prÁctica Álgebra 2015

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Económicas

Carrera de Contaduría Pública

PRÁCTICA DE

ÁLGEBRA

Mgr. José Montaño Romero

Cochabamba – Bolivia

2015

Álgebra José Montaño Romero

1

PRÁCTICA Nº 1

LOGICA PROPOSICIONAL 1º. Dadas las siguientes oraciones, determinar: a) Cuáles son proposiciones b) Cuáles son proposiciones simples (atómicas) c) Cuáles son proposiciones compuestas (moleculares) d) En caso de compuestas, qué conectivos se utilizan. i. ¿Cuándo estará arreglada esta calle? ii. El propósito de la ley es hacer justicia, si y sólo si, los abogados son honestos iii. 21 es factor de 63 y 21 es menor que 63 iv. ¡Los perros ladran!, es señal de que avanzamos. v. 3 5 7 , entonces 7 5 3 vi. x 4 5 2º. Escriba en forma simbólica los siguientes enunciados a) Si las exportaciones disminuyen entonces bajarán las ganancias. b) Los precios son altos si y sólo sí los costos aumentan. c) Si la producción disminuye entonces subirán los precios. d) Si aumenta la demanda esto implica que aumenta la oferta y viceversa e) Si la contaminación aumenta entonces existirá restricción vehicular adicional 3º. Sean las proposiciones:

:p la computación es fácil

:q los licenciados deben saber computación Entonces, traduzca a lenguaje verbal las proposiciones siguientes y ¿Cuál(es) a su juicio representa(n) una expresión aceptable en el sentido cotidiano? a) p q b) ( )p q c) ( )q p d) ( )p q e) p q 4º. Determinar si las expresiones siguientes, son tautologías, contradicciones o contingencias. Utilice las tablas de verdad. 1) )()( qpqrqp

2) )()( pqqp

3) )()( qpqp

4) )()( qqpp

5) )()( qpqp

6) rpqprqp

7) )()( qpqp 5º. Si yp q son proposiciones verdaderas y r es falsa, determine el valor de verdad de:

a) ( )p q r q


2

b) ( ) (r q r p r

c) ( ) ( )p q r q r

6º. ¿Qué condiciones debe satisfacer yp q para que la siguiente proposición sea:

a) ( ) ( )q p q p q Falsa

b) ( ) ( )p q r q r Falsa

c) ( ) ( )p p q p q Verdadera

7º. Sean , ,p q r , tres proposiciones tales que r es falsa, p q y q r son verdades, deducir el

valor de verdad de p . 8º. Cuál de las siguientes expresiones son lógicamente equivalentes a ( )p q r .

a) ( )p q r b) ( )p q r c) ( )p q r d) a) ( )p q r 9º. Dadas las siguientes proposiciones compuestas, efectuar la simplificación mínima respectiva, empleando las leyes de la lógica simbólica.

1) )()( qpqp

2) )()( qpqp

3) pqqp )(

4) )( qpq

5) )()( ppqp

6) prprr )()(

7) qpqp )(

8) ( ) ( ) ( )p q q p q p q

9) qrrqr )(

10) )()( rprprr

11) prprrr )()(

12) rqppr )()(

13) rrppr )()(

14) prprr )(

15) pqqpqp )()(

16) )()()( qpqpqp

10º. Demostrar la validez de los siguientes razonamientos simbolizados: a. Demostrar: p

1) p q

2) t 3) q t b. Demostrar: t r 1) q p

2) q

3) r s 4) ( )p s t c. Demostrar: t s 1) p q


3

2) p r

3) r q

4) t q

5) s d. Demostrar u 1) ( ) ( )p q p r

2) p s

3) s t 4) ( ) ( )q r u t

5) t e. Demostrar: s r 1) s p

2) p t

3) t r f. Demostrar: p

1) r t 2) s q

3) ( )t q p

4) r s g. Demostrar: q

1) p q

2) q r

3) r s 4) s h. Demostrar: G H 1) ( ) ( )A B C D

2) ( ) ( )B E D F

3) ( ) ( )E G F H

4) A C i. Demostrar: p r

1) p q

2) q r

3) p p

j. Demostrar: r

1) p q

2) q r

3) p s


4

4) s t 5) q r

6) t r k. Demostrar: r

1) ( ) ( )m n o p

2) ( ) ( )o q r s

3) ( ) ( )r t m u

l. Demostrar: p r

1) ( ) ( )p q r s

2) q s ll. Demostrar: q p

1) ( )p q

2) s q

3) p s

m. Demostrar: x w 1) x y x z

2) x z x w 3) x y x 0

4) x 0 x w 1 5) x w 1

n. Demostrar: x 3 1) ( )x 2 5 x 4

2) (x 4 x 4 )7

3) x 4 7 4) ( ) ( )x 2 5 5 x 2 x 3 ñ. Demostrar: x 1 x 2 y 1

1) x 1 xy 2

2) x y 3 x 1

3) ( )y 1 x 2 x y 3 xy 2

o. Demostrar: 3 2x 0 x 1 x 3x 2x 0

1) 2x 0 x x 0

2) 2x 1 x x 0

3) 2 3 2x 2 x x 0 x 3x 2x 0


5

p. Demostrar: x 1 1) ( )z 3 x y y 2

2) x y x 1

3) x z x y

4) x z x y 11º. Demostrar si los siguientes argumentos son o no razonamientos válidos. 1) Anibal es un hombre, entonces es mortal. Anibal es un hombre. Por lo tanto, Anibal es mortal. 2) Estoy cansado o estoy enfermo. Si estoy enfermo me voy a mi casa. No me voy a mi casa. Entonces estoy cansado. 3) Si Kennedy fue asesinado, entonces Kennedy está muerto. Kennedy está muerto. Luego, Kennedy fue asesinado. 4) Si el triángulo es isósceles entonces tienen dos lados iguales. Pero, el triángulo no tiene dos lados iguales; por lo tanto, no es isósceles. 5) Si este es buen libro, vale la pena leerlo. El Álgebra es fácil o este libro no vale la pena leerlo. Pero el Álgebra no es fácil. Por tanto, este no es un buen libro.

6) Si este mes es febrero, entonces el mes anterior fue enero. Si el mes anterior fue enero, entonces hace tres meses fue noviembre. Si hace tres meses fue noviembre, entonces este mes es febrero. Si el mes que viene será marzo, entonces este mes es febrero. El mes pasado fue enero. Por tanto, este mes es febrero.

