praxéologies de reprise de l'étude et leur écologie dans l

AIX-MARSEILLE UNIVERSITÉ

MÉMOIRE DE MASTER MATHÉMATIQUES ET APPLICATIONS

SPÉCIALITÉ ENSEIGNEMENT ET FORMATION EN MATHÉMATIQUES

PARCOURS DIDACTIQUE

Praxéologies de reprise de l'étude et leur

écologie dans l'enseignement secondaire

Karine SAADA

Sous la direction de Michèle ARTAUD

Jury :

Pierre ARNOUX, professeur des universités, Aix-Marseille Université

Michèle ARTAUD, maitre de conférences, Aix-Marseille Université

Teresa ASSUDE, professeur des universités, Aix-Marseille Université

Yves CHEVALLARD, professeur des universités émérite, Aix-Marseille Université

Yves MATHERON, professeur des universités, Institut Français de l’Éducation – ENS Lyon

Septembre 2015

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Remerciements

Je tiens à remercier tout particulièrement Michèle Artaud, ma directrice de mémoire, pour sa

disponibilité, son accompagnement toujours bienveillant, et sans qui ce travail n’aurait pas pu

voir le jour.

Je tiens également à remercier Yves Chevallard, pour sa disponibilité et ses conseils

méthodologiques tout au long de ce travail.

Je voudrais aussi remercier l’équipe enseignante pour la qualité de leurs interventions et leurs

exigences de travail : Pierre Arnoux, Michèle Artaud, Teresa Assude, Tracy Bloor, Yves

Chevallard, Yves Matheron.

Un grand merci également à l’ensemble des enseignants de mathématiques de l’ESPE d’Aix-

Marseille pour leur soutien tout au long de ce travail, ainsi qu’à mes camarades de promotion

sans qui cette aventure aurait été moins belle.

Une pensée chaleureuse à mes enfants, Léo et Simon, pour leur patience et leur soutien.

3

Sommaire

Introduction p. 5

1. La reprise de l’étude, le temps didactique et le milieu : éléments de problématisation p. 7

1. 1. Reprise de l’étude et temps didactique p. 7

2. 2. Reprise de l’étude et milieu p. 8

2. Analyse praxéologique : la profession et la reprise de l’étude aujourd’hui p. 11

2. 1. Le temps didactique dans les textes officiels p. 11

2. 2. L’évaluation diagnostique pour reprendre l’étude p. 15

2. 2. 1. Dans les ressources officielles p. 17

2. 2. 2. Sur les sites académiques p. 19

2. 3. Reprise de l’étude au sein d’un système didactique auxiliaire p. 26

2. 4. Reprise de l’étude dans les manuels scolaires p. 40

2. 4. 1. Le cas de la symétrie axiale en sixième p. 40

2. 4. 2. Le cas du théorème de Thalès en troisième p. 43

3. Élaboration d’une praxéologie de reprise de l’étude par des professeurs débutants p. 45

3. 1. Analyse praxéologique d’une formation à la reprise de l’étude p. 45

3. 2. Équipement praxéologique de professeurs débutants p. 54

3. 3. Évolution de la formation et ces conséquences p. 60

4. La voix du professeur p. 65

4. 1. Une enquête par questionnaire p. 65

4. 2. La reprise de l’étude comme geste professionnel p. 66

Conclusion p. 77

Bibliographie p. 79

5

Introduction

… il y a reprise d’étude dans une classe chaque fois qu’on y étudie un objet qui a déjà été

étudié dans une classe antérieure (on peut, de ce point de vue, se référer aux programmes des

dites classes) ou même dans l’année en cours. En fait, il est sans doute bon d’inclure parmi les

situations de reprise d’étude ces situations où l’on utilise un « objet » peu souvent utilisé, sans

pour autant prétendre l’étudier à nouveaux frais – sans qu’il soit tenu, donc, pour un enjeu

didactique. Cette extension de la notion de reprise d’étude se justifie par le fait que, dans une

classe, la frontière entre le didactique et le non-didactique (ou entre objet d’étude et « simple »

outil d’étude) est très perméable : l’utilisation d’un objet « ancien » peut ainsi toujours susciter

un « rappel », sinon une véritable « révision », relativement à cet objet. (Chevallard, 2015,

p. 22)

Les phénomènes liés à la reprise de l’étude telle qu’elle est définie par Yves Chevallard dans

la citation précédente apparaissent vifs aux yeux de l’observateur informé du système scolaire

et, en tant que formatrice à l’IUFM, puis à l’ESPE, d’Aix-Marseille nous y avons été

régulièrement confrontée. En particulier, il nous a été donné de constater des difficultés, plus

résistantes que d’autres, chez les professeurs débutants en formation pour se constituer une

praxéologie pertinente de reprise de l’étude, soit une praxéologie de nature à favoriser, voire

permettre, une direction de l’étude fructueuse lorsque le thème à l’étude était au programme

de l’année précédente.

Nous avons donc choisi d’étudier, dans notre mémoire de master, les praxéologies de reprise

de l’étude des professeurs de mathématiques de l’enseignement secondaire français. Nous

nous placerons pour cela dans le cadre de la théorie anthropologique du didactique

(Chevallard, 2007) en examinant la question suivante, qui relève de la problématique

possibiliste (Chevallard, 2011) :

Quelles praxéologies de reprise de l’étude peuvent-elles être rencontrées, voire apprises, par

un professeur de mathématiques de l’enseignement secondaire aujourd’hui ?

L’identification d’une praxéologie qu’il est possible de rencontrer, voire d’apprendre, soulève

la question des conditions et des contraintes sous lesquelles elle est, de fait, rencontrée ou

apprise, et nous nous intéresserons donc également à la problématique de base (Chevallard,

2011), duale de la problématique possibiliste, en examinant la question :

Dans quelles conditions et sous quelles contraintes est-il possible de rencontrer, voire

d’apprendre, une praxéologie de reprise de l’étude donnée ?

7

1. La reprise de l’étude, le temps didactique et le milieu : éléments de

problématisation

Telle qu’elle a été définie par Yves Chevallard dans la citation donnée en introduction, la

reprise de l’étude dessine, pour les didacticiens, un vaste territoire d’enquête. Cela est

augmenté par le fait que relativement peu de travaux se sont intéressés à ces phénomènes.

Le dernier en date nous semble dû à Mirène Larguier (2009) et porte sur la reprise de l’étude

de l’organisation numérique issue du collège dans la classe de 2de

. L’auteure s’intéresse

principalement à l’écologie de cette organisation mathématique et les praxéologies

professionnelles des professeurs interviennent surtout comme conditions ou contraintes

d’existence de cette organisation mathématique. Cette étude, intéressante à maints égards,

livre un état des travaux antérieurs sur cette question, auquel nous renvoyons le lecteur, et met

plus particulièrement en évidence, par l’étude clinique de l’enseignement de deux professeurs

de seconde, d’un côté, l’absence d’une praxéologie professionnelle routinière de reprise de

l’étude ; d’un autre côté, les manques à la fois d’ingrédients praxéologiques et

d’amalgamation des organisations mathématiques produites. À cet égard, l’étude effectuée

traque minutieusement les utilisations, dans la classe de 2de

, des objets numériques étudiés au

collège. Par contraste, nous avons choisi dans notre travail de nous centrer sur les

praxéologies professionnelles de reprise de l’étude, leurs conditions d’élaboration et

d’existence, sans considérer un domaine mathématique particulier, et nous avons également

fait le choix d’examiner les reprises de l’étude officiellement désignées ou repérées comme

telles. C’est dire que, dans notre enquête, nous partons des niveaux pédagogique et

disciplinaire de l’échelle de codétermination didactique (Chevallard, 2002).

1. 1. Reprise de l’étude et temps didactique

La reprise de l’étude est indissociable du temps didactique et de ses caractéristiques dont

l’émergence est consubstantielle de la transposition didactique (Chevallard, 1985) :

Dans la relation didactique (qui unit enseignant, enseigné, et « savoir »), l’enseignant est le

servant de la machine didactique dont le moteur est la contradiction de l’ancien et du

nouveau : il en nourrit le fonctionnement en y introduisant ces objets transactionnels que sont

les objets de savoir convenablement apprêtés en objets d’enseignement. Il est celui qui,

toujours – s’il veut remplir son rôle, tenir sa « place » – doit « étonner ». Il relance l’horloge

didactique en parant à l’obsolescence interne qui amènerait l’arrêt du temps – ou, du moins,

son ralentissement, son exténuation. (p. 71)

…l’enseignant reçoit de l’enseigné cette exigence : « étonnez-moi ! ». Il est celui qui, chaque

fois, doit relancer le mouvement. Il devra s’assurer les moyens de son hégémonie s’il ne veut

pas tomber aux basses œuvres de la coercition (pour utiliser le langage de Gramsci). (p. 73)

Ce temps didactique, qui avance de manière linéaire et segmentaire, s’est forgé

historiquement sous l’influence de Comenius et de Descartes (Chevallard & Mercier, 1987) :

8

Le temps du savoir se définit d’abord par son caractère linéaire : « conduire par ordre » ses

pensées, telle est l’impérative consigne à quoi il faut plier cela même qui semble y répugner

(« supposant même de l’ordre … »). Temps progressif, qui va des « objets les plus simples et

les plus aisés à connaitre, pour monter peu à peu, comme par degrés, jusques à la connaissance

des plus composés ». (p. 55)

À ce caractère linéaire du temps de l’étude s’ajoute chez Descartes l’idée que la construction

du savoir est un processus irréversible :

Voilà ainsi une autre de nos fictions : celle d’acquis définitifs. Descartes en trace fort

nettement la loi : « n’y ayant qu’une vérité de chaque chose, écrit-il, quiconque la trouve en

sait autant qu’on peut en savoir ; et […], par exemple, un enfant instruit en arithmétique, ayant

fait une addition suivant ses règles, se peut assurer d’avoir trouvé, touchant la somme qu’il

examinait, tout ce que l’esprit humain saurait trouver ». Fiction d’un temps du savoir sans

rebroussements, d’une progression dans la connaissance qui toujours va de l’avant, sans

retouche aucune. (ibid., pp. 56-57)

C’est à ce problème des « retours » et de leur prise en charge dans les organisations de l’étude

que la reprise de l’étude d’un thème s’attaque : il s’agit bien, comme nous le verrons, de faire

vivre la fiction que le temps didactique avance « sans rebroussements ». Le temps didactique

va donc conditionner et contraindre les praxéologies de reprise de l’étude.

1. 2. Reprise de l’étude et milieu

Comme il en va classiquement en théorie anthropologique du didactique depuis plusieurs

années, nous modéliserons le processus d’étude d’une question Q à l’aide du schéma

herbartien que nous reproduisons ci-dessous sous sa forme développée (Chevallard, 2014) :

Dans le cas où la question Q amène à reprendre l’étude d’un thème , la réponse R va

intégrer des éléments neufs relatifs à , éventuellement articulés à des éléments anciennement

étudiés. L’écologie nouvellement créée de ces éléments anciens va produire un nouveau

rapport institutionnel. Mais la production de la réponse R

va s’appuyer sur un milieu d’étude

dont le thème fait partie avec le rapport institutionnel anciennement établi.

Dans la conduite du processus d’étude de Q, si l’on excepte la stratégie résidant dans

l’ignorance de l’aménagement du milieu, deux voies au moins paraissent pouvoir être

suivies : la première consiste pour les aides à l’étude à s’assurer de la disponibilité dans le

milieu d’étude des praxéologies pertinentes relativement à avant le début de l’étude de Q ;

la seconde consiste à aménager le milieu en cours d’étude si et lorsque cela s’avère

nécessaire.

Compte tenu des citations précédentes relatives au temps didactique, les deux voies paraissent

délicates car elles peuvent être vues comme venant arrêter la progression du temps de l’étude

voire, au moins dans le cas de la seconde, rebrousser chemin.

9

C’est cet aspect des praxéologies de reprise de l’étude que nous examinerons principalement

dans ce travail ; c'est-à-dire l’équipement praxéologique mis en œuvre pour que le milieu

d’étude contienne les éléments pertinents antérieurement étudiés du thème dont on reprend

l’étude.

De ce point de vue, notre étude n’est pas sans lien avec la gestion de la mémoire du système

didactique (Brousseau et Centeno, 1991 ; Matheron, 2000). Notamment, dans le cas où le

thème a été étudié dans une classe antérieure, la reprise de l’étude va mobiliser, pour

constituer le milieu d’étude, une mémoire institutionnelle, produit d’une histoire qui n’est ni

celle de l’ensemble des élèves ni celle des aides à l’étude. Il est donc probable que la reprise

d’étude d’un thème donne à voir des phénomènes mémoriels. Mais compte tenu du temps

dévolu à ce travail, nous avons choisi de nous centrer dans ce qui suit sur la constitution du

milieu d’étude.

11

2. Analyse praxéologique : la profession et la reprise de l’étude aujourd’hui

Nous examinerons ici les recommandations institutionnelles concernant la reprise de l’étude

dans l’enseignement des mathématiques au secondaire et étudierons de quelle manière la

profession s’en est emparée pour se constituer un équipement praxéologique.

2. 1. Le temps didactique dans les textes officiels

Le bulletin officiel n° 6 du 28 août 2008 définissant les programmes de l’enseignement de

mathématiques du collège précise dans le paragraphe 4 « Organisation des apprentissages et

de l’enseignement » du préambule pour le collège de la partie Mathématiques (MEN, 2008) :

Il est nécessaire d’entretenir les capacités développées dans les classes antérieures,

indispensables à la poursuite des apprentissages et à la maîtrise du socle commun par tous les

élèves. Cet entretien doit être assuré non par des révisions systématiques mais par des activités

appropriées, notamment des résolutions de problèmes. […]

L’enseignement prend en compte les connaissances antérieures des élèves : mise en valeur des

points forts et repérage des difficultés de chaque élève à partir d’évaluations diagnostiques.

Ainsi l’enseignement peut-il être organisé au plus près des besoins des élèves, en tenant

compte du fait que tout apprentissage s’inscrit nécessairement dans la durée et s’appuie sur les

échanges qui peuvent s’instaurer dans la classe.

Il convient de faire fonctionner les notions et «outils » mathématiques étudiés au cours des

années précédentes dans de nouvelles situations, autrement qu’en reprise ayant un caractère de

révision. En sixième, particulièrement, les élèves doivent avoir conscience que leurs

connaissances évoluent par rapport à celles acquises à l’école primaire. (pp. 10-11)

Le repérage des difficultés des élèves apparaît ainsi clairement, avec la précision qu’il se fera

à partir d’évaluations diagnostiques ; et, l’entretien des capacités des élèves développées dans

les classes antérieures ne doit pas être assuré par des révisions systématiques. On notera que

ces éléments étaient signifiés à l’identique dans le programme qui est paru en 2007.

Une recherche dans les différents programmes actuels du lycée sur les mots « révisions » ou

« diagnostique » ne fournit aucune occurrence. En revanche, on retrouve la même

recommandation concernant les révisions systématiques dans le paragraphe 1 « Le cadre

général » de la partie III « Organisation de l’enseignement et du travail des élèves » de

l’introduction des anciens programmes des séries technologiques du lycée (MEN, 2006) :

Les programmes de la classe de première et de la classe terminale forment un tout ; dans

chaque classe, les activités de résolution d’exercices et de problèmes fournissent un champ de

fonctionnement pour les capacités acquises dans les classes antérieures et permettent, en cas

de besoin, de consolider ces acquis ; on évitera en revanche les révisions

systématiques. (p. 16)

12

Comme l’indique cette introduction, « les différentes rubriques du programme comportent des

indications sur la continuité des objectifs poursuivis ».

Nous voyons ainsi que les différents programmes, même si on y insiste davantage au collège,

recommandent de ne pas effectuer de révisions systématiques ; les connaissances antérieures

des élèves doivent être entretenues et sont mobilisées au cours de résolutions de problèmes.

Il est à noter que ce ne fut pas toujours le cas, comme le rappelle Yves Chevallard dans la

notice du Dictionnaire de didactique des mathématiques 1997-1998 consacrée au temps de

l’étude :

En dépit du malaise que les révisions ne manquent donc pas de susciter, les programmes

officiels ont longtemps prescrit la révision d’une partie du programme de la classe précédente,

comme le rappelle l’extrait reproduit ci-après du programme de mathématiques des classes de

quatrième d’août 1937.

Programme des classes de 4e du 30 août 1937 (extrait)

GÉOMÉTRIE

I. – Révision d’une partie du programme de la classe précédente et compléments

Cas d’égalité des triangles quelconques et des triangles rectangles.

Notions, d’après des exemples, de théorèmes réciproques, de conditions nécessaires et suffisantes, de

propriétés caractéristiques.

Droites parallèles. Propriétés angulaires caractéristiques. Angles à côtés parallèles.

Propriétés caractéristiques du parallélogramme, du rectangle, du triangle rectangle (médiane relative à

l’hypoténuse), du losange.

Sommes des angles d’un triangle (angles intérieurs et extérieurs). Applications à un polygone

décomposé en triangles.

II. – Programme particulier à la classe

Tout aussi officiellement, pourtant, de telles révisions sont aujourd’hui proscrites, les textes

officiels distinguant deux manières opposées, l’une fortement déconseillée, l’autre vivement

recommandée, de faire figurer le passé dans le présent : d’un côté, par des révisions, pratique

condamnée sans appel quand elle est « systématique » ; de l’autre, par l’activation, dans les

tâches mathématiques proposées, des objets mathématiques antérieurement étudiés et qui ne

sont plus des enjeux didactiques, stratégie qu’il convient au contraire de développer de

manière systématique. (Chevallard, 1998, pp. 27-28)

On retrouvera des prescriptions de révisions dans différentes parties du programme de 1945,

publié par Jean-Luc Bregeon sur son site personnel, dont nous reproduisons ci-dessous deux

extraits (MEN, 1945) :

Classe de Seconde A et B

[…] Géométrie

1. Révision : rapport de deux segments, points partageant un segment dans un rapport

arithmétique donné.

[…]

3. Révision des notions vues en troisième sur les polygones réguliers usuels, sur la longueur

d'un arc de circonférence (on admet que la longueur de la circonférence est 2πR). Radian.

4. Révision des formules vues en Troisième relatives aux aires ; aire d'un secteur de cercle (on

admet que l'aire du cercle est πR²)

13

CLASSE DE MATHÉMATIQUES

[…] Géométrie

Le programme de géométrie de la classe de Mathématiques est un programme de complément,

réduit à des lignes essentielles : l’enseignement comporte l’exposé magistral des théories

nouvelles, de leurs principales applications, la révision et la mise au point des connaissances

acquises dans les classes antérieures par l’exécution d'exercices nombreux et gradués. Il

demeure comme par le passé l’enseignement fondamental de la classe de Mathématiques, celui

qui requiert plus de soins et le plus de temps.

Dans la période 1960-1985, les pratiques et les instructions relatives aux révisions vont être

contrastées. Ainsi, trouve-t-on dans les indications préliminaires relatives au programme de

sixième de 1957 (MEN, 1957) les notations suivantes :

[L]e programme de cette classe n’apporte, formellement, aucune connaissance nouvelle mais il

ne s’agit ni d’une répétition ni d’une révision plus ou moins détaillée du programme du

« cours moyen ».

Il conviendra d’abord, à l’occasion de chacun des chapitres, de procéder à l’inventaire de ce

qui est déjà connu et correctement assimilé afin d’éviter de fastidieuses redites. Puis les

diverses questions seront reprises et étudiées non en imposant aux élèves quelques formules et

quelques règles impératives mais en s’efforçant de leur apprendre à regarder et à réfléchir.

(ibid., p. 2569)

Le programme de terminale C de 1967 paru au bulletin officiel n° 26 du 30 juin 1966, livre

également dans le paragraphe introductif aux « compléments de géométrie dans

l’espace » que ce thème ne doit pas donner lieu à des révisions :

Le rappel des notions de géométrie analytique dans le plan et dans l’espace acquises en

Seconde et en Première, interviendra naturellement à l’occasion de l’étude de divers chapitres

du présent programme et à l’occasion de problèmes ; il ne doit pas donner lieu à une révision

systématique1. (MEN, 1967)

Alors que dans le programme de première D de 1970, on peut lire : « produit scalaire dans le

plan vectoriel. Révision2 de ses propriétés : norme d’un vecteur ; inégalité de Cauchy-

Schwarz ; inégalité triangulaire ». (in Gautier, Girard &Lentini, 1970, p. 7)

La pratique des révisions avait encore cours dans les années 1970. Ainsi, dans un ouvrage

pour le professeur associé au livre de quatrième de la collection Maugin (Fauvergue, Jeanmot

& Rieu 1979), dans lequel « le programme est traité en 31 chapitres » pouvons-nous lire :

« Les chapitres 1 à 7 sont consacrés, en très grande partie, à des révisions ». Ou encore, dans

1

C’est nous qui soulignons.

2 C’est nous qui soulignons.

14

le guide pédagogique associé à l’ouvrage de quatrième de la collection Monge (Monge et al.,

1974) que « les révisions des notions étudiées en Cinquième sont regroupées dans les trois

premiers chapitres » sur les 15 que compte la première partie consacrée aux nombres

décimaux relatifs et à l’approche des réels : le premier chapitre « Ensembles et relations » est

« entièrement consacré à la révision de notions acquises au cours du cycle d’observation », et

le « début du chapitre » intitulé « Applications, bijections » est « consacré à la révision de la

notion d’application d’un ensemble dans un ensemble. Nous profitons de cette révision pour

introduire quelques compléments ».

Pourtant, à propos des relations, le complément au commentaire des programmes de

quatrième et de troisième, paru en 1973 explicitait nettement (MEN, 1973, p. 628-629) :

La notion de relation, abordée en sixième, révisée et enrichie en cinquième, ne doit plus du tout

faire ici l’objet d’un chapitre méthodiquement développé, qui lasserait d’emblée les élèves par

des redites fastidieuses ; il s’agit seulement ici, au début de l’année, de prendre en main les

élèves, de toute provenance, pour préciser brièvement leur acquis et unifier leur langage, pour

les préparer surtout à greffer sur cet acquis les nouveautés du programme toute l’année durant et

chacune au moment opportun, en particulier la notion de groupe.

Ce terme de révision apparaitra dans les programmes publiés à partir de 1985 pour être

proscrit comme nous l’avons vu plus haut pour les programmes de 2006. Ainsi peut-on lire,

dans le programme de sixième publié en décembre 1985 (MEN, 1985) : « Il convient […] de

faire fonctionner à propos de nouvelles notions et autrement qu’en reprise ayant un caractère

de révision, les notions et “outils” mathématiques antérieurement étudiés. ». On peut penser

que les modifications de la société, dont le mouvement de mai 1968 et la réforme des

mathématiques modernes sont issus, ont influé sur ce revirement de la noosphère qui conduit

à intégrer la contrainte de l’avancée « sans retour » du temps didactique. Une étude plus

approfondie serait sans doute nécessaire pour comprendre ces choix mais nous ne la mènerons

pas ici. Nous noterons simplement que des contraintes du niveau de la société vont donc peser

sur les choix didactiques des professeurs alors que cet héritage historique des révisions vient

créer des conditions de niveau pédagogique favorisant chez certains des techniques de reprise

de l’étude basées sur les révisions en début de séquence, voire en début d’année scolaire,

comme nous le verrons plus loin.

