Oddelek za fiziko

Seminar - 4. letnik

Prakticna implementacija kvantnegaracunalnika

Avtor: Simon Jesenko

Mentor: dr. Marko Znidaric

23. november 2009

Povzetek

V seminarju so predstavljeni osnovni kriteriji, ki jih mora izpolnjevati potencialnikvantni racunalnik, s katerim bo mogoce izvajati prakticno uporabne izracune. Vnadaljevanju je opisanih je tudi nekaj najbolj zanimivih in obetavnih predlogov zarealizacijo kvantega racunalnika. Posebej so izpostavljeni NMR racunalnik, ionskepasti ter polprevodniski kvantni racunalnik. Za opisane predloge so predstavljeni tudipretekli eksperimentalni dosezki.

Kazalo

1 Uvod 2

2 Pogoji za prakticen kvantni racunalnik 32.1 Razsirljiv fizikalni sistem z dobro dolocenimi kubiti . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Moznost nastavljanja kubitov na enostavno zacetno stanje . . . . . . . . . . 32.3 Dekoherencni casi veliko daljsi kot casi izvajanja vrat . . . . . . . . . . . . . 42.4 Univerzalni nabor kvantnih vrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.5 Moznost meritve posameznega kubita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Eksperimentalne izvedbe in predlogi 53.1 Jedrska magnetna resonanca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Ionske pasti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Polprevodniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3.1 Spini v polprevodnikih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3.2 Kvantne pike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.4 Ostali predlogi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Zakljucek 15

1

1 Uvod

Kvantni racunalniki izkoriscajo osnovne kvantne zakonitosti za obdelavo informacij, kar jih vosnovi loci od klasicnih racunalnikov, ki so v uporabi danes. Obdelavo informacij na klasicnihdigitalnih racunalnih lahko v celoti opisemo z uporabo klasicne fizike. Ker klasicna mehanikapredstavlja le posebno limito kvantne mehanike lahko sklepamo, da so kvantni racunalnikinajmanj tako zmogljivi kot klasicni.

Idejo o uporabi kvantnega racunalnika je populariziral Richard Feynman leta 1981[1].Predstavil je preprost model kvantnega racunalnika, ki bi omogocal ucinkovito simulacijokvantih sistemov, kar na klasicnem racunalniku izgleda dokaj nemogoca naloga. Leta 1985je David Deutsch [2] postavil model kvantnega Turingovega stroja, ki zajame vse racunskezmoznosti poljubnega kvantnega racunalnika, in tako predstavlja osnovo za matematicnoobravnavo lastnosti kvantnega racunalnika.

Zanimanje za kvantno racunalnistvo se je izrazito povecalo skoraj desetletje kasneje, koje leta 1994 Peter Shor objavil ucinkovit kvantni algoritem za faktorizacijo velikih stevil[3]. Faktorizacija velikih stevil je osnova za mnozico kriptografskih sistemov. Na klasicnemracunalniku namrec ne poznamo algoritma, ki bi faktorizacijo opravil v doglednem casu.Potreben cas za faktorizacijo stevila, zapisanega z n biti, raste prakticno eksponentno (t ∼en). Prav eksponentna casovna odvisnost algoritma omogoca uporabo faktorizacije v krip-tografiji. Pri kvantnem algoritmu pa potreben cas raste samo polinomsko (t ∼ np). Sprakticno implementacijo dovolj zmoglivega kvantnega racunalnika bi lahko tako kodiranasporocila enostavno odkodirali. Kasneje so odkrili se nekaj algoritmov, pri katerih pride dopohitritve napram klasicnim algoritmom, bolj znan je Groverjev algoritem za iskanje po bazi[4], kjer celoten seznam z n elementi prescemo v

√n korakih, kar je seveda zelo neintuitivno,

klasicno moramo namrec preveriti vsak element posebej.Kaksne pohitritve klasicnih algoritmov so mozne na kvantnih racunalnikih zaenkrat se

ni znano, kar tudi ni presenetljivo, saj tudi same teoreticne omejitve algoritmov na klasicnihracunalnikih niso znane (problem P=NP1). Na podlagi odkritih kvantnih algoritmov pa lahkosklepamo, da dolocene probleme lahko izracunamo z eksponentno pohitritvijo, nekatere z boljzmerno pohitritvijo, pri nekaterih pa do pohitritve ne pride. Zaenkrat ne poznamo velikoprakticno uporabnih kvantnih algoritmov, kar pa seveda ne pomeni da ne obstajajo. Razvojkvantnih algoritmov je namrec mnogo bolj neintuitiven kot pa razvoj klasicnih algoritmov.Z razvojem ustreznih metod in teoreticnih orodji pa bi se situacija seveda lahko spremenila.

Vzporedno z teoreticnimi osnovami kvantnega racunalnistva so se razvijali tudi razlicnipredlogi za prakticno implementacijo kvantnega racunalnika. V nadaljevanju si bomo ogledali,katerim kriterijem mora ustrezati potencialni fizikalni sistem, s katerim bi lahko realiziralikvantni racunalnik. Predstavil bom tudi trenutno najbolj obetavne predloge in eksperimen-talne dosezke.

1“P = NP” je vprasanje razmerja med razredoma racunske zahtevnosti P in NP in je eno najpomembnejsihvprasanj teoreticnega racunalnistva oz. teorije izracunljivosti.

2

2 Pogoji za prakticen kvantni racunalnik

Kriterije, ki se danes standardno uporabljajo za primerjavo razlicnih predlogov za kvantniracunalnik, je v letu 2000 strnil IBM-ov raziskovalec David P. DiVincenzo [5]. Za uporabenkvantni racunalnik, ki je dovolj zmogliv, da z uporabo kvantnih algoritmov lahko presezezmogljivosti klasicnega racunalnika pri dolocenih problemih, morajo biti izpolnjeni vsi Di-Vincenzovi kriteriji.