7) Si Javier ganó la carrera, entonces José fue el segundo o Abel fue el segundo. Si José fue el segundo, entonces Javier no ganó la carrera. Si Marcos fue el segundo, entonces Abel no fue el segundo. Javier ganó la carrera. Por tanto, Marcos no fue el segundo. 8) Si el mercado de trabajo es perfecto, entonces los salarios de las personas en un cierto empleo serán iguales. Pero el caso es que siempre los salarios para tales personas no son iguales. Por tanto, el mercado de trabajo no es perfecto. 9) Melissa está en el Consejo Facultativo, y Alex será elegido o Marlene será elegido para el próximo periodo del Centro de Estudiantes. Si Melissa está en el Consejo Facultativo, entonces Marlene no será elegido para el próximo periodo del Centro de Estudiantes. Si Alex fuera elegido, entonces Melissa no continuará durante todo el periodo presente en el Consejo Facultativo. Por tanto, Melissa no está en el Consejo Facultativo. 10) Guyana obtiene 75 puntos en el examen de Lógica u obtiene 80 puntos. Si Guyana obtiene 75 puntos en el examen de Lógica, entonces no logra la calificación de sobresaliente. Si obtiene 80 puntos en el examen de Lógica, no logra la calificación de sobresaliente. Si Guyana estudia, entonces logra la calificación de sobresaliente en el examen de Lógica. Por tanto, Guyana no estudia. 11) Si Antonio ganó la carrera, entonces Baltasar o Carlos fueron los segundos. Si Baltasar fue segundo, entonces no ganó Antonio. Si Demetrio fue segundo, no lo fue Carlos. Antonio ganó la carrera. Por tanto, Demetrio no fue segundo.


6

12) Si un monte se quema, algo tuyo se quema. Algo tuyo se quema, si y sólo si, eres descuidado. Si eres descuidado, no mereces que te feliciten. Por tanto si no mereces que te feliciten entonces es que un monte se quema. 13) Si Juan es más alto que Pedro, entonces María es más baja que Alicia. María no es más baja que Alicia. Si Juan y Luis tienen la misma estatura, entonces Juan es más alto que Pedro; luego Juan y Luis no tienen la misma estatura. 14) Si Anderson fue electo candidato, entonces fue a Boston. Si fue a Boston, entonces hizo campaña aquí. Si hizo campaña en Boston, se encontró con Douglas. Anderson no se encontró con Douglas. O Anderson fue electo candidato o se eligió a alguien con mayores posibilidades. Luego, se eligió a alguien con mayores posibilidades. 15) Si el reloj está adelantado, entonces Juan llegó antes de las diez y vio partir el coche de Andrés. Si Andrés dice la verdad, entonces Juan no vio partir el coche de Andrés. Andrés dice la verdad o estaba en el edificio en el momento del crimen. El reloj está adelantado. Por tanto, Andrés estaba en el edificio en el momento del crimen. 16) Sólo hay dos formatos de foto: rectangular y cuadrada. Las fotos son en color o en blanco y negro. Si la foto es cuadrada, entonces es una foto en blanco y negro. Si es rectangular, es una foto digital en color. En caso de que la foto sea en blanco y negro o digital, entonces es un retrato. Si es un retrato, es la foto de mi amigo. Luego, se trata de la foto de mi amigo. 12º. Negar las proposiciones siguientes: 1) /[ ( ) ( )]x P x Q x

2) : / ( )x y x 0 y 0

3) : / [ ( ) ( )] ( )x x P x Q x P x

4) : / [ ( ) ( )] ( )x x M x N x M x

5) / :[( ) ]x x x 1 5 x 5 1 x 5 1 13º. Expresar en el lenguaje ordinario utilizando cuantificadores y negar las siguientes proposiciones: 1) Hay alumnos que estudian y trabajan. 2) Toda persona que la conoce, entonces la admira. 3) Si Linda pasa de curso, entonces viaja. 4) Algunos profesores solo aprueban a los que asisten a clase. 5) Algunos enteros positivos son números primos. 6) Algunos programadores son inteligentes. 7) Todos los municipios tienen escuelas públicas. 8) Existe un número impar que no es primo 9) Algunos enteros pueden ser expresados como la suma de tres cuadrados. 10) Cada entero es un número racional 14º. Considere las siguientes declaraciones y pruebe posteriormente: 1. Todas las personas inteligentes son nobles. 2. Todos son inteligentes o tontos. 3. Algunas personas no son tontas 4. Por lo tanto, algunas personas son nobles.


7

PRÁCTICA Nº 2

TEORÍA DE CONJUNTOS 1. Defina: a) Conjunto, elemento, b) Conjunto universal, c) Diagramas de Venn – Euler d) Unión de conjuntos, e) Intersección de conjuntos, f) Diferencia de conjuntos g) Complemento de un conjunto, h) Diferencia simétrica de conjuntos 2. Sea , ,A a b c . Señale cuáles de las afirmaciones siguientes son correctas, si alguna es

incorrecta, decir por qué. a) b A , b) b A , c) a B , d) c A , e) a A . 3. Empleando notación conjuntista, escribir: a) A no es subconjunto de B. b) 1 es elemento de C. c) El conjunto vacío. d) 3 no es elemento de A. 4. Expresar en forma de extensión los siguientes conjuntos:

4/ 0A x N x x

4 3 2/ 4 6 0B x N x x x x

2 2 2/( 1)( 4)( 3 2) 0C x R x x x x

2 2/( 9) 100 ( 7) 64D x Z x x

/ 2 ( 2)( 1)( 3) 0E x R x x x x x

/ es una vocal de la palabra "murciélago"M x x

/ es un signo del zodiacoZ x x

x/x es un dígito del teléfono T

5. Expresar en forma de comprensión los siguientes conjuntos.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9A , 1 2 3 4 5

, , , , ,...2 3 4 5 6

B

, 2, 4,6,...C , D

6. Establecer cuáles de los siguientes conjuntos son iguales:

1,1A , 1,1, 1,1B , 1,0,1C , 1,0,1, 1,0D , /( . 1) 0E x x x

7. Dados los conjuntos: 1, 2A , 2,3, 4B y 2C . ¿Cuántos subconjuntos tiene

( )A B C .


8

8. Sea el conjunto, / , 5A x x N x , ¿Cuántos subconjuntos podemos construir a partir de

A? 9. Sea A . Determinar: a) P(A), b) P[P(A)]

10. Sea: /B x x x . Determinar: a) P(B), b) P[P(B)]

11. Sea: 3/ ( 1)( 4 0)C x N x x x . Determinar: a) P(C), b) P[P(C)]

12. Sea: 1, 2,3, 4,5,6,7,8U , 1, 2, 4,5A , 2,3,5,6B y 4,5,6,7C . Hallar:

a) ( )cA B ,

b) ( ) ( )cA B C A C ,

c) [ ( )] ( )c cA B C B C

13. Sea: , , , , , , ,U a b c d e f g h , , , ,A a b d e , , , ,B b c e f , , , ,C d e f g . Hallar:

a) ( )cA B C ,

b) ( ) ( )c cA B A C ,

c) [( ) ( )] ( )cA B B C A C 14. Sean los conjuntos: A, B y C. Rayar y encontrar las soluciones para los siguientes casos: a) c cA B , b) ( )A B C , c) ( )A B C , d) ( ) ( ) ( )A B A B B C 15. Demostrar cada una de las afirmaciones mediante el empleo de las leyes del álgebra de conjuntos:

a) ( ) ( )C cA B A B A

b) ( ) ( ) ( )A B C A B A C ,

c) ( ) ( ) ( )cA B B C A B C d) ( ) ( ) ( ) ( )A B B A A B A B e) ( ) ( ) ( ) ( )A B A C A B A C

f) ( ) ( )C A B C B C A A C

g) ( ) ( ) ( )C CA C B C A C B C , si B A

h) ( ) ( ) ( ) ( )CC C C CA B C A B A C A C U

16. Simplificar mediante el empleo de las leyes del álgebra de conjuntos: a) ( ) ( )cA B A B


9

b) ( ) ( )c c cA B A B

c) [( ) ( )]c cA B B A A

d) ( ) ( )C cA A B B C

e) ( ) ( ) (A B B A A B

f) ( ) ( ) ( )CA B C B C A C A

g) ( ) ( ) ( ) ( )C CA C B C A C C B

h) ( ) ( ) ( ) ( )CC C C CA B C A B A C A C

17. Sea / 3 10A x Z x , / 7B x Z x y / 6 10C x Z x .

Hallar el conjunto solución y representar gráficamente. a) ( )A B C b) ( )A B B c) ( )A B C d) ( )A B C 18. Sean /A x R x 2 , /B x R 1 x 5 , /C x R x 2 .

