· pdf filefinite precision of private information precision of private ... 0 1020 3040 round...
TRANSCRIPT
������������ ��� ������ �� � ����� ������ ��������������� �������
���� ����������
������ ������� �� !" ##$%���� ������� ������ &'" ##!
��������
(��� ���� ��� � ��������� ������� �� ��� �� ���������� �) � � ����� ��������� ������ �� ������ �� ��)*)��+����� ����� �) ��������� �������, (� ��� ����-� ����� ��� � ���� ����� �) ���������� ��)���� ����� ������� -���� �������� � ������ .��, /� �� +��� ����" �� .��������� ��0 �) �� ������ �� ���������� ���� �� ����� ��� ������� �) �� ������ .�� ��� �� �����1 ���� �) ���������,/� �� ����� ����" �� ���-��� ���� �� ������ .�� ��� ������� �� +���*����������� ������ �� ������� �� ������" ���� ��� ���� � �- ������ �� ������� ��� �) ����� ���� �- ��)��������, ��� ��������� ����� �������� ��� �����*���� ���������� �� ���� �����, 2�-��" - ���� +�� ���� �� ���3��1� ������� ������ �������� ������ �� �� ���� 1� ����������, 4 )����� +�� ���� �� ��������������� �� ������� ���� )��� �� ����������� �) ���� ���)� ����� �����1�������,
�/ �� ������� ����)�� �� ����� %�� )�� ��� ��������� ��������" ���������� �������" ��� ��� �� ����������� ���������� �� �������, 2 ���� ������� �� ������� ��� �� +������� ������� -������ -�������� ���� -���� ��� � �������, / �� ������ �� � �������" ������ 5������" )�� ��� ���" ���)���������" ��� ������� ���������� ���� ���3��, / -���� ���� ��� �� ����� � �������" ����� 5������"������ 6����" %������ ����" ������ 7����0" ��� �� ������������ �) �� �/( ������������� ��� ���� +�� ������ )�� ������� ������� ��� ����������, %����� " / -���� ��� �� �����-��� �� ���������� �)�� /������� )�� ��������� 8����� �� ��������� -�� �� ��������� ������� -� ��������, 5���������� ����� �� � �-�,
��������� �) ���������" ������������ /������� �) (������� " 9# ������� ����" �5 # '&:, *�������������;���,��,
'
� ���� ����
2� ���� ��� ��� ��� �� � ���'��� �������� �� ������ ���� 8 ������������ ����
�( �������� ��(�������� 8 ��� ���� ������������* 9 ������������� �������� ���������
���� �����. ������� ��� ����������� ��������� ��(�������� ���� ����� ���� ���
��� ��� ���� ��� ���� �� �� �( :��������� ������� ���� �������� ������
���������� ����� :��������� �������*
������ ������������ ���� ��� � ������ �� � ����� �( ����� ����������� � ���������
������ ������� � ������ �� � ���� ��� �� � ����* 2� �� ������ ����� �� ����������
���� ��� ����� ���� �������� �� ���� ������ * +����� �� �0��� ������ �
������ ��� ��� �� ������� ������ ������ �� ������� ���'�� ��� ��� ���� ���������
����� ��� �������*4 1�������� �� ���� ��� ������ ����� ��� �� ���������
�� (�:��� '��� �� �� ��� ��� �������� ����� ����������� ��� �������*
2� �� ���� ���� (��� ���� ���� �� ���� �( ������ ���� �������� ���� �� ��� ���
�� ��������� �� '� �� '���� ���� (��� ���������� ��� �� '� �� '���� ��
��������� �� ��0��� ������ �( ������*
+��� �� '���� � ������� �� ��� �� ���� �( ������ ���� '��� )�� ���� ����
����� �� � � ����� ��;���� ����* 1��� ���� ������� ���������� (���� ��� ������� �
�� ���� ���� ��� ����� �� ������ �( �������� ��������� �����:�� �� �����( ��
����* 1�������� �� �( ��� ����� �� �� ��������� �� �������� �( �����. :���������
��������* -�'�� �� �������� ���� �� ����� �� �� �� ������� ��� ��� ������� ��
��(�������� ����� ���������� �������* 1����� )�� ���� ������� ��� �� ��(��������
����� ����.� ������� ��� ������ �� ������� ���� ����.� ���������� ���� ���� ���
�������*
2� ���� ���� ' �� �� ��������� �������� �� ���� < �����. ������� ��� (���
������ �( ���������� ���� �� ���������� �( � ��������� ������ '���� ����'� �� ��
��� ����� �� �� ������ ����� �� ���� ��� ������ �( ������ �����* 1�� ���� '
������� ��� �������� �� �� ����� �( ����� ���� ������ �� (����'��� ��� (����� �(
������ ������ =4> �� ������������ ���� �( ������ ����� ���� ����� �� �� ������
41�� ����� �� 2������� �� /���� ������� ������ �( 466%�466? ����� �� ���'�� ��� �( ������ �� (��� (��� ?*" ����� �� 466# �� 4*6 ����� �� 466% �� �4@*" ����� �� 466?* &� )���� ��������� �� ���� �0��� �������� =2!1 "$$$>* 1�������� �� 2������� �� ������ ��� � � ��� ������� �������.� ���� ����� �( ������������� ��� '�� ����� ��� ������������� ����� ��� ������������������ )���� ��������� ��� �� �����* 2� &������� ��� ����� A��� ��������� ������� '� ������ ���������� ������ ��� �� ��'� (�� �� )��� ��� ���� ��������� �������<����� =1����� "$$@>*&� 0��� �( ��� ����� �� � ��� �� ������ �( ,��� �� ������* !�� ��� ��� �(�� ����� �����(��� �� ������ �( ������ �� ���� ������� ��������� �� ���� '����'�� ��������� =1���� "$$$ 9����� "$$5>*
4
��� �������������� �� �����. ������� ="> �� �������� �( ���������� ����� ��
����� ��� ������� (���������� ����� �� ����� ��� =5> �� (��� ���� �� �����.
���(� ����� ���� ������ �� ����� � ���� ����� �� ��� ��� ���* +��� ��
�������� B����� ��������C ����� �( ������ ����� =����(�� 466#> (���� �� �� )���
(���� �� �������� �� ������ ������ ���� =!����� ��� ���� 466?> ��������� �� ��
�����* !�� ����� /������ -��'�� ��� ����� ="$$#> ������� �� ����� (����
�( ����� � ������� �� ������ ���� (���'��� �� ���������� � ������*
������ ��� ������� �� ���� �� � �'������� ������� �( �� ����� ����* &�
���� �������� �( � ���� ����� �( ����� ��� �'� ������� ����� �� ������ :�� ���
�� ���������* &� ��� �������� ���� �� ����� ����� �� ���� �� �� ������ :�� ��
�� ����* 2� ��� ����� ��� ���� ��� ���� ������ �� ������ :�� =�** ��� �� ������
���� (����� ���� �����> �� ��� ������* &� �� �� �0 (��� ��������� �� ������� �( ��
������ :�� �� �������� �� ���� ����� ��� ������ ����'��* D��� ����� �� ����
������ �( ��� ��� �( �� ������� �( ����� ��������� ���� � �������� � � � ����
��������<� �� ������� �( �� ������ :��* &� ������� � ������� �� ��������
�( �� �� �0 �������� =�� B(����������C> ���� �� ��� ������ ���'���* 2� ��
)��� ����� ��� ���� ����� � ������ ������ ����� �* 2( �� ��� �������� ���� ��
����� ����� ����� �� �� �� ��� ���� ��� ������ ��(�������� ����� �*
&� ���� ������ � ����� �( �������������* 1�� ����� �� ��� � ������ ��
��(�(��)����� ���� ���� ������ ����� �� ��������� �����* 2� ��� ������� ����
����� ������ �������� '�� � ���� ��� (���� �� ������� � ��� �� ������ ���
�� ���� '�� � ���� ��������� ������ (���� �� ������ ���� �� ������� �� �� ��
'�� � ���� ����� �( ����<�� ���� �� ��� ������� �� ������ � ������� �������� ��
��� ���� ��������� �����������*
����� ������� � 2� �� )��� ����� =����> �( �� ��� ����� (����' �������
�������� �������� ��������� �� ������ :�� �( ���� ���������� ������ �� ���' � ������
�������� ��� �(������� (��� ��������� ����'��* &��� ������ ���� �� ��< �( ��
������ �� ������������ �������� �� �� ������� �( �� ������� (���������� � ���
:�������� �� �����. �������� �� �������� �� ���� ���������� ������ �������* &�
����� ������ ��������� �� �� )��� ���� �� ���� ���� �� ���������� ��� �������
��������� �� �������� �� �� ���� �( ���������*
&� ����������� ���������� ���� �� �� ��(�������� ��������* 2( �� ����� ��
��� ���� � ����� ������ ������ �� �� ����� ���� ��� ��� ��������� �� �� ���:�
:���������* &��� ����� ����� (��� �� (��� ���� ����� ��� ����� ���� �� ���
������� � ���� ������ ��� ��� �� (��������� � ���� � ���� ����� ='���� ��� �
��'� �� B�������� �������C>* �� �� ���� ���� �� �������� �� � ��������� :������
"
���� � �' ������ ����� ������� �( ����� ���� ��;����� ����� �' ��(��������
�� �� ����� ���� ��� ��� � ������� B�����C ������� ����� ����� �� ���� �( ��
(���������� �** �� )��������� ������ �� ��� ��� ��������* !���������� ���������
(��� �� ���������� ��'� �'� ������ �� ���'��� ���� �� ���� ������� ����
������� ��� �� ������� �( �' ������ ��(�������� ��� ��� =�** �� ���������� ��'�
B��������C ��� B������� �������C>* 2� ���������� B�������� �������C �����
�� ���������� �( ������ �� �� ����� ����� ��� B������� �������C ��� ��� � �'
������ �������*
����������� �� ��� � &� ��� �� ���������� �( �� ���� ' ������� ����� �����
���� �( � ��������� ������� '�� ' ��� �� ������� �( �� (���������� ��
���� �( ��������� ��� �� ����������� �( ��(�������� �� �� ����� ����*
2� �� )��� ���� �( �� ������� ' )�� ���� �����. �������� �� ���������
'��� �� ���� ���� ������� � ���:� :��������� �� ������� ��������* -�'�� '
����� ���� �� ���,��� ���� ��� ��������� ������ �� �� ���� ��������� (��
�� �������� �� '���� �� ���� �( ��������� �� �� �� � ������� ����* 1��������
' )�� ���� �� �����. ������� �� ��� �������� �� �� ������ �� �� ���� �( ���������
���� �� ���� *
2� �� ����� ���� �( �� ������� ' ���� �� 0��� �( �� ���������� ��'�
������� ��� ������������* 2� ���� �� ����������� ��'� �� 0��� �( �������� ���
������� ������� ' )��� ��� � ������� '�� �� ���,��� �� ��� ���� �� �'
������ ��(��������* 2� ���� ��� �� ��� ���������� ��(�������� ���� �� ���,��� ����
�� ���� �'� �� ���� �� ��� ��� ��� ��� '���� ��� � �������� �� B��������
�������*C + )�� ���� �� �� ����� ���� �( ���� ������� �� ���,��� �� �� (���
������� (��� �� ������ �( �� )��� ���� ���� �� ���������� �( ������ �� �����
�����* -�'�� �� �������� ������� 0�� �� ��� �� ������ �� �� �� ���� ���
�� �������� �( �� 0�� ����� �� �� ���� �( ���������*
2� ���� �� ����� �� ���������� ��'� �������� ��� ������� ������� '
��� ��� � ������� '�� �� ���,��� ���� �� ���������� ��� ����� ������ ������
�� �� ����� ���� �( �� �������* 2� ���� ��� �� ���,��� �� ����� ��� �� ����
��������� ������� ���� ���������� ���� �� ������� ������ ���� ���� �'� ���
�� �������� �� ��� ��' ���� �������� � ������������� ���� ��� ����� ��(��������
���� ���� ������� �� ������ �� ������ :��* + )�� ���� �� ���������� �( ������ ��
�� ����� ���� ��' ������� �����)����� ������ �� �� ������� '��� ��������
������� ��� *
+��� �� ���� ���������� �������� �� ����������� �( �������� ��� �� ������
���� �( ������� �� �������� � �� ��������� ����� �� ������� ���� '
5
)�� ���� �� ���,��.� ������� �� ���� �������� ������ �� �� ���� .� ����������*
&��(�� ' ��� �'� � ������ ����� �� ����������� �( ���,���. �������* &�
)��� � ������� ��������� ���� ���� ���� ���(� �( '��� ���� ����� '��� �� �� ����
,��� ��� B�������C �� B��� ��������� *C /� ��������� � ������� �� ���� �����
�� ��� ��� B�������C ���� ���� ���(� �( '��� ����� '��� �� ��� ���� �� �� ����
���(� ���� �� ��� �������� ���� �� ���� �������* + )�� ����� ���� ����
�� �� �,�� �� )��� � �������� ���� �� ���,���. �������� ���������� ������ ��
�� ���� ���������� ���� ������� �� ����� ��������� '��� ���������� ��������*
&��� �� ���,���. �������� ������� ���� (��� ���� �������� ���(� ����� ���� (���
B�������C*