2.1 Razsirljiv fizikalni sistem z dobro dolocenimi kubiti

Fizikalni sistem, s katerim poskusamo napraviti kvantni racunalnik, mora imeti dobro doloceneosnovne nosilce informacije, kubite. Kubit je analogen bitu v klasicnem racunalniku, pred-stavlja pa ga poljubni dvonivojski kvantni sistem. Poznamo mnozico dvonivojskih kvantnihsistemov, kot na primer dve spinski stanji delca z spinom 1/2, osnovno in vzbujeno stanjeatoma, ali dve polarizaciji fotona. Posamezni stanji dvonivojskega sistema oznacimo kot |0〉in |1〉, kar spominja na binarno naravo klasicnega bita, vendar mozno stanje posameznegakubita ni samo 0 ali 1. Poljubno stanje kubita zapisemo kot

|ψ〉 = a |0〉+ b |1〉 , |a|2 + |b|2 = 1, (1)

kjer sta a in b kompleksni stevili. Splosno stanje sistema z dvema kubitoma je doloceno sstirimi kompleksnimi stevili, a |00〉+b |01〉+c |10〉+d |11〉. Za opis splosnega stanja n kubitovtako rabimo 2n kompleksnih stevil, n takih kubitov pa imenujemo kvantni register.

Dobra dolocenost kubitov je pogojena z vecimi faktorji. Dobro moramo poznati karakter-istike posameznega kubita, kar vkljucuje energijski spekter samega kubita, kot tudi njegovointerakcijo z okoljem in ostalimi kubiti. Za kubit niso primerni samo dvonivojski sistemi, am-pak lahko uporabimo tudi vecnivojske sisteme, v kolikor je verjetnost za zasedenost ostalihstanj zelo majhna.

Kvantni sistem mora biti tudi enostavno razsirljiv. Mogoce mora biti povecevanje stevilakubitov v sistemu, saj le to predstavlja glavni faktor pri zmogljivosti kvantnega racunalnika.Stevilo kubitov, ki bi jih moral imeti kvantni racunalnik, s katerim bi hoteli dekodiratiobicajni privatni kljuc v RSA kriptografiji s pomocjo Shorovega algoritma, ima spodnjomejo n ∼ 104. Za nekatere druge aplikacije (simulacija kvantnih sistemov, ipd.) bi sicerzadoscali ze sistemi z nekoliko manjsim stevilom kubitov (n ∼ 102).

2.2 Moznost nastavljanja kubitov na enostavno zacetno stanje

Dani pogoj je enostavna posledica dejstva, da moramo kvantni register pred zacetkomvsakega izracuna postaviti na znano zacetno stanje, obicajno kar na |000...〉. Pogoj sledi tudiiz dejstva, da se bodo prakticne implementacije kvantnega racunalnika morale posluzevatialgoritma za popravljanje napak (quantum error correction)[6]. S takim algoritmom lahko vkvantnem racunalniku odpravljamo napake zaradi dekoherence, dodatnih stanj na na kubitihin ostalih motenj. Brez sprotnega odpravljanja napak bolj obsezni kvantni izracuni ne bodomogoci, dolocenim napakam se pac ne moremo izogniti. Algoritem za popravljanje napak pa

3

potrebuje sprotno inicializacijo kubitov na enostavno stanje (npr. |0〉). Medtem ko zacetnainicializacija registra ne predstavlja vecjih tezav pri mnogih predlogih za kvantni racunalnik,pa vmesno ponastavljanje kubitov ni enostavna naloga. Za nastavitev zacetnega stanjanamrec ni casovnih omejitev, in ponavadi zadosca ze ohlajanje sistema, kar nas pripelje donajnizjega energijskega stanja. Za uspesnost popravljanja napak pa mora biti cas ponastavl-janja kubitov primerljiv s casom izvajanja posamezne operacije na kvantnih vratih. V kolikorustrezni casi ponastavljanja ne bodo dosegljivi, obstaja teoreticna moznost inicializacije ku-bitov v locenem bazenu, le te pa nato po potrebi dovajamo v racunski del racunalnika.

2.3 Dekoherencni casi veliko daljsi kot casi izvajanja vrat

Zaradi interakcije z okoljem se cista kvantna stanja kubita ne ohranjajo, ampak prej koslej preidejo v neko statisticno mesanico cistih stanj. Tako se neko splosno stanje |ψ〉 =a |0〉+ b |1〉 v dolocenem casu pretvori v statisticno mesanico, ki jo opisuje gostotna matrikaρ = |a|2 |0〉 〈0| + |b|2 |1〉 〈1|. To je seveda zelo poenostavljena slika samega procesa deko-herence, dejansko prihaja tudi do korelacij med sosednjimi kubiti, prav tako pa je hitrostdekoherence odvisna od izbranega zacetnega stanja. Dekoherenca sama predstavlja osnovnimehanizem, ki vodi v klasicno limito kvantne mehanike, in je do dolocene mere neizogibna.Brez uporabe algoritma za popravljanje napak bi morali biti vsi dekoherencni casi tako dolgi,kot bi trajalo poljubno izvajanje algoritma. Zato bi se potreben dekoherencni cas poveceval zvelikostjo problema, ki ga resujemo na kvantnem racunalniku. Kvantni algoritem za popravl-janje napak nam omogoci sprotno odpravljanje napak, zato mora biti dekoherencni cas ku-bita primerljiv z razmakom med zaporednima izvedbama popravljanja napak. Trenutno jepotreben dekoherencni cas ocenjen na 104 − 105 kratnik casa, ki je potreben za posameznooperacijo kvantnih vrat. Negativna stran popravljanja napak pa je povecanja stevila kubitov,ki so potrebni za izbrani algoritem. Vsak kubit namrec potrebuje priblizno se 10 pomoznihkubitov. Na sreco se relativno stevilo pomoznih kubitov ob vecanju stevila racunskih kubitovveca samo logaritemsko, tako da se z vecanjem zmoglivosti kvantnega racunalnika relativnidelez pomoznih kubitov zmanjsuje.

