Práctica 4 Los datos para está práctica provienen de Brockwell and Davis, “Introduction to time series and forecasting”, Springer, 2001. En esta práctica, analizaremos dos índices financieros, el Dow Jones Industrial Index (DJI) de Nueva York y el All Ordinaries Index (AOS) de Australia. Los datos son precios de cierre diarios de los mercados. Se cuenta con información de 251 días (hasta el 26 de agosto 1994). Cuando la Bolsa de Sydney abre, los datos de New York ya son conocidos. Primero buscaremos modelos univariados para cada uno de estos indices, luego miraremos las predicciones de esos modelos. Después modelizaremos ambas series conjuntamente mediante un modelo VAR y utilizaremos este modelo para hacer predicciones. Luego podremos comparar las predicciones de los modelos univariados con las del modelo bivariante.

1) Seguir los pasos de la metodología Box Jenkins para cada una de la series con la finalidad de determinar el mejor modelo. Tenemos un a priori teórico, basado en mercados eficientes, que sostiene que los modelos adecuados para describir series financieras son modelos I(1) sin ninguna predictibilidad.

Primero graficamos las series en niveles y en logarítmos. GENR LAOS=log(AOS) GENR LDJI=log(DJI) No hay mucha diferencia entre las series originales y logarítmicas, por lo cual vamos a trabajar con el logarítmo, dado que es muy conveniente para series financieras.

Las autocorrelaciones de las series son las siguientes:

Ambos autocorrelogramas decrescen más lentamente que un autocorrelograma estacionario, por lo cual parece adecuado tomar una diferencia. Tomaremos una diferencia regular de los datos, ya que además tenemos razones teóricas para suponer que el modelo adecuado es un paseo aleatorio sin componente previsible, o sea un modelo I(1). Para asegurarnos que tenemos datos I(1), podemos hacer la prueba de Dickey Fuller. En la ventana de la series: View/ Unit Root Test/ Para LDJI:

Para LAOS:

GENR DLDJI=D(LDJI) GENT DLAOS=D(LAOS) Los gráficos y las autocorrelaciones de las diferencias son:

Para DLDJI:

Para DLAOS:

Se puede ver que los autocorrelogramas de DLDJI y de DLAOS son casi como autocorrelogramas de un ruido blanco, lo que significa que el modelo univariante adecuado para estas series es I(1).

2) Utilizar el modelo para hacer predicciones, del periodo 245 al periodo 251 Para LDJI y LAOS, estimaremos un modelo AR(1) ignorando el hecho que nos parece que tiene raíz unitaria: Estimate/ Equation/ LDJI C LDJI(-1) Estimate/ Equation/ LAOS C LAOS(-1) Para hacer predicciones con este modelo, en la ventana de la ecuación: FORECAST/ Forecast name=LDJI_F_UNI / Forecast sample 245 251

El resultado de las predicciones para LAOS es el siguiente:

Gráfico de la serie real con su predicción:

También se pueden hacer predicciones acceptando el modelo I(1) para las series. En este caso, las predicciones son muy simples: la predicción para el día siguiente es el valor de la serie ahora: LDJI(T+h|T)=LDJI(T) LAOS(T+h|T)=LAOS(T) Se puede entonces generar dos series de predicciones para LDJI y de LAOS: SMLP 245 251 GENR LDJI_F_UNI=@elem(LDJI,245) GENR LAOS_F_UNI=@elem(LAOS,245)

3) Analizaremos el autocorrelograma de DLDJI con DLAOS. Este autocorrrelograma nos permite saber cual es la autocorrelacion entre DLDJI y DLAOS con diferentes retrasos.

Autocorrelograma de DLDJI con DLAOS. Seleccionar DLDJI y DLAOS, presionar en Quick/Group Statistics/ Cross Correlogram. Los resultados son los siguientes: se observa que el rendimiento del Dow Jones tiene un efecto importante sobre el rendimiento del AOS. Este autocorrelograma nos indica que la serie DLDJI nos puede ayudar a conseguir un mejor modelo para DLAOS.

4) Ahora vamos a estimaremos un modelo VAR bivariante. Cuál es el número

óptimo de retrasos para modelizar este sistema? Se puede utilizar el criterio AIC (criterio de información de Akaike) multivariante. Vamos a estimar modelos para 1, 2, 3 y 4 retrasos y compararlos con el criterio Akaike.