Les documents de la collection Ressources pour les classes du collège confirment cette

volonté de ne pas procéder à des révisions systématiques énoncée dans les programmes depuis

les années 1980, mais sans qu’une technique de reprise de l’étude des praxéologies

antérieurement étudiées soit véritablement précisée avant 2007 : le maigre viatique fourni est

qu’il faut faire « autrement » en les mettant au service de l’étude du « nouveau ». L’indication

technique que nous avons vue mise en avant en 2007, « l’évaluation diagnostique », est

enregistrée dans les documents les plus récents. Voici un extrait du document « Raisonnement

et démonstration au collège » (MEN, 2009a), paragraphe 3 « Raisonnement et évaluation »,

mentionnant l’évaluation diagnostique comme favorisant l’apprentissage si elle est suivie

d’un travail transitionnel, soit d’un travail favorisant la mise en conformité avec le rapport

institutionnel du rapport personnel de chacun des élèves de la classe :

15

Évaluation de raisonnements par le professeur :

Ce procédé est porteur d’apprentissage à la condition d’un dialogue effectif entre l’élève et le

professeur quant aux procédures utilisées, au raisonnement suivi : un retour aux productions et

un travail sur l’erreur s’imposent. Cela est vrai dans le cadre d’une évaluation diagnostique ou

formative pour accéder aux représentations des élèves. (p. 25)

Nous nous pencherons maintenant sur cette notion d’évaluation diagnostique et l’utilisation

qui en est proposée dans les textes des documents des collections Ressources pour les classes

du collège et Ressources pour les classes du lycée ainsi que sur certains sites académiques.

2. 2. L’évaluation diagnostique pour reprendre l’étude

La notion d’évaluation diagnostique est dument enregistrée par l’institution scolaire en 2007,

l’année de son apparition dans le programme de sixième. Dans le bulletin officiel n° 33 du 20

septembre 2007, la commission générale de terminologie et de néologie en publie une

définition :

évaluation diagnostique

Domaine : Éducation-Formation.

Définition : Évaluation intervenant au début, voire au cours d’un apprentissage ou d’une

formation, qui permet de repérer et d’identifier les difficultés rencontrées par l’élève ou

l’étudiant afin d’y apporter des réponses pédagogiques adaptées.

Équivalent étranger : diagnostic assessment, diagnostic evaluation. (MEN, 2007)

On notera qu’elle est associée au repérage des besoins didactiques et à la réponse que l’on

doit y apporter sans qu’on puisse la voir a priori comme exclusivement attachée à la reprise

de l’étude puisqu’elle peut intervenir « au cours d’un apprentissage » : une utilisation pour

« faire le point » sur l’étude en cours serait ainsi possible. Cependant, la définition suivante

laisse penser que c’est la reprise de l’étude qui a lieu au cours de l’apprentissage, le travail de

mise au point de l’étude en cours étant dévolu à l’évaluation formative :

évaluation formative

Domaine : Éducation-Formation.

Définition : Évaluation intervenant au cours d’un apprentissage ou d’une formation, qui

permet à l’élève ou à l’étudiant de prendre conscience de ses acquis et des difficultés

rencontrées, et de découvrir par lui-même les moyens de progresser.

Équivalent étranger : formative assessment, formative evaluation. (ibid.)

On ajoutera que cette utilisation de la notion d’évaluation diagnostique est partiellement

conforme aux éléments mis en avant dans les écrits pédagogiques sur l’évaluation. Voici par

exemple la définition figurant dans le glossaire de l’Encyclopédie de l’évaluation en

formation et en éducation (De Peretti, Boniface & Legrand, 1998/2013) :

Évaluation :

16

- démarche opératoire par laquelle on apprécie une réalité donnée en référence à des critères

déterminés (jugement de valeur) ; en d’autres termes, opération qui mesure l’écart entre un

résultat et un objectif, et en recherche les causes. Elle peut avoir lieu par consultation, ou

individuellement ou en groupe (interview) ou de façon mixte ; […]

- diagnostique : fondée sur une « identification des acquis » (J.-M. Barbier) déjà réalisés par

un élève, et de ses attitudes, permettant par la suite des ajustements à son cursus scolaire et

une rectification de son image ; (p. 535)

Dans un autre ouvrage consacré à l’évaluation des apprentissages du point de vue de la

psychologie cognitive, l’auteur, Jacques Grégoire, consacre dans le premier chapitre trois

pages à une synthèse sur « l’évaluation diagnostique des apprentissages ». Nous le citerons ci-

après un peu longuement :

Se référant à la typologie des formes d’évaluation proposées par Bloom et ses collaborateurs,

Scallon (1988a) souligne que, pour ces auteurs, l’évaluation diagnostique remplit deux

fonctions. La première est de nature préventive et concerne l’intégration des élèves dans une

nouvelle séquence d’apprentissage. Dans ce cas, l’évaluation diagnostique vise à mettre en

évidence les forces et les faiblesses de chaque élève afin de préciser le point d’entrée adéquat

dans la séquence d’apprentissage et de déterminer le mode d’enseignement le plus adapté.

Une seconde fonction de l’évaluation diagnostique est de « déterminer la cause des difficultés

persistantes chez certains élèves » (Scallon, 1988a, p. 69). Sous certains aspects, cette fonction

rejoint celle de l’évaluation formative qui a également pour but de déceler les difficultés

pouvant se présenter en cours d’apprentissage afin d’y remédier rapidement. Par rapport à

l’évaluation formative, la spécificité de l’évaluation diagnostique est d’être à la fois plus

approfondie et plus globale (prise en compte des facteurs motivationnels,

environnementaux …). Mais les limites restent floues. Scallon propose une distinction plus

nette en se référant aux types de cause des difficultés d’apprentissage. L’évaluation

diagnostique s’intéresserait aux causes exogènes à la situation d’apprentissage alors que

l’évaluation formative prendrait uniquement en compte les causes endogènes à cette même

situation. En ce sens, le caractère diagnostique de l’évaluation formative resterait

spécifiquement pédagogique. (Grégoire, 1996, pp. 20-21)

L’institution scolaire adopte donc, semble-t-il, la première fonction de l’évaluation

diagnostique formulée par Gérard Scallon.

J. Grégoire poursuit en présentant deux types de démarches d’évaluation diagnostique en

mathématiques. Pour les premières, centrées sur les performances, il aboutit à ce verdict sans

appel :

… une approche en terme de performance se révèle rapidement insuffisante pour le diagnostic.

Tout au plus permet-elle de réaliser une première appréciation de la situation. Mais elle n’offre

pas de véritable compréhension des difficultés rencontrées par les sujets et, partant, n’offre

17

guère d’assise solide à une prise en charge remédiative efficace. Celle-ci risque de n’être

qu’une répétition des explications qui ont précédemment échoué. (Grégoire, 1996, p. 24)

Les secondes, centrées sur les compétences, ont davantage les faveurs de l’auteur car elles

« apportent des informations plus riches et plus intéressantes pour les actions rééducatives que

les démarches d’évaluation centrées sur les performances ». Mais il contraste son discours

pour proposer une articulation des deux démarches :

C’est pourquoi, nous pensons que les évaluations normatives centrées sur les performances

gardent une place dans l’examen diagnostique. Elles permettent en effet de réaliser un passage

en revue rapide de la situation de l’élève. En cas de problème, une investigation plus

approfondie peut alors être conduite dans un secteur précis des apprentissages. (Grégoire,

1996, p. 36)

C’est dans ce contexte que se forgent les praxéologies institutionnelles d’évaluation

diagnostique pour reprendre l’étude.

2. 2. 1. Dans les ressources officielles

Conjointement à son apparition dans les programmes, la constitution d’une évaluation

diagnostique et son utilisation en classe commence à apparaître dans les textes qui les

accompagnent, nous l’avons dit. Voici par exemple le document intitulé Ressources pour la

classe de première générale et technologique – Analyse de mars 2012 qui propose quelques

« scénarios pédagogiques » développés autour de neuf « grandes problématiques » (MEN,

2012a). L’une d’elles nous intéresse plus particulièrement ici : « Comment utiliser des

évaluations diagnostiques ? ». Cette problématique apparait dans 3 scénarios sur les 15 que

comporte le document cité.

Le premier présente « une évaluation diagnostique réalisée en cours de Mathématiques suivie

d’une séance développée dans le cadre de l’Accompagnement Personnalisé » afin de préparer

« une séance portant sur la démarche d’investigation » (ibid.) :

L’évaluation a débouché sur la formation de trois groupes de besoins en fonction des profils

repérés. (p. 23)

Pour permettre le progrès de tous les élèves, quels que soient leurs besoins, une remédiation

plus ciblée, fondée sur les points forts de chacun, est proposée en Accompagnement

Personnalisé.

Le support, commun aux trois groupes, est un exercice du même type que celui proposé en

évaluation diagnostique. Le travail demandé à chaque groupe est, par contre, différent. (p. 25)

Les corrections et les synthèses des différentes démarches proposées à chaque groupe d’élèves

sont faites en Accompagnement Personnalisé. Chaque groupe expose son travail au reste de la

classe, favorisant ainsi la communication orale. Cette synthèse offre à chaque élève la

18

possibilité de choisir l’une des démarches pour un même problème en fonction de ses

compétences. (p. 27)

Ici, l’évaluation diagnostique proposée n’est pas affichée dans le cadre de la reprise de l’étude

d’un thème mathématique, mais d’une praxéologie d’étude des mathématiques. L’énoncé que

nous reproduisons ci-après la fait clairement apparaitre comme venant reprendre l’étude des

fonctions du second degré qui vient d’être menée, et son usage relève donc davantage de la

mise au point pour relancer un moment de travail de l’organisation mathématique en cours

d’étude – ce qui relèverait, nous l’avons vu, de l’évaluation formative du point de vue des

praxéologies mathématiques :

Après plusieurs relevés, un scientifique a modélisé une passe de volley-ball, la passe de

Clément à son coéquipier Florian. La hauteur du ballon h(t) en fonction du temps t est :

h(t) = ‒ 0,525t² + 2,1t +1,9

où h(t) est exprimée en mètres et t en secondes.

a) À quelle hauteur Clément commence-t-il sa passe ?

b) Quelle hauteur maximale le ballon atteint-il ?

c) Florian ne réussit pas à toucher le ballon que Clément lui passe. Combien de temps

après la passe de Clément le ballon tombe-t-il au sol ?

d) Durant combien de temps le ballon est-il en phase de descente ?

La hauteur du filet est de 2,43 mètres. Durant combien de temps le ballon est-il situé

au-dessus du filet ?

Les réponses sont à justifier. (ibid., p. 23)

L’explicitation de la technique de réalisation du moment de travail portant sur l’utilisation de

ressources – cours, fiche méthode, logiciel de calcul formel peut cependant donner une

infrastructure pour un dispositif de travail transitionnel mis en place dans un système

didactique auxiliaire, l’accompagnement personnalisé, sur lequel nous reviendrons plus loin.

Le deuxième scénario présente une activité ayant « pour but d’anticiper les difficultés,

d’assurer une meilleure homogénéité des connaissances à l’approche du chapitre sur la

dérivation. Elle fait suite à un repérage des besoins sur les notions d’équations de droites, de

coefficient directeur, de pente ». (ibid., p. 28) On est donc là nettement dans le cadre d’une

évaluation diagnostique pour s’assurer du milieu adéquat à l’abord d’un nouveau thème. Mais

aucune information n’est donnée sur la manière dont ce « repérage » s’est déroulé. C’est le

travail transitionnel qui est décrit : il se fait individuellement en accompagnement

personnalisé et se prolonge par l’élaboration d’une « fiche méthode » personnelle.

Ce n’est que dans le troisième scénario qu’on voit apparaitre une évaluation diagnostique

proposée aux élèves en « introduction au chapitre sur la dérivation » :

Afin de faire le point sur certaines connaissances des élèves portant sur les fonctions,

nécessaires à une bonne compréhension du chapitre sur la dérivation, le professeur a conçu un

QCM comprenant en particulier des distracteurs permettant de repérer quelques erreurs

19

spécifiques. L’objectif de l’enseignant est ainsi d’effectuer en direct des remédiations

personnalisées en classe entière.

Pour chaque question du QCM, l’élève doit voter pour la réponse qu’il pense être la bonne. Le

tableau récapitulatif des résultats s’affiche ensuite sur le T.B.I. Le professeur relève les erreurs

commises en temps réel, sans que la notion de sanction ne soit présente. Il repère un élève

concerné par une erreur et lui demande d’expliquer son raisonnement. L’enseignant peut alors

démonter les mécanismes erronés.

Cette expérimentation a duré 2 heures. Elle a permis de faire le point sur des notions

essentielles portant sur les fonctions et a aidé les apprenants à créer leurs propres fiches

méthodologiques. En effet, les élèves consignent, dans un petit cahier personnel, les aides, les

méthodes, les outils de contrôle à l’aide des TIC (calcul formel, logiciel de géométrie…), les

rappels de cours dont ils estiment avoir besoin, ainsi que leurs erreurs analysées et corrigées.

(ibid., p. 36)

Pour chaque question de l’évaluation, le document donne des pistes de remédiation et propose

à la fin de poursuivre ces remédiations en accompagnement personnalisé. On a ici un repérage

« en direct » des difficultés des élèves, suivi automatiquement d’un travail transitionnel en

classe entière, et poursuivi au sein d’un système didactique auxiliaire. Il est à remarquer que

la responsabilité didactique des élèves est peu engagée et que ce dispositif utilisé de façon

routinière n’optimisera pas l’utilisation du temps d’horloge. La place que prend le système

didactique auxiliaire d’accompagnement personnalisé dans le dispositif de reprise de l’étude

proposé par l’institution est à souligner, et nous l’étudierons ultérieurement.

2. 2. 2. Sur les sites académiques

Un certain nombre de sites académiques relaient et développent l’usage de l’évaluation

diagnostique pour reprendre l’étude, certains le liant aux progressions spiralées. Ainsi, à la

rubrique « Ressources collège / Progressions », le site de l’académie d’Orléans-Tours justifie

d’abord le choix des progressions spiralées comme présentant de nombreux avantages pour

l’apprentissage des élèves. Un article de présentation générale des progressions spiralées

(Diger, Dofal & Olivier, 2012) donne tout d’abord des ingrédients technologico-théoriques

justifiant le recours au caractère spiralé d’une progression :

Trois grandes raisons commandent le recours au caractère spiralé de la progression :

1. Le respect des instructions officielles sur lesquelles en l'occurrence la communauté

mathématique s'accorde : […]

2. Une gestion de l'année qui contribue à réduire le stress généré par le contrôle du temps pour

le professeur : […]

3. Des occasions de comprendre adaptées, renouvelées et des savoirs pérennisés pour les

élèves : […] (pp. 2-3)

Le deuxième élément met en évidence, en le nommant autrement, la difficulté pour le

professeur de faire avancer le temps didactique. La réponse à cette difficulté développée par

les auteurs de l’article, IA-IPR de mathématiques, consiste à « rendre autant que possible

20

permanente l'étude de certains grands thèmes mathématiques sur l'année », au moyen d’une

progression spiralée. La question des révisions est abordée dans le troisième point ; écoutons

les auteurs :

Des révisions intégrées dans la spirale de l'année :

Le processus décrit précédemment s'applique le plus naturellement du monde au cas

particulier des révisions des connaissances de l'année précédente. Il s'agit pour une

connaissance qui est à réactiver d'essayer de l'éclairer sous un angle nouveau et adapté au

programme de l'année en cours. Là encore l'efficacité en terme d'utilisation du temps est

réelle : on entre directement dans le travail proposé sur l'année en cours sans révisons

systématiques consommatrices d'un temps précieux qui fera défaut ensuite pour traiter

l'essentiel. On n'ennuie pas les élèves par des redites inefficaces pour les bons élèves qui n'en

ont pas besoin mais également pour les élèves fragiles qui ne trouvent rien de nouveau leur

offrant une chance de comprendre ce qui leur a échappé l'année précédente.

Ces problèmes concernant la place à réserver aux révisons se posent avec encore plus d'acuité

dans les classes de 6ème

[sic] et 2de. Dans les deux cas, on observe une propension à accorder

une place aux révisions systématiques qui déséquilibre et condamne l'année dès les premières

semaines. Par exemple en 2de, aborder l'équation x² = a sans le recours au graphique de la

fonction carré ou rechercher le signe de ax + b sans utiliser le sens de variation de la fonction

affine amène à répéter un travail de 3ème

[sic] sans l'éclairer autrement. Ce n'est qu'après ce

nouvel éclairage que le lien avec les techniques vues en 3ème

[sic] peut être établi avec profit.

(ibid., p. 4)

On a là un élément de l’environnement technologico-théorique à propos de la nécessité

d’éviter les révisons systématiques qui fait défaut dans les programmes et dont le lien avec la

tyrannie du temps didactique est réelle mais non explicitée. La nécessaire prise d’informations

sur « l’état des connaissances des élèves » est justifiée par la mise en œuvre d’une progression

spiralée. Les auteurs apportent des ingrédients techniques pour la réalisation de ce geste

professionnel qui ne sont pas sans rappeler ceux qui figuraient sur la notice « Le temps de

l’étude » (Chevallard, 2006) intégrés à la formation de l’IUFM, puis de l’ESPE d’Aix-

Marseille :

Ces tests doivent évidemment être très courts pour ne pas constituer un investissement trop

lourd en temps de classe et en temps de correction. L'apparition des QCM dans les épreuves

des bac S et ES, et l'occasion d'une réflexion qu'elle fournit sur ce type d'évaluation, devrait

faire que les QCM apparaissent ici comme un outil à privilégier. (Diger et al., 2012, p. 6)

On soulignera pourtant que l’utilisation privilégiée de QCM risque de signifier un rapport

personnel ou institutionnel en position d’élève non conforme sans pour autant que les raisons

de l’absence de conformité soient visibles.

Le travail transitionnel est mentionné :

En se limitant à l'essentiel et en l'organisant suffisamment tôt, un tel test permet d'apporter des

réponses adaptées avant d'aborder le cours : préparation d'un petit groupe d'élèves en utilisant

21

l'aide individualisée, préparation différenciée de la classe en heures dédoublées (modules)…

(ibid., p. 6)

On notera que la mention des modules laisse penser que l’article a été écrit avant 2009 bien

que la date de dernière modification figurant sur le site soit 2012.

Le dispositif du test d’entrée suivi d’un travail transitionnel est le septième point d’une

« esquisse de méthodologie » qui en comporte 13. Il est explicité ainsi :

La conduite des grands thèmes pluriannuels pose des problèmes spécifiques liés à la reprise de

l'étude notamment d'une année sur l'autre. Il est désormais acquis que les révisions

systématiques sont d'une inefficacité manifeste et que plus grave, elles compromettent

largement l'étude du programme de l'année en cours. Quelques temps avant d'aborder un

thème donné, l'organisation d'une évaluation rapide et bien conçue, par exemple à l'aide d'un

QCM, permet un diagnostic précis de l'état du savoir des élèves et des besoins de chacun d'eux

en vue de pouvoir profiter pleinement du travail prévu dans la suite. Ce diagnostic permettra

d'utiliser au mieux, avant d'entamer le travail prévu en classe, les différents dispositifs

spécifiques (aide, modules…) pouvant exister dans la classe. Dans les cas où aucun dispositif

de différenciation n'est prévu, on pourra s'appuyer sur un devoir en temps libre à la maison où

[sic] une série d'exercices dispersés sur quelques jours. (ibid., p. 8)

On retrouve les éléments technologico-théoriques déjà cités et on note l’apparition de la

notion de « diagnostic » ainsi que la mention de dispositif permettant d’assurer le travail

transitionnel dans les cas où aucun système didactique auxiliaire institutionnel n’est prévu :

« devoir en temps libre à la maison », « série d'exercices dispersés sur quelques jours ».

La même page du site académique d’Orléans-Tours propose ensuite des spécimens de

progressions spiralées, une en sixième, en cinquième, en troisième et deux en quatrième, ainsi

que trois exemples de progressions verticales sur « la symétrie axiale », « les quotients », « les

débuts de l’algèbre ». À l’exception d’une en quatrième, les progressions spiralées sont toutes

du même auteur, Philippe Arzouménian, professeur au collège Pablo Neruda de Saint-Pierre

des Corps, que le site présente comme « formateur très engagé en formation continue ». Sur

celle de sixième, l’expression « Reprise de l’étude » apparait trois fois : « en géométrie »,

« sur les écritures décimales et fractionnaires » et « sur la symétrie axiale ». Elle semble

uniquement utilisée pour rappeler au lecteur la poursuite de l’étude de ces thèmes vus dans les

classes antérieures. De la même manière, on trouve sur la progression de cinquième le titre

« Reprise de l’étude en géométrie ». Plus surprenant, il est mentionné dans la première

séquence de l’année « Fiche 1 : révisions de 6e ; équations ; notion de quotients », qu’on ne

commentera pas plus avant. Les progressions de quatrième et troisième font aussi référence à

des reprises de l’étude en géométrie et sur le calcul littéral, auxquelles s’ajoutent celles sur la

connaissance des systèmes de nombres et sur la proportionnalité en troisième. Le site propose

également des tests d’entrée ; trois en quatrième placés aux première, deuxième et huitième

séquences sur onze portant sur le calcul d’expressions littérales, les programmes de calculs et

tests d’égalité, la résolution d’équations du premier degré à une inconnue ; deux en troisième

au cours de la deuxième séquence sur treize portant sur les programmes de calculs et tests

22

d’égalité, les expressions littérales et la distinction entre développer et résoudre. Chaque fiche

proposée est accompagnée d’une fiche pour le professeur mentionnant les objectifs, les

conditions de passation, les points à repérer sous forme d’items et des pistes de remédiation

classées par items, ainsi que quelques commentaires pédagogiques. Le travail transitionnel est

proposé en autonomie pour l’élève à travers des exercices disponibles sur l’espace élève de

l’académie.

On y voit donc une utilisation formelle de l’expression « reprise de l’étude » et un recours à la

marge du test d’entrée dans l’étude d’un thème. Les recommandations institutionnelles ne

semblent pas aisées à intégrer dans l’équipement praxéologique du professeur, si l’on se

réfère à l’exemple de ce professeur pourtant impliqué dans la formation continue.

Une enquête sur Internet révèle que l’article précédemment cité est mis en ligne sur différents

sites institutionnels comme ceux des académies de Toulouse, de Rouen ou d’Aix-Marseille.

On trouve de même de très nombreuses références aux progressions spiralées reprenant les

idées précédentes, ainsi que des exemples à différents niveaux.

Le site des inspecteurs de mathématiques de l’académie de Bordeaux met en ligne le compte

rendu d’un atelier portant sur les « progressions sur un thème géométrique » qui a eu lieu lors

des journées inter-académiques des 13 et 14 décembre 2004.

Dans une première partie, le rapporteur de l’atelier, chargé de mission de l’académie

d’Orléans-Tours (Petit, 2004), expose les raisons justifiant le recours à des progressions

spiralées et donne la technique citée plus haut. La seconde partie est un exemple de

progression en géométrie sur la symétrie axiale en sixième. Elle se découpe en quatre temps :

Temps 1 : reprise de l'étude sur la géométrie.

Temps 2 : reprise de l'étude sur la symétrie axiale.

Temps 3 : axe de symétrie d'une figure.

Temps 4 : la symétrie axiale outil d'étude mathématique pour étudier des figures simples.

