practica resuelta de edps

8/15/2019 Practica Resuelta de Edps

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PRACTICA ENCARGADA ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES, CURSO;

METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA GEOLOGICA

Indicaciones; Se debe realizar el si!ien"e #rocedi$ien"o de sol!ci%n #ara cada !no de los

casos #ro#!es"o&

a) Efectuar un análisis de las características físicas del caso propuesto. b) Efectuar un análisis identificando el caso numérico al que se hace referencia,

identificando el tipo de EDP.c) Plantear el esquema numérico de solución.d) Formulación en hoja de cálculo para la solución del problema.e) Efectuar la codificación !"#!$ para la solución.

%) &na placa cuadrada apo'ada simplemente en sus e(tremos está sujeta a una cara por unidad deárea como se muestra en la fiura* la defle(ión en la dimensión + se determina resoliendo laEDP elíptica*

-ujeta condiciones de frontera en los e(tremos, donde la defle(ión ' la pendiente normal a lafrontera son . El parámetro D es la riide+ de fle(ión,

/%)

Donde E0el modulo de elasticidad, 1+ 0 el espesor de la placa ' 20ra+ón de poisson. -idefinimos una nuea ariable como siue

#a ecuación /%) se re e(presa como* 333 /4) de manera sucesia dos

ecuaciones de poisson. Primero, de la ecuación /55) se obtiene u sujeta a la condición de

frontera u0 en los e(tremos. Después los resultados se emplean junto con

, para obtener + sujeta la condición que +0 en los e(tremos.

Desarrolle un prorama computacional para determinar las defle(iones de una placa cuadrada

sujeta a una cara constante por unidad de aire. Pruebe el prorama con una placa de 4m delonitud en sus e(tremos, q066.7 89:m4, 20.6, 1+0 m ' E04( Pa. Emplee

1(01'0.; m para su corrida de prueba.


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a) Efectuar un análisis de las características físicas del caso propuesto.

Defle(iones de una placa cuadrada sujeta a una cara constante por unidad de aire.

b) Efectuar un análisis identificando el caso numérico al que se hace referencia,identificando el tipo de EDP.

EDP elíptica

c) Plantear el esquema numérico de solución.

étodo de solución es por diferencias Finitas.

d) Formulación en hoja de cálculo para la solución del problema.

-e acondiciona nuestro problema de acuerdo a las condiciones dadas para obtener la siuientematri+ a partir de la siuiente ecuación*

D

quuuuu ji ji ji ji ji =−+++ −+−+ ,%,%,,%,% < *

=bteniéndose la siuiente atri+ ! ' $.

atri+ ! atri+ $>< % % ,< % % ,< % ,< % % ,< % % ,< % ,< % ,< % ,< ,,6%;6%;u/4,%) >,,6%;6%;

u/%,4) >,,;%;ABu/6,4) >,,6%;6%;


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u/4,6) >,,6%;6%;

! Partir de estos datos se calculan las defle(iones a partir de la siuiente ecuación*

ji ji ji ji ji ji u z z z z z .,%,%,,%,% < =−+++ −+−+

=bteniéndose la siuiente atri+ ! ' $.

atri+ ! atri+ $>< % % >,6%;6%;% >< % % >,< % >,6%;6%;% >< % % >,< % % >,;%;AB % % >< % >,< % >,6%;6%; % % >< % >,< >,6%;6%;

=bteniéndose las siuientes Defle(iones*

@esultadosFinales

+/%,%) ,74B


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Cmattri+ principal!0>< % % % >< % %

% >< % % >< % % % % >< % % % % >< % % >< % % % >< % % % >


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si ariamos lueo la posición de la cara ' para cada posición determinamos las tensiones que por ella se ponen de manifiesto ' lueo, aplicamos superposición de efectos. #o determinado esla sobrepresión en la cota +, producto de haber carado la +apata con cara unitarias

concentradas en las aéreas discreti+adas. /dependiendo del rado de discreti+ación, se asemeja atener una cara distribuida unitaria en toda la +apata.