Primero vamos a estimar un VAR(1): Quick/ Estimate/ VAR

El resultado de la estimación es el siguiente:

Haremos lo mismo con un VAR(2), VAR(3), VAR(4) y compararemos los resultados. Hay muchos parámetros, con lo cual es dificil analizar la mejor adecuación del modelo a los datos. Para hacer esto, vamos a a mirar los auocorrelogramas de los residuos: En la ventana del VAR, View/ Residual Tests/Correlogram/Lags=50. Para el VAR(1), los resultados son los siguientes:

Se puede ver que las autocorrelaciones de los residuos no son significativas. Haremos lo mismo con los otros modelos VAR(2), VAR(3) y VAR(4). Ahora, mirando los R^2 de las ecuaciones , uno puede preguntarse porque son tan bajos en todas estas regresiones? La respuesta es que estamos limitados en este ejercicio por la teoría de la eficiencia de los mercados, que nos dice que debe ser imposible hacer predicciones de los precios financieros. Comparando los 4 modelos, se ve que en todos, los residuos tienen poca autocorrelación, por lo cual es muy dificil decidir entre ellos. El criterio de información de Akaike nos puede ayudar para eso y nos da como modelo preferido el VAR(4). A partir de ahora, sólo consideraremos los resultdos del VAR(4), pero es un buen ejercicio compararlos con los otros modelos.

5) Cuál es el efecto de las innovaciones en el Dow Jones Industrial sobre el rendimiento del All Ordinary Shares? Durante cuánto tiempo se nota este efecto?

Para saber esto, tenemos que mirar la funciones “Impulse-response”. Para calcular las funciones “Impulse-Response”, se tiene que hacer una hipótesis adicional sobre la dependencia entre las inovaciones de cada una de las series del modelo. Trabajaremos con la opción de defecto de E-views que es la descomposición de Cholesky, con DLDJI como primera variable. Esto significa que identificamos las inovaciones del DLDJI como estructurales. Uno tiene que tener cuidado con la interpretación de los resultados, ya que estos dependen de la hipótesis que hagamos. En objeto VAR, View/Impulse Response/Impulse Definition= Choleky/ Cholesky Ordering dldji dlaos.

Como se puede apreciar, las innovaciones pasadas de DLDJI tienen un efecto descreciente sobre el nivel de DLDJI (el efecto de un retraso es significativo, después no es tan claro), lo mismo pasa con DLAOS. Las inovaciones de DLAOS no tienen casi ningún efecto sobre le nivel de DLDJI, pero las innovaciones de DLDJI tienen un efecto muy significativo sobre DLAOS, o sea que cuando el rendimiento es más alto en New York, el rendimiento en Sydney también será más alto. Asimismo, se puede realizar una prueba de causalidad de Granger para asegurarse que el rendimiento de un Mercado tiene efecto significantivo sobre el otro. Para esto en la ventana del VAR(4), se puede presionar en View/ Lag Structure/ Pairwise Ganger Causality Test Los resultados nos confirmen que LDJI causa LDAOS en el sentido de Granger, pero no al revés.

6) Predicción con VAR. A continuación realizaremos predicciones con el modelo multivariante VAR(4) y las compararemos con las predicciones de los modelos univariantes.

Para esto hay que gerenerar un objeto MODEL en la ventana del VAR PROCS/ Make Model Luego en la ventana de MODEL, vamos a presionar en SOLVE y poner el SAMPLE de predicción, con la opción “Static Solution”. “Static Solution” hace predicciones un período adelante:

Gráfico de la serie de incrementos reales y pronóstico un periodo adelante:

Se puede constatar que las predicciones de los incrementos son bastante buenas comparadas con el modelo I(1) en el cual, por definición los incrementos son imprevisibles. Para comparar las predicciones con el modelo univariante, vamos a calcular el nivel de la serie que resulta de la predicción de los incrementos. Para todo el SAMPLE, vamos a inicializar la serie laos_f_var con el valor del periodo 244 de LAOS. Luego, cambiando el SAMPLE al periodo de predicción vamos a generar el nivel de la serie de predicción a partir de los incrementos de predicción: SMPL 1 251 genr laos_f_var=@elem(laos,244) SMPL 245 251

genr laos_f_var=laos_f_var(-1)+DLAOS_0 El gráfico de la serie real y de su prediccion, en el que se puede ver que las predicciones son mucho mejores que las del modelo univariante, es el siguiente,: