Practica 5

Transformada Z en MatlabReyes López Misael, González Arevalo Elfrich, Ruiz Pérez Christian

(christianjord@hotmail.com).

ResumenCon la ayuda de los comandos TF2ZP, ZP2SOS y ZPLANE de Matlab, se pueden

evaluar rapidamente parametros, valores de los polos y ceros de la transformada Z, asicomo la graficación de los mismos en el plano Z.

IntroducciónPrimero con el comando TF2ZP convertimos la funcion de transferencia a polos y

ceros, posteriormente con ZP2SOS estos nuevos valores se convierten en un modelode segundo orden para que finalmente con ZPLANE, después de encontrar los polos yceros de una trasformada-z, se pueden graficar en el plano-z. El plano-z es un planocomplejo con ejes reales e imaginarios para la variable compleja de z. La posición delplano complejo es dada por reiθ y el ángulo se da del lado positivo del eje real del planoy se escribe θ. Al graficar los polos y ceros, los polos son mostrados con "x" y los ceroscon "o".

Problema 1Sea la transformada z.

el diagrama de polos y ceros puede ser obtenido con la funcion zplane. Mientras que

la funcion tf2zp es utilizada para determinar los ceros y polos de la transformada enformato

racional.

Escriba una funcion en Matlab para calcular y desplegar los polos y ceros, paracalcular y desplegar la forma factorizada (se recomienda utilizar la funcion zp2sos).

Pruebe el programa para varias transformadas z.

Código

function y=Prac5_1(NUM,DEN)[Z,P,K]=TF2ZP(NUM,DEN)[SOS,G] = ZP2SOS(Z,P,K)zplane(Z,P);

Ejemplos

a) num=[1 0]; den=[1 -2]; prac5_1(num,den). Z = 0 , P = 2

b) num=[1 0]; den=[1 -1]; prac5_1(num,den).

Z = 0; P = 1; K = 1; SOS = 1 0 0 1 -1 0; G = 1

c) num=[1 4 3]; den=[1 2 -8 0]; prac5_1(num,den)

Z = -3, -1; P = 0, -4, 2;K = 1; SOS = 0 1 0 1 4 0 1 4 3 1 -2 0; G = 1;

Problema 2De los polos y ceros generados en la pregunta anterior, determine las regiones de

convergencia de las transformadas e indique explicitamente todas las posibles ROCs.De los diagramas de polos y ceros se puede determinar el tipo de secuencia

original? Sí, siempre y cuando los ceros y polos sean simples.Para el inciso a) tenemos que nuestra función es:

zz − 2

= 11 − 2z−1 ROC: |2z−1|< 1 |z|> 2

Diagrama de polos y ceros para a)

ROC |z|>2

Para el inciso b) tenemos que nuestra función es:

z2 + 4z + 3z3 + 2z2 − 8z

= 11 − z−1 ROC: |z−1|< 1 |z|> 1

Diagrama de polos y ceros para b)ROC |z|>1

Por último para el inciso c) tenemos que nuestra función es:

z2 + 4z + 3z3 + 2z2 − 8z

= 184 + z

− 542 − z

− 38z

z2 + 4z + 3z3 + 2z2 − 8z

= 1321 + 1/4z

− 581 − 0. 5z

− 38z

Por lo tanto nuestra ROC general será la intersección de todas las ROC presentes,hay que tomar en cuenta que para el último término existe un δn desplazado por loque su ROC es todo el plano Z excepto z=0.

ROC: |−0. 25z|< 1 − |0. 5z|< 1 − z = 0

|z|> 4 ∧ |z|< 2 ∧ z ≠ 0 2 < |z|< 4

Diagrama de polos y ceros para c.ROC: 2< |z|<4

Conclusiones

Gracias a las funciones TF2ZP, ZP2SOS y ZPLANE es muy fácil conocer toda lainformación que representa a una señal. Con sólo incluir los valores de los coeficientesde cada Z, se pueden conocer cada uno de sus polos y ceros y obtener unarepresentación gráfica de ello, con lo cual podemos recuperar nuestra señal particularen tiempo discreto dada por esos ceros y polos.

Bilbliografía.TRATAMIENTO DIGITAL DE SEÑALESPROAKIS, JOHN G. \ MANOLAKIS DIMITRIS G.1998