precÁlculo - abaco.com.ve

PRECÁLCULO

Ron LarsonThe Pennsylvania State University

Robert HostetlerThe Pennsylvania State University

Séptima Edición

Barcelona - Bogotá - Buenos Aires - Caracas - México

CO

NT

EN

IDO

Palabras de los autores (prefacio) vii

Características y puntos importantes del libro xi

Funciones y sus gráficas 1

1.1 Coordenadas rectangulares 2

1.2 Gráficas de funciones 14

1.3 Ecuaciones lineales con dos variables 25

1.4 Funciones 40

1.5 Análisis de gráficas de funciones 54

1.6 Catálogo de funciones básicas 66

1.7 Transformaciones de funciones 74

1.8 Algebra de funciones y funciones compuestas 84

1.9 Funciones inversas 93

1.10 Modelización y variación 103

Resumen del capítulo 115 Ejercicios de repaso 117

Prueba del capítulo 123 Demostraciones en matemáticas 124

P.S. Resolución de problemas 125

Funciones polinomiales y racionales 127

2.1 Funciones cuadráticas y modelos 128

2.2 Funciones polinomiales de grado superior 139

2.3 División de polinomios y división sintética 153

2.4 Números complejos 162

2.5 Ceros de funciones polinomiales 169

2.6 Funciones racionales 184

2.7 Desigualdades no lineales 197




Funciones exponencial y logarítmica 217

3.1 Funciones exponenciales y sus gráficas 218

3.2 Funciones logarítmicas y sus gráficas 229

3.3 Propiedades de logaritmos 239

3.4 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 246

3.5 Modelos exponenciales y logarítmicos 257


Prueba del capítulo 275 Prueba acumulada: capítulos 1 – 3 276

Demostraciones en matemáticas 278 P.S. Resolución de problemas 279

iii

Contenido

Capítulo 1

Capítulo 2

Capítulo 3

Trigonometría 281

4.1 Medición de ángulos en radianes y en grados 282

4.2 Funciones trigonométricas y el círculo unitario 294

4.3 Trigonometría del triángulo rectángulo 301

4.4 Funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera 312

4.5 Gráficas de las funciones seno y coseno 321

4.6 Gráficas de otras funciones trigonométricas 332

4.7 Funciones trigonométricas inversas 343

4.8 Aplicaciones y modelos 353




Trigonometría analítica 373

5.1 Uso de identidades fundamentales 374

5.2 Comprobación de identidades trigonométricas 382

5.3 Resolución de ecuaciones trigonométricas 389

5.4 Fórmulas de suma y diferencia de funciones trigonométricas 400

5.5 Fórmulas de funciones trigonométricas de ángulo múltiple

y de producto a suma 407




Temas complementarios de trigonometría 429

6.1 Leyes de los senos 430

6.2 Leyes de los cosenos 439

6.3 Vectores en el plano 447

6.4 Producto vectorial y producto punto 460

6.5 Forma trigonométrica de un número complejo 470




Sistemas de ecuaciones y desigualdades 495

7.1 Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales 496

7.2 Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables 507

7.3 Sistemas de ecuaciones lineales con tres o más variables 519

7.4 Fracciones parciales 533

7.5 Sistemas de desigualdades 541

7.6 Programación lineal 552




iv Contenido

Capítulo 4

Capítulo 5

Capítulo 6

Capítulo 7

CO

NT

EN

TS

CO

NT

EN

IDO

Contenido v

Matrices y determinantes 571

8.1 Matrices y sistemas de ecuaciones 572

8.2 Operaciones con matrices 587

8.3 La inversa de una matriz cuadrada 602

8.4 Determinante de una matriz cuadrada 611

8.5 Aplicaciones de matrices y determinantes 619




Sucesiones, series y probabilidad 641

9.1 Sucesiones y series 642

9.2 Sucesiones aritméticas y sumas parciales 653

9.3 Sucesiones geométricas y series geométricas 663

9.4 Inducción matemática 673

9.5 El teorema del binomio 683

9.6 Principios de conteo 691

9.7 Probabilidad 701




Temas de geometría analítica 727

10.1 Rectas 728

10.2 Introducción a las cónicas: parábolas 735

10.3 Elipses 744

10.4 Hipérbolas 753

10.5 Rotación de cónicas 763

10.6 Ecuaciones paramétricas 771

10.7 Coordenadas polares 779

10.8 Gráficas de ecuaciones polares 785

10.9 Ecuaciones polares de las cónicas 793




Capítulo 8

Capítulo 9

Capítulo 10

Repaso de conceptos fundamentales de álgebra A1

A.1 Números reales y sus propiedades A1

A.2 Exponentes y radicales A11

A.3 Polinomios y factorización A23

A.4 Expresiones racionales A36

A.5 Resolución de ecuaciones A46

A.6 Desigualdades lineales con una variable A60

A.7 Errores en el álgebra del cálculo A70

Respuestas de ejercicios impares y de pruebas A77

Índice A211

Índice de aplicaciones (sitio en la red: www.college.hmco.com)

Apéndice B Conceptos en estadística (sitio en la red:www.college.hmco.com)

B.1 Representación de datos

B.2 Medidas de tendencia central y de dispersión

B.3 Regresión y mínimos cuadrados

vi Contenido

Apéndice A

vii

Bienvenidos a precálculo, séptima edición. Estamos muy contentos en presentar

esta edición nueva de nuestro libro de texto. Nos enfocamos en hacer accesible las

matemáticas, apoyando el éxito de los estudiantes y ofreciendo a los maestros

opciones flexibles de enseñanza.

Accesible para los estudiantesAl paso de los años hemos tenido cuidado en escribir este libro teniendo en cuen-

ta a los estudiantes. Poniendo atención especial en la presentación; empleamos un

lenguaje matemático preciso y un estilo de escritura claro, para desarrollar una

herramienta efectiva de aprendizaje. Creemos que cada estudiante puede aprender

matemáticas y estamos comprometidos en proporcionar un libro que haga accesi-

bles los contenidos del precálculo a los estudiantes. Para la séptima edición

hemos revisado y mejorado algunas de las características del libro, diseñadas para

este fin.

En todo el libro, presentamos soluciones de ejemplos en diversos puntos de vista,

en formas algebraica, gráfica y numérica. Incorporar esta característica pedagó-

gica ayuda a los estudiantes a ver que un problema se puede resolver en más de

una forma y qué métodos distintos producen el mismo resultado. El formato tam-

bién aborda muchos estilos de aprendizaje distintos.

Hemos encontrado que muchos estudiantes de precálculo comprenden los con-

ceptos matemáticos más fácilmente cuando trabajan en el contexto de situaciones

de la vida real. Los estudiantes tienen varias oportunidades para hacer esto en la

séptima edición. La característica nueva tome una decisión se ha agregado al libro

para conectar datos de la vida real y aplicaciones para motivar a los estudiantes.

También ofrece a los estudiantes la oportunidad de generar y analizar modelos

matemáticos con mayor número de datos. Para reforzar los conceptos de funcio-

nes, cada función se introduce en el uso con una definición y una descripción de

las características básicas. Además, las funciones elementales se presentan en un

resumen en los forros del libro para utilizarlos como referencia.

Hemos escrito y diseñado cuidadosamente cada página para hacer el libro más

fácil de leer y accesible a los estudiantes. Por ejemplo, para evitar voltear páginas

en forma innecesaria e interrupciones en los procesos de pensamiento de los estu-

diantes, cada ejemplo, y solución correspondiente, inicia y termina, en la misma

página.

Apoya el éxito del estudianteDurante más de 30 años de enseñanza y escritura hemos aprendido muchas cosas

acerca de la enseñanza y del aprendizaje de las matemáticas. Hemos encontrado

que los estudiantes tienen más éxito cuando saben qué es lo que se espera que

aprendan y por qué es importante aprender los conceptos. Con esto en mente,

hemos mejorado la serie de estudio temático en la séptima edición.

Cada capítulo inicia con una lista de aplicaciones que se analizan y sirve como

herramienta de motivación que conecta el contenido de la sección con situaciones

de la vida real. Empleando el mismo tema pedagógico, cada sección inicia con un

Palabras de los autores

PR

EFA

CIO

viii Palabras de los autores

conjunto de objetivos de aprendizaje de la sección que debe aprender. Estos con-

tinúan con una aplicación ilustrativa de la vida real, por qué debe aprender esto,

que motiva a los estudiantes e ilustra un área de aplicación de los conceptos mate-

máticos en un ejemplo, o ejercicio, en la sección. El resumen del capítulo, ¿Qué

aprendió?, al final de cada capítulo, es un repaso de sección por sección que liga

los objetivos de aprendizaje a conjuntos de ejercicios de repaso, al final de cada

capítulo.

