Pre-algebra

Antonín Jančařík

Relace

Označení relace (z latinského relatio – zpráva, vztah) se používá v následujících významech:

Obecně: vysílání, pořad, hlášení, oznámení, poměr, vztah.

Konkrétně: • matematický pojem zobecňující vlastnosti

vztahů, jako je „rovnost“, „rovnoběžnost“ nebo „být větší než“

• relační databáze• session – trvající spojení v nějaké telekomunikační síti

(obecně), dnes nejčastěji v nějaké počítačové síti

Vztahy

Relační databáze

Binární relace v matematice

Kartézský součin množin

• V matematice je kartézský součin (někdy též direktní součin) množinová operace, přičemž kartézským součinem dvou množin A a B je množina C, označená AxB , která obsahuje všechny uspořádané dvojice (a,b), ve kterých je první položka a prvkem množiny A a druhá položka b je prvkem množiny B . Kartézský součin obsahuje všechny takové kombinace těchto prvků.

Binární relace

• Obecně je binární relace vztah (relace) prvků jedné množiny k prvkům v množině druhé.

• Binární relace je uspořádána trojice [A, B, R], kde A a B jsou libovolné množiny a R je podmnožina kartézského součinu . Množině A se říká definiční obor, množině B obor hodnot a množinu R nazýváme graf relace.

• Velice často se setkáváme s relací na množině, kdy množiny A i B jsou si rovny.

Vlastnosti binární relace na množině

• Symetrická

• Tranzitivní

• Reflexivní

• Další relace mohou být odvozeny z těchto:

• Antisymetrická

• Antireflexivní

Symetrická relace

• Symetrická relace představuje vzájemný vztah.

• Symetrická pokud platí (x R y), pak (y R x).

• Je symetrická relace být sourozencem?

Tranzitivní relace

• Tranzitivní relace představuje přenos vztahu.

• Relace je tranzitivní pokud z (x R y) a současně (y R z), vyplývá (xRz).

• Příkladem je uspořádání.• Je symetrická relace být

sourozencem?

Reflexivní

• Reflexivní relace představuje vztah sama se sebou.

• Relace je reflexivní pokud pro všechny x patřící X platí (x R x).

• Je reflexivní relace býti příbuzným?

Předpona anti-

• Předpona anti- znamená protiklad.

• Opak není negací.

• Tedy antisymetrie je opakem symetrie.

• Antireflexivita je opakem reflexivity.

Někdy se používá asymetrie, areflexivita.

Antisymetrie

• Vztah není nikdy opětován.

• Relace je antisymetrická pokud (x R y) a současně (y R x), pak platí x = y.

• Příkladem je relace být větší.

Antireflexivní

• Nebýt ve vztahu sám se sebou.

• Relace je antireflexivní, pokud pro žádné x neplatí (x R x).

• Příkladem je uspořádání.

Relace ekvivalence

• Ekvivalence (z lat. aeque, stejně a valere, platit) obecně znamená rovnocennost, stejnou platnost, rovnomocnost a z toho případně plynoucí záměnnost.

• V matematice a v logice se označuje znakem ⇔.

Relace ekvivalence

• Relaci, která je reflexivní, symetrická, a tranzitivní nazýváme relace ekvivalence.

• V rámci relace ekvivalence se vytváří množiny prvků, v rámci níž mají všechny prvky vztah se všemi a nemají vztah se žádnými jinými.

• Tyto množiny se nazývají rozkladové třídy.

Rozkladové třídy ekvivalence

• Relace mít stejnou barvu.

• Třídy ekvivalence jsou reprezentované jednotlivými barvami.

• Místo třídy můžeme brát jejího reprezentanta.

• Množina rozkladových tříd.

Reálná čísla

• Vezmeme množinu všech zápisů ve tvaru [znaménko], konečný počet číslic, [desetinná čárka, libovolný počet číslic].

• Zavedeme následující ekvivalenci:– Každé číslo je v relaci samo se sebou.– Číslo se znaménkem plus je ekvivalentní číslu bez toho

znaménka.– Číslo končící za desetinnou čárkou nulami, je ekvivalentní číslu

bez těchto nul.– Číslo končící za desetinnou čárkou nekonečnou posloupností

devítek je ekvivalentní číslu zvětšenému o jedna na místě před první z těchto devítek.