(p. 3)

Le premier temps comprend trois activités permettant de reprendre les notions de droite et de

cercle, et d’introduire celle de la médiatrice d’un segment. Elles sont suivies d’applications

techniques et d’une synthèse. Le deuxième temps, moins détaillé dans le rapport d’atelier,

propose de travailler sur des activités permettant de faire le lien entre symétrie axiale et

médiatrice. Le troisième temps « aborde la notion de figure invariante et d'axe de symétrie

d'une figure ». Enfin, le dernier temps introduit les figures au programme et justifie leurs

propriétés.

Là encore, il apparait que le septième point de la technique reproduite plus haut n’est pas

envisagé.

De nombreux sites proposent par ailleurs des évaluations diagnostiques. Certaines, comme

celles de l’académie de Montpellier, ont pour objectif l’évaluation à l’entrée dans le niveau

d’étude, équivalent des évaluations nationales à l’entrée en sixième ou en seconde qui ont pu

exister dans les années antérieures, et que l’on pourrait qualifier d’évaluation de rentrée. Nous

n’étudierons pas ici ce type d’évaluation. Nous nous intéresserons aux évaluations

23

diagnostiques conformes à celles mentionnées dans l’introduction des programmes de collège.

Nous suivrons ici encore l’académie d’Orléans-Tours qui en fait une large présentation sur

son site à travers un « dossier académique » (Académie d’Orléans-Tours, 2011). Le texte

débute par un exposé sur les « trois formes d’évaluation communément recensées :

l’évaluation diagnostique, l’évaluation formative et l’évaluation sommative ». Il plaide pour le

développement d’une pratique de l’évaluation diagnostique, peu utilisée par les professeurs de

mathématiques, pour pallier aux manques de l’évaluation sommative notée :

L’évaluation diagnostique ne vise pas à réaliser un bilan global mais à cartographier ou à

photographier l’état des acquisitions chez un élève donné et à un moment précis. Ce diagnostic

ne peut évidemment pas se traduire par une note. La note n’a donc aucun sens, et n’est pas

utilisée, dans ce type d’évaluation. Au contraire de l’évaluation sommative, l’évaluation

diagnostique permet de mesurer les acquis sur les connaissances et les savoir-faire mais aussi

sur les compétences.

La cartographie des acquis et des manques que cette évaluation affiche dans ses résultats

amènent naturellement à s’intéresser aux erreurs, à en assurer le traitement. Elle entre donc

bien en harmonie avec une approche de type socio-constructiviste qui cherche à utiliser ces

erreurs comme indicateurs de certaines conceptions erronées qui, une fois repérées, permettent

de tracer des pistes de travail et de remédiation. Ce raisonnement conduit évidemment à

utiliser ce type d’évaluation à des moments où l’apprentissage n’est pas achevé donc en début

ou en cours de ce processus d’apprentissage.

L’évaluation diagnostique possède donc des caractéristiques qui s’opposent franchement à

celle de l’évaluation sommative. En reprenant un à un les reproches adressés à l’évaluation

sommative on peut vérifier que l’évaluation diagnostique fournit un contrepoids indispensable

à la pratique dominante qu’est l’évaluation sommative. En produisant un résultat sous forme

de cartographie des acquis et des manques :

l’évaluation diagnostique évite les effets pervers liés à la note,

elle fournit au professeur un matériau précieux pour guider l’organisation de

l’enseignement à venir,

elle donne des renseignements individualisés précis permettant de mettre en place une

différenciation de l’enseignement,

elle responsabilise l’élève en lui permettant de prendre conscience de ses forces, de

ses faiblesses et donc des points sur lesquels il doit se mobiliser,

elle évite la stigmatisation des plus faibles en ne permettant pas de comparaisons

instantanées et superficielles des performances,

elle constitue un outil indispensable pour optimiser l’utilisation des dispositifs d’aide

existants.

Le BO n°29 du 17 juillet 2003 est tout à fait clair sur le rôle assigné à l’évaluation d’entrée en

sixième « L’objectif premier est de permettre l’observation des compétences et d’apprécier les

réussites et les difficultés éventuelles de chaque élève considéré individuellement, à un

moment précis de la scolarité ».

L’évaluation diagnostique fournit une carte précise des forces et des faiblesses de chaque élève

pris individuellement. C’est bien ce point qui donne à l’évaluation diagnostique toute sa force

et toute sa capacité à enclencher une gestion positive de l’hétérogénéité des élèves.

24

Il est intéressant de souligner que les éléments avancés pour « défendre et illustrer »

l’utilisation de l’évaluation diagnostique sont liés à l’amélioration de l’enseignement et de

l’apprentissage, en lien avec la gestion de l’hétérogénéité des élèves. C’est d’ailleurs cette

« gestion positive de l’hétérogénéité des élèves » qui est mise en avant dans le paragraphe

suivant pour faire de l’évaluation diagnostique un point d’appui efficace à la conduite de

systèmes didactiques auxiliaires du type accompagnement personnalisé.

Le dispositif retenu pour « faire entrer la pratique de cette évaluation diagnostique dans les

pratiques ordinaires, d’une manière continue au cours de l’année » est celui de « tests d’entrée

dans l’étude » :

… les tests proposés auront vocation à être utilisés à chaque fois que la reprise de l’étude d’un

thème se présente, soit parce que ce thème a été traité l’année précédente, soit parce que ce

thème a fait l’objet d’un passage précédent dans la progression spiralée de l’année en cours.

Pour rapprocher les pratiques ordinaires du dispositif proposé, les tests d’évaluation seront

organisés autour de contenus. Une cause fréquente d’échec de certaines séances qui

n’atteignent pas les objectifs que le professeur avait définis, est que les élèves ne se trouvent

pas au niveau de maîtrise que le professeur avait prévu. Le test d’entrée dans l’étude visera à

éliminer ce problème fréquent. Pour cela le test devra être réalisé en amont de la séance. Il

permettra de déceler sur les besoins recensés pour l’entrée dans l’étude prévue, les lacunes qui

risquent de faire obstacle chez certains élèves. Le laps de temps disponible entre ce test et la

séance prévue doit permettre de remédier, chez les élèves qui en ont besoin, aux lacunes

repérées.

Pour être réalisable, ce dispositif doit se limiter très strictement aux acquis indispensables.

Pour être acceptable, il doit être souple et léger, ne pas exiger des temps de passation et de

correction trop longs. Pour être efficace, il doit viser juste, c’est à dire évaluer les acquis précis

qui seront indispensables à l’apprentissage prévu ce qui impose une réflexion didactique

pertinente sur la construction des apprentissages.

L’article se termine par une liste d’ingrédients techniques nécessaires à la réalisation d’un test

d’entrée dans l’étude, mais aussi à la mise en œuvre du travail transitionnel à développer à sa

suite :

Les contenus évalués se limitent aux seuls éléments dont la maîtrise est indispensable

à l’élève pour qu’il puisse entrer avec profit dans le travail prévu ultérieurement en

classe.

La passation dure entre 5 et 15 minutes (seules les compétences et les connaissances

indispensables à la reprise de l’étude sont investiguées).

La correction d’un test n’excède pas une minute par élève.

Le test ne donne pas lieu à une note mais il inclut par contre un repérage des erreurs

importantes pour la conduite de l’apprentissage.

25

La passation s’effectue au moins trois semaines avant la reprise du travail prévue en

classe.

Au cours de ces trois semaines, les remises à niveau que le test fait apparaître comme

indispensables sont effectuées.

Ces remises à niveau peuvent notamment s’organiser autour des dispositifs suivants :

Si le nombre d’élèves à conforter n’excède pas un tiers de la classe, l’aide

individualisée est un dispositif adapté.

Si le nombre d’élèves à conforter est compris entre un tiers et deux tiers de la

classe, un travail en module est un dispositif adapté.

Ce n’est que dans le cas où le nombre d’élèves à conforter excède les deux tiers de

la classe, qu’une reprise en classe en classe entière est justifiée.

Dans tous les cas, un travail, qu’on peut différencier, peut prendre appui sur :

o un devoir en temps libre,

o des exercices à la maison,

o des exercices sur support informatique notamment sur l’espace élèves du

serveur académique.

Le site de l’académie d’Orléans-Tours propose des évaluations diagnostiques et des outils de

remédiation pour les classes de la sixième à la seconde dans les domaines de « l’algèbre et le

calcul littéral », « la géométrie dans l’espace », « les fonctions». Les fiches destinées à l’élève

sont accompagnées de fiches pour le professeur explicitant les objectifs, les conditions de

passation, les points à repérer sous forme d’items et des pistes de remédiation classées par

items, ainsi que quelques commentaires pédagogiques. La remédiation est proposée à

différents niveaux ; pour chaque niveau et chaque item, la technique est donnée, puis

développée sur un exemple. L’élève peut ensuite résoudre les exercices associés en ligne.

Regardons à titre d’exemple les trois évaluations diagnostiques proposées sur les fonctions en

classe de 2de

: « Fonctions linéaires et affines (1) » (Test F21) ; « Fonctions linéaires et affines

(2) » (Test F22) ; « Parenthèse, notation f(x) » (Test F23) qui sont reproduites en annexe

2.2.2. La première propose les représentations graphiques de quatre fonctions dans un même

repère orthonormé ; les élèves ont à entourer la bonne réponse parmi trois pour quatre items et

compléter trois phrases. La deuxième est un « vrai / faux » sur huit affirmations. La troisième

donne l’expression algébrique de deux fonctions du second degré, l’une sous forme

développée, l’autre sous forme factorisée ; les élèves doivent calculer l’image d’une valeur

pour chacune d’elles et résoudre une équation avec la forme factorisée. On remarquera que les

deux premières évaluations diagnostiques ne demandent aucune justification et que la forme

des énoncés ne permet pas de prendre de l’information sur les techniques utilisées.

Sur le même site, on trouvera des « devoirs en temps libre », certains destinés à la reprise de

l’étude d’un thème : fonctions en seconde, résolution d’équations en troisième, triangle

rectangle et théorème de Pythagore en troisième, aires et périmètres en quatrième et en

sixième. Chaque fiche explicite pour le professeur les objectifs, la place dans l’année, les

modalités de passation et de correction, la différenciation et les prolongements possibles,

accompagnés de commentaires pédagogiques et sur le socle.

26

D’autres sites académiques enregistrent la nouvelle demande institutionnelle et consacrent des

pages à l’évaluation diagnostique. Ainsi, l’académie de Clermont-Ferrand met en ligne sur

son site des évaluations diagnostiques élaborées par un groupe mixte IREM – Rectorat de

Clermont-Ferrand, sur différents thèmes de la sixième à la seconde. Chaque outil explicite

pour le professeur l’objectif, les conditions et consignes de passation, ainsi que le codage

utilisé et une aide à l’analyse des erreurs. Là encore, la plupart des tests proposés ne

demandent pas d’expliciter la ou les techniques mises en œuvre ni de justifier les réponses

apportées.

La plupart des sites académiques font référence au site institutionnel de l’éducation nationale

dans lequel les outils sont classés par niveau et discipline : banque d’outils d’aide à

l’évaluation disponible à l’adresse http://www.banqoutils.education.gouv.fr/index.php. Pour

les mathématiques, on peut ensuite affiner la recherche en choisissant « un champ ou une

capacité » : « nombres et calcul numérique », « réaliser : choisir », « réaliser : concevoir »,

« réaliser : exécuter », « s’informer : organiser l’information », « s’informer : prélever

l’information », « travaux géométriques ». Le choix peut ensuite se faire par « compétence »

ou par « mots clés ». Les fiches sont construites de la même manière que la plupart de celles

trouvées sur les sites académiques plus haut, modèle que ceux-ci ont dû vouloir reproduire.

Le manque d’information sur l’équipement praxéologique des élèves est donc constitutif des

évaluations diagnostiques proposées, qui relèvent ainsi d’une « démarche centrée sur les

performances » ; le travail transitionnel, lorsqu’il est envisagé – ce qui est loin d’être la

règle –, a alors toute chance de ne pas être adéquatement calibré comme le faisait remarquer

en d’autres termes Jacques Grégoire cité plus haut. Ce travail transitionnel, nous l’avons vu,

est souvent délégué à un système didactique auxiliaire, lorsqu’il existe, l’accompagnement

personnalisé. Nous nous attacherons maintenant à ce dispositif et aux fonctions de reprise de

l’étude que l’institution lui fait exercer.

2. 3. Reprise de l’étude au sein d’un système didactique auxiliaire

Le dispositif d’accompagnement personnalisé, mis en place de la seconde à la terminale lors

de la réforme des lycées en 2010, est introduit en classe de 6e à la rentrée 2011 (MEN, 2011),

se substituant ainsi au dispositif d’aide au travail personnel :

L'accompagnement personnalisé est un temps d'enseignement intégré à l'horaire des élèves,

dans lequel tous les professeurs sont invités à s'impliquer.

L'accompagnement personnalisé est mis en place en classe de sixième avec la volonté de

renforcer la liaison entre l'école primaire et le collège. Les deux heures qui lui sont consacrées

dans chaque division peuvent être traitées conjointement ou séparément (par exemple, une

heure à destination de tous les élèves et une heure dédiée aux élèves à besoins spécifiques).

L'une ou l'autre peuvent également être annualisées (36 ou 72 heures accentuant la

personnalisation de la prise en charge, sous la forme de modules de remise à niveau).

L'accompagnement personnalisé s'appuie sur les programmes de collège et sur les

compétences attendues au palier 2. En fonction des difficultés rencontrées par les élèves,

http://www.banqoutils.education.gouv.fr/index.php

27

l'accompagnement personnalisé peut prendre place dans un programme personnalisé de

réussite éducative (PPRE). […]

L'équipe pédagogique, sous la responsabilité du chef d'établissement, élabore le projet

d'accompagnement personnalisé. Celui-ci recense les difficultés des élèves, précise la

constitution des groupes, l'organisation hebdomadaire et annuelle, les modalités de l'évaluation

de l'accompagnement personnalisé. Pour chacune des activités proposées aux élèves, sont

définis les objectifs visés, la ou les compétences travaillées en lien avec le socle commun, les

modalités pédagogiques choisies ainsi que les termes d'une évaluation de l'efficacité de

l'accompagnement. Le projet est examiné par le conseil pédagogique qui formalise la

proposition. […]

Les modalités d'organisation de l'accompagnement personnalisé relèvent de l'autonomie de

l'établissement. Tout ou partie de l'horaire peut être annualisé.

L'adaptation des contenus de l'accompagnement personnalisé aux besoins des élèves sera

facilitée par l'organisation des groupes en barrette sur plusieurs classes de sixième.

Les groupes peuvent évoluer en cours d'année, en fonction des progrès constatés et des besoins

des élèves.

On remarquera que le texte comporte des ambigüités qui laissent finalement une grande

latitude de mise en œuvre dans les établissements : tous les élèves ne sont pas obligatoirement

intégrés dans le dispositif d’accompagnement personnalisé ; ceux qui en bénéficient ne sont

pas forcément pris en charge au sein du même dispositif, la fonction d’accompagnement

personnalisé pouvant être remplie par un PPRE ; l’accompagnement personnalisé n’est pas

systématiquement réalisé par l’enseignant ayant la classe en responsabilité ; et les

regroupements des élèves peuvent être constitués à partir de plusieurs classes. De plus, le

dispositif proposé ne concerne que les élèves de sixième. Ainsi l’institution ne semble-t-elle

pas voir comme nécessaire de déléguer à un système didactique auxiliaire la reprise de l’étude

dans les autres niveaux de classe du collège. Cette singularité de la sixième pour le collège

peut se voir au moins partiellement justifiée par, d’un côté, le fait que la quasi-totalité des

thèmes à l’étude dans cette classe ont été étudiés à l’école primaire ; d’un autre côté,

l’existence de deux ordres d’enseignement distincts qui gêne la formation d’une mémoire du

système didactique.

En mars 2013, le ministère de l’éducation nationale a publié des documents constituant des

ressources pour l’accompagnement personnalisé en sixième (MEN, 2013/2015), et un

document cadre sur ces fiches pédagogiques est paru en mars 2014 (MEN, 2014). Il précise

que ces fiches ont pour objectif une remise à niveau des élèves n’ayant pas validé l’ensemble

des compétences du palier 2 du socle commun à l’issue de l’école primaire. L’accent est mis

sur deux disciplines : le français et les mathématiques. Le repérage des difficultés de l’élève

est fondé sur le livret de compétences au palier 2 complété par un entretien avec les

enseignants de l’école élémentaire. Les fiches proposées sont structurées de manière

identique : un diagnostic sur « le savoir-faire et les compétences visées » suivi d’une

28

verbalisation des erreurs constatées, une prise en charge des difficultés qui peut être

personnalisée et des prolongements possibles.

Du point du vue du diagnostic, on voit une articulation entre un travail écrit et un travail oral

de façon à expliciter les éléments de l’équipement praxéologique des élèves tout en leur

donnant une part de responsabilité didactique (MEN, 2014) :

A. Le diagnostic

[…]

Le diagnostic vise l’identification des différences entre les élèves quant à leurs difficultés

devant les tâches scolaires ; il doit donc affiner le constat du problème pédagogique,

par des activités réalisées individuellement, vérifiant précisément certaines capacités :

à cet effet peuvent être proposées plusieurs petites activités sériant les difficultés

potentielles, plutôt qu’un seul exercice global ;

par la verbalisation, telle que décrite ici.

La verbalisation a pour but d’affiner l’analyse des erreurs : il s’agit de concevoir un dispositif

qui permette

aux élèves de verbaliser leur démarche, leur compréhension, leurs interrogations ;

au professeur de s’informer pour comprendre « ce qui bloque et pourquoi » (ce qui

pose problème à l’élève) en y associant l’élève pour qu’il en prenne conscience ;

à chaque élève de s’auto-informer par ce biais, de revenir sur la procédure utilisée et

de l’expliciter (cf. « L’entretien d’explicitation »), ce qui permet la prise de conscience

aussi bien de l’erreur que de la réussite dans la tâche.

Pour ce « dialogue pédagogique » indispensable au diagnostic, l’on peut concevoir plusieurs

sortes de dispositifs. Dans la situation de classe il peut être avantageux de viser la

verbalisation des représentations des élèves. Cela permet de mettre en évidence ce qui peut

bloquer l’apprentissage : verbalisation par petits groupes sur la manière dont ils comprennent

l’activité, sur la manière dont ils ont procédé et leur représentation de la tâche scolaire et de ce

qu’ils y travaillent, telle qu’elle est pratiquée en narration de recherche par exemple (« Qu’ai-

je fait ? », « Qu’ai-je appris ? »).

Du test et de l’activité de verbalisation découlent l’analyse des erreurs constatées et des choix

d’activités de remédiation proposées.

Cette phase de diagnostic ne doit pas être occultée : elle est indispensable à l’efficacité des

réponses apportées.

La prise en charge de la difficulté relève clairement du travail transitionnel sur les besoins

didactiques repérés par le professeur et reconnus par l’élève. On note une volonté de remettre

à l’étude les praxéologies problématiques (ibid.) :

B. La prise en charge de la difficulté

Pour aider les élèves à dépasser blocages ou postures erronées et accéder à un travail réflexif

nécessaire à la construction de la notion, les fiches proposent des stratégies volontairement

différentes des activités ordinaires. Elles s’attachent à :

varier les activités de remédiation en AP, à les différencier tout en gardant le même

objectif, de façon à ce qu’elles répondent à la diversité des difficultés constatées ;

29

proposer moins des « exercices » que de véritables activités d’apprentissage renvoyant

aux postures et processus que l’élève n’a pas encore construits : acte intellectuel, geste

mental, capacité, habileté … à construire (activité pour « faire des inférences », non

répondre à des questions) ; on ne considèrera donc pas que l’élève peut apprendre par

imitation, imprégnation ou répétition d’exercices systématiques : les stratégies seront

explicitées et enseignées.

Cette prise en charge de la difficulté est proposée selon deux axes :

une approche constructive et différenciée qui peut être mise en œuvre aussi bien en

classe entière que dans les dispositifs d’aide en petits groupes : les activités

d’apprentissage sont conçues de manière à ce que le professeur puisse

o les différencier dans la simultanéité (petits groupes, binômes … dispositifs

de classe variés),

o les différencier dans la successivité, d’une séance à l’autre dans la

séquence.

une approche plus personnalisée traitée dans la rubrique « personnalisation ».

Les fiches d’A.P. mettent en particulier l’accent sur le traitement de difficultés spécifiques à

certains élèves à partir de ce que l’on a diagnostiqué.

Les prolongements proposés peuvent être vus comme participant d’un moment de travail des

praxéologies dont l’étude a été reprise ou pas (ibid.) :

C. Les « prolongements »

Les activités sont conçues pour être mises en œuvre en variant les dispositifs et en reliant le

temps de l’aide au quotidien de la classe : que l’on se focalise sur une ou plusieurs séances, ou

qu’on la mette en œuvre dans un temps plus long, l’aide personnalisée requiert un travail en

séquence, pour une progression des acquisitions, et conduit aux prolongements possibles pour

la consolidation des acquisitions.

Telle activité faite en A .P peut à tout moment être reliée à ce qui est fait dans le groupe classe,

notamment en anticipation des difficultés, pour valoriser les élèves qui en bénéficient.

Pour les mathématiques, les fiches présentées sont au nombre de dix :

‒ Choisir la bonne opération ;

‒ Connaître et utiliser les durées ;

‒ Décrire et identifier des figures simples ;

‒ La symétrie axiale ;

‒ Lire des graphiques ;

‒ Lire et écrire les nombres entiers ;

‒ Passer de l’écriture fractionnaire décimale à l’écriture décimale ;

‒ Reconnaître et résoudre une situation de proportionnalité ;

‒ Unités et conversions ; ‒ Utiliser quelques fractions simples.

30

Parce qu’il constitue un secteur d’étude entier du domaine de la géométrie au programme de

la classe de 6e, nous nous sommes plus particulièrement intéressée au document sur la

symétrie axiale.

On notera que la symétrie axiale a fait l’objet d’un certain nombre de travaux de didactique

des mathématiques, qui permettent de repérer certains éléments de l’organisation

mathématique à l’étude. Les travaux de Denise Grenier (1988), notamment, mettent au jour

trois variables didactiques :

‒ La position de la figure et des axes de symétrie sur la feuille de papier (horizontale,

verticale, oblique) et la valeur de l’angle formé entre le segment et l’axe ;

‒ L’intersection de la figure avec l’axe (l’axe ne coupe pas la figure ; l’axe touche la figure ;

l’axe coupe la figure) ;

‒ Le type de papier (blanc ou quadrillé). (p. 16)

Dans ses travaux, Iranète Lima (2006) a développé ces variables didactiques selon leurs

valeurs en les croisant avec trois types de problèmes :

Problèmes de reconnaissance de la figure symétrique, de l’axe de symétrie ou des

propriétés de la symétrie

Problèmes de construction de la figure symétrique ou de l’axe de symétrie

Problèmes de preuve : il s’agit en général de prouver un énoncé en utilisant les

propriétés géométriques de la symétrie. Un problème de construction ou de

reconnaissance peut être considéré comme problème de preuve, si l’on demande de

justifier la réponse. (p. 64)

Si les deux premiers « types de problèmes » recouvrent principalement les types de tâches que

l’on peut formuler ainsi : Reconnaitre la figure symétrique d’une figure donnée, un axe de

symétrie d’une figure donnée ; Construire la figure symétrique d’une figure donnée, un axe de

symétrie d’une figure donnée ; le troisième « type de problèmes » permet de reconnaitre la

symétrie axiale comme environnement technologico-théorique pour déterminer une longueur,

une aire, un angle, un alignement, etc. Il fournit ainsi une raison d’être de la symétrie axiale.

C’est d’ailleurs pour justifier les techniques de réalisation des types de tâches Déterminer une

longueur, une aire, un angle, un alignement, … que l’on sera amené à reconnaitre les

propriétés de la symétrie.

Nous reproduisons ci-dessous le tableau obtenu (Lima, 2006, p. 71) :

31

Cette typologie des variables didactiques et de leurs valeurs permet de faire une analyse des

programmes en découpant les types de tâches en sous-types de tâches et en donnant des

ingrédients de techniques. Par exemple, le type de tâches Construire la figure symétrique

d’une figure donnée peut se découper ainsi en prenant en charge certaines des variables

citées :

‒ Construire sur papier blanc la figure symétrique d’une figure donnée qui ne touche

ni ne coupe l’axe de symétrie ;

‒ Construire sur papier blanc la figure symétrique d’une figure donnée qui touche

l’axe de symétrie ;

‒ Construire sur papier blanc la figure symétrique d’une figure donnée qui coupe l’axe

de symétrie ;

32

‒ Construire sur papier quadrillé la figure symétrique d’une figure donnée qui ne

touche ni ne coupe l’axe de symétrie ;

‒ Construire sur papier quadrillé la figure symétrique d’une figure donnée qui touche


‒ Construire sur papier quadrillé la figure symétrique d’une figure donnée qui coupe


‒ Construire sur papier pointillé la figure symétrique d’une figure donnée qui ne

touche ni ne coupe l’axe de symétrie ;

‒ Construire sur papier pointillé la figure symétrique d’une figure donnée qui touche


‒ Construire sur papier pointillé la figure symétrique d’une figure donnée qui coupe

l’axe de symétrie.

Ce premier découpage en type de tâches peut s’affiner : on peut par exemple spécifier

davantage la nature de la figure et on obtiendrait ainsi pour le premier des types de tâches

précédents :

‒ Construire sur papier blanc la figure symétrique d’une figure géométrique usuelle

codée qui ne touche ni ne coupe l’axe de symétrie et dont un axe de symétrie est

parallèle ou perpendiculaire à l’axe de symétrie ;


codée qui ne touche ni ne coupe l’axe de symétrie et dont un axe de symétrie n’est ni

parallèle ni perpendiculaire à l’axe de symétrie ;


non codée qui ne touche ni ne coupe l’axe de symétrie et dont un axe de symétrie est

parallèle ou perpendiculaire à l’axe de symétrie ;


non codée qui ne touche ni ne coupe l’axe de symétrie et dont un axe de symétrie n’est

ni parallèle ni perpendiculaire à l’axe de symétrie ;

‒ Construire sur papier blanc la figure symétrique d’une figure complexe codée qui ne

touche ni ne coupe l’axe de symétrie et dont un axe de symétrie est parallèle ou

perpendiculaire à l’axe de symétrie ;

‒ Construire sur papier blanc la figure symétrique d’une figure complexe codée qui ne

touche ni ne coupe l’axe de symétrie et dont un axe de symétrie n’est ni parallèle ni


‒ Construire sur papier blanc la figure symétrique d’une figure complexe non codée

qui ne touche ni ne coupe l’axe de symétrie et dont un axe de symétrie est parallèle ou


33

‒ Construire sur papier blanc la figure symétrique d’une figure complexe non codée

qui ne touche ni ne coupe l’axe de symétrie et dont un axe de symétrie n’est ni

parallèle ni perpendiculaire à l’axe de symétrie ;

Etc.

La symétrie axiale est un thème déjà à l’étude au cycle 3. Le document intitulé « Progressions

pour le cours élémentaire deuxième année et le cours moyen » de janvier 2012 donne les

éléments « de connaissances et de compétences » attendus (MEN, 2012b) :

‒ Au CE2 : Reconnaître qu’une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie, par

pliage ou à l’aide du papier calque ; Tracer, sur papier quadrillé, la figure symétrique

d’une figure donnée par rapport à une droite donnée ;

‒ Au CM1 : Compléter une figure par symétrie axiale. (p. 3)

Nous voyons ici deux types de tâches :

Déterminer l’axe de symétrie d’une figure, avec la notification de deux techniques,

l’une consistant à plier la figure selon l’axe de symétrie supposé et vérifier que l’on

obtient une superposition des deux sous-figures, l’autre consistant à décalquer l’axe

supposé et la figure, à retourner le calque et à vérifier que l’on obtient une

superposition de la figure décalquée avec la figure donnée en superposant les axes, la

manière de retourner le calque dépendant de l’orientation de l’axe par rapport au bord

de la feuille ;

On soulignera que l’influence de l’orientation de l’axe par rapport aux bords de la

feuille peut être neutralisée en insérant une étape préalable : positionner la figure de

façon à ce que l’axe de symétrie supposé soit vertical.

Construire la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à une droite

donnée.

On notera que nous présentons l’organisation mathématique de façon amalgamée puisque

nous la considérons à l’issue de l’école élémentaire et que, dans cette amalgamation, le type

de tâches Compléter une figure par symétrie axiale est inclus dans Construire la figure

symétrique d’une figure donnée par rapport à une droite donnée dès lors que l’on donne la

partie de la figure située d’un côté de l’axe et que l’on a donc à construire la figure symétrique

de cette sous-figure. On est ainsi dans le sous type de tâches identifié précédemment où l’axe

touche la figure.

On ajoutera, pour le second type de tâches, que si l’on a une indication de la technique de

construction en CE2 puisque l’instrument de construction est le papier quadrillé, il n’en est

pas de même au CM1 ; et on peut penser que deux techniques seront privilégiées, celle

reposant sur le papier quadrillé, et celle utilisant le papier calque, la technique par pliage

pouvant venir s’insérer comme étape de vérification.

34

Concernant le thème de la symétrie axiale, le programme de sixième (MEN, 2008) précise

que l’élève doit savoir :

‒ Construire le symétrique d’un point, d’une droite, d’un segment, d’un cercle (que l’axe de

symétrie coupe ou non la figure) ;

‒ Construire ou compléter la figure symétrique d'une figure donnée ou de figures possédant un

axe de symétrie à l'aide de la règle (graduée ou non), de l'équerre, du compas, * du

rapporteur ;

‒ Effectuer les tracés de l’image d’une figure par symétrie axiale à l’aide des instruments

usuels (règle, équerre, compas). (p. 17)

Les commentaires ajoutent (ibid.) :

L’élève peut utiliser la méthode de son choix.

Dans la continuité du travail entrepris à l'école élémentaire, les activités s'appuient encore sur

un travail expérimental (pliage, papier calque) permettant d'obtenir un inventaire abondant de

figures simples, à partir desquelles sont dégagées les propriétés de « conservation » de la

symétrie axiale (conservation des distances, de l'alignement, des angles et des aires).

* Le rôle de la médiatrice comme axe de symétrie d’un segment est mis en évidence. (p. 17)

Ainsi le type de tâches principal est Construire la figure symétrique d’une figure donnée, mais

on note des évolutions de la praxéologie ponctuelle qui se construit autour de ce type de

tâches. Du point de vue des techniques, il s’agit de découper la figure donnée en éléments

géométriques de base (point, segment, droite, cercle) et d’en construire les symétriques à

l’aide des instruments classiques de la géométrie élémentaire (règle graduée ou non, équerre,

compas, rapporteur). On voit donc s’intégrer ici des types de tâches formulés précédemment,

et notamment Construire la figure symétrique d’une figure géométrique usuelle et ses sous

types de tâches. Du point de vue de l’environnement technologico-théorique, on s’appuie sur

les propriétés de la symétrie orthogonale : conservation des distances, de l’alignement, des

angles géométriques, axe de symétrie comme médiatrice du segment d’extrémités un point et

son symétrique.

Certains commentaires des programmes des trois premières années du collège évoquent

l’insertion de cette praxéologie mathématique dans une praxéologie régionale relative à la

géométrie plane, notamment du point de vue technologico-théorique (MEN, 2008) :

‒ En sixième :

La symétrie axiale est mise en jeu pour mettre en évidence certaines propriétés. (p. 16)

Ce commentaire fait référence aux propriétés des quadrilatères usuels : le carré, le rectangle et

le losange.

La justification de la construction de la bissectrice à la règle et au compas est reliée à la

symétrie axiale. (p. 17)

‒ En cinquième :

Figures simples ayant un centre de symétrie ou des axes de symétrie. (p. 23)

Les figures simples à l’étude sont le carré, le rectangle et le losange.

35

‒ En quatrième :

La justification de la construction de la bissectrice à la règle et au compas est reliée à la

symétrie axiale. (p. 31)

C’est sous ces conditions épistémologiques que le travail de la symétrie axiale en

accompagnement personnalisé dans la classe de 6e est supposé s’accomplir. La fiche proposée

sur le site Eduscol à propos de ce thème se donne pour objectif un « savoir-faire » et trois

items de la compétence 3 (MEN, 2013/2015) :

Comprendre la notion de pliage propre à la symétrie axiale.

Compléter une figure par symétrie axiale (palier 2) ;

Représenter des figures géométriques (palier 3) ;

Raisonner, argumenter, pratiquer une démarche expérimentale ou technologique, démontrer

(palier 3).

On note d’emblée que la formulation du « savoir-faire » présente davantage un élément de

l’environnement technologico-théorique qu’une pratique. Bien que l’ensemble des objectifs

permette de penser que ce qui est à l’étude est la construction de la figure symétrique d’une

figure donnée, on ne voit pas d’indication de technique et l’environnement technologico-

théorique annoncé se réduit à la notion de pliage.

Conformément à ce que nous avons vu explicité plus haut, la première partie est consacrée à

un diagnostic « à réaliser de façon individuelle en classe entière et [qui] prendra au plus

35 min », suivi d’un questionnement possible (« verbalisation ») des élèves à l’issue du travail

écrit. Ce sont trois exercices qui figurent dans cette partie, assortis de sources d’erreurs

possibles.

Dans le premier exercice, une image possédant un « effet miroir » est proposée et on demande

à l’élève de repérer des erreurs sous l’hypothèse que la figure possède un axe de symétrie.

Exercice 1 : La figure ci-contre devrait posséder un axe de symétrie mais des erreurs

se sont glissées.

Combien en trouves-tu ?

Entoure-les.

36

On notera que, dans cet exercice, la notion de symétrie n’est pas nécessaire puisque les

« erreurs » sont des oublis de représentations de certains éléments de l’image (par exemple, la

fleur sur l’un des chapeaux, un bouton de l’un des costumes, etc.). On est là davantage dans

un jeu classique « des sept erreurs ».

Dans le deuxième exercice, l’élève doit tracer les axes de symétrie, s’ils existent, de huit

panneaux de signalisation.

Exercice 2 : Sur les panneaux suivants, trace le ou les axes de symétrie, s'il(s)

existe(nt) :

La difficulté réside dans le fait de considérer deux figures, l’une usuelle qui donne la forme du

panneau et l’autre interne à celle-ci qui en complète la signification. On a donc à examiner

dans le cas où les deux figures admettent des axes de symétrie si les axes de symétrie de l’une

sont des axes de symétrie de l’autre.

Dans le troisième exercice enfin, l’élève doit compléter trois figures sur quadrillage pour que

la droite tracée soit axe de symétrie ; dans le premier spécimen, l’axe est vertical ; dans le

deuxième, il est oblique suivant la diagonale d’un rectangle formé par deux carreaux du

quadrillage ; dans le dernier, il est horizontal.

Exercice 3 : Complète, par symétrie axiale, les figures suivantes :

37

On peut souligner que les figures proposées auraient pu être simplifiées sans perdre de

renseignements sur l’équipement praxéologique de l’élève.

D’un point de vue global, le diagnostic proposé parait à la fois adapté concernant les types de

tâches proposés qui, on l’a vu, ont été étudiés à l’école primaire, et inadéquat quant au

repérage des besoins didactiques des élèves dont le rapport personnel à la symétrie axiale est

encore peu robuste. En effet, pour un élève qui échoue devant les deux exercices significatifs

du diagnostic, il est mal aisé de savoir si cet échec est lié à un problème de mise en œuvre de

la technique ou si c’est la complexité de la figure donnée qui est en cause. À cet égard, il est

significatif de constater que le document proposé est avare d’éléments techniques. Tout au

plus trouve-t-on mentionné comme source d’erreur possible pour l’exercice 2 le visionnage du

« pliage » sans le réaliser de façon concrète avec le calque.

À l’issue du « diagnostic », une « prise en charge » est proposée sous la forme de quatre

exercices, les deux premiers pouvant être réalisés en binômes et les deux derniers, de façon

individuelle. L’utilisation du papier calque est cette fois-ci spécifiée dans les consignes des

trois premiers exercices mais un commentaire précise qu’il « faut cependant que les élèves

parviennent à s’en dégager progressivement » sans que des indications pour une technique

alternative soit explicitée.

Dans le premier exercice, on demande à l’élève de décalquer une figure composée d’une

droite et de sept points placés de part et d’autre de la droite et de déterminer si un point

semble symétrique d’un autre point.

38

Dans le deuxième exercice, douze figures sont proposées sur quadrillage et on demande de

déterminer si la droite tracée est axe de symétrie. Dans quatre spécimens, l’axe est vertical ;

dans quatre autres, il est horizontal ; et dans les quatre autres, il est oblique suivant la

diagonale d’un carreau de quadrillage. Le papier calque peut être utilisé pour vérifier.

Dans le troisième exercice, l’élève doit tracer les axes de symétrie, s’ils existent, de seize

figures ; pour les quatre premières, l’élève doit d’abord décalquer les figures.

39

Dans le quatrième exercice, l’élève doit compléter trois figures sur quadrillage pour que la

droite tracée soit axe de symétrie. Dans un spécimen, l’axe est vertical ; dans le suivant, il est

horizontal ; dans le dernier, il est oblique suivant la diagonale d’un carreau de quadrillage.

Dans l’ensemble, les spécimens de figures proposés sont plus simples que ceux figurant dans

le diagnostic et l’instrument privilégié des techniques envisagées est le papier calque. Un type

de tâches apparait dans l’exercice 2 : Vérifier que deux figures sont symétriques par rapport à

une droite donnée ; type de tâches qui devrait être un ingrédient de la technique relative à la

construction de la figure symétrique d’une figure donnée assurant le contrôle de la

construction.

L’évaluation diagnostique et le travail transitionnel proposés souffrent, nous semble-t-il, d’un

manque d’analyse de l’organisation mathématique dont on veut s’assurer la présence dans le

milieu : si les types de tâches sont correctement identifiés, il manque de l’amalgamation

centrée autour du type de tâches Construire la figure symétrique d’une figure donnée, ce qui

tient à l’absence d’attention portée sur les techniques. Du point de vue de l’organisation de

40

l’étude, les spécimens choisis pour le diagnostic sont, lorsqu’ils sont pertinents, trop

complexes pour permettre une mise au jour des besoins didactiques éventuels des élèves.

2. 4. Reprise de l’étude dans les manuels scolaires

Pour compléter cette exploration de l’équipement praxéologique institutionnel à l’égard de la

reprise de l’étude, nous avons examiné la façon dont les manuels scolaires prennent en charge

cet aspect de l’organisation de l’étude. Le lecteur trouvera en annexes 2.4.1 et 2.4.2 ce que

nous avons mis au jour dans chacun des manuels étudiés à propos de deux thèmes : la

symétrie axiale en sixième et le théorème de Thalès en troisième. Nous en présenterons ci-

après un peu rapidement une synthèse.

2. 4. 1. Le cas de la symétrie axiale en sixième

Notre enquête a porté sur huit spécimens de manuels classiquement utilisés dans les classes

que nous nommerons ci-après par le nom des collections : Odyssée, Triangle, Phare, Déclic,

Nouveau prisme, Zénius, Transmath, Hélice. Nous y avons ajouté un manuel en ligne, celui

du site de Sésamath, et un manuel pour l’enseignant édité par le CRDP de l’académie de

Nantes.

Dans chaque ouvrage pour la classe, le chapitre débute par une évaluation diagnostique qui

porte des noms variés selon le manuel : « Tremplin : quiz élève pour bien commencer le

chapitre » (Odyssée, 2014) ; « Je fais le point sur mes connaissances » (Triangle, 2009) ;

« Pour s’y remettre » (Déclic, 2009) ; « Je révise » (Nouveau prisme, 2009) ; « Je me

rappelle » (Zénius, 2009) ; « Vérifier mes acquis du CM2 » (Transmath, 2009) ; « QCM pour

commencer » (Hélice, 2009). Seule la collection Phare (Phare, 2009) ne nomme pas sa

rubrique introductive dans laquelle figure un seul exercice. La collection Triangle propose,

elle aussi, un seul exercice. Les collections Odyssée et Transmath proposent trois exercices.

Les quatre autres collections (Déclic, Nouveau prisme, Zénius, Hélice) proposent une

évaluation diagnostique sous la forme d’un QCM assez court (trois à cinq questions) « appuyé

sur des connaissances et des compétences travaillées dans les classes antérieures » (Déclic,

2009). Dans cinq ouvrages, les auteurs font des commentaires en début de manuel pour

qualifier la rubrique introductive du chapitre : « test » (Transmath, 2009), « test

diagnostique » (Hélice, 2009), « les indispensables pour aborder le chapitre » (Triangle,

2009) ; ou pour en préciser l’objectif : « réviser les connaissances nécessaires pour aborder le

nouveau chapitre » (Nouveau prisme, 2009), « vérifier ses connaissances et entrer dans le

chapitre » (Zénius, 2009).

On voit ainsi que l’évaluation diagnostique proposée doit pouvoir remplir sa fonction de

rendre disponible le milieu nécessaire à la poursuite de l’étude du thème. Cependant, l’analyse

des types de tâches évalués (voir annexe 2.4.1) montre une inadéquation avec ce qui a été

rencontré à l’école primaire pour six manuels, ce qui soulève le problème du repérage de ce

qui a été étudié antérieurement, geste professionnel difficile nous le verrons, amplifié par la

position du professeur de 6e qui n’appartient pas à la même institution d’enseignement que

celle dans laquelle l’élève a rencontré le thème d’étude.

41

L’un d’entre eux (Hélice) mentionne même des notions qui ne relèvent pas de l’étude à

l’école primaire : médiatrice, bissectrice, codage des figures.

Le manuel Zénius propose des questions sans lien direct avec la symétrie axiale mais jugées

utiles pour aborder le nouveau chapitre. Ce sera donc le seul à tester des sujets d’étude faisant

partie du milieu sans constituer un enjeu didactique pour le chapitre abordé. Mais on

remarquera qu’il mentionne, lui aussi, la médiatrice non rencontrée à l’école élémentaire, ou

encore le compas comme outil pour reporter une longueur alors qu’il est utilisé pour comparer

des longueurs à l’école élémentaire.

L’exercice du manuel Phare est l’exception qui confirme la règle puisqu’il est entièrement

adapté au programme de l’école élémentaire, mais le dispositif de reprise de l’étude reste très

succinct.

Un seul manuel (Triangle) complète l’évaluation diagnostique par un travail transitionnel

« pour réactiver mes connaissances […] si nécessaire ». Il est composé de huit exercices qui

font travailler le type de tâches de l’évaluation diagnostique Déterminer si deux figures

données sont symétriques par rapport à une droite donnée mais, nous l’avons noté, ce dernier

ne figure pas explicitement au programme de l’école élémentaire bien qu’il puisse intervenir

comme étape de vérification dans la technique de réalisation du type de tâches Construire la

figure symétrique d’une figure donnée par rapport à une droite donnée. Les spécimens

peuvent aussi représenter des sous types de tâches différents de ceux de l’évaluation

diagnostique, en faisant varier le paramétrage de la position relative des deux figures, de

l’intersection de la figure avec l’axe ou encore du support papier.

On retrouve donc dans l’ensemble de ces manuels un manque d’analyse de l’organisation

mathématique dont on veut s’assurer de la présence dans le milieu.

Jusqu’à la dernière version de 2013, le manuel en ligne de Sésamath (Association Sésamath,

2013) ne faisait aucune référence à des éléments de reprise de l’étude en début de chapitre.

Les auteurs ont enrichi cette dernière version de deux nouveaux chapitres N0 « Nombres

entiers (1) » et G0 « Éléments de géométrie » qui, « faisant le lien entre le CM2 et la 6e,

permettent de consolider l’acquisition de notions de base ». Cependant, ces chapitres sont

structurés de la même manière que tous les autres chapitres du manuel avec quatre parties

pour G0 « Activités de découverte », « Cours et méthodes essentielles », « Exercices », « À

toi de jouer », « Exercices d’entrainement » et seulement les trois dernières pour N0. Les

parties « Exercices d’approfondissement », « Se tester avec le QCM ! » et « Récréation

mathématique » des autres chapitres n’apparaissent pas. Il semblerait que les auteurs voient

ces chapitres comme des chapitres de révisions pour lesquels ils indiquent aussi qu’ils sont « à

utiliser selon les acquis des élèves en accompagnement personnalisé ». Nous ne pouvons nous

empêcher de faire le lien avec l’analyse faite précédemment sur l’accompagnement

personnalisé, l’ajout de ces deux chapitres à la version de 2013 étant vraisemblablement dû à

l’apparition de ce système didactique auxiliaire en classe de 6e, d’autant que les auteurs n’ont

pas fait d’ajout aux manuels des autres niveaux de classe.

Si nous nous intéressons au chapitre G0 dans lequel on pourrait s’attendre à voir la symétrie

axiale, les activités de découverte relèvent du type de tâches « Reproduire une figure » sur

42

papier quadrillé ou blanc, ou à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique ; les cours et

méthodes consistent en du vocabulaire et des notations mathématiques sur les segments,

droites, demi-droites, points alignés, droites sécantes, et l’appartenance d’un point à une

droite. La notion de demi-droite et les notations mathématiques des objets géométriques

n’étant pas au programme de l’école élémentaire, nous ne pouvons considérer, à l’instar des

auteurs, ce chapitre comme un chapitre de révisions ; aucune méthode n’y est d’ailleurs

rappelée, et les exercices qui suivent relèvent de types de tâches à l’étude de la classe de 6e.

Deux chapitres G4 « Symétrie axiale » et G5 « Axes de symétrie » sont consacrés au thème de

la symétrie axiale. Aucune reprise de l’étude du thème n’est visible, comme si les auteurs ne

prenaient pas en compte ce qui a été fait à l’école élémentaire.

