UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE QUERÉTARO

FACULTAD DE INGENIERIA

DIVISIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO

MAESTRÍA EN MECATRÓNICA

Nombre de los alumnos:

Irving Armando Cruz Albarrán

Francisco Javier Mendoza Galindo

Carlos Andrés Pérez Ramírez

Materia:

Control

Práctica 1

“Modelación de Sistemas con ecuaciones diferenciales utilizando MATLAB-SIMULINK”

Nombre del docente:

Dr. Luis Alberto Morales Hernández

San Juan del Rio, Querétaro. 18 de Febrero de 2013

OBJETIVO

Modelar y simular un sistema dinámico a fin observar y analizar su comportamiento o respuesta a través del tiempo mediante el software Matlab-Simulink.

MATERIAL

Software Matlab-Simulink PC

Parte 1: Actividad en equipo (modificar el archivo correspondiente)

Modelar un sistema de tanque con dos válvulas de descarga:

Figura 1. Modelo físico y diagrama a bloques del tanque.

Sol.

Sumando las entradas con las salidas se obtiene:

q i ( t )−q01 (t )−q02 (t )=qax (t )=A dh (t )dt

(1)

La ecuación salida de la válvula 1

q01 (t )=h (t )Rh1→Q01 (s )=H ( s )

Rh1(a)

La ecuación de salida del válvula 2

q02 (t )=h (t )Rh2→Q02 (s )=H ( s )

Rh2(b)

Llevando al dominio de Laplace (1) se obtiene

Qi (s )−Q01 (s )−Q02 ( s )=Qax ( s )=AsH (s)(2)

Es posible simplificar (1) si se sustituye (a) y (b) y se agrupa y simplifica teniendo que

Q0 (s )=Q01 (s )−Q02 (s )=H ( s )Rh1

+H ( s )Rh2

Q0 (s )=H ( s)( Rh1+Rh2Rh1Rh2 )(c)

Sustituyendo (c) en (2) se obtiene

Qi (s )−H (s )( Rh1+Rh2Rh1Rh2 )=AsH (s)(2)

Finalmente se obtiene la función de transferencia H (s )Qi ( s)

para 2 válvulas

H (s )Qi ( s)

= 1

As+Rh1+Rh2Rh1 Rh2

(3)

Para una sola válvula, la función de transferencia es

H (s )Qi ( s)

= 1

As+1Rh

(4 )

Responda

1. Justifique el efecto sobre los dos flujos de salida en ambas válvulas, si las dos válvulas están

igualmente abiertas: Rh1=Rh2=2

Para conocer el efecto que tiene en la altura el número de válvulas, se usan las ecuaciones (4) (para una sola válvula) y (3) (para dos válvulas) y se calcula su valor final suponiendo que la

cantidad de agua que ingresa al tanque no varía, esto es una función escalón (unitario por simplicidad)

Para una válvula, despejando de (4) H(s) se tiene que el valor final es

h (∞ )=lims→0

sH (s )=¿ lims→0

s ( 1

As+1Rh

)( 1s )=¿ lims→0

1

As+1Rh

=1

0+12

=2m¿¿

Para dos válvulas, despejando de (3) H(s) se tiene que el valor final es

h (∞ )=lims→0

sH (s )=¿ lims→0

s ( 1

As+Rh1+Rh2Rh1Rh2

)( 1s )=¿ lims→0

1

As+Rh1+Rh2Rh1Rh2

= 1

0+ 44

=1m¿¿

De los resultados obtenidos se aprecia que si ambas válvulas están igualmente abiertas, la altura que alcanzará el agua en el tanque es la mitad de la altura que se alcanzaría si sólo una válvula estuviese abierta. Otro efecto que se acentúa es que el tiempo que tarda en alcanzar la altura final es la mitad del tiempo que tardaría en alcanzar la altura final si sólo una válvula estuviese abierta. Para ilustrar lo anterior las figuras 2 y 3 muestran la simulación de los casos descritos.

Figura 2. Diagrama a bloques y resultado obtenido de la simulación para 1 válvula.

Figura 3. Diagrama a bloques y resultado obtenido de la simulación para 2 válvulas.

Donde los colores de las imágenes significan:

Amarillo: Estado acumulado del tanque.

Rosa: Válvula 1.

Azul: Señal de error.

Rojo: Válvula 2.

Verde: Señal de entrada.

2. Considere que Rh1=1.5y Rh2=3 ¿Cómo se afecta la altura del llenado del tanque, h(t), si se

disminuye el valor del área del tanque de un valor A = 4 m2, por el de A = 2 m2?

