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Philosophische Fakultät
Department Fachdidaktiken
Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik
Regensburger Straße 160
90478 Nürnberg
Praktikumsbericht zum fachdidaktischen
Blockpraktikum im Fach Mathematik
vom 27.09.20… bis 15.10.20…
vorgelegt von: xxx
Praktikumsschule:_____________________________
Betreuende Lehrkraft: _________________________
Inhalt:
I. Ein eigener Unterrichtsversuch
II. Zusätzliche Beobachtungsaufgabe
Thema: Mal-Plus-Häuser
I. Ein eigener Unterrichtsversuch
1. Sachstruktur
Bei „Mal-Plus-Häusern“ handelt es sich um ein Übungsformat, das nach festen Regeln aufgebaut ist.
Beispiel:
Benachbarte Zahlen im „Erdgeschoss” werden jeweils miteinander multipliziert. (3∙2; 2∙6)
Die so erhaltenen Produkte werden im Stockwerk darüber entsprechend eingetragen. Die beiden
Produkte werden addiert und ihre Summe erscheint dann im “Dach”.
Die drei Zahlen im untersten Stockwerk (“Erdgeschoss”) sind voneinander unabhängig und können
willkürlich gewählt werden. Algebraisch lässt sich das Mal-Plus-Haus also folgendermaßen darstellen:
Die im Dach stehende Zahl lässt sich unmittelbar aus dem Produkt der Zahl unten Mitte mal der
Summe der beiden Zahlen unten links und unten rechts bilden.
Ausgehend von dieser Struktur lassen sich im Folgenden nun verschiedene Aufgabenstellungen
bilden:
Einfache Häuser (Typ 1)
1. Die Zahlen a, b und c sind vorgegeben. a∙b und b∙c werden berechnet und schließlich die Summe
aus beiden Produkten gebildet.
Mittelschwere Häuser (Typ 2)
2.
a) Hier kann a durch die Umkehroperation
Division (a∙b:b) berechnet werden. Wenn b∙c
bestimmt ist, kann auch die Summe aus a∙b
und b∙c gebildet werden.
b) Es lässt sich a∙b aus der Differenz der
Dachzahl und des Produkts b∙c berechnen.
Durch Division kann zunächst b, dann c
bestimmt werden.
Es gibt noch weitere Varianten, bei denen sich die fehlenden Zahlen jeweils direkt bestimmen lassen.
Schwere Aufgaben (Typ 3)
3.
Hier lassen sich die Zahlen in der zweiten Reihe
nicht unmittelbar erschließen. Durch Division
kann aber zunächst b bestimmt werden, sofern
klar ist, dass sich die Zahl im Dach als Produkt von
b und der Summe a+c bilden lässt. Andernfalls
kann b durch Probieren erschlossen werden.
Sehr schwere Aufgaben (Typ 4)
4. Unterbestimmte Aufgaben, z.B.
Im Bereich der natürlichen Zahlen ist die Anzahl der Lösungen für b und c begrenzt. Es kommen nur
die Teiler des Produktwertes von b∙c in Frage.
Sind nur die beiden Zahlen in der mittleren Reihe vorgegeben, so ist b ein gemeinsamer Teiler
(triviale Lösung: b = 1). Je nach Zahlenmaterial gibt es eine unterschiedliche Anzahl von
Lösungsmöglichkeiten.
Hier kommt für b nur 1 oder 7 (als einziger
gemeinsamer Teiler) in Frage.
Hier sind die gemeinsamen Teiler 1, 2, 3, 4, 6, und
12, die alle Lösungen für b darstellen.
Durch operatives Vorgehen wird die unterschiedliche Rolle der Zahl b im Unterschied zu a und c
deutlich.
Eine Veränderung von a (oder von c) wirkt
sich nur auf das erste Produkt aus.
Eine Veränderung von b wirkt sich auf beide
Produkte aus.