Hallar el conjunto solución y representar gráficamente. a) A B b) ( )A B C c) ( )A B C d) ( )A C B 19. Sean los conjuntos: / , ,A x Z x 3n 1 y n N n 14

/ ( / ), ,B x Z x 5n 2 y n N n 13

Entonces A B ?. 20. Una caja contiene 120 caramelos, de los cuales 56 son redondos y 36 de menta. Si 22 caramelos de menta son también redondos, se pide determinar: a) ¿Cuántos de los caramelos no son de menta ni redondos? b) ¿Cuántos de los caramelos de la caja no son redondos? 21. Una empresa vendedora tiene 30 miembros que venden repuestos, 50 que venden servicios y 15 que venden ambas cosas. ¿Cuántos vendedores hay en la empresa? 22. En un Instituto universitario hay 14 estudiantes que siguen al mismo tiempo los cursos de francés e inglés, hay 16 que estudian francés, 27 que estudian inglés y 7 no estudian idiomas. Halle el número de estudiantes que estudian en el instituto.


10

23. En un curso compuesto por 22 alumnos; 12 estudian Alemán ; 11 estudian inglés y 11 francés, 6 estudian alemán e inglés; 7 estudian Inglés y Francés ; 5 estudian alemán y francés y 2 estudian los tres idiomas. ¿Cuántos alumnos estudian sólo inglés? 24. Una encuesta realizada entre 100 individuos para conocer las preferencias por los helados dio el siguiente resultado: Sea F el conjunto de los individuos que les gusta el sabor a fresa, B el conjunto de los que les gusta la vainilla, L el de los que les gusta el limón, y sea: n(F) = 42, n(B) = 48, n(L) = 41, n(F B) = 15, n(F L) = 17, n(B L) = 18, n(F B L) = 10. Determinar el número de individuos a los que no les gusta ninguno de los tres sabores. 25. Un club deportivo consta de 79 socios, de los cuales 47 practica fútbol, 34 básquet, 41 voley, 63 fútbol o básquet. Si 15 practican solamente fútbol y básquet, y 16 solamente voley: a) ¿Cuántos socios practican un solo deporte de los tres deportes? b) ¿Cuántos socios practican por lo menos dos de los tres deportes? c) ¿Cuántos socios practican los tres deportes? 26. En una encuesta a 75 estudiantes de la carrera de Comunicación Social que leen periódicos, se encontró que 43 leen Opinión, 18 leen Los Tiempos, 14 leen El Diario, 10 leen Opinión y Los Tiempos, 9 leen Opinión y El Diario, 8 leen Los Tiempos y El Diario, 5 leen Los Tiempos, Opinión y El Diario. a) Cuántos leen únicamente Opinión? b) Cuántos leen Opinión o Los Tiempos pero no El Diario? c) Cuántos ninguno de los tres periódicos? 27. Se sabe que 100 de los 120 estudiantes de matemáticas de una facultad toman por lo menos un idioma entre francés, alemán y ruso. Se conoce también que: 65 estudian francés, 45 estudian alemán, 42 estudian ruso, 20 estudian francés y alemán, 25 estudian francés y ruso, 15 estudian alemán y ruso. a) ¿Cuántos estudian francés y alemán pero no ruso? b) ¿Cuántos estudian francés y ruso pero no alemán? c) ¿Cuántos estudian alemán y ruso pero no francés? d) ¿Cuántos estudian exactamente dos idiomas? e) ¿Cuántos estudian exactamente uno de los tres idiomas? 28. Un grupo de primer ingreso de una escuela de ingeniería tiene 300 estudiantes. Se sabe que 180 pueden programar en Pascal, 120 en Fortran, 30 en Apl, 12 en Pascal y Apl, 18 en Fortran y Apl, 12 en Pascal y Fortran y 6 en los tres lenguajes. Conteste: a) ¿Cuántos estudiantes pueden programar exactamente en dos lenguas? b) ¿Cuántos estudiantes pueden programar a lo menos en dos lenguajes? c) ¿Cuántos estudiantes pueden programar a lo sumo en tres lenguajes? d) ¿Cuántos estudiantes de la escuela de ingeniería no saben ninguno de estos tres lenguajes? 29. Un conjunto formado por 285 personas presentó una prueba formada por tres preguntas. Luego de la corrección, se obtuvieron los siguientes resultados: 15 respondieron correctamente las tres preguntas, 31 respondieron correctamente sólo la primera y la segunda pregunta, 32


11

respondieron correctamente sólo la primera y la tercera pregunta, 27 respondieron correctamente sólo la segunda y la tercera pregunta, 134 respondieron correctamente la pregunta 1, 87 respondieron correctamente la segunda pregunta y 129 respondieron correctamente la pregunta tres. Con la ayuda del diagrama de Venn calcule el número de personas que no respondió correctamente ninguna pregunta. 30. Se tienen 3 conjuntos A , B y C , que cumplen las siguientes condiciones: ( ) 3n A B ,

( ) 3n A C , ( ) 4n B C , ( ) 8n A , ( ) 12n B , ( ) 10n C , ( )n A B C 1 . Determinar el número de elementos de ( )A B C ; A B ; B C . 31. Se ha investigado una población con los siguientes resultados: A 816 personas les gusta el azúcar, a 723 personas les gusta el helado, a 645 los pasteles, a 562 el azúcar y los helados, a 463 el azúcar y los pasteles, a 470 los pasteles y el helado. Existen 310 personas que les gustan las tres cosas. Se trata de conocer por cuántas personas está formada esa población. 32. En un estudio de 1000 personas, un inspector mercantil encontró que 740 habían comprado acciones de minas de oro, 560 habían comprado acciones de minas de plata, y 380 habían comprado acciones de explotaciones. De estos, 500 compraron acciones de minas de oro y plata, 200 de oro y explotaciones y 80 de plata y de explotaciones. a) ¿Cuántos personas solo tenían acciones de uno de los tres tipos de actividad mineras? b) ¿Cuántas personas tenían acciones de al menos dos actividades productivas? c) ¿Cuántas personas solo tenían acciones en dos y solo dos actividades mineras? d) ¿Cuántas personas compraron de los tres tipos de acciones? 33. Se realizó una encuesta con 550 personas. Se encontró que 130 veían la televisión, 215 escuchaban la radio, 345 leían el periódico para enterarse de las noticias. Más aún, 100 leían el periódico y escuchaban radio, 35 veían la televisión y escuchaban radio y 65 veían televisión y leían el periódico. Si 20 personas se enteraban de la noticias por los tres medios, a) ¿Cuántas solo veían TV? b) ¿Cuántas usaban al menos dos medios de comunicación para enterarse de las noticias? c) ¿Cuántas usaban exclusivamente sólo dos medios de comunicación? d) ¿Cuántas usaban uno y solo un medio para enterarse de las noticias? e) ¿Cuántos no utilizaban ninguno de estos tres medios? 34. En cierta escuela de ciencias administrativas, se requiere que todos los estudiantes de último año cursen matemáticas o contaduría o economía. En una clase de 400 estudiantes de estos estudiantes se sabe que 300 cursan matemáticas, 200 contaduría y 150 economía. Si 140 cursan matemáticas y economía, 90 matemáticas y contaduría y 50 contaduría y economía. a) ¿Cuántos estudiantes solo cursan matemáticas? b) ¿Cuántos estudiantes cursan las tres materias?


