Pravděpodobnost a matematická statistika I.

Obsah kurzu:1. Kombinatorika2. Náhodný jev, operace s náhodnými jevy, klasická, geometrická, axiomatická definice pravděpodobnosti3. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislost jevů, úplná pravděpodobnost, Bayesova věta4. Náhodná veličina, rozdělení náhodné veličiny, charakteristiky náhodné veličiny5. Příklady diskrétních a spojitých rozdělení6. Náhodný výběr, princip statistického testování7. 2 testy, t - testy

Literatura.Calda E., Dupač V., Matematika pro gymnázia. Kombinatorika, pravděpodobnost, Statistika, Prometheus, 2005Brousek, J., Ryjáček Z., Sbírka řešených příkladů z počtu pravděpodobnosti, ZČU Plzeň, 1992Anděl J., Statistické metody, Matfyzpress, Praha 1998Mrkvička T., Petrášková V., Úvod do teorie pravděpodobnosti, PF JU, ČeskéBudějovice, 2008.http://mathonline.fme.vutbr.cz/http://homen.vsb.cz/~oti73/cdpast1/

Organizace kurzu.Účast na přednáškách není povinná, účast na cvičeních je povinná. Pro udělení zápočtu je nutno splnit současně: účast na cvičeních alespoň 50% včetně omluvených absencí a dostatečnou úspěšnost v průběžných testech.

Klasifikace u zkoušky řádný termín:

Klasifikace u zkoušky opravné termíny:

body pro klasifikaci jsou tvořeny 70% za zkouškový test 30% za procento úspěšnosti na cvičeních

klasifikace: (x je dosažené procento úspěšnosti) x < 55, známka 4 55 x < 65, známka 3 65 x < 70, známka 2- 70 x < 80, známka 2 80 x < 90, známka 1- x 90, známka 1

Každý test na cvičeních je hodnocen procentem úspěšnosti 0% – 100%. Pro získání zápočtu musí být průměr úspěšností všech krátkých testů na cvičeních alespoň 50%. Pokud student nezíská zápočet, nemůže skládat zkoušku je hodnocen známkou “4“(neprospěl)

body pro klasifikaci jsou tvořeny 100% za opravný test

klasifikace: x je dosažené procento úspěšnosti:

x < 55, známka 4 55 x < 65, známka 3 65 x < 70, známka 2- 70 x < 80, známka 2 80 x < 90, známka 1- x 90, známka 1

Kombinatorika.

Pravidla pro práci se skupinou: • výběr prvků• organizace podskupin

Základní pojmy.

Faktoriály a kombinační čísla.

základní množina M konečná množina M o n prvcích {1, 2 ,3, 4, 5}skupina je tvořena prvky z M. Nezáleží na pořadí prvků. {1, 2} = {2, 1}skupina k -té třídy skupina s k prvky {lichá čísla z M} je skupina 3. třídyuspořádaná skupina skupina, v níž záleží na pořadí prvků {1, 2} se nerovná {2, 1}skupina bez opakování každý prvek z M je zastoupen nejvýše jednou {lichá čísla z M} je skupina 3. třídyskupina s opakováním každý prvek z M může být zastoupen vícekrát {1, 1, 2, 3, 5, 5}

1.2.3)...2)(1(! nnnn

)!)(2)(1(! knnnnn

1!0

)!(!

!

knk

n

k

n

, 0 ≤ k ≤ n, k N, n N

Pravidla pro počítání s kombinačními čísly.

kn

n

k

n 1

0

n

nn nk

k

n

k

n

k

n

,

1

1

1

Příklad.

1204.3.10

1.2.3

8.9.10

!7!3

!10

3

10

Které přirozené číslo k vyhovuje rovnici ?

k + 1 2, k 1k 2

k 2

5

54

22

1 kk

4

)!2(2

!

)!1(2

)!1(

k

k

k

k

42

)1(2

)1( kkkk

k = 2, protože k N

Variace.

Variace k-té třídy z n prvků bez opakování je každá uspořádaná k-prvková podmnožina základní množiny M s n prvky. Počet variací k-třídy z n prvků bez opakování:

)!(

!)(

kn

nnVk

, 0 ≤ k ≤ n, k N, n N.

Příklad.

M = {1,2,3}, určete počet dvojic bez opakování,které lze z této množiny vytvořit,pokud záleží na pořadí prvků.

V2(3): (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2), tedy můžeme vytvořit 6 variací2. Třídy z 6 prvků.

