průběh funkce jedné proměnné - cvut.cz · průběh funkce jedné proměnné • funkce funkce...
TRANSCRIPT
23.11.2015
1
Průběh funkce jedné proměnné
• Funkce Funkce na množině D je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y=f(x) z množiny H.
• D – definiční obor
• H – obor hodnot
• Funkce prostá
• Funkce rostoucí/klesající
𝑥1 < 𝑥2 𝑦1 < 𝑦2
• Extrém funkce
Př: volný pád • Pohyb tělesa v homogenním tíhovém poli, odpor prostředí zanedbáváme.
• Volný pád je rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb se zrychlením rovným tíhovému zrychlení g.
23.11.2015
2
Inverzní funkce Funkce složená se svou inverzní funkcí dává identickou funkci y = x. Funkce navzájem inverzní mají grafy osově souměrné podle grafu funkce y = x.
Limita funkce
Limita popisuje chování funkce v okolí určitého bodu, díky čemu můžeme například definovat spojitost funkce. Limita funkce nám pomůže pochopit chování funkce i v místech, ve kterých není vůbec definovaná.
23.11.2015
3
Limita funkce
Asymptoty
Asymptota křivky je taková přímka, jejíž vzdálenost od křivky se s rostoucí souřadnicí limitně zmenšuje. Je-li přímka y = kx+q asymptotou křivky, pak
𝑘 = lim𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑥 , q = lim
𝑥→∞(𝑓 𝑥 − 𝑘(𝑥))
23.11.2015
4
Asymptoty
Asymptoty.ggb
D(f) = R-{1}, v bodě x = 1 není funkce spojitá. lim𝑥→1−
𝑓 𝑥 = 0 a lim𝑥→1+ 𝑓 𝑥 = ∞.
Posunem bodu T doprava (doleva) se přibližuje tečna šikmé (vertikální) asymptotě. Šikmá asymptota: y = x + 2 Vertikální asymptota: x = 1
Infinitesimální počet
Dušan Váňa, Nekonečně malá vzdálenost
𝑑𝑦
𝑑𝑥= limΔ𝑥→∞
Δ𝑦
Δ𝑥
Nekonečně malá veličina dy je menší než libovolná konečná veličina. Dvě veličiny, které se liší o nekonečně malou veličinu budeme považovat za sobě rovné. Nekonečně malá veličina není nula (můžeme jí dělit), v některých případech se za ni ale považuje. Jinak jsou ji připisovány vlastnosti jaké mají všechna reálná konečná čísla. Vztah mezi podílem nekonečně a konečně malých velič (až v roce 1754).
23.11.2015
5
Isaac Newton 1643-1727 Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716
„Fluxe jsou jen špatně maskovaným opisem mého vlastního díla“
Leibniz, 1704.
„A tak Leibniz metodu, které si žádal, o kterou prosil, kterou přijal a kterou s obtížemi pochopil, nakonec i objevil…,“
Newton, 1704.
Derivace – směrnice tečny
Leibniz použil nekonečně malé veličiny dy, dx.
𝑑𝑦
𝑑𝑥= limΔ𝑥→∞
Δ𝑦
Δ𝑥= limΔ𝑥→∞
f x + Δ𝑥 − 𝑓(𝑥)
Δ𝑥
23.11.2015
6
Leibniz: Calculus differentialis
V práci „Calculus differentialis“ jsou uvedena základní pravidla derivování.
Například pro parabolu f(x) = y = x2
𝑑𝑦
𝑑𝑥=x + d𝑥 2 − 𝑥2
d𝑥=𝑥2 + 2𝑥𝑑𝑥 + 𝑑𝑥2 − 𝑥2
𝑑𝑥= 2𝑥 + 𝑑𝑥
𝑑𝑦 = 2𝑥𝑑𝑥 + 𝑑𝑥2; ale 𝑑𝑥2 zanedbáme
𝑑𝑦
𝑑𝑥= limΔ𝑥→0
f x + Δ𝑥 − 𝑓(𝑥)
Δ𝑥= limΔ𝑥→0
2xΔ𝑥 + Δ𝑥2
Δ𝑥= limΔ𝑥→0
2x + Δ𝑥 = 2𝑥
dy = 2𝑥𝑑𝑥
Přepis pomocí limit
Taylorova řada
V případě existence všech konečných derivací funkce f v bodě a
lze Taylorovu řadu zapsat jako
23.11.2015
7
Integrál
Výpočet derivace funkce a "hledání obsahu plochy pod grafem" jsou "obrácené" operace.
Newton-Leibnizova formule
• První základní věta integrálního počtu
• Nechť je ƒ spojitá funkce nad reálnými čísly definované na uzavřeném intervalu <a; b>. Nechť je F funkce definovaná pro všechna x v <a; b>
rovnicí 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑥
𝑎
• F je pak spojitá na <a, b>, v otevřeném intervalu (a; b) má derivaci a pro
všechna x v (a; b) platí, že 𝑑𝐹
𝑑𝑥= 𝑓(𝑥).
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
23.11.2015
8
Tabulka neurčitých integrálů
Délka oblouku křivky
Mějme část rovinné křivky dané rovnicí y = f(x) pro 𝑥 𝜖 [𝑎, 𝑏].
Křivku nahradíme lomenou čarou, která se bude skládat z n úseček.
Délka i-té úsečky ∆𝑠 = ∆𝑥2 + ∆𝑦2.
Délka křivky je součtem nekonečně mnoha úseček nekonečně malé délky
ds = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2, tj.
𝑠 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2𝑏
𝑎 = 1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2𝑑𝑥
𝑏
𝑎
23.11.2015
9
Vyšetřování grafu funkce
• Definiční obor
• Obor hodnot
• Extrémy
• Inflexní body
• Chování v nevlastních bodech
• Asymptoty
Extremy.ggb
Vyšetřování grafu funkce • Definiční obor , Obor hodnot, Extrémy, Inflexní body
• Chování v nevlastních bodech, Asymptoty
Extremy3.ggb
23.11.2015
10
Vyšetřování grafu funkce • Definiční obor , Obor hodnot, Extrémy, Inflexní body
• Chování v nevlastních bodech, Asymptoty
graf4.ggb