practicas dirigidas

8/18/2019 PRACTICAS DIRIGIDAS

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Universidad Nacional de Ingeniería

Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica

PRIMERA PRÁCTICA DIRIGIDA DE MATE V

Problema N°1

Encuentra la ecuación de la parábola con foco ycuya directriz es la recta

Solución:

Por definición de la parábola: || ⌈⌉ → 1 1 | |√ 2 Elevando al cuadrado:


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→ 2 2 2 22 Pasando a un solo miembro:

→ 2 4 4 4 0 Luego pasando a ̅:

→ ̅2 ̅2 2 ̅2 ̅2 4 ̅2 4 ̅2 4 0

→ ̅

̅

2 2 ̅ 2 ̅ 4 0

Problema N° 2

Haga una crítica al razonamiento siguiente:

. √

Solución:

De la propiedad sabemos: De donde

-1 = 1

Lo que es una contradicción, ¿dónde está el error?, la operación de multiplicación

de números complejos

√ √ es falsa.


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PROBLEMA 6

Demuestre que las raíces de la ecuación z4 + 2z2+1 son las raíces cuartas

primitivas de la unidad.

Solución:

z4 + 2z2+1 =0

(z2+1)2=0 z2+1 =0

z = i (multiplidad 2) y –i (multiplicidad 2)

Se sabe: Las raíces primitivas de la unidad son todos los números complejos que

dan 1 cuando son elevados a la potencia n.

zn= 1

Se llama raíces n-ésimas de la unidad

Del problema

z4 = (-i)4 =1

z4 = (i)4 =1

Entonces son raíces cuartas de la unidad.


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PROBLEMA N°9

Si || son funciones enteras, entonces demuestre que es una función constante

Solución:

Obs: una función es entera cuando es analítica en todo el plano complejo

Sea: , , … 1 → | | , , …….2 De las ecuaciones es de Cauchy-Riemman en (1)

………3 …. .4 De las ecuaciones es de Cauchy-Riemman en (2)

√ 0

→ 2 2√ 0 …….5


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√ 0

→ 2 2√ 0 …. .6 Igualando (3) y (5):

→ Igualando (3) y (6):

→

∴ , PROBLEMA N°10

Si la función compleja : → / , definida por ||. Dibuje las regiones del planocomplejo donde la función

es analítica.

Solución:


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Analizando en y : 2

Luego de las ecuaciones de Cauchy-Riemman:

→ 2 ∴ 2 2

→

2

∴ 2 2 En conclusión es analítica en Y Analizando en y :

2 Luego de las ecuaciones de Cauchy-Riemman:

→ 2


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∴ 2 ≠ 2

→ 2 ∴ 2 ≠ 2 En conclusión es analítica en Y Graficando :

PROBLEMA Nº 17

Encuentre si es que existen funciones armónicas de la forma siguiente: ∅ Solución:

Si es armónica debe cumplir la ecuación de Laplace: 0

→

22

→ 1 12 . 2 / /


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→ 22

→ 1 12 . 2 / / Luego sumando las segundas derivadas:

/ / 1 Entonces la función no es armónica

PROBLEMA 14Demuestre que la Ecuación de Laplace =0Puede escribirse de la forma

=0

Solución

=0 ̅ =0z = x + yi

= 1 = i̅ =x – yi ̅ = 1 ̅ = -i

=

+

̅ ̅ =

+

̅ Entonces

=

+

̅

= ̅ ̅ = i( - ̅ ) Entonces = - ̅)i


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= ( ) = + ̅ = + ̅ + ̅( + ̅) = +2 ̅ +´ ̅ …… [I] = ( ) = - ̅)i= ̅i + ̅ - ̅)i = +2 ̅ -´ ̅ …… [II]Sumando I y II

+ = 4 ̅ Sabemos por ecuación de Laplace =0 = + Entonces 4

̅ =0

PROBLEMA N° 18

Halle el error en el siguiente argumento:

→ 2 ln 2 ln → ln ln. Fundamente surespuesta

Solución:

Hacemos || → ||+−

En polares:


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≠ Ya que

||+− ≠ || Luego cuando tomamos logaritmo:2 ln ≠ 2 ln 2 ln(||) ≠ 2ln||+−

Como ya se dijo en la solución de la pregunta 2, los números complejos dependen

de un módulo y un argumento, dos números podrán ser el mismo en modulo pero

los argumentos irán variando eso es lo que los hace diferentes

PROBLEMA N° 25

Un conductor eléctrico en forma de tubo de radio unitario

se divide en dos mitades mediante unas ranuras de

anchura infinitesimal. La parte superior del tubo , < ∅ < se mantiene a un potencial eléctrico de 1voltio y la parte inferior , < ∅ < 2 se encuentraa -1 voltio. Determine el potencial en un punto

cualquiera , del interior del tubo. Suponga que eltubo contiene un material dieléctrico

Solución:

nos encontramos frente a un problema de Dirichlet


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PROBLEMA Nº 26

Resolver Solución:

Sea: Otra expresión de cos cosh ℎ Entonces en la ecuación: cos cosh ℎ

cos cosh 0… . 1

ℎ 1 … . 2

De (1)

Como: cosh > 0 → → cos 0 → 2 2 1, 1,2,3 …

De (2)

Como:

1, cuando n es impar

→ ℎ 1

→ ℎ1 Como: 1, cuando n es par → ℎ 1

→ ℎ1 ∴ {2 2 1 ℎ1,

2 2 1 ℎ1,


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PROBLEMA N° 29

Resolver la ecuación senz = 2 a través de los siguientes procedimientos.

a)

Identificando partes reales e imaginariasb) Usando la fórmula sen-1z

Solución

29.a. Identificando partes reales e imaginarias

Sabemos

senz = senxcoshy + i

senhycosx

Senz = 2 + i.0

Igualando las partes reales e imaginarias

senxcoshy = 2

∧ senhycosx = 0

coshy

≠0 y senx

≠ 0

Siempre se cumple x≠n Senhycosx =0

Senhy =0 , y =0

0


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29.b Usando la fórmula sen-1z

senz =2arcsen(2) =z

Sabemos por fórmula √ 1 2)] =i[ln(2i + √ 3)] =z= arcsen2 =i[ln(2i +-iln[(2+√ 3)i]zn= 2+√ 3 =75° =5/12 , r = 2+√ 3 Ln[(2+√ 3)i] = Ln[(2+√ 3) + i5/12 +i2k ]z= i[Ln[(2+

√ 3) +i(5

/12 + 2k

)]

Finalmente

z = [5/12 + 2k ] +i[1.3164]PROBLEMA N° 30

Halle y grafique las regiones del plano complejo de la faja

≤

x

≤

Donde la función definida f por f(z) = |cosxcoshy|+i|senxsenhy| es analítica .

Fundamente su respuesta.

Solución

Cosx>0 ,Ademáscoshy>0

f(z) = |cosxcoshy|+|senxsenhy|i

Además sabemos que f(z) = U(x,y) + iV(x,y)

Para que sea analítica de debe cumplir

arcsenz =i[ln(iz +

√ 1 )]

= =


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= -senxcoshy =|senxcoshy| , donde senxcoshy0 ,entoncessenx0 ∧ 0


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Uxx = ( Ur ) = )( ) = Urr

Además por Cauchy – Riennman

Urr = 22 +´6rcos +2Ur = 42 +3cos +2r +Cf ´(0) = 0

U(r, ) = 4 +cos3 +r2cos2 +CComo f (0) = 1 , Entonces C =1

U(r,

) =

4 +

cos

3 +r2cos

2 +1

Para r>z 0 f(z) = z4 + z3 + z2 + 1

PROBLEMA N° 51

Determine la conjugada armónica de la función armónica de la forma U

=φ(x2+y2)

Solución

Como U =φ(x2+y2)

Hacemos t = x2+y2 , Entonces tx=2x , txx=2

ty=2y , tyy=2

Luego−+tyy+ = −++ = −+ =


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SEGUNDA PRÁCTICA DIRIGIDA DE MATE V

Solución:

… … . . → … .

