)T

2x1x

2x4x

2x

2x5x

2x

2x

2x

4x

4x2xAlltså:

6z

5


331

3

3

3

2

34

)33

1(22

43

432

43

343

1

xx

xxx

xx

xxx

x

3

7

3

213

3)33

1(76

43

343

xx

xxx

z

2,0,0,1,4 54321 xxxxx

),(),,,( 43521 xxxxx NB xx

• Identifiera en tillåten baslösning.



• Hur vill vi förändra variablerna? – Inte alls! Vi är i optimum!

Hur ser man det?

• Läs ut optimallösningen:

– z* = 13.

– x* = (4, 1, 0, 0, 2)T

332

)33

1(3

43

435

xx

xxx

Alltså:

6

Grafisk tolkning av

exemplet

1 5

(2)

(1)

z

5

(3)

2x

1xStartpunkt

Efter iteration 1

Efter iteration 2 (Optimum)

7

Formell beskrivning av simplexmetoden

0. Identifiera en tillåten startbaslösning, 𝑥(0). Sätt 𝑘 = 0.

1. Beräkna reducerade kostnader 𝑐 𝑗 och sökriktningar genom att pivotera ekvationssystemet.

2. Kontrollera avbrottskriterium: 𝑥(𝑘)är optimallösningen till ett

• maxproblem: om 𝑐 𝑗 ≤ 0, ∀𝑗.

• minproblem: om 𝑐 𝑗 ≥ 0, ∀𝑗.

3. Välj inkommande basvariabel:

• I ett maxproblem: 𝑐 𝑝 = max𝑗 𝑐 𝑗.

• I ett minproblem: 𝑐 𝑝 = min𝑗 𝑐 𝑗.

Ger inkommande basvariabel 𝑥𝑝 och sökriktning 𝑑(𝑘).

4. Bestäm steglängd 𝑡(𝑘) =𝑏 𝑠

𝑎 𝑠𝑝= min

𝑖

𝑏 𝑖

𝑎 𝑖𝑝: 𝑎 𝑖𝑝 > 0 , där:

• 𝑏 𝑖 aktuellt högerled rad 𝑖. • 𝑎 𝑖𝑝 aktuell bivillkorskoefficient för 𝑥𝑝 i rad 𝑖. Basvariabeln i rad 𝑠 blir utgående.

(Om 𝑎 𝑖𝑝 ≤ 0, ∀𝑖 har problemet obegränsad lösning.)

5. Ny punkt ges av 𝑥(𝑘+1) = 𝑥(𝑘) + 𝑡(𝑘) ∙ 𝑑(𝑘). Sätt 𝑘 ≔ 𝑘 + 1, gå till steg 1.

Riktningen på olikheten

bygger på att alla

variabler står på vänster

sida om likhetstecknet,

och taltermen 𝑏 𝑖 > 0

ensam på höger.

8

Simplex på tablåform

• Snabba upp lösningsförfarandet med en tablå

som beskriver ekvationssystemet

– Pedagogiskt vid inlärning.

– Praktiskt vid handräkning.

– Används ej i kommersiell datorprogramvara.

• Målfunktionsraden måste skrivas om

– Reducerade kostnaden står med omvänt tecken:

𝑧 = 𝑐𝑇𝑥 ⟹ 𝑧 − 𝑐𝑇𝑥 = 0

9

Simplextablå 1 (3)

3 1 1

5 1 1 1

2 1 –2 1

0 –1 –3 1

Basvar/var 2x1x 4x 5x3x

4x

5x

3xz

bz

03 21 xxz

3

5

22

52

421

321

xx

xxx

xxx213max xxz

3

5

22då

2

21

21

x

xx

xx

0, 21 xx

• Välj startbas

• Inspektion

• Pivotera

• ”Pricing out”

• Avbrottskriterium

• Maxproblem

• Nej, vi har åtminstone en variabel med positiv reducerad kostnad

• Inkommande basvar

• Maxproblem

• Max reducerad kostnad

• Steglängd

• Min (Högerled/bivillkorskolumn)

• Givet positiva bivillkorskoefficient.

• Nästa iteration 10

2x1x 4x 5x3x

4x

5x

1xz

bz

32

232

376

)22(3

xx

xxxz

25

32

2324

321

3

33

)22(5

22

xx

xx

xxxx

xxx

3 1 1

3 1 –1 3

2 1 –2 1

6 3 –7 1

Basvar/var

• Pivotera

• Klart


• Maxproblem

• Nej, vi har åtminstone en variabel

med positiv reducerad kostnad

• Inkommande basvar

• Maxproblem

• Max reducerad kostnad

• Steglängd

• Min (Högerled/bivillkorskolumn)

• Givet positiva bivillkorskoeff.