������� ���������� &� ��������� �������� �� ������������ ���� ������ �� ����
��� ������ ������ '��� � ������ ���� � ����(�� =466#>* ����(��.� ���� �� � �����
�������� ��� '��� ��(�� ��(�������� ���� ���� ������� :��������* +��� ��� ���
����� B����� ��������C ����� ������ �� ��(�(��)����� ����� �( ������ ����� ����
��� ����� '������ �� ������� ����� �� ������������ (���������� �� ��� ����
� ��'� �� �������� ��� '�� �� �������� ����� ������������ �� ���������� �����
�� ��������� ������ �( �����* ����� �� ����� �� ���������� �������� ��� ���
���� =4665�> =4665�> ��� ���� !����� ��� ���� =466?> ���� ����(��.� ����������
�( ������ ���'���* &� ���' ���� ���� ������ ����������� �� �� ��(��������
�������� ����������� �( :�������� ��� � �������� � �������� ���� ����� ����
��������� ������ ��(�������� ����� �� ���� �( �� (����������* &��� ����� ���
����� �� ������ �� ����� ������������ �������� � �������� ��� ���<��
="$$4> ��� D���� ��� E��� ="$$@> (�� ���� ����F ������� �������� ��� D������
="$$5> ��� !����� ��� ���� ="$$@> (�� ��� �����F /����� ="$$$> (�� �����F �����
=4666> (�� ���� �'�����F ��� ������ ="$$3> (�� ��������� �����*
&� ������ �� ���������� ��'� �� � ������ �( ���������� ����� �� �������
(���������� ��� �� � ������ �( ������������ /������ -��'�� ��� ����� ="$$#>
���� �� ������ �������� �( !����� ��� ���� � ����'��� ����� �� ��� ������� ��
������� ������ ��� ��������� ��(�������� ��� ���* &��� ������� ������<� ��
��� ���� ���������� ��� �� ������ �� ��� ������� ����� ������� �� ������ �� ���
�� ���� ��������� ��(�������� ��� ��� ��� ���� (��� ���� �������* &� �������
���' ���� � ������ �� ������� ������� :��������* !���������� ��������� (��� ��
���������� ��'� �'� � �� �( �������� �� ���'��� ���� �� ���� ������� ����
������� =B�������� �������C> ��� �� ������� �( �' ������ ��(�������� ��� ���
=B������� �������C>*
&� ��������� �������� ���� ���� �� ���������� �( �� ���� ����� �����
@
'��� ������ ���� �� ���� �� ������������ ���� '��� ��(�� ��(�������� �� '����
:�������� �� ������������� =�� �� �� ��� �� ����(��.� ����>* ����� � ��* =466$>
)�� ���� �� ������ ������ �( ��� �� �������� ������� � �� G��� :���������
������ ��� ���� ������������ (������ ��� ��� �� '���� �� ������ �� � ������
��(���� G��� :���������* E�� -� �� 9������� ��� 9�� =466$> )�� ������� ������ '��
�� ���� � ����� �( ����� ���������������� ���� '��� ������� :��������* 2� ����������
���� ��������� ������ ������ ���� �� �������������� ������ �� ����� ������
���� �������� �� �� ����� ��� ��� ���� ������������ (������ ���� �� �� ��������
��������� * 2� � (����'��� ������� ����� � ��* =466"> ���� ������������ ����
'��� ���������� ������ �������������* &� )�� ���� �� ������������ ���� '���
� ��������� ������ ���'� ������������� ������� ��� �( �� ��������������
:��������� ������ �� �� ���������������� ������*
������� G��� ��� /����� ="$$5> ��� �� ������ ������������ ��� ���� �� �'��
����� ���� '��� ������ �������� ������� � �������� ��� ��� ���� =4665�>* &�
)�� ���� '��� ������ ��(�������� ����� �� �� �0� �� ���,���. ������� ������� ��
�� ��������� ��������� �(�� ����� ������ ��� �� �����* 2� � ���� ����
-������ G��� ��� ����(�� ="$$@> ��� �� ���������� �( �� ������ ����������
������ ���� �( !����� ��� ���� �� � ��������� �������* &� ������� ������
������� '��� ������ ��� ������ ��(�������� ��� ������� ���� �� ��� ������� ���,���
��� �������� �������� �** ������� '���� �� ���� �( �� (���������� �� ��
������ '�� � ��� ��� �������� ���� �� ������ �������� * &� ������� ����� �� ���
������ �� ����� �� ������� �( �� ���� '���� ������� � ���:� :��������� ����
������ ������� �����������*
&��� ���� �� �� �� �( �� )��� �� ��� �� ���������� �( ����� ������ ��� ����
�� � ��������� �������* 9�������� ��� !����� ="$$@> ����� B����� ����C
���� �� '�� �� ����� �( ��� ��� �� ���� ��� ���� ��� ��� �� ���� � �� �0 ����
������� ����������� �� �� ��� ���* &� ������� ����� ���� ��������� '��� ��
���:� � ������ ��� ������ G��� :��������� ��� �� ��� ����� '�� �� ���
���� ��(�������� ����� ���� ��� ��. ������ ��� ����� �������* 2� � ��� ����
���� ����� ��� 1������ ="$$#> ����� ��������� ������� '��� ��� ��� ������� �(
������ ��(�������� (������� ���������� ��� ��� (���� �� ��< �� ������ =�** �� 0��
�( � ���� ��� � �� ������� ��� �������>* &� )�� ���� '��� =�� ��� ������
�����������> (���������� ������ �� ��������� �( ������(�� ��������� ������� ���
����� ���� ���� ��� ���� ������ ����� �� ��(�������� ����� ���� �� �� ���������
�������� �� �� (���������� ���� ������ ������* &� ����� �( � ����� ���������
(����� ������ ������*
3
&� ��� ���'��� ��� ������� �� �� )��� �� ��� �� �� ��� � � ����� ������
��� ��� (���� �� �� ��������� ���������� �( ���:���� �� � ����� ������ ���� ��
���� ������� ��� ��� ��� �� ������ �� :������� �( ���,���. ����������� ���
���������� *
&� ��� �( �� ���� �� ������<� �� (����'�* ������ " ������� �� � ����� �'��
����� ���� �( � ��������� ������ ��� �������� ��������� ���������� �� � ����*
������ 5 ������� �� ��������� �������� ��� ��������* ������ @ ������� ��
������ �( �� ���� ���� ���* ������ 3 �������� ��� �������� ������� ��������*
� ��� �����
��� ���� �� � ����� �'������� ������ �( �� ���� ������ � /������ -��'��
��� ����� ="$$#> �� '���� ��� �� �'� ����� �� ������ :�� ��� �� ���������* &�
����� ����� � � ���� ������������ ��'� �'� ������� ������ �( ������* /���
� ��� ���� ����� ������ / =B������C> �� ������ ���� (����� ���� ����� �� �����
������ 9 =B��� ������C> �� ������ ���� (����� �� ������ :��* &� ������ :�� ��������
�( �� ���� �( ����� �������� ������ / =B������� ��< �( �� ������C> ���� � '����
��������<� �� ������� �( ������� (����������* / ��' ���� �( � ���� �������
� ������� '�� ���� �( �� (���������� ��� � ���� ���� �( � ������� � �������
������ ���� �( �� (����������* + '��� ���� �� ���� ������ � ���� � ��� ��'�� ���� � � �(�� �� �� �������� �( �� ������ :�� '��� ���� � � �(�� �� ��
������� �( �� ������ :��* /����� / �� ��������� '��� �� ���������� ���� �* 2( ������
/ �� ������(�� =�** �� ������ :�� �� ��������> ��� ���� �������� ������ / ���� ��
����� �( � � �* 2( ��� =�** �� ������ :�� �������> ��� �� ���� �������� ������ /
���� $* /����� 9 ���� �� �� �0 ��� ��� �� ����*" &� �� �0 �( �� ���������� ����
��� � '����� ��
��� � ���� ��� �� �
����� � �� �( �� � �
���� �( �� � �
'�� �� � ��� �� ����� �� ������ ����� � ���� � �� ��� � =�� � � �������
��������� ��� �� � � ������� ��� ���������> ��� �� ����� �� ������� ��< �( ��
������ �� ��� �*"G�� ���� �� �� �0 �� �� ���� ��� ��� ���� �� �* �� �� ��� ����� �� �� �� �� (����'���
'� � �( � �� �� ��' ���� �� ���� �������� �� �� �0 �� �� ���� �������� ������ / �� � ��� �( ������ ������� �� �� �0 �� ��'� � �� ��� =�>*
#
G�� ���� ����(��.� � ���������� ���� ������ ����������� �� ���� �� ���� �( ��
(���������� � �� ������ ���'��� ����� �� �����* 2� ���� ��� ��� ����.� ���
������ (������� ��
����� �� � �������������
��� ��� �( �� � �
� �( �� � �
+ ��� � ���� (�� ��� � � ��� �� ��� �� �'� ���������� G��� :�������� �� ���� ���
���� ���� ���� ��� ����� ����� ������ / �� ��� ����� ����� ������ 9F ��� �� �� ��
����� '�� ����������� �� �������*
-�'�� �� ��� ���� ����� ��� ��������� ��(�������� ����� �� ������� �(
�� ������ :��* G���� ���'� � (��� � ������ ������������ ���� ���� '���� �)�� ��
������� ������ ����� ����� �* G�� ���� � ��� � ������� �( �� �� ������ ������ ���� ���
����� ����* 2� �������� �� ������� � ������ ������ ��� ���� ��� ����� � ������
������ ��� � � ��� '�� ��� ���� ����� �� �*�*�* ������ ����� ��� �������� �( �
��� �� �� �� �������� �( ������ ��(��������* 5 &� ������ :�� �� �� ���� �������� �(
��� ��� �( �� ����� �( ����� �������� ������ / '���� �� ����� � �� �� �����
���� �� :��� �� �*
��� ������������ ����������
� �� )��� (���� �� �� :��������� �� �� )��� ����� �( �� ���* G�� ���� �� ��
������� �������� �� ����� ������ / (�� ��;����� ��' ������� 8 ���� (�� �� � �
'�� � ����� ���� ���� � ��� 8 ��� �� ����� 9 (�� ��;����� ���� ������� 8 ����
(�� �� � � '�� � ����� ���� ���� � ���*@ &��� ������� ���� ' ������ ���� (��
������� 9� ���� G��� :�������� �� '���� �� �����. ������ �� ������������� �� ��*
G�� ' ���������< �� :��������� �� �� )��� �����* ������ ���� ��� �� �
�������� ��� ���� ���� �� ���� '��� ����� ������ / �( ��� ��� �( � ��� � ������
������ ���' ���� ����0 =�� ���>* &� ����� �( ����� �������� ������ / �� ���
�������� �� � ��� �� ���� � ����� � ����� ������ � �������
��� ��� '�� � �� ��
�*�*(* �( �� �������� G����� ������������* 2� (����'� ���� �� ������ :�� �� �������� �(
��� ��� �( � ��� '�� ��� ����� ��� � ������� �� :��������
��� � �������
�� � ����� =4>
5&� ��(�������� �������� �� ��������<� � �� � ������ ��� � � ���� �� ��������� �( ������ ���
������ ��(�������� �������� �� :�������� � �� �������� ��������� ���� ��� ��* &� ��������' �� ����� �( � � ��� ��*
@G�� ���� (�� ���������� ����������� ' ������ �� ���������� ��������� � (��� ��' ��*
%
&� �������� ���������� �( ���� ����� (�� �� ���� '��� ������ �� �� ��� �����
����� � ����� � ���� �������* ���� �� ����� �� �������� �� �� ��� ���� )��� ��
������� �� ����� ������ / �( ��� ��� �( �� ��� '�� ��� ����� ���� �������� � ���*
���� ��������� ����� � �� ������� ���������� '��� ��� ������
�� �
����� ��� �������
�����
=�������� �� �> ���� ��������� �� :������� ��
�
���� ����� �
���� �
��� ��
�� ���
�� ��� =">
2( ' ���� �� � ��� �( �� �'� :������� =4> ��� ="> ' �� �� :��������� �����
����� ���� �� �� )��� ����� �( �� ����* ���� � �������� ��'� � ����� ��� �� ���:� (�� ���
� �( ��� ��� �( �� � ��
��* =� /������ / (�� �� ����(*> !����� ������ ����������
�( ������� �������� �������� ������ ���� '�� �� ������� :��������� �� ���:�
��� �� �� ���� :���������*
1���� 4 ���������� �� :��������� �� �� )��� �����* 2� ����� �� ������� ��< �(
�� ������ �� ������� �*
AFinite Precision ofPrivate Information
Precision of PrivateInformationApproaching Inf inity
θ1* θ0
1���� 4� ��< �( �� /����� �� ��* � (�� 1���� ����� �� /���������� 2�)���
/� �� �������� �( ������ ��(�������� ��������� ��)��� �� ���� ������� ����
�� �� ������ ����� ������ / (�� ��� � ��� ��� �� �� ������ ����� ������ / (�� ���
� � ��� '���� �� ������� � �� ����� ��� �� 1���� 4* -�'�� (�� )��� ��������
�( ������ ��(�������� �� ���� ������� ���� ����� �� ������������ �������� �� �
�������� �� �� �� ��� �� 1���� 4*
&� (����'��� ������������ �������< �� )��������� ���������� �( �� ���� ����
' '���� ��� �� ���*
��������� �� ����� �� � � ����� ���� �� ���� � ��� �������� �� ��� �����
����� �� ����� ��� � ���� � � ����!"# � ��� $� � ����� � ��� ���� � �� � ���� %�
?
