prÆticas de investigaçªo quantitativa - fe.uc.pt · indica que f faz corresponder a cada...
TRANSCRIPT
Práticas de Investigação Quantitativa
FUNÇÕES
Apontamentos Teóricos
FEUC - 1o Sem. 2010/2011
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 1 / 35
Funções - de�nição
Uma função é uma regra que a cada elemento de um conjunto Aassocia um e um só elemento de um conjunto B.
Exemplo: Considere A = f1, 2, 3g , B = f1, 2, 3, 4, 5, 6g e aexpressão "dobro de x".
A B
1 12
2 34
3 56
Figura 2.1. Aplicação de A em B
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 2 / 35
Funções - de�nição
De�nição: Dados 2 conjuntos, A e B, chama-se aplicação ou funçãode A em B a toda a correspondência que a cada elemento x de Aassocia um e um só elemento y de B.
y é a imagem de x pela função f e designa-se por f (x).
Exemplo: f (1) = 2, isto é, 2 é a imagem do objecto 1 por f .
f : A �! Bx ,! y = f (x)
Indica que f faz corresponder a cada elemento de A um e um só elemento de Be que f faz corresponder a x o valor y = f (x) ou que f transforma x em f (x).
x = variável independente; y = variável dependente ou função.
A = domínio da função f (Df ) ou conjunto de partida.
B = conjunto de chegada.Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 3 / 35
Funções - contradomínio
Note que todos os elementos de A têm que ser considerados,...
... mas nem todo o elemento de B tem que ser imagem de algumelemento de A.
Assim sendo, convém considerar o conjunto f (A):
f (A) = ff (x) : x 2 Ag � BConjunto dos elementos que são transformados de algum elemento de A
A este conjunto chama-se contradomínio da função f (CDf ).
Com base no exemplo dado acima temos:
Domínio = Df = A = f1, 2, 3g ;Conjunto de chegada = B = f1, 2, 3, 4, 5, 6g;Contradomínio = CDf = f2, 4, 6g .
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 4 / 35
Funções - formas de de�nição
Diagrama sagital - usado no exemplo acima.
Tabela de correspondência - f = (1 2 34 6 8)
Pares ordenados - f = f(1, 2), (2, 4), (3, 6)g. Este é o grafo da função.
De�nição geométrica:
Atendendo à função genérica f , tal que:
f : A �! Bx ,! y = f (x)
considera-se um sistema de dois eixos ordenados:� o referencial cartesiano
e determinam-se os pontos de coordenadas: (x1, y1), (x2, y2),...em que y1 = f (x1), y2 = f (x2),...e x1, x2,... (que pertencem ao domínio de f ).
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 5 / 35
Funções - formas de de�nição
y
x yy2 P2(x2,y2)
x1 y1x2 y2
y1 P1(x1,y1)… …
0 x1 x2 x
Figura 2.2. Representação grá�ca de uma função f qualquer
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 6 / 35
Funções - formas de de�nição
Ao conjunto de todos os pontos, P1(x1, y1),P2(x2, y2), ...,Pn(xn, yn),chama-se imagem geométrica da função.
Considerando o exemplo dado acima:
f : f1, 2, 3g �! f1, 2, 3, 4, 5, 6gx ,! dobro de x
y6
4
2
0 1 2 3 x
Figura 2.3. Função fVítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 7 / 35
Funções - formas de de�nição
De�nição geométrica - caso em que o conjunto de pontos forma
uma linha:f : R �! R
x ,! dobro de x
y y=dobro de x
6
4
2
0 1 2 3 xDg=IR
Figura 2.4. Função g
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 8 / 35
Funções - formas de de�nição
De�nição analítica - consiste em indicar o domínio e o conjunto dechegada e em de�nir a correspondência entre as variáveis por meio deuma expressão designatória.
f : Df �! Conjunto de Chegadax ,! expressao designatoria de f (x)
Exemplos:
f : R �! R
x ,! 2xe
g : Rnf2g �! R
x ,! 3x�2
Note que no caso da função g , a expressão designatória 3x�2 só tem
signi�cado se x 6= 2) Dg = Rnf2g.Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 9 / 35
Função sobrejectiva
De�nição: Uma função f de domínio A e conjunto de chegada Bdiz-se sobrejectiva se e só se o seu contradomínio coincide com oconjunto de chegada:
f é sobrejectiva , f (A) = B , 8y 2 B, 9x 2 A : y = f (x)
Todo o elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A.
A B X Yf g
a 1 x 1
b 2 y 2
c 3 z 3
d
Figura 2.5. Funções f e g
f é sobrejectiva, mas g não é sobrejectiva. Porque?Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 10 / 35
Função injectiva
De�nição: Uma função f de domínio A e conjunto de chegada Bdiz-se injectiva se e só se quaisquer dois elementos distintos de Atêm imagens distintas em B:
f é injectiva , 8x1, x2 2 A, x1 6= x2 ) f (x1) 6= f (x2)objectos diferentes ) imagens diferentes
ou , 8x1, x2 2 A, f (x1) = f (x2)) x1 = x2imagens iguais ) objectos iguais
f não é injectiva , 9x1, x2 2 A, x1 6= x2 ^ f (x1) = f (x2)objectos diferentes t em a mesma imagem
A B X Yf g
1 2 1 3
2 4 2 5
3 6 3 7
8
f é injectiva, mas g não é injectiva. Porque?Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 11 / 35
Função bijectiva
De�nição: Uma função f de domínio A e conjunto de chegada B éconsiderada bijectiva se e só se é injectiva e sobrejectiva.
A B X Yf g
a 5 x 2
b 7 y 4
c 9 z
Figura 2.7. Funções f e g
A função f é bijectiva, pois para cada elemento do conjunto B existe um e um só
elemento de A que tem esse elemento de B por imagem.
A função g não é bijectiva, pois não é injectiva (apesar de ser sobrejectiva).Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 12 / 35
Função bijectiva - exemplos
Averigue se são bijectivas as seguintes funções:
f : N ! N
x ,! y = 2x
h : [�0, 5; 1] �! [�1, 2] j : [�1; 2] �! R+0
h: j:
y y
3
2 2
1
0,5 0 1 x 1 x1 0 x2 1 2 x
1
Figura 2.8. Funções h e jVítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 13 / 35
Função inversa
De�nição: A função inversa de f é a função f �1 que tem pordomínio o contradomínio de f , tal que x = f �1(y), y = f (x):
f : A �! Bx ,! y = f (x)
� f �1 : CDf �! Ay ,! x = f �1(y)
Notas: (i) quando a função f é bijectiva ) CDf = B;
(ii) a inversa da inversa de uma função é a própria função:(f �1)�1 = f ;
(iii) só as aplicações injectivas (e, consequentemente, asbijectivas) é que admitem inversa.Assim sendo, nunca se coloca o problema de identi�car a inversa de
uma aplicação não injectiva, pois a correspondência inversa nesse
caso, por não ser unívoca, nunca é uma aplicação/função.
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 14 / 35
Função inversa - exemplos
A Bf
1 2
2 4
3 6f 1
A Bg
1 2
2 4CDg
g 1 6 8
A função f representa a função inversa de uma aplicação bijectiva:
f : f1, 2, 3g �! f2, 4, 6gx ,! y = f (x)
� f �1 : f2, 4, 6g �! f1, 2, 3gy ,! x = f �1(y)
A função g representa a função inversa de uma função (apenas) injectiva:
g : f1, 2g �! f2, 4, 6, 8gx ,! y = g(x)
� g�1 : f2, 4g �! f1, 2gy ,! x = g�1(y)
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 15 / 35
Função inversa - domínio e conjunto-chegada in�nitos
Exemplo: domínio e o conjunto de chegada são conjuntos in�nitos.
Considere-se, em N, a aplicação h : x �! y = 2x , cujo contradomínioé o conjunto P2 dos números pares positivos. Então, tem-se que:
h : N �! N
x ,! y = 2x� h�1 : P2 �! N
y ,! x = h�1(y) = y2
Atendendo a que é habitual representar-se a variável independente porx e a dependente por y , pode escrever-se:
h�1 : P2 �! N
x ,! y = x2
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 16 / 35
Funções reais de variável real
De�nição: Função real de variável real f é toda a aplicação de umsubconjunto de R em R, ou seja, é toda a aplicação cujo Df � R e oconjunto de chegada é R.
f : Df � R ! R
x ,! y = f (x)
(i) Determinação de domínios
f (x) = 2x+1x�2 tem Df = fx 2 R : x � 2 6= 0g = Rnf2g,
logo f : Rnf2g ! R
x ,! y = 2x+1x�2 .
g(x) = x + 3 tem Df = R, logo g : R ! R
x ,! y = x + 3.
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 17 / 35
Funções reais de variável real
(ii) Funções de�nidas por expressões analíticas diferentes
f (x) =�1� 3x se x � 23x + 2 se x < 2
) f (3) = 1� 3� 3 = �8f (1) = 3� 1+ 2 = 5
- Módulo ou valor absoluto
f (x) = jg(x)j =�
g(x) se g(x) � 0�g(x) se g(x) < 0
Exemplo:
f (x)=jx � 2j=�
x � 2 se x � 2 � 0�(x � 2) se x � 2 < 0 =
�x � 2 se x � 22� x se x < 2
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 18 / 35
Funções reais de variável real
(iii) Injectividade, função inversa e contradomínio
Exemplo: Considere-se, em R, a seguinte função: f (x) = 2xx�1
de domínio Df = fx 2 R : x � 1 6= 0g = Rnf1g.