2.4 Univerzalni nabor kvantnih vrat

Kvantna vrata predstavljajo operatorje, s katerimi delujemo na kvantni register, in so analognelogicnim vratom v klasicnem racunalniku. Vrata v kvantnem racunalniku prestavljajo uni-tarne transformacije U1, U2, U3,..., vsaka izmed teh operacij pa deluje na izbrane kubitein tako transformira stanje kvantnega registra v neko novo stanje |ψ′〉 = U |ψ〉. Izvajanjepoljubne unitarne transformacije v praksi izgleda dokaj nemogoca naloga, vendar se izkaze,da lahko priblizek poljubne transformacije zapisemo kot produkt koncnega stevila posebejizbranih operacij, U ≈

∏i Ui. Univerzalni nabor kvantnih vrat sestoji iz tako izbranih op-

eracij. Tudi v klasicnem racunalniku obstaja tak univerzalni nabor vrat, z operacijamaNAND in NOR namrec lahko zapisemo poljubno logicno operacijo. Primer univerzalneganabora kvantnih vrat pa predstavljajo Hadamardova vrata (H), fazna vrata R(φ/4), in kon-

4

trolirana NOT (CNOT) vrata, ki se v matricni obliki za bazo {|0〉 , |1〉} zapisejo kot

H =1√2

[1 11 −1

], R(θ) =

[1 00 eiθ

], CNOT =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

(2)

Prakticno izvedbo dolocene unitarne transformacije najlaze ponazorimo z identifikacijoustreznih Hamiltonianov, ki generirajo dana vrata,

U1 = eiH1t/~, U2 = eiH2t/~, ... (3)

Kvantni racunalnik mora omogocati vklop motnje v obliki zgornjih Hamiltonianov na izbranihkubitih za dolocen cas t, kar izvede ustrezno operacijo na registru. V praksi seveda nemoremo enostavno vklapljati in izklapljati poljubnih Hamiltonianov na sistemu, mozne op-eracije nam v celoti dolocajo interakcije med kubiti in interakcija le teh z okoljem. Pravtako ni realisticna predpostavka, da posamezne Hamiltoniane sunkovito vkljucimo za izbrancas t, taka sunkovita sprememba Hamiltoniana namrec lahko vzbudi tudi visje lezeca stanjasistema. Zato je potrebno ustrezni Hamiltonian vklopiti in izklopiti pocasi, kar seveda dolocanajmanjsi cas izvajanja posamezne operacije na kubitih.

2.5 Moznost meritve posameznega kubita

Po koncanem izracunu moramo prebrati stanje kvantnega registra, ki predstavlja zeljenoresitev problema. Idealna meritev v bazi {|0〉 , |1〉} mora za kubit z gostotno matriko

ρ = p |0〉 〈0|+ (1− p) |1〉 〈1|+ α |0〉 〈1|+ α∗ |1〉 〈0| (4)

vrniti 0 z verjetnostjo p, in 1 z verjetnostjo 1−p, ne glede na vrednost α in ostalih parametrovsistema, vkljucno s stanjem sosednjih kubitov. Meritev izbranega kubita tudi ne sme vplivatina stanje ostalih kubitov v racunalniku. V praksi seveda take meritve niso mozne, vendarpa je dejanska natancnost meritve lahko veliko manjsa. Ustrezno natancnost namrec lahkodosezemo z veckratno ponovitvijo izracuna. Dodatno moznost ponuja tudi hkratno izvajanjeizracuna na vecih identicnih racunalnikih, kar ima enak ucinek kot veckratno ponavljanjeizracuna. Dolocene implementacije kvantega racunalnika so ze v osnovi sestavljene iz vecidenticnih kopij, primer je NMR kvantni racunalnik, kjer dejansko vsaka molekula v raztopinipredstavlja instanco racunalnika. S standardnimi NMR tehnikami lahko hkrati izvajamooperacije na vseh molekulah, pa tudi koncni rezultat preberemo za vse molekule hkrati.

3 Eksperimentalne izvedbe in predlogi

Obstaja mnozica predlogov za realizacijo kvantnega racunalnikov, ki so na razlicnih stop-njah razvoja. Za dolocene predloge obstajajo teoreticne ideje za izpolnitev DiVincenzovihkriterijev, izpolnjenost nekaterih kriterijev pa je tudi ze eksperimentalno potrjena. Se za

5

noben predlog pa niso bili eksperimentalno potrjeni vsi kriteriji. V nadaljevanju bom pred-stavil nekaj predlogov, ki so trenutno najblize izpolnitvi vseh potrebnih pogojev, ali pa imajopomembno zgodovinsko vlogo zaradi preteklih eksperimentalnih dosezkov. Povsem mogocepa je, da se bo v prihodnosti za najbolj primerno izkazala kaksna tehnologija, ki v seminarjuni predstavljena, ali pa morda niti se ni odkrita.

3.1 Jedrska magnetna resonanca

Kvantni racunalnik z uporabo jedrske magnetne resonance (NMR) je zasluzen za prveeksperimentalne uspehe na podrocju kvantnega racunalnistva. S pomocjo NMR tehnikje bilo demonstriranih vec kvantnih algoritmov, vkljucno z ze omenjenim Groverjevim inShorovim algoritmom. Algoritmi so bili realizirani na razlicnem stevilu kubitov, trenutnirekord drzi implementacija Shorovega algoritma s 7 kubiti iz leta 2001, s katerim so fak-torizirali stevilo 15. Do danes se nobena druga tehnika ni obrodila primerljivih rezultatov,vendar pa ima NMR implementacija kriticno pomankljivost. Stevilo kubitov, ki jih lahko teo-reticno realiziramo je namrec omejeno, razlogi pa se skrivajo v samem nacinu delovanja NMRracunalnika. Posledicno je tudi stevilo raziskav na podrocju NMR kvantnega racunalnika vzadnjem casu mocno upadlo.

Jedrska magnetna resonanca nam omogoca manipulacijo in meritve jedrskih spinskihstanj v izbranem vzorcu. Posamezna jedra z spinom 1/2 se tako ponudijo kot idealni kan-didati za kubite, pod pogojem seveda, da lahko merimo in upravljamo tocno izbrano je-dro v molekuli. Vsaka molekula v vzorcu predstavlja izoliran kvantni register, kar NMRracunalnik tudi najbolj razlikuje od ostalih implementacij. V NMR racunalniku namreciztocasno opravljamo operacije in meritve na mnozici enakih kvantnih registrov. Statisticnanarava takih operacij sicer omogoca delovanje racunalnika pri sobnih temperaturah, vendarpa pripelje tudi do ze omenjenih tezav z vecanjem stevila kubitov.