• Nästa iteration

Simplextablå 2 (3)

11

Simplextablå 3 (3)

• Pivotera


• Maxproblem

• Ingen variabel har positiv

reducerad kostnad

• Optimum funnet

• Lösning och

målfunktionsvärde läses

ur tablån

2x1x 4x 5x3x

2x

5x

1xz

bz

3

7

3

213

3)33

1(76

43

343

xx

xxx

z

331

3

3

3

2

34

)33

1(22

43

432

43

343

1

xx

xxx

xx

xxx

x

332

)33

1(3

43

435

xx

xxx

Basvar/var

1 2/3 7/3 13

1 1/3 2/3 4

1 -1/3 1/3 1

1/3 -1/3 1 2

På algebraisk form!

12

Fas I: Att hitta en

startbaslösning i simplexmetoden

• Ibland kan man ”starta på slacket”, men ibland är det

inte elementärt att identifiera en tillåten (start-) bas.

• Ex. ursprungligt standardform

• Fas 1 är problemet att hitta någon tillåten baslösning

3213max xxxz

3

53

22då

321

321

321

xxx

xxx

xxx

0,, 321 xxx

3213max xxxz

3

53

22då

321

5321

4321

xxx

xxxx

xxxx

0,,,, 54321 xxxxx

13

Fas I: Artificiella variabler

• Inför artificiella variabler i rader där vi saknar

uppenbara basvariabler

• Tillåten startbas:

• Om/när alla artificiella variabler = 0 (icke-bas)

• De artificiella variablerna kan tas bort

• Tillåten punkt i ursprungliga problemet funnen

3

53

22

2321

15321

4321

axxx

axxxx

xxxx

0,,,,,, 2154321 aaxxxxx

),,,(),,,( 5321214 xxxxaax NB xx

14

Fas I: Målfunktion

3

53

22då

2321

15321

4321

axxx

axxxx

xxxx

0,,,,,, 2154321 aaxxxxx

21min aaw

Fas I har en egen målfunktion:

• ”Minimera [alltid] summan artificiella variabler.

Om w* = 0 har en startbas erhållits.

• Stryk de artificiella variablerna ur tablån.

• Sätt in ordinarie målfunktionen.

• Räkna vidare i vanliga tablån – ”Fas II” – som tidigare.

Om w* > 0 saknar det ursprungliga problemet lösning.

• Det finns ingen tillåten baslösning för det ursprungliga problemet.

• Avbryt.

15

Känslighetsanalys

• Hur känslig är en lösning för störningar?

• Värdet av förändringar i indata

• ”Resurser” (högerled)

• ”Förbrukning” (bivillkorskoefficient)

• ”Kostnader” (målfunktionskoefficient)

• Effekt av osäkerhet i indata

• Vad händer/kan hända vid förändringar?

• Hur förändras målfunktionsvärdet?

• Hur förändras lösningen? Hur robust är den?

• Under vilka förutsättningar förändras inte

• Lösningen

• Basuppsättningen

• Analys sker ur data från ursprunglig lösning

• Inget behov för reoptimering

16

Exempel på känslighetsanalyser

• Ändra målfunktionskoefficient 𝑐𝑗.

• Ändra resurstillgång (högerled) 𝑏𝑖.

• Ändra resursåtgång (bivillkorskoefficient) 𝑎𝑖𝑗.

• Lägga till eller ta bort villkor

• Lägga till eller ta bort variabel

17

Relaxering – Restrifiering

• Relaxering

• Förändring som (ev) utökar tillåtna området

• ”Större” utrymme i bivillkor

• Även villkor tas bort

• Ny variabel

• Optimalt målfunktionsvärde kommer inte att försämras

• Restrifiering

• Förändring som (ev) minskar tillåtna området

• ”Mindre” utrymme i bivillkor

• Även villkor läggs till

• Tag bort variabel

• Optimalt målfunktionsvärde kan inte förbättras

18

Begreppet Skuggpris (Shadow Price)

• Kallas också: dualpris, dualvärde, värde på

dualvariabel, marginalpris.

• Kopplas till ett visst bivillkor.

• Betecknas ofta 𝑣𝑖 eller 𝑦𝑖 eller 𝜋𝑖.