En todo el libro, otras características mejoran aún más la accesibilidad. Ayudas de

estudio se proporcionan para reforzar los conceptos y para ayudar a los estudian-

tes a aprender cómo estudiar matemáticas. Tecnología, escribiendo acerca de

matemáticas, notas históricas y exploraciones se han ampliado con objeto de

reforzar conceptos matemáticos. A cada ejemplo, con su solución, le sigue una

verificación que dirige al estudiante a solucionar un ejercicio similar del conjun-

to de ejercicios. La sección de ejercicios inicia con un control de vocabulario que

proporciona al estudiante oportunidad para probar su comprensión de los temas

importantes de cada sección. Los ejercicios nuevos tome una decisión conectan

aún más los datos de la vida real y aplicaciones y motivan a los estudiantes. Los

ejercicios de reafirmación de habilidades proporcionan práctica adicional de los

conceptos del capítulo o de capítulos anteriores. Los exámenes del capítulo, al

final de cada capítulo y los exámenes acumulados periódicos ofrecen a los estu-

diantes oportunidades frecuentes para una auto-evaluación y para desarrollar

habilidades firmes de estudio y de toma de exámenes.

El uso de tecnología también apoya a los estudiantes con estilos distintos de

aprendizaje. Las notas de tecnología se proporcionan en todo el texto en su punto

de uso. Estas notas llaman la atención a los puntos fuertes y débiles de la tecno-

logía de graficación, también ofrecen métodos alternos para resolver o verificar

un problema empleando tecnología. Estas notas también dirigen a los estudiantes

a la guía de tecnología de graficación, en el sitio en la red del libro, para ayuda

en la secuencia de pulsaciones de teclas que está disponible para numerosos

modelos de calculadoras. El uso de la tecnología es opcional. Esta característica,

y ejercicios relacionados, se pueden omitir sin pérdida de continuidad en la cober-

tura de los temas.

Se dispone de numerosos recursos adicionales específicos del libro para ayudar a

los estudiantes a tener éxito en el curso de precálculo. Entre estos se incluyen

ayuda guiada “en vivo,” DVDs de instrucciones y una variedad de otros recursos,

como apoyo guiado y auto-evaluación, los cuales están disponibles en el CD-ROM

HM mathSpace®, la red y Eduspace®. Además, la guía en línea para tomar notas

es una guía que ayuda a los estudiantes a organizar sus notas de clases y a crear

una herramienta de estudio y repaso efectiva.

Opciones flexibles para maestrosDesde la primera vez que comenzamos a escribir libros de texto, a principios de

la década de 1970, hemos considerado una parte crítica de nuestra función como

autores, proporcionar a los maestros programas flexibles; además de abordar una

variedad de estilos de aprendizaje. Las características opcionales dentro del libro

permiten a los maestros diseñar sus cursos para cumplir las necesidades de ins-

trucción y las necesidades de los estudiantes. Por ejemplo, las exploraciones en

Palabras de los autores ix

el libro se pueden emplear como una introducción rápida a los conceptos, o como

una forma para reforzar la comprensión del estudiante.

Nuestra meta, cuando desarrollamos los ejercicios, fue abordar una variedad de

estilos de aprendizaje y preferencias de enseñanza. Nuevas para esta edición son

las preguntas de control de vocabulario, que se proporcionan al inicio de cada

conjunto de ejercicios, dispuestos para ayudar a los estudiantes a aprender la ter-

minología matemática adecuada. En cada conjunto de ejercicios hemos incluido

una variedad de tipos de ejercicios, incluyendo preguntas que requieren escritura

y pensamiento crítico, así como aplicaciones con datos reales. Los problemas

están graduados cuidadosamente en dificultad del dominio de habilidades básicas

a ejercicios motivantes. Algunos de estos ejercicios incluyen el ejercicio de sínte-

sis que combina habilidades y se emplean para verificar la comprensión concep-

tual y los ejercicios nuevos tome una decisión que conectan más datos y aplica-

ciones de la vida real y motivan a los estudiantes. Los ejercicios de reafirmación

de habilidades, ubicados al final de cada conjunto de ejercicios, refuerzan habili-

dades previamente aprendidas. Además, el sitio en la red Eduspace® de Houghton

Mifflin ofrece a los maestros la opción de asignar tareas y exámenes en línea;

también incluye la habilidad de calificar automáticamente estas tareas.

Están disponibles otros recursos impresos y medios de información para apoyar a

los maestros. El organizador en línea del éxito del maestro incluye planes de lec-

ciones sugeridos y es una herramienta, especialmente útil, para departamentos

grandes que deseen que todas las secciones de un curso sigan el mismo perfil. La

edición del maestro de la guía de toma de notas del estudiante se puede usar como

un resumen de conferencia para cada sección del libro e incluye ejemplos adicio-

nales para el análisis en clase y definiciones importantes. Este es otro recurso

valuable para escuelas tratando de tener una enseñanza consistente y se puede

emplear para apoyar a maestros menos experimentados. Cuando se emplea en

conjunto con la guía de toma de notas del estudiante estos recursos pueden aho-

rrar a los maestros tiempo de preparación y ayudan a los estudiantes a concen-

trarse en conceptos importantes.

Los maestros que enfaticen aplicaciones y resolución de problemas, o la explora-

ción y tecnología, en conjunto con métodos más tradicionales son capaces de usar

este libro exitosamente.

Esperamos que disfrute la séptima edición.

Ron Larson

Robert Hostetler

PR

EFA

CIO

xi

Rasgos sobresalientes del libro

• Apertura del capítuloCada capítulo inicia con una presentación general

completa de los conceptos del capítulo. La fotografía

y su leyenda ilustran una aplicación de la vida real

de un concepto clave. Las referencias de sección

ayudan a los estudiantes a prepararse para el

capítulo.

• Lista de aplicacionesUna lista abreviada de aplicaciones, comprendido en

el capítulo, sirve como herramienta de motivación

conectando el contenido de la sección con

situaciones de la vida real.

• “Qué debe aprender” y “por qué debe aprender esto”

Estas secciones inician con qué debe aprender,

un resumen de los conceptos principales cubiertos

en la sección y por qué debe aprender esto, una

aplicación de la vida real, o referencia matemática,

que ilustra la importancia del contenido de la

sección.

La prueba del carbono es un

método que se emplea para

determinar la antigüedad de

objetos arqueológicos hasta

50,000 años. Por ejemplo, los

arqueólogos la emplean para

determinar desde cuándo existen

las pirámides de Egipto.

217

APLICACIONES SELECTASLas funciones exponencial y logarítmica tienen múltiples aplicaciones en la vida real. A continuación se

describe una muestra de las que se estudian en este capítulo.

• Virus en computadora,

ejercicio 65, página 227.

• Análisis de datos: Meteorología,


• Intensidad sonora,


• Velocidades de galope de animales,


• Estaturas promedio,


• Datación por carbono,


• Puntajes del CI,


• Ciencia forense,


• Interés compuesto,


3.1 Funciones exponenciales y sus gráficas

3.2 Funciones logarítmicas y sus gráficas

3.3 Propiedades de los logaritmos

3.4 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

3.5 Modelos exponenciales y logarítmicos

Funciones exponencialesy logarítmicas

33

© S

ylv

ain

Gra

nd

ad

am

/Ge

tty

Ima

ge

s

Sección 3.3 Propiedades de los logaritmos 239

Cambio de baseLa mayoría de las calculadoras sólo tienen dos tipos de teclas log, una para loga-

ritmos comunes (base 10) y otra para logaritmos naturales (base ). Aunque los

logaritmos comunes y los naturales son los de uso más frecuente, en ocasiones

es necesario evaluar logaritmos con otras bases. Para hacer esto, se puede em-

plear la fórmula de cambio de base siguiente.

Una forma de considerar la fórmula de cambio de base es que los logaritmos

de base , simplemente, son el producto de una constante por el logaritmo de ba-

se El factor constante es

Cambio de bases empleando logaritmos comunes

a.

Use calculadora.

Simplifique.

b.

Ahora resuelva el ejercicio 1a.

Cambio de bases empleando logaritmos naturales

a.

Use calculadora.

Simplifique.

b.

Ahora resuelva el ejercicio 1b.VERIFICACIÓN

log2 12 �ln 12

ln 2�

2.48491

0.69315� 3.5850

� 2.3219

�3.21888

1.38629

loga x �ln x

ln alog4 25 �

ln 25

ln 4

VERIFICACIÓN

log2 12 �log 12

log 2�

1.07918

0.30103� 3.5850

� 2.3219

�1.39794

0.60206

loga x �log x

log alog4 25 �

log 25

log 4

1��logba�.b.

a

e

Qué debe aprender

• Usar la fórmula del cambio de

base para reescribir y evaluar

expresiones logarítmicas.

• Usar propiedades de

logaritmos para evaluar

o reescribir expresiones

logarítmicas.

• Usar propiedades de

logaritmos para expandir

o condensar expresiones

logarítmicas.

• Usar funciones logarítmicas

para modelar y resolver

problemas de la vida real.

Por qué debe aprender esto

Las funciones logarítmicas se

pueden emplear para modelar

y resolver problemas de la vida

real. Por ejemplo, en los

ejercicios 81 a 83, página 244, se

emplea una función logarítmica

para modelar la relación entre

el número de decibeles y la

intensidad de un sonido.

Propiedades de los logaritmos

AP Photo/Stephen Chernin

3.3

Fórmula de cambio de baseSean y números reales positivos tales que y Se puede

convertir a una base diferente de a como sigue.

Base b Base 10 Base e

loga x �ln x

ln aloga x �

log x

log aloga x �

logb x

logb a

loga x

b � 1.a � 1xba,

Ejemplo 1

Ejemplo 2

RA

SGO

S SOB

RESA

LIENTES

xii Rasgos sobresalientes del libro

• EjemplosMúltiples ejemplos presentan soluciones con

enfoques variados, algebraicos, gráficos y

numéricos. Este formato aborda una variedad de

estilos de aprendizaje y muestra a los estudiantes

qué métodos de solución distintos producen el

mismo resultado.

• VerificaciónLa verificación dirige al estudiante a solucionar

un problema similar en el conjunto de ejercicios

para práctica adicional.

• ExploracionesExploración llama la atención de los estudiantes

al descubrimiento de los conceptos matemáticos,

refuerza las habilidades del pensamiento crítico

y los ayuda a desarrollar una comprensión intuitiva

de los conceptos teóricos.

• Ayudas de estudioAyudas de estudio refuerzan los conceptos y ayuda

a los estudiantes a aprender cómo estudiar

matemáticas.

• TecnologíaLa característica tecnología proporciona instrucciones

para utilidades de graficación en su punto de uso.

• Características adicionalesEn el libro se encuentran herramientas de aprendizaje

adicionales, cuidadosamente elaboradas y diseñadas

para interrelacionar conceptos. Estas herramientas

de aprendizaje incluyen escribiendo acerca de

matemáticas, notas históricas y un programa

completo para el desarrollo de habilidades.

502 Capítulo 7 Sistema de ecuaciones y desigualdades

ESCRIBIENDO ACERCA DE MATEMÁTICAS

Interpretación de puntos de intersección. Suponga que planea rentar un camión de

4 metros de longitud para efectuar una mudanza durante dos días. En la agencia A

de renta de camiones se puede rentar uno por 29.95 dólares por día, más 0.49

dólares por kilómetro recorrido. En la agencia B se puede rentar un camión por

50 dólares por día, más 0.25 dólares por kilómetro recorrido.

a. Escriba las funciones de los costos totales en términos de x y y para rentar el

camión en cada agencia.

b. Emplee un graficador para trazar las dos funciones en la misma pantalla y

determine el punto de intersección. Interprete el significado en el contexto del

problema.

c. ¿Cuál agencia debería elegir si planea viajar un total de 100 kilómetros durante

dos días? ¿Por qué?

d. ¿Cómo cambia la situación si planea recorrer 200 kilómetros durante dos días?

Ventas de boletos de cine

Las ventas semanales de boletos de cine para una película de comedia disminu-

yen cada semana. Al mismo tiempo, las ventas para una película de drama au-

mentan. Los modelos que aproximan las ventas, , (en millones de dólares), para

cada película son

donde representa el número de semanas que se proyectó cada película;

representa las ventas durante el fin de semana de estreno. ¿Después de

cuántas semanas las ventas de boletos son iguales para las dos películas?

x � 0

x

Comedia

Drama!S � 60 !

S � 10 "

8x

4.5x,

S

Ejemplo 7

Solución algebraicaComo en la segunda ecuación ya se ha despejado en tér-

minos de sustituya este valor en la primera ecuación y

despeje x, como sigue:

Sustituya S en la ecuación 1.

Sume 8x y – 10 en cada lado.

Asocie términos semejantes.

Divida cada lado entre 12.5.

Por tanto, las ventas semanales para las dos películas son

iguales después de 4 semanas.

Ahora resuelva el ejercicio 65.VERIFICACIÓN

x � 4

12.5x � 50

4.5x " 8x � 60 ! 10

10 " 4.5x � 60 ! 8x

x,

S

Solución numéricaSe puede elaborar una tabla de valores para cada modelo

y determinar cuándo serán iguales las ventas para las dos

películas.

En la tabla anterior se observa que las ventas semanales

para las dos películas son iguales después de 4 semanas.

Número desemanas, x

0 1 2 3 4 5 6

Ventas, S(comedia)

60 52 44 36 28 20 12

Ventas, S(drama)

10 14.5 19 23.5 28 32.5 37

Sucesión de términos que alternan su signo

Escriba los primeros cinco términos dados por

SoluciónLos cinco primeros términos de la sucesión son como sigue.

1er. término

2o. término

3er. término

4o. término

5o. término

Ahora resuelva el ejercicio 17.

Enumerar sólo los primeros términos no es suficiente para definir una suce-

sión en forma única. Se debe proporcionar el enésimo término. Para ver esto, con-

sidere las sucesiones siguientes, las dos tienen los mismos tres primeros términos.

Determinación del enésimo término de una sucesión

Escriba una expresión para el enésimo término posible, de cada sucesión.

a. b.

Solucióna. n: 1 2 3 4

Términos: 1 3 5 7

Patrón posible: cada término es 1 menor que el doble de n.

b. n: 1 2 3 4

Términos: 2 10

Patrón posible: los términos se alternan en signo;es negativo, si n es par. Ca-

da término es 1 más, que el cuadrado de n; esto implica que


an � �!1�n"1�n2 " 1�

… an!17!5

… n

an � 2n ! 1.

… an

… n

2, !5, 10, !17, …1, 3, 5, 7, …

�an �,

1

2,

1

4,

1

8,

1

15, … ,

6

�n " 1��n2 ! n " 6�, …

1

2,

1

4,

1

8,

1

16, … ,

1

2n, …

VERIFICACIÓN

a5 ��!1�5

2�5� ! 1�

!1

10 ! 1� !

1

9

a4 ��!1�4

2�4� ! 1�

1

8 ! 1�

1

7

a3 ��!1�3

2�3� ! 1�

!1

6 ! 1� !

1

5

a2 ��!1�2

2�2� ! 1�

1

4 ! 1�

1

3

a1 ��!1�1

2�1� ! 1�

!1

2 ! 1� !1

an ��!1�n

2n ! 1.

Sección 9.1 Sucesiones y series 643

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Escriba los cinco primeros

términos de la sucesión de

enésimo término

¿Son iguales a los cinco

primeros términos de la

sucesión del ejemplo 2? Si no

lo son, ¿cuál es su diferencia?

an ��!1�n"1

2n ! 1.

Exploración

Para graficar una sucesión

empleando un graficador, use el

modo sequenc e y dot e introduzca

la sucesión. La gráfica de la

sucesión del ejemplo 3a se

muestra a continuación. Se pueden

emplear las funciones trace o

value para identificar los términos.

0

0 5

11

Tecnología

Rasgos sobresalientes del libro xiii

• Aplicaciones de la vida realUna variedad de aplicaciones de la vida real,

empleando datos reales actuales se integran

en todos los ejemplos y ejercicios. El símbolo

indica un ejemplo que requiere de una

aplicación a la vida real.

• Álgebra del cálculoEn el libro se da énfasis especial a las técnicas

algebraicas empleadas en cálculo. Los ejemplos

y ejercicios del álgebra del cálculo se integran

en el libro y se identifican con el símbolo .

• Ejercicios de la secciónLos conjuntos de ejercicios de sección consisten

en una variedad de problemas computacionales,

conceptuales y de aplicación.

• Verificación de vocabularioLos ejercicios de la sección inician con el control

de vocabulario, que sirve como repaso de los

términos matemáticos importantes de cada sección.

• Revisión de técnicas preliminares

Práctica adicional y reafirmación de habilidades

de álgebra, necesarios para completar los conjuntos

de ejercicios de sección, se ofrecen a los

estudiantes y están disponibles en Eduspace®.

En los ejercicios 1 a 8 relacione la función cuadrática con

su gráfica [las gráficas están identificadas en (a), (b), (c), (d),

(e), (f), (g) y (h)].

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

1. f(x) = (x 2)2 2. f(x) = (x + 4)2

3. f(x) = x2 2 4. f(x) = 3 x2

5. f(x) = 4 (x 2)2 6. f(x) = (x + 1)2 2

7. f(x) = (x 3)2 2 8. f(x) = (x 4)2

En los ejercicios 9 a 12 grafique cada función. Compare

cada una con la gráfica de y = x2.

9. (a) (b)

(c) (d) k(x) = 3x2

10. (a) f(x) = x2 + 1 (b) g(x) = x2 1

(c) h(x) = x2 + 3 (d) k(x) = x2 3

11. (a) f(x) = (x 1)2 (b) g(x) = (3x)2 + 1

(c) (d) k(x) = (x + 3)2

12. (a)

(b)

(c)

(d) k(x) = [2(x + 1)]2 + 4

En los ejercicios 13 a 28 trace la gráfica de la función cua-

drática empleando un graficador. Identifique el vértice, el

eje de simetría y las intersecciones con el eje x.

13. f(x) = x2 5 14. h(x) = 25 x2

15. 16.

17. f(x) = (x + 5)2 6 18. f(x) = (x 6)2 + 3

19. h(x) = x2 8x + 16 20. g(x) = x2 + 2x + 1

21. 22.

23. f(x) = x2 + 2x + 5 24. f(x) = x2 4x + 1

25. h(x) = 4x2 4x + 21

26. f(x) = 2x2 x + 1

27.

28.

Ejercicios 2.1 El CD-ROM HM mathSpace® y Eduspace® para este libro, contiene soluciones paso a paso para los ejercicios impares. También proporcionan ejercicios guiados como ayuda adicional.

CONTROL DE VOCABULARIO: Complete los espacios vacíos.

1. Una función polinomial de grado n y coeficiente principal an es una función de la forma

f(x) = anxn + an 1x

n 1 + . . . + a1x + a0 (an 0), donde n es un ________ ________ y a1 son números ________.

2. Una función ________ es una función polinomial de segundo grado y su gráfica se denomina ________.

3. La gráfica de una función cuadrática es simétrica respecto a su ________.

4. Si la gráfica de una función abre hacia arriba, entonces su coeficiente principal es ________ y su vértice

es un ________.

5. Si la gráfica de una función cuadrática se abre hacia abajo, entonces su coeficiente principal es ________ y su vértice es

un ________.

REVISIÓN DE TÉCNICAS PRELIMINARES: Practique y refuerce algunas técnicas de álgebra útiles para esta sección en

www.Eduspace.com.

134 Capítulo 2 Funciones polinomiales y racionales

x

(−1, −2)2−4

2

4

6

y

x

(0, −2)2−2 4−4

2

4

6

y

x

(−4, 0)

−2

−2

−6 −4

2

4

6

y

x(4, 0)

2 4 6 8−2

−4

−6

y

x

(3, 2)−

2 4

−2

2

−4

−6

6

y

x

(2, 4)

2−2 6

2

4

y

x

(2, 0)

2−2 4 6

2

6

4

y

x

(0, 3)

−2

4−4

−4

4

y

f x x( ) �12

2 g x x( ) � !18

2

h x x( ) �32

2

h x x( ) � !13

23b g

f x x( ) ( )� ! ! �12

22 1

g x x( ) ( )� ! !12

21 3

h x x( ) ( )� ! � !12

22 1

f x x( ) � !12

2 4 f x x( ) � !16 14

2

f x x x( ) � ! �2 5

4f x x x( ) � � �

2 14

3

f x x x( ) � ! !14

2 2 12

f x x x( ) � ! � !13

2 3 6

202 Capítulo 2 Funciones polinomiales y racionales

Número de unidades vendidas

(en millones)

Gan

anci

a (e

n m

illo

nes

de

dóla

res)

0 2 4 6 8 10

x

P

−100

−50

0

50

100

150

200

Calculadoras

FIGURA 2.57

Número de unidades vendidas

(en millones)

Ing

reso

(en

mil

lon

es d

e d

óla

res)

0 2 4 6 8

x

R

10

50

100

150

200

250

Calculadoras

FIGURA 2.56

AplicacionesUna aplicación común de las desigualdades proviene de los negocios e incluyen

ganancia, ingreso y costo. La fórmula que relaciona estas tres cantidades es

Ganancia = Ingreso Costo

P = R C.

Incrementando la ganancia de un producto

El departamento de ventas de un fabricante de calculadoras ha determinado que

la demanda para un modelo nuevo de calculadora es

p = 100 0.00001x, 0 x 10,000,000, Ecuación de la demanda

donde p es el precio por calculadora (en dólares) y x representa el número de cal-

culadoras vendidas (De acuerdo al modelo se observa que nadie estaría dispuesto

a pagar 100 dólares por la calculadora. Si así fuera, la compañía sólo podría ven-

der 10 millones de calculadoras). El ingreso de la venta de x calculadoras es

R = xp = x(100 0.00001x), Ecuación del ingreso

como se ve en la figura 2.56. El costo total de producir x calculadoras es 10 dó-

lares por cada calculadora, más un costo de desarrollo de 2,500,000 dólares. Por

tanto, el costo total es

C = 10x + 2,500,000. Ecuación del costo

¿Qué precio por calculadora debe imponer la compañía para obtener, al menos,

una ganancia de 190,000,000 dólares?

Solución

Modelo

verbal: Ganancia = Ingreso Costo

Ecuación: P = R C

P = 100x 0.00001x2 (10x + 2,500,000)

P = 0.00001x2 + 90x 2,500,000

Para responder la pregunta resuelva la desigualdad

P 190,000,000,

0.00001x2 + 90x 2,500,000 190,000,000.

Cuando escriba la desigualdad en forma general, encuentre los números críticos

y los intervalos de prueba y, después, pruebe un valor en cada intervalo. Se tiene

que la solución es

3,500,000 x 5,500,000,

como se muestra en la figura 2.57. Sustituyendo los valores de x en la ecuación

original del precio, se obtiene que con los siguientes precios

45.00 dólares p 65.00 dólares,

se produce, al menos, una ganancia de 190,000,000 dólares.

VERIFICACIÓN Ahora resuelva el ejercicio 71.

Ejemplo 5

A44 Apéndice A Repaso de conceptos fundamentales del álgebra

En los ejercicios 43 a 52, realice la suma o resta y simplifi-

que.

43. 44.

45. 46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

Análisis de error. En los ejercicios 53 y 54, detalle el error.

53.

54.

En los ejercicios 55 a 60, simplifique la fracción compleja.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

En los ejercicios 61 a 66, factorice la expresión sacando el

factor común con el exponente menor.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

En los ejercicios 67 y 68, simplifique la expresión.

67.

68.

En los ejercicios 69 a 72, reduzca el cociente de diferencias .

69. 70.

71. 72.

En los ejercicios 73 a 76, simplifique el cociente de diferen -

cias racionalizando el numerador .

73.

74.

75.

76.

Probabilidad. En los ejercicios 77 y 78, considere un experi -

mento en el cual se lanza una canica hacia una caja cuya

base se muestra en la figura. La probabilidad de que la ca-

nica se detenga en la parte sombreada de la caja es igual a

la razón del área sombreada al área total de la figura. De-

termine la probabilidad .

77. 78.

4x (x + 2)x + 2

x + 4x

x

2 + 1x

xx

2

"x " h ! 2 ! "x ! 2

h

"x " h " 1 ! "x " 1

h

"z ! 3 ! "z

3

"x " 2 ! "x

2

# x " h

x " h " 1!

x

x " 1$h

# 1

x " h ! 4!

1

x ! 4$h

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(x " h)2!

1

x 2&h

# 1

x " h!

1

x$h

!x 3�1 ! x 2�!1�2 ! 2x�1 ! x 2�1�2

x4

3x1�3 ! x!2�3

3x!2�3

4x 3�2x ! 1�3�2 ! 2x�2x ! 1�!1�2

2x2�x ! 1�1�2 ! 5�x ! 1�!1�2

2x�x ! 5�!3 ! 4x 2�x ! 5�!4

x 2�x 2 " 1�!5 ! �x 2 " 1�!4

x5 ! 5x!3

x 5 ! 2x!2

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"t 2 " 1!"t 2 " 1$t 2

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2"x$"x

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4

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2! 1$

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x 2

�6x ! x 2 " x 2 " 4 " 8

x 2�x " 2�

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x 2�x " 2�

6 ! x

x�x " 2�"

x " 2

x 2"

8

x 2�x " 2�

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x " 2�

!2�x " 2�x " 2

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x " 4

x " 2!

3x ! 8

x " 2�

x " 4 ! 3x ! 8

x " 2

2

x " 1"

2

x ! 1"

1

x 2 ! 1

!1

x"

2

x 2 " 1"

1

x 3 " x

2

x 2 ! x ! 2"

10

x 2 " 2x ! 8

1

x 2 ! x ! 2!

x

x 2 ! 5x " 6

2x

x ! 5!

5

5 ! x

3

x ! 2"

5

2 ! x

3

x ! 1! 56 !

5

x " 3

2x ! 1

x " 3"

1 ! x

x " 3

5

x ! 1"

x

x ! 1

RA

SGO

S SOB

RESA

LIENTES

xiv Rasgos sobresalientes del libro

• Para modelarloEstas aplicaciones presentadas en varias partes

implican datos reales y ofrecen a los estudiantes

la oportunidad de generar y analizar modelos

matemáticos.

• Síntesis y ejercicios dereafirmación de habilidades

Cada conjunto de ejercicios concluye con dos tipos

de ejercicios.

Los ejercicios de síntesis promueven la exploración

de los conceptos matemáticos, habilidades

de pensamiento crítico y escritura en matemáticas.

Los ejercicios requieren que los estudiantes

muestren su comprensión en las relaciones entre

varios conceptos de la sección.

Los ejercicios de repaso de habilidades refuerzan

habilidades y conceptos previamente aprendidos.

Los ejercicios tome una decisión, que se encuentran

en secciones seleccionadas, conectan más datos

de la vida real y aplicaciones y motivan a los

estudiantes. También ofrecen la oportunidad

de generar y analizar modelos matemáticos de

conjuntos con mayor número de datos.

Sección 8.1 Matrices y sistemas de ecuaciones 585

82. Red eléctrica. Las corrientes en una red eléctrica están da-

das por la solución del sistema

donde y están medidas en amperios. Resuelva el

sistema de ecuaciones empleando matrices.

83. Fracciones parciales. Use un sistema de ecuaciones para

escribir la descomposición en fracciones parciales de la ex-

presión racional. Resuelva el sistema empleando matrices.

84. Fracciones parciales. Use un sistema de ecuaciones para

escribir la descomposición en fracciones parciales de la

expresión racional. Resuelva el sistema usando matrices.

85. Finanzas. Una corporación pequeña de zapateros solicitó

un préstamo por 1,500,000 dólares para ampliar su línea de

zapatos. Parte del dinero se recibió al 7%, parte al 8% y

parte al 10%. Utilice un sistema de ecuaciones para deter-

minar cuánto se pagó a cada tasa, si el interés anual fue

130,000 dólares y la cantidad prestada al 10% fue 4 veces

mayor que la cantidad prestada al 7%. Resuelva el sistema

empleando matrices.

86. Finanzas. Una corporación pequeña de software recibió

un prestamo por 500,000 dólares para ampliar su línea de

software. Parte del dinero se recibió al 9%, parte al 10% y

parte al 12%. Utilice un sistema de ecuaciones para deter-

minar cuánto se pagó a cada tasa, si el interés anual fue

52,000 dólares y la cantidad prestada al 10% fue veces

mayor que la cantidad prestada al 9%. Resuelva el sistema

empleando matrices.

En los ejercicios 87 y 88 use un sistema de ecuaciones para

encontrar la ecuación especificada que pasa por los puntos

de la gráfica. Resuelva el sistema empleando matrices. Em-

plee un graficador para verificar sus resultados.

87. Parábola: 88. Parábola:

89. Modelización matemática. Una videocinta de la trayecto-

ria de una pelota lanzada por un jugador de béisbol se ana-

lizó con una retícula superpuesta en la pantalla de una

televisión. La cinta se puso en pausa tres veces y se midió

la posición de la pelota en cada vez. Las coordenadas obte-

nidas se muestran en la tabla (x y y están medidas en pies).

(a) Utilice un sistema de ecuaciones para encontrar la ecua-

ción de la parábola que pasa por los

tres puntos. Resuelva el sistema empleando matrices.

(b) Emplee un graficador para trazar la parábola.

(c) En forma gráfica aproxime la altura máxima de la pe-

lota y el punto en que choca contra el piso.

(d) En forma analítica determine la altura máxima de la

pelota y el punto en que choca contra el piso.

(e) Compare sus resultados de los incisos (c) y (d).

y � ax 2 " bx " c

−8

(2, 8)(3, 5)

(1, 9)

x

8

y

−4 8 12

12

−8

24

(1, 8)

(2, 13)

(3, 20)

x

y

−4 4 8 12

y � ax2 " bx " cy � ax2 " bx " c

212

8x2

�x ! 1�2�x " 1� �A

x " 1"

B

x ! 1"

C

�x ! 1�2

4x2

�x " 1�2�x ! 1��

A

x ! 1"

B

x " 1"

C

�x " 1�2

I3I1, I2

!I1 ! I2

3I1 " 4I2

I2

" I3 � 0

� 18

" 3I3 � 6

Distancia horizontal, x Altura, y

0 5.0

15 9.6

30 12.4

90. Análisis de datos: Deslizamiento en la nieve. En la ta-

bla se muestran los números de personas, y (en millo-

nes), en Estados Unidos que participaron en

deslizamiento en nieve de 1997 a 2001. (Fuente: Na-

tional Sporting Goods Association).

(a) Utilice un sistema de ecuaciones para determinar la

ecuación de la parábola que pasa

por los puntos que salen de la tabla. Sean el año y

t = 7 correspondiendo a 1997. Resuelva el sistema

empleando matrices.

(b) Emplee un graficador para representar la parábola

en el plano.

(c) Use la ecuación del inciso (a) para estimar el nú-

mero de personas que participaron en el desliza-

miento en la nieve en 2003. ¿Cuál es la diferencia

entre este valor y el valor real de 6.3 millones?

(d) Use la ecuación del inciso (a) para estimar y en

2008. ¿Es razonable la estimación? Explique.

t

y � at2 " bt " c

Para modelarlo

Año Número, y

1997 2.8

1999 3.3

2001 5.3

70. Análisis de datos: Meteorología. Un meteorólogo mide la

presión atmosférica (en pascales), a una altura (en ki-

lómetros). Los datos se muestran en la tabla.

Un modelo para los datos se da por

(a) Trace una gráfica de dispersión de los datos y grafique

el modelo en el mismo conjunto de ejes.

(b) Calcule la presión a 8 kilómetros de altura.

Síntesis

¿Cierto o falso? En los ejercicios 71 y 72 determine si el

enunciado es cierto o falso. Justifique su respuesta.

71. La recta es una asíntota para la gráfica de

72.

Reflexione lo siguiente: En los ejercicios 73 a 76 use las pro-

piedades de los exponentes para determinar cuáles funcio-

nes (si las hay) son iguales.

73. 74.

75. 76.

77. Grafique las funciones dadas por y y use las

gráficas para resolver cada desigualdad.

(a) (b)

78. Con un graficador para representar gráficamene cada fun-

ción. Use la gráfica para determinar dónde la función es

creciente o decreciente y aproxime sus valores mínimos y

máximos.

(a) (b)

79. Análisis gráfico. Emplee un graficador para trazar la grá-

fica de las funciones

y

en la misma pantalla. ¿Cuál es la relación entre y si

aumenta, o disminuye, sin límite?

80. Reflexione lo siguiente. ¿Cuáles de las siguientes funcio-

nes son exponenciales?

(a) (b) (c) (d)

Reafirmación de habilidades

En los ejercicios 81 y 82 despeje y.

81. 82.

En los ejercicios 83 y 84 trace la gráfica de la función.

83. 84.

85. Tome una decisión Para ampliar el campo de apli-

cación analice la población por milla cuadrada de Esta-

dos Unidos, visite el sitio en la red de este libro en

college.hmco.com (Data Source: U.S. Census Bureau).

f �x� � "7 ! xf �x� �2

9 " x

x ! 'y' � 2x 2 " y 2 � 25

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f �x� � 4x " 12f �x� � 3x!2

e �271,801

99,990.

f �x� � 10x ! 2.

y � !2

P � 107, 428e !0.150h.

hP

228 Capítulo 3 Funciones exponenciales y logarítmicas

Altitud, h Presión, P

10 101,293

15 154,735

10 123,294

15 112,157

20 115,069

69. Análisis de datos: Biología. Para estimar la defolia-

ción causada por una mariposa que su oruga daña los

árboles, durante un año dado, un silvicultor cuenta el

número, , de aglomeraciones de huevecillos en de

acre (círculo con un radio de 18.6 pies) en otoño. El

porcentaje de defoliación, y, en la primavera siguiente

se muestra en la tabla. (Fuente: USDA, Forest Service).

Un modelo para los datos está dado por

(a) Emplee un graficador para elaborar una gráfica de

dispersión de los datos y trace la gráfica del mode-

lo en la misma pantalla.

(b) Elabore una tabla y compare el modelo con los da-

tos de la muestra.

(c) Estime el porcentaje de defoliación si se cuentan 36

aglomeraciones de huevo en de acre.

(d) Suponga que de un bosque está defoliado la pri-

mavera siguiente. Use la gráfica del inciso (a) para

estimar el número de aglomeraciones de huevo por

de acre.140

23

140

y �100

1 " 7e!0.069x .

140x

Para modelarlo

Masas de huevo, x Porcentaje de

defoliación, y

110 12

125 44

150 81

175 96

100 99

Rasgos sobresalientes del libro xv

• Resumen de capítulo“¿Qué aprendió?” del resumen del capítulo es un

resumen general, sección por sección, que liga los

objetivos de aprendizaje del capítulo con conjuntos

de ejercicios de repaso, para práctica adicional.

• Ejercicios de repasoLos ejercicios de repaso de capítulo proporcionan

práctica adicional con los conceptos tratados en

el capítulo.

• Exámenes de capítulo y acumulados

Los exámenes de capítulo, al final de cada capítulo,

y los exámenes acumulados periódicos ofrecen a

los estudiantes oportunidades frecuentes para hacer

una auto-evaluación y desarrollar habilidades

firmes de estudio y de toma de exámenes.


Resumen del capítulo3

¿Qué aprendió?

Sección 3.1 Ejercicios de repasoReconocer y evaluar funciones exponenciales de base a (p. 218). 1 -6

Graficar funciones exponenciales y usar la propiedad uno a uno (p. 219). 7-26

Reconocer, evaluar y graficar funciones exponenciales de base e (p. 222). 27-34

Usar funciones exponenciales para modelar y resolver problemas de la vida real (p. 223). 35-40

Sección 3.2Reconocer y evaluar funciones logarítmicas de base a (p. 229). 41-52

Graficar funciones logarítmicas (p. 231). 53-58

Reconocer, evaluar y graficar funciones logarítmicas naturales (p. 233). 59-68

Usar funciones logarítmicas para modelar y resolver problemas de la vida real (p. 235). 69, 70

Sección 3.3Usar la fórmula de cambio de base para reescribir y evaluar expresiones 71-74

logarítmicas (p. 239).

Usar propiedades de los logaritmos para evaluar o reescribir expresiones 75-78


Usar propiedades de los logaritmos para expandir o condensar expresiones 79-94



Sección 3.4Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas simples (p. 246). 97-104

Resolver ecuaciones exponenciales más complejas (p. 247). 105-118

Resolver ecuaciones logarítmicas más complejas (p. 249). 119-134

Usar ecuaciones exponenciales y logarítmicas para modelar y resolver 135, 136

problemas de la vida real (p. 251).

Sección 3.5Reconocer los cinco tipos más comunes de modelos, implicando funciones 137-142

exponenciales y logarítmicas (p. 257).

Usar funciones de crecimiento y decaimiento exponencial para modelar y resolver 143-148

problemas de la vida real (p. 258).

Usar funciones gausianas para modelar y resolver problemas de la vida real (p. 261). 149

Usar funciones de crecimiento logístico para modelar y resolver problemas 150

de la vida real (p. 262).


Ejercicios de repaso 271

En los ejercicios 1 a 6 evalúe la función en el valor in-

dicado de Redondee su resultado a tres decimales.

Función Valor

1.

2.

3.

4.

5.

6.

En los ejercicios 7 a 10 relacione la función con su gráfica

[las gráficas están identificadas con (a), (b), (c) y (d)].

(a) (b)

(c) (d)

7. 8.

9. 10.

En los ejercicios 11 a 14 use la gráfica de para describir la

transformación que produce la gráfica de

11.

12.

13.

14.

En los ejercicios 15 a 22 emplee un graficador para elabo-

rar una tabla de valores para la función. Después trace su

gráfica.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

En los ejercicios 23 a 26 use la propiedad uno a uno para

despejar x en la ecuación.

23. 24.

25. 26.

En los ejercicios 27 a 30 evalúe la función dada por

en el valor indicado de Redondee su resultado

a tres decimales.

27. 28.

29. 30.

En los ejercicios 31 a 34 use un graficador y elabore una ta-

bla de valores para la función. Después trace su gráfica.

31. 32.

33. 34.

Interés compuesto. En los ejercicios 35 y 36 complete la ta-

bla para determinar el monto, , para dólares invertidos a

una tasa, , durante años y compuesta veces por año.

35.

36.

37. Tiempos de espera. El tiempo promedio entre las entradas

de dos llamadas consecutivas, en un conmutador, es de 3

minutos. La probabilidad, , de esperar menos de minu-

tos hasta la próxima llamada, se calcula con el modelo

Suponga que una llamada acaba de en-

trar. Encuentre la probabilidad de que la próxima llamada

será dentro de

(a) minuto. (b) 2 minutos. (c) 5 minutos.

38. Depreciación. Después de años el valor, , de un auto-

móvil que originalmente costó 14,000 dólares está dado

por

(a) Emplee un graficador para trazar la función.

(b) Halle el valor del automóvil después de 2 años de su

compra.

(c) De acuerdo con el modelo, ¿cuándo se deprecia el

automóvil más rápidamente? Explique.

V�t� � 14,000�34�t

.

Vt

12

F�t� � 1 ! e!t �3.

tF

P � 2000 dólares, r � 5%, t � 30 años

P � 3500 dólares, r � 6.5%, t � 10 años

ntrPA

t > 0s�t� � 4e!2�t,f �x� � e x"2

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x � 0.278x � !1.7

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g.

f

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−3 −1 −2 3

x

21

1

5

y

3x

2

1

2

3

4

5

y

−3 −1 −2 1

−3 −1 −2 3x

2

2

3

4

5

y

−3 −1 1 −2 3x

2

1

−2

−3

−4

−5

y

x � !0.8f �x� � !14�5x�x � !"11f �x� � 7�0.2x�x � 1f �x� � 1278x�5

x � #f �x� � 2!0.5x

x � "3f �x� � 30x

x � 2.4f �x� � 6.1x

x.

3.1

Ejercicios de repaso3

n 1 2 4 12 365 Continua

A

Prueba del capítulo 275

Examen del capítulo3

Use este examen como lo haría en clase. Cuando termine si lo cree necesario, verifi-

que sus respuestas con las de la parte final del libro.

En los ejercicios 1 a 4 evalúe la expresión. Aproxime su resultado a tres decimales.

1. 2. 3. 4.

En los ejercicios 5 a 7 haga una tabla de valores. Luego trace la gráfica de la función.

5. 6. 7.

8. Evalúe: (a) y (b)

En los ejercicios 9 a 11 elabore una tabla de valores. Después trace la gráfica de la

función. Identifique las asíntotas.

9. 10. 11.

En los ejercicios 12 a 14 evalúe el logaritmo empleando la fórmula de cambio de ba-

se. Redondee su resultado a tres decimales.

12. 13. 14.

En los ejercicios 15 a 17 utilice las propiedades de los logaritmos para desarrollar la

expresión como una suma, diferencia y/o como el producto de una constante por el

logaritmo.

15. 16. 17.

En los ejercicios 18 a 20 reduzca la expresión logarítmica a otra que tenga un solo

término.

18. 19.

20.

En los ejercicios 21 a 26 resuelva de forma algebraica la ecuación. Aproxime su re-

sultado a tres decimales.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. Establezca un modelo exponencial de crecimiento para la gráfica mostrada en la figura.

28. La vida media del actinio radiactivo es de 21.77 años. ¿Qué porcentaje de una

cantidad presente de actinio radiactivo permanecerá después de 19 años?

29. Un modelo que se puede emplear para predecir la estatura, (en centímetros), de un

niño con base en su edad es donde

es la edad del niño en años. (Fuente: Snapshots of Applications in Mathematics).

(a) Elabore una tabla de valores. Después trace la gráfica del modelo.

(b) Use la gráfica del inciso (a) para calcular la estatura de un niño de cuatro años.

Después calcule la estatura real empleando el modelo.

x14 ≤ x ≤ 6,H � 70.228 " 5.104x " 9.222 ln x,

H

�227Ac�

log x ! log�8 ! 5x� � 218 " 4 ln x � 7

ln x �1

2

1025

8 " e4x� 5

3e!5x � 1325x �1

25

2 ln x " ln�x ! 5� ! 3 ln y

4 ln x ! 4 ln ylog3 13 " log3 y

log7x2

yz3ln

5"x

6log2 3a4

log24 68log2�5 0.9log7 44

f �x� � 1 " ln�x " 6�f �x� � ln�x ! 4�f �x� � !log x ! 6

4.6 ln e2.log7 7!0.89

f �x� � 1 ! e2xf �x� � !6 x!2f �x� � 10!x

e3.1e!7�1043#�212.42.79

2,000

4 6 8 10t

y

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

2

(9, 11,277)

Crecimiento exponencial

(0, 2745)

FIGURA PARA 27


Examen acumulativo para los capítulos 1-33

Use este examen para repasar el material de capítulos anteriores. Cuando termine, si

lo cree necesario, verifique sus respuestas con las de la parte final del libro.