Hamiltonian jedra s spinom 1/2 v staticnem magnetnem polju z jakostjo B0 zapisemokot

H0 = −µ ·B0 = −γS ·B0, (5)

kjer γ oznacuje giromagnetno razmerje jedra, S = 12~σ pa operator spina. Energijska razlika

dveh spinskih stanj v danem magnetnem polju znasa

∆E = ~ω0,

kjer ω0 = −γB0 oznacuje Larmorjevo frekvenco. Na spin posameznega jedra lahko vplivamoz elektromagnetnim valovanjem z ustrezno resonancno frekvenco ω = ω0.

Posamezna jedra v molekuli lahko upravljamo pod pogojem, da imajo razlicne resonancnefrekvence ω0. V tem primeru bomo namrec z doloceno frekveno elektromagnetnega valovanjavplivali samo na izbrano jedro, ostala pa bodo ostala v prvotnem stanju. Razlicni elementiimajo razlicna giromagnetna razmerja ze zaradi drugacne sestave nukleona. Vendar pa tudipri enakih jedrih pride do razlik v resonancni frekvenci. Efektivno staticno polje B0, kiga cutu jedro, je namrec odvisno tudi od elektronske konfiguracije v njegovi okolici. Takolahko razlocimo tudi enaka jedra na razlicnih mestih v molekuli. Relativni premik resonancne

6

frekvence jedra zaradi elektronske konfiguracije jedra (α) je poznan tudi kot kemijski premik.Hamiltonian za molekulo z n jedri v magnetnem polju tako lahko zapisemo kot

H0 =n∑i=1

(1− α(i))γ(i)B0S(i)z =

n∑i=1

ω(i)0 S

(i)z . (6)

Poleg opisane interakcije jeder z magnetnim poljem pa tudi med sama jedra znotraj molekuleinteragirajo drug z drugim. V rezimu delovanja kvantnega racunalnika pride do izrazaposredna interakcija med jedri, do katere pride zaradi prekrivanja elektronskih orbital posameznegaatoma. Celoten Hamiltonian tako zapisemo kot

H = H0 +HJ =n∑i=1

ω(i)0 S

(i)z +

2π

~∑i<j

JijS(i)z S

(j)z . (7)

Same interakcije med jedri ne moremo preprosto izklopiti, ampak moramo stanja kubitovsproti ustrezno korigirati. Vendar pa ima dana interakcija tudi dobre lastnosti, omogocanamrec implementacijo dvo-kubitnih vrat, ki sicer ne bi bila mogoca.

Slika 1: Shema NMR naprave: B0 predstavlja staticno magnetno polje, B1 predstavljavzbujajoce magnetno polje, S vzorec z raztopino molekul, L1 in L2 tuljavi za generiranjeelektromagnetnih pulzov in meritve magnetizacije, SW pa stikalo za preklop med vzbujanjemin merjenjem. Vir: Benenti, Casati, and Strini [7]

Shema naprave za NMR kvantni racunalnik je prikazana na sliki 2. Mocni magnet ustvarihomogeno magnetno polje B0 (10-15T), usmerjeno v z smeri. Dve tuljavi, postavljeni v (x,y)ravnini omogocata generiranje sibkih elektromagnetnih polj, s katerimi vzbujamo posameznajedra v vzorcu. Operacije ustreznih eno in dvo kubitnih vrat dosezemo s prozenjem elektro-magnetnih pulzov ustrezne jakosti, frekvence in trajanja.

7

Po koncanem zaporedju elektromagnetnih pulzov, ki predstavljajo dolocen kvantni al-goritem, s tuljavami pricnemo meriti elektromagnetno polje, ki ga povzrocajo precesirajocajedra v vzorcu. Iz izmerjene napetosti na tuljavah lahko razberemo povprecje spinskih stanjposameznih kubitov v molekulah.

Sedaj se lahko vrnemo na osnovni problem NMR kvantnega racunalnika, in sicer skaliranjestevila kubitov. Svojevrstno omejitev postavlja izbira molekule, ki bi imela ustrezno stevilojeder z dovolj razlicnimi resonancnimi frekvencami. Vendar obstaja se bolj fundamentalnatezava. NMR kvantni racunalnik namrec obratuje pri sobnih temperaturah, kjer nimamoopravka s kubiti v cistih stanjih, ki so obicajno potrebni za kvantne izracune, ampak vstatisticni mesanici razlicnih stanj. Zacetno ravnovesno stanje opisemo z gostotno matrikoρ = exp(−βH)/Z. Za posamezni spin tako gostotno matriko v bazi {|0〉 , |1〉} zapisemo kot

ρ =1

Z

[exp(−1

2β~ω0) 0

0 exp(12β~ω0)

](8)

Pri obicajnih pogojih, kjer velja β~ω0 ∼ 10−5, lahko uporabimo priblizek ρ ≈ 12I− 1

2β~ω0σz,

oziroma za molekulo z n kubiti ρ ≈ 1Z

(I − βH).Za namen kvantnega racuna lahko sistem spravimo v psevdo-cisto stanje [8], ki prestavlja

tako statisticno mesanico, da se relevantne opazljivke pod vplivom unitarnih operacij razvi-jajo enako kot cista stanja. Primer takega psevdo-cistega stanja, ki je analogen zacetnemucistemu stanju |00..0〉 lahko zapisemo kot

ρpp =1

ZI + ε

n∏i=1

|0〉i 〈0|i , (9)

kjer ε predstavlja intenziteto psevdo cistega stanja. Na zalost ε z vecanjem stevila kubitovn eksponentno pada,

ε ∝ 1

2n,

zato pri vecjem stevilu kubitov ne moremo doseci ustreznega stanja, ki bi omogocal kvantnoracunanje. Padanje intenzitete lahko intuitivno razlozimo z opazovanjem deleza molekulvzorca v stanju |00..0〉. Pri sobni temperaturi je prakticno vsako stanje molekule enakoverjetno, obstaja pa 2n razlicnih stanj, zato bo v ustreznem stanju le p = 1

2nmolekul.