Estudiar el comportamiento de las presiones que se obserarían a la profundidad +.

6) En la fiura se indica la sección transersal de un tablestacado para el cual se pide el asto que

escurre debajo del mismo en l:h.mG.


#a sección transersal de un tablestacado con dos nieles de de aua de diferentes alturas.


Ecuación Diferencial Elíptica



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!hora en un análisis de las fronteras #a frontera de la parte superior derecha el alor a a ser constante es decir, /Dirichelt %.?) ' el

alor de la frontera superior i+quierda a a cambiar tomando un alor de frontera tipo 9E&!990 6.% ' las demás fronteras tipo 9E&!99 0 .

#íneas de contorno

d) !plicación de la caja de herramientas PDE"==# de !"#!$).

-e hace un análisis del rafico ' se enera el políono deseado

!l final se aplica las condiciones de contorno plateadas anteriormente ' se obtienen lossiuientes resultados.


7/59

Para hallar el caudal usaremos la siuiente definicion*

Q0851M5/nc:ne) donde nc 0 7 ' ne 0 %Q0;5/7%>


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!hora en un análisis de las fronteras #a frontera de la parte superior derecha el alor a a ser constante es decir, /Dirichelt %.%) ' elalor de la frontera superior i+quierda a a cambiar tomando un alor de frontera tipo 9E&!990 A.7 ' las demás fronteras tipo 9E&!99 0 .


-e hace un análisis del rafico ' se enera el políono deseado



9/59

Para hallar el caudal usaremos la siuiente definicion*

Q0851M5/nc:ne) donde nc 0 7 ' ne 0 4Q04(%>4?.%)5/7:4) 0 ;.%(%><

Q0/;.%(%>


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!hora en un análisis de las fronteras

H%0 0?6.;B64A7776%

H%0 0 ?4.B76;B?A


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50ºC

100ºC

Aislado

Aislado10 x10

m


7) Encontrar la distribución de temperatura en una placa de aluminio de %(% cm para los % primeros seundos. Rnicialmente la placa se encuentra a SH. Rnstantáneamente las temperaturasen la frontera i+quierda ' en la superior se llean a los alores mostrados en la siuiente fiura.#as restantes dos fronteras están aisladas. El coeficiente de difusiidad térmica para el aluminioes* 8 0 ,?6; cm4:s. #as ecuaciones que rien el fenómeno ' el coeficiente de difusiidadtérmica son*


Placa Halentada


Ecuación Diferencial Parabólica


.4

4

4

4

=

∂∂

+∂∂

−∂∂

y

T

x

T K

t

T

C

k K

ρ =


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-e aplica el esquema de RD! el cual es del mismo método de solución que HracN 9icholson pero en4 dimensiones empleando 7 ecuaciones para obtener una atri+ de -olución ' 4 direcciones desolución.