1. Grafique los puntos y Encuentre las coordenadas del punto medio del

segmento de recta que une los puntos y la distancia entre los puntos.

En los ejercicios 2 a 4 represente en el plano la ecuación sin emplear graficador.

2. 3. 4.

5. Encuentre una ecuación de la recta que pasa por y

6. Explique por qué la gráfica a la izquierda no representa a como una función de

7. Evalúe (si es posible) la función dada por para cada valor.

(a) (b) (c)

8. Compare la gráfica de cada función con la de (Nota: no es necesario trazar

las gráficas).

(a) (b) (c)

En los ejercicios 9 y 10 encuentre (a) (b) (c) y (d)

¿Cuál es el dominio de

9. 10.

En los ejercicios 11 y 12 encuentre (a) y (b) Determine el dominio de cada

función compuesta.

11. 12.

13. Determine si tiene una función inversa. Si es así, encuéntrela.

14. La potencia, , producida por una turbina de viento es proporcional al cubo de la ve-

locidad del viento Una velocidad de 43 kilómetros por hora produce una salida de

potencia de 750 kilowatts. Encuentre la salida para una velocidad de 64 kilómetros por

hora.

15. Encuentre la función cuadrática que su gráfica tiene el vértice en y pasa por

el punto

En los ejercicios 16 a 18 trace la gráfica de la función sin la ayuda de un graficador.

16. 17. 18.

En los ejercicios 19 a 21 encuentre los ceros de la función y escríbala como un pro-

ducto de factores lineales.

19.

20.

21. f �x� � 2x4 ! 11x3 " 30x2 ! 62x ! 40

f �x� � x4 " 4x3 ! 21x2

f �x� � x3 " 2x2 " 4x " 8

g�s� � s2 " 4s " 10f �t� �14t�t ! 2�2h�x� � !�x 2 " 4x�

�!4, !7�.�!8, 5�

S.

P

h�x� � 5x ! 2

g�x� � 'x'f �x� � x ! 2,g�x� � "x " 6f �x� � 2x2,

g $ f.f $ g

g�x� � x2 " 1f �x� � "x ! 1,g�x� � 4x " 1f �x� � x ! 3,

f�g?

�f�g��x�.�fg��x��f ! g��x�,�f " g��x�,

g�x� � 3"x " 2h�x� � 3"x " 2r �x� �12

3"x

y � 3"x

f �s " 2�f �2�f �6�

f �x� �x

x ! 2

x.y

�3, 8�.�!12, 1�

y � "4 ! xy � x2 ! 9x ! 3y " 12 � 0

�!1, !1�.�3, 4�

2

2

4

−2

−4

4x

y

FIGURA PARA 6

RA

SGO

S SOB

RESA

LIENTES

xvi Rasgos sobresalientes del libro

• Demostraciones en matemáticasAl final de cada capítulo se presentan

demostraciones de propiedades y teoremas

matemáticos importantes, así como un análisis

de varias técnicas de demostración.

• P.S. resolución de problemasCada capítulo concluye con una colección

de ejercicios. Estos ejercicios tienen características

inusuales que los apartan de los ejercicios de libros

tradicionales.

¿Qué significa la palabra demostración? En matemáticas, la palabra demostración se

emplea para dar a entender un argumento válido. Cuando se demuestra un enunciado

o teorema se deben emplear hechos, definiciones y propiedades aceptadas en un orden

lógico. También se pueden emplear teoremas previamente demostrados. Por ejemplo, la

fórmula de la distancia se usa en la demostración de la fórmula del punto medio como se

muestra a continuación. Hay diferentes métodos de demostración, los cuales se analizan

en capítulos posteriores.

DemostraciónEmpleando la figura, debe demostrar que d1= d2 y d1 + d2 = d3.

Mediante la fórmula de la distancia se obtiene

Por tanto, se deduce que d1 = d2 y d1 + d2 = d3.

124

Demostraciones en matemáticas

La fórmula del punto medio (p. 5)El punto medio del segmento de recta que une los puntos (x1, y1) y (x2, y2) está dada

por la fórmula del punto medio:

Punto medio !" "F

HIK

x x y y1 2 1 2

2 2, .

El plano cartesiano

El plano cartesiano se

nombra así en honor al

matemático francés René

Descartes (1596-1650).

Mientras Descartes observó que

una mosca se pasaba de un lugar

a otro en las tejas de un techo

de forma cuadrada. Dedujo

que la posición de la mosca se

podría describir si consideraba

una esquina del techo como

referencia. Esto le condujo al

desarrollo del plano cartesiano.

x

( )

y

d1

d2d3

(x1, y1)

(x2, y2)

x1 + x2

2

y1 + y2

2,

dx x

xx

y yy

x x y y

d xx x

xy

y y

x x y y

d x x y y

11 2

1

21 2

1

2

2 12

2 12

2 21 2

2

21 2

2

2 12

2 12

3 2 12

2 12

2

1

2

2

1

2

!"

#FH

IK "

"#

FH

IK

! # " #

! #"F

HIK " #

"FH

IK

! # " #

! # " #

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1. Como vendedor, usted recibe un salario mensual de 2,000

dólares, más una comisión de 7% de las ventas. Se le ofrece

un trabajo nuevo a 2,300 dólares por mes, más una comisión

de 5% sobre las ventas.

(a) Escriba una ecuación lineal para su salario mensual real,

W1, en términos de sus ventas mensuales, S.

(b) Escriba una ecuación lineal para el salario mensual, W2,

de su oferta de trabajo nuevo, en términos de las ventas

mensuales, S.

(c) Use un graficador para representar en el plano ambas

ecuaciones en la misma ventana de visualización. En-

cuentre el punto de intersección. ¿Qué significa?

(d) Usted considera que puede tener ventas de 20,000 dóla-

res al mes. ¿Debe cambiar de trabajo? Explique.

2. Para los números 2 al 9 en un teclado numérico (vea la

figura) elabore dos relaciones: una transformando números

en letras y la otra transformando letras en números. ¿Son

funciones ambas relaciones? Explique.

3. ¿Qué se puede decir acerca de la suma y diferencia de cada

una de las siguientes opciones?

(a) Dos funciones pares. (b) Dos funciones impares.

(c) Una función impar y una función par.

4. Cada una de las dos funciones siguientes es inversa de ella

misma.

f(x) = x y g(x) = x.

Grafique cada función y explique por qué esto es cierto.

Grafique otras funciones lineales que sean sus propias in-

versas. Encuentre una fórmula general para una familia de

funciones lineales que son sus propias inversas.

5. Demuestre que una función de la forma siguiente es par.

y = a2nx2n + a2n 2x

2n 2 + . . . + a2x2 + a0

6. Un profesional de golf trata de hacer un hoyo en uno, en el

campo de golf a escala, como se muestra fig. 6. Coloca un

plano coordenado sobre el campo. La pelota de golf está en

el punto (2.5, 2) y el hoyo está en el punto (9.5, 2). El pro-

fesional desea rebotar la pelota en la pared lateral del campo

en el punto (x, y). Encuentre las coordenadas del punto (x, y).

Luego escriba una ecuación para la trayectoria de la pelota.

7. El 11 de abril de 1912, a las 2:00 p.m., el Titanic zarpó de

Cobb, Irlanda, en viaje a Nueva York. El 14 de abril, a las

11:40 p.m., chocó con un iceberg y se hundió, habiendo

cubierto casi 2,100 millas de las cerca de 3,400 millas del

viaje.

(a) ¿Cuál fue la duración total del recorrido en horas?

(b) ¿Cuál fue la velocidad promedio en millas por hora?

(c) Escriba una función relacionando la distancia del

Titanic desde Nueva York y el número de horas viaja-

das. Encuentre el dominio y rango de la función.

(d) Grafique la función del inciso (c).

8. Considere la función dada por f(x) = x2 + 4x 3. Encuentre

la rapidez promedio de cambio de la función de x1 a x2.

(a) x1 = 1, x2 = 2 (b) x1 = 1, x2 = 1.5

(c) x1 = 1, x2 = 1.25

(d) x1 = 1, x2 = 1.125

(e) x1 = 1, x2 = 1.0625

(f) ¿Parece aproximarse la rapidez de cambio promedio a

un valor? Si es así, ¿cuál es este valor?