3.2 Ionske pasti

Ionske pasti omogocajo natancno uporavljanje polozaja posameznega iona. Kvantni racunalniks pomocjo ionskih pasti je osnovan na verigi tako ujetih ionov. Posamezni ioni v verigipredstavljajo kubite, stanje posameznega iona pa upravljamo s pomocjo laserskih sunkov.Temperatura sistema mora biti blizu absolutne nicle, nakljucne termicne fluktuacije namreclahko pripeljejo do napake v izracunih.

Stanje posameznega iona lahko zapisemo kot produkt notranjih elektronskih stanj ionain pa gibanja celotnega iona v potencialu ionske pasti, |φ〉 = |i〉e |n〉i. Vrednosti kubita |0〉

8

Slika 2: Struktura molekule, ki je bila uporabljena v implementaciji Shorovega algoritmaz NMR. Posamezni kubiti so oznaceni s stevilkami od 1 do 7. Vir: Vandersypen, Steffen,Breyta, Yannoni, Sherwood, and Chuang [9]

in |1〉 predstavljata ustrezno izbrani elektronski stanji |g〉 in |e〉, ki sta dovolj izolirani odostalih elektronskih stanj. Vibracijska stanja ionov |n〉i pa omogocajo izvajanje dvo-kubitnihvrat, kar pri popolnoma izoliranih kubitih ne bi bilo mogoce.

Posamezni ioni v verigi so lokalizirani s pomocjo Paulove pasti, ki izkorisca razlicna os-cilirajoca radiofrekvencna polja. V namene kvantnega racunalnistva se uporablja pasti, kiujamejo izravnano verigo ionov na izbrani osi. Zeljene karakteristike dosezemo z oscilirajocimkvadrupolnim poljem, ki preprecuje odmik ionov z osi z ionske pasti (r =

√x2 + y2), vz-

dolzno pa ione drzimo s staticnim elektricnim poljem (skica 3). Elektricni potencial znotrajpasti opisuje enacba

φ(x, y, z; t) =1

2

U0

R2(x2 + y2) cos(ωRF t) +

1

2

V0R2

[z2 − εx2 − (1− ε)y2

], (10)

kjer ωRF predstavlja frekvenco kvadrupolnega polja, R2 in ε sta odvisna od geometrije pasti,U0 in V0 pa sta potenciala kvadrupolnih in staticnih elektrod. Navedeno elektricno polje seizpovpreci v efektivni 3D harmonicni potencial, v katerem ion niha z ustreznimi frekvencamiωx, ωy in ωz. Za nihajne frekvence velja ωz � ωx, ωy, zato lahko ione obravnavamo kot 1Dlinearno verigo v harmonicnem potencialu. Hamiltonijan ionov v taki verigi zapisemo kot

H =N∑i=1

p2i2M

+N∑i=1

1

2Mω2

zz2i +

N−1∑i=1

∑j>i

q2

4πε0|zj − zi|, (11)

kjer prvi clen predstavlja kineticno energijo ionov, drugi clen potencialni energijo ionov vefektivnem potencialu pasti, tretji clen pa elektrostaticno interakcijo med posameznimi ioni.Resitev za gornji Hamiltonian predstavljajo lastni nihajni nacini z izbranimi frekvencami.Najnizji nihajni nacin predstavlja kar nihanje celotne verige v harmonicnem potencialu pasti.

9

Slika 3: Skica ionske pasti z ujeto verigo ionov. Stiri vzdolzne elektrode drzijo ione na z osi spomocjo oscilirajocih kvadrupolnih polj (sosednje elektrode imajo nasprotno napetost), zno-traj pasti v smeri z osi pa jih drzi staticno elektricno polje, ki ga povzrocata osno namescenielektrodi z visoko pozitivno napetostjo. Stanje posameznih ionov manipuliramo z laserjem.Spodaj: CCD slika verige osmih ionov v pasti. Razdalja med zunanjima ionoma je ∼ 70nm.Vir: Benenti, Casati, and Strini [7]

Poljubna eno-kubitna vrata na posameznem kubitu izvedemo z laserskimi sunki ustreznefrekvence in trajanja na posameznem ionu. Frekvenca laserja ω mora ustrezati frekvenciprehoda med stanjema |e〉 in |g〉,

~ωa = Ee − Eg. (12)

Operacijo, ki jih povzroci interakcija med laserjem in ionom opisemo kot

Rc(θ, φ) =

[cos θ

2−ieiφ sin θ

2

−ie−iφ sin θ2

cos θ2

], (13)

kje je θ pogojen z trajanjem in jakostjo interakcije, φ pa fazo laserja.Pri izvajanju dvo-kubitnih kvantnih vrat pa si pomagamo z vibracijskimi stanji verige,

ki posredujejo interakcijo med dvema kubitoma. Z ustreznim laserskim sunkom, kateregafrekvenca ustreza hkratnemu prehodu vibracijskega stanja verige in elektronskega stanjaiona (4), ω = ωa + ωt, lahko v odvisnosti od elektronskega stanja obsevanega elektronaspreminjamo vibracijsko stanje verige. Osnovno idejo dvo-kubitnih vrat lahko ponazorimo spoenostavljenim primerom operacije, ki deluje med prvim in drugim kubitom:

• Prvi kubit obsvetimo z laserskim pulzom, ki v odvisosti od stanja prvega kubita (|0〉,|1〉) vzbudi vibracijsko stanje verige.

10

Slika 4: Energijski nivoji ujetega iona. Skica prikazuje primer dveh prehodov, ki povzrocitale spremembo vibracijskega stanja iona, medtem ko elektronsko stanje elektrona ostane ne-spremenjeno. Vir: Benenti, Casati, and Strini [7]

• Drugi kubit obsvetimo z laserskim pulzom, ki v odvisosti od vibracijskega stanja verigespremeni stanje drugega kubita.