6

!1

!3)3(2 V

Příklad.Jsou dány číslice 1, 2, 3, 4, 5, 6. Kolik 3-ciferných čísel z nich lze sestavit, jestliže se číslice neopakují a záleží na pořadí cifer.

120.4.5.6

!3

!6)6(3 V

Variace k-té třídy z n prvků s opakováním je každá uspořádaná k-prvková podmnožina základní množiny M s n prvky, v níž se každý prvek může opakovat k krát. Počet variací k-té třídy z n prvků s opakováním:

kk nnV )(/

, k N, n N.

Příklad.

Jsou dány číslice 1, 2, 3, 4, 5, 6. Kolik 3-ciferných čísel z nich lze sestavit, jestliže se číslice mohou opakovat a záleží na pořadí cifer.

2166)6( 3/3 V

Kombinace.

Kombinace k-té třídy z n prvků bez opakování je každá k-prvková podmnožina základní množiny M s n prvky, v níž nezáleží na pořadí prvků. Počet kombinací k-třídy z n prvků bez opakování:

k

nnCk )( , 0 ≤ k ≤ n, k N, n N

Příklad.

Kolik 4-tónových akordů lze zahrát z 7 tónů?

352.3

5.6.7

!3!4

!7

4

7)7(4

C

Kombinace k-té třídy z n prvků s opakováním je každá k-prvková podmnožina základní množiny M s n prvky, v níž nezáleží na pořadí prvků a kde se každý prvekMůže opakovat k krát. Počet kombinací k-třídy z n prvků s opakováním:

k

knnCk

1)(/ , k N, n N

Příklad.

V obchodě mají 3 barvy příze v klubíčcích po 50 g. Potřebuji 500 g příze. Kolika způsoby mohu koupit 500g?

66

!2!10

!12

10

12)3(/

10

C

Permutace.

Permutace bez opakování z n prvků je každé uspořádání n prvkové základnímnožiny.

!)( nnP Příklad.

Kolik přesmyček lze vytvořit z písmen m, a, t, e, m, a, t, i, k, a?P(10) = 10! = 3628800

Binomická věta.

nnnnn ba

n

nba

n

nba

nba

nba 011110

1...

10)(

, a R, b R, n N

k-tý člen řady:

1)1(

1

kknk ba

k

nA

Pascalův trojúhelník.

1)( ba

2)( ba

3)( ba

4)( ba

5)( ba

ba

1

1

0

1 1 1

221102

2

2

1

2

0

2bababa

1 2 1

30211203

3

3

2

3

1

3

0

3babababa

1 3 3 1

1 4 6 4 1

504132231405

5

5

4

5

3

5

2

5

1

5

0

5babababababa

1 5 10 10 5 1

4031221304

4

4

3

4

2

4

1

4

0

4bababababa

Příklad.

Který člen rozvoje následujícího výrazu neobsahuje x? 62 )

32(

xx , x 0

kkkkkk

k xxkx

xk

A

11)7(271)1(62 )3(21

6)

3()2(

1

6

kkk

k xk

A 31517 )3(21

6

Pokud výraz neobsahuje x, pak x15-3k = 1, neboli 15 – 3k = 0.

Odtud k = 5.

Příklad.Určete součet , kde n je libovolné přirozené číslo nebo 0.

n

n

n

nnnn

1...

210

Jedná se o binomickou větu, kde a = b = 1. Proto = 2n.

n

n

n

nnnn

1...

210

Důsledek.

udává počet všech k-prvkových podmnožin n-prvkové množiny (k = 0 je prázdnámnožina. Výše odvozený součet udává počet všech podmnožin n-prvkové množiny.n-prvková množina má tedy 2n podmnožin.

k

n

Cvičení.

1.Jistý muž má 5 kabátů, 4 vesty a 6 kalhot. Kolika různými způsoby se může obléct?

2.Kolik různých hodů lze provést třemi kostkami?

3.Kolik různých šesticiferných čísel můžeme napsat z číslic 1,2,3,4,5,6 má-li se každá vyskytnout v čísle jen jednou?

4.Které přirozené číslo vyhovuje rovnici :

22

1

02

1 xxx

5.Kterým kombinačním číslem je možno vyjádřit součet

54

nn

6.Zjednodušte:

)!1(

!

!

)!1(

n

n

n

n

7.Zvětší-li se počet prvků o 2, zvětší se počet permutací bez opakování dvanáctkrát. Jaký byl původní počet prvků?

8.Kolik různých „slov“ lze vytvořit použitím všech písmen slova automatizace?