�������� ����� ����� �� � �� ��� ����� �� � � ����� ��� �� ���� ��� ���� ���
��������� � ��� $� � ����� � ��� ���� � � � ����
��������� �� ��� ���� ���� ��� ��� ��� ��� ����� �� � � ��� � � �� ��� ��
���� ��
G�� ���� �� � ������������ ��� '��� ������ ��(�������� ���� �� ����(�� =466#>
�� ���� �( ��������� ��� � �� ��� �� :��������� ��� � ���� �� �� ������� �� ������
:�� �� �� �� ������� �� ������ :�� �������� �( ����* !����� �����. ��������
�� ��� � ��������� �� �*
��� ������������ ����������
&� ��� �������� ���� �� ����� ����� �� ���� �� �� ������ :�� �� �� ���� ���
�� ��� ��� �( �� ������ :�� �� �������� �� �� )��� �����* + '��� ������� �'�
������������ (�� �� ��(�������� �������� �� �� ����� �����* 1���� ������ ���� ��
����� ���� �� ���������� ������ ������* 2� ���� ��� '�� ����� ����� �� �� �����
����� �� ����� ���� �� ������ :�� ���� ��� ������� �� )��������� ������* 1���
�� ���������� ���� �� ������ :�� �� ����� �� ���� �� ����� ���� ���� �� ���� �(
�� (���������� �� ��� ��� '�� ����� ����'�� �� '���� ��� �������� ���� ��
)��� ������* 2� (��� �� ��' ���' ���� � ���� � ���� ���* &� ���'��� ����
� � ��� ����� � )���������������������������� ���(� �( ���(� ��'���� ������� �����.
������� �� ���� ��� ��������* 2� ����� ��� ���� ���� 0�� �� ������ ����� ��
���� ���� �� ���� �� '������ �� ��� ������ / �� �� ����� ����� �������� � ���:�
:���������*3
��������� �� &� �� ��' ��������� ���(� � ��� ���� ������ ���� ��� �� ����
% � ��� ����!"# ��� ��� � ��� ����� ��������� ���������
&����� ���� ��������� ����'� �� �� ������ �� 0��� �( �������� ������� �� �����.
�������* -�'�� ' '���� ���� ��� �� ����� �� 0��� �( �� ���������� ��'�
�������� ��� ������� �������* &��� ��� � ����������� � �������� �� ���
(�������� �������� �� ����� �'� ���� ���� ����� ���� �� ���������� ������ ���� ��
��;����� �����* &��� �� ��� � � ��� '�� ��� ���� ����� ��� �� �� ��;�����
����*
&� ��< �( �� ������ �� ����� �'� �� ���� � ����� � ����� ������ '���� ��
�������� �� � ��� �� ���������� �( ���� ����� (�� �� ���� '��� ������ �� ��
����� � ����� �� � �� � ���� ������� � � ���� '���� �� �������� �� �� �( ��� � ���*
3� ��� " �� /������ -��'�� ��� ����� ="$$#> (�� ����( �( ���:���� �� �� �������:���������* ������ ���:���� ��� � ���'� � ������ ������ �( ������� �������� ��������* �/������ / (�� �� ������ �������� �������*
6
&��(�� �� �� :��������� �� '���� �� ������ ������ �� �� ����� ����� ��� ��� �������
��� � �������
�� � ����� =5>
������� �� ��
�������
�����
� � �����
����� �� ��
�������
�����
� � ������ ��� =@>
�:������� =5> ��� =@> �� �� ����������� :�������� �( :������� =4> ��� ="> ��
�� � ����� ������* + ��� ���� ��� (�� ��� ��� ��� '���� '��� ��� �� ���� '����
���������� ' ��� ��� �� ������ �� �� ����� �����* 2� ���������� �� ������ ��(���
������ ����� �� ��� ���,��� �(�� �� )��� ����� ���� � ���� ���� � �� ��;�����
����*# 2�������� '�� � �� ���� =B����� �����C> ������� �( �' ��� ����� ������
��(�������� ���� �� �������� ���� ��� �������� ��� �� ������� �0�� �� ���
����� ��� �� ����� ������ / ������ � �� ���'��� ���� �� ���� ������� ����
�������* 2��� �( � �� ��;����� ���� �� ���� ��� � �� ��� � ����� ������ ��������
����� ������� ��� �� �� ��;����� ���� =�** �� ����� ������ �� ��;����� �����>*
G�� ���� �� �� �� ����� �( �� :��������� �������� �( �� ������ ��� �� �� ��������
�( ������ ��(�������� ����� ��)��� =�� ���������� �� � � � ���>* 2� ���� ��� ��
���� ������� ���� �� �������� �� �� ��������� :��������� ='���� �� ��'�� �� :���
�������> ��� ��� ���� � �� ������ :��������� =(�� ����(� ��� ���������� � /������
/>* &� 0�� ������� ����� � �� ������������ �( ������� ��(�������� ������ ��
�������� ���� ��� �������� ���������� �� 0�� �( �������� ������� ���� ����
�� ���� ������� ��� ��������* 2� (��� �� 0�� �( ��� ����� ��(�������� ���
�0�� �� ������� ��� �� ����� ������ / ������ � �� ���'��� ���� �� ���� ���
������� ���� ������� ���� ������ �' ������� �������*
G�� ���� '�� � �� ��' =B�������� �����C> �� ������ �� �� �������� �( ������
��(�������� ���� �� �������� ���� ��� �������� =���� �� ��� ������ '��� ��>* &�
���'��� ���� �� ���� ������� �� ������ �� �� )��� ����� ��� ��� ���(����
���� 0��* &��(�� (�� ��;����� ��' � ���� ���� ��� � �� ��� ����� � ���:�
:��������� ���� ���� �� ���� �� ������ ������ / �(�� �� )��� �����* -�'��
�� ���� ������� ' ����� �� ������� '�� � �' ������ ����� ������� ���
���(�� ��� ��� �� (����'��� ����������
��������� �� ����� ��'�� �� �������� � '�� ����� ��� � ���� % � ���
����!"# ��� ��� � � ��� ���� ������ &� ��� ����� ���(� � ��' ��(��� ���� � ���
#1�� � ������ ��� '�� �� ���� �( ��������� :���� ��� B���� <C ���� � ���* H��� ������������� ������ ��� ����� ������ �� ������������ �������� �� � ��� �������� � ���* =� /������/ (�� ����(*>
4$
���� ����� �� ���� �� �)����� ����� ��� � ��� � ��� ����� � ������ �� ���
��*����! ��������� ����� �� � �� � �� ��� ��� �� �������� � '�� �� ����� ��� �
���� � � ����!"# � ��� ���� � �� � ���*
2� �� (����'��� ������� ' ����� �� ��� �� ���� ���������� �� � ���������
�������*
� �������� �� ��� !"���#��
��� ������ ���
+ �������� ��� ������� �( �� ������� �� �� ��������� ��������� �� �� 2��
������ (�� ��������� D����� �� ��������� �� �� H������� �( I����� '��� �� )���
(��� ������� ��� �� J�� �( "$$# ��� �� (����'��� �'� ������� ��� �� ������ �( "$$#*
&� ���,��� '� ��� ������� �� �� H������� �( I�����* &� ������� '�� ��� ��
��� ���������� ��� ��� ������� ���� ���� �� ���� �( �� �������� '�� �����
�� ��� '���� �� ���� �( �� �������� ������ (�� �� ������* /�� ������� '�
��������<� ����� �� ������� <�&� =1��������� 4666>* &� ���,��� '� )��� ����
�� ��� ������� ��� ���� ��(���� ������ (���� (�� ������������� ������*% ����
����� �( �� ������������? '� ��������� �� �� ������������ ����� �� �� �������� �(
�� �������* &� ���,��� '� ���� �� ���'� ����� ������� :������� ���� ����
���� ������������ �( ���������� �� '�� �� �� ��������� ��������* K������� '�
���'�� �� ������* &� ���,��� ����� ��� � �� ���������� '��� �� ������* /�
�� �� �( �� ������� ��� ����������� )��� ��� � ��������<� :����������*6 &�
:���������� ���� �� ���,��� ����� ���� �������� �� '�� �� ���� ������������ �(
���������� ��� ���������� * /� �� �� �� ��� ���,�� '�� ���� �� ���� � ���'��� (
:��� �� 43 �'��� 1����� =�-1> ��� ��� �� �� ������� ��� �� ����� �( �� ������*
1���� ����� �( ��� ���,�� '�� )��� ���� �� ������ ��� ��� ������� �� �'��� 1�����
�� �� ��� �( 4$ ������ L 3$ ������ (�� ������� 4�" ��� �� �� ��� 4$ ������ L "3
������ (�� ������� 5�#* /���� ����� =��������� �� ���'��� (> '�� ?5*? �-1
@3*3 �-1 ��� "3*3 �-1 (�� ������� 4�" 5�@ ��� 3�# �������� *4$
���� �( �� ��� ��������� ������� ��� 5$ ������������ ������ ������� ���� �'�
������ �( )(�� ����* ���� ������ �������� �( @$ �������� ������ �( ��� '���
%����� �( �� ��(���� ������ (���� �� ����� �� ������� �� �������� ���� �:���*?1��� ����� �( �� ������������ �� ����� �� ������� �� �������� ���� �:��� (�� ��� ��������*6����� �( �� :���������� :������� �� ����� �� ������� �� �������� ���� �:���*
4$G�� ���� �� ��0���� �� ����� ������ ������ ������� 5�@ ��� 3�# ���� �� �� �� ��0������ �� ���� �( �������� ������ /*
44
��� ����� ������������ �� � �' ������ ����� � ���'� (��� � ������ ������������
���� ����44* &��� �� ��� ������� ��� ����� �� � �' ����� ��������<� �
�� ���� �( (���������� �* &� ���,��� '� ��(���� �( �� ��� ��� �� ��������
�������� �( ���� ������������ �� �� ������������* 2� �������� �� �� �������� �( ��
����� ��� ���,�� ����� � ������ ������ =B���� �����C ��> ����� �� ������ �����
�* &� ���,��� '� ���� ��(�������� ����� �� ������������ �( ���� ���� ����� �� ��
������������*
���� ����� �������� �( �� �� �'� ������ =B�����C> �( ��������������* 2� ���� 4
�( ��� ����� ��� ���,�� ��� �� ���� ��'� ������� / �� 9 �� ������� �� ������
"* ��� ��� �� ���,��� ���� ���� ������� �� ��� ���� �( �� ����� �� '� ����
� (����'��� :������ ���� � B-�' ��� ���� ����� �( ��� ����� �� �� �����
���� ������ /MC G�� ��� ���,�� ����� �� (����'��� ��(��������� �( �� ���
��� �(�� ���� �� � �� �� (���� ��� ���� ������ / '�� ������(�� ����� �� ����
�( �� �����'� ����� ��' ��� ���� ���,��� ���� ������ / ��� ��� �� �� �� �0
�� �� �����* 2( �� ��� �������� ���� �� ����� ���� �'� �������� '� �������*
2� �� ������� '������ �' ��(�������� �� ���,�� ��� ��� �� �� ���������� B����
�����C �(�� �� )��� ���� ��� ��� ��� � ������ �( ��� �� �� �������� ������ ������
��� ����� ����)������ ���� ������ / '�� ��� ������(��* 2� �� ������� '��� �'
��(�������� �� ���,��� ����� � �' ��� ����� ������ �( �� ��� �������� ����
���� "*
+ ��� ��0��� ������� ���������� ���� �� �� ���� �( ������ / ��� �� �� ��(���
������ ������� �� �� ������������ �� �� ����� ���� �( �� �������* &� �������
������� ���������� �� �������<� �� &��� 2*44&��� ������� ���� �� �� �� �( �� ������ ������������ �� ������ �� �� ���(��� ������������
��� � -������ G��� ��� ����(�� ="$$@>* &� ���� �� �������� ��������* &� ��)� �(������� �� ������� ����� �� ������ �� �� ����������� �( �� ���� ���* &� ���� ������� �� ��� ����� ��� �� �����)����� ��� ���������� �� ������� �� �� ������ �������� '���� ����������� �� �( �� ������* &� ������ ������������ �� ���� ������� ����� �� ����� (�� �� ��� ���,��� ���� �� �� (��� ��������<� � �� ��� ��� �� ��������* &� ���� �� ���,���. (��� ������������������ �� ������� ' ������� ��� '��� ����� ������ ��� �������� � :��< �� (��������< ���'��� �� ������ ������������*
4"
&��� 2*
&������ ������ *
SessionFirst 20Rounds
Last 20Rounds
First 20Rounds
Last 20Rounds
1,2 20 50 No No3,4 50 20 No No5 60 60 No Yes6 60 60 Yes No
Information in Stage 2Cost of Action A
��� ����#�����$����
+ ������� ��� ������ � � (����� �( 4$$ �� ���� �� ���,��� ��� ��� ��� �� ��� '���
(��������* + ���� �� ����� �� �0 � �( � ������(�� ������ �� � 4$$ ��� �� �����
�� �0 �( �� ��������(�� ������ �� � $* &��� �� �0 ���� '�� ����� (�� ��� ���������
(�� �� ���� �� '�� �� (�� �� ������� ������������*
&��� 22 ������ �� �������� �������� � ������*
&��� 22*
��������<�����*
Session z, 1/α 1/β1 1/β2
1-4 65, 50 7 N/A5-6 75, 55 10 1
G�� ���� �� ��� �( �� ������ ������������ '�� ����� �� � ����� ���� 3$ ��
���� �� ���� ���� ' ��� ��� �� ������� '�� � �' ������ ����� ������� '���
�� ������� �( �' ��(�������� �� �� ����� ����* 2� ���� �� �� � �������� �����
�( ������ ���'� '����� �� ������� �( ��� ���� ' ��� �� ���B��� ��� ����*C &�
�������� �������� '�� ����� ���� �� �����( ��� �� �������� (�� ������� ���:����
'���� ��������� ���� �� �������� �( ������ ��(�������� ���� � ��;����� ��'� ����
�� �������� �( ������ ��(��������* + ���� ��'�� ��� �� �� �� �������� (���
���� ��� ��' ����� �� ���� �� �� ����� ������ ���'� '����� �� ������� ��� ����*
45
� %��� ���&���
��� '�������� �� � ##��& ����������
2� ��� ���� ��� �� ���� ������ �������� �� �� ��< �( �� ������ =������ ��
�� (������� �( ���,��� �������� ������ /> �� �� ������� ��� ��� �� ������ =�
����� ����� ������� '��� 4 ��������� ������ / ��� $ ��������� ������ 9> �� ��
���������� ���*
&� ���� ��������� �������� �� �� ������ ����� � �� �� ������� ��� ���
�� ���,�������)� ���� ����� � �� �� ���������� ���* + ���� ���� �� ����� ����
�������� '���� ��� ��� �� 0�� �� �������* �� �( ��� �������� �� �� � � �(
������ / =���������> '���� �� :��� �� "$ �� 3$ ������� �� �� ������� �� �������
4�@ ��� �� ��'� � :��� �� #$ �� ������� 3�#* +�� ' ����� �� ������ �( ��������
������� ' ���� �� �� 0�� �( ���� �� ������� '�� ���� ���� �� ����� �( 4 �� "*
2� ���� �� ��������� �� 0��� �( ������� ������� ' �������� � �'���(��������
���� =+& �����> '���� ���� �� � ���� �( 4 �� �� ������� '�� ���,��� ����
� ��� ����� ������ ������ �� �� ����� ���� ��� � ���� �( $ ����'��* 1����� '
���� �� ���,���. ���������� ����� �� ��< �( �� ������ � ������� � ����� �������*
&��� /2 �� �� /������ ������� ��������� ���������� (�� �� �������*
��� ����� ������ ����������
2� �� )��� ���� �( ��� �������� ����� �� ���,��� ���� ��'� ������� / ���
9* 9��� �� ������� ��� �� �������������� ���� ���)�� ���� ������ ������� ��
��������� '��� ������� ��������* 2� ���� �� � ���� �� �� ������� ��� '
���� �� ��< �( �� ������ =�** �� ����� ����� �( ��� �� ��� �( 43 �������� ������ />
������� � (�� �� �����3$ ������� ��� )�� ���� � �� ������� �������� �� � ,��� ��
�� ���� ������� =� 1���� 4>* !����� �� )��� ���' ���'� ���� (�� ��' �����
������ �� �� ��'� � ���� ������ / '��� (�� ���� ����� ������ �� �� ��'� �
���� ������ 9* &�� �� �� ��������� ���� �( (���������� (�� '���� �� ��< �(
�� ������ �� �������� �� �* + ��� ���� ��������������� � ���� ��� ��� � ������
'����� �������� �( �� ����� �( �������� �� �� ���� �( � '���� �� ������� �
�� ����� ������������ �������� ��� �� 1���� "*4" &� ����������� �( �� )��� ���
���)��� �� � �������*45
4"&� (��� ���� ' ��� �� (' ������ ���'� �( � �� �� ����� ����� �� ������� ������� �����( �� )��� ��� �� ���� ����* &��� �� �� ������� ���� �� ����� � B�������*C &� )��� ��� ������'�� ��������� ��� �� �������� ���� �( (����������*
45� 1����� 94 ��� 9" �� /������ 9 (�� ������� ����� (�� �� ���� �'� ���� ������� ����������*
4@
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-100 -50 0 50 100 150 200θ
Att
ack
Frac
tion
1���� "� A��� D������� =�����3$ &������>
&� ���� ��� �( �� �������������� ������� �� ���� 4 ���� �������� �� ���������
����������* 1���� 5 '�� ���������� � ������� ������ ���� (�� � ��� �����������
�� ���������� �( �������� ������ / (�� ��� ���* &� )��� ���������� ���� ��
���������� �( �������� ������ / �� �������� �� �� ������ ������ ��� ������ �� ����
���� �( �*4@
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
<0 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 >100x
Pr(A
ctio
n A
)
1���� 5� ���������� �( /����� / ��* � =�����3$ &������>
+ ���� ��� ���,������ ��������� �( ��� ����������.� ������ �� �� ������ ������
� ��� ������� ��������* + �� ������� ���� �:���� �� ������ �� 0���*43 &�4@� 1����� 95 ��� 9@ �� /������ 9 (�� ������� ����� (�� �� ���� �'� ���� ������� ����������*43+��� � ����� �������� '���� � ��� ���������� ���� �� ����� ����� �( �� ������ �������
' �� � ����� ���������� ���� ���� �� �������� �������� '���� ����� �� ����� ������� (��� � )���
43
������ �� ������ �� &��� 222*
&��� 222*
���� 4 2��������� �� D�������� =����� ���� (�� /�� �������>
1 2 3Private signal, x -0.007*** -0.007*** -0.001***
(0.0001) (0.0001) (0.0001)Cost of action A -0.003*** -0.0004**
(0.0003) (0.0002)Belief 0.067***
(0.0010)R2 0.58 0.59 0.84No. of observations 6000 6000 6000Note: Robust standard errors in parentheses. Regressions include group,subject, and round fixed effects. For sessions 5 and 6, only the no-new-information treatment data are used. Significance levels: ** 5%, *** 1%.