Zgornji primer je seveda pretirano poenostavljen, vendar pa s podobnim postopkom lahkonaredimo ustrezna CNOT vrata, ki v kombinaciji s prej navedenimi eno-kubitnimi vratipredstavljajo univerzalni nabor vrat na ionskem kvantnem racunalniku.

Zacetno stanje kvantnega registra |00..0〉 dosezemo z laserskim ohlajanjem. Laserskoohlajanje obsega vec razlicnih metod, med najbolj uporabljane pa spadata t.i. Dopplerjevoohlajanje in stransko pasovno ohlajanje (sideband cooling). Pri Dopplerjevem ohlajanju ioneobsvetimo z laserjem s frekvenco, ki je malenkost manjsa od izbrane frekvence elektronskegaprehoda v ionih. Za ione, ki se priblizujejo laserju z vecjo hitrostjo bo zaradi Dopplerjegaucinka efektivna frekvenca ustrezala elektronskemu prehodu, zato hitrejsi ioni absorbirajo vecfotonov kot pocasnejsi. Pri absorbciji fotona se ionu spremeni gibalna kolicina za ∆p = h/λ.Sprememba v povprecju deluje v obratni smeri najvecje hitrosti iona. Vzbujeni ion scasomatudi spontano izseva foton z enako velikostjo gibalne kolicine, vendar le ta nima preferencnesmeri. Tako se povprecna hitrost posameznih ionov manjsa. S ponavljanjem postopka lahkovzorec ohladimo do ∼ 1mK, kar pa se vedno ustreza 〈n〉 ∼ 10 za osnovno vibracijsko stanjeverige. Nevzbujeno stanje verige |n = 0〉 lahko dosezemo z naknadnim stransko-pasovnimohlajanjem, kjer z laserjem vzbujamo redke prehode med nivoji |g, n〉 v |e, n− 1〉. Natos spontanim sevanjem pride do prehoda iz stanja |e, n− 1〉 v |g, n− 1〉. S ponavljanjempostopka na koncu z veliko verjetnostjo dosezemo osnovno stanje verige.

Za branje koncnega stanja kvantnega registra si zopet pomagamo z laserjem. Posamezniion obsvetimo z laserjem, katerega valovna dolzina in polarizacija vzbudita prehode samopri ionih, ki so v izbranem stanju (npr. v |e〉). Vzbujeni ioni v stanju |e〉 spontano izsevajofotone z valovno dolzino laserja, katere lahko zaznamo z obicajnim CCD senzorjem. Ioni, nakaterih pa ne zaznamo izsevanih fotonov pa so v stanju |g〉.

Z ionskimi pastmi so uspesno ustvarili prepletena stanja osmih ionov [10], pomembni

11

uspehi pa so bili dosezeni tudi pri izdelavi miniaturnih ionskih pasti v integriranih vezjih[11].

3.3 Polprevodniki

Kvantni racunalniki, osnovani na polprevodniski tehnologiji, imajo prednosti napram ostalimpredlogom predvsem zaradi uveljavnosti in tehnoloske izpopoljenosti obstojecih postopkov zaizdelavo integriranih vezji in ostalih polprevodniskih elementov. Dodatna prednost polpre-vodniskega kvantnega racunalnika bi bila tudi dokaj enostavna integracija le tega s klasicnimpolprevodniskim racunalnikom. Obstaja mnozica razlicnih predlogov za uporabo polprevod-nikov v kvantnem racunalnistvu, v nadaljevanju pa bom predstavil dva najbolj znana inraziskana.

3.3.1 Spini v polprevodnikih

Slika 5: Shema kvantnega racunalnika, ki uporablja spine jeder donorskih primesi zaracunanje. Vir: Kane [12]

Prvi prakticni predlog za uporabo polprevodnikov v kvantnem racunalniku je podal Kane(1998)[12]. Posamezne kubite v racunalniku predstavljajo fosforjevi donorski atomi 31P , kiso vkljuceni v kristal cistega silicija 28Si. Za stanja |0〉 in |1〉 vzamemo orientacijo spina jedra31P s S = 1/2, medtem ko za jedra 28Si velja S = 0. Tako izbrani kubiti imajo vec dobrihlastnosti. Imajo namrec zelo dolg dekoherencni cas, poleg tega pa jih lahko kontroliramo zzunanjim magnetnim poljem, na podoben nacin kot pri NMR kvantnem racunalniku.

Na Larmorjevo frekvenco za spinski prehod posameznega jedra lahko vplivamo z elek-tricnim poljem, ki ga reguliramo prek A-vrat (slika 5). Elektricno polje namrec vpliva na

12

donorske elektrone, ki so z jedri sklopljeni preko hiperfine interakcije. Tako lahko kontroli-ramo tocno izbrane kubite, katere z A-vrati premaknemo v resonanco z zunanjim magnetnimpoljem BAC . Vse eno-kubitne operacije lahko nato opravljamo na podoben nacin kot priNMR racunalniku.

Med sosednimi jedri 31P v silicijevi mrezi je interakcija zelo sibka, zato je ne moremo di-rektno uporabiti za implementacijo dvo-kubitnih vrat, kot je bil primer v NMR racunalniku.Interakcijo pa lahko posredujejo donorski elektroni. Vrednost spina jedra lahko pod vplivomA-vrat prenesemo na spin donorskega elektrona. S potencialom na J-vratih nato pritegnemodonorske elektrone dveh sosednjih P atomov, kjer pride do mocne interakcije med elektron-skima spinoma, in tako do posredne interakcije med spinoma dveh sosednih jeder. Elek-tronski spini imajo v tem primeru podobno vlogo kot lastna nihanja verige v prej opisanemracunalniku z ionsko pastjo.

Tezava opisanega predloga je potreba po zelo veliki natancnosti obdelave polprevod-nika. Zahtevan razmik med posameznimi necistocami in vrati je velikostnega reda ∼ 10nm,medtem ko je trenutna natancnost industrijske izdelave polprevodniskih elementov v integri-ranih vezja 45nm. Glede na hitrost razvijanja tehnologije polprevodniskih elementov lahkopricakujemo, da bo zeljena natancnost kmalu dosezena, takrat pa bo mogoce eksperimen-talno preveriti izvedljivost Kaneovega racunalnika.

3.3.2 Kvantne pike

Kvantne pike so umetne tvorbe v polprevodniskih materialih, ki predstavljajo potencialnojamo v kristalu polprevodnika. Potencial kvantne pike lahko ujame proste elektrone vkristalu. Ujeti elektron ima diskretni spekter, podobno kot elektroni v atomskih orbita-lah. Tipicne vezavne energije in velikosti orbite elektrona v kvantni piki so Ev ∼ 1meV inr0 ∼ 50nm (v atomih Ev ∼ 10eV in r0 ∼ 0.05nm). Kvante pike so izdelane iz dveh plastirazlicnih polprevodnikov. Med plastema se naberejo prosti elektroni, ki se obnasajo kot2D elektronski plin. S pomocjo kovinskih elektrod na povrsini lahko ustvarimo elektricnopolje, ki odstrani elektrone iz izbranih obmocji v plasti med polprevodnikoma, in tako ust-vari enega ali vec izoliranih otokov z omejenim stevilom ujetih elektronov (slika 6). Ti otokipredstavljajo kvantne pike. S kontroliranjem napetosti na vratih lahko dosezemo prekrivanjesosednjih pik. Stevilo elektronov v posamezni kvantni piki lahko kontroliramo zelo natancno,v izolirano kvantno piko lahko ujamemo tudi en sam elektron.

Za kubit lahko uporabimo spin izoliranega elektrona v kvantni piki, ki se ponasa z dol-gim dekoherencnim casom. Ce kvantno piko postavimo v staticno magnetno polje B (slika7), pride do razcepa energijskih stanj elektrona v odvisnosti od orientacije spina (Zeemanovpojav). Energijska razlika stanj znasa ∆E = gµB, kjer g oznacuje Landejev g-faktor. Spin-sko stanje elektrona v kvantni piki lahko kontroliramo z oscilirajocim magnetnim poljem Bac

ustrezne frekvence, ki ustreza energijski razliki med spinskima stanjema ω = ∆E/~. Metodaje poznana kot elektronska spinska resonanca in je zelo podobna NMR tehniki, le namestojeder imamo opravka z elektroni.

Za eno-kubitne operacije moramo imeti moznost operiranja z izbranim kubitom. Z vk-lopom elektricnega polja nad izbrano kvantno piko lahko premaknmo elektron v obmocje s

13

Slika 6: (a) Skica polprevodniskega elementa, ki z ustreznimi napetostimi na vratih izoliradve kvantni piki. Obmocja pod elektrodami ne vsebujejo elektronov in tako izolirajodve kvantni piki v ravnini elektronskega plina. (b) Slika kvantnih pik pod elektronskimmikroskopom. Vir: Elzerman, Hanson, van Beveren, et al. [13]

Slika 7: Shema kvantnega racunalnika s kvantimi pikami. Posamezne kvantne pike oznacujejokrogi. Vir: Elzerman, Hanson, van Beveren, et al. [13]

spremenjenim Landejevim g-faktor. Posledicno se resonancna frekvenca izbranega elektronaspremeni, zato bo oscilirajoce magnetno polje Bac z enako frekvenco vplivalo samo na izbranielektron.

Dvo-kubitna vrata nam omogoca izmenjalna interakcija med elektronoma v sosednjihkvantnih pikah, ki jo opisuje Hamiltonian

H =∑i<j

JijSi · Sj. (14)

Jakost interakcij Jij je pogojena s stopnjo prekrivanja orbital elektronov i in j. Na stop-njo prekrivanja pa enostavno vplivamo z napetostjo elektrod na povrsini kristala. Pri vecjinapetosti sosedni kvantni piki locuje visja potencialna barijera, ki posledicno zmanjsa prekri-vanje orbital in jakost interakcije. Kvantne pike tako predstavljajo enega redkih predlogov,kjer lahko enostavno vklapljamo in izklapljamo interakcijo med sosednjimi kubiti.

Branje koncnega stanja kubita je mogoce preko spinsko odvisnega tuneliranja elektronaiz kvantne pike. Z ustrezno napetostjo na vratih lahko dosezemo, da piko zapusti samo

14

elektron z ustreznim spinom, medtem ko elektron z nasprotnim spinom ostane v piki. Na tanacin lahko merjenje polarizacije spina v kvantni piki nadomestimo z meritvijo naboja, karje tehnicno veliko laze izvedljivo.

3.4 Ostali predlogi

Polega zgoraj obdelanih predlogov obstaja se kar nekaj drugih, ki so morda ravno takoobetavni, vendar pa bi bolj natancna obdelava vsakega posebej presegala okvirje seminarja.Zato v nadaljevanju navajam posamezne predloge s kratkim opisom fizikalnih principov, nakaterih so osnovani:

• Nevtralni atomi v opticnih mrezahOpticna mreza predstavlja stojece svetlobno valovanje, ki nastane zaradi interferencemed laserskimi zarki. V periodicni potencial stojecega valovanja lahko ujamemo posameznenevtralne atome, podobno kot ione v ionski pasti. Izbrana stanja posameznega atomapredstavljajo kubite. Stanja posameznih atomov lahko upravljamo z laserskimi sunki,vendar pa se atomi v opticni mrezi nahajajo na majhnih razdaljah, zato je zelo tezavnoupravljanje s tocno izbranim atomom. Privlacna znacilnost opticnih mrez so predvsemdolgi dekoherencni casi, nevtralni atomi namrec zelo sibko interagirajo z okolico [14].

• SuperprevodnikiKubiti v superprevodnem kvantnem racunalniku so narejeni s pomocjo Josephsonovihspojev, ki je sestavljen iz dveh superprevodnikov, povezanih s tanko plastjo izolatorja.Kubit lahko predstavlja vec razlicnih opazljivk, od naboja na izoliranem superprevod-nem otoku do magnetnega pretoka skozi superprevodno zanko [15].

