Precesja spinu w polu magnetycznym

sin

sin

;2

p

p

M B

dLM L

dtB

BLe

gm

p - częstość kołowa precesji

- stosunek giromagnetyczny; g=1 dla momentu orbitalnego, g=2 dla momentu spinowego

Częstość precesji nie zależy od rzutu momentu na kierunek pola i jest proporcjonalna do wartości pola

Rezonans spinowy (ESR, EPR)

10 1

2 2 2

2,803 10 [HzT ]

g eB

m

B

wartości liczbowe podane dla dla momentu spinowego

Z klasycznego p. widzenia przyłożenie niewielkiego oscylującego pola o częstości i kierunku prostopadłym do stałej składowej B powoduje zmianę kąta między wektorami B i podczas precesji.

Kwantowo mamy skończoną liczbę dozwolonych kątów, bo mamy skończoną liczbę dozwolonych rzutów momentu pędu i momentu magnetycznego na kierunek B. Pole zmienne wymusza przejścia między dozwolonymi stanami odległymi o h

Zjawisko Zeemana

2

2

2 2 2

( 2 )2 2

trzy wersory bazy;

( )( )( )( ) ( )( )

( )( )( )( ) ( )( )

; 2 , skąd

i

i i

i i

e eE B L S B gJ B

m m

k

J J L J J BL B L k k B L B

J J J

J J S J J BS B S k k B S B

J J J

S J L S J L L J

2 2 2 2

[ ( 1) ( 1) ( 1)]2 2

( 1) ( 1) ( 1)1

2 ( 1)

2

J L SL J J J L L S S

J J S S L Lg

J J

eg J

m

g - czynnik Landégo; Uśredniamy L i S rzutując na

kierunek J; można ściśle dla elementów macierzowych w mech. kwantowej wykazać to samo.

Przykład: dublet sodowy

1 2 1 1 2 2

; , 1, , ;2

( ); zmiana en. linii widmowej

0, 1; (0 0 wzbronione)

0, 1; ( 0 wzbronione, gdy 0

z z B J J

B

J J

eBE B g J g Bm m J J J

m

E E B g m g m

J

m m J

S=0 normalne zj. Zeemana (można objaśnić klasycznie)

S0 anomalne zj. Zeemana

Czynniki g dla poziomów sodu:

Normalne zjawisko Zeemana

1 2 1 2( ) 0,B BE E B m m B

Bez względu na to, na ile składowych rozszczepiane są oba poziomy energetyczne, otrzymujemy 3 linie (przy obserwacji prostopadle do przyłożonego pola)

Zjawisko Paschena-Backa

W silnych polach magnetycznych J nie jest określone, oba momenty pędu orbitalny L i spinowy S dokonują precesji wokół kierunku pola magnetycznego B.

1 2

( 2 )

( 2 )

0, 1; 0

l S B

l S B

l S

E m m B

E E m m B

m m

W silnym polu dostajemy rozszczepienia jak w normalnym zj. Zeemana: na 3 składowe (w przybliżeniu)

Współczynniki Einsteina

Współczynnik B odpowiedzialny za promieniowanie wymuszone można obliczyć za pomocą rachunku zaburzeń zależnego od czasu

Zaburzenie ma postać płaskiej fali EM o zadanych parametrach. Dokonujemy przybliżenia elektrycznego dipolowego, które oznacza warunek długich fal, dobrze spełniony dla przejść optycznych.

Wówczas współczynnik B Einsteina można wyrazić następująco (por. np.. Białynicki-Birula, Cieplak, Kamiński - Teoria kwantów, s. 345

2

2

0

1( )

21

;2

( , ) [ ( ) . .]i t ik r

H p eA e Vm

eH p V H A p

m m

A r t d a e c c

( )1 1

r atomuk r

20

3

, gdzie3

( ) ( )

fi fi fi

fi f i

B d d

d e d r r r r

Przybliżenie dipolowe elektryczne

( )1 1

r atomuk r

2 20

02 20

10 0 2

1 10 , 02 2

22

, 0 02

0

| | sin [( ) / 2]( ) ;

( )

E cos E ( )

E ( ) E ( )

| | E sin [( ) / 2]( ) (dla absorbcji)

( )

ab b aa b

i t i t

i t i t i t i tba b a z ba

z baa b

V t E EP t

H e z t ez e e

H ez e e d e e

d tP t

P

20 0

22 0

,2 20 0

22,2 0

, 02 2 20 0 00

( ) ( )

E(dla fali EM)

2

sin [( ) / 2]2( ) | |

( )

( )

| |sin [( ) / 2]2( ) | | ( ) ( )

( )

a b b a

a b z ba

z baa b z ba

t P t

u

tuP t d

u d

dtP t d d t

Zaburzenie można uważać za przestrzennie jednorodne i wywołane tylko polem elektrycznym; korzystamy ze złotej reguły Fermiego w rachunku zaburzeń zależnym od czasu

Współczynniki B Einsteina

2, 0 02

0

2 2,

20 02

0

1( ) ( ) | | ( );

1| | | |

3

( ) | | ( ) ( )3

b aa b a b z ba

z ba ba

a b ba a b

E EW t P t d

t

d d

W t d B

20

3

, gdzie3

( ) ( )

fi fi fi

fi f i

B d d

d e d r r r r

Współczynniki Einsteina cd.

