PRCTICA 3: FUNCIONES DE UN OPERADOR. MODOS NORMALES

DE UN SISTEMA DE OSCILADORES

P. BRUSCOLINI, J. CLEMENTE-GALLARDO Y S. PREZ-GAVIRO

1. Introduccin: la exponencial de un operador

1.1. Denicin. Sabemos por lo visto en el captulo 5 que aquellas funciones paralas cuales dispongamos de una serie de Taylor convergente en un entorno alrededor de

cada punto de su dominio, que es lo que se denomina funcin analtica, nos permitendenir funciones de endormosmos denidos sobre un espacio vectorial.

Una funcin analtica se escribe, para cualquier punto x D donde D es el abiertode Kn donde est denida como la serie:

f (x) =

k=0

f (k)(x0)

k!(x x0)k

Si consideramos las series en torno al origen, tendremos:

f (x) =

k=0

f (k)(0)

k!xk

Es esta la expresin que vamos a considerar para la denicin de la funcin de un

endomorsmo.

Denicin 1.1. Sea f : K K una funcin analtica denida sobre el cuerpo K, ysea H : V V un endomorsmo denido sobre un Kespacio vectorial V . Entonces,denimos la funcin del endomorsmo H como el Kendomorsmo denido por laserie:

f (H) =

k=0

f (k)(0)

k!Hk Hk := H

k . . . H (1)

En esta prctica trataremos, entre otras cosas, la funcin exponencial de una matriz

A que representa un endomorsmo en una base dada,

exp(A) =

k=0

Ak

k!= 1 + A+

A2

2+A3

6+ (2)

1.2. Convergencia de la serie. Es importante destacar que la convergencia delas series vistas implican que los trminos de la misma decrecen. Slo as puede

entenderse que la contribucin de innitos trminos se combine en un resultado nito.

Para poder considerar ese decrecimiento en el caso de las matrices, sin pasar por el

clculo de los autovalores y la forma cannica, necesitamos considerar una norma

sobre el conjunto. Es decir, necesitamos una forma de medir o pesar el efecto de

cada trmino en la suma de la serie.1

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Denicin 1.2. Denominaremos norma de una matriz a cualquier aplicacin

: Mn(K) Rque satisfaga las siguientes propiedades:

1. A 0 para cualquier A Mn(K). A = 0 slo ocurre para la matriz nula.2. A = ||A, A Mn(K). A = 0 y para cualquier K.3. A+ B A+ B, para cualesquiera dos matrices A,B Mn(K).

Las tres propiedades anteriores caracterizan una norma en cualquier espacio vectorial.

En el caso de las matrices, adems, se suele exigir una condicin adicional, para tener

en cuenta el producto (recordemos que esa es una estructura adicional que no existe

en todos los espacios vectoriales). Exigiremos entonces que:

4 AB AB, para cualesquiera dos matrices A,B Mn(K).Aunque hay muchas posibles normas, vamos a considerar slo la denominada norma

de Frobenius. Si consideramos el isomorsmo:

: Mn(K) Kn2

; A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...

an1 an2 . . . ann

(A) =

a11a12...

a1na21...

an1. . .

ann

(3)

podemos considerar, para las matrices, la norma que podemos denir sobre Kn, em-pleando las estructuras cannicas que hemos visto:

v1|v21 =k

v k1 vk2

si K = R ov1|v21 =

k

v k1 vk2

si K = C.Denicin 1.3. Sea A Mn(K) una matriz cuadrada. Denemos su norma AFcomo:

AF =

n2k=1

(A)2k , (4)

donce (A)k representa la ksima componente del vector (A) denido por la ecua-

cin (3). Es inmediato vericar que

AF =

tr(AA), (5)

Denominaremos a esta norma la norma de Frobenius o la norma de Hilbert-Schmidtde la matriz A.

Respecto a cualquiera de estas normas, puede verse que los trminos obtenidos

en la serie de la ecuacin (2), son ms pequeos conforme avanzamos en la serie, es

PRCTICA 3: FUNCIONES DE UN OPERADOR 3

decir

lmk

(exp(A)]k+1 (exp(A))k = 0, (6)

donde representamos por exp(A)k la serie (2) truncada a orden k , es decir

exp(A)k =

kj=0

Aj

j!(7)

2. Clculo numrico de la exponencial de una matriz

Adems de las funciones implementadas en Octave, nos proponemos evaluar la

exponencial de una matriz a partir de la denicin como una serie de potencias. Al

tratarse de una evaluacin en el ordenador no podemos considerar series innitas, por

lo que deberemos considerar series truncadas en la forma 7.

Si calculamos la expresin anterior para un valor de k N sucientemente alto,la aproximacin a la matriz exacta ser razonable. Para ponderar esa aproximacin

emplearemos la norma que hemos considerado en la seccin 1.2: si jamos como el

valor (pequeo) que consideramos aceptable como error (en norma) en la obtencin de

la exponencial necesitamos determinar el mnimo valor de k que satisface la ecuacin

d = exp(A) exp(A)k < , (8)

donde exp(A) es la expresin de la exponencial de la matriz calculada en base de

autovalores o mediante la funcin disponible en Octave, y d es calculada usando la

norma de Frobenius:

d =

Tr ((exp(A) exp(A)k)(exp(A) exp(A)k)) < (9)

Por consiguiente, para aproximar la exponencial de una matriz por una serie trun-

cada, el algoritmo a implementar sera el siguiente:

A) Partimos de la matriz a exponenciar y el valor de la tolerancia que aceptamos

en la aproximacin del clculo

B) se construyen las sucesivas potencias de la matriz, y se calcula la correspon-

diente serie

exp(A)k =

kj=0

Aj

j!