Primera ecuación

Para la Primera Dirección

Para Primeros 9odos

l

ji

l

ji

l

ji

l

ji

l

ji

l

ji T T T T T T ,%,,%4:%

%,

4:%

%,

4:%

, )%/4)%/4 +−+

−

+

+

++−++−=−+ λ λ λ λ λ λ

Para 9odos Rntermedios

l

ji

l

ji

l

ji

l

ji

l

ji

l

ji T T T T T T ,%,,%4:%

%,

4:%

,

4:%

%, )%/4)%/4

+−

+

+

++

− +−+=−++− λ λ λ λ λ λ

Para Tltimos 9odos

4:%

%,,%,,%

4:%

,

4:%

%, )%/4)%/4 +

++−

++

− −+−+=++− l

ji

l

ji

l

ji

l

ji

l

ji

l

ji T T T T T T λ λ λ λ λ λ

-eunda Dirección

Para Primeros 9odos4:%

,%%,,%,

4:%

,

4:%

,% )%/4)%/4 +

++−

++

− −+−+=++− l

ji

l

ji

l

ji

l

ji

l

ji

l


Para 9odos Rntermedios


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l

ji

l

ji

l

ji

l

ji

l

ji

l

ji T T T T T T %,,%,4:%

,%

4:%

,

4:%

,% )%/4)%/4 +−+

+

++

− +−+=−++− λ λ λ λ λ λ

Para Tltimos 9odos

4:%

,%%,,%,

4:%

,

4:%

,% )%/4)%/4

+

++−

++

− −+−+=++− l

ji

l

ji

l

ji

l

ji

l

ji

l


!l final obtenemos los siuientes resultados

Hon 1(06.66666 1t0;

Para t0;s

% % %; 6A,76;?6?66 6;,4%AB;B4 66,;???A%

; 4


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Para los lados sin un alor de frontera o frontera aislada seleccionaremos el tipo de frontera 9eumann.

U

para los lados con un alor de frontera seleccionaremos el tipo de frontera Dirichelt.

!l final obtendremos el siuiente rafico.

#íneas @ojas tipo de frontera Dirichelt.#íneas !+ules tipo de frontera 9eumann.

!hora iremos a la barra de función VPlot -elección W ' marcaremos lo deseado.


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!l final

obtenemos los siuientes resultados.

B) En la fiura se muestra una presa e(puesta a dos nieles de aua, el de la i+quierda es de ; mde altura ' el de la derecha de ; m., la profundidad de cimentación de 4 m, teniendo en cuentala posición de la roca impermeable a una profundidad de 6; m, modelar ' establecer las líneasde flujo ' las líneas equipotenciales.

a) Efectuar un análisis de lascaracterísticas físicas del caso

propuesto.

Presa e(puesta a dos nieles de aua


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b) Efectuar un análisis identificando el caso numérico al que se hace referencia, identificandoel tipo de EDP.

Ecuación Diferencial Elíptica

Plantear el esquema numérico de solución.

#íneas @ojas tipo de frontera Dirichelt.

#ado i+quierdo* ;#ado derecho* ;

#íneas !+ules tipo de frontera 9eumann.

c) Formulación en hoja de cálculo para la solución del problema.

!plicamos el método de solución de Diferencia Hentral ' @ela del Espejo.

=bteniéndose*

; ; ; ; ; ;


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Xenerando la rafica adecuada para el problema con condiciones de frontera establecidas


#ado i+quierdo* ;#ado derecho* ;

#íneas !+ules tipo de frontera 9eumann.

!l final se obtienen los siuientes @esultados


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?) Para la fiura mostrada, se requiere conocer las siuientes ariables*• Distribución de presiones del líquido en el suelo.• Distribución de elocidades de circulación del fluido /flujo)• Haudales de filtración en la sección media debajo de la estructura• #a distribución de presión en la base de la estructura

@esolución

Formulación en E(cel

=rdenaremos los datos de la siuiente forma de acuerdo como se presenta la fiura*

!plicaremos la formulación conocida como el Espejo de !ua VEn la cual consiste que si no se pudieran completar los datos para calcular cualquier nodo que se presente esa condición se tomaralo anteriorW

9ota*#a formula a emplear para el cálculo de un 9odo es conocida como Hru+*


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<,%,%%,%,

, ji ji ji ji

ji

T T T T T

−++− +++

=

En los siuientes ráficos se muestra la formulación Espejo de !ua para cada uno de los lados.

En el lado %

-e aplica #a formulación para toda esa columna menos la esquina.

En la esquina del lado %

En el centro de la parte inferior.

-e aplica esa formulación para toda la fila menos las esquinas.

#as anteriores fiuras muestran los lados i+quierdos lo mismo se aplica para los lados derechos.