Dependent Variable: Action
/�������� �� ������ 4 �� 0�� �( � �� �� ����� �( ������ �� ������ �� ��
���� ������� ��� ������������ �����)���� �� �� 4 ����� ���)��� ���* &��� 0��
������ ������ �(�� ����������� (�� ���� (������ ���� �� �� ���� �( ������ / ��� ��
���(� ����� �� ��< �( �� ������*
0��� �������� �� �� �� ���� �������� �( �� ������* � ��� ������ �� ���������� ���� ���,��� ������� �� ����� � ��� ����� � �� ��� � � �� � ���� � ���* &��� �� ����� �� ��� � ����� � �� �� ���������* 1�� � ����� ���������� ���� � ������� � �
������ ��� �� ����� ���� ���� ������ ���� *
&��� �� � ��� � ���������� ������� � ���������� �� ����� �� '����� �����(�������� =��������� ����>* &��� �� ������� ����� �� !� �( �� ��� � �� �� ���������� ��������* &� ��� ������ ���� ���� �� ��� �������� �� �� �� �� ���� �������*
2� ���� �� �� �� �������� �������� ' �� �� �)� � �������� ���� ���� ����
��� � � �( ���� �� � �( ���� ��
'�� ���� � ����� �� ��� '��� ������ � �� � ������� �� � ������ ������ � ��� � � ������ ��� '��
�� ���� ��:����� ����� �� ���� �� �� ����� (������� (�� � �� � ������ ������ <��* 2� ���� ��� ����� � �� �����'� �������� ��� �� � � (�� � )�� � �� ����� �( �������� �� ������� '���� * &��� ���� ���� �� ������ � ���������� ������� (�� � )�� � * &��� �� ���'� �� �� ����������������� ������*
&� !� �( �� ��� � �� �� ����� �� ���������� �������� '��� � :��������� ������ ������������� ���� '��� )�� � =��� �����> �� ���������� � ���������� =46?$>* 2� ��� ���� ����������� ������� ����� �� ����������� ����� �������� �� ������ (�� ���� ������* 1�� ������� ������� ����������� ����� �����:� � &��� 9�22 �� /������ 9*
G�� ���� ���� �� ����)������� �� &��� 222 ������ ����� ��� ����� )�� 0���* + ��� ���� ������������ ���� ������ ����� ����� ��� ���,�� )�� 0��� �� � ��������� ����* &� ������ ���� ���� ��� �� ������ �� &��� 9�222 �( /������ 9*
4#
+��� ���,��� �� �� � (����'��� �������� �������� '���� �������� �� ����
������ ��������� �( � ���:� :��������� �� �� )��� ����� ' ��� ���� ��� �����
�� ������� �( ����� (��� ��������� �� �������� �( ��� ��������� ��� ���������
��� �� �� ��������� ����������* 1�� �� ����� �( �� ������ �( �� �������
' ��� ����� ��������� �( ������ �� �� ������ ������ � �������� ������� ����� (���
��� ��������� ��� )�� �� ���������� ������ ������ ��� (�� '���� �� @3���� ���
�������� �� ������� ����� '�� ��������� � ����� ����� ��� ��������� � �����
������* 1����� ' ����� ������ ������ �� �� �� �� ������� ���������� ��������
(�� �� ������* + ��� �� :������ =4> ����� �� ������ " �� �� �� �������
������� �������� �� (�� �� ������* &��� 2E ������ �� ������� �������� ����
���� ��� ������� ��� �� �� ��������� ��������� �� ��� ��* ������ 3 �( �� ����
������ �� ������� �( ���,��� '�� '��� ���� �� (����'� � �������� ������ ��
���� ������������ :����������*
&��� 2E*
&������� ������ *
������ ���� �� �� �� �� ����� H����
&��������
�� � �� �� � �� � �� � �� � ���
4 " �� �� � �� � �� � �� � ���
5 @ �� �� � �� � �� � �� � ���
5 @ 3$ �� � �� � �� � �� � ���
3 # �� �� � �� � �� � �� � ���
+��� �� ��������� ��������� ������ � ����� ������� �� �� ���� �( ��������� ��
������� ��������� ����� ��� ������� '��� ����* ��� ������ ' ���� ���� ��
���,��� �� '�� �'�� �( �� ����� �� ����� (��� ������� �� ������� �� �� ��
��� � �� �������� �� ���� �����* +��� ����� ���� �( ������ ��� ��� � ������
0�� �� �� ������� �� ������ �� �� ���������� ��� �� �� ����� (��� �� ������ ���
������������ �����)���� ��;���� �� ���� �� ������ " �( &��� 222 �� �������� �( ����
0�� �� ����� ������ ���� �� ���� �������*
!��� ���������� �� ������� ��������� �� ���������� ����� ���� �� ������
���� ��������� (�� �� �����3$ ��� �����#$ ��������* &��� ������� ���� ���,��� ��
���� ��� �������� �� ���� ������� ���� �� ���� '���� ������ (�� �� ���������
�������� ��� ��� (�� �� ��'����� ���*
+ ��� �� �� ��������� �� ����� �� ��� �� ������ ����� �� ������ ������
������ �( ���,���* �� ��������� ����� ��� ������M ��� �� ���� �����������
4%
������ �� ���� ���� �� �� B�������C �� ������ ���� ���(� �� �� �� B�������C
�� ���(�M &� ������ �� )��� :������ ' ���� �� ������� ��������� �� ������
������*4#
0
20
40
60
80
100
120
0 10 20 30 40Round
Thre
shol
d
1���� @� �������� ��������� �� ��* ������ =����� ���� (�� ������� 4�@>
&� ������� ������� ��������� �� ��� ��� �����)����� '��� ����� ���� ��
)��� ����� ��� ������� ��� � ������ ��'��� ����* + ��� ���� � ���� �� �������
�( ��������� ��� ��� ����� '��� ������ '���� ������ ���� ���,��� �� ��� �������
(��� ����� �� �����*
D������� �� ����� :������ ' ��� �������� �� ����� �( ���,��� '�� ��� ���
(����' � ���������� ������ ���� ���� ������ ������* 2� ���� �� ������ ���
���,��.� ��� ������ ' ����� ���� ��� ���������� ���'� ���� ����� �� ����� ��
����� �������� �� � �� �� ��� ����� �( �� �������* /������� ���� ��� ���,��
����� ���� �����. (����' �� �������� �� ' ��� ��� '���� ���������� ������� ��
��������� '��� �� ��������� ��� ������ ������ �� ���� ��* 2� ���� �� ���'� ����
:������ ' ������ � �������� ��� ���� �� �� ��� ������ �� �� '���� �� ����� ��
���������� �������� ���� ��� �� �������� ���������� �( ���� ����� ���� ������� :���
�� �� ���� �( ��������� �* ���� ���� ���������� �������� ��� � �������� ���� '���
������ �( ��� ��� �( �� ������ ������ � �� ���' ��� ��� �(���� (��� ��������� ����'��*
+ ���� �������� ���� �� �� ������� B�������*C &��� �� � B������C '���� � ��
������� '�� � ���,�� ������� '�� � � ��� �� ��� ��� ������ '�� � � ���*
+ )�� ���� �� ����� �� ����������� 64 ����� �( ���� ���,��� (����'� �
������ ���� '�� � ��� ������ �� �� ������� �������� ��* 1����� 3 ��� # ���'
�� ����� �( B�������C � ����� (�� ������� 4�" ��� 5�@ �������� *
4#G�� ���� �� �������� �� �� (���� ����� �� :������ :������� �� =4> �������� ���� � ���
4?
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 10 20 30 400
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 10 20 30 40
1���� 3� ���������� �( B�������C
��* ������ =������� 4�">
1���� #� ���������� �( B�������C
��* ������ =������� 5�@>
&� )���� ���� ���' ���� �� ����� �( B�������C ������ �� ���������� ���
��� ����� �����)����� '��� �����* &� ��������� ���� ��� ��� �� �� �����
������ ������*4% &� ����� ����� ��� ������� �� (������� �( B�������C ������
������ ������*
��� %&�#�� ����������
����� ��(�� � )����(
�� (�� ' ��� ���� <� �� ���� (��� �� )��� ���� �( �� �������* 2� ���� ������
' '��� ������� �� 0��� �( ������� ������ ����� ���� �� ��������� ���� ���,��� ��
��� ���� �� ���������� ������ �� �� ����� ����*
+ )�� ���� �� ���'��� ���� �� ������� ��� ��� ��� �� �� )��� ���� ����
� ������ 0�� �� ���,���. ������� �� �� ����� ����* 2� ���������� ' )�� ���� ��
����� ���������� �( ������ �� �� ����� ���� �( �� ����'���(�������� �������� ��
���� ��'� ���� �� ����� ���������� �( ������ �� ���� �� �� �� ���'� �� 1���� %*
4%H���� �������� �� �����:�� �� )� � �������� ��� ������� ��� ���� ������� ���� ��;��������� �� �� ������������ �����)����� ��0��� (��� <��* � &��� 9�E22 �� /������ 9 (�� ��������������*
46
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Stage 1 Ave Prob of Action A Stage 2 Ave Prob of Action A
Pr(A
ctio
n A
)
1���� %� /���� ���������� �( /����� / (�� �� G��G'�2�(�������� &�������
&� ��� ���������� ��� � ���'� (��� ������� �� �� �������������� ��������� �(
������ �� �� ������ ������ � ���� ��' ������ ����� ���� (�� ����� �� ��� �'� ���
��� ���� �� � ������� �������* &��� E ������ ���� ���� ��� � ������ ��� �����
������������ �����)���� 0�� �� ������ '���� ���� ���� �� ���������� �( ���,���
�������� ������ / �� ����� �� ' �� (��� ���� �� �� ���� �'�*4?
4?/���� � &��� 9�2E �� /������ 9 (�� ��������� ����� ����������� �����*G�� ���� ���� �� ����)������� �� &��� E ������ ����� ��� ����� )�� 0���* + ��� ���� ���
��������� ���� ������ ����� ����� ��� ���,�� )�� 0��� �� � ��������� ����* &� ������ ���� ���� ��� �� ������ �� &��� 9�E �( /������ 9*
"$
&��� E*
2��������� �� D�������� =����� ���� (�� /�� �������>
1 2 3Private signal, x -0.006*** -0.006*** -0.0008***
(0.0001) (0.0001) (0.0001)Cost of action A -0.0026*** -0.0005**
(0.0003) (0.0002)Belief 0.0655***
(0.0008)Stage -0.2307*** -0.2272*** -0.0399***
(0.0073) (0.0073) (0.0054)R2 0.62 0.62 0.85No. of observations 8820 8820 8820Note: Robust standard errors in parentheses. Regressions include group,subject, and round fixed effects. For sessions 5 and 6, only the no-new-information treatment data are used. Significance levels: ** 5%, *** 1%.
Dependent Variable: Action
1����� ? ��� 6 ���' �� �������� �� ����������� �� �� ������ ���� �( �� �����
(�� �����3$ ��� �����"$ �������� �������� *
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9
1
<50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 >100 x
Pr(A
ctio
n A
)
First-Stage Probability of A Second-Stage Probability of A
1���� ?� ���������� �( /����� ��* � � ���� (�� �����3$ &�������
"4
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9
1
<50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 >100 x
Pr(A
ctio
n A
)
First-Stage Probability of A Second-Stage Probability of A
1���� 6� ���������� �( /����� ��* � � ���� (�� �����"$ &�������
2� ���� )���� �� ���������� �( ������ / �� ��'� �� �� ����� ���� ������ �� ��
)��� ����* &��� ���'� ���� ���,��� ������ ��� �������� �������* -�'�� ��
������� 0�� �� ��� �� ������ �� �� ���� ������� '���� ������� ���� ����� �������
�� ��� ���� ��������� �� �� ����� ���� �( �� �������* G�� ���� ���� ��
�������� �� ������������ ����� �� �� ��������� ������� ��������� ���� �� ���� �(
������ / ��� �� ��������� 0�� �� ����������� �� ���� �'�*
����� *�� ���#����
2� ���� ������ ' ���� �� �� ��������� �������� ���� ����� �� 0��� �( ���������
�� ���,��� '��� � �' ��� ����� ������ ������ �� �� ����� ����* -� �� ����
������� ���� �� ������ ����� ������� �� ���� �'� ���� ���� �� �������� ��� ��
����� ����������� * 1���� 4$ ��������� �� ����� ���������� �( ������ / �� �� �'�
����� �( �� ������� (�� �� ����'���(�������� =GG2> ��� �� �'���(�������� =G2>
��������* G�� ���� �� )��� '�� ���������� ����� ��� �� ������ ���� ��������
���� �� ����� ���� ��� (�� '���� �� ������ ����� ���'� '�� ���' 4$$* &���
����'� �� �� ��� �� ������ ������� ���������� ��'� ��������*
""
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
NNI NI NNI NI
Pr(A
ctio
n A
)
Stage 1 Stage 2
1���� 4$� /���� ���������� �( /����� / (�� �� GG2 ��� �� G2 &�������
1���� ������� �� ����� ���������� �( ������ / (�� �� �'� ������� ���������� ��
�� )��� ����* &� ������������ �� �� ���� �� ��������� $*"3 (�� �� ������� '���
�� �' ��(�������� �� ���� �'� ��� $*"# (�� �� �� '��� �' ��(�������� �� ���� �'�*
+ ��� ���(�� ������� ���� � ���,�� �� �� �'���(�������� ������� '�� ���'�
�(�� �� ������� ����� ���� �� '��� � ������� � ��� ����� ������ ������ �� ��
����� ���� ��� ��� '��� �� ��� ������ ����� �� ����� ���� ��� ����� ����� �� �
������� (������ �� � ���,�� �� �� ����'���(�������� �������* ������ ��� ���� ��
���������� �( ������ / �� ����� ����������� �� �� GG2 ������� �� �� �������
�������� ���� �� ����� ����* -�'�� ' )�� ���� �� ����� ���������� �( ������
/ �� �� ����� ���� �( �� G2 ������� �� ��� ������������ �����)����� ��0��� (���
�� ���������� �( ������ / �� �� )��� ����*
+ ���)�� ���� ����� � ������� �� �������������� �������� �( ������ �� �� �����
���� �� �� ������ ������ � ��� �� �'���(�������� ������� ���� * &� ������
�( ���� �������� �� ������ �� &��� E2*46 &� ������������ �����)���� ��;���� ��
�� G2 ���� ���� �� ���� ���,��� �� ��� ���� �� ����� ������ / �� ���� �'� �(
�� G2 ������� ���� �� ���� �'� �( �� GG2 ������� '���� �� ��������� '��� ��
��������� ���������*
461�� ������� ����� �� ����������� ����� �����:� � &��� 9�E2 �� /������ 9*
"5
&��� E2*
���� " 2��������� �� D�������� =������� 3 ��� #>
DependentVariable: Action
Private signal, x -0.0021***
(0.0002)NI dummy 0.0842***
(0.0145)R2 0.20No. of observations 1395Note: Robust standard errors in parentheses.Regressions include group, subject, and round fixedeffects. Significance level: *** 1%.