C) empleando la serie con un valor de k y el valor exacto determinamos

d = exp(A) exp(A)k.

D) cuando el error calculado est por debajo de la tolerancia (), el programa

devuelve el valor de la exponencial aproximada hasta el valor de k que se ha

determinado.

3. Sistema de osciladores acoplados: modos normales

Vamos a considerar ahora, como aplicacin en Fsica de la teora anterior, un meca-

nismo para calcular, de manera aproximada, la evolucin de un sistema de osciladores

armnicos en una dimensin, acoplados entre s.

Sea entonces un conjunto de N osciladores armnicos en una dimensin acoplados

entre s, con longitudes naturales iguales a d . La posicin de equilibrio de la masa mj

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ser pues el punto x = jd . Representemos con la variable {xj}j=1,N el desplazamientode cada una de las masas {mj} respecto a su posicin de equilibrio .

En el caso en que N = 3 encontramos:

Vamos a considerar el caso simple de tres partculas unidas por muelles de la misma

constante k . Si estudiamos las fuerzas que actan sobre cada una de ellas, y escribimos

la segunda ley de Newton encontraremos que:

m1x1 = kx1 k(x1 x2) (10)m2x2 = k(x2 x1) k(x2 x3) (11)m3x3 = k(x3 x2) kx3 (12)

Podemos escribir esta ecuacin diferencial en forma matricial:

X(t) = A3X(t), (13)

donde el vector X est formado por las posiciones de las 3 partculas

X =

x1x2x3

, (14)y la matriz A3 toma la forma

A3 =

2 km1 km1 0 km2 2 km2 km20 km3 2

km3

(15)Si denimos las frecuencias

1 =

k

m1; 2 =

k

m2; 3 =

k

m3, (16)

podemos escribir:

PRCTICA 3: FUNCIONES DE UN OPERADOR 5

A3 =

221 21 022 222 220 23 223

(17)Es sencillo vericar que los vectores

X(t) = e iA3tXa + e

iA3tXb, (18)

dondeA3 es la raiz cuadrada de la matriz A3, sern soluciones de la ecuacin diferen-

cial con unas condiciones iniciales dadas si escogemos adecuadamente las constantes

de integracin Xa y Xb. Efectivamente, si sabemos las condiciones iniciales de nuestro

sistema son

X(0) =

x1(0)x2(0)x3(0)

X(0) =x1(0)x2(0)x3(0)

(19)podemos determinar Xa y Xb imponiendo que

X(t = 0) = Xa +Xb = X(0) (20)

y quedX(t)

dt

t=0

= iA3(Xa Xb) = X(0) (21)

Esto nos da un sistema de 2N ecuaciones con 2N incgnitas, cuyas soluciones deter-

minan los valores adecuados de las constantes Xa y Xb.

Si generalizamos la ecuacin al caso en que tenemos N partculas, encontramos un

sistema de ecuaciones de movimiento en la forma

X = AX (22)

donde

X =

x1x2...

xN

(23)y la matriz que dene el sistema toma la forma

A =

221 21 0 0 0 022 222 22 0 0 0

0 23 223 23 0 0...

......

......

......

0 0 0 0 2N 22N

(24)con

2j =k

mjj = 1, , N (25)

De nuevo las soluciones de la ecuacin (22) se pueden escribir de la forma

X(t) = e iAtXa + e

iAtXb, (26)

done Xa y Xb son puntos en RN , que quedan determinadas por las condiciones inicialesdel problema y de nuevo

A representa la raz cuadrada de la matriz A. Para calcular

A, pasaremos por diagonalizar A, como visto en clase.

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Denicin 3.1. Se denominan modos normales de vibracin a los vectores propios{uj}j = 1, , N de la matriz

A. Los autovalores correspondientes j reciben el

nombre de frecuencias naturales o frecuencias resonantes del sistema.En la base de modos normales, por tanto, la expresin de la matriz A es de la forma

A =

21 0 0 0 0 00 22 0 0 0 0...

......

......

......

0 0 0 0 0 2N

(27)Los modos normales son soluciones de la dinmica del sistema en la cual las par-

tculas se mueven simultneamente y de forma peridica. Desde un punto de vista

prctico, los modos normales resultan de gran importancia en muchas reas de la

Fsica como resultar evidente a lo largo de vuestros estudios.

4. Practica

Durante la prctica pretendemos trabajar en dos reas:

En primer lugar, se debe prepara un cdigo que construya las soluciones del

sistema dinmico calculando la expresin (26). Para ello, adems de otras

tareas, se deber:

1. Preparar un cdigo que genere la matriz A (es decir, la expresin (24))

una vez especicados el nmero de masas N, el valor de la constante de

los muelles k y la masa de cada partcula {mj}j=1, ,N .2. Determinar la raz cuadrada de la matriz A (SIN usar la funcin de Octave

(sqrtm()))

3. Determinar las expresiones de Xa y Xb para que el sistema tenga unas

condiciones iniciales dadas (Ecs. (20) y (21)).

4. calcular las matrices exponenciales e iAt y ei

At considerando que ten-

dremos que evaluar t para una serie de valores (para describir una trayec-

toria).

5. Con los valores anteriores de Xa y Xb, determinar, usando la ecuacin (26),

los valores de las posiciones para cualquier instante de tiempo. Almacenar

la evolucin temporal en una matriz sol(j,t) de dimension N nt , dondent es el nmero de tiempos considerados. En la prctica se tendrn que

representar las trayectorias correspondientes.

Adems queremos ver cmo de rpida es la convergencia de la serie de po-

tencias que dene la exponencial. Para ello vamos a considerar la distancia

entre las exponenciales de las matrices calculadas a partir de la norma de la

diferencia como se ha explicado en la Seccin 2.