En la parte -uperior Hentral

#as demás celdas restantes se aplican la formulación conocida como VHru+W a si como la anterior.


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-e a la entana opciones de E(cel, -ección Formulas ' escoe la opción habilitar calculo@epetitio

!l final obtendremos los siuientes resultados.

Hodificación en atlab

Primeramente nos a'udaremos en la hoja de E(cel creada para la formulación en E(cel para atlab.-eleccionaremos los resultados de la formulación en E(cel ' los espacios que faltan en las celdasfaltantes arearemos ceros.-eundo lo copiaremos en un V$locN de 9otasW la formulación en E(cel."ercero lo uardaremos en el siuiente orden*

Disco HYYatlab YY VZorNW

&na e+ terminado lo anterior aplicaremos la siuiente codificación*

En Homand [indoZ

YY load placa4.t(tYY p(,p'G0radient/placa4)YY cs0contour/placa4)clabel/cs)hold on


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Fiure %

1 2 3 4 51

2

3

4

5

6

7

YY quier/>p(,>p')hold off

Fiure 4

1 2 3 4 51

2

3

4

5

6

7

En el PDE"==# de atlab

El PDE"==# de atlab es como otra codificación en atlab, en la cual mismo proporciona elmismo prorama.

El cual se hace con el siuiente procedimiento


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9ota*

Primeramente ha' que tener bien en claro los conocimientos de que tipos de condición para cadafrontera

9eumann ' Dirichelt

Primeramente abriremos el pdetool en el Homand [indoZ

#ueo escoernos la función VHrear líneasW ' dise\aremos nuestro políono que se asemeja al problemaobteniéndose.


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Definiremos el tipo de frontera

Para los lados sin un alor de frontera seleccionaremos el tipo de frontera 9eumann.

U

para los lados con un alor de frontera seleccionaremos el tipo de frontera Dirichelt.

!l

final obtendremos el siuiente rafico.


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!hora iremos a la barra de función VPlot -elección W ' marcaremos lo deseado.

Por ]ltimo aplicaremos la función V-ole PDEW

!l final obtendremos

A) Halcular la distribución de temperatura de una barra lara ' delada que tiene una lonitud de% cm. El coeficiente de difusiidad térmica es* N 0 ,?6; cm 4 : s. Homo condición de frontera


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tenemos que en los e(tremos de la barra la temperatura es constante todo el tiempo* " /,t) 0% SH ' " /%,t) 0 ; SH. Homo condición inicial tenemos que en el interior de la barra latemperatura para el tiempo t 0 es* " /(,) 0 SH para ^ ( ^ %.


Placa Halentada



Plantear el esquema numérico de solución.

Ecuación de Halor

4)/ x

t K ∆∆=λ

Ecuación de -olución

)4/ %%% ιιιιι

λ −+

++−+=

iiiii T T T T T

Formulación en hoja de cálculo para la solución

del problema.

r( e rt tienden a cero, los resultados dela técnica por diferencias finitas seapro(imarán a la solución erdadera.

"% "4 "6 "


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!plicación de la caja de herramientasPDE"==# de !"#!$).

!condicionamos la EDP de acuerdo anuestro problema.

-e enera la barra metálica raficando un rectánulo /con las dimensiones adecuadas) en el pdetool


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-e especifica las condiciones de frontera a la rafica*

Frontera i+quierda* dirichlet %

Frontera derecha* dirichlet ;Frontera superior* neumannFrontera inferior* neumann

=bteniéndose al final el siuiente esquema de solución*

-olución matlabC -=#&HR=9 EDPs P!@!$=#RH! P!@! &9! $!@@! H!#E9"!D!#0input/Klonitud de la barra* K)!(0input/Kinrese la ariacion de distancia* K)t0input/Kinrese el tiempo* K)!t0input/Kinrese la ariacion de tiempo* K)


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NN0input/Kinrese el LNL prima* K)H0input/Kinrese la constante de conductiidad del calor* K)d0input/Kinrese la densidad* K)"i0input/Kinrese la temperatura inicial de la barra* K)"#0input/Kinrese temp de lado i+quierdo de la barra* K)"@0input/Kinrese temp de lado derecho de la barra* K)80/NN:/d5H))

lambda0/85!t:/!(4))$0*!(*#Gn0lenth/$)"0"i5ones/t,n)for i0%*t "/i,%)0"# "/i,n)0"@ for j04*n>% "/i`%,j)0"/i,j)`lambda5/"/i,j`%)>45"/i,j)`"/i,j>%)) end "/i`%,%)0"#

"/i`%,n)0"@enddisp/")

plot/$,")(label/K#=9XR"&D /m)K)'label/K"EPE@!"&@! /H)K)title/KR-="E@!- P@=D&HRD!- !# H!#E9"!@ &9! $!@@!K)hold onrid on

%) Dentro de los innumerables problemas de ineniería en los que se recurre a un tablestacado seencuentra* el caso de una pared para mantener la e(caación de un edificio en construcción, elmuro de recinto de una terminal marítima, la pantalla anclada de un muelle de atraque, etc. Parael modelo, se utili+a un tablestacado hincado en un suelo limoso con una permeabilidad de;,EBcm:s, como el que se ilustra en la Fiura. El tablestacado es de lonitud considerable endirección perpendicular a la Fiura por lo cual el flujo de aua bajo el mismo es bidimensional.



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El caso de una pared para mantener la e(caación de un edificio en construcción, el muro de recintode una terminal marítima, la pantalla anclada de un muelle de atraque, etc. Para el modelo, se utili+aun tablestacado hincado en un suelo limoso con una permeabilidad de ;,EBcm:s




En la línea equipotencial de auas abajo, h0 m #íneas !+ules tipo de frontera 9eumann.

En la línea equipotencial auas arriba, h07 m


Fronteras tipo Dirchelt

<,%,%%,%,

, ji ji ji ji

ji

T T T T T

−++− +++

=

En fronteras 9eumann se utili+a el étodo del Espejo.


Para la formulación se aplica la formula anterior.

=bteniéndose*

7, 7, 7, 7, , , , , ,


30/59

;,


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"eniendo así la rafica de flujo de aua bajo el mismo es bidimensional

%%) #a Fiura considera una presa de concreto cimentada sobre un terreno permeable isótropo conuna permeabilidad de ;,EBcm:s. #a sección representada, constitu'e realmente un ertedero'a que el aua pasa sobre la presa en ciertas épocas del a\o. El aua del embalse en la caraauas arriba tiene una altura de 7.m ' la presa está enterrada dentro del suelo 4,m. Estas son*

• En la línea equipotencial auas arriba, h07 m• En la línea equipotencial de auas abajo, h0 m• #os demás contornos son líneas de flujo normal nulo.


&na presa de concreto cimentada sobre un terreno permeable isótropo con una permeabilidad de;,EBcm:s.



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!hora en un análisis de las fronteras #a frontera de la parte superior i+quierda es la que a a cambiar su condición mientras que en la

parte superior derecha el alor a a ser constante es decir, /Dirichelt > ) ' el alor de la fronterasuperior i+quierda a a cambiar tomando un alor de frontera tipo 9E&!99 0 7




<,%,%%,%,

, ji ji ji ji

ji

T T T T T

−++− +++

=

7, 7, 7, 7, , , , , ,;,


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!l final se obtienen*

%4) #a Fiura ilustra el caso de dos paredes que mantienen una e(caación en un terreno permeablede permeabilidad ;,EBcm:s. #as paredes están enterradas dentro del suelo 7. m. ' lae(caación está en %.; m. de profundidad. #as cotas auas arriba ' abajo de la e(caación sonh% 0 %4 m ' h6 0 %6.; m, respectiamente. #a cota de la e(caación es h4 0 B.; m. #ascondiciones de contorno aplicadas al modelo de la e(caación son*• En la línea equipotencial auas arriba, h0


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&na e(caación en un terreno permeable de permeabilidad ;,EBcm:s. #as paredes estánenterradas dentro del suelo 7. m. ' la e(caación está en %.; m. de profundidad. #as cotas auasarriba ' abajo de la e(caación son h% 0 %4 m ' h6 0 %6.; m, respectiamente. #a cota de lae(caación es h4 0 B.; m.


Ecuación Diferencial elíptica


El alor de la frontera ' tipo de frontera en el cual tiene la forma de un canal es

Frontera tipo 9eumann 07#a frontera superior i+quierda es del tipo Dirichlet ' tiene un alor iual a #a frontera superior derecha es del tipo 9eumann ' tiene un alor de 0


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<

,%,%%,%,,

ji ji ji ji

ji

T T T T T

−++− +++

=


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%6) =tra forma habitual de flujo es el caso de un muro que sostiene un relleno con un dren erticalentre la cara interior del muro ' el relleno. -i por ejemplo, la red de flujo se enera debido a unalluia intensa la cara total sobre el relleno /en condición de flujo permanente) será iual a la

altura eométrica del relleno. Para el caso del ejemplo la cabe+a tiene un alor de 7. m. En laFiura se representa este caso.

En condiciones de saturación ' considerando flujo permanente, el borde superior del rellenoserá una condición de borde equipotencial /f07. m). #a fundación del relleno es impermeable 'representa una condición de borde de flujo ' una peque\a línea equipotencial de cabe+a cero esrepresentada en la parte baja del dren. #as condiciones de contorno aplicadas al modelo delrelleno se son*

• En la línea equipotencial superior, h 0 7. m• En la línea equipotencial inferior, h 0 . m• #os demás contornos son líneas de flujo normal nulo.


&n muro que sostiene un relleno con un dren ertical entre la cara interior del muro ' el relleno. -i

por ejemplo, la red de flujo se enera debido a una lluia intensa la cara total sobre el relleno /encondición de flujo permanente) será iual a la altura eométrica del relleno. Para el caso delejemplo la cabe+a tiene un alor de 7. m. En la Fiura se representa este caso.En condiciones de saturación ' considerando flujo permanente, el borde superior del relleno seráuna condición de borde equipotencial /f07. m). #a fundación del relleno es impermeable 'representa una condición de borde de flujo ' una peque\a línea equipotencial de cabe+a cero esrepresentada en la parte baja del dren.

b) Efectuar un análisis identificando el caso numérico al que se hacereferencia, identificando el tipo de EDP.

Es una Ecuación Diferencial Elíptica



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#íneas @ojas tipo de frontera Dirichelt. /7>)#íneas !+ules tipo de frontera 9eumann./)




<

,%,%%,%,,

ji ji ji ji

ji

T T T T T

−++− +++

=

7, 7, 7, 7, 7, 7,


38/59


39/59

-e le da alores a las fronteras teniendo en cuanta la condición del problema


Para finalmente darle la solución a la EDP E#RP"RH!


40/59

%


41/59

h % B,A4A;4B4 7,B;%


42/59

c) Efectuar la codificación !"#!$ para la solución.

-olución con @une 8utta

-oftZare de étodos 9uméricos /Editorial eab'te)

%;) &na barra sobresale de un satélite en un campo de radiación solar. #a ecuación diferencial basada en un modelo unidimensional de conducción de calor es


43/59

Donde

#a condición inicial es que en (06,ft, "076B,74?; S@, ' d":d(0. &sando los procedimientos de @une>8utta ' de Euler, encontrar la relación "/().

%7) -e usa un separador estándar de aceite para separar una me+cla de aua ' aceite.

El niel de derrame de aceite está ;ft arriba del e(tremo inferior de la pared de retención.=btener la relación /t) usando la ecuación


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b) Formulación en hoja de cálculo para la solución del problema.

Da"os

Diámetro Promedio del Xlóbulo de !ceite ,7

Densidad del !ceite ,7Densidad del !ua %

!celeración debida a la Xraedad 6?7,<

Hoeficiente de Fricción ,7h ,;

étodo de -olución por @une>8utta

Ecuaciones de @une 8utta

)44/7

%

),/

)4

,4

/

)4

,4

/

),/


45/59

N <

%,4B??


46/59

#os datos del Problema son*

Datos

Velocidad de Propagación a lolargo del eje x de la fama

0.003058361

Calor especico de la madera 0.55

Condcti!idad t"rmica de la

madera

5.55556#$05

Coeciente de trans%erenciade calor media entre la

madera & el aire

0.000555556

#spesor de la tira de madera 0.05'6

(emperatra del )ire)m*iente

530

(emperatra de la +lama '160

Constante de ,te%an-olotmann

/.80556#$13

#misi!idad radiante de la

adera

0.

#misi!idad radiante de la+lama

0.85

)ltra de la +lama 0.02'5


47/59

Densidad de la adera '0.36'

0.00833

t 1'00

dt4dx 0

x 0.0/165

t 1'00

!l final se obtienen los siuientes resultados*

xmts

0.5 7 '.5

xpies

0.0 0.0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

& 1'00.0

1''2.

1316.'

1/8'.6

1221.6

'306.2 358/.0 1.15#0/

0.0 6283

.3

1/26'

.3

'60'/

.2

/550

.3

06'.

1

'25'. 2.2'#

0691 0.0 56.5 1'3.0 '16.8 32.8 252.2 ''3.' 6./3#

0/9' '2.6 86.' 161.0 '25.6 /3./ 1062.0 /01.0 './2#

0593 '2./ 88.2 162. '3.0 5/6.5 131/.2 2/28.3 3.26#

029/ 52.3 1'3.

2'12.5 32. 251.' '1/'.6 ''/82.3 6.8'#

0l1 6630

.6213/

.11/'.

01/110

.1'2'1

./2/'6.

5/1/355.2 /.38#

02l' 650

.'22'/

.310282

.218'8

.5/0030

.21332'

3.31'//1'.

6.01#

0l3 6823

./8065

./113//

.81580

.1//53

.8166'5

1.''/'/'61.

18.18#

11l/ 21/1

.160

.61/162

./'25'6

.02560

.2/3180

8.'36//13

/.//.3#

'1

%?) El moimiento del aua sobre el terreno iene caracteri+ado por la le' de flujo de Darc', quemuestra cómo ésta flu'e de ma'or a menor niel pie+ométrico*q/(,t)0>8. :h/(,t)3333/%)El problema eneral de flujo difusio /sin considerar términos de reacción ni conección) enuna eometría de acuífero libre está obernado por la siuiente ecuación en deriadas parciales*-- h/(,t):t0> :.q/(,t)`r3333/4)donde los parámetros del terreno que interienen son la recara ' el coeficiente dealmacenamiento. !plicando la ecuación de Darc' se obtiene*

Dado que el dominio espacial de la ariable de estado h/(,t) es unidimensional, el desarrollo deltérmino de la dierencia :; / :h/(,t)) en la e(presión /6) se simplifica resultando la siuienteecuación en deriadas parciales /EDP) parabólica %D, que obierna el problema planteado en

esta sesión*


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#a solución requiere dos condiciones de contorno que, para este caso, se han propuesto de tipo

Dirichlet /alor de la ariable pre>escrito)* h/( 0 ,t) 0 ho ' h/( 0 #,t) 0 h#. Dichas condicionesde contorno ' el dominio de resolución, (


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%A) &tili+ando el método de los elementos finitos, para problemas unidimensionales como es elejemplo de la $arra sometida a su propio peso ' cara puntual, establecer una solución, se]n*

Solución Analítica: Métodos Matriciales

100 0 0 =1 0

0 '00 $100 =' > 5000 $100 100 =3 /50

0.01 0 0 00 0.01 0.01 > .50 0.01 0.0' 1/

,olcion +inita ?"todo

@ass ,eidel

100 0 0 00 '00 $100 > 5000 $100 100 /50


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i A1 A' A30 0 0 01 0 '.5 2' 0 6 10.53 0 2.25 1'.'5/ 0 8.6'5 13.1'5

5 0 .06'5 13.56'56 0 .'81'5 13.281'5

2 0 .306'513.806'

5

8 0.//531'

513./531

'5

0./2'656

'513.2'65

63

10 0./863'8

1313.863'

81

11 0 ./316/06 13.316/1

1' 0./658'

0313.658

'

13 0./8'1

0'13.8'

1

1/ 0./1/5

5113.1/

55

15 0./52'

2513.52

'8

16 0

./286

38

13.28

6/

12 0./83

113.8

3'

18 0.//6

513./

66

1 0./23

313.2

33

'0 0./86

6513.8

66

'1 0

./3

3'

13.

33

'' 0./6

6613.

62

'3 0./8

3313.

83

'/ 0./

1213.

'

'5 0./

5813.

6

'6 0./

213.

8

'2 0./

13.

'8 0./

513.


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Para el caso bidimensional, esfuer+o plano ' deformación plana, el campo dedeformaciones ' el campo de esfuer+osienen dados por* 34D5

Donde D es la matri+ constitutia del material, dependiente del tipo de problema a resoler, ' dela ecuación constitutia del material, la cual obierna las relaciones entre los esfuer+os 'deformaciones unitarias en un material. Proponer un procedimiento en elementos finitos,utili+ando PDE"==#, para la solución del problema.


Estructura el cual sufre un tipo de caras concentradas en forma creciente hacia el eje (.


Es una EDP Elíptica.


Por elementos Finiros

d) !plicación de la caja de herramientas PDE"==# de !"#!$.

Primeramente se define el esquema rafico.


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-e define las fronteras ' opta por la opción VEstructura Esfuer+oW

!l final se obtiene los siuientes resultados.


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4


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47) Para el siuiente sistema hidrolóico subterráneo, propona un esquema de modelamiento,ecuaciones que describan la hidrodinámica del aua subterránea ' el esquema de soluciónnumérica que resuela el caso.

4B) &n puente es soportado por arias pilas /columnas) de concreto, cu'a eometría ' estado decara se muestra en la Fiura. #a cara de 4 N9:m4 representa el peso del puente, junto a unasobrecara estimada debido a transito. El peso apro(imado del concreto es de 4; N9:m6 ' sumodulo es E 0 4?%7 N9:m4. Deseamos anali+ar el estado de tensiones ' deformaciones de lacolumna utili+ando el método de diferencias finitas. #a ecuación diferencia que rie elcomportamiento del sistema es

-ujeta a las siuientes restricciones o condiciones de borde


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e) Efectuar un análisis de las características físicas del caso propuesto.

Estructura el cual sufre un tipo de caras concentradas en forma creciente hacia el eje (.

f) Efectuar un análisis identificando el caso numérico al que se hace referencia, identificandoel tipo de EDP.

Es una EDP Elíptica.

) Plantear el esquema numérico de solución.

Por elementos Finiros

h) !plicación de la caja de herramientas PDE"==# de !"#!$.

Primeramente se define el esquema rafico.


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!l final se obtiene los siuientes resultados.


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4?) @esoler el sistema asa>@esorte>!mortiuador For+ado !coplado mostrado en la siuientefiura, usando los siuientes datos* N0? . % 7 9:m, m0 % 8., H0 % 9.s:m, f/t) 0 % u /t>%).

practica resuelta de edps

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