Mögliche Fragestellungen:
Zur Erkundung der Struktur des Übungsformats lassen sich neben den verschiedenen Aufgaben auch
Fragen stellen:
Was passiert mit der Dachzahl, wenn …
- die linke und die rechte Kellerzahl vertauscht werden?
- die linke oder die rechte Kellerzahl immer um 1 größer werden?
- die linke Kellerzahl immer um 1 größer und die rechte Kellerzahl immer um 1 kleiner
wird? - die Mittelzahl um 1 größer (kleiner) wird?
- Wie passen die Mittelzahl im Keller und die Dachzahl zusammen? )
- Haben die beiden Außenzahlen im Keller und die Dachzahl auch etwas miteinander
zu tun?
- Ist es eigentlich egal, wo man die Zahlen 3, 5, 8 im Keller einträgt? Kommt trotzdem
immer die gleiche Dachzahl heraus?
- ....
Didaktische Reduktion
Im Rahmen der geplanten Einheit von 45 min. ist es sinnvoll den geforderten
Schwierigkeitsgrad der Aufgaben zu reduzieren. Neben den einfachen und mittelschweren
Typen können gute Schüler bereits sich mit schweren Aufgaben befassen. Typ 3 und Typ 4
sind allerdings erst in der Folgestunde für alle Thema. Die Reduktion findet auf Grund des
geringen Zeitrahmens und dem Leistungsstand der Schüler statt. Hier wird der
Schwierigkeitsgrad vom Einfachen zum Schweren gesteigert.
2.1 Lehrplanbezug
Die geplante Stunde wird in einer 3. Klasse gehalten. Sie findet sich im Lehrplan für die Bayerische
Grundschule unter folgenden Punkten:
3.3 Rechnen
3.3.1 Addition und Subtraktion
3.3.2 Multiplikation und Division
2.2 Einbettung in die Sequenz
Die geplante Stunde schließt sich als Abschluss an die Erarbeitung der Einmaleinsreihen zu den
Zahlen 2,4,5,8 und 10 an. Die Stunde ist Teil einer Doppelstunde, die am Ende der Sequenz steht und
zum Wiederholen, Üben und vor allem Festigen der erarbeiteten Lerninhalte dient. Nachdem die
einzelnen Einmaleinsreihen eingeführt wurden, ist in den Folgestunden vor allem Wert darauf gelegt
worden, eine Vorstellung über Beziehungen und Zusammenhänge zwischen den Zahlenreihen bei
den Schülern zu fördern. Dies wurde in mehreren Übungsstunden durch verschiedene
Aufgabentypen (Operation, Umkehroperation, über- und unterbestimmte Aufgaben) geschult. Das
„Mal-Plus-Haus“ schließt die Sequenz ab. In Form von Freiarbeit können die Schüler das Gelernte
festigen und in ihrem Lernstand arbeiten. Der geplanten Unterrichtseinheit schließt sich eine
Abschlussstunde der Sequenz an, in der schwierige Aufgaben noch einmal besprochen werden und
eine Lernkartei zum Thema von den Schülern erstellt wird.
Unterrichtsvoraussetzung
Die Schüler …
- sollten sowohl das Addieren, als auch das Multiplizieren (Faktor2,4,5,8,10) im Zahlenraum bis
100 beherrschen.
- sollten die Einmaleinsreihen mit 2,4,5,8 und 10 auswendig können.
- kennen das Übungsformat „Mal-Plus-Haus“.
- sollten Umkehroperationen bilden können.
- sollten Produkte in ihre Faktoren zerlegen können.
3. Lernziele
Grobziel:
Die Schüler sollen das Operieren mit den Einmaleinsreihen 2,4,5,8 und 10 mit Hilfe des
Übungsformats „Mal-Plus-Haus“ üben.
Feinziele:
Die Sch sollen…
- ihr bisheriges Wissen zum „Mal-Plus-Haus“ auffrischen um im Folgenden darauf aufzubauen,
- ihr individuelles Leistungsniveau im Umgang mit dem „Mal-Plus-Haus“ steigern,
- sollen einfache funktionale Zusammenhänge im „Mal-Plus-Haus“ erkennen.
4. Plan der Durchführung
„Rechnen mit dem Mal-Plus-Haus“
Zeit Unterrichtsverlauf Materialien/ Methoden
ca.
5
min.
Kopfrechnen Aufgaben zur Wiederholung des Addierens und Multiplizierens im
Zahlenbereich von 1-100.
Vom Einfachen zum Schweren.
Kopfrechenblatt
Vgl. Anlage 1
ca.
10
min
Wiederholung Wiederholung des Übungsformats „Mal-Plus-Haus“
(vgl. Sachstruktur Einfache Aufgaben)
TA mit ausgefülltem „Mal-Plus-Haus“ wird aufgeklappt.
Sch wiederholen bereits bekannte Gesetzmäßigkeiten
(Multiplizieren im 1. Stock, Summe aus beiden Produkten im Dach…)
L hängt entsprechende Karten mit Operationszeichen an die Tafel.
Sch erklären die Regeln mit Hilfe des Beispiels.
Lösen einer Aufgabe Typ 1 (vgl. Sachstruktur Einfache Aufgaben)
L: „Du kannst dich jetzt an das Haus erinnern; versuche folgende
Aufgabe alleine zu lösen.“
Sch bearbeiten Aufgabe, die Lösung wird auf der Folie gemeinsam besprochen.
TA, UG
Vgl. Tafelbild
TA, Karten
EA
Folie, UG
ca.
15
min.
Übungsphase
L: „In unserem Haus sind aber nicht immer nur die Zimmer im
Erdgeschoss besetzt. Bei manchen musst du ganz schön nachdenken.“
AA auf Folie wird besprochen und von Sch wiederholt.
L: „Unsere verschiedenen Häuser findest du auf den Arbeitsblättern an
der Lerntheke. Du kannst dich selbst entscheiden, mit welchem du
beginnen möchtest. Am Ende der Std. solltest du aber mindestens 2 Arbeitsblätter
bearbeitet haben.“
L: „ Die Lösungen zu den Häusern findest du als Lösungsblätter im
Klassenzimmer verteilt. Vergleiche bitte selbst, ob dein Ergebnis
stimmt.“
Sch arbeiten eigenständig.
Differenzierung: Sch wählen eigenständig den Schwierigkeitsgrad des Aufgabenblattes.
(vgl . Sachstruktur Einfache bis Schwere Aufgaben)
L: „Du kannst mich oder deinen Nachbarn um Hilfe bitten.“
AB, Lerntheke
AA auf Folie
Vgl. Anlage 2
Hilfekärtchen
AB
Gute / Schnelle Schüler können ein weiteres Arbeitsblatt bearbeiten.
ca. 10
min.
Reflexion L wählt eine Aufgabe vom Typ 2 (gelbes Arbeitsblatt) exemplarisch aus,
Sch stellen Lösung vor.
Mögliche Impulse:
L:„Wann hattest du Probleme beim Lösen der Aufgabe?“
L:„Wie bist du nacheinander vorgegangen, um auf eine Lösung zu
kommen?“
L: „Du hast doch auch die Forscheraufgabe bearbeitet.“
Sch erkennen:
- die Dachzahl kann sich ändern, - das Vertauschen der linken und rechten Zahl im Erdgeschoss
ändert nichts an der Dachzahl,
- entscheidend ist, welche Zahl in der Mitte steht.
UG
ca.
5
min.