� Injectividade:f é injectiva se e só se: f (x1) = f (x2)) x1 = x2, 8x1, x2 2 Df
f (x1) = f (x2), 2x1x1�1 =
2x2x2�1
, 2x1(x2 � 1) = 2x2(x1 � 1), 2x1x2 � 2x1 = 2x2x1 � 2x2, x1 = x2
O que prova que f é injectiva.
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 19 / 35
Funções reais de variável real
� Função inversa e contradomínio:Sendo que f é injectiva, então admite inversa.
y = 2xx�1 , y(x � 1) = 2x , yx � y = 2x
, yx � 2x = y , x(y � 2) = y, x = y
y�2
Tomando x como variável independente: f �1(x) = xx�2
e Df �1 = fx 2 R : x � 2 6= 0g = Rnf2g = CDf , então:f �1 : Rnf2g ! Rnf1g
x ,! xx�2
CDf não coincide com conjunto-chegada (R)) f não é sobrejectiva.
Mas... para determinar o CDf nem sempre se pode recorrer ao Df �1 .
� Exemplos: g(x) = 2+ x2 e h(x) = 5�px2 + 1.
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 20 / 35
Funções reais de variável real
(iv) Zeros de uma função
Os zeros de uma função f são os valores de x para os quais a funçãose anula: x1 é zero de f se e só se f (x1) = 0.
� Exemplos: f (x) = (x2 � 1)(x + 2) e g(x) = x 2+1x�1 .
(v) Sinal de uma função
Uma função diz-se positiva (negativa) num subconjunto A do seudomínio se e só se 8x 2 A, f (x) > 0 (f (x) < 0).
� Exemplos: f (x) = x2 + 1 e g(x) = x + 2.
(vi) Monotonia
Uma função diz-se crescente num subconjunto A do seu domíniose e só se 8x1, x2 2 A, x2 > x1 ) f (x2) > f (x1).
Uma função diz-se decrescente num subconjunto A do seu domíniose e só se 8x1, x2 2 A, x2 > x1 ) f (x2) < f (x1).
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 21 / 35
Funções reais de variável real
f: g:y y
y2 x2>x1=>f(x2)>f(x1), ∀x∈ℜ x2>x1=>f(x2)<f(x1), ∀x∈ℜ
y1
x1 x2
0 x1 x2 x 0 xy1
y2
Figura 2.11. Monotonia de uma função
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 22 / 35
Estudo e representação grá�ca de uma recta
Chama-se função a�m (recta) numa variável real x a toda a função:
f : R ! R
x ,! y = mx + b m, b 2 R
Função polinomial ) Domínio é R
Casos possíveis (m = 0 ou m 6= 0):
(i) m = 0 ) y = b (b 2 R)
� Grá�co: y = 2; y = �1. (Injectiva? Sobrejectiva? Zeros?)
(ii) m 6= 0 ) y = mx + b
� Grá�co: basta considerar pelo menos dois pontos, mas...
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 23 / 35
Estudo e representação grá�ca de uma recta
Para uma completa caracterização da função ) Identi�car:
1) Zeros:mx + b = 0, x = � b
m (um único zero)cruza o eixo dos xx no ponto (� b
m , 0).
2) Intersecção com o eixo dos yy :x = 0) y = m� 0+ b , y = b.cruza o eixo dos yy no ponto (0, b).
3) Sinal:
Positiva se: mx + b > 0,�x > � b
m se m > 0x < � b
m se m < 0;
Positiva se: mx + b < 0,�x < � b
m se m > 0x > � b
m se m < 0.
4) Monotonia:Se m > 0, a função é crescente em todo o seu domínio;Se m < 0, a função é decrescente em todo o seu domínio.
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 24 / 35
Estudo e representação grá�ca de uma recta
y m>0 y m<0
y=mx+bb
0 b/m x 0 b/m x
b y=mx+b
Figura 2.13. Grá�co da recta y = mx + b
� Injectiva (admite inversa) e sobrejectiva. Demonstração...
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 25 / 35
Estudo e representação grá�ca de uma recta
Injectiva:
y(x1) = y(x2), mx1 + b = mx2 + b, mx1 = mx2 , x1 = x2
Proposição 8x1, x2 2 Df , y(x1) = y(x2)) x1 = x2 é verdadeira.
Sobrejectiva:
Invertendo a função: y = mx + b , y � b = ax , x = y�ba
Contradomíno é R ) coincide com conjunto de chegada (R)
Inversa: f �1 : R ! R
x ,! y = x�ba
� Exemplo: y = �2x + 3
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 26 / 35
Estudo e representação grá�ca de uma função quadrática
Chama-se função quadrática a toda a função que pode ser de�nidapor um polinómio de 2o grau numa variável x , tal que:
f : R ! R
x ,! ax2 + bx + c
com a, b, c 2 R e a 6= 0.
Função polinomial ) Domínio é R
Para uma completa caracterização da função ) Identi�car:
(1) zeros (caso existam); (2) ponto de intersecção com o eixo dos yy ;
(3) vértice; (4) concavidade; (5) sinal; e (6) monotonia.
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 27 / 35
Estudo e representação grá�ca de uma função quadrática
1) Zeros
Fórmula resolvente: ax2 + bx + c = 0, x = �b�pb2�4ac2a
(i) se b2 � 4ac > 0) x1 = �b+pb2�4ac2a _ x2 = �b�
pb2�4ac2a
função cruza o eixo dos xx nos pontos (x1, 0) e (x2, 0).
(ii) se b2 � 4ac = 0) x = � b2a
função cruza o eixo dos xx no ponto (� b2a , 0).
(iii) se b2 � 4ac < 0) a função não tem zeros reais.
não cruza o eixo dos xx .
2) Intersecção com o eixo dos yy :
x = 0) f (0) = a� 02 + 0� b+ c = cfunção cruza o eixo dos yy no ponto (0, c).
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 28 / 35
Estudo e representação grá�ca de uma função quadrática
3) Vértice:
A função f (x) = ax2 + bx + c é uma parábola.
Sabe-se que a(x � h)2 + k é parábola com vértice no ponto (h, k).
ax2 + bx + c = a�x2 + b
a x�+ c
= a�x2 + b
a x +b24a2 �
b24a2
�+ c
= a�x2 + b
a x +b24a2
�� b2
4a + c
= a�x + b
2a
�2 � b2�4ac4a
= a�x �
�� b2a
��2+�� b2�4ac
4a
�Assim: h = � b
2a e k = � b2�4ac4a
Logo, o vértice da função é: (h, k) =�� b2a ,�
b2�4ac4a
�Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 29 / 35
Estudo e representação grá�ca de uma função quadrática
4) Concavidade:
O sentido da concavidade da função quadrática (parábola) depende
apenas do sinal do coe�ciente a.
Se a > 0) a função tem a concavidade voltada para cima ([)) é convexa.
Se a < 0) a função tem a concavidade voltada para baixo (\)) é côncava.
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 30 / 35
Estudo e representação grá�ca de uma função quadrática
5) Sinal:
(i) b2 � 4ac > 0 ) dois zeros reais diferentes (x1 e x2);
e atendendo ao sentido da concavidade (i.e. ao sinal de a):
a > 0 a < 0
+ + x1 + x2
x1 x2 x x
x �∞ x1 x2 +∞f (x) sinal de a 0 sinal de �a 0 sinal de a
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 31 / 35
Estudo e representação grá�ca de uma função quadrática
(ii) b2 � 4ac = 0 ) um único zero (duplo): x = � b2a ;
e atendendo ao sentido da concavidade (i.e. ao sinal de a):
a > 0 a < 0
b/2a x
+ + b/2a x
x �∞ � b2a +∞
f (x) sinal de a 0 sinal de a
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 32 / 35
Estudo e representação grá�ca de uma função quadrática
(iii) b2 � 4ac < 0 ) a função não tem raízes reais;
e atendendo ao sentido da concavidade (i.e. ao sinal de a):
a > 0 a < 0
x
+ + +x
x �∞ +∞f (x) sinal de a
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 33 / 35
Estudo e representação grá�ca de uma função quadrática
6) Monotonia:
Depende também do sinal do coe�ciente a.
Se a > 0) concavidade voltada para cima ([) )) decrescente até ao vértice (isto é, até x = � b
2a )) e crescente a partir desse ponto;
x �∞ � b2a +∞
f (x) & � b2�4ac4a %
Se a < 0) concavidade voltada para baixo (\) )) crescente até ao seu vértice (isto é, até x = � b
2a )) e decrescente a partir desse ponto.
x �∞ � b2a +∞
f (x) % � b2�4ac4a &
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 34 / 35
Estudo e representação grá�ca de uma função quadrática
Com base em toda esta informação é possível representargra�camente uma função quadrática (parábola) com todo o rigor.
Veja-se o seguinte exemplo:
� Estudar e representar gra�camente:
f (x) = x2 � 3x + 2
� Averiguar ainda se é injectiva e/ou sobrejectiva.
Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 35 / 35