Współczynnik Amn opisujący przejścia spontaniczne nie zależy od czasu. Oznacza to, że prawdopodobieństwo przejścia w ciągu krótkiego odcinka czasu jest proporcjonalne do jego długości

dr Adt

Prawdopodobieństwo przetrwania czasu t w stanie wzbudzonym obliczyć możemy korzystając z faktu, że prawdopodobieństwa w kolejnych odcinkach czasu są statystycznie niezależne. Dzieląc odstęp czasu t na N podprzedziałów dostajemy

1 exp( )N

N

tA AtN

1 1dr Adt Prawdopodobieństwo przetrwania bez przejścia przez czas dt:

Ostatecznie prawdopodobieństwo przeżycia czasu t jest równe

( ) Atp t e Czas życia stanu

1

A

Współczynniki Einsteina cd.

Z wyprowadzenia wzoru Plancka wynikało, że między współczynnikiem przejścia spontanicznego A i współczynnikiem przejścia wymuszonego B zachodzi związek:

3

2 3nm nmA Bc

219 30

11 2 2

8 25 9 1

9

2(2 1 )

3

2(2 1 ) 0,627 10 s

3

11,6 10 s

B p se m

mcA p s

A

Przykładowe obliczenie B i A dla dwóch stanów atomu wodoru za pomocą znanych funkcji falowych dla tego problemu

Mody pola EM w pudle0

0

0 0 0 0

22 2 20

0 00

1122

00 02

0

2

0

0

0 0

2 2 2

( , ) sin sin

( , ) cos cos

;

sin cos4

( ) sin ; ( ) cos2 2

;

sin

cos

1( )

2

x

y

y x

E z t E kz t

B z t B kz t

B EcB E

z t

BVU E t t

V Vq t E t p t B t

p q p q

x x t

p p t

p m x

U p x

21 102 2

2

0

2

2

vac

vac

E dV

EV

Dla każdego modu mamy energię drgań zerowych

Analogia pola EM i oscylatora: każdy mod drgań w pudle jest odpowiednikiem jednego oscylatora

dla porównania zwykły oscylator

Emisja spontaniczna

2

2

2

2

2 2 2,

22 2 2

0

2

2 3

3 2 3

3 2 30

2( );

2( ) ( )

1

3 6

( )

3

f ifi fi fi

fi fi fi

x x

fi x fi x

fifi fi vac

fi

E EW H

W N W d H

H eEx d E

H d E

dH d E

V

V

c

dW A B

c c

szybkość przejść: złota reguła Fermiego

Pole fluktuacji próżni wstawiamy jako pole zaburzające gęstość stanów dla

fali EM w pudle

Wynik dla A ten sam, który wcześniej uzyskaliśmy z B i związku Einsteina między A i B. Fluktuacje próżni kwantowej możemy uważać za zaburzenie wywołujące przejścia spontaniczne

Porównanie wielkości różnych przybliżeń

Szerokość naturalna linii widmowych

Dla energii E i dla czasu t obowiązuje zasada nieoznaczoności

E t

Dla czasu trwania paczki falowej i rozmycia jej częstości obowiązuje zasada nieoznaczoności

1t

Szerokość naturalna linii widmowej jest więc równa

1A

35 23 7

2 2

110

137

A A mc

E mc

Możemy oszacować względną szerokość naturalną dla przejścia 2p1s wodoru

Profil lorentzowski

Klasycznie możemy opisać promieniowanie spontaniczne jako falę tłumioną, co oddaje prawidłowy profil i jeszcze raz pokazuje relację nieoznaczoności. Poniżej szerokość oznacza szerokość połówkową

0

0

0

20

[( ) ]2

0

0

2

2 210 2

0

0 ( 0)( )

( 0)

1 1( ) ( )

2 2

1 1

2 ( )2

1 1( ) ( ) ( )

2 ( ) ( )

( ) 1;

1 1;

2

t

ti t

ii ti t

I I e

tE t

E e e t

E e E t dt e dt

i

I E g

g d

Szerokość połówkowa linii widmowej (FWHM na wykresie)

Poszerzenie linii widmowych

12

1,

gdyż 1.

srsr

zd swob

swob

u pN u

t l T

N l

N - koncentracja cząsteczek, usr prędkość, lswob droga swobodna,

- przekrój czynny na zderzenia, słabo zależny od temperatury;

w warunkach normalnych niewielkie;

xu Tc

Odgrywa rolę tylko typowa wartość składowej prędkości w kierunku obserwacji. Dokładniejsze rozważania oparte na rozkładzie Maxwella prędkości pokazują, że linia przybiera profil gaussowski. Efekt nie zależy od gęstości gazu. W warunkach normalnych dominuje.

zderzeniowe

dopplerowskie

Reguły wyboru

3 ( ) ( )fi f id e d r r r r Współczynniki przejścia A znikają

razem z całką dipolową

Pokażemy regułę wyboru dla rzutu orbitalnego momentu pędu dla 1 elektronu:

1 2 2 1

1 2 2 1

2( 1)

0

2( )

0

2 1

oznacza: ( , ) ( )

sin ; nie zależy od

( ) 0,

( ) 0

tylko gdy

1,0

imz

i

im im i m m

im im i m m

L m f e

x iy r e z

e x iy e d e d

e z e d e d

m m

Podobnie można pokazać, że l musi się zmieniać o 1;

Zmieniać się też musi parzystość funkcji falowej, równa (-1)l

Reguły określające zmianę J wynikają z zasady zachowania pędu przed i po zderzeniu, np. przejście 0 0 jest niemożliwe, ponieważ foton ma moment pędu równy ħ.

Laser

2 1 12 2 1 12

2 2

2 12 2

2 21 2

1 2

( ) ;

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )4 4

1

1ln

2

wyp

wyp

L L

dI Idz

nIW N N B g u N N B g

cc

u In

dI W dz

N N g Ngn n

R R e e

R RL

I - natężenie światła

u - gęstość objętościowa energii światła monochromatycznego

- współczynnik wzmocnienia światła w obszarze czynnym lasera

g() - unormowany kształt linii widmowej;

n - wsp. załamania

- dł. fali w próżni

- czas życia stanu wzbudzonego

R1,2 - współczynniki odbicia zwierciadeł

- łączny współczynnik pochłaniania+rozpraszania w ośrodku

warunek stacjonarności (tyle światła jest generowane, ile ucieka na zewnątrz)

Wwyp - liczba przejść na jednostkę czasu (spontaniczne ignorujemy, jako mało istotne liczbowo)

Laser czteropoziomowy

2

2 2

2 22

2

1 2 1

2 1

2 1

1 2 1

1 22 1

2 1

1 12

2

2

( )

1 ;

11

wyp

wyp

wyp

prog prog

prog

dN NW R

dt

dN N NW

dt

W W N N

N R

WN RN

W

R RN

W W

N R

RP W

R

dla stanu ustalonego otrzymujemy

musi być 2>1,żeby inwersja była możliwa

poniżej progu akcji laserowej may praktycznie W=0, aż do pewnej wartości progowej;

potem N ustala się na wartości progowej i W oraz P rośnie liniowo z efektywną szybkością pompowania R

Inne typy

Trzypoziomowy, np. rubinowy, trudno osiągnąć inwersję poziomów

Mody poprzeczne

TEM00 z profilem gaussowskim - obiekt najbardziej zbliżony w przyrodzie do idealnego promienia świetlnego

2 2

2

220( , ) ( ) ( ) exp( )y x yx

mn m nw w wE x y E H H

w - szerokość wiązki

Hn - wielomiany Hermite’a znane choćby z rozwiązania kwantowego oscylatora harmonicznego:0

1

23

( ) 1

( ) 2

( ) 4 2

H u

H u u

H u u

Mody podłużne

1

2m

m

m

m m

m cL m

n

cm

nLc

nL

m - liczba naturalna

n - współczynnik załamania

L - długość wnęki lasera

W reżimie jednomodowym szerokość określa rodzaj wnęki - można uzyskać szerokości megahercowe w ten sposób, czyli długość spójności rzędu setek metrów

Laser HeNe

Stan wzbudzony He jest metastabilny, przejście do stanu podstawowego jest sprzeczne z regułami wyboru l=1, z S=1 do S=0 narusza zaś regułę wyboru S=0.

Wzbudzone atomy He łatwo przekazują energię atomom Ne w zderzeniach. Helu jest więcej, żeby atomy Ne były pompowane do stanu wzbudzonego, inaczej nie wytworzyłaby się inwersja obsadzeń.

Czas życia niższego stanu 3p (10 ns) jest mniejszy niż wyższego 5s (170 ns) - jak musi być, gdy chcemy uzyskać inwersję obsadzeń.

Dioda laserowaElektrony i dziury dostarczane elektrycznie rekombinują wysyłając światło o energii równej przerwie energetycznej.

Współczynnik załamania n=3-4, co daje 30% współczynnik odbicia ścianek kryształu. Wystarczy długość 1 mm do akcji laserowej.

Napięcie zasilające musi być równe co najmniej szerokości przerwy energetycznej.

25% wydajności (0,1% dla gazowych)