Instituto Tecnológico de Morelia

José María Morelos y Pavón

[

]División de Estudios Profesionales: Ingeniería Eléctrica

Asesor: M.C. J. Luis Lemus D.

24/Septiembre/2010

Equipo:09120782 Fernando Ramos Albarrán09120770 Pedro López Rodríguez08121071 David Zúñiga Salinas

OBJETIVO:

Aplicar e identificar las leyes generalizadas de circuitos y de conexión de resistencias en serie y en paralelo, estrella – delta, mediante el análisis y la práctica circuitos.

INTRODUCCIÓN:

La ley de Ohm establece que la corriente I que pasa a través de un elemento es directamente proporcional al voltaje e inversamente proporcional a la resistencia de dicho elemento.

Esto se puede expresar matemáticamente con la ecuación:

V=IR (1)

Las otras leyes básicas para el análisis de circuitos son, la primera es la Ley de Corrientes de Kirchhoff (LCK), la cual establece que la suma de corrientes que entran o salen de un nodo es igual a cero, o podría enunciarse como la sumatoria de las corrientes que entran a un nodo es igual a la sumatoria de las corrientes que salen del mismo nodo.

I 1+ I 2+ I 3+ I 4+ I 5=0

O también como I T=I 1+ I 2+ I 3 (2)

La segunda es Ley de Voltajes de Kirchhoff (LVK), la cual puede enunciarse como la suma de los voltajes en una trayectoria cerrada es igual a cero, o de manera similar como la suma de elevaciones de voltaje es igual a la suma de caídas.

V 1+V 2+V 3+V 4+V 5=0

De manera similar V T=V 1+V 2+V 3 (3)

Una conexión en serie de resistencias es cuando una terminal de una resistencia se encuentra a continuación de la otra pero sin conectar un tercer elemento en el nodo que las une. El voltaje se divide en las resistencias.

Aplicando LVK en el circuito y complementando con Ley de Ohm, obtenemos la siguiente ecuación:

−V s+R1 I 1+R2 I 2+R3 I 3+…+Rn I n=0

De acuerdo con la Ley de Ohm deducimos que la corriente en cada uno de los “n” resistores es la misma. Y tenemos.

I s=I 1=I 2=I 3=…I n

Entonces como la corriente está de factor común en la ecuación, podemos factorizarla, obteniendo lo siguiente

(R¿¿1+R2+R3+…+Rn)I s=V s ¿

Por lo tanto

V SI S

=R1+R2+R3+…+Rn

Y así encontramos la ecuación para hallar la resistencia equivalente en un circuito en serie.

Req=R1+R2+R3+…+Rn (4)

Una conexión en paralelo de resistores es aquella en la que todas las resistencias tienen 2 nodos en común, y en este tipo de conexión se divide la corriente

Aplicando LCK en el circuito obtenemos la siguiente ecuación:

I s=I 1=I 2=I 3=…I n

Complementando la ecuación anterior con la ley de Ohm, nos resulta:

I s=V SR1

+V SR2

+V S

R3+…+

V SRn

Debido a que el voltaje es el mismo en todas las resistencias, se factoriza

I s=V s( 1R1+ 1R2+ 1R3+…+1Rn )

I sV s

=( 1R1 + 1R2+ 1R3+…+ 1Rn )= 1

RT

Desarrollando obtenemos la ecuación para encontrar la resistencia total RT de n resistores conectados en paralelo. Observemos que es el producto de los resistores entre la suma del producto de todos contra todos.

RT=R1R2 R3

R2R3+R1R3+R1R2

Un tipo de conexión especial, corresponde a la conexión delta y estrella. Para reducir circuitos a veces es necesario hacer transformaciones delta – estrella o viceversa. Para transformar de delta a estrella de puede usar la formula siguiente:

Ra=R2R3

R1+R2+R3

Rb=R1R3

R1+R2+R3

Rc=R1R2

R1+R2+R3

La fórmula puede interpretarse como el producto de las resistencias adyacentes a la resistencia en cuestión dividida entre la suma de todas las resistencias que conforman a la delta.

DESARROLLO:

Material a Utilizar:

a) 10 Resistenciasb) 1 Fuente de voltajec) 2 Multímetrosd) 1 Tablilla de conexióne) 10 Cables telefónicosf) 2 Conectores banana – banana g) 4 Conectores banana – telefónicoh) 1 Adaptador

Análisis Práctico

Los siguientes datos son valores medidos durante el desarrollo de la práctica.

R1=1.5K Ω RT=1.821K ΩR2=0.553K Ω I T=27.8mAR3=0.2648K Ω I 1=15.71mAR4=0.468K Ω I 2=11.86mAV S=50V V 1=36.4V

V 2=13.5VV 3=3.151VV 4=5.61V

R1=0.98K Ω RT=2.171K ΩR2=0.553K Ω I T=23mAR3=0.2648K ΩR4=0.468K ΩR5=0.808K ΩR6=1.5K ΩV S=50V

Análisis Teórico

a) Circuito 1: Dado el siguiente circuito, hallar RT , I T , I 1 , I 2 ,V 1 ,V 2 ,V 3y V 4 ,si conocemos los siguientes valores:

R1=1.5K ΩR2=0.553K ΩR3=0.2648K ΩR4=0.468K ΩV S=50V

Sumamos R3y R4, para obtener su equivalente R34 y esa resistencia se encuentra en paralelo con R2 y obtenemos su equivalente R234

R34=R3+R4=0.2648k Ω+0.468k Ω=0.7328k Ω

R234=(R34 ) (R2 )R34+R2

=(0.7328 k Ω ) (0.553K Ω )0.7328 k Ω+0.553K Ω

=0.3151 k Ω

Ahora para obtener V 1 y V 2, tenemos 2 resistencias en serie, por lo tanto podemos aplicar el

divisor de voltajes y encontrar el voltaje de la resistencia R1 y de la resistencia R2, cuyos voltajes

son V 1 y V 2 respectivamente.

V 1=R1

R2+R1(V S )= 1.5K Ω

0.553K Ω+1.5K Ω(50V )=36.5319V

V 2=R2

R2+R1(V S )= 0.553K Ω

0.553K Ω+1.5K Ω(50V )=13.4680V

Procedemos a encontrar el valor de la resistencia total RT , sumando R234con R1por que se

encuentran conectadas en serie y así hallar la corriente total I T

RT=R234+R1=0.3151k Ω+1.5 k Ω=1.82k Ω

I T=V SRT

= 50V1.82k Ω

=0.027546 A=27.546mA

Cuando se reduce R3y R4 nos quedan dos resistencias en paralelo R34 y R2y a ellas se les

suministra una corriente total I T=27.546mA. Entonces aplicamos el divisor de corrientes para

obtener I 1.

I 1=R23

R2+R23( IT )= 0.7328k Ω

0.553k Ω+0.7328 k Ω(27.546mA )=0.7328k Ω

1.2858k Ω(27.546mA )

I 1=15.6989mA

Aplicando LCK obtenemos la siguiente ecuación

I T=I 1+ I 2

De la cual conocemos I T e I 1 por lo tanto despejamos I 2 y encontramos su valor

I 2=I T−I 1=27.546mA−15.6989mA=11.8470mA

La corriente I 2 es la que circula por las resistencias R3y R4, por lo tanto aplicamos Ley de Ohm en

ambos resistores para calcular los voltajes V 3y V 4

V 3=I 2R3=(11.8470mA ) (0.2648 k Ω )=3.1370V

V 4=I 2R4=(11.8470mA ) (0.468 k Ω )=5.5443V

Los resultados del análisis teórico para este circuito son:

RT=1.82k Ω V 1=36.5319VI T=27.546mA V 2=13.4680VI 1=15.6989mA V 3=3.1370VI 2=11.8470mA V 4=5.5443V

b) Circuito 2: Para el siguiente circuito hallar RT e I T, dados los siguientes valores:

R1=0.98K Ω R2=0.553K ΩR3=0.2648K Ω R4=0.468K ΩR5=0.808K Ω R6=1.5K ΩV S=50V

Para obtener la resistencia total RT tomamos la delta superior del circuito y hacemos la transformación delta – estrella.

Rb=R1R3

R1+R2+R3=

(0.98k Ω ) (0.2648k Ω )1.7978k Ω

=0.14434 k Ω

Rc=R1R2

R1+R2+R3=

(0.98 k Ω ) (0.553 k Ω )1.7978 k Ω

=0.30144k Ω

Luego de hacer la transformación delta – estrella, Rb queda en serie con R4 y Ra con R5, luego se

hace la reducción de Rb 4 y Ra5 que están en paralelo y obtenemos Rab 45.

Rab 45=(Ra5 ) (Rb4 )Rb4+Ra5

=(0.06144 k Ω+0.808 k Ω ) (0.14434 k Ω+0.468 k Ω )0.06144 k Ω+0.808k Ω+0.14434 k Ω+0.468k Ω

Rab45=(0.08944 k Ω ) (0.61234k Ω )

1.50178 k Ω=0.362662k Ω

Luego todas las resistencias quedan en serie, y se hace la suma para obtener RT

RT=Rc+Rab45+R6=0.30144k Ω+0.362662k Ω+1.5 k Ω

RT=2.1641k Ω

Por último aplicamos Ley de Ohm para obtener I T

I T=V sRT

= 50V2.1641k Ω

=23.1042mA

Los valores obtenidos del análisis del circuito 2, son:

RT=2.1641k Ω

I T=23.1042mA

CONCLUSIONES:

El análisis practico y teórico de los circuitos arrogan resultados que difieren, ya sea por decimas, centésimas o milésimas. Esta diferencia de valores se plasma en el presente reporte por medio de los errores absoluto y relativo.

Error absoluto. Es la diferencia entre el valor experimental y el valor exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor experimental o inferior (la resta sale positiva o negativa). Las unidades del error absoluto son del mismo orden que los valores que intervienen en su cálculo.

Error Absoluto=Valor Experimental−Valor Exacto

Error relativo. Es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Pude ser positivo o negativo, esto lo determina el signo del error absoluto. No tiene unidades.

Error Relativo= Error AbsolutoValor Exacto

(100)

Calculo de errores del circuito 1.

RT I TError Absoluto=1.821k Ω−1.82k Ω Error Absoluto=27.8mA−27.546mAError Absoluto=0.001k Ω Error Absoluto=0.254mA

Error Relativo=0.001k Ω1.82k Ω

(100 )=0.0549% Error Relativo= 0.254mA27.546mA

(100 )=0.9220%

I 1 I 2Error Absoluto=15.71mA−15.6989mA Error Absoluto=11.86mA−11.8470mAError Absoluto=0.0111mA Error Absoluto=0.013mA

Error Relativo= 0.0111mA15.6989mA

(100 )=0.0707% Error Relativo= 0.013mA11.8470mA

(100 )=0.1097%

V 1 V 2Error Absoluto=36.4V−36.5319V Error Absoluto=13.5V−13.4680VError Absoluto=−0.1319V Error Absoluto=0.032V

Error Relativo=−0.1319V36.5319V

(100 )=−0.3610%Error Relativo= 0.032V13.4680V

(100 )=0.2376%

V 3 V 4Error Absoluto=3.151V−3.1370V Error Absoluto=5.61V−5.5443VError Absoluto=0.014V Error Absoluto=0.0657V

Error Relativo= 0.014V3.1370V

(100 )=0.4463% Error Relativo=0.0657V5.5443V

(100 )=1.1850%

Calculo de errores del circuito 2.

RT I TError Absoluto=2.171k Ω−2.1641k Ω Error Absoluto=23mA−23.1042mAError Absoluto=0.0069k Ω Error Absoluto=−0.1042mA

Error Relativo=0.0069k Ω2.1641k Ω

(100 )=0.3188% Error Relativo=−0.1042mA23.1042mA

(100 )=0.4510%

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

I. Manual de Prácticas de Laboratorio de Circuitos Eléctricos I; M. I. J. Luis Lemus D.; Departamento de Ingeniería Eléctrica I.T.M.

II. Circuitos Eléctricos de CD; M. I. J. Luis Lemus D.; Departamento de Ingeniería Eléctrica I.T.M.

III. Fundamentos De Circuitos Eléctricos; Charles K. Alexander & Matthew N. O. Sadiku; 3ra. Edición; McGraw Hill