Contrairement aux spécimens que nous avons analysés ci-dessus, le manuel pour l’enseignant

éditée par le CRDP de l’académie de Nantes (Bonjean Le Bechec, Rouquès & Stainer, 2014)

n’est pas un ouvrage pour la classe mais un livre s’adressant « à tout enseignant (débutant ou

chevronné) qui chercherait à inventer, à réinventer sa propre pratique, et à s’approprier au

mieux l’espace de liberté pédagogique dont tout professeur dispose pour atteindre de manière

tout à fait personnelle les objectifs fixés par l’institution ». L’inspectrice générale de

mathématiques et l’IA-IPR de mathématiques le préfaçant ajoutent : « Il s’agit là de

remarquables ressources tant mathématiques que pédagogiques ou didactiques, mises à

dispositions [des étudiants inscrits dans les parcours Mathématiques des nouveaux Masters

Éducation Enseignement et Formation] ». (p. 10)

Dans une première partie, les auteurs exposent « les généralités de la pratique ». À la question

« Quelles séquences plaçons-nous en début d’année ? » (p. 41), ils donnent des ingrédients

technologiques justifiant de ne pas faire de révisions :

Nous ne faisons pas de révisions et n’employons d’ailleurs jamais ce mot. Nous choisissons,

en début d’année, au moins une notion entièrement nouvelle pour provoquer l’intérêt […] et

plutôt des notions qui ne présentent pas d’obstacles trop importants pour les élèves en

difficulté, afin de les mettre en réussite. Les élèves à l’aise ont tout de suite quelque chose à se

mettre sous la dent et les élèves en difficulté ne pensent pas d’emblée qu’ils sont nuls parce

qu’ils sèchent sur des exercices de révisions. (p. 41)

La reprise de l’étude se fait essentiellement par des « exercices de préparation des séquences

[…], faits à distance de la séquence en question. En général, ce ne sont pas de véritables

nouveautés du programme de sixième ni des révisions classiques ; ils réactivent et renforcent

des notions de l’école ». (p. 41)

Pour les quinze séquences traitées dans le livre, cette « phase de préparation » apparait huit

fois. Les auteurs justifient leur pratique par des ingrédients technologiques que nous

soulignons dans l’extrait ci-dessous :

Nous travaillons sur les prérequis en redonnant, en particulier, du temps pour des notions du

socle commun des années précédentes. Cette préparation permet non seulement d’étaler

l’apprentissage dans le temps, mais aussi d’éviter par la suite des obstacles parasites,

c’est-à-dire ceux qui ne se franchissent pas grâce au nouveau savoir. […] Ces obstacles

43

nécessiteraient un arrêt de la classe qui risquerait de perturber une phase importante de

l’apprentissage. Nous choisissons de les travailler, à part, en amont.

Nous menons souvent la préparation à distance de l’apprentissage proprement dit pour

donner aux élèves en difficulté un temps assez long d’assimilation et pour qu’il nous soit

possible d’y revenir si nécessaire. Cela fait également du futur apprentissage une

véritable occasion de réinvestir ces prérequis. […]

Nous ne voulons pas que cette phase soit ressentie par les élèves comme un temps de

révisions. Cela pourrait démobiliser ceux qui pensent savoir et provoquer un désarroi

chez ceux qui pensent qu’ils devraient savoir. Pour cela, nous posons le plus souvent

possible des questions ouvertes, de manière à ce que l’exercice constitue un véritable

problème pour tous, et nous accompagnons plus particulièrement les élèves en difficulté.

(p. 44)

Les auteurs précisent encore que le dispositif du « rituel de début de séance », constitué « [d’]

exercices courts, en général techniques, à faire individuellement sur le cahier de recherche »,

travail ne durant « pas plus de dix minutes », peut aussi être l’occasion de « réactiver des

savoirs anciens prochainement nécessaires ». (p. 58). On notera que cette nouvelle

praxéologie de reprise de l’étude cautionnée par les IA-IPR de mathématiques va se

développer chez les professeurs stagiaires comme nous le verrons plus loin.

La séquence 8 « Symétrie axiale (première partie) » ne bénéficie pas de la « phase de

préparation ». Cependant, l’étape 1, sur les trois étapes qui constituent cette séquence

(« temps indicatif : environ cinq ou six séances »), est donnée comme une « phase de prise en

main de notions de primaire ». Il apparait ici un nouveau dispositif de reprise de l’étude sous

la forme d’activités réalisées en classe. Nous le retrouvons dans les cinq premières séquences

intitulées « Découvrir des numérations pour mieux comprendre la nôtre », « Dessins

géométriques », « Opérations avec des nombres entiers », « Programmes de construction » et

« Nombres en écriture fractionnaire, nombres en écriture décimale ». Il peut s’étaler sur

plusieurs séances : entre 1 et 4 étapes d’une séquence.

Cette édition récente de livre pour le professeur, qui n’existe que pour les niveaux 6e, 5

e et 4

e,

propose ainsi un dispositif de reprise de l’étude qui varie selon les séquences

d’enseignement : exercices préparatoires, « véritables problèmes pour tous », à faire à la

maison en amont de la séquence ; petits exercices rituels techniques en début de séance ;

activités pour prendre en main les notions de primaire.

Même si les auteurs précisent qu’ils accompagnent « plus particulièrement les élèves en

difficulté », rien n’est dit sur la manière dont ce geste professionnel est réalisé, la façon

d’accompagner « plus particulièrement les élèves en difficulté », comme s’il s’agissait d’un

problème transparent.

2. 4. 2. Le cas du théorème de Thalès en troisième

Afin d’appréhender si la contrainte liée au changement d’institution influe sur la reprise de

l’étude en classe de 6e, nous enquêtons maintenant dans des manuels de 3

e pour l’étude du

44

thème relatif au théorème de Thalès. Une analyse préalable de ce que dit le programme de

troisième à ce sujet (MEN, 2008, pp. 37-38) a été réalisée (voir annexe 2.4.2).

Nous avons choisi d’enquêter dans quatre spécimens des collections sélectionnées en 6e

(Triangle, Phare, Nouveau prisme et Zénius). Comme nous avons pu le souligner plus haut, le

site Sésamath ne prend pas en charge la reprise de l’étude et le manuel pour l’enseignant de la

collection Des maths ensemble et pour chacun de l’académie de Nantes n’a pas été édité pour

la classe de 3e.

Comme pour la classe de 6e, le chapitre débute par une évaluation diagnostique : « Je fais le

point sur mes connaissances » (Triangle, 2008) ; « Je prends un bon départ » (Nouveau

prisme, 2012) ; « Pour commencer » (Zénius, 2014) ; non nommée dans la collection Phare

(Phare, 2012). Elle prend des formes différentes : exercices (Triangle, Phare) ; QCM

(Nouveau prisme) ; phrases à compléter (Zénius). Dans ce dernier dispositif, la collection

Zénius fait le choix de n’évaluer que des sujets d’étude ne constituant pas un enjeu didactique

pour le chapitre mais faisant partie du milieu, comme nous l’avons signalé plus haut pour la

classe de 6e. Les trois autres collections font une large part au type de tâches Déterminer la

mesure d’une longueur (neuf spécimens dans Triangle, un dans Phare et cinq dans Nouveau

prisme), mais on y trouve aussi des types de tâches travaillés en classe de 4e pour lesquels le

théorème de Thalès permettra d’élaborer de nouvelles techniques en troisième : Démontrer

que deux droites sont parallèles ; Démontrer qu’un point est le milieu d’un segment ;

Démontrer que trois points sont alignés. En revanche, le type de tâches Agrandir ou réduire

une figure ne sera pas testé et prendra place dans un autre chapitre pour les collections Phare

et Nouveau prisme ; on n’en trouve pas de trace dans la collection Triangle.

Là encore, seule la collection Triangle met en place un dispositif pouvant aider au travail

transitionnel dans sa rubrique « Réactiver les connaissances » où figurent 11 exercices

reprenant les mêmes praxéologies que celles testées dans l’évaluation diagnostique.

On soulignera que, même si le repérage de ce qui a été antérieurement étudié semble plus aisé

à ce niveau de classe – ce qui confirme notre hypothèse de difficulté liée au changement

d’institution scolaire en classe de 6e –, les dispositifs de reprise de l’étude restent mal calibrés

avec notamment un travail transitionnel globalement inexistant et une identification du milieu

d’étude à tester insuffisante.

L’enquête menée sur les praxéologies de reprise de l’étude au sein de la profession fait ainsi

apparaitre que la profession repère le type de tâches à accomplir : reprendre l’étude d’un

thème ; l’élargit à la constitution du milieu pour l’étude ; donne des éléments pour constituer

un équipement praxéologique autour de ce type de tâches pour le moins parcellaire, dans

lequel les ingrédients techniques sont rares et peu développés. Cet équipement praxéologique

repose sur des éléments technologiques qui font apparaitre le plus souvent la pression du

temps de l’étude sous couvert des réactions des élèves, voire de la gestion de l’hétérogénéité,

et qui prennent appui sur l’évaluation diagnostique.

45

3. Élaboration d’une praxéologie de reprise de l’étude par des professeurs

débutants

Nous poursuivrons notre enquête en examinant ici l’équipement praxéologique de professeurs

débutants formés à l’ESPE d’Aix-Marseille durant l’année 2013-2014.

Ces jeunes professeurs étaient étudiants à l’ESPE en deuxième année de master

« Enseignement et Formation en Mathématiques » et avaient en charge, pour la plupart,

six heures d’enseignement dans un établissement secondaire avec un statut de contractuel. Sur

ces 16 étudiants, pour des raisons diverses, 5 d’entre eux étaient en stage de pratique

accompagnée. Tous avaient simultanément à passer en avril les épreuves d’admission du

CAPES session exceptionnelle 2014, l’admissibilité ayant été obtenue en juillet 2013, ainsi

que l’écrit de la session 2014 rénovée.

La formation dispensée comprenait trois unités d’enseignement (UE) de didactique, deux au

premier semestre (48 h chacune) et une au second semestre (48 h) auxquelles s’ajoutaient une

UE relative au mémoire professionnel au second semestre (48 h) et deux UE de tutorat (20 h

par semestre) qui permettaient de suivre plus particulièrement le stage. La reprise de l’étude a

été étudiée dans une UE du premier semestre, et a été travaillée sous diverses formes au

second semestre. L’équipement praxéologique relatif à la reprise de l’étude de ces professeurs

débutants s’est donc façonné alors qu’ils étaient assujettis à une institution de formation : le

travail effectué en formation à ce propos constitue alors un ensemble de conditions sous

lesquelles le rapport à la reprise de l’étude a été construit – même si d’autres conditions ont

contribué à sa construction. C’est donc par l’examen de ce que recelait la formation dispensée

que nous débuterons cette étude.

3. 1. Analyse praxéologique d’une formation à la reprise de l’étude

La notion de reprise d’étude a été abordée dès la première séance de formation, le lundi 9

septembre 2013, à travers l’étude de la quatrième partie d’une notice rédigée par Yves

Chevallard (2006), dans le cadre de la formation des élèves professeurs de l’IUFM d’Aix-

Marseille, et portant sur le temps de l’étude. Cette notice met d’abord en avant une

contrainte que nous avons identifiée au premier chapitre : le professeur doit faire avancer, à

toute force, le temps de l’étude et les élèves y sont particulièrement attentifs :

La situation dominée des élèves par rapport à l’avancée de l’étude les porte à être vigilants : ils

attendent en particulier du professeur qu’il fasse avancer le temps didactique ; et, s’il est vrai

qu’ils s’entendent souvent à freiner cette avancée – en « traînant les pieds », en faisant de la

résistance d’une manière ou d’une autre –, le professeur se méprendrait, au risque d’essuyer

bientôt de vives critiques, voire de perdre une partie de sa légitimité, s’il succombait à la

tentation de se rendre à ce type de sollicitations, alors que les élèves attendent de lui qu’il

avance en dépit même des ralentissements qu’ils cherchent à lui imposer. (p. 8)

46

Cette vigilance relative à l’avancée de l’étude vient justifier l’abandon des « révisions

systématiques » (Chevallard, 2006) :

Une telle attente est à l’évidence antinomique de la pratique des révisions systématiques.

Longtemps, il est vrai, les programmes officiels ont prescrit la révision – augmentée de

compléments – d’une partie du programme de la classe précédente avant d’aborder le

« programme particulier à la classe ». Tout aussi officiellement, pourtant, de telles révisions

sont aujourd’hui proscrites. « Il convient, énonçait ainsi d’emblée l’ancien programme de 6e,

de faire fonctionner, à propos de nouvelles situations et autrement qu’en reprise ayant un

caractère de révision, les notions et “outils” mathématiques antérieurement étudiés. »

L’injonction est reprise dans l’Introduction générale pour le collège qui ouvre la brochure

présentant le nouveau programme de mathématiques du cycle central, où on lit : « Il convient

de faire fonctionner les notions et “outils” mathématiques étudiés au cours des années

précédentes dans de nouvelles situations, autrement qu’en reprise ayant un caractère de

révision. En sixième, particulièrement, les élèves doivent avoir conscience que leurs

connaissances évoluent par rapport à celles acquises à l’école primaire. » Ignorant sur ce point

les instructions officielles, nombre de professeurs débutants semblent enclins à commencer

l’année par des révisions systématiques, qu’on a vu parfois se prolonger jusqu’aux premières

vacances scolaires de l’année ! Plusieurs facteurs concourent sans doute à nourrir ces

errements : souci de « rassembler » la classe (par exemple lorsqu’il s’agit d’une 2de

, formée

d’élèves qui, provenant de différents collèges, tendent à constituer au sein de la classe autant

de « clans » qui s’ignorent, voire se combattent), mais aussi désir plus ou moins inconscient de

captation des élèves, à qui le professeur, fût-ce à son insu, signifie ainsi que « la vie

commence avec lui » (ce que certains élèves peuvent vivre d’ailleurs comme une forme subtile

d’agression narcissique). À cela il faut ajouter que la pratique des révisions permet au

professeur novice de différer le moment où il devra affronter, au double plan psychologique et

technique, la difficile tâche consistant à créer du temps didactique : dans les révisions, en

effet, de même par exemple que dans les leçons particulières (qui constituent fréquemment la

seule expérience de direction d’étude du professeur novice), on travaille sur du temps

didactique créé par d’autres, et on n’a donc pas véritablement à créer du temps didactique ex

nihilo. Par contraste, la fonction chronogène qu’assume normalement le professeur ayant la

responsabilité d’une classe apparaît alors comme extrêmement exigeante : elle appelle un

effort didactique et psychologique non négligeable. (p. 8)

Après avoir mis en évidence les injonctions institutionnelles relatives à la reprise de l’étude

que nous avons examinées plus haut, l’auteur explicite trois conditions qui poussent en avant

chez les professeurs débutants la pratique des « révisions systématiques » : exigence de

rassemblement de la classe, désir de s’imposer comme seul maître du savoir, difficulté de

création du temps didactique.

Les révisions viennent cependant occuper une fonction de reprise de l’étude même si, on l’a

vu, ce dispositif n’est pas adapté aux conditions et aux contraintes des institutions scolaires

d’aujourd’hui vis-à-vis du temps didactique (Chevallard, 2006) :

47

Le problème des révisions surgit notamment lorsque, dans une classe donnée, le programme

comporte un thème déjà en partie étudié dans les classes précédentes, c’est-à-dire lorsqu’il y

a reprise de l’étude du thème , celui-ci apparaissant donc à nouveau comme un enjeu

didactique. Dans un tel cas, la stratégie officiellement préconisée, qui, de manière plus ou

moins subreptice, permet la poursuite de l’apprentissage du thème par son activation dans le

cadre de l’étude de thèmes 1, 2, ..., n nouvellement étudiés, cesse d’être appropriée

puisqu’elle suppose précisément que n’est plus un enjeu didactique. Or les situations de

reprise d’étude sont aujourd’hui fréquentes dans le curriculum secondaire, dans la mesure

notamment où les programmes sont conçus dans une perspective progressive, l’étude d’un

thème introduit dans une classe se poursuivant en général dans la classe suivante, voire au-

delà. Dans un tel cas, la mise en évidence de ce qu’il y a de nouveau dans l’étude du thème ,

c’est-à-dire de ce qui constitue véritablement l’enjeu didactique autour duquel le travail va se

développer dans la classe constitue un élément crucial de la direction d’étude. Deux principes

s’imposent notamment au professeur à cet égard. Tout d’abord, il doit se garder de reprendre

ab initio l’étude du thème et s’efforcer au contraire de faire apparaître ce qui, de , est

réellement neuf, et se trouve donc à étudier, par rapport à ce qui est ancien et ne saurait plus

être légitimement étudié dans cette classe : objectivement, en effet, du temps didactique a été

dépensé dans la classe précédente sur le thème , et le redoublement de cette dépense dans la

classe, sans acquis nouveau, ou du moins sans que cette reprise soit présentée comme un

rappel visant la remémoration collective de faits déjà rencontrés, constitue alors, aux yeux des

élèves, un gaspillage de temps – sentiment qui s’exprime le plus souvent par une certaine

inattention, un brouhaha persistant, voire des propos implicitement ou explicitement

protestataires : « L’an dernier c’est pas comme ça qu’on faisait ! », « M’sieur, on l’a déjà

fait ! », etc. Ensuite, il convient de faire que les élèves qui ne maîtriseraient pas l’ancien de

manière satisfaisante puissent se mettre à jour sur ces parties du thème qui ne peuvent plus

légitimement recevoir le statut d’enjeu didactique dans le travail de la classe. Si la

responsabilité didactique de l’élève vis-à-vis de ses propres apprentissages est, ici comme en

d’autres circonstances, pleinement engagée, le professeur n’est pas pour autant dégagé de

toute responsabilité : il lui incombe de prendre sa part dans la gestion de cette reprise d’étude.

Lorsque les élèves arrivent dans la classe, le thème ne leur est pas inconnu : le problème

didactique posé au professeur est alors celui, non du recommencement, mais de la reprise et

de la poursuite de l’étude du thème. (p. 9)

On voit, là encore, émerger des éléments technologico-théoriques de la praxéologie de reprise

de l’étude, éléments liés d’une part, au temps didactique qui doit avancer ; d’autre part, aux

positions respectives du professeur et de l’élève dans le processus d’étude.

Le formateur illustre alors à l’aide d’un extrait de compte rendu d’observation, portant sur

l’étude de la proportionnalité en classe de 5e, les écueils soulignés par la notice (Artaud,

2013). Le professeur débutant observé fait en effet « comme si » le type de tâches

Reconnaitre un tableau de proportionnalité était enjeu de l’étude en proposant en outre des

spécimens où ne figurent que des entiers – ce que les élèves ne manquent pas de lui reprocher,

48

explicitement, par des commentaires comme « on a fait ça depuis le CP » ou implicitement,

par leur agitation et leur inattention (voir annexe 3.1a).

Cela permet au formateur d’introduire un premier type de tâches que le professeur doit

accomplir pour reprendre l’étude d’un thème : repérer le tracé de la « frontière » entre ce qui a

été antérieurement étudié et ce qui est enjeu de l’étude de la classe considérée. Il donne deux

exemples, l’un relatif au domaine des fonctions en seconde et l’autre sur la proportionnalité en

sixième et en cinquième. Nous examinerons ici l’étude du premier d’entre eux (voir annexe

3.1b).

La technique qui émerge peut se résumer ainsi :

Déterminer l’organisation mathématique institutionnellement enjeu de l’étude de la

classe précédente et la comparer avec celle qui est enjeu de l’étude de la classe

considérée – la seconde ici.

Ce travail prend appui sur une enquête dont le milieu comprend le programme des deux

classes (MEN, 2008, 2009b), le document de la collection Ressources pour les classes du

collège portant sur la proportionnalité et les fonctions (MEN, 2005), deux manuels de

mathématiques pour la classe de 3e (J. Malaval et al., 2008, pp. 108-111 ; C. Deschamps

(dir.), 2008, pp. 120-125) et l’énoncé d’un sujet du diplôme national du brevet (MEN, 2009).

Les traces écrites du résultat de l’enquête font apparaitre d’abord une différence entre les deux

organisations mathématiques en termes d’ingrédients technologico-théoriques (Artaud,

2013) :

… si la notion de fonction et d’image, et de façon plus limitée celle d’antécédent, ont été

travaillées dans le cadre du programme de troisième, le sens de variation des fonctions relève

clairement du programme de seconde, y compris en ce qui concerne les fonctions linéaires et

affines. (pp. 12-13)

On trouve ensuite un certain nombre de types de tâches autour desquels se constitue

l’organisation mathématique de la classe de 3e (ibid.) :

Déterminer si un point appartient à la courbe représentative d’une fonction,

ce qui suppose de Déterminer l’image d’un nombre par une fonction ;

Déterminer l’antécédent d’un nombre par une fonction (technique graphique ou via un tableau

de valeurs si la fonction n’est pas affine) ;

Déterminer les coordonnées d’un point d’une courbe représentative ;

auxquels il faudrait ajouter la modélisation d’une situation par une fonction et la

représentation graphique d’une fonction donnée par son expression algébrique. (p. 16)

Cela permet au formateur de caractériser ainsi la « frontière » entre la classe de 3eet la classe

de 2de

sur le domaine des fonctions (ibid.) :

… la ligne de démarcation entre le collège et le lycée se fait sur les variations d’une fonction ;

on a également une différence liée à la formalisation qui a davantage de place en seconde

49

qu’elle n’en a eu en troisième où, si certaines notations sont introduites, elles le sont

généralement sur des spécimens. (p. 17)

Le dernier point laisse penser que des éléments sur les techniques ont été mis en évidence

oralement, mais le texte du cours n’en porte pas d’autres traces, exception faite d’une annexe

reproduisant des extraits des manuels cités plus haut.

Une fois le repérage de la « frontière » effectué, il s’agit d’examiner si les élèves sont au point

sur ce qu’ils ont antérieurement étudié. Pour cela, la notice examinée (Chevallard, 2006)

propose un dispositif nommé « test d’entrée dans l’étude du thème ». Voici comment Y.

Chevallard le présente :

Le problème didactique que le professeur doit chercher à résoudre comporte alors deux

difficultés. Tout d’abord, il lui faut explorer et identifier, avec les élèves, leurs besoins d’étude

– leurs besoins didactiques – relativement au thème considéré. Ensuite, une fois ces besoins

didactiques reconnus par le professeur comme par les élèves, il devra concevoir et animer le

travail permettant de les satisfaire, et cela en évitant bien entendu la reprise générale de l’étude

du thème considéré. La détermination des besoins didactiques des élèves relativement à un

thème d’étude peut se faire par la technique du test d’entrée dans l’étude du thème – test qui

constitue le pendant des classiques devoirs de contrôle (« interrogations écrites », « devoirs

surveillés », etc.), lesquels portent généralement sur des types de problèmes récemment

étudiés et constituent des tests de sortie de l’étude des thèmes figurant au programme du

contrôle. Un test d’entrée peut prendre la forme d’une épreuve de 15 à 20 minutes, phase de

travail individuel écrit suivie d’une phase de travail collectif en classe, immédiatement, ou lors

de la séance suivante. La phase de travail individuel écrit apparaît indispensable pour que

l’élève puisse apprécier par lui-même sa capacité – ou son incapacité – à s’affronter avec

succès aux types de tâches mathématiques proposés. Ce travail écrit peut faire l’objet d’une

double évaluation. L’évaluation réalisée par l’élève, qui appréciera ainsi sa capacité à résoudre

les problèmes des types proposés, pourra être consignée sur la copie, au moment où le

professeur met un terme à la session de travail individuel écrit, et être exprimée sur une échelle

en quelques points (par exemple : très faible, insuffisant, moyen, satisfaisant, très satisfaisant).

L’évaluation réalisée par le professeur pourra, quant à elle, se traduire par une note chiffrée,

dont le poids dans la série des notes attribuées à l’élève devra cependant rester très limité.

Le test d’entrée doit permettre à l’élève et au professeur d’apprécier la maîtrise réelle qui est

celle de l’élève sur les types de problèmes situés à la frontière entre l’une et l’autre classe.

D’une manière générale, la principale difficulté de fabrication d’un tel test est liée à la

contrainte de temps : parce qu’il doit relancer l’étude, et non l’arrêter durablement, un test

d’entrée, on l’a dit, doit être bref. Cette exigence conduit à renoncer à représenter, dans

l’échantillon de tâches mathématiques proposées, l’ensemble des types de tâches qui ont pu

être rencontrées dans les classes précédentes, et à s’en tenir à quelques spécimens de difficulté

graduée. (2006, pp. 9-10)

50

On le voit, le dispositif proposé prend la forme d’un travail écrit en classe d’une durée limitée.