Hausaufgabe L: „Überlege dir selbst zwei Häuser bei denen im Dach 80 und 77 als
Ergebnis steht “
L
5. Reflexion der Unterrichtseinheit
In der gehaltenen Stunde konnten die Lernziele weitestgehend erfüllt werden. Alle Schüler konnten
ihr Wissen zum „Mal-Plus-Haus“ auffrischen und im Anschluss mit dem Übungsformat die
geforderten Aufgaben lösen. Eine Steigerung der individuellen Leistungsniveaus war bei vielen
Schülern ersichtlich, indem sie sich im Laufe der Stunde auch an die Schweren Aufgaben wagten.
Leider war es mir auf Grund der Schüler Zahl nicht möglich, dies bei jedem einzelnen festzustellen.
Während der Reflexion kamen gute Beiträge zu den funktionalen Zusammenhängen der Zahlen im
Rechenformat. Allerdings brachten sich hier vor allem die Leistungsstarken Schüler ins Gespräch mit
ein. Es ist zu überlegen, ob man nicht durch eine schriftliche Sicherung alle Schüler dazu bringt, ihre
erarbeiteten Kenntnisse zu verbalisieren.
Betrachtet man den didaktischen Aufbau der Stunde, konnte ich folgendes feststellen. Bei der
Wiederholung des „Mal-Plus-Hauses“ habe ich mich gegen eine sofortige Präsentation der nötigen
Rechenoperationen entschieden. Wie sich herausstellte, konnten auch die leistungsschwächeren
Schüler ohne Probleme das Format durchdringen und die geforderten Schritte verbalisieren. Bei
einer Vorgabe der Schritte wäre dies nur schwer zu überprüfen gewesen. Trotzdem war die
Präsentation eines ausgefüllten Hauses zu einfach. Man hätte nur die untere Zeile vorgeben sollen.
Vor allem in dieser Phase konnte ich auf die verwendete Fachsprache der Schüler achten. Leider
gelang mir dies im weiteren Verlauf der Stunde nicht mehr so gut und ist noch deutlich
verbesserungswürdig. Ich hoffe, dass sich dies durch eine wachsende Routine beim Unterrichten
verbessern wird.
Das anschließende gemeinsame Erarbeiten einer Beispielaufgabe sollte vor allem den schwächeren
Schülern noch einmal ermöglichen, selbst die Rechenoperationen und das dahinter stehende Prinzip
im „Mal-Plus-Haus“ zu wiederholen. Hier hätten die leistungsstärkeren Schüler vielleicht bereits eine
schwerere Aufgabe bekommen können, um sie an dieser Stelle eigenständig zu lösen.
Während der eigentlichen Übung wurde das Arbeiten mit einer Lerntheke gewählt. Den Schülern war
die Methode bereits bekannt und sie konnten sich problemlos selbst das Material besorgen. Leider
wählten nicht immer alle Schüler den für sie angemessenen Schwierigkeitsgrad.
Aus den speziellen Beobachtungsaufträgen ging zudem hervor, dass entstandene Unruhen auf die
fehlenden klaren Anweisungen zurück zu führen waren. Die Folie mit den AA hätte andauernd
sichtbar auf dem OHP bleiben sollen, um Unklarheiten bei den Schülern zu vermeiden. Außerdem
hätte ich auf die entstandenen Störungen mehr eingehen müssen. Einzelne Zwischenrufe habe ich
meist ignoriert, da ich sie nicht als gravierend angesehen habe. Für das gesamte Arbeitsklima wäre
dies aber von Vorteil gewesen.
Im Großen und Ganzen zeigten die Schüler eine hohe Arbeitsbereitschaft und vor allem
Durchhaltevermögen während der Übungsphase.
Es ist zu überlegen, ob es in diesem Zusammenhang nicht auch sinnvoller gewesen wäre, weitere
Übungsformate des „Mal-Plus-Hauses“ mit einzubinden (vgl. Typ 4 Sachstruktur), um so eine
zusätzliche Alternative für gute Schüler zu bieten. Außerdem würden die geschulten Operationen
weiter gefestigt und die Schüler hätten mehr Möglichkeiten, Zusammenhänge zu erkennen.