• Linearna optikaZa reprezentacijo kubitov uporabimo posamezne fotone. Stanja kubita predstavlja po-larizacija izbranega fotona, operacije na posameznih kubitih pa dosezemo z linearn-imi opticnimi elementi. Najvecjo tezavo predstavlja izvedba dvo-kubitnih vrat, fotoninamrec zelo sibko interagirajo med sabo [16].

4 Zakljucek

Kljub mnogim dosezkom v zadnjih desetletjih je do prakticno uporabnega kvantnega racunalnikase zelo dolga pot. Zaenkrat niti ni jasno, ali bo izdelava uporabnega kvantega racunalnikasploh mogoca. Ze pri majhnem stevilu kubitov namrec dekoherenca povzroca velike tezave,ki se bodo z vecanjem stevila kubitov le se stopnjevale. Vendar pa nas lahko z opti-mizmom navdajata tako stevilo in raznolikost predlaganih resitev, kot tudi konstantentehnoloski napredek pri posameznih predlogih. Povsem mogoce je tudi odkritje neke revolu-cionarne tehnologije, ki bo sunkovito pospesila razvoj, cemur smo bili ze prica v klasicnemracunalnistvu z odkritjem tranzistorja. Trenutno se najvec truda vlaga v iskanje in potrditev

15

(a) Skica opticne mreze z ujetimi nevtralnimiatomi.

(b) Slika superprevodnega kubita, ki delujena osnovi magnetnega pretoka skozi zanko.Kubit vsebuje 4 Josephsonove spoje. [17]

najboljse arhitekture, ki bo omogocala enostavno povecevanje stevila kubitov. Najvec uspe-hov zaenkrat se vedno dosega implementacija z ionskimi pastmi, veliko aktivnosti pa je tudina ostalih predlogih.

Razvoj kvantnega racunalnika hkrati veliko doprinese k ostalim vejam fizike. Kot smovideli ze iz opisanih predlogov, se namrec tesno navezuje na mnoga raziskovalna podrocja.Teoreticne raziskave na podrocju kvantne dekoherence nam omogocajo boljse razumevanjeosnov kvantne mehanike. Eksperimentalno delo pa prispeva veliko k izboljsanju tehnoloskihpostopkov in razlicnih senzorjev na velikostni skali kvantne mehanike. Tudi v klasicnihracunalnikih se ob nadaljnem zmansevanju posameznih elementov kvantnim efektom ne bomogoce izogniti. Znanje, pridobljeno v raziskavah kvantnega racunalnistva, bo tako mordav prihodnosti omogocalo tudi nadaljni razvoj klasicnega racunalnistva.

Literatura

[1] R.P. Feynman. Simulating physics with computers. International journal of theoreticalphysics, 21(6):467–488, 1982.

[2] D. Deutsch. Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantumcomputer. Royal Society of London Proceedings Series A, 400:97–117, July 1985.

[3] P.W. Shor. Algorithms for quantum computation: Discrete logarithms and factoring.In ANNUAL SYMPOSIUM ON FOUNDATIONS OF COMPUTER SCIENCE, vol-ume 35, pages 124–124, 1994.

[4] L.K. Grover. A fast quantum mechanical algorithm for database search. In Proceedingsof the twenty-eighth annual ACM symposium on Theory of computing, page 219, 1996.

16

[5] D.P. DiVincenzo. The Physical Implementation of Quantum Computation. Fortschritteder Physik, 48(9-11):771–783, 2000.

[6] Peter W. Shor. Scheme for reducing decoherence in quantum computer memory. Phys.Rev. A, 52(4):R2493–R2496, Oct 1995. doi: 10.1103/PhysRevA.52.R2493.

[7] G. Benenti, G. Casati, and G. Strini. Principles of Quantum Computation and Infor-mation: Basic tools and special topics. World Scientific Pub Co Inc, 2007.

[8] DG Cory, R. Laflamme, E. Knill, L. Viola, TF Havel, N. Boulant, G. Boutis, E. For-tunato, S. Lloyd, R. Martinez, et al. NMR Based Quantum Information Processing:Achievements and Prospects. Fortschritte der Physik, 48(9-11):875–907, 2000.

[9] L. M. K. Vandersypen, M. Steffen, G. Breyta, C. S. Yannoni, M. H. Sherwood, and I. L.Chuang. Experimental realization of Shor’s quantum factoring algorithm using nuclearmagnetic resonance. Nature, 414:883–887, December 2001. doi: 10.1038/414883a.

[10] H. Haffner, W. Hansel, CF Roos, J. Benhelm, et al. Scalable multiparticle entanglementof trapped ions. Nature, 438(7068):643–646, 2005.

[11] D. Stick, WK Hensinger, S. Olmschenk, MJ Madsen, K. Schwab, and C. Monroe. Iontrap in a semiconductor chip. Nature Physics, 2(1):36–39, 2005.

[12] B.E. Kane. A silicon-based nuclear spin quantum computer. Nature, 393(6681):133–138,1998.

[13] JM Elzerman, R. Hanson, LHW van Beveren, et al. Semiconductor Few-Electron Quan-tum Dots as Spin Qubits. In Quantum Dots: a Doorway to Nanoscale Physics, volume667, page 25, 2005.

[14] Gavin K. Brennen, Carlton M. Caves, Poul S. Jessen, and Ivan H. Deutsch. Quantumlogic gates in optical lattices. Phys. Rev. Lett., 82(5):1060–1063, Feb 1999. doi: 10.1103/PhysRevLett.82.1060.

[15] J. Q.You and Franco Nori. Superconducting circuits and quantum information. PhysicsToday, November 2005.

[16] P. Kok, WJ Munro, K. Nemoto, TC Ralph, J.P. Dowling, and GJ Milburn. Linearoptical quantum computing with photonic qubits. Reviews of Modern Physics, 79(1):135–174, 2007.

[17] Wikipedia. Flux qubit (3.11.2009). http://en.wikipedia.org/wiki/Flux_qubit.

17