– Doplním všechny vztahy tak, aby platila tranzitivita.• Množinu tříd ekvivalence takto zavedených čísel

nazýváme reálná čísla.

Racionální čísla

• Racionální čísla můžeme zavést stejně jako reálná čísla, ale s tím rozdílem, že za desetinnou čárkou povolujeme jen ty nekonečné zápisy, které jsou od nějakého místa periodické, tzn. Opakují se tam stejné bloky čislic.

• Musíme opět přejít ke třídě ekvivalence.

Uspořádání

• Pomocí relací můžeme také prvky uspořádávat.

• Existují různé druhy upořádání.– Částečné uspořádání.– Úplné uspořádání.– Dobré uspořádání.

Částečné uspořádání

• Relaci, která je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní nazýváme částečné uspořádání.

• Mohou existovat nepoměřitelné prvky.

• Do obrázku ještě patří reflexivita.

Úplné (lineární) uspořádání

• Úplné (lineární) uspořádání je pojem, který formálně zachycuje intuitivní představu o prvcích množiny, které jsou seřazeny „jeden za druhým“. To mimo jiné znamená, že každé dva prvky lineárně uspořádané množiny jsou porovnatelné.

• Jedná se o částečné uspořádání, které je trichotomické, tzn.

Dobré uspořádání

• V matematice se množina S nazývá dobře uspořádanou množinou, pokud má každá neprázdná část uspořádané množiny S první prvek. Uspořádání na množině S se pak nazývá dobré uspořádání.

• Má-li každá neprázdná část A první prvek, Ernst Zermelo dokázal, že při přijmutí axiomu výběru do Zermelo-Fraenkelovy axiomatizace teorie množin je možno dokázat, že každou množinu lze dobře uspořádat. Tento princip je znám jako princip dobrého uspořádání.

Paradox

• S dobrým uspořádáním souvisí i paradoxy typu „Sorités“ (některé objekty nelze v rámci klasických teorií množin modelovat, např. hromada písku, ze které je-li odebráno 1 zrno zbyde opět hromada písku (může taková hromada obsahovat 1 zrno, 2 zrna, 3 zrna…)), tyto paradoxy jsou vyřešeny ve Vopěnkově alternativní teorii množin zavedením tzv. polomnožin.

Ernst Zermelo(1871-1953)

• Německý matematik proslulý svými pracemi v oblasti teoretických základů matematiky - teorie množin a logiky.

• Proslulým se stal jeho výsledek z roku 1904, kdy dokázal tzv. princip dobrého uspořádání, který je proto také někdy označován jako Zermelova věta.

• V roce 1908 publikoval svůj pokus o axiomatizaci teorie množin.

• Jeho práce byla ve dvacátých letech dále upřesněna Adolfem Fraenkelem a Thoralfem Skolemem a je dnes nejrozšířenější axiomatikou teorie množin, označovanou jako Zermelo-Fraenkelova teorie množin.

Petr Vopěnka (*1935)

• Významný český matematik a filozof.

• V matematice přispěl zejména svojí prací v oboru teorie množin.

• Je zakladatelem takzvané alternativní teorie množin.

• Jeho filozofické dílo se věnuje filozofickým otázkám vědy, obzvláště matematiky, a je výrazně ovlivněno Husserlovou fenomenologií.

• V letech 1990–1992 byl ministrem školství ČR.

SZZ 2009

I. Na množině všech do dnešního dne vyrobených osobních automobilů: – Navrhněte relaci, která je ekvivalencí a rozkládá tuto

množinu na alespoň tři rozkladové třídy, z nichž alespoň jedna obsahuje více než jeden automobil.

– Navrhněte relaci, která je tranzitivní a nikoli symetrická. Rozhodněte, zda vámi navržená relace je antisymetrická.

– Navrhněte relaci, která je tranzitivní, symetrická a antireflexivní.

SZZ 2009

II. Na množině přirozených čísle (1,2,3...):– Navrhněte relaci, která je ekvivalencí

a rozkládá možinu na nekonečně mnoho tříd ekvivalence, z níchž každá má nekonečně mnoho prvků.

– Navrhněte relaci, která není tranzitivní.