12

35. El diagrama representa un grupo de estudiantes que fueron encuestados y a los cuales se les pidió su opinión respecto de los temas A, B y C.

Al respecto se desea saber: a) ¿Número de estudiantes de la muestra? b) ¿Número de estudiantes que opinaron del tema B o C? c) ¿Cuántos no opinaron? d) ¿Cuántos estudiantes que habían opinado sobre el tema B opinaron sobre los temas A o C? e) ¿Número de estudiantes que opinaron de los temas A y B? f) ¿Cuántos dieron su opinión sólo referente al tema A? g) ¿Cuántos manifestaron su opinión sobre los tres temas? h) ¿Cuántos opinaron sobre el tema C pero no sobre el tema B?

36. Sean / 1 2A x x y / 2B y y . Hallar A B y B A y dibujar.

37. Sean / 4A x x y / 2B y y . Hallar A B y representar gráficamente.

38. Sean , , ,A a b c d y 1, 2,3B . Hallar A B , B A y representar gráficamente.


13

PRÁCTICA Nº 3

DESIGUALDADES - INECUACIONES

I. Resuelva las siguientes desigualdades y represente gráficamente:

1. 2x 1 4 5 x 1

2. 5 2x 7 13

3. 2x 1 3 x 2x 5

4. 3 2x 9 4x

5. 5x 7 31 3x

6. 4 2x x 2 2x 4

7. 3 x 4 1 4x

22 5

8. 4 4x

4 62

9. 4 2x 3

x 13 4

10. 2x 1 x 1

x4 6 3

11. 1 3 2 1 3

2 4 2 4

x x x

12. 2x 2

2 63

II. Resuelva las siguientes desigualdades cuadráticas y represente gráficamente:

13. 2x 6 x 9 0

14. 22x 11x 15 0

15. y 2 y 1 6

16. ( 2)( 4) 0x x

17. (2 4)(3 12) 0x x

18. x 2 x 3 2 x

19. 2x 1 x 3 9 x 1 x 4


14

20. ( ) ( )( ) ( )26 x 9 2x 4 3x 2 3 5x 21

21. 2 22 2 ( 3)x x x

22. 2x 4 4x

23. ( 2)( 1) 26 ( 4)( 5)x x x x x

24. 4 33 4 0x x x

25. 6 5 4 33 18 36 24 0x x x x

26. 5 4 3 22 4 2 4 0x x x x

27. 3 22 7 6 0x x x

28. (1 3 )[10(2 1) 5(4 1)] 3(1 4 )(5 1)x x x x x

29. 3

34

x

x

30. 2 1

0 11

x

x

31. 5 7

2 1

x x

x x

32. 2 1 2 5

3 1 3 2

x x

x x

33. 2( 1)( 2)( 1)

0(2 3)(3 2)

x x x

x x

34. 4 3

11 2x x

35. 3 2 2 1

11 1

x x

x x

36. 1 2

3 3x x

37. 2

( 1)( 3)0

( 4)( 5)

x x x

x x

38. 2

2

40

9

x

x

39. 2

2

4 1 3

4 2 2

x x

x x x


15

40. 5

25

x

x

41. 2 2

3 2 12 0

2 3 2

x x x

42. 2( 1)( 2) ( 1)

5(1 )3

14

x x xx

III. Resolver los sistemas de inecuaciones y representar gráficamente.

43. x 2y 4

x y 2

44. 2x 5y 10

5x y 15

45. 3x 5y 15

2x 3y 6

46. 2x 6 y 48

x 6 y 18

47. 2x y 3

3x 3 y

48. x y

x y 2

49. x 0

y 0

50. x 1

y 2

51. x 4

y 1

52. y x

y x

53. 1 x 4

1 y 3

54. x 2y 10

y 2x

55. x y 2

x y 2


16

IV, Resuelva los siguientes valores absolutos y represente gráficamente:

56. 2 6 4 8x x

57. 2x 1 3x 2 0

58. 2 8 3 10x x

59. 3x 7 4

60. 2 5x 3

61. 5 2 3 2x 7

62. 3x 2 2x 3

63. 7 3x 5 5

64. 3x 13 6 0

65. 2 6 4 8x x

V. Represente las siguientes proposiciones como desigualdades. a) x está entre -5 y 5, ambos incluidos. b) x es menor que -2 o mayor que 2. c) Juan tiene solo 100 bolivianos y necesita comprar dulces a Bs. 9 y chocolates a Bs. 13, expresar este problema como una inecuación. d) Juan ahora debe decidir si comprar solamente dulces o solamente chocolates. Para ello sólo considerará aquel producto del cual obtenga mayor cantidad. ¿Cuántos comprará?


17

PRÁCTICA Nº 4

RELACIONES

1. Defina: a) Relación, b) Dominio, rango y relación inversa, c) Clases de relaciones 2. Encontrar los valores de ya b , sabiendo que:

a) (2 3 , 3 ) (20,3)a b a b d) 2 2( , 5) (85, )a b a b

b) ( , 2 ) (3,3)a b b a e) ( , ) (20,64)a b a b

c) ( , ) ( , 1)5 3 4 3

a b b a f) ( , ) ( , 2)

6 4 4 4

a b b a

3. Sea: 2/( 7)( 7 10) 0A x N x x x , /( 1)( 2)( 3) 0B x N x x x . Hallar:

a) A B , b) B A , c) ( )A A B , d) A A 4. Analizar cuáles de los siguientes conjuntos de pares son relaciones de A en B, si:

, , ,A a b c d , , , , ,B a c x y z

a) 1 ( , ), ( , )R a x c t

b) b) 2 ( , ), ( , ), ( , ), ( , )R b y c e c x d a

c) 3 (5, ), ( , ), ( , ), ( , )R a a a b c c x

d) 4 ( , )R b z

e) A B f) ( )A B B

g)

5. Si / es par 5 < 9A x N x x y 3/ 80 =8B y N y x . Determine cuáles de los

siguientes conjuntos de pares son relaciones de A en B.

a) 1 (8, 4), (6,8)R

b) 2 (2,8), (8, 4)R

c) 3 (8,8)R

d) A B

6. Dados los conjuntos , , , ,A 4 8 9 12 13 y , , , , , ,B 2 3 4 5 6 7 8 , escriba las siguientes relaciones de

A en B por extensión.

a) ( , ) / es múltiplo de R x y x y

b) ( , ) / es divisor de S p q p q

c) ( , ) / es múltiplo de T a b ab a b


18

7. Si 3, 2,9,6A y 4,6,1,5,12B Exprese por extensión cada una de las siguientes relaciones:

a) 1 ( , ) / 10R x y A B x y

b) 2 ( , ) / 1R x y A B x y y

8. Si 5,7,9,11S S y 1, 4,10,14,15T . Analice cuáles de los siguientes conjuntos son

relaciones de S en T.

a) 1 ( , ) /R x y S T x y

b) 2 ( , ) / 2R x y S T y x

c) 3 ( , ) /R x y S T x y

9. Si / es impar 8U x N x x Tabule las siguientes relaciones en U.

a) 1 ( , ) / 0R x y N N xy

b) 2 ( , ) / 8R x y N N x y

c) 3 ( , ) / es divisor de 20R x y N N x

d) 4 ( , ) / 3 5R x y N N x y

e) 5 ( , ) / 2 2R x y N N x y

10. Sea ( , ) / ( , )R A B P x y , una relación entre los conjuntos 1, 2,3, 4A y 0, 2, 4B

definidas por el siguiente enunciado formal: ( , )P x y = “ es menor que x y ”. Hallar el conjunto

solución y represente por un gráfico en el plano cartesiano. 11. Grafique cada una de las siguientes relaciones reales:

( , ) / 1 3M x y R R x 2( , ) / 9R x y R R y x

( , ) / 1 5N x y R R y 2( , ) / 2 8 4S x y R R y x x

( , ) / 1 3 2 4O x y R R x y 2( , ) / 2 4 0, 0T x y R R xy y x x

( , ) /P x y R R y x ( , ) / 2 2 0U x y R R xy x y

2 2( , ) / 16Q x y R R x y 2( , ) / 2 0V x y R R x y y

12. Hallar el dominio y el rango de cada una de las siguientes relaciones:

a) 1 ( , ) / 1R x y R R y x c) 3 ( , ) / 5 5R x y R R xy y

b) 2 ( , ) / 2 4R x y R R xy y d) 4 ( , ) / 3 2 5R x y R R x x

13. Si 0, 2, 4,6,8S y la relación ( , ) / 8R x y S S x y . Determine el dominio y

el rango de R y grafique.


19

14. Hallar la inversa y graficar cada una de las siguientes relaciones:

1 (2,3),(4,1),(7,9),(12,3)R , 2 ( , ) / 4 1R x y R R y x

3 ( , ) / 3 4 5 1 5R x y R R x y x

15. Dada la relación R , ( , ) /R x y 3x 4 y 64 Grafique y halle el dominio y el rango de

R y 1R 16. Graficar las siguientes relaciones y hallar el dominio y rango.

1 ( , ) / 2 3 6 0R x y R R x y 2 28 ( , ) / 2 2 32 0R x y R R x y

2 ( , ) / 4 2 8 0R x y R R x y 2 29 ( , ) / 4 9 36 0R x y R R x y

23 ( , ) / 6R x y R R y x x 2 2

10 ( , ) /16 9 144 0R x y R R x y

24 ( , ) / 4 6R x y R R y x x 2 2

11 ( , ) / 2 4 50 0R x y R R x y

25 ( , ) / 3 6R x y R R x y y 2 2

12 ( , ) / 4 5 25 0R x y R R x y

26 ( , ) / 8 4R x y R R x y y 13 ( , ) / 5R x y R R yx

2 27 ( , ) / 9 0R x y R R x y 14 ( , ) / ( 4) 4R x y R R y x

17. Sean los siguientes conjuntos de pares de números reales, es decir, relaciones en:

a) 2 21 2( , ) / 25 ( , ) / 4 3P x y R R x y P x y R R y x

b) 2 2 21 2( , ) / 25 ( , ) / 9 4Q x y R R x y Q x y R R y x

c) 2 2 21 2( , ) / 25 ( , ) / 9 4R x y R R x y R x y R R y x

d) 2 21 2( , ) / 25 ( , ) / 4 3S x y R R x y S x y R R y x

e) 2 2 21 2( , ) / 25 ( , ) / 9 4T x y R R x y T x y R R y x

Grafique Ri Rj y encuentre el dominio y rango de Ri Rj. 18. Representar cada relación en un diagrama cartesiano de y hallar el dominio y rango.

a) 2y x c) 2 24 9x y e) 2 24 9x y

b) y sen x d) 2 2 16x y f) ( 3) ( 4)y x x

19. Sean las relaciones: 21 ( , ) / 2 4P x y R R y x y 2 ( , ) / 6P x y R R y x . Se pide:

Graficar P1 ∩ P2 y hallar el dominio y rango de P1 ∩ P2

20. Dadas las relaciones: 2 21 ( , ) / 25R x y R R x y , 2 ( , ) / 5R x y R R x y

a) Graficar R1 ∩ R2 b) Determinar el dominio y rango de R1 ∩ R2


20

21. Para cada figura propuesta seleccione la relación adecuada y encuentre los puntos de intersección para determinar el dominio y rango que respalde el conjunto solución de la región del plano de las relaciones siguientes:

2 2 2( , ) / 1, 4 25 100M x y R R y x x y ,

2( , ) / 2 2, 2 2R x y R R y x x y x

2 2( , ) / 2 0, 16S x y R R x y x y

2( , ) / 4 ,N x y R R x y y y x

Figura Nº 1 Figura Nº 2

Figura Nº 3 Figura Nº 4


21

22. Si 3/ 15 5A x N x x . Determine cuáles de las siguientes relaciones en A son:

Reflexivas, simétricas y transitivas.

a) 1 (1,1), (2, 2), (1,5), (5,5)R

b) 2 (1,2), (2,1)R

c) 3 (1, 2), (2,5), (1,5), (5,5)R

d) 4 (1,2), (2,1), (1,5), (5,1)R

e) 5R A A

23. En , ,P x y z . Defina:

a) Una relación simétrica pero no reflexiva b) Una relación transitiva pero no simétrica c) Una relación reflexiva pero no simétrica ni transitiva

24. En , ,Q . Defina:

a) Una relación reflexiva pero no simétrica. b) Una relación simétrica pero no transitiva c) Una relación transitiva pero no simétrica ni reflexiva

25. Sea 4,5,6,7A y S una relación en A definida por:

(4, 4), (5,5), (6,6), (7,7), (7, 4), (4,5), (6,5)S

Determine si S es de equivalencia en A.

26. Si 1, 2,3, 4,5B . Explique por qué la relación siguiente no cumple ninguna de las 3

propiedades de una relación de equivalencia: (2,4),(3,3),(1,1),(1,3),(3,5),(2,2),(4,2),(3,1)R .


22

PRÁCTICA Nº 5

FUNCIONES 1. Defina: a) Función b) Dominio, rango y la inversa de una función

2. Si , , , ,A 1 2 3 4 7 y , , ,B 2 5 6 9 . Determine cuáles de las siguientes relaciones son funciones:

( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )M 1 5 4 9 3 5 2 2 7 6

( , ), ( , ), ( , )N 2 5 3 6 4 9

( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )O 1 2 3 6 4 2 7 5 2 9 3 5

( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )P 1 2 4 2 3 2 2 2 7 2

( , ), ( , ), ( , ), ( , )Q 2 5 2 2 2 9 2 6

( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )R 1 5 4 9 3 5 2 2 4 9 7 6

3. Dados los conjuntos , ,A 2 5 7 y , ,B a b c , ¿cuáles de las siguientes relaciones son funciones de

A en B ? Justifique su respuesta.

a) ( , ), ( , )1R 2 a 5 b

b) ( , ), ( , ), ( , )2R 2 c 7 c 5 b

c) ( , ), ( , ), ( , ), ( , )3R 2 c 5 a 2 b 7 a

d) ( , ), ( , ), ( , )4R 2 b 7 b 7 a

e) 5R A B

f) ( , ), ( , ), ( , )6R 2 a 5 a 7 a

4. Si ( )f x 3x 15 . Hallar: a) ( )f h 5 , b) ( )2f h h 5

5. Si ( ) ( )2g x 3x x 1 . Hallar: a) ( )g 1 , b) ( / )g 1 2

6. Si ( ) 2h x x 3x 2 . Hallar: ( ) ( )h 3x 5 h x

2

7. Si ( )G x ax b . Determine h

xGhxG )()( , donde 0h

8. Si ,1

2)(

x

xxf donde 1x . Determine:

a) )2

1(f


23

b) )2

1(

mf

c) ,)()2(

m

mfmf donde 0m

d) ,)()1(

h

hfhf donde 0h

9. Analizar cuáles de las siguientes relaciones reales son funciones. Luego dar el dominio y rango de cada función o relación no funcional. Ilustrar con la gráfica correspondiente en cada caso:

a) ( , ) /( )( )x y y 3 y 3 0

b) ( , ) / 2x y y x

c) ( , ) / 2 2x y x y 16

d) ( , ) / ( )x y y 2x 4 x

10. Dada la función : ,f definida por:

( ) 2

2x 5 si x 9

f x x x si 9 x 9

x 4 si x 9

Determine: a) ( ), ( ), ( ), [ ( )]f 3 f 12 f 9 f f 5

b) Dominio y rango de .f

c) Gráfico de .f 11. Encuentre el dominio, el rango y grafique las siguientes funciones : ,f definidas por:

a)

33

321

25

)(

xsi

xsi

xsi

xf

b)

212

21)(

xsix

xsixxg

c)

211

1

212

1

)(xsi

x

xsixxh


24

d)

644

42

242

)(

xsi

xsix

xsi

xi

12. Sean , , ,A 1 2 3 4 , ,B a b c y ( , ), ( , ), ( , ), ( , )f 1 a 2 b 3 c 4 c

a) ¿f es función de A en B? En caso afirmativo: b) ¿f es inyectiva? c) ¿f es sobreyectiva? d) ¿f es biyectiva? e) ¿f admite función inversa? 13. Determinar cuáles de las relaciones son funciones y cuáles no. Aquellas que no lo son, redefinirlas de tal manera que se conviertan en funciones y luego clasificar y graficar.

a) 33)(/: xxfRRf

b) : / ( )1

g R R g x x 22

c) : / ( ) 2h R R h x x 9

d) : / ( )2x

i R R i x4 2x

e) 1

1)(/:

x

xxjRRj

f) : / ( )2x 4

k R R k x2x

14. Dada la función :1 1

f2 2

tal que: ( )x 3

f x2x 1

.

a) Demuestre que f es biyectiva.

b) Determine 1f y grafique.

15. Si la función f está definida por ( )x 2 si x 2

f x2x si x 2

.



16. Se define la función : :f ( )2x 3x si x 2

f xx 4 si x 2

.




25

17. Dada la función :f definida por: ( )x si x 4

f x2 x si x 4

.

a) Demuestre que 1f es función.

b) Grafique f y 1f .

18. Si 23)( 2 xxxf y 23)( xxg , definen funciones reales. Calcular:

a) )()( xgf

b) )()( xfg

c) )3()( gf

d) )1()( fg

e) )1()( xgf

f) )21()( xfg

g) ,2

)()( )2()(

x

gfgf x para 2x

19. Dadas las funciones : ,f ( ) 2f x x 3x 1 y : ,g ( )g x 2x 3 .

a) Encuentre ( )( ) 4f g , ( )( ) 4g f y ( )( ) 4f f .

b) ¿Se cumple que ( ) ( )( ) ( )x xf g g f ?

c) ¿Existe algún x tal que ( ) ( )( ) ( )x xf g g f ?

20. Dadas las funciones definidas en los números reales: ( ) 2f x 2x 3x k y ( )g x 3x 1 .

a) ¿Para qué valor de k existe un único número real x tal que ( ) ( )( ) ( )x xf g g f ?

b) ¿Cuál es dicho número real?

21. Si yf g son funciones definidas en los números reales, tales que: ( )( ) 2xf g 12x 28x 16 y

( )g x 2x 3 determine la función ( ).f x

22. Sea : ,f definida por: ( )

3x 1 si x 3

f x x 2 si 2 x 3

2x 3 si x 2

a) Halle: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,1 12 4 1 3 6 3f f f f f f

b) Halle: , , ,1 1 1f f f f f f f f

23. Sea : ,f definida por: ( )

2x 2 si 0 x 2

f x x 3 si 2 x 5

x 7 si 5 x 7

a) Halle: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,1 11 2 3 4 6 3f f f f f f

b) Halle: , , ,1 1 1f f f f f f f f


26

24. Sean : / ( )f f x 3x 2

: / ( )g g x 2x k

Donde k y se cumple que: ( ) ( )( ) ( )x xf g g f , x .

Hallar: a) ( )( ) 2f g

b) ( )( ) 4g f

c) ( / )[( ) ] 1 2f f f

d) ( )[( ) ] 1g g g

e) ( )[( ) ] 2g g g

25. Sean : / ( )x 1

f f x2

: / ( )2

g g xx 1

: / ( )h h x 2x 2 . Hallar: a) ( )[( ) ] 1f g h

b) ( )[( ) ] 2g f h

c) ( / )[( ) ] 1 2f f f

d) ( )[( ) ] 1h h h

e) ( / )[( ) ] 5 2g g g

26. Sean : / ( )f f x x 1

: / ( ) 2g g x x 2

: / ( )h h x x 1 . Hallar:

a) ( )( ) xf g h

b) (2)( )f h g

c) ( )( ) 3g h f

d) ( )( )

2h g f

e) ( )[( ) ] 4g f h

f) ( )[( ) ] 1f f f

g) ( )[( ) ] 2g g g

h) ( )[( ) ] 2 y 1h h h


27

PRÁCTICA Nº 6

TEORÍA COMBINATORIA

I. Factorial y binomios

1. Calcular: 7! 6!3! !

, ,4! 5! ( 1)!

m

m

2. Desarrollar por la fórmula del binomio: 5( 2)x , 4(4 )x , 7( )a b II. Permutaciones y variaciones 3. Calcular:

4 5 6, ,P P P

4. Calcular: 5 7 125 4 3, ,V V V

5. Si 12 410 n nV V , hallar n .

6. Si 2 4 43 43 2n nV V , hallar n .

7. Un estudiante tiene que elegir un idioma y una asignatura entre 4 idiomas y 3 asignaturas. Hallar el número de formas distintas en que puede hacerlo. 8. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda? 9. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5? 10. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar? 11. ¿De cuántas maneras se pueden colocar siete libros sobre una estantería? III. Combinaciones

12. Calcular: 7 7 1007 2 98, ,C C C

13. Si 22 34 n nC C , hallar n .

14. Si 3 45 24n nP C , hallar n .

15. ¿Cuántos grupos de 4 alumnos se pueden formar con 17 alumnos aventajados para representar a un colegio en un concurso de preguntas de matemáticas? 16. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 5 idiomas de entre 8? 17. Un alumno tiene que escoger 5 preguntas de entre 9. ¿De cuántas maneras puede hacerlo?


28

PRÁCTICA Nº 7

TEORÍA MATRICIAL

1. Con las siguientes matrices:

626

442A ,

246

137B ,

110

333C

Se pide: a) Demostrar: )()( CBACBA

b) Demostrar: BCCB c) Hallar: B3A2

d) Hallar: C30B3A4 ,

2. Sean las matrices:

321

34

11A ,

22

56

32

13

B .

Hallar: a) BA b) / 2A B c) 3( ) 2 / 3A B A


111

221

011

A ,

201

412

320

B ,

22100

33e

22

15

C

5

log

ln

log

Hallar:

a) B2A3 , b) )( CBA2

3 , c) CBA

3

2 )(


110

543

211

A ,

067

503

120

B ,

420

013

200

C

Hallar: a) B2A , b) C2BA , c) A3B2C4

5. Dadas las matrices y los escalares:

121

211

312

A ,

213

124

531

B ,

142

345

167

C ;

3 , 2

1 . Demostrar:

a) )()( BCACAB

b) CBBC )()())((

c) ttt BABA )(


29

6. Hallar wzyx y,, para que se verifique:

27zw

yx4

w21

64x

wz

yx3

3

2

log

log

7. Hallar la matriz X en la ecuación:

30

12X3

43

122

8. Dadas las matrices:

430

211A ,

321

301B ,

3001

2415

1032

C ,

3

1

2

D . Calcular: a) B4A3 , b) AB , c) AD , d) BC , e) BD , f) CD

9. Sea

34

21A . Hallar: a) 2A , b) 3A , c) )(Af , donde 5x4x2xf 3 )( .

10. Sea

13

22A . Hallar:

a) 2A c) Si 4x2x3xxf 23 )( , encontrar )(Af .

b) 3A d) Si 8xxxg 2 )( , hallar )(Ag

11. Sean

220

112

124

A ,

102

010

201

B . Hallar: a) 212

3AB B , b) 2 22

3BA B .

12. Sean

220

112

124

A ,

102

010

201

B .

Hallar: a) BA2

1X2A3 , b) BAX , c) nIAXB , c) tBA2 )( .

13. Hallar la transpuesta de las matrices siguientes:

111

212

011

A ,

123

312

231

B

14. Supongamos que A es de 3 por 5, B es de 5 por 3, C es de 5 por 1 y D es de 3 por 1. ¿Cuáles de las siguientes operaciones matriciales son posibles y qué forma tienen los resultados? a) BA b) )( CBA c) ABD d) BDAC e) ABABD .


30

15. Calcule el producto AB de las siguientes matrices:

21400

20500

13200

00010

00011

A ,

10000

01000

00100

00000

00000

B

16. Hallar la matriz incógnita X en la siguiente ecuación matricial.

120

036

24

12X

06

51

17. Dada una matriz de orden 3x3, se pide descomponerla como la suma de dos matrices:

2261

4210

513

18. Calcule las inversas de las siguientes matrices:

13

22A

111

212

011

B

3100

8300

0053

0021

C

3100

8300

2053

1221

D

3120

8312

0053

0021

E

1 0 2 1

2 3 0 0

1 0 1 0

0 2 2 1

F

19. Dada la matriz A se pide determinar su rango:

402

201

321

A

20. Dada la matriz B se pide determinar su rango:

2973

1242

3011

B


31

PRÁCTICA Nº 8

DETERMINANTES

1. Calcule el valor de:

1 2 3

A 3 7 6

1 2 3

,

2 4 1

0 1 1

0 0 3

B

,

1 0 0 0

2 1 0 0

3 2 1 0

4 3 2 1

C

2. Calcule el valor de los determinantes, por el método de Cofactores de las matrices siguientes:

721

300

432

A ,

0123

3102

1421

2121

B ,

2432

2433

1030

6864

C

3. Calcule por el método de Gauss-Chio, el valor de los determinantes siguientes:

6 6 2

A 3 3 1

3 9 2

,

1 1 12 2 2

1 1 12 2 2

2 1 13 3 3

1 12 3

1

0B

0

1 0

,

0 0 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

5 5 5 5 5

6 6 6 6 6

C

4. Resolver las ecuaciones:

a)

2 z 3 6

4 1 z 2 0

2 1 2 z

, b)

21 x x

1 2 4 0

1 1 1

5. Calcular el valor de los determinantes siguientes:

a)

8 2 1

3 4 6

1 7 2

, b)

2

k 3 9

2 4 k 1

1 k 3

6. Demostrar las siguientes identidades:

a) ( )2

1 k 1 1

1 1 k 1 k k 3

k 1 1 1


32

b)

a b 1 a a 1 b

b c 1 b b 1 c

c a 1 c c 1 a

c) ( )( )( )( )

2 2 2x y z

yz xz xy x x y z y x z x y z

x x x

d) ( )( )

abc ca a

2ab 2a 2 2abc b a c a

abc cb c

7. Encuentre por el método de la matriz adjunta la inversa de las matrices siguientes:

1111

3342

2331

1321

A ,

1000

x100

0x10

00x1

B ,

4234

1111

0110

5346

C

8. Resolver los siguientes determinantes:

2 1 1

A 1 2 1

1 1 2

,

3 2 2 2

2 3 2 2B

2 2 3 2

2 2 2 3

,

4 3 3 3 3

3 4 3 3 3

C 3 3 4 3 3

3 3 3 4 3

3 3 3 3 4

,

5 4 4 4 4 4

4 5 4 4 4 4

4 4 5 4 4 4D

4 4 4 5 4 4

4 4 4 4 5 4

4 4 4 4 4 5

1 1 2

1 2 1

2 1 1

E ,

2 2 2 3

2 2 3 2

2 3 2 2

3 2 2 2

F ,

2 2 2 2 4

2 2 2 4 2

2 2 4 2 2

2 4 2 2 2

4 2 2 2 2

G ,

2 2 2 2 2 1

2 2 2 2 1 2

2 2 2 1 2 2

2 2 1 2 2 2

2 1 2 2 2 2

1 2 2 2 2 2

H


33

PRÁCTICA Nº 9

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

1. Resuelva los siguientes sistemas, en donde a , b , c y d son constantes.

a) 2

3 6

x y a

x y b

, b) ax by c

bx ay d

, c) 2 2

3 3

x y z a

x z b

y z c

2. Hallar el conjunto solución en cada uno de los sistemas:

a)