Auch die geplante Differenzierung über Hilfekärtchen und ein freiwilliges „Tutorensystem“ hat nur
bedingt zur gewünschten Unterstützung der Leistungsschwächeren geführt. Eine Alternative wären
eventuell von Beginn an 2-er Teams in Einzelfällen vorzugeben oder als Lehrer sich die „schwachen
Schüler“ separat zu holen, um mit ihnen gemeinsam die Aufgaben zu lösen. In diesem Fall könnten
Schüler auch sobald sie glauben eigenständig weiter arbeiten zu können, die Gruppe wieder
verlassen.
In der abschließenden Reflexion habe ich mich zu lange mit der Besprechung von Rechenfehlern
aufgehalten. Gut war, dass einige Schüler bereits erkannt hatten, dass die mittlere Zahl zweimal als
Faktor auftritt.
II. Zusätzliche Beobachtungsaufgaben
Anlage 1 Kopfrechnen
Mein Kopfrechenblatt
Datum 1 2 3 4 5 6 7 8 Ergebnis
Selbstkontrolle:
(Für jede richtig gelöste Aufgabe darfst du ein Kästchen bunt ausmalen.)
Aufgaben Kopfrechnen:
(Prinzip vom Einfachen zum Schweren sowie Inhalte der Stunde werden in den Aufgaben
aufgegriffen)
1) 14 + 16 = 30
2) 49 + 29 = 78
3) 3 • 5 = 15
4) 10 • 10 = 100
5) 12 • 4 = 48
6) 3 geht in 9 wie oft?
7) 9 geht in 45 wie oft?
8) Mit welcher Zahl muss ich 5 multipliziere um 40 zu erhalten.
Anlage 2 AA und Arbeitsblätter
1. An unserer Lerntheke findest du verschiedene Arbeitsblätter:
Grün = für Anfänger beim Hausbauen
Gelb = für die fortgeschrittenen Hausbauer
Rot = für die Profihausbauer.
2. Bearbeite mindestens zwei Arbeitsblätter.
3. Forscherauftrag:
Überlege dir ein eigenes Beispiel.
Ist es egal, an welcher Stelle man die drei Zahlen
einträgt.
Kommt trotzdem immer die selbe Dachzahl heraus?
Hilfe:
Falls du mal nicht weiter kommen solltest, findest du Hilfe am Pult.
Für die Schnellen
1) Löse weitere Häuser, hast du dich schon an das Profihaus heran
gewagt?
2) Kannst du dir selbst ein Haus ausdenken?
Arbeitsauftrag
An unserer Lerntheke findest du verschiedene Arbeitsblätter:
Grün = für Anfänger beim Hausbauen
Gelb = für die fortgeschrittenen Hausbauer
Rot = für die Profihausbauer.
Bearbeite mindestens zwei Arbeitsblätter.
Überlege dir ein eigenes Beispiel.
Ist es egal, an welcher Stelle man die drei Zahlen im Erdgeschoss
Kommt trotzdem immer die selbe Dachzahl heraus?
Falls du mal nicht weiter kommen solltest, findest du Hilfe am Pult.
Für die Schnellen:
Löse weitere Häuser, hast du dich schon an das Profihaus heran
dir selbst ein Haus ausdenken?
An unserer Lerntheke findest du verschiedene Arbeitsblätter:
im Erdgeschoss
Falls du mal nicht weiter kommen solltest, findest du Hilfe am Pult.
Löse weitere Häuser, hast du dich schon an das Profihaus heran
Fortgeschrittene Hausbauer
20 16
5 8 4 8
Fortgeschrittene Hausbauer
25 32 64
5 2 4 8
ANFÄNGER BEIM HAUSBAUEN
4 8 5 10 2 5
ANFÄNGER BEIM HAUSBAUEN
8 5 2 4 10 8
Profihausbauer
72 30
4 5 10 2 5
Profihausbauer
50 120
8 2 4 10 8