On peut remarquer que ce travail écrit peut être noté même si le poids dans la moyenne

trimestrielle sera limité alors que nous avons vu dans le chapitre précédent un site académique

affirmer que « ce diagnostic ne peut évidemment pas se traduire par une note » (Académie

d’Orléans-Tours, 2011). Dans le cas du dispositif proposé et compte tenu des conditions

prévalant aujourd’hui dans la société pour laquelle les notes donnent une visibilité au travail

scolaire, une note peut contribuer à favoriser l’insertion de ce type de travail dans la classe.

Un ingrédient technologique est explicitement donné pour justifier le caractère écrit et

individuel : l’élève doit pouvoir « apprécier par lui-même sa capacité – ou son incapacité – à

s’affronter avec succès aux types de tâches mathématiques proposés ». Il est lié, on le verra, à

l’assomption par l’élève d’une certaine responsabilité vis-à-vis du processus d’apprentissage.

Le formateur donne alors un exemple de test d’entrée à propos des fonctions en

seconde (Artaud, 2013) :

1. On considère la fonction qui à x associe f(x) = 3x² – 5x + 4.

a) Déterminer l’image de − 1

3 par f.

b) Le point A(1 ; 2) appartient-il à la courbe représentative de f ? On justifiera la réponse.

c) Déterminer un antécédent de 2 par f ?

2. Armelle souhaite travailler quelques heures par mois dans un musée pour gagner de l’argent

de poche. On lui propose de lui verser 40 euros au début du mois, puis 6 euros par heure de

travail.

a) Parmi les quatre fonctions suivantes, laquelle modélise cette situation ?

f(x) = 40x + 6 ; g(x) = 6x + 40 ; h(x) = 60 + 4x ; j(x) = 6x – 40.

b) Déterminer le nombre d’heures qu’Armelle doit travailler pour avoir 85 euros d’argent de

poche par mois. (p. 19)

On y voit des spécimens des types de tâches identifiés précédemment comme faisant partie de

l’enjeu de l’étude en troisième :

‒ Déterminer l’image d’un nombre par une fonction ;

‒ Déterminer si un point appartient à la courbe représentative d’une fonction ;

‒ Déterminer l’antécédent d’un nombre par une fonction ;

‒ Déterminer la fonction qui modélise une situation donnée.

51

On peut noter que, dans l’exemple proposé, ce n’est pas la modélisation de la situation qui est

demandée, mais le choix d’un modèle pertinent parmi quatre modèles donnés, de façon à

respecter les contraintes horaires.

La troisième et dernière étape consiste à exploiter le test d’entrée et à mener lorsque cela

s’avère nécessaire un travail transitionnel (Chevallard, 2006) :

Un test d’entrée n’est qu’un élément de l’organisation d’ensemble de l’entrée dans l’étude du

thème. Censé permettre la détection – et l’auto-détection – des élèves présentant un déficit net

sur le thème considéré, il ne vise pas à contrôler les élèves sur l’ensemble des points sensibles

du thème. En fait, le test doit simplement éclairer le professeur (et les élèves) sur l’action à

engager, laquelle peut consister : 1) à ne rien faire de plus, et à aborder sans attendre l’étude de

ce qui est vraiment nouveau ; 2) à proposer à certains élèves, supposés en petit nombre et pour

lesquels la chose semble s’imposer, un travail personnel adapté, et ne reprendre l’étude

collective du thème que quelques jours plus tard ; 3) à diriger en classe entière, ou, de manière

plus ciblée, dans un cadre approprié (en module, s’il s’agit d’une 2de

, par exemple), un travail

transitionnel spécifique sur le thème à étudier. Dans les deux derniers cas évoqués, les types de

problèmes laissés volontairement de côté lors du test d’entrée pourront être spécialement

travaillés : ainsi en ira-t-il, s’agissant du thème des inéquations en 2de

, avec les problèmes de

modélisation algébrique élémentaire. Dans le deuxième cas, on notera que, même aidé, le

travail personnel demandé à l’élève suppose de sa part une certaine autonomie didactique, en

même temps qu’il engage clairement sa responsabilité didactique et citoyenne, l’élève devant

en effet s’efforcer de ne pas retarder trop l’avancée du temps didactique dans la classe. Le

délai de quelques jours entre le travail d’évaluation et de bilan, d’une part, et la poursuite

collective de l’étude, d’autre part, assume à cet égard une fonction clairement symbolique, en

ce qu’il manifeste que la classe attend les élèves en retard, et en même temps que cette attente

ne saurait se prolonger indûment. (p. 10)

Les résultats du test d’entrée ouvrent, on le voit, trois directions possibles d’entrée dans

l’étude du thème. La première, ne rien faire de plus, suppose que l’équipement praxéologique

de la classe est conforme au rapport institutionnel au thème à l’issue de l’étude menée

antérieurement. Lorsque ce n’est pas le cas, selon la proportion d’élèves dont on a constaté les

besoins didactiques, il s’agira de réaliser un moment de travail, hors classe lorsque peu

d’élèves sont concernés, en classe entière ou dans des systèmes didactiques auxiliaires sinon.

On soulignera la mention, dans le cas du travail hors classe, d’un ingrédient technologique

appuyé sur la contrainte d’avancée du temps didactique liée, comme nous l’avons signalé

précédemment, à la responsabilité didactique de l’élève, elle-même permise par

l’appartenance de l’élève à la classe. Dans le cas où c’est une majorité d’élèves qui a des

besoins didactiques sur le thème, la portée de cet ingrédient technologique sera moindre.

Lorsque le moment de travail se situe hors classe, la notice esquisse une technique appuyée

sur trois dispositifs : feuille de travail préparée par le professeur, choix d’exercices d’un

ouvrage, « atelier de mise à jour » (Chevallard, 2006) :

52

L’organisation propice au travail personnel adapté suppose un dispositif approprié, et trois

scénarios peuvent à cet égard être par exemple envisagés : 1) le professeur fournit aux élèves

concernés une ou plusieurs feuilles de travail qu’il a préparées dans ce but et qui seront le

support du travail personnel demandé ; 2) il peut aussi remplacer une telle production

spécifique par un choix d’exercices que l’élève ira découvrir dans un ou plusieurs ouvrages à

consulter au CDI (on préfèrera pour cela des ouvrages simples et concis, qui marquent assez

nettement une situation de transition par rapport à la classe précédente) ; 3) il peut enfin

diriger les élèves concernés vers un dispositif de travail approprié, fonctionnant comme un

« atelier de mise à jour ». (p. 11)

Si le professeur doit emprunter la voie d’un moment de travail en classe entière, la notice

propose une technique qui prend en charge deux positions d’élève, les « plus déficitaires » et

ceux « ayant une maitrise du thème jugée suffisante », tout en prévoyant un dispositif

permettant de cohérer didactiquement la classe (ibid.) :

Dans le cas où le professeur décide de diriger un travail transitionnel spécifique pour

l’ensemble de la classe, les élèves pourront, dans le cadre des modules, avoir à mener à bien

soit un travail de développement, réservés aux élèves les plus déficitaires, soit un travail de

mise au point, pour les élèves ayant une maîtrise du thème jugée suffisante. La cohésion

didactique de la classe peut alors être assurée, par exemple, d’une part en utilisant dans le

travail de mise au point le même matériel que celui utilisé dans le travail de développement,

mais en moindre quantité et augmenté de quelques exercices simples de modélisation, d’autre

part en demandant aux élèves engagés dans un travail de développement, éventuellement

groupés en binômes pour certains d’entre eux, de remettre, dans la semaine qui suit, un travail

écrit présentant la solution des exercices complémentaires étudiés en « mise au point », devoir

pour lequel chacun des élèves ou des binômes reçoit l’aide de l’un des élèves ayant participé

au travail de mise au point.

Un tel travail transitionnel spécifique portera sur les types de problèmes situés à la frontière

avec la classe précédente et aura prioritairement pour objet de travailler et de « faire

travailler » la technique standard correspondante mise en place dans cette classe, si une telle

technique canonique existe ; ou, dans le cas contraire, de rassembler la classe autour d’une

technique dont il apparaît que, à un titre ou un autre, elle a un avenir dans la suite de l’étude.

Dans tous les cas, on s’efforcera d’enrichir la technique travaillée de variantes diverses qui

fourniront notamment des moyens d’anticipation et de contrôle, en vue d’aller collectivement

vers une meilleure maîtrise des types de problèmes considérés. La transition didactique faite,

la classe pourra s’attaquer à ce qu’il y a de vraiment nouveau dans le programme de l’année,

en prenant appui sur la technique travaillée jusque-là, et en essayant alors d’en étendre la

portée aux cas nouvellement rencontrés. (p. 11)

Le dernier paragraphe de la notice met en avant un élément venant justifier la nécessité de la

reprise de l’étude : permettre la mise en accord du temps de l’apprentissage de la classe et de

chaque élève avec le temps didactique (ibid.) :

53

L’obligation de créer du temps didactique ne doit pas conduire à oublier que l’étude est un

moyen au service d’une fin : l’apprentissage. Si le temps didactique impulsé par le professeur

fixe un cadre collectif de progrès, c’est bien le travail des élèves qui peut faire que les temps

de l’apprentissage apparaissent globalement en phase avec l’avancée officielle de l’étude,

dont le professeur reste le garant. À cet égard, l’exigence contractuelle d’un temps didactique

séquentiel et irréversible ne doit pas être plaquée mécaniquement sur les processus effectifs

d’apprentissage, qui se développent au contraire dans un décalage nécessaire avec l’actualité

didactique officielle, et où triomphent travail d’après-coup et retours en arrière. Les

dynamiques cognitives individuelles se cachent souvent derrière un certain immobilisme

apparent ; l’apprentissage se réalise bien rarement« en temps didactique réel », et le professeur

ne saurait donc se contenter d’être l’ordonnateur du temps didactique officiel. Il est tout autant

un aide à l’étude qui, à travers divers dispositifs didactiques (modules, soutien, etc.), contribue

de manière décisive à favoriser la mise en accord du temps individuel de chaque « apprenant »

avec le temps collectif de l’étude. (pp. 11-12)

En dehors de l’étude de la notice, qui a pris place lors de la première séance, le test d’entrée a

donné lieu à une séance de travaux dirigés (le jeudi 19 septembre 2013) dont l'objet était que

certains étudiants présentent un test d'entrée sur un thème donné. Les notes de cours en

donnent un compte rendu lapidaire (Artaud, 2013) :

On n’a pas à « tout » tester sur un thème donné et il s’agit de se concentrer sur ce qui a été

étudié dans la classe précédente et qui est directement utile pour constituer le milieu de l’étude

à venir. Il n’est pas utile de répéter plusieurs fois le même type de tâches et il faut formuler les

consignes de façon à être « presque sûrs » d’obtenir les techniques mises en œuvre. Trois

items semblent un étalon acceptable. (p. 44)

On y voit principalement des ingrédients techniques : donner autour de trois items, se

concentrer sur ce qui a été étudié et qui est directement utile pour constituer le milieu de

l’étude à venir. D’un point de vue technologique, c’est la constitution du milieu qui est

explicitement mobilisée par le formateur pour justifier le choix des types de tâches à tester.

Les notes de cours de l’UE de didactique du second semestre ne portent pas trace de la reprise

de l’étude, hormis une réponse du formateur dans le cadre du dispositif du « forum des

questions » lors de la troisième séance de formation, le mardi 18 février 2014 (Artaud,

2014a) :

Avant un test d’entrée, je demande aux élèves de savoir telle ou telle notion vue en cinquième.

Beaucoup d’élèves ne gardent pas leurs affaires des années antérieures. Pouvons-nous leur

donner une fiche récapitulative sur les années antérieures pour les tests d’entrée ? Par exemple,

une fiche avant chaque test.

Réponse express

1. On notera que le travail demandé pour le test d’entrée permet de fonctionnaliser la nécessité

de disposer de ressources, que ces ressources soient les notes prises les années précédentes (ce

qui donne une raison d’être à l’attention à porter à la qualité des traces écrites) ou encore se

présentent sous la forme d’une petite bibliothèque, papier ou numérique. Un ouvrage

54

d’exercices corrigés pour la classe de 6e, lorsqu’on est en cinquième, peut permettre de remplir

la fonction demandée mais bien d’autres ressources sont disponibles sur internet, dont par

exemple les cours de l’académie en ligne. Supposons qu’en 5e, on veuille préparer

l’enseignement de la statistique et que l’on ait donc à faire un test d’entrée à ce propos. Voici

ce que propose le site de l’académie en ligne sur la gestion des données en sixième :

http://www.academie-en-ligne.fr/College/RessourcesInformatives.aspx?

PREFIXE=AL4MA61&CONCEPT=AL4MA61-INTR-194914-1. (Examiné en séance) On

peut également utiliser les ressources de la médiathèque, voire les « exerciciels », à condition

d’avoir travaillé préalablement avec les élèves l’utilisation de ce type de ressources.

2. Si l’on s’oriente sur la distribution de fiches, il faut prendre soin d’y faire figurer la

praxéologie dans son ensemble, et pas uniquement l’environnement technologico-théorique, et

l’assortir de deux ou trois énoncés d’exercices complétés par un corrigé. (p. 20)

L’accent est ici mis sur le travail personnel de l’élève en amont du test d’entrée, travail qui

consiste notamment à travailler des œuvres antérieurement étudiées à partir de ressources,

certaines élaborées antérieurement alors qu’il appartenait à un autre système didactique,

d’autres disponibles en ligne. La responsabilité didactique de l’élève est engagée tant du point

de vue de la constitution d’un milieu d'étude adéquat que de la volonté de se mettre à jour afin

de ne pas retarder l’avancée du temps didactique de la classe. On y voit aussi la mise en place

d’un dispositif d’étude, la fiche de synthèse, élaborée par le professeur, œuvre supplémentaire

disponible dans le milieu.

3. 2. Équipement praxéologique de professeurs débutants

Sous les contraintes de la formation, une praxéologie autour de la réalisation d’un test

d’entrée se met difficilement en place. Ainsi lors d’une séance de travaux dirigés mi-

novembre, le formateur fait une enquête.

Voici le compte rendu contenu dans les notes de cours (Artaud, 2013) :

Une enquête sur le test d’entrée a été réalisée lors de la séance de TD du 14 novembre. Sur les

11 élèves professeurs en responsabilité ayant rendu l’enquête, 4 ont fait un test d’entrée relatif

au thème en cours d’étude, 6 non et 1 signale deux thèmes, l’un ayant fait l’objet d’un test

d’entrée l’autre pas.

Parmi les raisons avancées pour justifier la non réalisation d’un test d’entrée, deux évoquent

des problèmes de gestion du temps de préparation ; deux la mise en place d’un autre

dispositif : travail à faire sur du « vocabulaire », exercice donné hors classe ; deux le fait que

le thème qui aurait dû être testé a été travaillé précédemment et évalué ; un enfin le fait que le

niveau des élèves dans le domaine le satisfait. (p. 101)

Il insiste sur deux ingrédients technologiques pour justifier la nécessité du dispositif (ibid.) :

Dans les réponses fournies, il apparaît nettement deux points problématiques : d’un côté, la

plupart « oublie » une des fonctions du test d’entrée, qui est d’aider à la fabrication du milieu

http://www.academie-en-ligne.fr/College/RessourcesInformatives.aspx

55

pour l’AER ; d’un autre côté, la nécessité pour le professeur d’avoir une image « objective »

des techniques que les élèves ont en main. (p. 101)

Les réponses à l’enquête (voir annexe 3.2) que nous avons pu nous procurer laisse voir que

parmi les quatre élèves professeurs qui mettent en place un test d’entrée, deux d’entre eux le

font porter principalement sur l’environnement technologico-théorique :

Oui. À partir d'une figure, il devait donner le rayon, le diamètre, le centre ; quel instrument

utilisent-ils pour construire un cercle et quelle était la particularité du triangle rectangle. Ce

test avait pour but de voir s'ils maitrisaient le vocabulaire car j'avais déjà fait en début d'année

un test sur la construction.

Un autre teste une organisation mathématique qui ne comprend pas les éléments étudiés

l’année précédente : « Oui, test sur l'OM généralités sur les fonctions (image / antécédent,

ensemble de définition, tableau de variations) ». Ce qui frappe surtout, c’est que tous sont

capables de restituer, avec parfois quelques flottements, les raisons d’être de ce dispositif,

sans pour autant le mettre en œuvre. Bien entendu, ce sont des débutants et nous sommes au

milieu du premier semestre de l’année universitaire et scolaire, mais il y a bien là une

résistance particulière : en effet, même s’ils ont des difficultés, ils n’envisageraient pas de ne

pas mettre en place d’évaluation de fin d’étude du thème à ce moment de l’année. On notera

cependant que la contrainte de la formation fera effet puisque à la fin de l’année huit d’entre

eux mettent en place un test d’entrée dans la séquence qui sert de support à l’évaluation – ce

qui ne garantit pas que ce geste soit routinisé (voir infra).

Les rapports de visites du premier semestre se font l’écho de problèmes liés à l’absence d’une

reprise de l’étude adaptée. Sur les 12 rapports transmis, 3 regrettent qu’un test d’entrée n’ait

pas été mis en place en attribuant partiellement sans doute à son absence les problèmes de

disponibilité du milieu observé :

On voit aussi que l’absence de dispositif de test d’entrée dans l’étude n’a pas permis au

professeur de mesurer la stabilité du milieu nécessaire à la réalisation de l’activité pour faire

émerger un savoir nouveau, et que le manque de milieu fait du bruit. (Saada, 2013)

Un autre met en évidence qu’un test d’entrée pertinent a été mis en place mais que c’est son

exploitation qui est inadéquate. En effet, si l’élève professeur fait un rapport de correction

rapide pour se concentrer sur le troisième exercice qui a posé des difficultés à la majeure

partie de la classe, il adopte « un mode de travail relevant de l’émergence d’une organisation

mathématique inédite alors qu’il s’agit de la correction d’un test d’entrée, qui sert de travail

transitionnel sur une organisation mathématique déjà étudiée ». (Artaud, 2014b)

Les difficultés observées persistent jusqu’à la fin du premier semestre. Lors de l’épreuve

écrite en temps limité, les élèves professeurs sont interrogés sur le dispositif du test d’entrée,

et si le repérage de la frontière entre l’ancien et le nouveau semble s’être intégré à

l’équipement praxéologique de ces débutants du moins du point de vue de la conception, la

56

présence du travail transitionnel éventuel à mener à l’issue du test d’entrée semble beaucoup

plus incertaine.

Le test d’entrée faisait l’objet de la deuxième question de l’épreuve dont nous reproduisons

ci-dessous la première partie de l’énoncé :

On considère un élève professeur, P, ayant en charge une classe de 4e, qui prépare et réalise

une séquence d’enseignement sur l’addition et la soustraction des nombres relatifs en écriture

fractionnaire. On trouvera en annexe 1 les extraits du programme de cinquième et de

quatrième sur ce sujet, ainsi qu’un extrait du document « Ressources... » sur le calcul

numérique au collège.

Question 1 (4 points)

On trouvera en annexe 2 une ébauche d’organisation mathématique relative au sujet traité.

L’évaluer et la développer conformément au programme.

Question 2 (6 points)

Comme il s’agit d’une reprise de l’étude de la classe de 5e, P prépare un test d’entrée d’une

durée de 10 minutes dont voici l’énoncé :

La calculatrice est interdite.

Exercice 1 : Compléter les égalités suivantes : 5

6 =

…

30

2

7 =

…

21

1

5 =

…

20

− 8

11 =

…

66

Exercice 2 : Calculer et donner le résultat sous forme de fraction : 7

29 +

5

29 =

17

9 ‒

8

9 =

3

8 +

5

4 =

11

25 +

3

5 =

16

21 ‒

2

7 =

− 2

3 ‒

11

15 =

a) P montre ce test d’entrée à son tuteur. Celui-ci lui indique qu’il manque un sous-type de

tâches et qu’interdire la calculatrice n’est pas pertinent. Justifier les remarques du tuteur et

modifier le test d’entrée de façon à les prendre en compte.

b) Expliciter un dispositif qui permette d’exploiter ce test d’entrée.

12 des 14 élèves professeurs présents repèrent que le test d’entrée propose des spécimens

inadéquats, ceux avec des nombres négatifs puisque le programme de la classe de 5e

indique

que le calcul sur les nombres en écriture fractionnaire porte uniquement sur des nombres

positifs : ils les suppriment dans leur modification de l’énoncé. Concernant l’utilisation de la

calculatrice, huit d’entre eux précisent qu’elle donne un moyen de vérification des résultats et

un ajoute qu’elle permet aussi d’anticiper. Ils modifient alors le test d’entrée en demandant

aux élèves de laisser les traces de la technique employée, ou d’écrire des étapes à trous.

Six élèves professeurs n’ont pas compris la dernière question ou n’y ont pas répondu. Parmi

les huit autres, cinq précisent que le test d’entrée doit être proposé une semaine avant le début

57

de l’étude ; quatre qu’il permet au professeur de prendre connaissance des manques de ses

élèves et un ajoute qu’il permet aussi « de les informer de ce qu’ils sont sensés savoir ».

Plusieurs dispositifs sont alors proposés pour la mise en œuvre du travail transitionnel. Nous

citons ci-dessous les commentaires de ces élèves professeurs (EP) :

‒ … faire quelques rappels si [le professeur] constate que la classe entière a des difficultés,

donner quelques exercices sous formes [sic] de DM si seulement quelques éléments de la

classe présentent des lacunes ou alors, [le professeur] ne fera aucun supplémentaires [sic]

après avoir remarquer [sic] avec fierté, que toute la classe s’en sort (EP1) ;

‒ … si les résultats sont largement insuffisants revoir avec les élèves ces 2 techniques (EP2) ;

‒ … retravailler (EP3) ;

‒ … si la classe a échoué massivement un exercice particulier […] il sera nécessaire de revenir

brièvement sur les compétences attendues […] et de donner du travail à la maison pour

rattraper ce retard (EP4) ;

‒ Si une grande majorité des élèves n’ont [sic] pas acquis ces techniques, le professeur peut

rappeler brièvement la technique aux élèves et les inciter à revoir leur cours et exercices de

l’années précédentes [sic] (EP5) ;

‒ Chaque élève retravaille sur ses difficultés chez lui (EP6) ;

‒ Ainsi il pourrait être donné aux élèves de manière individualisée différentes planches

d’exercices à faire à la maison, chaque planche reprenant un type de tâche [sic] particulier (ou

un sous type de tâche [sic]) qui doit être maitrisé avant le début de la séquence (EP7) ;

‒ Si le taux de réussite n’est pas assez élevé à l’une ou l’autre des parties du test d’entrée, il

faudra faire un/des rappels le moment voulu (quand les élèves en auront besoin) (EP8).

Ainsi les techniques de réalisation du travail transitionnel restent à ce stade de l’année pour

beaucoup d’élèves professeurs à l’état d’ébauche.

L’équipement praxéologique relatif à la réalisation de la reprise de l’étude de ces professeurs

débutants évolue au cours du second semestre avec une mise place du test d’entrée plus

importante, même si ce dernier ne constitue pas un dispositif didactique routinier. En

revanche, l’organisation du travail transitionnel reste peu présente. À la fin du second

semestre, les élèves professeurs sont interrogés sur la réalisation de la reprise d’étude dans la

deuxième question de l’épreuve écrite en temps limité. L’examen porte sur une séquence

d’enseignement que l’élève professeur a conçu et mis en œuvre dans l’une de ses classes en

responsabilité, le choix du thème d’étude étant laissé au candidat. Nous en reproduisons ci-

dessous l’énoncé :

Question 1

Présenter rapidement la structure et le contenu de la séquence choisie.

Question 2

Comment la reprise de l’étude a-t-elle été réalisée dans la séquence choisie ? Quel jugement

peut-on porter sur cette réalisation ? (analyse et évaluation)

Question 3

Quel a été le topos de l’élève dans la réalisation du moment exploratoire ? Quel jugement

peut-on porter sur la qualité de ce topos ? Quelle modification pourrait-on proposer de façon à

58

améliorer la qualité du topos de l’élève dans la réalisation de ce moment ? (analyse, évaluation

et développement)

Sur les 16 élèves professeurs présents, 3 justifient qu’ils n’ont pas effectué de test d’entrée

« par manque d’anticipation » ou par le fait que le milieu nécessaire portait sur un thème

étudié précédemment dans l'année scolaire. Un autre a fait des rappels les deux semaines

précédentes sur les techniques et les éléments technologiques nécessaires à l’entrée dans le

thème nouveau, et dix évoquent la mise en place d’un test d’entrée. Parmi ces derniers, 8

donnent les modalités de sa réalisation. Certains évoquent une correction du test par le

professeur suivie de rappels mais peu indiquent les modalités d’un travail transitionnel. Nous

citons ci-dessous quelques passages :

Pour la reprise de l’étude, j’ai proposé un test d’entrée aux élèves. […]Test qui n’a pour autant

pas été noté. Il a été donné la veille des vacances de février […] et a duré une dizaine de

minutes. […] À la rentrée nous avons corrigé le test assez rapidement. […] À l’arrivée des

élèves dans la salle, le test d’entrée était rétro-projeté et les copies, annotées, étaient

distribuées sur les bureaux. Une fois les élèves dans le calme et prêts à travailler, la correction

de l’exercice était principalement dans le topos des élèves : ils ont tenté de corriger tout

d’abord, seuls, sur leur copie, ce qui n’allait pas ou ce qu’il manquait. Après quelques minutes

de travail individuel, les élèves pouvaient discuter par deux pour s’aider, puis nous sommes

passés à une mise en commun pour une correction en classe entière. Une fois ce travail

effectué, nous avons rappelé les principales propriétés … (EP6)

Le test d’entrée a été donné aux élèves ; avant chaque question, le professeur à demander [sic]

à la classe quelles techniques pouvaient être utilisé [sic] pour répondre à la question, il a écrit

les réponses données par les élèves au tableau. Puis chaque élève a fait le travail demandé seul

sur sa feuille. Une correction par un des élèves, quand l’ensemble de la classe a fini l’exercice,

a été faite au tableau. Une amélioration de la rédaction (formulation et justification) a été

apporté [sic] par d’autres élèves et le professeur. (EP9)

Face aux difficultés rencontrées pour certains, j’ai décidé de faire travailler mes élèves sur ces

difficultés en leur donnant les exercices suivants à faire à la maison. (EP3)

Dans les réponses à la troisième question, deux élèves professeurs précisent que le topos de

l’élève aurait pu être amélioré en ménageant un milieu didactique suffisant :

Le premier point de remédiation serait donc de s’assurer qu’un milieu suffisant est déjà acquis

par les élèves. (EP7)

Je pense que la seule manière d’améliorer la qualité du topos de l’élève lors de cette séance

aurait été de faire un travail de rappel sur les vecteurs encore plus approfondi, peut-être donner

un DM à faire sur ces rappels. (EP4)

59

On notera que le premier d’entre eux, en stage de pratique accompagnée, n’a pas mis en place

de test d’entrée en raison des contraintes fixées par le professeur titulaire de la classe, et le

second était dans le cas « test avec correction suivi de rappels », les élèves ayant en quasi-

totalité échoué au test d’entrée – ce qui augure de son calibrage.

Ainsi, à la fin de cette année de formation, il apparait que l’équipement praxéologique

concernant la reprise de l’étude de ces élèves professeurs est relativement maigre, même si

certains éléments technologiques ont pu être intégrés et qu’une pratique balbutiante se met en

place.

Au cours de l’année universitaire qui a suivi, le formateur a eu l’occasion de rencontrer à trois

reprises trois de ces professeurs débutants venus, sur la base du volontariat, échanger sur leurs

praxéologies professionnelles. Même si le petit nombre et les conditions de réalisation de ce

partage ne permettent pas de généraliser, nous voyons apparaître un nouveau dispositif qui

vient se substituer au test d’entrée, celui des rituels en début de séance. Voici ce qu’en dit EP3

lors de la première séance de travail :

Moi je me sers beaucoup des rituels. J’essaie de revenir sur les chapitres d’avant ou sur le

chapitre qu’on est en train de faire. Au début, je faisais plus de tests d’entrée que de rituels,

mais maintenant c’est l’inverse parce qu’ils aiment bien en fait. Ils comprennent plus. Ils

savent que lorsque je fais l’appel, ils font ça et après on corrige ensemble. Pour eux, c’est

normal. Et là je fais systématiquement pour les obliger à apprendre. Donc c’est pas vraiment

des tests d’entrée mais j’arrive pas à tout faire. (EP3)

On voit ici, d’une part, que la routinisation des dispositifs est un élément qui favorise leur

existence au sein du système didactique ; et, d’autre part, la difficulté pour ce débutant de

moduler la routinisation en fonction des besoins didactiques de la classe – on pourrait en effet

avoir une routine de « fin de chapitre » et pas seulement une routine de début de séance. En

d’autres termes, la routinisation est sans doute non seulement un moyen de négocier

l’existence de certains dispositifs auprès des élèves mais aussi de faciliter le travail du

professeur en allégeant la pression de l’avancée du temps de l’étude. Du point de vue de la

reprise de l’étude, ce dispositif de « rituels » diminue fortement la responsabilité didactique de

l’élève mais, compte tenu des données dont on dispose, on ne sait pas quels effets cette

diminution a sur le fonctionnement de la classe. On peut noter que nous avions vu apparaitre

les rituels pour reprendre l’étude dans un des ouvrages analysés au chapitre précédent, le

manuel pour l’enseignant édité par l’académie de Nantes (Bonjean Le Bechec, Rouquès &

Stainer, 2014), et que l’équipement praxéologique issu de la formation se modifie donc au

contact de la profession.

La raison du manque de temps est souvent invoquée par ces professeurs débutants pour

justifier le non recours au test d’entrée. L’un d’eux met en avant des contraintes liées à

l’emploi du temps empêchant une avancée suffisante du temps didactique :

Les tests d’entrée sont souvent trop proches de la séance où on travaille le thème, cela ne

permet pas toujours un retour en classe (mais plutôt à la maison). (EP10)

60

Ils commencent cependant à développer des dispositifs de mise en œuvre du travail

transitionnel :

… je leur donne un petit travail à faire, ou alors je leur dis de revoir et le lendemain on fait un

petit exercice, ou alors je leur dis qu’on arrête et on le reprend la fois prochaine. […] Je vais

reprendre beaucoup, si je vois qu’il y a une grosse difficulté. (EP3)

Si on voit que c’est seulement quelques élèves, je dépose un document sur Chamilo. Si c’est

une majorité d’élèves, on fait des exercices supplémentaires en rappelant les méthodes. […]

On va passer du temps si on voit que c’est vraiment une difficulté de la classe. Je travaille

surtout les exercices dont je vais avoir besoin pour le chapitre suivant. S’il y des difficultés, on

refait un exercice. (EP10)

Notons pour terminer que des difficultés persistent, que certains identifient nettement, comme

en témoigne l’extrait suivant : « Souvent les tests d’entrée sont trop longs, du mal à cibler les

points les plus importants. Dans la correction je ne fais pas apparaitre toutes les techniques

possibles la plus utilisée et la plus rapide, avec une vérification » (EP9).

Compte tenu de ce que nous avons mis en évidence dans le chapitre précédent, l’étude, dans

les années à venir, des questions restant problématiques va sans doute avoir du mal à

s’appuyer sur les ressources institutionnelles.

3. 3. Évolution de la formation et ces conséquences

À la suite de la réforme de la formation des enseignants, les lauréats des concours de

l’enseignement sont fonctionnaires stagiaires à mi-temps en établissement et ont obligation de

suivre parallèlement la formation dispensée par l’ESPE ; certains ont en outre à valider dans

le même temps leur deuxième année de « Master Enseignement Éducation et Formation ». Le

groupe d’étudiants de la promotion 2014-2015 en position de professeur stagiaire est ainsi

constitué de lauréats du CAPES interne, du CAPES externe, de l’Agrégation, de professeurs

en renouvellement ou en report de stage lauréats des anciens concours. Certains (un quart

environ) ont déjà suivi dans leur cursus des cours de didactique ; les autres découvrent cette

discipline. L’accompagnement du stagiaire est réalisé suivant un « tutorat partagé » par un

tuteur de terrain et un tuteur de l’ESPE, intervenant ou pas dans la formation. Leur

titularisation est conditionnée par trois avis, celui du chef d’établissement, celui de

l’institution de formation et celui du corps d’inspection. L’assujettissement de ces professeurs

débutants à ces différentes institutions constitue un ensemble de conditions et de contraintes

qui vont influer sur la formation de leur équipement praxéologique.

La formation dispensée ne comprend plus qu’une UE de didactique lors de chaque semestre

(30 heures au premier et 24 heures au second). La reprise de l’étude y a été abordée lors de la

cinquième séance de formation, le mardi 14 octobre 2014, par l’analyse du paragraphe 4

« Organisation des apprentissages et de l’enseignement » du préambule pour le collège du

programme de mathématiques (MEN, 2008), examiné au chapitre précédent, et de la

quatrième partie de la notice citée plus haut (Chevallard, 2006). Au cours de la séance 6, le

61

mardi 4 novembre 2014, les professeurs stagiaires avaient à poursuivre le travail en groupe de

trois selon la consigne que nous reproduisons ci-dessous, le formateur circulant dans les

groupes comme aide à l’étude :

Sur le thème d’étude choisi et pour lequel vous avez déjà constitué l’organisation

mathématique après analyse des programmes et documents ressources ; reprendre la

délimitation de la frontière entre le niveau de classe antérieur et celui actuel, puis concevoir un

test d’entrée dans l’étude.

Ce travail a été poursuivi en autonomie pour être inséré au dossier rendu le 18 décembre 2014

pour l’évaluation de l’UE : dans ce dossier, les professeurs stagiaires avaient à fournir les

extraits des programmes pertinents, des documents ressources et manuels consultés ; une

analyse des programmes et l’organisation mathématique à enseigner ; un test d’entrée, une

AER accompagnée d’un guide de questions cruciales et d’une analyse a priori des épisodes

des moments de l’étude réalisés.

Les 12 dossiers rendus témoignent d’une technique de constitution du test d’entrée intégrée

aux praxéologies de reprise de l’étude chez ces professeurs stagiaires. Les tests sont

correctement calibrés au niveau des exercices proposés. Cependant deux d’entre eux

présentent des manques, l’analyse du milieu nécessaire n’ayant pas été suffisante, et un autre

propose deux exercices (sur les quatre constituant le test) faisant travailler des types de tâches

de l’année en cours. On voit que c’est le repérage de la frontière entre l’ancien et le nouveau

qui fait ici défaut.

Au cours du second semestre, la reprise de l’étude a été mentionnée à nouveau lors de trois

séances de formation : au cours de la cinquième séance, le mardi 10 mars 2015, le formateur a

exposé les résultats d’une enquête sur la gestion de la reprise de l’étude dans les manuels de

sixième sur le thème de la symétrie axiale dont nous avons donné les éléments au chapitre

précédent ; lors des séances 7 et 8 des 7 et 14 avril 2015, les professeurs stagiaires avaient à

décrire, analyser et évaluer la réalisation de la reprise de l’étude d’une séquence

d’enseignement menée par un collègue à partir des traces écrites que ce dernier avait

apportées en séance. Ces exposés ont été suivis par une mise en commun et des commentaires

oraux sur les praxéologies développées par les professeurs stagiaires. La plupart dit être

consciente de la pertinence du test d’entrée, mais la majorité ne le met pas en œuvre. Les

motifs évoqués sont analogues à ceux que nous allons voir mobilisés dans les réponses à

l’évaluation analysée ci-après.

En effet, comme l’année précédente, les élèves professeurs sont interrogés sur la réalisation de

la reprise d’étude dans la deuxième partie de l’épreuve écrite en temps limité en fin de

semestre (le 12 mai 2015). L’examen porte sur une séquence d’enseignement que l’élève

professeur a conçu et mis en œuvre dans l’une de ses classes en responsabilité, le choix du

thème d’étude étant laissé au candidat. Nous en reproduisons ci-dessous l’énoncé :

Partie 1

Présentez le thème de la séquence choisie, l’organisation mathématique retenue et le

déroulement de l’étude sur la séquence.

62

Partie 2

Comment la reprise de l’étude a-t-elle été réalisée dans la séquence ?

Quel jugement peut-on porter sur cette réalisation ?

Partie 3

Présentez une AER proposée aux élèves au cours de la séquence (énoncé et guide des

questions cruciales).

Quelle a été la place de l’élève au cours de la réalisation de cette AER ? Quelle(s)

modification(s) pourrait-on apporter pour en améliorer la qualité ?

Sur les 29 professeurs stagiaires présents, 2 justifient de ne pas réaliser la reprise de l’étude

par le fait que le thème d’étude est nouveau au niveau considéré, 2 autres d’une reprise de

l’étude limitée en raison de la place de la séquence dans l’année (la première). Quatre

présentent un dispositif très sommaire de reprise de l’étude à partir soit d’un questionnement

oral de la classe avant de débuter l’activité, soit par des exercices sans que l’on sache s’ils ont

été ramassés ou non par le professeur ni comment la correction a été réalisée.

14 professeurs stagiaires évoquent le dispositif du test d’entrée mais 6 disent de pas y avoir eu

recours dans cette séquence soit en raison du fait que le milieu nécessaire ne comporte que

des notions vues l’année en cours (un professeur) ; soit en raison de la non difficulté du thème

d’étude : ces deux professeurs ont alors préféré démarrer directement l’étude par une activité ;

soit en raison de la difficulté ressentie du thème (le calcul littéral) : ces deux professeurs ont

donc décidé d’en reprendre l’étude ab ovo ; soit en raison d’un contrôle commun qui a

précédé l’étude. Ce dernier professeur note le manque d’efficacité de ce dispositif et indique

qu’il a alors mis en place un travail transitionnel :

… elle n’a pas été pertinente dans l’immédiat, puisque, suite au contrôle commun, plusieurs

élèves ont eu des difficultés dans des factorisations et développements d’expressions. Un

travail de remédiation a donc dû être réalisé en cours de chapitre, relativement tôt

heureusement.

Cela montre ainsi que réaliser des exercices de révisions, bien que utile pour certains, n’est pas

révélateur sur l’ensemble du niveau car des informations sur certains élèves ne pourront être

récolté [sic] avec précision, contrairement à une épreuve ramassée.

Parmi les huit professeurs stagiaires qui ont effectué un test d’entrée, un seul de ces

enseignants donne comme ingrédient technique la réalisation de la frontière entre les deux

niveaux de classe pour la constitution de test d’entrée. Deux disent compléter le test d’entrée

par des rituels en début de séance tout en précisant qu’un tel dispositif est surtout efficace

pour le calcul mental. Et deux évoquent brièvement un travail transitionnel : « soutiens oraux

ou écrits et accompagnement spécifique durant les temps de travail personnels »,

« remédiation – consolidation en utilisant LaboMep ».

Les sept derniers professeurs stagiaires décrivent des dispositifs alternatifs au test d’entrée :

fiche à faire à la maison ramassée et corrigée oralement, rappels dans le cours,

63

questionnement oral au cours de l’activité, recherche au CDI, devoir maison, rituels. Deux

analysent le manque d’efficacité du dispositif utilisé car il ne permet pas de cibler les

difficultés de chaque élève et empêche la mise en place d’un travail transitionnel.

On retrouve dans l’ensemble les résultats obtenus l’année précédente, sous des conditions un

peu différentes. La conception d’un test d’entrée ne pose pas véritablement de difficulté à être

dans l’équipement praxéologique. C’est la mise en œuvre du dispositif de reprise de l’étude

intégrant le test d’entrée qui est la pierre d’achoppement principal. À cet égard la proportion

d’élèves professeurs ayant mis en place un test d’entrée dans la séquence qu’ils ont choisie

pour l’évaluation diffèrent sensiblement : 10 sur 16, soit 62,5 %, en 2013-2014, contre 8 sur

29, soit 27,6 %, en 2014-2015. Malgré le peu de robustesse de nos données statistiques, on ne

peut s’empêcher d’y voir l’influence de la diminution horaire de la formation qui

s’accompagne d’une légitimité plus faible du travail didactique mené à l’ESPE.

65

4. La voix du professeur

Nous examinerons ici les réponses obtenues à un questionnaire diffusé dans l’académie

d’Aix-Marseille auprès de trois populations : des professeurs stagiaires au cours de l’année

2014-2015, des tuteurs de terrain de ces professeurs stagiaires et des professeurs titulaires

n’ayant pas de responsabilité institutionnelle envers ces derniers. Nous les nommerons

stagiaires, tuteurs et professeurs dans la suite. Nous comparerons les réponses de ces trois

populations et nous les éclairerons avec les résultats de notre étude précédente. Ce

questionnaire a également été diffusé auprès de formateurs à l’ESPE d’Aix-Marseille mais

nous n’avons eu aucune réponse en retour. Nous aurions pu le proposer à des formateurs

d’une autre académie mais le temps a manqué pour effectuer cette démarche.

4. 1. Une enquête par questionnaire

L’idée de diffuser un questionnaire est apparue au début de l’année 2015. Ne sachant

comment construire un tel questionnaire sans révéler l’objet de notre étude, nous avons fait

appel à Yves Chevallard qui a accepté de nous rencontrer pour nous donner quelques conseils

méthodologiques. Après cet entretien, nous avons élaboré un premier questionnaire

demandant aux enseignants de mathématiques sondés de porter un jugement sur l’efficacité de

quatre praxéologies qu’ils ont pu observer ou mettre en œuvre en justifiant leurs propos.

Commenté par Yves Chevallard lors de la séance 4 du 1er avril 2015 du cours « sur les

praxéologies de recherche en didactique » qu’il donnait aux étudiants du master Recherche en

didactique des mathématiques (Chevallard, 2015), nous l’avons repris, et constitué en

parallèle un deuxième questionnaire basé sur les propositions alternatives données par Y.

Chevallard. Nous les nommerons questionnaire 1 et questionnaire 2 dans la suite. Le lecteur

pourra les consulter en annexe 4.1.

Dans un premier temps, ces questionnaires ont été diffusés auprès des professeurs stagiaires

en formation à l’ESPE à la fin de la séance de travaux dirigés du 7 avril de l’UE de didactique

(questionnaire 1 au groupe 2 et questionnaire 2 au groupe 1 pour des raisons d’emploi du

temps). La contrainte du moment de diffusion de ces questionnaires a permis de récolter 27

retours (13 pour le questionnaire 1 et 14 pour le questionnaire 2). À la lecture des réponses

obtenues, il nous est apparu intéressant de continuer à proposer les deux questionnaires. Nous

avons demandé aux professeurs stagiaires de les diffuser auprès des professeurs de

mathématiques de leur établissement. Nous les avons aussi distribués aux professeurs en

formation au CAPES interne de mathématiques et aux étudiants du master Recherche en

didactique des mathématiques. Nous avons obtenu 10 réponses de tuteurs (6 pour le

questionnaire 1 et 4 pour le questionnaire 2) et 28 réponses de professeurs (11 pour le

questionnaire 1 et 17 pour le questionnaire 2). Ainsi l’analyse qui suit porte sur 65 réponses

récoltées. Le faible nombre de tuteurs ayant répondu ne nous permettra pas d’avoir une

représentativité suffisante de cette population pour en tirer systématiquement des

enseignements significatifs. Pour cette raison, nous la rassemblerons avec celle des

professeurs, tout en spécifiant certains éléments quand cela nous paraîtra pertinent.

66

4. 2. La reprise de l’étude comme geste professionnel

Nous avons rassemblé les réponses obtenues dans un tableau synthétique par type de

techniques de reprise ou de pratiques de professeur que nous nommerons pour alléger

l’écriture technique A, technique B, technique C et technique D. Le lecteur pourra s’y référer

en annexe 4.2a. Les propos des enquêtés ont été recopiés sans correction des fautes

d’orthographe. Nous analyserons les réponses par type de techniques et nous finirons par une

synthèse.

La technique A a pu être observée ou mentionnée par la grande majorité des enquêtés ; près

des trois quarts (72 %) des professeurs ou tuteurs ont entendu parler de cette technique contre

un peu plus de la moitié des stagiaires (58 %). Ils sont en revanche peu à la pratiquer ou à

l’avoir pratiquée (respectivement 40 % et 22 %) ; la différence pouvant s’expliquer par la

longueur de la carrière des premiers. L’efficacité moyenne s’établit à un peu plus de 2 pour

les professeurs et les tuteurs, et un peu moins pour les stagiaires. On peut noter une évaluation

de l’efficacité accrue chez les quatre tuteurs qui répondent au deuxième questionnaire sans

que des justifications viennent véritablement éclairer ce point ; ce sont trois des quatre tuteurs

ayant répondu au deuxième questionnaire qui forment les bâtons relatifs à 4 et 5 dans les

diagrammes ci-dessous mais deux d’entre eux n’avancent pas d’explication.

Sur le premier questionnaire, les stagiaires sont un peu plus nettement du côté de l’inefficacité

que les professeurs mais dans l’ensemble, on note le même comportement, comme le

montrent les diagrammes en bâtons ci-dessous :

0

0,5

1

1,5

2

2,5

1 2 3 4 5

A - tuteurs quest. 2

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

A - tuteurs quest. 1

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

A - profs quest. 1

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5

A - stagiaires quest. 1

67

L’environnement explicatif montre une nécessité de revoir ce qui a été étudié ; cependant on

note une disqualification massive des révisions en début d’année. L’ingrédient justificatif

majoritairement avancé est le manque d’efficacité, ou de programme trop lourd pour se

permettre de perdre du temps d’horloge :

‒ … peu efficace, ça ennuie les élèves qui maitrisent et replace en situation d’échec les autres,

pas constructif (P1)

‒ Ce n’est pas très efficace car extrêmement chronophage tout en faisant travailler des élèves

sur des notions qu’ils connaissent pour la plupart et qui seront de toute façon revue [sic] dans

l’année. (P3)

‒ Les programmes sont si denses qu’il me parait malvenu d’entamer de telles révisions. (P8)

‒ … les révisions demandent du temps et le programme risque de ne pas être bouclé (S13)

On retrouve le problème relevé plus haut dans notre étude du temps didactique qui doit

avancer, ce qui se cache ici parfois sous la motivation ou l’intérêt des élèves.

Il est intéressant de noter la contrainte de la progression commune relevée par un stagiaire

comme ayant favorisé cette technique dans sa pratique professionnelle et l’analyse

d’inefficacité qu’il en a tiré :

J’ai été obligé de part [sic] la progression commune à suivre cette pratique. Je trouve que cette

pratique est une perte de temps. Les élèves ayant déjà compris tout ceci s’ennuient et nous

n’avons pas le temps de vraiment aider les élèves en difficulté à comprendre ces notions. (S10)

Un tuteur avance cependant un ingrédient favorable à cette technique : « Les élèves oublient

et certaines notions ont besoin d’être remises correctement “à plat” régulièrement » (T’4 qui a

0

2

4

6

1 2 3 4 5

A - profs quest. 2

0

2

4

6

1 2 3 4 5

A - stagiaires quest. 2

0

2

4

6

8

10

1 2 3 4 5

A - profs total

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5

A - stagiaires total

68

évalué à 4 l’efficacité de cette technique A) ; mais on peut interpréter davantage cet argument

comme une nécessité de reprendre l’étude en début de chapitre ou quand le besoin s’en fait

ressentir que l’on retrouve dans certains autres propos : « Par contre, il est souvent utile, en

début de chapitre, de rappeler quelques prérequis » (P5). Ce tuteur avance en effet l’argument

suivant en référence à la technique D : « Toujours besoin de reprendre les notions basiques à

de nombreuses reprises et dans des conditions aussi variées que possibles » qui peut venir

faire écho à l’injonction que nous avons vue mentionnée dans les programmes de faire

fonctionner les connaissances acquises.

L’efficacité moyenne plus faible chez les stagiaires se trouve expliquée par des références aux

demandes de l’institution que nous avons étudiées précédemment : « Il est déconseillé par

l’institution de procéder à des révisions systématiques en début d’année » (S’4) ; ce qui fait

sans doute écho au fait qu’ils débutent et que la formation s’appuie sur les demandes de

l’institution pour, partiellement sans doute, justifier les pratiques qu’elle pousse en avant.

L’un d’eux mentionne aussi un dispositif que nous avons relevé précédemment dans notre

étude des praxéologies de reprise de l’étude dans la profession : « ne pas le faire sous forme

de révisions mais sous forme de rituels de début de classe » (S3) ; dispositif qui ne semble pas

avoir pris place dans les pratiques des professeurs ou des tuteurs dont les questionnaires ne

mentionnent jamais ce dispositif. On notera qu’un seul stagiaire évoque un dispositif de

travail transitionnel : « Sur le calcul algébrique en début d’année, de nombreux élèves été

[sic] en difficulté. J’ai donc consacré une séance d’AP sur le sujet » (S’14) ; dispositif qui

prend donc place dans le système didactique auxiliaire que nous avons précédemment étudié.

La technique B est dans l’ensemble jugée plus efficace que la technique A avec une efficacité

moyenne plus importante chez les stagiaires. Elle est aussi moins connue des stagiaires

(46 %), mais une plus grande proportion la met en œuvre (41 %). On remarque que les

diagrammes en bâtons sont quasiment inversés entre les professeurs et les stagiaires :

On peut expliquer cette différence par une mise en œuvre plus importante chez les professeurs

(48 %), qui la jugent par conséquent moins efficace.

Même si cette technique est dans l’ensemble davantage utilisée que la technique A (43 %

contre 33 %), les commentaires indiquent qu’elle n’est en rien « routinisée » dans les

pratiques des enseignants : « Appliquée systématiquement, cette technique peut ennuyer

certains élèves ». (P’4)

0

2

4

6

8

10

1 2 3 4 5

B - profs total

0

2

4

6

8

10

1 2 3 4 5

B - stagiaires total

69

Une efficacité plus importante est relevée par les stagiaires répondant au premier

questionnaire par rapport à ceux ayant eu le deuxième. On peut l’expliquer par le fait que les

premiers analysent souvent la technique B comme relevant du dispositif du test d’entrée

travaillé en formation, comme en témoignent certains commentaires :

‒ L’idée du test d’entrée est correcte, mais il faut adapter, améliorer ce que l’on trouve sur le

livre. (S4)

‒ Elle peut servir de test d’entrée dans le chapitre (à voir en fonction du contenu de ces

exercices). (S7)

On note que les stagiaires mettent aussi en avant le fait que les exercices ne sont pas

forcément adaptés à une reprise de l’étude ; ce que l’on retrouve dans certains commentaires

de professeurs : « Cette rubrique n’est pas toujours présente, et souvent les exos sont

purement techniques et sans fondements [sic] » (P1). Aucun ne mentionne explicitement

cependant que la non adaptation peut concerner les mathématiques en jeu.

Les stagiaires sont les seuls à évoquer la correction des exercices mentionnés dans la

technique B : « En revanche, la correction en classe est chronophage » (S4) ; « Une correction

formelle me parait une perte de temps » (S11). On retrouve ici une justification liée à

l’avancée du temps d’horloge, très rarement donnée dans le cas de cette technique.

La technique C est connue des trois quarts des enquêtés et environ les deux tiers l’ont déjà

mise en œuvre, même si on note une plus forte proportion chez les stagiaires (73 % contre

63 % chez les professeurs et les tuteurs). Elle est jugée beaucoup plus efficace que les deux

techniques précédentes (près d’un point d’écart avec la technique B) dans l’ensemble, mais

avec davantage d’écart (plus d’un point) entre professeurs / tuteurs (2,9 d’efficacité moyenne)

et stagiaires (4,17 d’efficacité moyenne) qui s’accompagne en outre d’une dispersion plus

importante chez les professeurs (voir diagrammes ci-dessous).

Cette efficacité moyenne élevée chez les stagiaires peut s’expliquer par le fait que ceux-ci ont

reconnu dans la technique C le dispositif du test d’entrée travaillé en formation ‒ même si

certains reconnaissent des difficultés à la mettre en œuvre :

‒ Manque de temps et d’expérience. Mais je la mettrais [sic] en place l’année prochaine au vu

de son efficacité. (S’5)

‒ On nous a appris à faire ainsi, et en plus ça a l’air de marcher. (S’7)

‒ On nous a conseillé pour connaitre les acquis des élèves. Manque de temps. (S’8)

0

2

4

6

8

1 2 3 4 5

C - profs total

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5

C - stagiaires total

70

‒ Trop compliqué à mettre en œuvre à mon niveau d’expérience même si je pense que cette

technique est la meilleure. (S’14)

On note trois commentaires sur le travail transitionnel :

‒ … pour être à 100 % efficace cela nécessite des « heures supplémentaires » pour les élèves

qui en ont besoin. (T3)

‒ Mais le moment de correction en classe est inutile d’après moi, ainsi que les exos à faire à la

maison. (S2)

‒ Si la notion n’est pas compris [sic], faire les exercices à la maison va être compliqué. (S8)

On y retrouve une contrainte institutionnelle liée au temps de l’étude qui gêne la mise en

œuvre de ce travail transitionnel, mais aussi des contraintes pédagogiques relatives à la

diminution, dans les dernières années, des systèmes didactiques auxiliaires qui favorisent une

prise en charge différenciée des élèves.

Il est intéressant de noter qu’un tuteur mentionne la responsabilité didactique des élèves dans

la technique C : « Si c’est fait les élèves peuvent se sentir davantage responsabiliser [sic] »

(T6) ; ce qui n’est pas relevé dans les autres techniques.

La technique D est largement connue (86 %) et mise œuvre (81 %) par l’ensemble des

enquêtés. Cependant même si elle est mise en œuvre par près des deux tiers des stagiaires

(65 %), on note une proportion très élevée chez les professeurs/tuteurs (92 %) avec

l’unanimité chez les tuteurs seuls. La technique D est jugée plutôt efficace par les enquêtés

(3,27) avec une efficacité moyenne plus élevée pour les tuteurs (3,7). On remarque une

répartition de l’efficacité moyenne vers des valeurs plus élevées dans le cas du questionnaire

1 alors qu’elle est plus dispersée pour le questionnaire 2, comme le montrent les diagrammes

en bâtons ci-dessous :

0

2

4

6

8

1 2 3 4 5

D - stagiaires quest. 1

0

2

4

6

1 2 3 4 5

D - profs quest. 1

71

Même si la technique D est largement mise en œuvre, les sondés, et plus particulièrement les

stagiaires, précisent qu’elle ne doit pas empêcher l’avancée du temps didactique :

‒ Cela peut être utile si le rappel est bref. Il ne faut pas que cela prenne toute la séance. (S5)

‒ Il faut que ce soit bref et ponctuel sinon c’est laborieux. (S8)

‒ Cela ne doit prendre trop de temps. (S13)

‒ Je trouve le procédé utile uniquement s’il est succinct et si ça ne transgresse pas trop avec la

tenue du cours. (P11)

‒ Valable ponctuellement pour avancer dans le cours. (P11)

L’argument avancé en faveur de la technique D est que les rappels apparaissent motivés :

‒ Il faut s’adapter en temps réel aux difficultés de sa classe et ne pas laisser les élèves bloqués.

(P4)

‒ Oui, les élèves sentent alors le besoin de maitriser ces compétences, il est alors plus facile de

les motiver sur ces tâches. (P9)

On retrouve aussi un aspect déjà relevé pour la technique A, à savoir le ménagement de

l’intérêt des élèves, révélateur de la pression du temps didactique : « En fonction des besoin

[sic] des élèves ; ils sont donc plus intéressés et demandeurs ». (P’4)

Par contre, un stagiaire apporte un commentaire en défaveur de la technique D lié à la

responsabilité didactique de l’élève : « Je pense malgré tout que c’est une pratique peu

efficace car elle favorise l’aspect passif chez l’élève ». (S7)

Il est intéressant de noter qu’on trouve davantage de commentaires sur la mise en place d’un

travail transitionnel dans le cas de cette technique D que pour les techniques précédentes :

‒ Là aussi nécessite des « heures supplémentaires » pour ceux qui en ont besoin. (T3)

‒ Pour les plus faibles, on peut fournir des fiches de révisions. (P4)

‒ Il arrive qu’une notion non maitrisée soit fait appel dans un chapitre sans s’y être préparé

donc on y revient rapidement en proposant par la suite des exercices à faire à la maison. (S’9)

De plus, en cette fin de questionnaire, on voit apparaitre d’autres techniques de reprise de

l’étude :

0

1

2

3

4

1 2 3 4 5

D - stagiaires quest. 2

0

2

4

6

8

1 2 3 4 5

D - profs quest. 2

72

‒ … le mieux étant une fiche que les élèves peuvent lire chez eux ou encore mieux un lien

vidéo … (P2)

‒ Parfois il est nécessaire de maitriser certaines notions avant d’en aborder de nouvelles. Par

ex, je distribue un résumé du cours sur les parallélogrammes en début de 4e. (P5)

On remarquera ici que la reprise est déléguée aux élèves sans que l’on sache de quelle

manière elle est pilotée au sein du système didactique principal.

Nous aurions pu exploiter les réponses à ces questionnaires de manière plus approfondie, par

exemple en analysant les différences entre les enseignants de collège et ceux de lycée. Il

aurait aussi été intéressant de les compléter par des entretiens individuels avec certains sondés

pour voir notamment les pratiques que ceux-ci mettent véritablement en place et la réception

de certains ingrédients technologiques, mais là encore, le temps a manqué ... Cependant, nous

pouvons avancer que la nécessité de la reprise de l’étude est mise en avant par la majorité des

enseignants et qu’elle doit être motivée pour ne pas gêner l’avancée de l’étude. On voit aussi

se faire jour une nécessité de pouvoir différencier le travail selon les besoins des élèves mais

avec une prise en charge de cette différenciation pour laquelle les enseignants semblent

démunis du point de vue technique, ce qui se traduit par une demande de temps

supplémentaire.

La notion de révision est malgré tout toujours présente, comme nous pouvons le voir à

plusieurs endroits dans les commentaires des tuteurs ou professeurs au sujet des techniques

autres que A :

‒ En général, je n’utilise pas le livre sauf au moment des révisions. (B – P5)

‒ Les exos de révisions et la correction en classe sont plus judicieux. (C – T1)

‒ … des petites révisions à plusieurs reprises permet [sic] en général une meilleure

mémorisation (D – T4)

‒ … éventuellement qques ex de « révision » à ce moment (D – T’1)

‒ Révision en début d’année inutile. À faire au moment du chapitre. (D – P’16)

Elle voisine avec la notion de rappel que l’on voit apparaitre dans les commentaires avant la

technique D :

‒ Par contre, il est souvent utile, en début de chapitre, de rappeler quelques prérequis. (A – P5)

‒ Des petits rappels au moment opportuns [sic] sont préférables. (A – S2)

‒ Le rappel a postériori, en se basant sur les difficultés rencontrées est plus efficace que la

méthode du professeur A. (B – S4)

‒ Les rappels sont une remédiation pour que tous les élèves puissent suivre la séquence. (B –

S7)

‒ … les rappels peuvent être nécessaires (B – S13)

‒ … la correction est rapide et fait office de « rappel » (B – S’10)

73

Le commentaire d’un professeur au sujet de la technique D est révélatrice de cette affinité

entre rappels et révisions qui seront finalement intégrés au travail de la classe et apparaitront

dans les traces écrites :

Permet un ciblage ponctuel des notions à revoir, personnalisable au niveau de la classe, voire

de l’élève si besoin.

Permet une valorisation des souvenirs des élèves par le biais de questions orales, leurs

réponses composant la trace écrite du rappel (avec les modifications nécessaires).

Le côté « écrit dans le cours » permet aux élèves de chercher la référence rapidement en cas de

besoin.

Remarque : le statut de rappel n’est pas toujours explicite, il peut être caché dans un premier

chapitre, voire une leçon complète, par exemple la leçon sur les identités remarquables de 3e

est précédée chez moi par une leçon sur le calcul littéral qui commence à 2x + 3x = 5x et se

finit au double développement.

Enfin, les rappels dépendent aussi des niveaux de classe et des attendus à ce niveau ; en 5e

pour les parallélogrammes, on commence par se demander comment on trace 2 droites

parallèles. En 3e pour le théorème de Thalès, on considère que c’est acquis. (P’7)

Nous pouvons remarquer que l’accompagnement personnalisé, système didactique auxiliaire

que nous avons relevé comme recommandation institutionnelle, n’est quasiment pas signalé

dans les réponses des enseignants.

L’évaluation diagnostique est un dispositif qui fait sens, mais on peut voir dans certains

commentaires au sujet de la technique C de tuteurs ou professeurs que le rapport qu’ils ont à

cette notion n’est pas véritablement conforme avec le rapport institutionnel que nous avons

mis en évidence dans un chapitre précédent :

‒ Je suis contre l’évaluation diagnostique qui suppose des rappels préliminaires. (T1)

‒ Je fais une interro le premier jour de l’année, pour avoir une idée générale du niveau de la

classe. (P5)

Certains ne font pas non plus de distinction entre les techniques B et C, comme on le voit dans

ce commentaire d’un professeur identique pour les deux techniques :

Notions mal maitrisées : inutile de passer par le biais d’une évaluation diagnostique, quelle

que soit sa forme (exercices à faire et évaluation à la volée ou type contrôle) pour anticiper les

difficultés des élèves, 1 mois de cours me suffit pour savoir assez précisément les points sur

lesquels insister dans l’année (ce qui n’empêche pas des surprises, bonnes ou mauvaises mais

très rares). (P’7)

On remarque ici une position de professeur dans le système didactique qui laisse assez

clairement de côté la position de directeur d’étude pour occuper celle d’enseignant, qui

ignore, ou feint d’ignorer, le travail de conception d’un enseignement qui permette au plus

grand nombre de progresser et fait comme si l’étude dépendait peu de la classe dans laquelle

elle se fait. On le retrouve, de manière un plus abrupte encore, dans le commentaire d’un autre

74

professeur : « Après 20 ans d’expérience, on connait bien déjà les erreurs usuelles, leçon par

leçon, calcul par calcul. Très grande surcharge de travail pour un rendement pas toujours bien

meilleur que la technique D ». (P’9)

On voit là un refus de prendre en charge les besoins des élèves du point de vue des dispositifs

d’étude, mais aussi une disqualification de la nécessité de prendre des informations précises

sur le rapport institutionnel de la classe, sans parler des rapports personnels des élèves qui la

composent, qui gênent sans doute l’existence du travail transitionnel et la constitution d’un

milieu adéquat pour l’étude.

La technique D valorisée dans ces propos est semble-t-il la technique la plus répandue dans la

profession : 92 % des professeurs ou des tuteurs la pratiquent. On est loin des autres

techniques comme le signifie le tableau ci-après :

Pourtant le score d’efficacité est moins fort que celui auquel on pourrait s’attendre,

notamment chez les professeurs. Nous avons vu que l’efficacité moyenne est de 3,15 mais la

médiane est de 3 et le premier quartile est de 2. On a donc 25 % des professeurs qui pratiquent

cette technique tout en la jugeant peu efficace. Il en va de même de la technique C mais celle-

ci n’est pratiquée que par 63 % des professeurs et des tuteurs. On peut donc penser qu’une

partie de la profession met en œuvre des techniques qu’elle juge peu efficaces et nous

regrettons d’avoir manqué de temps pour pousser l’enquête de façon à obtenir des éléments

technologiques à cet égard.

Nous terminerons cette analyse en signalant que nous avons obtenu peu de différences

significatives entre les réponses obtenues aux deux questionnaires. On notera seulement une

proportion plus grande de non réponse dans le deuxième questionnaire.

Pour à la fois mettre à l’épreuve et approfondir l’analyse effectuée, nous avons utilisé deux

logiciels en ligne Wordle (http://www.wordle.net/create) et Online-Utility

(http://www.online-utility.org/text/analyzer.jsp) permettant l’analyse textuelle des éléments

justificatifs apportés dans le premier questionnaire. Le lecteur trouvera un tableau synthétique

des résultats obtenus en annexe 4.2b.

On relèvera que le mot élèves apparait très massivement, et tout particulièrement chez les

stagiaires, un peu moins fortement chez les professeurs pour les techniques C et D. On ne le

voit pas pour les techniques A et B chez les tuteurs, mais l’analyse peut être perturbée par le

peu de réponses obtenues auprès de ce public. Cependant, nous pouvons dire qu’il manipule

la notion de chapitre que nous ne voyons pas chez les professeurs et les stagiaires. Le mot

difficultés est aussi relevé pour les techniques A et B, essentiellement chez les stagiaires. On

75

remarque que le mot professeur est peu présent ; on le voit uniquement pour les techniques B

et C respectivement chez les stagiaires et les professeurs. On retrouve une présence

importante du mot temps, qui, on l’a vu, joue comme contrainte sur les praxéologies de

reprise de l’étude ; il est lié au mot perte dans la technique A. Le mot révisions apparait

fortement sur la technique A en raison de la description même de cette technique. Le mot

notions est aussi très présent. On retrouve chez les stagiaires l’affinité constatée plus haut

entre les techniques B et C, avec la présence des mots test et diagnostique.

Malgré le petit nombre de données analysées, le lexique employé par les enquêtés met en

lumière la relation entre les techniques envisagées et le contenu mathématique, qui nous a

semblé moins présente dans les discours institutionnels. On a également la confirmation de la

prégnance du temps, didactique et d’horloge, dans l’évaluation d’organisations de l’étude.

77

Conclusion

L’étude que nous avons menée a permis de mettre en évidence des praxéologies de reprise de

l’étude au sein de la profession de professeur de mathématiques de l’enseignement secondaire

français. Signalons cependant que reprendre l’étude d’un thème reste clairement aujourd’hui

un problème de la profession (Cirade, 2006 ; Larguier, 2009), même si, on l’a vu, des points

de progrès apparaissent.

Les résultats de notre travail peuvent se lire comme apportant des éléments pour analyser un

processus de transposition mêlant aspects didactiques et aspects archididactiques (Artaud,

1993) qui peut se schématiser ainsi :

Institution de recherche en didactique

Transposition Transposition

didactique archididactique

École de formation

des professeurs

Transposition

didactique

Profession de professeur : noosphère

Institution de l’enseignement secondaire :

Position de professeur

En ce qui concerne les aspects archididactiques, on a noté la difficulté de diffusion d’éléments

existants dans la sphère de production du savoir didactique. Cette difficulté relève sans doute

de plusieurs facteurs, mais nous avons principalement mis en évidence la faible prise en

charge de l’environnement technologico-théorique des praxéologies transposées, et un

développement insuffisant des techniques à mettre en œuvre ‒ le second n’étant que

partiellement lié au premier. Une des conditions qui favorise, voire permet, ce sous-

développement nous parait être la non reconnaissance par la profession du caractère

fondamental de la didactique pour les praxéologies professorales (Artaud, 2007), mais aussi le

caractère non savant du savoir didactique ‒ les deux aspects nous semblant articulés dès lors

78

que, pour devenir un « savoir savant », la reconnaissance par la société de utilité de ce savoir

est un élément essentiel.

Comme nous l’avions relevé dans le premier chapitre, le temps didactique est un ingrédient

incontournable dans l’élaboration, le contrôle, ou la modification de praxéologies de reprise

de l’étude. Cependant, conformément à ce que nous venons de signaler, les ingrédients

développés par la recherche en didactique des mathématiques sur ce point sont absents de

l’environnement technologico-théorique que nous avons mis en lumière. En particulier, le fait

que le temps didactique officiel est une fiction nécessaire au fonctionnement du système

didactique, mais qu’il convient de réguler pour permettre une mise en cohérence de ce temps

avec le temps de l’apprentissage, nous parait devoir faire partie de l’équipement

praxéologique d’un professeur pour développer les praxéologies de reprise de l’étude

existantes, et notamment pour que ces dernières permettent la constitution d’une partie du

milieu de l’étude nécessaire à l’avancée du temps didactique. Dans la noosphère que constitue

la profession de professeur, les sites académiques nous sont apparus comme un acteur non

négligeable du processus de transposition archididactique, mais il est probable que l’ambition

régionale de ces sites gêne la réalisation du processus de transposition archididactique stricto

sensu. Ce processus de transposition archididactique stricto sensu est en outre entravé par

certains ingrédients technologico-théoriques que nous avons pu mettre en évidence. Parmi

ceux-ci, on mettra l’accent sur deux d’entre eux consubstantiels de la position de professeur :

‒ le professeur s’adresse à une classe et non à une collection d’individus isolés ;

‒ le professeur est le gardien de la chronogénèse.

Ils semblent empêcher la prise en charge du rôle de l’élève dans l’avancée du temps

didactique en faisant obstacle à la prise en charge spécifiée, sinon individualisée, des besoins

didactiques des élèves par des dispositifs permettant à chacun de progresser.

Ces caractéristiques de la transposition archididactique contraignent le processus de

transposition didactique, en limitant grandement l’intégration, dans l’équipement

praxéologique des élèves professeurs, de matériaux élaborés dans la formation ‒ on pense ici

notamment au travail transitionnel ‒, mais aussi en nuisant à la diffusion de ces matériaux

dans la profession par le truchement du processus de transposition didactique. À cet égard

vient s’ajouter le fait que la position de professeur est encore dans le paradigme du « petit

producteur indépendant ». Pourtant certains éléments technologiques, et les techniques qu’ils

permettent de produire et de justifier, issus de la recherche en didactique, s’intègrent à

l’équipement praxéologique des professeurs débutants ‒ comme par exemple le test

d’entrée ‒, sans doute parce qu’ils renvoient à des objets existants dans la profession ‒

l’évaluation diagnostique, par exemple.

Les éléments dégagés par notre étude permettent d’ouvrir, selon nous, au moins deux voies de

recherche. Il serait, d’un côté, important d’approfondir l’analyse de l’environnement

technologico-théorique de la profession ainsi que les conditions de réception par cette

dernière d’ingrédients technologiques issus de la théorie didactique ; d’un autre côté, il nous

semble nécessaire d’examiner plus largement les praxéologies de constitution du milieu

d’étude dont la reprise de l’étude n’est qu’un aspect.

79

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