1���� 44 ���'� �� ���������� �( ������ / �� �� ������ ���� �( �� ����� (�� ��
GG2 ��� G2 �������� '��� ���� �( ������ / �( #$* 1�� ���� ���� �� ���������� �(
������ / �� �� ����� ���� (�� �� G2 ������� ���� �� ���������� �( ������ / (��
�� GG2 �������* !����� (�� � ���� ?$ �� ���������� �( ������ / �� �� �����
���� �� �� G2 ������� ���� �� ���������� �( ������ / �� �� )��� ����*
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
<40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 >100x
Pr(A
ctio
n A
)
First-Stage Probability of A, NI and NNI Average
Second-Stage Probability of A, NNI
Second-Stage Probability of A, NI
1���� 44� ���������� �( /����� / ��* � � ���� (�� �� GG2 ��� G2 &�������
D���� ���� �� ���� ������� ���� �� �������� �� � ��������� :��������� ���
�� � ���������� �( �' ������� �� �� ����� ���� �( ��� � ��* 2� ���� �� ��� ����
"@
��������� ' ����� �� �������� ���� '���� ����' �� �� �����( ��� � �� �� ��� ��
�� ��������� ��������� (�� ��� ���� � �� � (�� � � �� ��� �� � ���* ���� ��� � �� �
��� )������ ������� �� ���� * -�'�� ���� ���� �� ������� �������� ��� �� ���
�������� ���� �� ���� ������� ���� ��������� �� ��� �����)� �� �� ���� =�� � � ��>*
����������� �� �� ������ )��������� �������� ���� ���� �� �� ���� ������� ����
�� ��������� ������ ����� �� ���:� :���������*"$
2� ������ �� ����� ������� ���� �� :���������� ���������� ����� �� ������
���� �� �,��� �� ���� ����� �( �� ������� �� �� �� ���,���. �������� �������*
-�'�� �� ����� �������� �� :��������� ��������� ���������� ���� ���� ��
���� �( ����� �������� ������ / �� ������������ �������� �� � ��� ���� ��������
������� ����� �� ���������� �( �������� ������ / �� �� ����� ���� '��� �'
��(�������� =������� �������> ������� ���� ���������� *
��� +��������& �� ,�������& �� -������
����� +��������&
�� (�� ' ��� ���'� ���� �� ���� �� �� ������� �� :��������� ���������� �( ��
���� F ��'�� ' � ���� �� ������� �( ��������� ���,��� �� ��� ��������
���� ������� �� ���� �� ������ ��� � ����� (���'����* 2� ���� ������ ' �� ��
��������� '���� �� ����������� ������ (��� ������� ���� �� ���������� ���� ��
�����. ���(� ��� '���� �� �����. ������� �� ��������� '��� ���� ���������� �(
�� ������� �( �����*
1���� ' ������ �� :������ �( ���������� � ������ �'� � ������* &� )���
� ������� ��������� ���� ����� ��� B�������C �� ��� B��� ��������� C ���� ����
���(� �( '��� ���� ����� '��� ��* &��� ������ �( ������� ��� � ������� �� �
B��� �( �����C ������ '�� ���,��� ������ ��� �� ��� ����� ����� ��������� ��
������ �� � ��� B(��C (�� ��� �����* &��� ������ � ������� �� ��� '����
�� ���� �( ������ / �� ������� �����* /� ��������� � ������� �� ���� ����� �� ���
��� B�������C ���� ���� ���(� �( '��� ����� '��� �� ��� �� �� ���� ���(� ���� ��
��� �������� ���� �� ���� �������*
D���� ���� �(�� ������� �� ������ �( �� ������� �� � ���������� ���� '
��� ��� ���,�� ����� ��� �� �� ���( �� �� �� ����� �( ���� ����� ����� ��������
������ /* 1���� 4" ����� ��� ���(� ����� �� (������� �( ����� �������� ������ /
=�� ������ (�������> ��� �� ��������� �������� (�� ��� ���(� ��� �� �� �� ����
"$2( ��'�� �� ���� '� �� � ����� �� ������ )�������� ����������� �� ���������� (���� ����� ���� '���� �����*
"3
��� ���� (�� �����"$ �����3$ ��� �����#$ ��������* &� ��������� �������� �� ��
(������� ����� ��� � �
��������
���� '�� �� �� �� ��������� �������� ����� ��
������ "*4* &��� �� ����� ��� ���� �� ��������� �( �� ���� �( ����� �������� ������
/ ��� � �� ���� '��� ������ �� '�� ����� ��� ���� ����� �� �� �� �������� ��*
&� ������ ������ ���(� �� � (������� ������ '���� ' ������ (��� �� ������ ����
����� � ���� �������� ��������*
0
0.25
0.5
0.75
1
0 20 40 60 80 100
x
Bel
ief A
bout
Fra
ctio
nC
hoos
ing
A
),( *xxg i)( ixg
0
0.25
0.5
0.75
1
0 20 40 60 80 100
x
Bel
ief A
bout
Fra
ctio
nC
hoos
ing
A),( *xxg i)( ixg
���� "$ ���� 3$
0
0.25
0.5
0.75
1
0 20 40 60 80 100
x
Bel
ief A
bout
Fra
ctio
nC
hoos
ing
A
),( *xxg i)( ixg
���� #$
1���� 4"� 9��(� ����� 1������� �( /���� �������� /����� / ��* &��� ���������
2� ������� @*" ��� @*5 ' (���� ���� �� �����. ������� �� ��� �������� ����
�� ���� �������* 1���� 4" ���'� ���� �� ���,���. ����� �� ��� �������� ����
������� � �� ���� �� �� �����3$ ��� �����#$ ��������* =&� �����. ����������
�( �� ��< �( �� ������ �� ����N�� �� ����� �( �� ��������� ��������� (�� �����
����� �( ��*> &�� �� ����� �� ���� �������� (�� '���� ' )�� ��� ��������
������� ������ �� ���� * -�'�� �� ���(� �� �� �����"$ ������� �� ��� ��
�� � ���� ��� �������� ���� �� ��������� ���������* ������ ���� �� &��� @
�����. ������� �� ��� ��� �������� ���� �� ��������� ��������� �� �� �����"$
"#
�������* G�� ���� ���� �� ����� �� 1���� 4" ��������� ���� �� ������ ���(�
�� ��� ������� �� �� ���������� ������ ���� �� ���� ������� ���� ������ �� O����
���� ����� ���* &��� (���� �( �� ������ ���(� �� ����� �� ��� ���� ��������*
1���� 4" ������� ������ ������� (�� �� ��' ���� �� ���,��� �( ��� ��������
�� ��� ��� ��������� ��� �� �� ������������ ��� ����� �� �� � �������� ������
�� ���� ���� �������� ����������* -�'�� ' �� �� ������ ����� ��� ������
�����* 2� ���������� ' ��� ��������� � ����� �( ���������� ���� �� ��� ���� �(
�� ���,���. ���(�* / �������� ���� '��� ����� ������ / �( ��� ��� �( �� �����
�� �0 (��� �������� �� �� ����� ���� �� ����* -�'�� (�� �� ��� �( ���� ����������
' '���� ������� �� �� ���' �� ���,��.� ���( ����� �� ���������� �( � ������(��
������ ��� ��� �� �� ���( ����� �� ��< �( �� ������*"4 &��� ��'�� �� ��� � :������
� � ����� ���,�� �� ������ �( ���'����*
&��� ' ������ �� ���� ���� ������ � ��������* 2� ���� '���� (�� �� ���,�� �
'��� ������ �� ' ���� (�� � ���� �� ���� ������<� �� ������� ��'� �� �'� �����
�� 1���� 4" (�� ��� ���� �������* &� �������� �� �� �� ���� �( � ���� ���������<�
���,�� �.� ���( ����� �� ��< �( �� ������* &�� ����� �� ������ ������ �� (��
��0��� ����� �( ��������� �� 1���� 45*
0
20
40
60
80
100
-200 -100 0 100 200 300
Cost 20 Cost 50 Cost 60
ix
ix
1���� 45� &�������� �� (�� ��0��� ���� ��������
&� ����� �( �� ����� '��� �� ���� �( ���������* +����� ��� ���� �������
�� ������� '��� �� ���������� ������ ������ ��* &��� ������� ���� ��� �� � �������"4&��� �� �� ������ ��������� (�� ���������� �� ��� ������� �� ����� ������ / �( ��� ��� �(
��������� � � ������
���� �� �* D���� ������ �( ��������� �� �������� �� ����� ��� ��
�� ��������� �( ���� '�� ���� � ��� �� �( ��
� �( � *
"%
����������� ��'� �� ���������� ����.� ���� �� ���(� ����� �� ������� �( ����� ���
�� ����.� ��������� ����� �* /���� '��� � ���� ������ ������ �� ���� ����� ��
�� ��� �������� �������� =�** ��� � ����� ��>*
���� ���� �� ' ������ �� ������������ ���� �( �� ����� :������ =4>* 1�����
�� ���� �� � '���� �������� '� �������� ' �� �� (��� ���� � �������� ���� '����
��'� � ����� ������ / �( ��� ��� �( ���
�� ���� � ������
�� � �����
���� � ��� �����
������ 9 ����'��* H���� ���� �������� ' )�� ���� ���,��� �� �������� �� %#*6?
����� �( ���� �� �� �����"$ ������� 6$*%6 ����� �( ���� �� �� �����3$ �������
��� ?6*@@ ����� �( ���� �� �� �����#$ �������*
&� ���� ����� ���� �� �� �,�� �� � ������� ���� ���,��� �� ������ B����
����C �� ������ B��� ��������� C ���� ���� ���(�* &� ���� ������ ���� �� ���,���.
���(� �� ���� ��������* -�'�� ���� ��� ���(� ����� �� ��� ��� B�������C
=�** ��� B��������� C> �� ?# ����� �( ���� �� �����*
����� ,�������&
������ ' ������ �� ���� �( ��������� � ������ '���� �� ���,���. �������
�� ��������� '��� ���� ���(� ����� �� ��< �( �� ������* 2���� ' '���� ��� ��
������ ��� ����������.� ��������� �( �� (������� �( ����� ��������� ���� ��� �� ��
���������� ������ � �� �� ������ (������� �( ����� ��������� ���� �* -�'�� ��
����� ����� �� ��� �������� =���� �� ' ��� ��� ���� �� ������� ������ ������� �
��� �>* -�'�� ' ��� ���� �� ��' �( ������ ���������� �� ���� �� ������ �
����� �( ��������� * 2� ���������� �� ���� ���� �� ���� �� (����'��� :����� ����
���� � �� ��' �( ������ �����������
������� � � ����������� =3>
&��� ' ��� ��� '���� ������� �� ��������� '��� ���������� ���(� � ���������
�� ������ ��� �� �(������ ���� �( :������ =3>* &� �(������ ��� �( :������ =3> ��
�� ��������� �( �� ������ (������� �( ����� �������� ������ / '���� ' ������ �
���������� ��������� �� ��< �( �� ������ ���� ' �� (��� �� ���� '����� � ��
������������ �( �* �� �� ���������� ��� �( =3> ��������� �� �� ���,��.� ���( ����� ��
(������� �( ����� �������� ������ /* &� ������ � ����������� ' ����� ���(� ������
�* &��� �� ' ������� ��������� �� (������� ������ '����� � �� ������������ �(
�* &��� E22 ������ �� ������ (��� ���� ���� ���*
"?