−

…….

− − ….

Reemplazando

,

Finalmente la integral resulta

Problema N° 1

Calcule ∮ (+) ,: || .Siendo el sentido deintegración el anti horario.


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Solución:

cos cos2 ⋯ cos10 ̅= Sabemos que que cos, cos2, … , cos10 Además son funciones analíticas:

cos cos2 ⋯ cos10 0 Luego: ̅ 10 ̅=

Aplicando el teorema de Green en complejos:

Problema N° 2

Evaluarla siguiente integral

∮ ,siendo

∑

+

+

= , en

∪ ∪ . es el segmento de recta que une el punto , con el punto √ , √ , es un arco de circunferencia cuyo centro es el origen de coordenadas y uneel punto √ , √ con el punto −√ , √ y es el segmento de recta que une el punto−√ , √ con el origen de coordenadas. El sentido de integración es antihorario.


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1 3 14 . 1− 1 174 . 11 1

Luego para que la serie converja:

13 < 1 → | 1| < 3 | 1| < 1 Entonces radio de convergencia: | 1| < 1 Luego:

1 3 14 . 1− 1 174 . 11 1 1 3 14 . 1 13

∞= 174 . 1

∞=

1 3 1

4

1

3 17

4 1∞

=

| 1| < 1 Problema N° 10

Encuentre el desarrollo de Laurent de la función : → tal que +− Solución:

1 1 3 1 310 . 1 1 1 310 . 1 3


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→ 1 310 . 1 1 1 3 103 . 11 Luego para la convergencia:

3 < 1 → || < 3 || < 1 → || < 1 Luego:

1 310

. 1∞=

1 3 103

. 3

∞=

[ 1 3 10 . 1 1 3 103 . 13] ∞=

Solución:

1∝ 2∝ ∝cos2 Hacemos:

∝ , ∝ ,2 → 2

PROBLEMA N° 17

Sean

∝ números positivos distintos.

Pruebe que ∫ ∝+


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Reemplazando en :

1

cos

2 cos … 2 Luego por teorema de Poisson en un disco:

() 12 ( ∅)∅ 2∅ En el problema:

1, , 2 , → 1 12 .1 .∅ ∅ → ∅ ∅ 2

Luego comparando en

:

2 cos 2 2√ 4 ∝ ∝ 4 4 2


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Problema 18

Sea y ; ; ….. Calcule la siguiente integral ∫ Solución:

Piden: ∫ … . .1 Sabemos: cos + Entonces:

+

Luego:

Usando el binomio de Newton:

∑ ()−= …….. (I) En (I):

−

2 12 2 −− 2 −== Desarrollando el binomio tendremos:

2 cos2 21 cos(2 2) 22 cos(2 4)

⋯ … . 2 2 cos4 2 1 cos2} 2

Al integrar como la función cos2 ; 1, 2,3…, es integrada en su periodo: → cos2 0, 1,2,3..

Luego:


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12 cos2

= 12 2

→ 2 . 2 2!! ! . 12 . 2 PROBLEMA Nº25

Halle la imagen de la faja semiinfinita de la banda infinita definida por : ≥ ≤ ≤ , bajo la transformación:a) cosh b) √ √ cosh 1 Solución:

a) Transformando ℎ

Escriba aquí la ecuación.

ENTONCES

b)

Transformando √ √ cosh 1 Rotamos:

1√ 2 √ 2 cosh


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Trasladamos:

1√ 2 √ 2 cosh 1

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