• Marginalförändring av målfunktionsvärde vid

marginell ökning av resursen i bivillkor 𝑖, dvs

𝑣𝑖 =𝜕𝑧

𝜕𝑏𝑖 .

• Givet skuggpris gäller bara i ett visst intervall,

𝑏𝑖undre ≤ 𝑏𝑖≤ 𝑏𝑖

övre.

19

Grafisk tolkning, förändrat högerled

• Förändrat högerled

• Förändrad placering villkor

• Små förändringar

• Om aktivt bivillkor

• Samma basuppsättning

• Nytt målfunktionsvärde

• Konstant skuggpris

• Om ej aktivt bivillkor

• Ingen förändring

• Stora förändringar

• Ev. ny basuppsättning

• Ny lösning, målfunktionsvärde och skuggpris

213max xxz

3

45

22då

2

21

21

x

xx

xx

0, 21 xx

1 5

1

(2)

(1)

5

(3)

2x

1x

20

Grafisk tolkning, målfunktionskoeffeicient

• Förändrad

målfunktions-

koefficient

• Förändrad lutning

målfunktion

• Små förändringar

• Förändrat

målfunktionsvärde

• Större förändring

• Ny baslösning

21 413max xxz

3

5

22då

2

21

21

x

xx

xx

0, 21 xx

1 5

1

(2)

(1)

5

(3)

2x

1x

21

Känslighetsanalys: Frågeställningar

• Vad händer vid ”en störning”?

– Hur förändras t ex målfunktionsvärdet?

• Hur stor får förändringen bli?

– Effekten linjär för en liten förändring?

– Vad händer om förändringen är större?

• Tolka utdata från program

– T ex AMPL

Sista knorren på miniprojekt 1!

22

AMPL: Modell- och indatafil

Modellfil

param n; # antal var

param m; # antal biv

param c{1..n}; # målfkn.koeff

param a{1..m,1..n}; # biv.koeff

param b{1..m}; # höberled

var x{1..n} >=0; # variabler

maximize z: sum{j in 1..n} c[j]*x[j]; #målfkn

subject to biv{i in 1..m}: #biv

sum{j in 1..n} a[i,j]*x[j]<=b[i];

Datafil

param n:=3; # var

param m:=3; # biv

param c:=

1 3

2 1

3 4; # målfunktionskoeff

param a: 1 2 3 := #biv.koeff

1 1 -2 4

2 1 1 3

3 0 1 2;

param b:=

1 2

2 5

3 3 ; #

321 413max xxxz

32

53

242då

32

321

321

xx

xxx

xxx

0,, 321 xxx

23

AMPL: Kommandofil

och utdata Kommandofil reset;

option solver cplex;

option presolve 0;

option cplex_options 'sensitivity'; model u2xmod.txt;

data u2xdat.txt

solve;

display x;

display biv.slack, biv.down, biv.current, biv.up, biv.dual;

display x.down, x.current, x.up, x.rc; exit;

Lösning x [*] := (4,1,0)

: biv.slack biv.down biv.current biv.up biv.dual :=

1 0 -4 2 5 0.666667

2 0 2 5 11 2.33333

3 2 1 3 1e+20 0

: x.down x.current x.up x.rc :=

1 1.3 3 1e+20 0

2 -6 1 3 -4.44089e-16

3 -1e+20 4 9.66667 -5.66667

Intervall HL med

bibehållen bas

Förändrat målfkvärde per

enhets ökning av HL

Aktuellt HL

Intervall målfknkoeff med bibehållen lösning Aktuell målfunktionskoefficient

Red.kostn. i opt

(0 för basvar)

Slack

24

Inför Lektion 4

Uppgift 4.12

• Simplex på tablå.

• Väldigt nyttig som förberedelse för datorlektion 2.

Uppgift 4.15

• Knyter ihop tablåform med algebraisk form.

• Studera kap 4.8; det är inte så svårt som det ser ut!

25

Inför Lektion 5

Uppgift 5.4

• Rita! Jämför med ”grafisk tolkning”-bilderna ovan. Identifiera (tillåtna) baser!

• I d): Skuggpriserna är giltiga så länge baslösningen ej ändras. (Tänk: Tillåtenhet för basvariablerna!)

Uppgift 5.10

• Bra övning inför känslighetsanalysen till miniprojekt 1.

26

www.liu.se

pptmall liu 2008 svenskwebstaff.itn.liu.se/~clryd/kurser/tnk049/fo/fo5.pdfsimplexmetoden på ett...

Documents