&��� E22*
&�� �( ��������� �� ���� 4*
CostTreatment
Average RealizedAttack Fraction
Beliefs AveragedAcross x
20 0.5857 0.535450 0.5799 0.534760 0.5071 0.4615
&� ��������� �� ���� ���� ' �� ������� ���� (�� �� ��� ���� ��������*
G�� ���� �� ����� ������ �� ������� " ��� 5 �( &��� E22 �� ���� �� �� ������
'���� ���� �� ����� ���� ������ ������� �� ��������� '��� ���(�*
G�� ' ��(��� � ��������� ��� (�� �� ����� ���� �( �� ������� =&���
E222>*
&��� E222*
&�� �( ��������� �� ���� "*
Cost & InfoTreatment
Average RealizedAttack Fraction
Beliefs AveragedAcross x
20 NNI 0.0227 0.061050 NNI 0.0769 0.210160 NNI 0.0461 0.150560 NI 0.1248 0.1484
G�� ���� ��� �� � ������ �� ������������ �� �� )��� ���� �����. ���(� ��
������� ��� �������� ���� ���� ������� '��� �� �� ����� ���� �����. ������� ��
��� �������� ������ �� ���� ���(� ������� �� �� ��������� �������� '��� �� �'
��(��������* &� ���,��� �� �� ����� ���� ����� '��� � ������ ��� ������ ������
������ '��� �� ������� ���� ��������� * &�� �� ���� � ��0��� ��'� ��
�'���(�������� ��� �� ����'���(�������� �������� '����� �� �����#$ �������*
&� ���,��� ���(� �� ����������� �� ��� ��� ������� �� ����� ��0���* /����
��� ���� ��� ��������� ���� ������� �( �' ��(�������� ���� '������ �� ,��� �� ��
���� �������*
. ,��� ���
&��� ���� ��� � ��������� ������� �� ����� ��' ������� �0��� �� � ������ �(
������������ �� � ���������� ���������* &� ���� ���� �( ���� ���� �� �� ���������
"6
�� ���������� ��'� �� � ������ �( ���������� ����� �� ���� �( �� (����������
��� �� � ������ �( ������������* 2� ���������� ' (���� �� �� 0��� �( B�����
���� �������C =������� ��� ��� (��� ���� ���� �������> ��� B������� �������C
=������� � ������� ������ ��(�������� (��� ������ ������>
&� ��������� ����� �������� �� ��������� ���������� �( ��� ����* 2�
�� )��� ���� �( �� ������� ' )�� ���� �� ��< �( �� ������ �� ������������
�������� �� �� ������� �( �� ������� (���������� � ��� ���� �� �����. ��������
�� �������� �� ���� ���������� ������ �������* 2� �� ����� ���� ' )�� ����
�� ���������� �( ������ �� �����)����� ����� �� �������� '�� ���,��� ���� ��
���������� ������ ������ =�������� '��� B��������C ��� B������� �������C> ����
�� �������� '�� ����� �� ��� ���� �� ���������� ������ ������ =�������� '���
B�������� �������C ��� >*
-�'�� ' ���� ����� ���� ���,��� ������ ���� ����������� �� ���� �������
�� ���� �����* 2� �� )��� ���� �� ������� ��������� (����'� � �� ���,��� ��
����� ���� �� ��������� ��������� �� �� ��������� ��������* !����� '��� ��
���� �( ��������� ��� ����� ���,���. ����������� �����)����� �� �������� �� ���
�� ���� �� �������� �� �� ���� �������* 2� �� ����� ���� �� ������� 0�� ��
��� �� ������ �� �� ���� �������*
2� ���� �� ��������� �� ����� �( ���� ������� �������� ������� ' ��� �'�
� ������* &� )��� ������ ���� �� ���,��� ��� B�������C �� ��� ��� ���������
���� ���� ���(� ����� �� ������� �( �����* &� ����� ����� ���� ����� �� ���
��� B�������C �� ��� ��� ��������� ���� ���� ���(� ����� �� ������� �( �����*
&��� ��� �( �� ���� �( ������ ���� ����� �� � ��(�� ���� �� ��� ����� �������
�� ����� � �� (�������� �( ���������� ����� ���� ��� ��. �������* + )�� ����
����� �� ��� �� �� ��� B�������C �� ��� ��� ��������� ���� ���� ���(� �����
�� ������� �( ���� ���,���*
&��� ���� ��� � ����� ����� ����� ���������* ����������� �� (���'���
��� � ����� �� ��� ��� ���� ,��� �'� ������ �� ���� �� ��� ��� ����� ��
�� ������ �( �����* /� ������ ������� �( ���� ��������� (���'��� �� '���� �
��������� �� � �( ������������� ��� � � �����)���� ��� (�� :��������� ������� �� ��
� ����� ������ ��� ������ ��� ����������� ������� �� ����������*
1����� ' )�� ����� ���� �����. ���������� ����� �� ������� �( ����� ��
���� �������� ������ �� ���� * &��� � ������� ������� �( �� ���� ��� ��
������ �������� ��������� ������ (�� ���� ���� ����������� ��� ������������� ���
���� ��� �����* �������� �� ��������� �������� �� ���� �������� �� ���(�� ����
�� � � (����(�� ��� �( ������*
5$
+��������
P4Q /������ �����!����� -��'�� ��������� ��� /�������� ����� ="$$#>* B� �
����� ������ ���� �( D��� ������ ������ !���������� ��� &����� �( /��
�����*C ���������� ����������
P"Q /������ �����!����� ��� 2��� +�����* ="$$#> B����� ��� ������ 2�(�����
���� /��������� !���������� ��� E�������� *C ������ ����� ��(�' 6# =3>
=�����>�4%"$�4%5%*
P5Q /����� /���'* ="$$$>* B���������� �( !����� ��� ����.� RD�������� !������
�:�������� �� !����������� !�������.*C G������� 9���� �( �������� D�����
��������� ������*
P@Q 9������ 9��� -* =4663> �������� ����� �� ����� ,���* J��� +�� S ����*
P3Q 9����� D����* ="$$5>* B��������� +������ 9������ &� ����� &����� � ��
R&:���� �0��. �� �� R9��<����� ��<.*C "$$5 ������ 2������� ���(���*
P#Q 9�������� !����� A* ��� J��� !����� ="$$@>* B����� ����� &��� ���
���������*C ���������� -��� ������ H� 9��� *
P%Q ������� /������ G��� D������ ��� D�� /����� ="$$5>* B�:��������� ��
������ &����� 2������� 2�(�������� �� ������������ ����� /� ����������
���� *C ���������� ���� G�* #$4 H��������� ����� 1���� 9�������*
P?Q �������� -��� ��� ���� ��� ���� =4665�>* B������ ���� ��� �:��������� ��
������*C ��������� #4 6?6�4$4?*
P6Q �������� -��� ��� ���� ��� ���� =4665�>* B�:��������� ������� �� ���� -���
����C �� -������ �� .��� ������ �* � A* 9����� /* A����� ��� �* &���*
�������� !/� !2& ���� "5%�"35*
P4$Q ���������� ��� * =46?$> B/��� ��� �( ��������� '��� K��������� ����*C ��(�'
�� ����� /���� @% ""3�"5?*
P44Q ����� ���������* =4666>* B������������ D��� �'�����*C ��� 0�������� 1���*
��� �� ����� 44@=5> ?#6�6$3*
P4"Q ����� T���+��� ��� ����� 1������ ="$$#>* B��������� /������� / ������
��� ���� �� ���������� &��*C +������ ���� ���* �( ��������� H������� �(
����(����� ����� ���<*
54
P45Q ����� D����� +* �J��� ������� E* 1��� �� D���� ��� D��� &����� +*
=466$>* B������� ������� �� ������������ ����� ��� ���������� D�����*C
������ ����� ��(�' ?$ =4> =!����>� "4? 8 55*
P4@Q ����� D����� +* �J��� ������� E* 1��� �� D���� ��� &����� +* D���*
=466">* B������������� �� ������������ ����*C 0�������� 1������ �� �����
4$% ="> =!� >� %56�%4*
P43Q ������� ��������� �������� 9������ ��� G����� D������* ="$$5>* B2������
������ ����� �( ��� D���� ��� !���� -�<���� / !��� �( 2!1.� ����� ��� 1��
����*C G9�D +������ ����� 4$4"3 G������� 9���� �( �������� D����� 2��*
P4#Q A������ 1����* ="$$$>* B&� /���� 1�� ��� D������ E����� 1������� ������ ��
-�' ����� �� &��������� 2������������ *C G9�D +������ ����� %?$% G�������
9���� �( �������� D����� 2��*
P4%Q 1����� /� * ="$$@>* B�������� ����� ��� ��������� ������ 2�����
��� ����� A��� ��� !��� ���*C -���( ������������ ��� ��� �����
�����NN'''*)���������*���N�N�������N��U�"565N��U@U4##N��U44@#54#?#N
P4?Q �������� 2�� ��� /� ���<��* ="$$4>* B��������� �( ��(�1��)����� 1��������
����� �� �� ������)������ �( 2������� ����(�����*C '������ ���� ��� H�����
��� ��� &� /��� H������� *
P46Q ������ �����* ="$$3>* B2�(�������� ��� �� ����� �� /������� *C '������ ����
GTH ����*
P"$Q -������ 1���� G��� D������ ��� ��� ����(�� ="$$@>* B&� &��� �(
������ ���� �� &��� ���������� /��� ��� �( ������������ ���� '��� ������
��� ������ 2�(��������*C ��������� %" =3> =������>� 43?5�4366*
P"4Q 2����������� !����� 1���* ="$$$>* D���� (��� �� /���� ������ ��� �� D��
�( �� 2!1*
P""Q A������ ���� D* =46%6>* B/ !��� �( 9����� �( �� ���� �����*C 1������ ��
������ 2����� ��� %��!�� 44 =/�����>� 544 8 "3*
P"5Q !����� ����� ��� - �� ���� ����* =466?>* BH��:� �:��������� �� � !��� �(
��(�1��)����� ������ /������*C ������ ����� ��(�' ?? =5> =J��>� 3?% 8
6%*
5"
P"@Q !����� ����� ��� - �� ���� ����* ="$$@>* B������������ D��� ��� �� ���� �(
���*C �������� ����� ��(�' @? 455�435*
P"3Q ����(�� !�����* =466#>* B!���� �( ������ ����� '��� ��(�1��)����� 1�����*C
�������� ����� ��(�' @$ =5 8 3> =/����>� 4$5% 8 @%*
P"#Q D���� J��������� ��� V���� E���* ="$$@>* B������������ 1������ ��� ��
��� �( ��� D����� +�� 9����� D���� /(�� /��MC '������ ���� H������� �(
&������*
P"%Q H�� 1��������� ="$$%>* B<�&�� I����� &������ (�� D�� ���� �������� ���
������� (���������� ���������� ��������� C ����������� ����� 4$=">
4%4�4%?*
P"?Q E�� -� �� J��� 9* 9������� D� ���� �* ��� D������ �* 9��* =466$>* B&����
������������ ���� �������� H�������� ��� ������������ 1�����*C ������
����� ��(�' ?$ =4> =!����>� "5@�@?*
55
/ �""���! �0 %���������
� �� ���� (�� ��� �( ��� :��������� ����� ��� �� ��� ���������� ������� ����
'��� ��� '��� �� �������* 1���� ' ���� (�� �� :��������� �������� �� ����� 4
������ (�� �� ������ ��� '�� ���� �( ��������� � :���� ��
=�� '�� �� ��� �� ��� �(
�� ��������� ��������>
��� � �������
�� � ����� =#>
������� =#> (�� ��� ' ��
��� � ��� ��� �� ��������
G�' ' ��������� ��� ���� �� ���� :��������� :������ ����
�
���� ����� �
���� �
��� ��
�� ���
�� ���
�
���� ����� �
���� �
���� �
�� �� ��������
� �
�� ���
�� ���
������� �� ���� ���� ������� ��� �� �� �(������ ��� �( �� �������� ' ��
�
�� ���� �
�� �� ���������� �
������������ �
�
�� �� =%>
+ ��� ������( ���� �������� (����� ����� �� (��� ���� �������� � � ��� ������� ���
���� ���� � �����
��� ��� ��
��������� � � =?>
������� (�� ��� ���� �� �� :��������� �������� �� �� )��� ����� ������ ���� ����
�� ���� '��� ������� �� �� )��� ����� =�� � �> �( ��� ��� �( � ���* ���� � ��������
����� ��� �� ���:� �( ��� ��� �( �� (����'��� ����������� ����� (�� �� ����������
�� � �������* &� � ���� ' �)�
��������� �� � � � ��� �� ��
��������� � �
G�� ���� ��������� �� �� ���������� ��� ��0������� �� � � ��� �� ��� ���� ���� �� � � ��� ���� �� � '���� ������ ���� ��� �������� ����� � �������� ��� �� ��������
5@
�����)� ������ � ��� ��* &��� ��������� ������* &� ���� ���:���� ��� ����
���������� ������
��� ��
������������� �
+ ��� ��'��� ���� ����� �� (������ (�� �� �������� �( �� ����� (��������
����
������� �
�
�������������
�
������������
'�� ���� �� �� �*�*(* �( �� �������� ������ ������������ ��� �� ������ � ����
=�**
���� ���� � ����
>* &��(��
���������� ������
��� ��
�
�
������������ � � �
� ��
�
��� � �
&�� �( �����
�
��� � � � � �� �( ��
��� �
�� �� (������� � �� ������� ��������� �� ���
�������������
����� �� '���� ������ � ���:� �������� �� =?>*
+ ��� �� �� 2������� 1������� &���� �� ��������� ���� �� �������� ������ ��
������������ �������� �� �* � �������� �� � �)�� ��
�������� �� ��
�� ���� �
�� �� ���������� �
� �
�� �� � �
������
� � � ���
� ������ �
� �����
�����
� �����
���������������
��
�� �����
������������
=6>
/� ' ��� ���'� ���� �� �������� �( �� ����� �( �� �*�*(* �( �� �������� ������
�� ������� ��� ����� ��� ������� �����* + ���� ���' ���� �� ����������� ��'�
�� ��������� �� �����
�� ��
��* &��� �� '��� (������� �� =6> �� ������ =�** ����
�� �>*
2�������� ��� �� �������� �� � ����� '�� �� ������ ������ ��� ��� � ���� ��� ��
(���������� �� ������� ����* �� �� ����� '�� �� ������ '��� � ������(�� ��
�� )��� ����� �� ������� �����* &��� �� �������� ���� �� ��'* 2� ���� '���� '��
�� ��� �( �� ����� �� ���� �� ����� �� �������� ���������� ����� ���� ������ ��
�������' �� ����* �� �� �� )��� ����� �� ��< �( �� ������ �� ������� �����*
&�� �� �� ����� ����� �( �� ����� �� � ��;����� ����� ������ ������ �� ������
����� �������* =&��� �� ����� ��� ���� ���������� ����� ���� ������ �� �����
�� ������ :��*> &��� �� '� ���� ������� ��� ��� �� ����������� *
+ ��� ���� ���( ���� �������� � ��� =��� ��� �( �� ������ ������ �� �������
53
����(������� ������ �� �� ������ ������ ���� �� �( ���� � �>* � �� ��������� ���
���� :������ =%>�
�
�� �
��
�
�� �
� �� ���������� �
������������ �
�
�� �
��
�
�
� �� ��
�� ��
���� �
�:������ ���� ������
��� ����
�
�� �
�
� ����� �
'���� �� ��� (�� ��� ���( ���� � � �� :�������� �( ���� � * &� ��� ���� ��0����
' ,��� (���� �� !���������� ����� ��������* &� !���������� ����� �� �� ����� �� ��
����� �( ��������� �( ������ ��� ������ ��(�������� ��������� ��)��� �� �� ���� '����
������ ��(�������� ����� ��)���� ����� ������ �� ������ ��(��������* 2� ��
������
������ ��
�� �� � � ��
1����� ' ���� �� 2������� 1������� &���� ����� �� ���' ���� ������ �� ���������
�� ��* �)�
!�������� �� � ��� ��� ��
���������� � � �
�������
� ��!�����!�����
������� �� ��������
�� �����
������������
=4$>
+ ����� ���' ���� �� ���������� �( =4$> �� ��'� � ������* � �� (���� �� ��
��������* &� ����� �*�*(* �( �� ������ ��� �� (����'��� ������ �
�������� � � �( ��� � ���
�������� � � �( ��� � ���
&��(�� �� ���� ���� (������� ' �� �� ������� ��� �'� ����* 2� ��� �� � ��
��' �� � ���� '���� ������ ���� ������ � ��� ����� ' ��� ����� ���� ���� ������
�� ������������ �������� �� � ��� ���� �������� � ���* &��� ������ ���� �������� � �
5#
��� �� �������� �( =4$> �� ������� =�** ������ �� �������� �� ���* 2� ��� ���� � �� ����
���� �� � � ��� �� ' ���' ���� ������ � ���* 2� ���� ��� �������� � � �� ��������
�( =4$> �� ������ =�** ������ �� ��������� �� ���* &��� ���'� ���� ������ �� ��������� ��
��
������� %�#���� ��( #���+ ��� ��������� ��� ����� � ���:� ������� :��������� �� �� )��� ����
'���� �� ���� �� ������ ��(�������� �� ����� �����* &��� ����� ��'�� ����
��� �� ���������� ���� ��� �� ���� ����������� :��������* + ��' ���' ���� ���
�� �� ���� :��������� ��� '��� �� ��� ���� �� :��������� �� �������� �������*
1�� ��������� ������� �� ������ ��� '�� � � �* &��� ����'� �� �� ������� ��
������ �� � ��� ���� �� ������ � ���� ��� �� ������� ��< �( �� ������
� ����
1�� �� �� � �� � � �� ������ ���� �� ���� �( ����� ��������� =��������
������ /> '�� =������ �� > ���� ������ ������ / �( ��� ��� �( �� ��* G�� '
�)� �� (�������
" ���� ��� � ����� ������� ��� ��� �
������ �������
'���� ������� �� ������ ��0��� ��'� �������� ������ / ��� �������� ������ 9
(�� �� ���� '�� ��� � ������ ������ �� ��� ����� �� ���� ����� �� ������ �( ���
��� �( ���� ������� (��� ���' ��* 1��� �� ����
������ � ��
���� �� � ���
���
" ���� ��� � � � ��������� � ����� ��
'�� � � ��� ��� �� �� ���:� �������� �� ���� ��� � �� �� :�������� �� ����� �(
�� � �� ��� �� ���� ���
G�� ���� �� �� ��������� �� �� '���� ������ ���� " ���� ��� �� ��������� �� ��* &��� ��
�� ��� �������� �� ���� ����� �� �� ����� �� �� �0 (��� �������� ������ /*
1�������� " ���� ��� �� �������� �� ��� �� ����� �� ������ ������ �� ��'� ��
����� �� �0 (��� �������� ������ /*
G�� ��� ���� " ���� ��� �� ���������� �� �� ��� �����)� " ���� ��� � � � � � � ��
�� � � ��� " ���� ��� � �� � � �� �� � * + ��� ���(�� �)� � (�������
5%
#��� ���� ���� �� � #� ��� �� �� ���:� �������� �� " ���� ��� � � '��� ����� �� ��
&��� �� '�� ����� $ �� � ����� ������ / �( ��� ��� �( ��� �� ���� � )��� ��
������� �� ����� ������ / �( ��� ��� �( ��� � #� ���* ���� " ���� ��� �� ���������� ��
���� �������� �������� �� �� ��� ��������� �� �� �� (������� #� ��� �� ����������
��� ��������� �� ��* 1����� ��� ���� #� ��� ��� � ���:� )�� ����� ��� � #����� ���
���� )�� ����� �� ���� �� �������� ��� �( �� ���:� ������� :��������� ���� '
���������� �� ������ "*4*
G�' ��������� � �:��� ���������� '��� ���� � � ��� ���� � #�������� (�� ���
% � �* 2� ���������� ������ ������ � �� �������� ��
������ � ������ ��� �� ������������
' ���
" ���� ������� � � � ��������� � ��������� ��
��� ����
���� � ������ ��� �� ������ ����
&��� '��� ���� � � ' ��� ���� � � ���� � ��� �� ����� � ���� ��� �� ��* �����
�� �:��� ���������� �� ��������� ��� �� ������ ���� � ���* -�� �� ������� ��
��� ��* 9 ��������� �( #��� �� ����� �� ���� � � )�� ����� �( #* 9�� ' ���
����� ����� ���� #��� ��� � ���:� )�� ����� ��� ���(�� �� � ���*
G�� ��������� � �:��� ���������� '��� ���� � � ��� ���� � #�������� (�� ���
% � �* G�� ���� �� �:��� �� �������� ��� �� ������ ���' � ���* -��
�:��� ���������� ������� �� ��� ��* 9 ��������� �( #��� �� ����� �� ���� � �
)�� ����� �( #* 9�� ' ��� ����� ����� ���� #��� ��� � ���:� )�� ����� ���
���(�� �� � ���*�
5?
1 �""���! -0 ������ �� ��( ���
&��� 9�2*
��������� ����������*
Sessions 1-4Cost 20
Sessions 1-4Cost 50
Sessions 5-6No New Info
Sessions 5-6New Info
Mean θ 73.48 64.40 77.78 74.10
Min θ -73.83 -92.73 -107.48 -49.06
Max θ 208.46 188.30 256.30 256.68
Mean x (Stage 1) 73.37 64.45 77.80 74.25
Min x (Stage 1) -82.55 -106.92 -128.23 -71.84
Max x (Stage 1) 220.85 201.84 277.64 281.59Mean # AttackersStage 1 9.16 8.89 6.88 7.18Mean # AttackersStage 2 1.28 0.89 0.50 1.94Mean Belief (Stage1) 8.57 8.35 6.62 7.03Mean Belief (Stage2) 1.76 1.58 1.08 2.71% SuccessfulAttacks (Stage 1) 0.57 0.54 0.43 0.41% SuccessfulAttacks (Stage 2) 0.019 0.00 0.00 0.021Median ComfortLevel with Stats 4 4 4 4Number ofSubjects 120 120 60 60
56
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-150 -100 -50 0 50 100 150 200θ
Att
ack
Frac
tion
1���� 94� A��� D������� =�����#$ &������>
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-150 -100 -50 0 50 100 150 200θ
Att
ack
Frac
tion
1���� 9"*� A��� D������� =�����"$ &������>
@$
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
<0 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 >100x
Pr(A
ctio
n A
)
1���� 95� ���������� �( /����� / ��* � =�����"$ &������>
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
<0 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 >100x
Pr(A
ctio
n A
)
1���� 9@� ���������� �( /����� / ��* � =�����#$ &������>
@4
&��� 9�22*
���� 4 2��������� �� ����� D�������� =����� ���� (�� /�� �������>
1 2 3Private signal, x -0.1046*** -0.1064*** -0.0603***
(0.0100) (0.0104) (0.0091)Cost of action A -0.0306*** -0.0115*
(0.0046) (0.0065)Belief 0.6842***
(0.0511)Pseudo R2 0.74 0.75 0.91No. of observations 6000 6000 6000Note: Standard errors in parentheses. Regressions include groupand round fixed effects. For sessions 5 and 6, only the no-new-informationtreatment data are used. Significance levels: * 10%, ** 5%, *** 1%.
Dependent Variable: Action
&��� 9�222*
���� 4 2��������� �� D�������� =����� ���� (�� /�� �������F ���,�� 1��� �0���>
1 2 3Private signal, x -0.0065*** -0.0066*** -0.001***
(0.0001) (0.0001) (0.0001)Cost of action A -0.0026*** -0.0004**
(0.0003) (0.0002)Belief 0.0668***
(0.0010)R2 0.58 0.59 0.84No. of observations 6000 6000 6000Note: Robust standard errors in parentheses. Regressions include group,subject, and round fixed effects. For sessions 5 and 6, only the no-new-information treatment data are used. Significance levels: ** 5%, *** 1%.
Dependent Variable: Action
@"
&��� 9�2E*
2��������� �� ����� D�������� =����� ���� (�� /�� �������>
1 2 3Private signal, x -0.1052*** -0.1078*** -0.0614***
(0.0090) (0.0096) (0.0097)Cost of action A -0.0339*** -0.0148**
(0.0044) (0.0064)Belief 0.7079***
(0.0485)Stage -1.6341*** -1.5964*** -0.8440***
(0.1157) (0.1145) (0.1785)R2 0.75 0.76 0.92No. of observations 8820 8820 8820Note: Standard errors in parentheses. Regressions include groupand round fixed effects. For sessions 5 and 6, only the no-new-informationtreatment data are used. Significance levels: ** 5%, *** 1%.
Dependent Variable: Action
&��� 9�E*
2��������� �� D�������� =����� ���� (�� /�� �������F ���,�� 1��� �0���>
1 2 3Private signal, x -0.006*** -0.006*** -0.0008***
(0.0001) (0.0001) (0.0001)Cost of action A -0.0026*** -0.0005**
(0.0003) (0.0002)Belief 0.0655***
(0.0008)Stage -0.2307*** -0.2272*** -0.0399***
(0.0073) (0.0073) (0.0054)R2 0.62 0.62 0.85No. of observations 8820 8820 8820Note: Robust standard errors in parentheses. Regressions include group,subject, and round fixed effects. For sessions 5 and 6, only the no-new-information treatment data are used. Significance levels: ** 5%, *** 1%.
Dependent Variable: Action
@5
&��� 9�E2*
���� " 2��������� �� ����� D�������� H���� =������� 3 ��� #>
DependentVariable: Action
Private signal, x -0.1428***
(0.0199)NI dummy 0.7783*
(0.4518)R2 0.67No. of observations 1395Note: Standard errors in parentheses.Regressions include group, subject, and round fixedeffects. Significance level: * 10%, *** 1%.
&��� 9�E22*
/��������� �� D�������� �( /���� 1������� �(
!������ �� D�����
Sessions 1-2 Sessions 3-4Round*Cost -0.0024 -0.0011
(0.0019) (0.0021)Constant 0.1148** -0.071**
(0.0261) (0.0044)R2 0.04 0.01No. of observations 40 40Note: Robust standard errors in parentheses.Significance levels: ** 5%, *** 1%.
Dependent Variable:Average Fraction of Mistakes
@@