2 3 3

2 3 8 4

3 2 17 1

x y z

x y z

x y z

, b)

2 5

2 4 11

3

x y z

x y z

y z

, c)

4 7 3 10

2 8

3 2 1

x y z

x y z

x y z

3. Resolver por el método de Gauss:

a)

3 2 8 7

4 5 3 1

3 6

x y z

x y z

x y z

, b)

2 3 2

3 2 1

2 1

x y

x y

x y

, c)

3 4 5 2 4

5 8 6 5

2 3 2 2

x y z w

x y z w

x y z w

d)

2 4 11

2 5

3

x y z

x y z

y z

e)

3 2 1

5 3 3 2

7 4 5 3

x y z

x y z

x y z

f)

2 2 2

2 3 5 9

4 5

5 3 2 3

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

4. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas mediante la eliminación de Gauss-Jordán:

a)

10

2 3 4 6

2 2 4

x y z

x y z

x y z

, b)

0

2 5 2 0

7 7 0

x y z

x y z

x y z

, c)

2 4 32

7 2 9 14

3 11

4 2 4

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

5. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas mediante el método de Cramer:

a)

2 4 16

3 2 10

3 3 16

x y z

x y z

x y z

,, b)

3 2 4 7

3 5 2

2 4

x y z

x y z

x y z

, c)

3 2 4 3 9 3

2 2 2 6 2

2 3 1

2 4 6 18 0

6 2 4 6

x y z u w

x y z u w

x y z u w

y z u w

x y z


34

6. Resuelva los problemas aplicados del sistema de ecuación siguiente: a) Un grupo de personas se reune para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de los hombres. 1) Plantear un sistema para averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión. 2) Resolver el problema.

b) En una tienda de pan se hizo una venta especial de temporada navideña y el 22 de diciembre se vendieron 3 cuernos, 2 donas y 1 bizcocho con una venta total de Bs.13; el 23 de diciembre se vendieron 4 cuernos, no se encontraron 5 donas ni tampoco 2 bizcochos encontrando un faltante en caja de Bs. 9; el 24 de diciembre se vendió 1 cuerno e hicieron falta 2 donas y 5 bizcochos encontrando un faltante en caja de Bs. 9. Encontrar el precio de cada pan.

c) Ana compra tres pantalones, dos blusas y un sombrero por 135 dólares, Bolivia, un pantalón, tres blusas y un sombrero por 100 dólares y Susana, dos pantalones, tres blusas, y dos sombreros por 155 dólares. ¿Cuál es el precio de cada prenda?

d) Una empresa produce tres productos A, B y C, los que procesa en tres máquinas. El tiempo (en horas) requerido para procesar una unidad de cada producto por las tres máquimas está dado enseguida:

3 1 2

1 2 4

2 1 1

A B C

Máquina I

Máquina II

Máquina III

Se dispone de la máquina I por 850 horas, de la máquina II por 1200 horas y de la máquina III por 550 horas. ¿Cuántas unidades de cada producto deberían producirse con objeto de emplear todo el tiempo disponible de las máquinas?

e) Una compañía constructora ofrece tres tipos de casas. El primer tipo de casa requiere 3 unidades de concreto, 2 unidades de madera para cancelería y 5 unidades de madera para estructuras. Los tipos segundo y tercero requieren 2, 3, 5 y 4, 2, 6 unidades, respectivamente, de concreto, madera para cancelería y madera para estructuras. Si cada mes la compañía dispone de 150 unidades de concreto, 100 unidades de madera para cancelería y 250 unidades de madera para estructuras, calcule el número de diferentes tipos de casas que la compañía podrá construir al mes si usa todos los materiales de que dispone.

f) Una empresa elabora tres productos, A, B y C, los cuales deben procesarse por tres máquinas, I, II y III. Una unidad de A requiere 3, 1 y 8 horas de procesamiento en las máquinas, mientras que 1 unidad de B requiere 2, 3, 3 y una unidad de C necesita 2, 4 y 2 horas en las máquinas. Se dispone de las máquinas I, II y III por 800, 1200 y 1300 horas, respectivamente. ¿Cuántas unidades de cada producto pueden elaborarse usando todo el tiempo disponible en las máquinas?

g) Repita el ejercicio (e) si el número de unidades de concreto, madera para cancelería y madera para estructuras son 100, 80 y 200, respectivamente. h) En el ejercicio (f), ¿cuántas unidades de A, B y C pueden producirse si se dispone de las máquinas por 900, 1200 y 1500 horas, respectivamente?


35

i) Esteban compró 3 pantalones, 5 camisas, 2 corbatas y 3 chaquetas en una tienda de departamentos. Si los pantalones tienen un costo de $us 12 cada uno, las camisas $us 5 cada una, las corbatas $us 3 cada una y cada chaqueta $us 20, use la multiplicación de matrices a fin de representar la cantidad total que Esteban gastó en la tienda de departamentos. j) Una empresa de consultoría tiene oficinas en Cochabamba y Sucre, esta última tiene 5 sillas, 7 escritorios y 4 máquinas de escribir. La oficina en Cochabamba posee 12 sillas, 16 escritorios y 8 máquinas de escribir. Si las sillas tienen un costo de $us 10 cada una, las mesas de $us 15 y las máquinas de escribir $us 200 cada una, exprese las cantidades totales gastadas en estos artículos en las dos oficinas en términos de productos de matrices. 7. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas mediante el método de la matriz inversa:

a)

3 6 5 0

2 4 3 1

2 9

x y z

x y z

x y z

, b) 1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 2 6 24

2 4 3 23

5 3 4 33

x x x

x x x

x x x

, c) 1 2 3

1 2 3

1 2 3

4 5 8

2 3 12

3 4 5

x x x

x x x

x x x

8. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas homogéneos:

a)

3 6 5 0

2 4 3 0

2 0

x y z

x y z

x y z

, b)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4 5 0

4 5 0

3 4 0

2 2 0

x x x

x x x

x x x

x x x

, c)

2 2 4 0

2 2 3 4 0

2 3 0

2 4 6 8 0

x y z u w

x y z u w

x y z u w

y z u w

9. Determinar las condiciones para que los sistemas tengan: solución única e infinita solución:

a)

2 4

2 3

3 2

x y z a

x y z b

x y z c

, b)

5 (8 ) 2

3 2

2 3

x y a z

x y z b

x y z a

c) 1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 2 2 3

3 3 2

2 5

x x x

x x x

x x x

10. Utilizando la regla de Cramer, despejar la incógnita indicada

a)

7 3 5 8 3

3 7 1

4 6

2 3

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

para z , b) 1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 2 4 2

3 6 8

2 2 0

i i i

i i i

i i i

para 2i

11. Dado el sistema

1

5

kx y z

x y kz

x y z k

, discutir según los valores del parámetro k .

a) Resolver para 2k por el método de Gauss. b) Resolver para 1k por la regla de Cramer.

prÁctica Álgebra 2015

Documents