Para poder encontrar el efecto que tiene el cambio de área sobre la altura se debe resolver el sistema suponiendo que la cantidad de agua que entra al tanque no cambia (una entrada escalón)

Despejando H(s) de (3) y sustituyendo la transformada de Laplace de la entrada se tiene

H (s )=( 1

As+Rh1+Rh2Rh1Rh2

)( 1s )(5)Expresando (5) en fracciones parciales

H (s )= B

s+Rh1+Rh2A Rh1Rh2

+ Ds

(6)

Resolviendo las fracciones parciales se tiene que los coeficientes B y D son

B=−Rh1Rh2Rh1+Rh2

D=Rh1Rh2Rh1+Rh2

Para simplificar la expresión, supóngase que C es

C=Rh1 Rh2Rh1+Rh2

De esta manera, (6) puede expresar como

H (s )= −C

s+1AC

+Cs

Encontrando la transformada inversa se tiene que

h( t)=C (1−e−tAC )

Como se puede ver el área no tiene ningún efecto sobre la altura final del tanque ya que en el infinito su efecto será cero. La altura está definida sólo por la constante C que está en función de la cantidad de válvulas que estén en el tanque. El efecto que sí se puede observar es que el área define que tan rápido el término exponencial tiende a cero y por ende afecta directamente el tiempo de llenado. Esto se puede observar con la simulación de Simulink.

Figura 4. Simulación del sistema para un área de 2 m2, Rh1 =1.5 y Rh2 = 3

Figura 5. Simulación del sistema para un área de 4 m2, Rh1 =1.5 y Rh2 = 3

Donde

Amarillo: Estado acumulado del tanque.

Rosa: Válvula 1.

Azul: Señal de error.

Rojo: Válvula 2.

Verde: Señal de entrada.

Como se puede observar en las gráficas, el reducir el área a la mitad produce en el sistema provoca que para llenarlo se tome la mitad del tiempo. Esto tiene mucho sentido debido a que se sigue vaciando con la misma tasa pero sólo tiene la mitad del volumen.

Parte 2: Actividad

Para la función

Y (s )=10 s2+2 s+40

s (s+2 ) (s+5 )

Obtenga:

1.- Su expansión en fracciones parciales sin calcular el valor de los coeficientes.

Sol. Y (s )= As

+ Bs+2

+ Cs+5

2.- ¿A qué función en el tiempo corresponde cada uno de los términos de la expansión realizada en el inciso anterior?

Sol.

As→Escalónunitario

Bs+2

→Decaimiento exponencial

Cs+5

→Decaimiento exponencial

3.- Obtenga el valor de y (0) y y (∞ )a partir de la funciónY (s)

Sol.

y (0 )=lims→∞

sY ( s)=lims→∞

s10 s2+2 s+40s(s+2)(s+5)

=101

=10

y (∞ )=lims→0

sY ( s )=lims→0

s10 s2+2 s+40s (s+2)(s+5)

= 0+0+40(0+2 ) (0+5 )

=4010

=4

Conclusiones

Irving Armando Cruz Albarrán

Simulink de Matlab es una herramienta muy poderosa que nos puede ayudar para una infinidad de cosas, para nuestro caso en concreto nos fue y nos será de gran utilidad para poder modelar e interpretar resultados de sistemas mediante diagramas a bloques sin necesidad de tenerlos físicamente, en esta ocasión fue para un sistema hidráulico, Cabe resaltar que las gráficas son de vital importancia ya que variando los parámetros del sistema nos muestra la respuesta de dicha variación debido a que ya contamos con la función que describe el comportamiento del sistema.

Francisco Javier Mendoza Galindo

Creo que se cumplió con el objetivo de la práctica debido a que al resolver los problemas de manera analítica y simulada nos sirve para aprender a interpretar sistemas con modelos similares. De esta manera por ejemplo un sistema eléctrico complejo se le puede hacer un modelo hidráulico que es más fácil de observar físicamente. La introducción al uso de la herramienta de Simulink de MatLab nos fue de gran ayuda para comprobación de resultados ya que todo se reduce a un acomodo de bloques, para obtener el resultado que nos da el método analítico. Esta herramienta será de gran utilidad cuando se deba resolver sistemas mucho más complejos.

Carlos Andrés Pérez Ramírez

En muchas ocasiones resulta complicado contar con las instalaciones físicas para comprobar si los resultados predichos por el controlador son los esperados. Por ende, es de vital interés contar una plataforma computacional que permita comprobar dichos resultados. Además, contar con una plataforma permite realizar modificaciones en instantes para verificar los efectos de éstas en el comportamiento. Esto acorta tiempos de desarrollo. Por ende, el aprender el uso de

Matlab-Simulink (quien juega el papel de la plataforma en este curso) es muy importante para un adecuado aprendizaje y comprobación de resultados.