· pdf filefinite precision of private information precision of private ... 0 1020 3040 round...

45

Upload: truongdan

Post on 13-Mar-2018

220 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

������������ ��� ������ �� � ����� ������ ��������������� �������

���� ����������

������ ������� �� !" ##$%���� ������� ������ &'" ##!

��������

(��� ���� ��� � ��������� ������� �� ��� �� ���������� �) � � ����� ��������� ������ �� ������ �� ��)*)��+����� ����� �) ��������� �������, (� ��� ����-� ����� ��� � ���� ����� �) ���������� ��)���� ����� ������� -���� �������� � ������ .��, /� �� +��� ����" �� .��������� ��0 �) �� ������ �� ���������� ���� �� ����� ��� ������� �) �� ������ .�� ��� �� �����1 ���� �) ���������,/� �� ����� ����" �� ���-��� ���� �� ������ .�� ��� ������� �� +���*����������� ������ �� ������� �� ������" ���� ��� ���� � �- ������ �� ������� ��� �) ����� ���� �- ��)��������, ��� ��������� ����� �������� ��� �����*���� ���������� �� ���� �����, 2�-��" - ���� +�� ���� �� ���3��1� ������� ������ �������� ������ �� �� ���� 1� ����������, 4 )����� +�� ���� �� ��������������� �� ������� ���� )��� �� ����������� �) ���� ���)� ����� �����1�������,

�/ �� ������� ����)�� �� ����� %�� )�� ��� ��������� ��������" ���������� �������" ��� ��� �� ����������� ���������� �� �������, 2 ���� ������� �� ������� ��� �� +������� ������� -������ -�������� ���� -���� ��� � �������, / �� ������ �� � �������" ������ 5������" )�� ��� ���" ���)���������" ��� ������� ���������� ���� ���3��, / -���� ���� ��� �� ����� � �������" ����� 5������"������ 6����" %������ ����" ������ 7����0" ��� �� ������������ �) �� �/( ������������� ��� ���� +�� ������ )�� ������� ������� ��� ����������, %����� " / -���� ��� �� �����-��� �� ���������� �)�� /������� )�� ��������� 8����� �� ��������� -�� �� ��������� ������� -� ��������, 5���������� ����� �� � �-�,

��������� �) ���������" ������������ /������� �) (������� " 9# ������� ����" �5 # '&:, *�������������;���,��,

'

� ���� ����

2� ���� ��� ��� ��� �� � ���'��� �������� �� ������ ���� 8 ������������ ����

�( �������� ��(�������� 8 ��� ���� ������������* 9 ������������� �������� ���������

���� �����. ������� ��� ����������� ��������� ��(�������� ���� ����� ���� ���

��� ��� ���� ��� ���� �� �� �( :��������� ������� ���� �������� ������

���������� ����� :��������� �������*

������ ������������ ���� ��� � ������ �� � ����� �( ����� ����������� � ���������

������ ������� � ������ �� � ���� ��� �� � ����* 2� �� ������ ����� �� ����������

���� ��� ����� ���� �������� �� ���� ������ * +����� �� �0��� ������ �

������ ��� ��� �� ������� ������ ������ �� ������� ���'�� ��� ��� ���� ���������

����� ��� �������*4 1�������� �� ���� ��� ������ ����� ��� �� ���������

�� (�:��� '��� �� �� ��� ��� �������� ����� ����������� ��� �������*

2� �� ���� ���� (��� ���� ���� �� ���� �( ������ ���� �������� ���� �� ��� ���

�� ��������� �� '� �� '���� ���� (��� ���������� ��� �� '� �� '���� ��

��������� �� ��0��� ������ �( ������*

+��� �� '���� � ������� �� ��� �� ���� �( ������ ���� '��� )�� ���� ����

����� �� � � ����� ��;���� ����* 1��� ���� ������� ���������� (���� ��� ������� �

�� ���� ���� ��� ����� �� ������ �( �������� ��������� �����:�� �� �����( ��

����* 1�������� �� �( ��� ����� �� �� ��������� �� �������� �( �����. :���������

��������* -�'�� �� �������� ���� �� ����� �� �� �� ������� ��� ��� ������� ��

��(�������� ����� ���������� �������* 1����� )�� ���� ������� ��� �� ��(��������

����� ����.� ������� ��� ������ �� ������� ���� ����.� ���������� ���� ���� ���

�������*

2� ���� ���� ' �� �� ��������� �������� �� ���� < �����. ������� ��� (���

������ �( ���������� ���� �� ���������� �( � ��������� ������ '���� ����'� �� ��

��� ����� �� �� ������ ����� �� ���� ��� ������ �( ������ �����* 1�� ���� '

������� ��� �������� �� �� ����� �( ����� ���� ������ �� (����'��� ��� (����� �(

������ ������ =4> �� ������������ ���� �( ������ ����� ���� ����� �� �� ������

41�� ����� �� 2������� �� /���� ������� ������ �( 466%�466? ����� �� ���'�� ��� �( ������ �� (��� (��� ?*" ����� �� 466# �� 4*6 ����� �� 466% �� �4@*" ����� �� 466?* &� )���� ��������� �� ���� �0��� �������� =2!1 "$$$>* 1�������� �� 2������� �� ������ ��� � � ��� ������� �������.� ���� ����� �( ������������� ��� '�� ����� ��� ������������� ����� ��� ������������������ )���� ��������� ��� �� �����* 2� &������� ��� ����� A��� ��������� ������� '� ������ ���������� ������ ��� �� ��'� (�� �� )��� ��� ���� ��������� �������<����� =1����� "$$@>*&� 0��� �( ��� ����� �� � ��� �� ������ �( ,��� �� ������* !�� ��� ��� �(�� ����� �����(��� �� ������ �( ������ �� ���� ������� ��������� �� ���� '����'�� ��������� =1���� "$$$ 9����� "$$5>*

4

��� �������������� �� �����. ������� ="> �� �������� �( ���������� ����� ��

����� ��� ������� (���������� ����� �� ����� ��� =5> �� (��� ���� �� �����.

���(� ����� ���� ������ �� ����� � ���� ����� �� ��� ��� ���* +��� ��

�������� B����� ��������C ����� �( ������ ����� =����(�� 466#> (���� �� �� )���

(���� �� �������� �� ������ ������ ���� =!����� ��� ���� 466?> ��������� �� ��

�����* !�� ����� /������ -��'�� ��� ����� ="$$#> ������� �� ����� (����

�( ����� � ������� �� ������ ���� (���'��� �� ���������� � ������*

������ ��� ������� �� ���� �� � �'������� ������� �( �� ����� ����* &�

���� �������� �( � ���� ����� �( ����� ��� �'� ������� ����� �� ������ :�� ���

�� ���������* &� ��� �������� ���� �� ����� ����� �� ���� �� �� ������ :�� ��

�� ����* 2� ��� ����� ��� ���� ��� ���� ������ �� ������ :�� =�** ��� �� ������

���� (����� ���� �����> �� ��� ������* &� �� �� �0 (��� ��������� �� ������� �( ��

������ :�� �� �������� �� ���� ����� ��� ������ ����'��* D��� ����� �� ����

������ �( ��� ��� �( �� ������� �( ����� ��������� ���� � �������� � � � ����

��������<� �� ������� �( �� ������ :��* &� ������� � ������� �� ��������

�( �� �� �0 �������� =�� B(����������C> ���� �� ��� ������ ���'���* 2� ��

)��� ����� ��� ���� ����� � ������ ������ ����� �* 2( �� ��� �������� ���� ��

����� ����� ����� �� �� �� ��� ���� ��� ������ ��(�������� ����� �*

&� ���� ������ � ����� �( �������������* 1�� ����� �� ��� � ������ ��

��(�(��)����� ���� ���� ������ ����� �� ��������� �����* 2� ��� ������� ����

����� ������ �������� '�� � ���� ��� (���� �� ������� � ��� �� ������ ���

�� ���� '�� � ���� ��������� ������ (���� �� ������ ���� �� ������� �� �� ��

'�� � ���� ����� �( ����<�� ���� �� ��� ������� �� ������ � ������� �������� ��

��� ���� ��������� �����������*

����� ������� � 2� �� )��� ����� =����> �( �� ��� ����� (����' �������

�������� �������� ��������� �� ������ :�� �( ���� ���������� ������ �� ���' � ������

�������� ��� �(������� (��� ��������� ����'��* &��� ������ ���� �� ��< �( ��

������ �� ������������ �������� �� �� ������� �( �� ������� (���������� � ���

:�������� �� �����. �������� �� �������� �� ���� ���������� ������ �������* &�

����� ������ ��������� �� �� )��� ���� �� ���� ���� �� ���������� ��� �������

��������� �� �������� �� �� ���� �( ���������*

&� ����������� ���������� ���� �� �� ��(�������� ��������* 2( �� ����� ��

��� ���� � ����� ������ ������ �� �� ����� ���� ��� ��� ��������� �� �� ���:�

:���������* &��� ����� ����� (��� �� (��� ���� ����� ��� ����� ���� �� ���

������� � ���� ������ ��� ��� �� (��������� � ���� � ���� ����� ='���� ��� �

��'� �� B�������� �������C>* �� �� ���� ���� �� �������� �� � ��������� :������

"

���� � �' ������ ����� ������� �( ����� ���� ��;����� ����� �' ��(��������

�� �� ����� ���� ��� ��� � ������� B�����C ������� ����� ����� �� ���� �( ��

(���������� �** �� )��������� ������ �� ��� ��� ��������* !���������� ���������

(��� �� ���������� ��'� �'� ������ �� ���'��� ���� �� ���� ������� ����

������� ��� �� ������� �( �' ������ ��(�������� ��� ��� =�** �� ���������� ��'�

B��������C ��� B������� �������C>* 2� ���������� B�������� �������C �����

�� ���������� �( ������ �� �� ����� ����� ��� B������� �������C ��� ��� � �'

������ �������*

����������� �� ��� � &� ��� �� ���������� �( �� ���� ' ������� ����� �����

���� �( � ��������� ������� '�� ' ��� �� ������� �( �� (���������� ��

���� �( ��������� ��� �� ����������� �( ��(�������� �� �� ����� ����*

2� �� )��� ���� �( �� ������� ' )�� ���� �����. �������� �� ���������

'��� �� ���� ���� ������� � ���:� :��������� �� ������� ��������* -�'�� '

����� ���� �� ���,��� ���� ��� ��������� ������ �� �� ���� ��������� (��

�� �������� �� '���� �� ���� �( ��������� �� �� �� � ������� ����* 1��������

' )�� ���� �� �����. ������� �� ��� �������� �� �� ������ �� �� ���� �( ���������

���� �� ���� *

2� �� ����� ���� �( �� ������� ' ���� �� 0��� �( �� ���������� ��'�

������� ��� ������������* 2� ���� �� ����������� ��'� �� 0��� �( �������� ���

������� ������� ' )��� ��� � ������� '�� �� ���,��� �� ��� ���� �� �'

������ ��(��������* 2� ���� ��� �� ��� ���������� ��(�������� ���� �� ���,��� ����

�� ���� �'� �� ���� �� ��� ��� ��� ��� '���� ��� � �������� �� B��������

�������*C + )�� ���� �� �� ����� ���� �( ���� ������� �� ���,��� �� �� (���

������� (��� �� ������ �( �� )��� ���� ���� �� ���������� �( ������ �� �����

�����* -�'�� �� �������� ������� 0�� �� ��� �� ������ �� �� �� ���� ���

�� �������� �( �� 0�� ����� �� �� ���� �( ���������*

2� ���� �� ����� �� ���������� ��'� �������� ��� ������� ������� '

��� ��� � ������� '�� �� ���,��� ���� �� ���������� ��� ����� ������ ������

�� �� ����� ���� �( �� �������* 2� ���� ��� �� ���,��� �� ����� ��� �� ����

��������� ������� ���� ���������� ���� �� ������� ������ ���� ���� �'� ���

�� �������� �� ��� ��' ���� �������� � ������������� ���� ��� ����� ��(��������

���� ���� ������� �� ������ �� ������ :��* + )�� ���� �� ���������� �( ������ ��

�� ����� ���� ��' ������� �����)����� ������ �� �� ������� '��� ��������

������� ��� *

+��� �� ���� ���������� �������� �� ����������� �( �������� ��� �� ������

���� �( ������� �� �������� � �� ��������� ����� �� ������� ���� '

5

)�� ���� �� ���,��.� ������� �� ���� �������� ������ �� �� ���� .� ����������*

&��(�� ' ��� �'� � ������ ����� �� ����������� �( ���,���. �������* &�

)��� � ������� ��������� ���� ���� ���� ���(� �( '��� ���� ����� '��� �� �� ����

,��� ��� B�������C �� B��� ��������� *C /� ��������� � ������� �� ���� �����

�� ��� ��� B�������C ���� ���� ���(� �( '��� ����� '��� �� ��� ���� �� �� ����

���(� ���� �� ��� �������� ���� �� ���� �������* + )�� ����� ���� ����

�� �� �,�� �� )��� � �������� ���� �� ���,���. �������� ���������� ������ ��

�� ���� ���������� ���� ������� �� ����� ��������� '��� ���������� ��������*

&��� �� ���,���. �������� ������� ���� (��� ���� �������� ���(� ����� ���� (���

B�������C*

������� ���������� &� ��������� �������� �� ������������ ���� ������ �� ����

��� ������ ������ '��� � ������ ���� � ����(�� =466#>* ����(��.� ���� �� � �����

�������� ��� '��� ��(�� ��(�������� ���� ���� ������� :��������* +��� ��� ���

����� B����� ��������C ����� ������ �� ��(�(��)����� ����� �( ������ ����� ����

��� ����� '������ �� ������� ����� �� ������������ (���������� �� ��� ����

� ��'� �� �������� ��� '�� �� �������� ����� ������������ �� ���������� �����

�� ��������� ������ �( �����* ����� �� ����� �� ���������� �������� ��� ���

���� =4665�> =4665�> ��� ���� !����� ��� ���� =466?> ���� ����(��.� ����������

�( ������ ���'���* &� ���' ���� ���� ������ ����������� �� �� ��(��������

�������� ����������� �( :�������� ��� � �������� � �������� ���� ����� ����

��������� ������ ��(�������� ����� �� ���� �( �� (����������* &��� ����� ���

����� �� ������ �� ����� ������������ �������� � �������� ��� ���<��

="$$4> ��� D���� ��� E��� ="$$@> (�� ���� ����F ������� �������� ��� D������

="$$5> ��� !����� ��� ���� ="$$@> (�� ��� �����F /����� ="$$$> (�� �����F �����

=4666> (�� ���� �'�����F ��� ������ ="$$3> (�� ��������� �����*

&� ������ �� ���������� ��'� �� � ������ �( ���������� ����� �� �������

(���������� ��� �� � ������ �( ������������ /������ -��'�� ��� ����� ="$$#>

���� �� ������ �������� �( !����� ��� ���� � ����'��� ����� �� ��� ������� ��

������� ������ ��� ��������� ��(�������� ��� ���* &��� ������� ������<� ��

��� ���� ���������� ��� �� ������ �� ��� ������� ����� ������� �� ������ �� ���

�� ���� ��������� ��(�������� ��� ��� ��� ���� (��� ���� �������* &� �������

���' ���� � ������ �� ������� ������� :��������* !���������� ��������� (��� ��

���������� ��'� �'� � �� �( �������� �� ���'��� ���� �� ���� ������� ����

������� =B�������� �������C> ��� �� ������� �( �' ������ ��(�������� ��� ���

=B������� �������C>*

&� ��������� �������� ���� ���� �� ���������� �( �� ���� ����� �����

@

'��� ������ ���� �� ���� �� ������������ ���� '��� ��(�� ��(�������� �� '����

:�������� �� ������������� =�� �� �� ��� �� ����(��.� ����>* ����� � ��* =466$>

)�� ���� �� ������ ������ �( ��� �� �������� ������� � �� G��� :���������

������ ��� ���� ������������ (������ ��� ��� �� '���� �� ������ �� � ������

��(���� G��� :���������* E�� -� �� 9������� ��� 9�� =466$> )�� ������� ������ '��

�� ���� � ����� �( ����� ���������������� ���� '��� ������� :��������* 2� ����������

���� ��������� ������ ������ ���� �� �������������� ������ �� ����� ������

���� �������� �� �� ����� ��� ��� ���� ������������ (������ ���� �� �� ��������

��������� * 2� � (����'��� ������� ����� � ��* =466"> ���� ������������ ����

'��� ���������� ������ �������������* &� )�� ���� �� ������������ ���� '���

� ��������� ������ ���'� ������������� ������� ��� �( �� ��������������

:��������� ������ �� �� ���������������� ������*

������� G��� ��� /����� ="$$5> ��� �� ������ ������������ ��� ���� �� �'��

����� ���� '��� ������ �������� ������� � �������� ��� ��� ���� =4665�>* &�

)�� ���� '��� ������ ��(�������� ����� �� �� �0� �� ���,���. ������� ������� ��

�� ��������� ��������� �(�� ����� ������ ��� �� �����* 2� � ���� ����

-������ G��� ��� ����(�� ="$$@> ��� �� ���������� �( �� ������ ����������

������ ���� �( !����� ��� ���� �� � ��������� �������* &� ������� ������

������� '��� ������ ��� ������ ��(�������� ��� ������� ���� �� ��� ������� ���,���

��� �������� �������� �** ������� '���� �� ���� �( �� (���������� �� ��

������ '�� � ��� ��� �������� ���� �� ������ �������� * &� ������� ����� �� ���

������ �� ����� �� ������� �( �� ���� '���� ������� � ���:� :��������� ����

������ ������� �����������*

&��� ���� �� �� �� �( �� )��� �� ��� �� ���������� �( ����� ������ ��� ����

�� � ��������� �������* 9�������� ��� !����� ="$$@> ����� B����� ����C

���� �� '�� �� ����� �( ��� ��� �� ���� ��� ���� ��� ��� �� ���� � �� �0 ����

������� ����������� �� �� ��� ���* &� ������� ����� ���� ��������� '��� ��

���:� � ������ ��� ������ G��� :��������� ��� �� ��� ����� '�� �� ���

���� ��(�������� ����� ���� ��� ��. ������ ��� ����� �������* 2� � ��� ����

���� ����� ��� 1������ ="$$#> ����� ��������� ������� '��� ��� ��� ������� �(

������ ��(�������� (������� ���������� ��� ��� (���� �� ��< �� ������ =�** �� 0��

�( � ���� ��� � �� ������� ��� �������>* &� )�� ���� '��� =�� ��� ������

�����������> (���������� ������ �� ��������� �( ������(�� ��������� ������� ���

����� ���� ���� ��� ���� ������ ����� �� ��(�������� ����� ���� �� �� ���������

�������� �� �� (���������� ���� ������ ������* &� ����� �( � ����� ���������

(����� ������ ������*

3

&� ��� ���'��� ��� ������� �� �� )��� �� ��� �� �� ��� � � ����� ������

��� ��� (���� �� �� ��������� ���������� �( ���:���� �� � ����� ������ ���� ��

���� ������� ��� ��� ��� �� ������ �� :������� �( ���,���. ����������� ���

���������� *

&� ��� �( �� ���� �� ������<� �� (����'�* ������ " ������� �� � ����� �'��

����� ���� �( � ��������� ������ ��� �������� ��������� ���������� �� � ����*

������ 5 ������� �� ��������� �������� ��� ��������* ������ @ ������� ��

������ �( �� ���� ���� ���* ������ 3 �������� ��� �������� ������� ��������*

� ��� �����

��� ���� �� � ����� �'������� ������ �( �� ���� ������ � /������ -��'��

��� ����� ="$$#> �� '���� ��� �� �'� ����� �� ������ :�� ��� �� ���������* &�

����� ����� � � ���� ������������ ��'� �'� ������� ������ �( ������* /���

� ��� ���� ����� ������ / =B������C> �� ������ ���� (����� ���� ����� �� �����

������ 9 =B��� ������C> �� ������ ���� (����� �� ������ :��* &� ������ :�� ��������

�( �� ���� �( ����� �������� ������ / =B������� ��< �( �� ������C> ���� � '����

��������<� �� ������� �( ������� (����������* / ��' ���� �( � ���� �������

� ������� '�� ���� �( �� (���������� ��� � ���� ���� �( � ������� � �������

������ ���� �( �� (����������* + '��� ���� �� ���� ������ � ���� � ��� ��'�� ���� � � �(�� �� �� �������� �( �� ������ :�� '��� ���� � � �(�� �� ��

������� �( �� ������ :��* /����� / �� ��������� '��� �� ���������� ���� �* 2( ������

/ �� ������(�� =�** �� ������ :�� �� ��������> ��� ���� �������� ������ / ���� ��

����� �( � � �* 2( ��� =�** �� ������ :�� �������> ��� �� ���� �������� ������ /

���� $* /����� 9 ���� �� �� �0 ��� ��� �� ����*" &� �� �0 �( �� ���������� ����

��� � '����� ��

��� � ���� ��� �� �

����� � �� �( �� � �

���� �( �� � �

'�� �� � ��� �� ����� �� ������ ����� � ���� � �� ��� � =�� � � �������

��������� ��� �� � � ������� ��� ���������> ��� �� ����� �� ������� ��< �( ��

������ �� ��� �*"G�� ���� �� �� �0 �� �� ���� ��� ��� ���� �� �* �� �� ��� ����� �� �� �� �� (����'���

'� � �( � �� �� ��' ���� �� ���� �������� �� �� �0 �� �� ���� �������� ������ / �� � ��� �( ������ ������� �� �� �0 �� ��'� � �� ��� =�>*

#

G�� ���� ����(��.� � ���������� ���� ������ ����������� �� ���� �� ���� �( ��

(���������� � �� ������ ���'��� ����� �� �����* 2� ���� ��� ��� ����.� ���

������ (������� ��

����� �� � �������������

��� ��� �( �� � �

� �( �� � �

+ ��� � ���� (�� ��� � � ��� �� ��� �� �'� ���������� G��� :�������� �� ���� ���

���� ���� ���� ��� ����� ����� ������ / �� ��� ����� ����� ������ 9F ��� �� �� ��

����� '�� ����������� �� �������*

-�'�� �� ��� ���� ����� ��� ��������� ��(�������� ����� �� ������� �(

�� ������ :��* G���� ���'� � (��� � ������ ������������ ���� ���� '���� �)�� ��

������� ������ ����� ����� �* G�� ���� � ��� � ������� �( �� �� ������ ������ ���� ���

����� ����* 2� �������� �� ������� � ������ ������ ��� ���� ��� ����� � ������

������ ��� � � ��� '�� ��� ���� ����� �� �*�*�* ������ ����� ��� �������� �( �

��� �� �� �� �������� �( ������ ��(��������* 5 &� ������ :�� �� �� ���� �������� �(

��� ��� �( �� ����� �( ����� �������� ������ / '���� �� ����� � �� �� �����

���� �� :��� �� �*

��� ������������ ����������

� �� )��� (���� �� �� :��������� �� �� )��� ����� �( �� ���* G�� ���� �� ��

������� �������� �� ����� ������ / (�� ��;����� ��' ������� 8 ���� (�� �� � �

'�� � ����� ���� ���� � ��� 8 ��� �� ����� 9 (�� ��;����� ���� ������� 8 ����

(�� �� � � '�� � ����� ���� ���� � ���*@ &��� ������� ���� ' ������ ���� (��

������� 9� ���� G��� :�������� �� '���� �� �����. ������ �� ������������� �� ��*

G�� ' ���������< �� :��������� �� �� )��� �����* ������ ���� ��� �� �

�������� ��� ���� ���� �� ���� '��� ����� ������ / �( ��� ��� �( � ��� � ������

������ ���' ���� ����0 =�� ���>* &� ����� �( ����� �������� ������ / �� ���

�������� �� � ��� �� ���� � ����� � ����� ������ � �������

��� ��� '�� � �� ��

�*�*(* �( �� �������� G����� ������������* 2� (����'� ���� �� ������ :�� �� �������� �(

��� ��� �( � ��� '�� ��� ����� ��� � ������� �� :��������

��� � �������

�� � ����� =4>

5&� ��(�������� �������� �� ��������<� � �� � ������ ��� � � ���� �� ��������� �( ������ ���

������ ��(�������� �������� �� :�������� � �� �������� ��������� ���� ��� ��* &� ��������' �� ����� �( � � ��� ��*

@G�� ���� (�� ���������� ����������� ' ������ �� ���������� ��������� � (��� ��' ��*

%

&� �������� ���������� �( ���� ����� (�� �� ���� '��� ������ �� �� ��� �����

����� � ����� � ���� �������* ���� �� ����� �� �������� �� �� ��� ���� )��� ��

������� �� ����� ������ / �( ��� ��� �( �� ��� '�� ��� ����� ���� �������� � ���*

���� ��������� ����� � �� ������� ���������� '��� ��� ������

�� �

����� ��� �������

�����

=�������� �� �> ���� ��������� �� :������� ��

���� ����� �

���� �

��� ��

�� ���

�� ��� =">

2( ' ���� �� � ��� �( �� �'� :������� =4> ��� ="> ' �� �� :��������� �����

����� ���� �� �� )��� ����� �( �� ����* ���� � �������� ��'� � ����� ��� �� ���:� (�� ���

� �( ��� ��� �( �� � ��

��* =� /������ / (�� �� ����(*> !����� ������ ����������

�( ������� �������� �������� ������ ���� '�� �� ������� :��������� �� ���:�

��� �� �� ���� :���������*

1���� 4 ���������� �� :��������� �� �� )��� �����* 2� ����� �� ������� ��< �(

�� ������ �� ������� �*

AFinite Precision ofPrivate Information

Precision of PrivateInformationApproaching Inf inity

θ1* θ0

1���� 4� ��< �( �� /����� �� ��* � (�� 1���� ����� �� /���������� 2�)���

/� �� �������� �( ������ ��(�������� ��������� ��)��� �� ���� ������� ����

�� �� ������ ����� ������ / (�� ��� � ��� ��� �� �� ������ ����� ������ / (�� ���

� � ��� '���� �� ������� � �� ����� ��� �� 1���� 4* -�'�� (�� )��� ��������

�( ������ ��(�������� �� ���� ������� ���� ����� �� ������������ �������� �� �

�������� �� �� �� ��� �� 1���� 4*

&� (����'��� ������������ �������< �� )��������� ���������� �( �� ���� ����

' '���� ��� �� ���*

��������� �� ����� �� � � ����� ���� �� ���� � ��� �������� �� ��� �����

����� �� ����� ��� � ���� � � ����!"# � ��� $� � ����� � ��� ���� � �� � ���� %�

?

�������� ����� ����� �� � �� ��� ����� �� � � ����� ��� �� ���� ��� ���� ���

��������� � ��� $� � ����� � ��� ���� � � � ����

��������� �� ��� ���� ���� ��� ��� ��� ��� ����� �� � � ��� � � �� ��� ��

���� ��

G�� ���� �� � ������������ ��� '��� ������ ��(�������� ���� �� ����(�� =466#>

�� ���� �( ��������� ��� � �� ��� �� :��������� ��� � ���� �� �� ������� �� ������

:�� �� �� �� ������� �� ������ :�� �������� �( ����* !����� �����. ��������

�� ��� � ��������� �� �*

��� ������������ ����������

&� ��� �������� ���� �� ����� ����� �� ���� �� �� ������ :�� �� �� ���� ���

�� ��� ��� �( �� ������ :�� �� �������� �� �� )��� �����* + '��� ������� �'�

������������ (�� �� ��(�������� �������� �� �� ����� �����* 1���� ������ ���� ��

����� ���� �� ���������� ������ ������* 2� ���� ��� '�� ����� ����� �� �� �����

����� �� ����� ���� �� ������ :�� ���� ��� ������� �� )��������� ������* 1���

�� ���������� ���� �� ������ :�� �� ����� �� ���� �� ����� ���� ���� �� ���� �(

�� (���������� �� ��� ��� '�� ����� ����'�� �� '���� ��� �������� ���� ��

)��� ������* 2� (��� �� ��' ���' ���� � ���� � ���� ���* &� ���'��� ����

� � ��� ����� � )���������������������������� ���(� �( ���(� ��'���� ������� �����.

������� �� ���� ��� ��������* 2� ����� ��� ���� ���� 0�� �� ������ ����� ��

���� ���� �� ���� �� '������ �� ��� ������ / �� �� ����� ����� �������� � ���:�

:���������*3

��������� �� &� �� ��' ��������� ���(� � ��� ���� ������ ���� ��� �� ����

% � ��� ����!"# ��� ��� � ��� ����� ��������� ���������

&����� ���� ��������� ����'� �� �� ������ �� 0��� �( �������� ������� �� �����.

�������* -�'�� ' '���� ���� ��� �� ����� �� 0��� �( �� ���������� ��'�

�������� ��� ������� �������* &��� ��� � ����������� � �������� �� ���

(�������� �������� �� ����� �'� ���� ���� ����� ���� �� ���������� ������ ���� ��

��;����� �����* &��� �� ��� � � ��� '�� ��� ���� ����� ��� �� �� ��;�����

����*

&� ��< �( �� ������ �� ����� �'� �� ���� � ����� � ����� ������ '���� ��

�������� �� � ��� �� ���������� �( ���� ����� (�� �� ���� '��� ������ �� ��

����� � ����� �� � �� � ���� ������� � � ���� '���� �� �������� �� �� �( ��� � ���*

3� ��� " �� /������ -��'�� ��� ����� ="$$#> (�� ����( �( ���:���� �� �� �������:���������* ������ ���:���� ��� � ���'� � ������ ������ �( ������� �������� ��������* �/������ / (�� �� ������ �������� �������*

6

&��(�� �� �� :��������� �� '���� �� ������ ������ �� �� ����� ����� ��� ��� �������

��� � �������

�� � ����� =5>

������� �� ��

�������

�����

� � �����

����� �� ��

�������

�����

� � ������ ��� =@>

�:������� =5> ��� =@> �� �� ����������� :�������� �( :������� =4> ��� ="> ��

�� � ����� ������* + ��� ���� ��� (�� ��� ��� ��� '���� '��� ��� �� ���� '����

���������� ' ��� ��� �� ������ �� �� ����� �����* 2� ���������� �� ������ ��(���

������ ����� �� ��� ���,��� �(�� �� )��� ����� ���� � ���� ���� � �� ��;�����

����*# 2�������� '�� � �� ���� =B����� �����C> ������� �( �' ��� ����� ������

��(�������� ���� �� �������� ���� ��� �������� ��� �� ������� �0�� �� ���

����� ��� �� ����� ������ / ������ � �� ���'��� ���� �� ���� ������� ����

�������* 2��� �( � �� ��;����� ���� �� ���� ��� � �� ��� � ����� ������ ��������

����� ������� ��� �� �� ��;����� ���� =�** �� ����� ������ �� ��;����� �����>*

G�� ���� �� �� �� ����� �( �� :��������� �������� �( �� ������ ��� �� �� ��������

�( ������ ��(�������� ����� ��)��� =�� ���������� �� � � � ���>* 2� ���� ��� ��

���� ������� ���� �� �������� �� �� ��������� :��������� ='���� �� ��'�� �� :���

�������> ��� ��� ���� � �� ������ :��������� =(�� ����(� ��� ���������� � /������

/>* &� 0�� ������� ����� � �� ������������ �( ������� ��(�������� ������ ��

�������� ���� ��� �������� ���������� �� 0�� �( �������� ������� ���� ����

�� ���� ������� ��� ��������* 2� (��� �� 0�� �( ��� ����� ��(�������� ���

�0�� �� ������� ��� �� ����� ������ / ������ � �� ���'��� ���� �� ���� ���

������� ���� ������� ���� ������ �' ������� �������*

G�� ���� '�� � �� ��' =B�������� �����C> �� ������ �� �� �������� �( ������

��(�������� ���� �� �������� ���� ��� �������� =���� �� ��� ������ '��� ��>* &�

���'��� ���� �� ���� ������� �� ������ �� �� )��� ����� ��� ��� ���(����

���� 0��* &��(�� (�� ��;����� ��' � ���� ���� ��� � �� ��� ����� � ���:�

:��������� ���� ���� �� ���� �� ������ ������ / �(�� �� )��� �����* -�'��

�� ���� ������� ' ����� �� ������� '�� � �' ������ ����� ������� ���

���(�� ��� ��� �� (����'��� ����������

��������� �� ����� ��'�� �� �������� � '�� ����� ��� � ���� % � ���

����!"# ��� ��� � � ��� ���� ������ &� ��� ����� ���(� � ��' ��(��� ���� � ���

#1�� � ������ ��� '�� �� ���� �( ��������� :���� ��� B���� <C ���� � ���* H��� ������������� ������ ��� ����� ������ �� ������������ �������� �� � ��� �������� � ���* =� /������/ (�� ����(*>

4$

���� ����� �� ���� �� �)����� ����� ��� � ��� � ��� ����� � ������ �� ���

��*����! ��������� ����� �� � �� � �� ��� ��� �� �������� � '�� �� ����� ��� �

���� � � ����!"# � ��� ���� � �� � ���*

2� �� (����'��� ������� ' ����� �� ��� �� ���� ���������� �� � ���������

�������*

� �������� �� ��� !"���#��

��� ������ ���

+ �������� ��� ������� �( �� ������� �� �� ��������� ��������� �� �� 2��

������ (�� ��������� D����� �� ��������� �� �� H������� �( I����� '��� �� )���

(��� ������� ��� �� J�� �( "$$# ��� �� (����'��� �'� ������� ��� �� ������ �( "$$#*

&� ���,��� '� ��� ������� �� �� H������� �( I�����* &� ������� '�� ��� ��

��� ���������� ��� ��� ������� ���� ���� �� ���� �( �� �������� '�� �����

�� ��� '���� �� ���� �( �� �������� ������ (�� �� ������* /�� ������� '�

��������<� ����� �� ������� <�&� =1��������� 4666>* &� ���,��� '� )��� ����

�� ��� ������� ��� ���� ��(���� ������ (���� (�� ������������� ������*% ����

����� �( �� ������������? '� ��������� �� �� ������������ ����� �� �� �������� �(

�� �������* &� ���,��� '� ���� �� ���'� ����� ������� :������� ���� ����

���� ������������ �( ���������� �� '�� �� �� ��������� ��������* K������� '�

���'�� �� ������* &� ���,��� ����� ��� � �� ���������� '��� �� ������* /�

�� �� �( �� ������� ��� ����������� )��� ��� � ��������<� :����������*6 &�

:���������� ���� �� ���,��� ����� ���� �������� �� '�� �� ���� ������������ �(

���������� ��� ���������� * /� �� �� �� ��� ���,�� '�� ���� �� ���� � ���'��� (

:��� �� 43 �'��� 1����� =�-1> ��� ��� �� �� ������� ��� �� ����� �( �� ������*

1���� ����� �( ��� ���,�� '�� )��� ���� �� ������ ��� ��� ������� �� �'��� 1�����

�� �� ��� �( 4$ ������ L 3$ ������ (�� ������� 4�" ��� �� �� ��� 4$ ������ L "3

������ (�� ������� 5�#* /���� ����� =��������� �� ���'��� (> '�� ?5*? �-1

@3*3 �-1 ��� "3*3 �-1 (�� ������� 4�" 5�@ ��� 3�# �������� *4$

���� �( �� ��� ��������� ������� ��� 5$ ������������ ������ ������� ���� �'�

������ �( )(�� ����* ���� ������ �������� �( @$ �������� ������ �( ��� '���

%����� �( �� ��(���� ������ (���� �� ����� �� ������� �� �������� ���� �:���*?1��� ����� �( �� ������������ �� ����� �� ������� �� �������� ���� �:��� (�� ��� ��������*6����� �( �� :���������� :������� �� ����� �� ������� �� �������� ���� �:���*

4$G�� ���� �� ��0���� �� ����� ������ ������ ������� 5�@ ��� 3�# ���� �� �� �� ��0������ �� ���� �( �������� ������ /*

44

��� ����� ������������ �� � �' ������ ����� � ���'� (��� � ������ ������������

���� ����44* &��� �� ��� ������� ��� ����� �� � �' ����� ��������<� �

�� ���� �( (���������� �* &� ���,��� '� ��(���� �( �� ��� ��� �� ��������

�������� �( ���� ������������ �� �� ������������* 2� �������� �� �� �������� �( ��

����� ��� ���,�� ����� � ������ ������ =B���� �����C ��> ����� �� ������ �����

�* &� ���,��� '� ���� ��(�������� ����� �� ������������ �( ���� ���� ����� �� ��

������������*

���� ����� �������� �( �� �� �'� ������ =B�����C> �( ��������������* 2� ���� 4

�( ��� ����� ��� ���,�� ��� �� ���� ��'� ������� / �� 9 �� ������� �� ������

"* ��� ��� �� ���,��� ���� ���� ������� �� ��� ���� �( �� ����� �� '� ����

� (����'��� :������ ���� � B-�' ��� ���� ����� �( ��� ����� �� �� �����

���� ������ /MC G�� ��� ���,�� ����� �� (����'��� ��(��������� �( �� ���

��� �(�� ���� �� � �� �� (���� ��� ���� ������ / '�� ������(�� ����� �� ����

�( �� �����'� ����� ��' ��� ���� ���,��� ���� ������ / ��� ��� �� �� �� �0

�� �� �����* 2( �� ��� �������� ���� �� ����� ���� �'� �������� '� �������*

2� �� ������� '������ �' ��(�������� �� ���,�� ��� ��� �� �� ���������� B����

�����C �(�� �� )��� ���� ��� ��� ��� � ������ �( ��� �� �� �������� ������ ������

��� ����� ����)������ ���� ������ / '�� ��� ������(��* 2� �� ������� '��� �'

��(�������� �� ���,��� ����� � �' ��� ����� ������ �( �� ��� �������� ����

���� "*

+ ��� ��0��� ������� ���������� ���� �� �� ���� �( ������ / ��� �� �� ��(���

������ ������� �� �� ������������ �� �� ����� ���� �( �� �������* &� �������

������� ���������� �� �������<� �� &��� 2*44&��� ������� ���� �� �� �� �( �� ������ ������������ �� ������ �� �� ���(��� ������������

��� � -������ G��� ��� ����(�� ="$$@>* &� ���� �� �������� ��������* &� ��)� �(������� �� ������� ����� �� ������ �� �� ����������� �( �� ���� ���* &� ���� ������� �� ��� ����� ��� �� �����)����� ��� ���������� �� ������� �� �� ������ �������� '���� ����������� �� �( �� ������* &� ������ ������������ �� ���� ������� ����� �� ����� (�� �� ��� ���,��� ���� �� �� (��� ��������<� � �� ��� ��� �� ��������* &� ���� �� ���,���. (��� ������������������ �� ������� ' ������� ��� '��� ����� ������ ��� �������� � :��< �� (��������< ���'��� �� ������ ������������*

4"

&��� 2*

&������ ������ *

SessionFirst 20Rounds

Last 20Rounds

First 20Rounds

Last 20Rounds

1,2 20 50 No No3,4 50 20 No No5 60 60 No Yes6 60 60 Yes No

Information in Stage 2Cost of Action A

��� ����#�����$����

+ ������� ��� ������ � � (����� �( 4$$ �� ���� �� ���,��� ��� ��� ��� �� ��� '���

(��������* + ���� �� ����� �� �0 � �( � ������(�� ������ �� � 4$$ ��� �� �����

�� �0 �( �� ��������(�� ������ �� � $* &��� �� �0 ���� '�� ����� (�� ��� ���������

(�� �� ���� �� '�� �� (�� �� ������� ������������*

&��� 22 ������ �� �������� �������� � ������*

&��� 22*

��������<�����*

Session z, 1/α 1/β1 1/β2

1-4 65, 50 7 N/A5-6 75, 55 10 1

G�� ���� �� ��� �( �� ������ ������������ '�� ����� �� � ����� ���� 3$ ��

���� �� ���� ���� ' ��� ��� �� ������� '�� � �' ������ ����� ������� '���

�� ������� �( �' ��(�������� �� �� ����� ����* 2� ���� �� �� � �������� �����

�( ������ ���'� '����� �� ������� �( ��� ���� ' ��� �� ���B��� ��� ����*C &�

�������� �������� '�� ����� ���� �� �����( ��� �� �������� (�� ������� ���:����

'���� ��������� ���� �� �������� �( ������ ��(�������� ���� � ��;����� ��'� ����

�� �������� �( ������ ��(��������* + ���� ��'�� ��� �� �� �� �������� (���

���� ��� ��' ����� �� ���� �� �� ����� ������ ���'� '����� �� ������� ��� ����*

45

� %��� ���&���

��� '�������� �� � ##��& ����������

2� ��� ���� ��� �� ���� ������ �������� �� �� ��< �( �� ������ =������ ��

�� (������� �( ���,��� �������� ������ /> �� �� ������� ��� ��� �� ������ =�

����� ����� ������� '��� 4 ��������� ������ / ��� $ ��������� ������ 9> �� ��

���������� ���*

&� ���� ��������� �������� �� �� ������ ����� � �� �� ������� ��� ���

�� ���,�������)� ���� ����� � �� �� ���������� ���* + ���� ���� �� ����� ����

�������� '���� ��� ��� �� 0�� �� �������* �� �( ��� �������� �� �� � � �(

������ / =���������> '���� �� :��� �� "$ �� 3$ ������� �� �� ������� �� �������

4�@ ��� �� ��'� � :��� �� #$ �� ������� 3�#* +�� ' ����� �� ������ �( ��������

������� ' ���� �� �� 0�� �( ���� �� ������� '�� ���� ���� �� ����� �( 4 �� "*

2� ���� �� ��������� �� 0��� �( ������� ������� ' �������� � �'���(��������

���� =+& �����> '���� ���� �� � ���� �( 4 �� �� ������� '�� ���,��� ����

� ��� ����� ������ ������ �� �� ����� ���� ��� � ���� �( $ ����'��* 1����� '

���� �� ���,���. ���������� ����� �� ��< �( �� ������ � ������� � ����� �������*

&��� /2 �� �� /������ ������� ��������� ���������� (�� �� �������*

��� ����� ������ ����������

2� �� )��� ���� �( ��� �������� ����� �� ���,��� ���� ��'� ������� / ���

9* 9��� �� ������� ��� �� �������������� ���� ���)�� ���� ������ ������� ��

��������� '��� ������� ��������* 2� ���� �� � ���� �� �� ������� ��� '

���� �� ��< �( �� ������ =�** �� ����� ����� �( ��� �� ��� �( 43 �������� ������ />

������� � (�� �� �����3$ ������� ��� )�� ���� � �� ������� �������� �� � ,��� ��

�� ���� ������� =� 1���� 4>* !����� �� )��� ���' ���'� ���� (�� ��' �����

������ �� �� ��'� � ���� ������ / '��� (�� ���� ����� ������ �� �� ��'� �

���� ������ 9* &�� �� �� ��������� ���� �( (���������� (�� '���� �� ��< �(

�� ������ �� �������� �� �* + ��� ���� ��������������� � ���� ��� ��� � ������

'����� �������� �( �� ����� �( �������� �� �� ���� �( � '���� �� ������� �

�� ����� ������������ �������� ��� �� 1���� "*4" &� ����������� �( �� )��� ���

���)��� �� � �������*45

4"&� (��� ���� ' ��� �� (' ������ ���'� �( � �� �� ����� ����� �� ������� ������� �����( �� )��� ��� �� ���� ����* &��� �� �� ������� ���� �� ����� � B�������*C &� )��� ��� ������'�� ��������� ��� �� �������� ���� �( (����������*

45� 1����� 94 ��� 9" �� /������ 9 (�� ������� ����� (�� �� ���� �'� ���� ������� ����������*

4@

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-100 -50 0 50 100 150 200θ

Att

ack

Frac

tion

1���� "� A��� D������� =�����3$ &������>

&� ���� ��� �( �� �������������� ������� �� ���� 4 ���� �������� �� ���������

����������* 1���� 5 '�� ���������� � ������� ������ ���� (�� � ��� �����������

�� ���������� �( �������� ������ / (�� ��� ���* &� )��� ���������� ���� ��

���������� �( �������� ������ / �� �������� �� �� ������ ������ ��� ������ �� ����

���� �( �*4@

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

<0 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 >100x

Pr(A

ctio

n A

)

1���� 5� ���������� �( /����� / ��* � =�����3$ &������>

+ ���� ��� ���,������ ��������� �( ��� ����������.� ������ �� �� ������ ������

� ��� ������� ��������* + �� ������� ���� �:���� �� ������ �� 0���*43 &�4@� 1����� 95 ��� 9@ �� /������ 9 (�� ������� ����� (�� �� ���� �'� ���� ������� ����������*43+��� � ����� �������� '���� � ��� ���������� ���� �� ����� ����� �( �� ������ �������

' �� � ����� ���������� ���� ���� �� �������� �������� '���� ����� �� ����� ������� (��� � )���

43

������ �� ������ �� &��� 222*

&��� 222*

���� 4 2��������� �� D�������� =����� ���� (�� /�� �������>

1 2 3Private signal, x -0.007*** -0.007*** -0.001***

(0.0001) (0.0001) (0.0001)Cost of action A -0.003*** -0.0004**

(0.0003) (0.0002)Belief 0.067***

(0.0010)R2 0.58 0.59 0.84No. of observations 6000 6000 6000Note: Robust standard errors in parentheses. Regressions include group,subject, and round fixed effects. For sessions 5 and 6, only the no-new-information treatment data are used. Significance levels: ** 5%, *** 1%.

Dependent Variable: Action

/�������� �� ������ 4 �� 0�� �( � �� �� ����� �( ������ �� ������ �� ��

���� ������� ��� ������������ �����)���� �� �� 4 ����� ���)��� ���* &��� 0��

������ ������ �(�� ����������� (�� ���� (������ ���� �� �� ���� �( ������ / ��� ��

���(� ����� �� ��< �( �� ������*

0��� �������� �� �� �� ���� �������� �( �� ������* � ��� ������ �� ���������� ���� ���,��� ������� �� ����� � ��� ����� � �� ��� � � �� � ���� � ���* &��� �� ����� �� ��� � ����� � �� �� ���������* 1�� � ����� ���������� ���� � ������� � �

������ ��� �� ����� ���� ���� ������ ���� *

&��� �� � ��� � ���������� ������� � ���������� �� ����� �� '����� �����(�������� =��������� ����>* &��� �� ������� ����� �� !� �( �� ��� � �� �� ���������� ��������* &� ��� ������ ���� ���� �� ��� �������� �� �� �� �� ���� �������*

2� ���� �� �� �� �������� �������� ' �� �� �)� � �������� ���� ���� ����

��� � � �( ���� �� � �( ���� ��

'�� ���� � ����� �� ��� '��� ������ � �� � ������� �� � ������ ������ � ��� � � ������ ��� '��

�� ���� ��:����� ����� �� ���� �� �� ����� (������� (�� � �� � ������ ������ <��* 2� ���� ��� ����� � �� �����'� �������� ��� �� � � (�� � )�� � �� ����� �( �������� �� ������� '���� * &��� ���� ���� �� ������ � ���������� ������� (�� � )�� � * &��� �� ���'� �� �� ����������������� ������*

&� !� �( �� ��� � �� �� ����� �� ���������� �������� '��� � :��������� ������ ������������� ���� '��� )�� � =��� �����> �� ���������� � ���������� =46?$>* 2� ��� ���� ����������� ������� ����� �� ����������� ����� �������� �� ������ (�� ���� ������* 1�� ������� ������� ����������� ����� �����:� � &��� 9�22 �� /������ 9*

G�� ���� ���� �� ����)������� �� &��� 222 ������ ����� ��� ����� )�� 0���* + ��� ���� ������������ ���� ������ ����� ����� ��� ���,�� )�� 0��� �� � ��������� ����* &� ������ ���� ���� ��� �� ������ �� &��� 9�222 �( /������ 9*

4#

+��� ���,��� �� �� � (����'��� �������� �������� '���� �������� �� ����

������ ��������� �( � ���:� :��������� �� �� )��� ����� ' ��� ���� ��� �����

�� ������� �( ����� (��� ��������� �� �������� �( ��� ��������� ��� ���������

��� �� �� ��������� ����������* 1�� �� ����� �( �� ������ �( �� �������

' ��� ����� ��������� �( ������ �� �� ������ ������ � �������� ������� ����� (���

��� ��������� ��� )�� �� ���������� ������ ������ ��� (�� '���� �� @3���� ���

�������� �� ������� ����� '�� ��������� � ����� ����� ��� ��������� � �����

������* 1����� ' ����� ������ ������ �� �� �� �� ������� ���������� ��������

(�� �� ������* + ��� �� :������ =4> ����� �� ������ " �� �� �� �������

������� �������� �� (�� �� ������* &��� 2E ������ �� ������� �������� ����

���� ��� ������� ��� �� �� ��������� ��������� �� ��� ��* ������ 3 �( �� ����

������ �� ������� �( ���,��� '�� '��� ���� �� (����'� � �������� ������ ��

���� ������������ :����������*

&��� 2E*

&������� ������ *

������ ���� �� �� �� �� ����� H����

&��������

�� � �� �� � �� � �� � �� � ���

4 " �� �� � �� � �� � �� � ���

5 @ �� �� � �� � �� � �� � ���

5 @ 3$ �� � �� � �� � �� � ���

3 # �� �� � �� � �� � �� � ���

+��� �� ��������� ��������� ������ � ����� ������� �� �� ���� �( ��������� ��

������� ��������� ����� ��� ������� '��� ����* ��� ������ ' ���� ���� ��

���,��� �� '�� �'�� �( �� ����� �� ����� (��� ������� �� ������� �� �� ��

��� � �� �������� �� ���� �����* +��� ����� ���� �( ������ ��� ��� � ������

0�� �� �� ������� �� ������ �� �� ���������� ��� �� �� ����� (��� �� ������ ���

������������ �����)���� ��;���� �� ���� �� ������ " �( &��� 222 �� �������� �( ����

0�� �� ����� ������ ���� �� ���� �������*

!��� ���������� �� ������� ��������� �� ���������� ����� ���� �� ������

���� ��������� (�� �� �����3$ ��� �����#$ ��������* &��� ������� ���� ���,��� ��

���� ��� �������� �� ���� ������� ���� �� ���� '���� ������ (�� �� ���������

�������� ��� ��� (�� �� ��'����� ���*

+ ��� �� �� ��������� �� ����� �� ��� �� ������ ����� �� ������ ������

������ �( ���,���* �� ��������� ����� ��� ������M ��� �� ���� �����������

4%

������ �� ���� ���� �� �� B�������C �� ������ ���� ���(� �� �� �� B�������C

�� ���(�M &� ������ �� )��� :������ ' ���� �� ������� ��������� �� ������

������*4#

0

20

40

60

80

100

120

0 10 20 30 40Round

Thre

shol

d

1���� @� �������� ��������� �� ��* ������ =����� ���� (�� ������� 4�@>

&� ������� ������� ��������� �� ��� ��� �����)����� '��� ����� ���� ��

)��� ����� ��� ������� ��� � ������ ��'��� ����* + ��� ���� � ���� �� �������

�( ��������� ��� ��� ����� '��� ������ '���� ������ ���� ���,��� �� ��� �������

(��� ����� �� �����*

D������� �� ����� :������ ' ��� �������� �� ����� �( ���,��� '�� ��� ���

(����' � ���������� ������ ���� ���� ������ ������* 2� ���� �� ������ ���

���,��.� ��� ������ ' ����� ���� ��� ���������� ���'� ���� ����� �� ����� ��

����� �������� �� � �� �� ��� ����� �( �� �������* /������� ���� ��� ���,��

����� ���� �����. (����' �� �������� �� ' ��� ��� '���� ���������� ������� ��

��������� '��� �� ��������� ��� ������ ������ �� ���� ��* 2� ���� �� ���'� ����

:������ ' ������ � �������� ��� ���� �� �� ��� ������ �� �� '���� �� ����� ��

���������� �������� ���� ��� �� �������� ���������� �( ���� ����� ���� ������� :���

�� �� ���� �( ��������� �* ���� ���� ���������� �������� ��� � �������� ���� '���

������ �( ��� ��� �( �� ������ ������ � �� ���' ��� ��� �(���� (��� ��������� ����'��*

+ ���� �������� ���� �� �� ������� B�������*C &��� �� � B������C '���� � ��

������� '�� � ���,�� ������� '�� � � ��� �� ��� ��� ������ '�� � � ���*

+ )�� ���� �� ����� �� ����������� 64 ����� �( ���� ���,��� (����'� �

������ ���� '�� � ��� ������ �� �� ������� �������� ��* 1����� 3 ��� # ���'

�� ����� �( B�������C � ����� (�� ������� 4�" ��� 5�@ �������� *

4#G�� ���� �� �������� �� �� (���� ����� �� :������ :������� �� =4> �������� ���� � ���

4?

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 10 20 30 400

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 10 20 30 40

1���� 3� ���������� �( B�������C

��* ������ =������� 4�">

1���� #� ���������� �( B�������C

��* ������ =������� 5�@>

&� )���� ���� ���' ���� �� ����� �( B�������C ������ �� ���������� ���

��� ����� �����)����� '��� �����* &� ��������� ���� ��� ��� �� �� �����

������ ������*4% &� ����� ����� ��� ������� �� (������� �( B�������C ������

������ ������*

��� %&�#�� ����������

����� ��(�� � )����(

�� (�� ' ��� ���� <� �� ���� (��� �� )��� ���� �( �� �������* 2� ���� ������

' '��� ������� �� 0��� �( ������� ������ ����� ���� �� ��������� ���� ���,��� ��

��� ���� �� ���������� ������ �� �� ����� ����*

+ )�� ���� �� ���'��� ���� �� ������� ��� ��� ��� �� �� )��� ���� ����

� ������ 0�� �� ���,���. ������� �� �� ����� ����* 2� ���������� ' )�� ���� ��

����� ���������� �( ������ �� �� ����� ���� �( �� ����'���(�������� �������� ��

���� ��'� ���� �� ����� ���������� �( ������ �� ���� �� �� �� ���'� �� 1���� %*

4%H���� �������� �� �����:�� �� )� � �������� ��� ������� ��� ���� ������� ���� ��;��������� �� �� ������������ �����)����� ��0��� (��� <��* � &��� 9�E22 �� /������ 9 (�� ��������������*

46

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Stage 1 Ave Prob of Action A Stage 2 Ave Prob of Action A

Pr(A

ctio

n A

)

1���� %� /���� ���������� �( /����� / (�� �� G��G'�2�(�������� &�������

&� ��� ���������� ��� � ���'� (��� ������� �� �� �������������� ��������� �(

������ �� �� ������ ������ � ���� ��' ������ ����� ���� (�� ����� �� ��� �'� ���

��� ���� �� � ������� �������* &��� E ������ ���� ���� ��� � ������ ��� �����

������������ �����)���� 0�� �� ������ '���� ���� ���� �� ���������� �( ���,���

�������� ������ / �� ����� �� ' �� (��� ���� �� �� ���� �'�*4?

4?/���� � &��� 9�2E �� /������ 9 (�� ��������� ����� ����������� �����*G�� ���� ���� �� ����)������� �� &��� E ������ ����� ��� ����� )�� 0���* + ��� ���� ���

��������� ���� ������ ����� ����� ��� ���,�� )�� 0��� �� � ��������� ����* &� ������ ���� ���� ��� �� ������ �� &��� 9�E �( /������ 9*

"$

&��� E*

2��������� �� D�������� =����� ���� (�� /�� �������>

1 2 3Private signal, x -0.006*** -0.006*** -0.0008***

(0.0001) (0.0001) (0.0001)Cost of action A -0.0026*** -0.0005**

(0.0003) (0.0002)Belief 0.0655***

(0.0008)Stage -0.2307*** -0.2272*** -0.0399***

(0.0073) (0.0073) (0.0054)R2 0.62 0.62 0.85No. of observations 8820 8820 8820Note: Robust standard errors in parentheses. Regressions include group,subject, and round fixed effects. For sessions 5 and 6, only the no-new-information treatment data are used. Significance levels: ** 5%, *** 1%.

Dependent Variable: Action

1����� ? ��� 6 ���' �� �������� �� ����������� �� �� ������ ���� �( �� �����

(�� �����3$ ��� �����"$ �������� �������� *

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

<50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 >100 x

Pr(A

ctio

n A

)

First-Stage Probability of A Second-Stage Probability of A

1���� ?� ���������� �( /����� ��* � � ���� (�� �����3$ &�������

"4

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

<50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 >100 x

Pr(A

ctio

n A

)

First-Stage Probability of A Second-Stage Probability of A

1���� 6� ���������� �( /����� ��* � � ���� (�� �����"$ &�������

2� ���� )���� �� ���������� �( ������ / �� ��'� �� �� ����� ���� ������ �� ��

)��� ����* &��� ���'� ���� ���,��� ������ ��� �������� �������* -�'�� ��

������� 0�� �� ��� �� ������ �� �� ���� ������� '���� ������� ���� ����� �������

�� ��� ���� ��������� �� �� ����� ���� �( �� �������* G�� ���� ���� ��

�������� �� ������������ ����� �� �� ��������� ������� ��������� ���� �� ���� �(

������ / ��� �� ��������� 0�� �� ����������� �� ���� �'�*

����� *�� ���#����

2� ���� ������ ' ���� �� �� ��������� �������� ���� ����� �� 0��� �( ���������

�� ���,��� '��� � �' ��� ����� ������ ������ �� �� ����� ����* -� �� ����

������� ���� �� ������ ����� ������� �� ���� �'� ���� ���� �� �������� ��� ��

����� ����������� * 1���� 4$ ��������� �� ����� ���������� �( ������ / �� �� �'�

����� �( �� ������� (�� �� ����'���(�������� =GG2> ��� �� �'���(�������� =G2>

��������* G�� ���� �� )��� '�� ���������� ����� ��� �� ������ ���� ��������

���� �� ����� ���� ��� (�� '���� �� ������ ����� ���'� '�� ���' 4$$* &���

����'� �� �� ��� �� ������ ������� ���������� ��'� ��������*

""

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

NNI NI NNI NI

Pr(A

ctio

n A

)

Stage 1 Stage 2

1���� 4$� /���� ���������� �( /����� / (�� �� GG2 ��� �� G2 &�������

1���� ������� �� ����� ���������� �( ������ / (�� �� �'� ������� ���������� ��

�� )��� ����* &� ������������ �� �� ���� �� ��������� $*"3 (�� �� ������� '���

�� �' ��(�������� �� ���� �'� ��� $*"# (�� �� �� '��� �' ��(�������� �� ���� �'�*

+ ��� ���(�� ������� ���� � ���,�� �� �� �'���(�������� ������� '�� ���'�

�(�� �� ������� ����� ���� �� '��� � ������� � ��� ����� ������ ������ �� ��

����� ���� ��� ��� '��� �� ��� ������ ����� �� ����� ���� ��� ����� ����� �� �

������� (������ �� � ���,�� �� �� ����'���(�������� �������* ������ ��� ���� ��

���������� �( ������ / �� ����� ����������� �� �� GG2 ������� �� �� �������

�������� ���� �� ����� ����* -�'�� ' )�� ���� �� ����� ���������� �( ������

/ �� �� ����� ���� �( �� G2 ������� �� ��� ������������ �����)����� ��0��� (���

�� ���������� �( ������ / �� �� )��� ����*

+ ���)�� ���� ����� � ������� �� �������������� �������� �( ������ �� �� �����

���� �� �� ������ ������ � ��� �� �'���(�������� ������� ���� * &� ������

�( ���� �������� �� ������ �� &��� E2*46 &� ������������ �����)���� ��;���� ��

�� G2 ���� ���� �� ���� ���,��� �� ��� ���� �� ����� ������ / �� ���� �'� �(

�� G2 ������� ���� �� ���� �'� �( �� GG2 ������� '���� �� ��������� '��� ��

��������� ���������*

461�� ������� ����� �� ����������� ����� �����:� � &��� 9�E2 �� /������ 9*

"5

&��� E2*

���� " 2��������� �� D�������� =������� 3 ��� #>

DependentVariable: Action

Private signal, x -0.0021***

(0.0002)NI dummy 0.0842***

(0.0145)R2 0.20No. of observations 1395Note: Robust standard errors in parentheses.Regressions include group, subject, and round fixedeffects. Significance level: *** 1%.

1���� 44 ���'� �� ���������� �( ������ / �� �� ������ ���� �( �� ����� (�� ��

GG2 ��� G2 �������� '��� ���� �( ������ / �( #$* 1�� ���� ���� �� ���������� �(

������ / �� �� ����� ���� (�� �� G2 ������� ���� �� ���������� �( ������ / (��

�� GG2 �������* !����� (�� � ���� ?$ �� ���������� �( ������ / �� �� �����

���� �� �� G2 ������� ���� �� ���������� �( ������ / �� �� )��� ����*

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

<40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 >100x

Pr(A

ctio

n A

)

First-Stage Probability of A, NI and NNI Average

Second-Stage Probability of A, NNI

Second-Stage Probability of A, NI

1���� 44� ���������� �( /����� / ��* � � ���� (�� �� GG2 ��� G2 &�������

D���� ���� �� ���� ������� ���� �� �������� �� � ��������� :��������� ���

�� � ���������� �( �' ������� �� �� ����� ���� �( ��� � ��* 2� ���� �� ��� ����

"@

��������� ' ����� �� �������� ���� '���� ����' �� �� �����( ��� � �� �� ��� ��

�� ��������� ��������� (�� ��� ���� � �� � (�� � � �� ��� �� � ���* ���� ��� � �� �

��� )������ ������� �� ���� * -�'�� ���� ���� �� ������� �������� ��� �� ���

�������� ���� �� ���� ������� ���� ��������� �� ��� �����)� �� �� ���� =�� � � ��>*

����������� �� �� ������ )��������� �������� ���� ���� �� �� ���� ������� ����

�� ��������� ������ ����� �� ���:� :���������*"$

2� ������ �� ����� ������� ���� �� :���������� ���������� ����� �� ������

���� �� �,��� �� ���� ����� �( �� ������� �� �� �� ���,���. �������� �������*

-�'�� �� ����� �������� �� :��������� ��������� ���������� ���� ���� ��

���� �( ����� �������� ������ / �� ������������ �������� �� � ��� ���� ��������

������� ����� �� ���������� �( �������� ������ / �� �� ����� ���� '��� �'

��(�������� =������� �������> ������� ���� ���������� *

��� +��������& �� ,�������& �� -������

����� +��������&

�� (�� ' ��� ���'� ���� �� ���� �� �� ������� �� :��������� ���������� �( ��

���� F ��'�� ' � ���� �� ������� �( ��������� ���,��� �� ��� ��������

���� ������� �� ���� �� ������ ��� � ����� (���'����* 2� ���� ������ ' �� ��

��������� '���� �� ����������� ������ (��� ������� ���� �� ���������� ���� ��

�����. ���(� ��� '���� �� �����. ������� �� ��������� '��� ���� ���������� �(

�� ������� �( �����*

1���� ' ������ �� :������ �( ���������� � ������ �'� � ������* &� )���

� ������� ��������� ���� ����� ��� B�������C �� ��� B��� ��������� C ���� ����

���(� �( '��� ���� ����� '��� ��* &��� ������ �( ������� ��� � ������� �� �

B��� �( �����C ������ '�� ���,��� ������ ��� �� ��� ����� ����� ��������� ��

������ �� � ��� B(��C (�� ��� �����* &��� ������ � ������� �� ��� '����

�� ���� �( ������ / �� ������� �����* /� ��������� � ������� �� ���� ����� �� ���

��� B�������C ���� ���� ���(� �( '��� ����� '��� �� ��� �� �� ���� ���(� ���� ��

��� �������� ���� �� ���� �������*

D���� ���� �(�� ������� �� ������ �( �� ������� �� � ���������� ���� '

��� ��� ���,�� ����� ��� �� �� ���( �� �� �� ����� �( ���� ����� ����� ��������

������ /* 1���� 4" ����� ��� ���(� ����� �� (������� �( ����� �������� ������ /

=�� ������ (�������> ��� �� ��������� �������� (�� ��� ���(� ��� �� �� �� ����

"$2( ��'�� �� ���� '� �� � ����� �� ������ )�������� ����������� �� ���������� (���� ����� ���� '���� �����*

"3

��� ���� (�� �����"$ �����3$ ��� �����#$ ��������* &� ��������� �������� �� ��

(������� ����� ��� � �

��������

���� '�� �� �� �� ��������� �������� ����� ��

������ "*4* &��� �� ����� ��� ���� �� ��������� �( �� ���� �( ����� �������� ������

/ ��� � �� ���� '��� ������ �� '�� ����� ��� ���� ����� �� �� �� �������� ��*

&� ������ ������ ���(� �� � (������� ������ '���� ' ������ (��� �� ������ ����

����� � ���� �������� ��������*

0

0.25

0.5

0.75

1

0 20 40 60 80 100

x

Bel

ief A

bout

Fra

ctio

nC

hoos

ing

A

),( *xxg i)( ixg

0

0.25

0.5

0.75

1

0 20 40 60 80 100

x

Bel

ief A

bout

Fra

ctio

nC

hoos

ing

A),( *xxg i)( ixg

���� "$ ���� 3$

0

0.25

0.5

0.75

1

0 20 40 60 80 100

x

Bel

ief A

bout

Fra

ctio

nC

hoos

ing

A

),( *xxg i)( ixg

���� #$

1���� 4"� 9��(� ����� 1������� �( /���� �������� /����� / ��* &��� ���������

2� ������� @*" ��� @*5 ' (���� ���� �� �����. ������� �� ��� �������� ����

�� ���� �������* 1���� 4" ���'� ���� �� ���,���. ����� �� ��� �������� ����

������� � �� ���� �� �� �����3$ ��� �����#$ ��������* =&� �����. ����������

�( �� ��< �( �� ������ �� ����N�� �� ����� �( �� ��������� ��������� (�� �����

����� �( ��*> &�� �� ����� �� ���� �������� (�� '���� ' )�� ��� ��������

������� ������ �� ���� * -�'�� �� ���(� �� �� �����"$ ������� �� ��� ��

�� � ���� ��� �������� ���� �� ��������� ���������* ������ ���� �� &��� @

�����. ������� �� ��� ��� �������� ���� �� ��������� ��������� �� �� �����"$

"#

�������* G�� ���� ���� �� ����� �� 1���� 4" ��������� ���� �� ������ ���(�

�� ��� ������� �� �� ���������� ������ ���� �� ���� ������� ���� ������ �� O����

���� ����� ���* &��� (���� �( �� ������ ���(� �� ����� �� ��� ���� ��������*

1���� 4" ������� ������ ������� (�� �� ��' ���� �� ���,��� �( ��� ��������

�� ��� ��� ��������� ��� �� �� ������������ ��� ����� �� �� � �������� ������

�� ���� ���� �������� ����������* -�'�� ' �� �� ������ ����� ��� ������

�����* 2� ���������� ' ��� ��������� � ����� �( ���������� ���� �� ��� ���� �(

�� ���,���. ���(�* / �������� ���� '��� ����� ������ / �( ��� ��� �( �� �����

�� �0 (��� �������� �� �� ����� ���� �� ����* -�'�� (�� �� ��� �( ���� ����������

' '���� ������� �� �� ���' �� ���,��.� ���( ����� �� ���������� �( � ������(��

������ ��� ��� �� �� ���( ����� �� ��< �( �� ������*"4 &��� ��'�� �� ��� � :������

� � ����� ���,�� �� ������ �( ���'����*

&��� ' ������ �� ���� ���� ������ � ��������* 2� ���� '���� (�� �� ���,�� �

'��� ������ �� ' ���� (�� � ���� �� ���� ������<� �� ������� ��'� �� �'� �����

�� 1���� 4" (�� ��� ���� �������* &� �������� �� �� �� ���� �( � ���� ���������<�

���,�� �.� ���( ����� �� ��< �( �� ������* &�� ����� �� ������ ������ �� (��

��0��� ����� �( ��������� �� 1���� 45*

0

20

40

60

80

100

-200 -100 0 100 200 300

Cost 20 Cost 50 Cost 60

ix

ix

1���� 45� &�������� �� (�� ��0��� ���� ��������

&� ����� �( �� ����� '��� �� ���� �( ���������* +����� ��� ���� �������

�� ������� '��� �� ���������� ������ ������ ��* &��� ������� ���� ��� �� � �������"4&��� �� �� ������ ��������� (�� ���������� �� ��� ������� �� ����� ������ / �( ��� ��� �(

��������� � � ������

���� �� �* D���� ������ �( ��������� �� �������� �� ����� ��� ��

�� ��������� �( ���� '�� ���� � ��� �� �( ��

� �( � *

"%

����������� ��'� �� ���������� ����.� ���� �� ���(� ����� �� ������� �( ����� ���

�� ����.� ��������� ����� �* /���� '��� � ���� ������ ������ �� ���� ����� ��

�� ��� �������� �������� =�** ��� � ����� ��>*

���� ���� �� ' ������ �� ������������ ���� �( �� ����� :������ =4>* 1�����

�� ���� �� � '���� �������� '� �������� ' �� �� (��� ���� � �������� ���� '����

��'� � ����� ������ / �( ��� ��� �( ���

�� ���� � ������

�� � �����

���� � ��� �����

������ 9 ����'��* H���� ���� �������� ' )�� ���� ���,��� �� �������� �� %#*6?

����� �( ���� �� �� �����"$ ������� 6$*%6 ����� �( ���� �� �� �����3$ �������

��� ?6*@@ ����� �( ���� �� �� �����#$ �������*

&� ���� ����� ���� �� �� �,�� �� � ������� ���� ���,��� �� ������ B����

����C �� ������ B��� ��������� C ���� ���� ���(�* &� ���� ������ ���� �� ���,���.

���(� �� ���� ��������* -�'�� ���� ��� ���(� ����� �� ��� ��� B�������C

=�** ��� B��������� C> �� ?# ����� �( ���� �� �����*

����� ,�������&

������ ' ������ �� ���� �( ��������� � ������ '���� �� ���,���. �������

�� ��������� '��� ���� ���(� ����� �� ��< �( �� ������* 2���� ' '���� ��� ��

������ ��� ����������.� ��������� �( �� (������� �( ����� ��������� ���� ��� �� ��

���������� ������ � �� �� ������ (������� �( ����� ��������� ���� �* -�'�� ��

����� ����� �� ��� �������� =���� �� ' ��� ��� ���� �� ������� ������ ������� �

��� �>* -�'�� ' ��� ���� �� ��' �( ������ ���������� �� ���� �� ������ �

����� �( ��������� * 2� ���������� �� ���� ���� �� ���� �� (����'��� :����� ����

���� � �� ��' �( ������ �����������

������� � � ����������� =3>

&��� ' ��� ��� '���� ������� �� ��������� '��� ���������� ���(� � ���������

�� ������ ��� �� �(������ ���� �( :������ =3>* &� �(������ ��� �( :������ =3> ��

�� ��������� �( �� ������ (������� �( ����� �������� ������ / '���� ' ������ �

���������� ��������� �� ��< �( �� ������ ���� ' �� (��� �� ���� '����� � ��

������������ �( �* �� �� ���������� ��� �( =3> ��������� �� �� ���,��.� ���( ����� ��

(������� �( ����� �������� ������ /* &� ������ � ����������� ' ����� ���(� ������

�* &��� �� ' ������� ��������� �� (������� ������ '����� � �� ������������ �(

�* &��� E22 ������ �� ������ (��� ���� ���� ���*

"?

&��� E22*

&�� �( ��������� �� ���� 4*

CostTreatment

Average RealizedAttack Fraction

Beliefs AveragedAcross x

20 0.5857 0.535450 0.5799 0.534760 0.5071 0.4615

&� ��������� �� ���� ���� ' �� ������� ���� (�� �� ��� ���� ��������*

G�� ���� �� ����� ������ �� ������� " ��� 5 �( &��� E22 �� ���� �� �� ������

'���� ���� �� ����� ���� ������ ������� �� ��������� '��� ���(�*

G�� ' ��(��� � ��������� ��� (�� �� ����� ���� �( �� ������� =&���

E222>*

&��� E222*

&�� �( ��������� �� ���� "*

Cost & InfoTreatment

Average RealizedAttack Fraction

Beliefs AveragedAcross x

20 NNI 0.0227 0.061050 NNI 0.0769 0.210160 NNI 0.0461 0.150560 NI 0.1248 0.1484

G�� ���� ��� �� � ������ �� ������������ �� �� )��� ���� �����. ���(� ��

������� ��� �������� ���� ���� ������� '��� �� �� ����� ���� �����. ������� ��

��� �������� ������ �� ���� ���(� ������� �� �� ��������� �������� '��� �� �'

��(��������* &� ���,��� �� �� ����� ���� ����� '��� � ������ ��� ������ ������

������ '��� �� ������� ���� ��������� * &�� �� ���� � ��0��� ��'� ��

�'���(�������� ��� �� ����'���(�������� �������� '����� �� �����#$ �������*

&� ���,��� ���(� �� ����������� �� ��� ��� ������� �� ����� ��0���* /����

��� ���� ��� ��������� ���� ������� �( �' ��(�������� ���� '������ �� ,��� �� ��

���� �������*

. ,��� ���

&��� ���� ��� � ��������� ������� �� ����� ��' ������� �0��� �� � ������ �(

������������ �� � ���������� ���������* &� ���� ���� �( ���� ���� �� �� ���������

"6

�� ���������� ��'� �� � ������ �( ���������� ����� �� ���� �( �� (����������

��� �� � ������ �( ������������* 2� ���������� ' (���� �� �� 0��� �( B�����

���� �������C =������� ��� ��� (��� ���� ���� �������> ��� B������� �������C

=������� � ������� ������ ��(�������� (��� ������ ������>

&� ��������� ����� �������� �� ��������� ���������� �( ��� ����* 2�

�� )��� ���� �( �� ������� ' )�� ���� �� ��< �( �� ������ �� ������������

�������� �� �� ������� �( �� ������� (���������� � ��� ���� �� �����. ��������

�� �������� �� ���� ���������� ������ �������* 2� �� ����� ���� ' )�� ����

�� ���������� �( ������ �� �����)����� ����� �� �������� '�� ���,��� ���� ��

���������� ������ ������ =�������� '��� B��������C ��� B������� �������C> ����

�� �������� '�� ����� �� ��� ���� �� ���������� ������ ������ =�������� '���

B�������� �������C ��� >*

-�'�� ' ���� ����� ���� ���,��� ������ ���� ����������� �� ���� �������

�� ���� �����* 2� �� )��� ���� �� ������� ��������� (����'� � �� ���,��� ��

����� ���� �� ��������� ��������� �� �� ��������� ��������* !����� '��� ��

���� �( ��������� ��� ����� ���,���. ����������� �����)����� �� �������� �� ���

�� ���� �� �������� �� �� ���� �������* 2� �� ����� ���� �� ������� 0�� ��

��� �� ������ �� �� ���� �������*

2� ���� �� ��������� �� ����� �( ���� ������� �������� ������� ' ��� �'�

� ������* &� )��� ������ ���� �� ���,��� ��� B�������C �� ��� ��� ���������

���� ���� ���(� ����� �� ������� �( �����* &� ����� ����� ���� ����� �� ���

��� B�������C �� ��� ��� ��������� ���� ���� ���(� ����� �� ������� �( �����*

&��� ��� �( �� ���� �( ������ ���� ����� �� � ��(�� ���� �� ��� ����� �������

�� ����� � �� (�������� �( ���������� ����� ���� ��� ��. �������* + )�� ����

����� �� ��� �� �� ��� B�������C �� ��� ��� ��������� ���� ���� ���(� �����

�� ������� �( ���� ���,���*

&��� ���� ��� � ����� ����� ����� ���������* ����������� �� (���'���

��� � ����� �� ��� ��� ���� ,��� �'� ������ �� ���� �� ��� ��� ����� ��

�� ������ �( �����* /� ������ ������� �( ���� ��������� (���'��� �� '���� �

��������� �� � �( ������������� ��� � � �����)���� ��� (�� :��������� ������� �� ��

� ����� ������ ��� ������ ��� ����������� ������� �� ����������*

1����� ' )�� ����� ���� �����. ���������� ����� �� ������� �( ����� ��

���� �������� ������ �� ���� * &��� � ������� ������� �( �� ���� ��� ��

������ �������� ��������� ������ (�� ���� ���� ����������� ��� ������������� ���

���� ��� �����* �������� �� ��������� �������� �� ���� �������� �� ���(�� ����

�� � � (����(�� ��� �( ������*

5$

+��������

P4Q /������ �����!����� -��'�� ��������� ��� /�������� ����� ="$$#>* B� �

����� ������ ���� �( D��� ������ ������ !���������� ��� &����� �( /��

�����*C ���������� ����������

P"Q /������ �����!����� ��� 2��� +�����* ="$$#> B����� ��� ������ 2�(�����

���� /��������� !���������� ��� E�������� *C ������ ����� ��(�' 6# =3>

=�����>�4%"$�4%5%*

P5Q /����� /���'* ="$$$>* B���������� �( !����� ��� ����.� RD�������� !������

�:�������� �� !����������� !�������.*C G������� 9���� �( �������� D�����

��������� ������*

P@Q 9������ 9��� -* =4663> �������� ����� �� ����� ,���* J��� +�� S ����*

P3Q 9����� D����* ="$$5>* B��������� +������ 9������ &� ����� &����� � ��

R&:���� �0��. �� �� R9��<����� ��<.*C "$$5 ������ 2������� ���(���*

P#Q 9�������� !����� A* ��� J��� !����� ="$$@>* B����� ����� &��� ���

���������*C ���������� -��� ������ H� 9��� *

P%Q ������� /������ G��� D������ ��� D�� /����� ="$$5>* B�:��������� ��

������ &����� 2������� 2�(�������� �� ������������ ����� /� ����������

���� *C ���������� ���� G�* #$4 H��������� ����� 1���� 9�������*

P?Q �������� -��� ��� ���� ��� ���� =4665�>* B������ ���� ��� �:��������� ��

������*C ��������� #4 6?6�4$4?*

P6Q �������� -��� ��� ���� ��� ���� =4665�>* B�:��������� ������� �� ���� -���

����C �� -������ �� .��� ������ �* � A* 9����� /* A����� ��� �* &���*

�������� !/� !2& ���� "5%�"35*

P4$Q ���������� ��� * =46?$> B/��� ��� �( ��������� '��� K��������� ����*C ��(�'

�� ����� /���� @% ""3�"5?*

P44Q ����� ���������* =4666>* B������������ D��� �'�����*C ��� 0�������� 1���*

��� �� ����� 44@=5> ?#6�6$3*

P4"Q ����� T���+��� ��� ����� 1������ ="$$#>* B��������� /������� / ������

��� ���� �� ���������� &��*C +������ ���� ���* �( ��������� H������� �(

����(����� ����� ���<*

54

P45Q ����� D����� +* �J��� ������� E* 1��� �� D���� ��� D��� &����� +*

=466$>* B������� ������� �� ������������ ����� ��� ���������� D�����*C

������ ����� ��(�' ?$ =4> =!����>� "4? 8 55*

P4@Q ����� D����� +* �J��� ������� E* 1��� �� D���� ��� &����� +* D���*

=466">* B������������� �� ������������ ����*C 0�������� 1������ �� �����

4$% ="> =!� >� %56�%4*

P43Q ������� ��������� �������� 9������ ��� G����� D������* ="$$5>* B2������

������ ����� �( ��� D���� ��� !���� -�<���� / !��� �( 2!1.� ����� ��� 1��

����*C G9�D +������ ����� 4$4"3 G������� 9���� �( �������� D����� 2��*

P4#Q A������ 1����* ="$$$>* B&� /���� 1�� ��� D������ E����� 1������� ������ ��

-�' ����� �� &��������� 2������������ *C G9�D +������ ����� %?$% G�������

9���� �( �������� D����� 2��*

P4%Q 1����� /� * ="$$@>* B�������� ����� ��� ��������� ������ 2�����

��� ����� A��� ��� !��� ���*C -���( ������������ ��� ��� �����

�����NN'''*)���������*���N�N�������N��U�"565N��U@U4##N��U44@#54#?#N

P4?Q �������� 2�� ��� /� ���<��* ="$$4>* B��������� �( ��(�1��)����� 1��������

����� �� �� ������)������ �( 2������� ����(�����*C '������ ���� ��� H�����

��� ��� &� /��� H������� *

P46Q ������ �����* ="$$3>* B2�(�������� ��� �� ����� �� /������� *C '������ ����

GTH ����*

P"$Q -������ 1���� G��� D������ ��� ��� ����(�� ="$$@>* B&� &��� �(

������ ���� �� &��� ���������� /��� ��� �( ������������ ���� '��� ������

��� ������ 2�(��������*C ��������� %" =3> =������>� 43?5�4366*

P"4Q 2����������� !����� 1���* ="$$$>* D���� (��� �� /���� ������ ��� �� D��

�( �� 2!1*

P""Q A������ ���� D* =46%6>* B/ !��� �( 9����� �( �� ���� �����*C 1������ ��

������ 2����� ��� %��!�� 44 =/�����>� 544 8 "3*

P"5Q !����� ����� ��� - �� ���� ����* =466?>* BH��:� �:��������� �� � !��� �(

��(�1��)����� ������ /������*C ������ ����� ��(�' ?? =5> =J��>� 3?% 8

6%*

5"

P"@Q !����� ����� ��� - �� ���� ����* ="$$@>* B������������ D��� ��� �� ���� �(

���*C �������� ����� ��(�' @? 455�435*

P"3Q ����(�� !�����* =466#>* B!���� �( ������ ����� '��� ��(�1��)����� 1�����*C

�������� ����� ��(�' @$ =5 8 3> =/����>� 4$5% 8 @%*

P"#Q D���� J��������� ��� V���� E���* ="$$@>* B������������ 1������ ��� ��

��� �( ��� D����� +�� 9����� D���� /(�� /��MC '������ ���� H������� �(

&������*

P"%Q H�� 1��������� ="$$%>* B<�&�� I����� &������ (�� D�� ���� �������� ���

������� (���������� ���������� ��������� C ����������� ����� 4$=">

4%4�4%?*

P"?Q E�� -� �� J��� 9* 9������� D� ���� �* ��� D������ �* 9��* =466$>* B&����

������������ ���� �������� H�������� ��� ������������ 1�����*C ������

����� ��(�' ?$ =4> =!����>� "5@�@?*

55

/ �""���! �0 %���������

� �� ���� (�� ��� �( ��� :��������� ����� ��� �� ��� ���������� ������� ����

'��� ��� '��� �� �������* 1���� ' ���� (�� �� :��������� �������� �� ����� 4

������ (�� �� ������ ��� '�� ���� �( ��������� � :���� ��

=�� '�� �� ��� �� ��� �(

�� ��������� ��������>

��� � �������

�� � ����� =#>

������� =#> (�� ��� ' ��

��� � ��� ��� �� ��������

G�' ' ��������� ��� ���� �� ���� :��������� :������ ����

���� ����� �

���� �

��� ��

�� ���

�� ���

���� ����� �

���� �

���� �

�� �� ��������

� �

�� ���

�� ���

������� �� ���� ���� ������� ��� �� �� �(������ ��� �( �� �������� ' ��

�� ���� �

�� �� ���������� �

������������ �

�� �� =%>

+ ��� ������( ���� �������� (����� ����� �� (��� ���� �������� � � ��� ������� ���

���� ���� � �����

��� ��� ��

��������� � � =?>

������� (�� ��� ���� �� �� :��������� �������� �� �� )��� ����� ������ ���� ����

�� ���� '��� ������� �� �� )��� ����� =�� � �> �( ��� ��� �( � ���* ���� � ��������

����� ��� �� ���:� �( ��� ��� �( �� (����'��� ����������� ����� (�� �� ����������

�� � �������* &� � ���� ' �)�

��������� �� � � � ��� �� ��

��������� � �

G�� ���� ��������� �� �� ���������� ��� ��0������� �� � � ��� �� ��� ���� ���� �� � � ��� ���� �� � '���� ������ ���� ��� �������� ����� � �������� ��� �� ��������

5@

�����)� ������ � ��� ��* &��� ��������� ������* &� ���� ���:���� ��� ����

���������� ������

��� ��

������������� �

+ ��� ��'��� ���� ����� �� (������ (�� �� �������� �( �� ����� (��������

����

������� �

�������������

������������

'�� ���� �� �� �*�*(* �( �� �������� ������ ������������ ��� �� ������ � ����

=�**

���� ���� � ����

>* &��(��

���������� ������

��� ��

������������ � � �

� ��

��� � �

&�� �( �����

��� � � � � �� �( ��

��� �

�� �� (������� � �� ������� ��������� �� ���

�������������

����� �� '���� ������ � ���:� �������� �� =?>*

+ ��� �� �� 2������� 1������� &���� �� ��������� ���� �� �������� ������ ��

������������ �������� �� �* � �������� �� � �)�� ��

�������� �� ��

�� ���� �

�� �� ���������� �

� �

�� �� � �

������

� � � ���

� ������ �

� �����

�����

� �����

���������������

��

�� �����

������������

=6>

/� ' ��� ���'� ���� �� �������� �( �� ����� �( �� �*�*(* �( �� �������� ������

�� ������� ��� ����� ��� ������� �����* + ���� ���' ���� �� ����������� ��'�

�� ��������� �� �����

�� ��

��* &��� �� '��� (������� �� =6> �� ������ =�** ����

�� �>*

2�������� ��� �� �������� �� � ����� '�� �� ������ ������ ��� ��� � ���� ��� ��

(���������� �� ������� ����* �� �� ����� '�� �� ������ '��� � ������(�� ��

�� )��� ����� �� ������� �����* &��� �� �������� ���� �� ��'* 2� ���� '���� '��

�� ��� �( �� ����� �� ���� �� ����� �� �������� ���������� ����� ���� ������ ��

�������' �� ����* �� �� �� )��� ����� �� ��< �( �� ������ �� ������� �����*

&�� �� �� ����� ����� �( �� ����� �� � ��;����� ����� ������ ������ �� ������

����� �������* =&��� �� ����� ��� ���� ���������� ����� ���� ������ �� �����

�� ������ :��*> &��� �� '� ���� ������� ��� ��� �� ����������� *

+ ��� ���� ���( ���� �������� � ��� =��� ��� �( �� ������ ������ �� �������

53

����(������� ������ �� �� ������ ������ ���� �� �( ���� � �>* � �� ��������� ���

���� :������ =%>�

�� �

��

�� �

� �� ���������� �

������������ �

�� �

��

� �� ��

�� ��

���� �

�:������ ���� ������

��� ����

�� �

� ����� �

'���� �� ��� (�� ��� ���( ���� � � �� :�������� �( ���� � * &� ��� ���� ��0����

' ,��� (���� �� !���������� ����� ��������* &� !���������� ����� �� �� ����� �� ��

����� �( ��������� �( ������ ��� ������ ��(�������� ��������� ��)��� �� �� ���� '����

������ ��(�������� ����� ��)���� ����� ������ �� ������ ��(��������* 2� ��

������

������ ��

�� �� � � ��

1����� ' ���� �� 2������� 1������� &���� ����� �� ���' ���� ������ �� ���������

�� ��* �)�

!�������� �� � ��� ��� ��

���������� � � �

�������

� ��!�����!�����

������� �� ��������

�� �����

������������

=4$>

+ ����� ���' ���� �� ���������� �( =4$> �� ��'� � ������* � �� (���� �� ��

��������* &� ����� �*�*(* �( �� ������ ��� �� (����'��� ������ �

�������� � � �( ��� � ���

�������� � � �( ��� � ���

&��(�� �� ���� ���� (������� ' �� �� ������� ��� �'� ����* 2� ��� �� � ��

��' �� � ���� '���� ������ ���� ������ � ��� ����� ' ��� ����� ���� ���� ������

�� ������������ �������� �� � ��� ���� �������� � ���* &��� ������ ���� �������� � �

5#

��� �� �������� �( =4$> �� ������� =�** ������ �� �������� �� ���* 2� ��� ���� � �� ����

���� �� � � ��� �� ' ���' ���� ������ � ���* 2� ���� ��� �������� � � �� ��������

�( =4$> �� ������ =�** ������ �� ��������� �� ���* &��� ���'� ���� ������ �� ��������� ��

��

������� %�#���� ��( #���+ ��� ��������� ��� ����� � ���:� ������� :��������� �� �� )��� ����

'���� �� ���� �� ������ ��(�������� �� ����� �����* &��� ����� ��'�� ����

��� �� ���������� ���� ��� �� ���� ����������� :��������* + ��' ���' ���� ���

�� �� ���� :��������� ��� '��� �� ��� ���� �� :��������� �� �������� �������*

1�� ��������� ������� �� ������ ��� '�� � � �* &��� ����'� �� �� ������� ��

������ �� � ��� ���� �� ������ � ���� ��� �� ������� ��< �( �� ������

� ����

1�� �� �� � �� � � �� ������ ���� �� ���� �( ����� ��������� =��������

������ /> '�� =������ �� > ���� ������ ������ / �( ��� ��� �( �� ��* G�� '

�)� �� (�������

" ���� ��� � ����� ������� ��� ��� �

������ �������

'���� ������� �� ������ ��0��� ��'� �������� ������ / ��� �������� ������ 9

(�� �� ���� '�� ��� � ������ ������ �� ��� ����� �� ���� ����� �� ������ �( ���

��� �( ���� ������� (��� ���' ��* 1��� �� ����

������ � ��

���� �� � ���

���

" ���� ��� � � � ��������� � ����� ��

'�� � � ��� ��� �� �� ���:� �������� �� ���� ��� � �� �� :�������� �� ����� �(

�� � �� ��� �� ���� ���

G�� ���� �� �� ��������� �� �� '���� ������ ���� " ���� ��� �� ��������� �� ��* &��� ��

�� ��� �������� �� ���� ����� �� �� ����� �� �� �0 (��� �������� ������ /*

1�������� " ���� ��� �� �������� �� ��� �� ����� �� ������ ������ �� ��'� ��

����� �� �0 (��� �������� ������ /*

G�� ��� ���� " ���� ��� �� ���������� �� �� ��� �����)� " ���� ��� � � � � � � ��

�� � � ��� " ���� ��� � �� � � �� �� � * + ��� ���(�� �)� � (�������

5%

#��� ���� ���� �� � #� ��� �� �� ���:� �������� �� " ���� ��� � � '��� ����� �� ��

&��� �� '�� ����� $ �� � ����� ������ / �( ��� ��� �( ��� �� ���� � )��� ��

������� �� ����� ������ / �( ��� ��� �( ��� � #� ���* ���� " ���� ��� �� ���������� ��

���� �������� �������� �� �� ��� ��������� �� �� �� (������� #� ��� �� ����������

��� ��������� �� ��* 1����� ��� ���� #� ��� ��� � ���:� )�� ����� ��� � #����� ���

���� )�� ����� �� ���� �� �������� ��� �( �� ���:� ������� :��������� ���� '

���������� �� ������ "*4*

G�' ��������� � �:��� ���������� '��� ���� � � ��� ���� � #�������� (�� ���

% � �* 2� ���������� ������ ������ � �� �������� ��

������ � ������ ��� �� ������������

' ���

" ���� ������� � � � ��������� � ��������� ��

��� ����

���� � ������ ��� �� ������ ����

&��� '��� ���� � � ' ��� ���� � � ���� � ��� �� ����� � ���� ��� �� ��* �����

�� �:��� ���������� �� ��������� ��� �� ������ ���� � ���* -�� �� ������� ��

��� ��* 9 ��������� �( #��� �� ����� �� ���� � � )�� ����� �( #* 9�� ' ���

����� ����� ���� #��� ��� � ���:� )�� ����� ��� ���(�� �� � ���*

G�� ��������� � �:��� ���������� '��� ���� � � ��� ���� � #�������� (�� ���

% � �* G�� ���� �� �:��� �� �������� ��� �� ������ ���' � ���* -��

�:��� ���������� ������� �� ��� ��* 9 ��������� �( #��� �� ����� �� ���� � �

)�� ����� �( #* 9�� ' ��� ����� ����� ���� #��� ��� � ���:� )�� ����� ���

���(�� �� � ���*�

5?

1 �""���! -0 ������ �� ��( ���

&��� 9�2*

��������� ����������*

Sessions 1-4Cost 20

Sessions 1-4Cost 50

Sessions 5-6No New Info

Sessions 5-6New Info

Mean θ 73.48 64.40 77.78 74.10

Min θ -73.83 -92.73 -107.48 -49.06

Max θ 208.46 188.30 256.30 256.68

Mean x (Stage 1) 73.37 64.45 77.80 74.25

Min x (Stage 1) -82.55 -106.92 -128.23 -71.84

Max x (Stage 1) 220.85 201.84 277.64 281.59Mean # AttackersStage 1 9.16 8.89 6.88 7.18Mean # AttackersStage 2 1.28 0.89 0.50 1.94Mean Belief (Stage1) 8.57 8.35 6.62 7.03Mean Belief (Stage2) 1.76 1.58 1.08 2.71% SuccessfulAttacks (Stage 1) 0.57 0.54 0.43 0.41% SuccessfulAttacks (Stage 2) 0.019 0.00 0.00 0.021Median ComfortLevel with Stats 4 4 4 4Number ofSubjects 120 120 60 60

56

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-150 -100 -50 0 50 100 150 200θ

Att

ack

Frac

tion

1���� 94� A��� D������� =�����#$ &������>

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-150 -100 -50 0 50 100 150 200θ

Att

ack

Frac

tion

1���� 9"*� A��� D������� =�����"$ &������>

@$

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

<0 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 >100x

Pr(A

ctio

n A

)

1���� 95� ���������� �( /����� / ��* � =�����"$ &������>

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

<0 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 >100x

Pr(A

ctio

n A

)

1���� 9@� ���������� �( /����� / ��* � =�����#$ &������>

@4

&��� 9�22*

���� 4 2��������� �� ����� D�������� =����� ���� (�� /�� �������>

1 2 3Private signal, x -0.1046*** -0.1064*** -0.0603***

(0.0100) (0.0104) (0.0091)Cost of action A -0.0306*** -0.0115*

(0.0046) (0.0065)Belief 0.6842***

(0.0511)Pseudo R2 0.74 0.75 0.91No. of observations 6000 6000 6000Note: Standard errors in parentheses. Regressions include groupand round fixed effects. For sessions 5 and 6, only the no-new-informationtreatment data are used. Significance levels: * 10%, ** 5%, *** 1%.

Dependent Variable: Action

&��� 9�222*

���� 4 2��������� �� D�������� =����� ���� (�� /�� �������F ���,�� 1��� �0���>

1 2 3Private signal, x -0.0065*** -0.0066*** -0.001***

(0.0001) (0.0001) (0.0001)Cost of action A -0.0026*** -0.0004**

(0.0003) (0.0002)Belief 0.0668***

(0.0010)R2 0.58 0.59 0.84No. of observations 6000 6000 6000Note: Robust standard errors in parentheses. Regressions include group,subject, and round fixed effects. For sessions 5 and 6, only the no-new-information treatment data are used. Significance levels: ** 5%, *** 1%.

Dependent Variable: Action

@"

&��� 9�2E*

2��������� �� ����� D�������� =����� ���� (�� /�� �������>

1 2 3Private signal, x -0.1052*** -0.1078*** -0.0614***

(0.0090) (0.0096) (0.0097)Cost of action A -0.0339*** -0.0148**

(0.0044) (0.0064)Belief 0.7079***

(0.0485)Stage -1.6341*** -1.5964*** -0.8440***

(0.1157) (0.1145) (0.1785)R2 0.75 0.76 0.92No. of observations 8820 8820 8820Note: Standard errors in parentheses. Regressions include groupand round fixed effects. For sessions 5 and 6, only the no-new-informationtreatment data are used. Significance levels: ** 5%, *** 1%.

Dependent Variable: Action

&��� 9�E*

2��������� �� D�������� =����� ���� (�� /�� �������F ���,�� 1��� �0���>

1 2 3Private signal, x -0.006*** -0.006*** -0.0008***

(0.0001) (0.0001) (0.0001)Cost of action A -0.0026*** -0.0005**

(0.0003) (0.0002)Belief 0.0655***

(0.0008)Stage -0.2307*** -0.2272*** -0.0399***

(0.0073) (0.0073) (0.0054)R2 0.62 0.62 0.85No. of observations 8820 8820 8820Note: Robust standard errors in parentheses. Regressions include group,subject, and round fixed effects. For sessions 5 and 6, only the no-new-information treatment data are used. Significance levels: ** 5%, *** 1%.

Dependent Variable: Action

@5

&��� 9�E2*

���� " 2��������� �� ����� D�������� H���� =������� 3 ��� #>

DependentVariable: Action

Private signal, x -0.1428***

(0.0199)NI dummy 0.7783*

(0.4518)R2 0.67No. of observations 1395Note: Standard errors in parentheses.Regressions include group, subject, and round fixedeffects. Significance level: * 10%, *** 1%.

&��� 9�E22*

/��������� �� D�������� �( /���� 1������� �(

!������ �� D�����

Sessions 1-2 Sessions 3-4Round*Cost -0.0024 -0.0011

(0.0019) (0.0021)Constant 0.1148** -0.071**

(0.0261) (0.0044)R2 0.04 0.01No. of observations 40 40Note: Robust standard errors in parentheses.Significance levels: ** 5%, *** 1%.

Dependent Variable:Average Fraction of Mistakes

@@