(g) Encuentre las ecuaciones de las rectas secantes que pa-

san por los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) para los incisos

del (a) al (e).

(h) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto

(1, f(1)) empleando su respuesta del inciso (f) como la

pendiente de la recta.

9. Considere las funciones dadas por f(x) = 4x y g(x) = x + 6.

(a) Encuentre ( f g)(x).

(b) Encuentre ( f g) 1(x).

(c) Encuentre f 1(x) y g 1(x).

(d) Encuentre (g 1 f 1) y compare el resultado con el del

inciso (b).

(e) Repita los incisos del (a) al (d) para f(x) = x3 + 1 y

g(x) = 2x.

(f) Escriba dos funciones f y g, uno a uno, y repita los inci-

sos del (a) al (d) para estas funciones.

(g) Establezca una conjetura acerca de (f g) 1(x) y

(g 1 f 1)(x).

P.S. Resolución de problemas

La siguiente colección de ejercicios propicia y estimula la reflexión y promueve la exploración y desarrollo de los conceptos aprendidos en este capítulo.

125

10. Suponga que usted está en un bote a 2 millas del punto

más cercano en la costa. Debe viajar al punto Q, 3 millas a

lo largo de la costa y 1 milla tierra adentro (vea la figura).

Usted puede remar a 2 millas por hora y caminar a 4 millas

por hora.

(a) Escriba el tiempo total, T, del viaje como una función

de x.

(b) Determine el dominio de la función.

(c) Use un graficador para representar gráficamente la

función. Asegúrese de elegir una ventana de visuali-

zación apropiada.

(d) Use las características zoom y trace para encontrar el

valor de x que minimiza T.

(e) Escriba un párrafo breve interpretando estos valores.

11. La función Heaviside H(x) es ampliamente utilizada en

aplicaciones de la ingeniería (vea la figura). Para imprimir

una copia más grande de la gráfica, visite el sitio en la red

www.mathgraps.com.

Trace la gráfica de cada función a mano.

(a) H(x) 2 (b) H(x 2) (c) H(x)

(d) H( x) (e) (f) H(x 2) + 2

12. Sea

(a) ¿Cuáles son el dominio y rango de f ?

(b) Encuentre f(f(x)). ¿Cuál es el dominio de esta función?

(c) Encuentre f( f( f(x))). ¿Es una recta la gráfica? ¿Por

qué es recta, o por qué no lo es?

13. Demuestre que la propiedad asociativa es válida para com-

posiciones de funciones, es decir,

( f (g h))(x) = (( f g) h)(x).

14. Considere la gráfica de la función f que se muestra en la

figura. Use esta gráfica para representar en el plano cada

función. Para imprimir una copia más grande de la gráfica,

visite el sitio en la red www.mathgraphs.com.

(a) f(x + 1) (b) f(x) + 1 (c) 2f(x) (d) f( x)

(e) f(x) (f) f(x) (g) f( x )

15. Use las gráficas de f y f 1 para completar cada tabla de

valores de funciones.

(a)

(b)

(c)

(d)

126

H xx

x( )

,

,!

$

%

RST1 0

0 0

12

H x( )

f xx

( ) !#

1

1

x31 2−3 −1

−2

−3

−2

1

2

3

y

x

y

2−2

−2

−4

2

4

−4 4

−2 2 4

−4

−2

2

4

y

x

f

−2 2 4

−4

−2

2

4

y

x

f−1

x 4 2 0 4

( f( f 1(x))

x 3 2 0 1

( f + f 1)(x)

x 3 2 0 1

( f f 1)(x)

x 4 3 0 4

f 1(x)

Las funciones juegan un papel

importante en la modelización

de situaciones de la vida real.

Mediante una función cúbica

se puede estimar el crecimiento

en el número de ventas de CDs

de música en Estados Unidos.

1

APLICACIONES SELECCIONADASLas funciones tienen múltiples aplicaciones en la vida real. A continuación se describe una muestra

de las que se estudian en este capítulo.

1.1 Coordenadas rectangulares

1.2 Gráficas de funciones

1.3 Ecuaciones lineales con dos variables

1.4 Funciones

1.5 Análisis de gráficas de funciones

1.6 Catálogo de funciones básicas

1.7 Transformaciones de funciones

1.8 Álgebra de funciones y composición de funciones

Funciones y sus gráficas

11©

AP

/W

ide

Wo

rld

Ph

oto

s

• Análisis de datos: correo,


• Estadística de población,


• Matrícula universitaria,


• Costo, ingreso y utilidad,


• Ventas de música digital,


• Mecánica de fluidos,


• Uso de combustible,


• Información del consumidor,


• Motores diesel,


1.9 Funciones inversas

1.10 Modelización matemática y variación

El plano cartesianoAsí como se pueden representar números reales mediante puntos sobre una rectatambién se pueden representar pares ordenados de números reales mediante puntosen un plano llamado sistema coordenado rectangular o plano cartesiano, deno-minado así en honor del matemático francés René Descartes (1596-1650).El plano cartesiano se forma usando dos rectas de números reales que se in-tersecan de manera perpendicular, como se muestra en la figura 1.1. La recta nu-mérica horizontal se denomina eje x y la vertical es el eje y. El punto deintersección de estos dos ejes es el origen y los dos ejes dividen el plano en cua-tro partes a las que se les llama cuadrantes.

FIGURA 1.1 FIGURA 1.2Cada punto en el plano corresponde a un par ordenado, , de númerosreales y llamados coordenadas del punto. La coordenada x representa ladistancia dirigida desde el eje al punto y la coordenada y representa la distan-cia dirigida desde el eje al punto, como se muestra en la figura 1.2.

La notación denota tanto un punto en el plano como un intervalo abiertosobre la recta numérica real. El contexto le indicará cuál es el significado atribuido.Trazo de puntos en el plano cartesiano

Localice los puntos ySoluciónPara localizar el punto imagine una recta vertical que pasa por , en eleje x y una recta horizontal que pasa por 2, en el eje . La intersección de estasdos rectas es el punto Los otros cuatro puntos se pueden trazar de mane-ra similar, como se muestra en la figura 1.3.Ahora resuelva el ejercicio 3.VERIFICACIÓN

�!1, 2�. y

!1(!1, 2)(!2, !3).(!1, 2), (3, 4), (0, 0), (3, 0)

�x, y�

Distancia dirigidadesde el eje x�x, y�Distancia dirigidadesde el eje yx

y

y,x

(x, y)

eje x

( , )x y

x

y

Distancia dirigidaDistanciadirigida

eje y

eje x!3 !2 !1 1 3

123

!1!2!3

eje y

OrigenCuadrante ICuadrante II

Cuadrante III Cuadrante IV2

(Rectanuméricavertical)(Recta numé-rica horizontal)

2 Capítulo 1 Funciones y sus gráficas

Qué debe aprender

• Localizar puntos en el plano

cartesiano.

• Usar la fórmula de la distancia

para encontrar la distancia

entre dos puntos.

• Usar la fórmula del punto me-

dio de un segmento de recta.

• Usar un plano coordenado y

fórmulas geométricas para

modelar y resolver problemas

de la vida real.

Por qué debe aprender esto

El plano cartesiano se puede

usar para representar relaciones

entre dos variables. Por ejemplo,

en el ejercicio 60, página 12, una

gráfica representa el salario

mínimo en Estados Unidos

de 1950 a 2004.

Coordenadas rectangulares

© Ariel Skelly/Corbis

1.1

134

!1!2!4

(3, 4)x

!4 !3 !1 32(3, 0)(0, 0)( 1, 2)!

( 2, 3)! !

y

41

FIGURA 1.3

Ejemplo 1

Lo importante de un sistema coordenado rectangular es que permite ver re-

laciones entre dos variables. No se sobreestima la importancia de la introducción

de las coordenadas en el plano, por Descartes. Hoy en día, sus ideas son de uso

común en cualquier campo relacionado con la ciencia y los negocios.

Dibujo de una gráfica de dispersión

En la tabla se muestran, de 1990 a 2003, las cantidades (en millones de dóla-

res) que se gastaron en equipo de esquí en Estados Unidos, donde representa el

a o. Dibuje una gráfica de dispersión de los datos. (Fuente: National Sporting

Goods Association).

SoluciónPara dibujar una gráfica de dispersión de los datos mostrados en la tabla, sim-

plemente, represente cada par de valores mediante un par ordenado y di-

buje los puntos resultantes, como se muestra en la figura 1.4. Por ejemplo, el

primer par de valores está representado por el par ordenado Obser-

ve que el corte en el eje indica que se han omitido los números entre 0 y 1990.

FIGURA 1.4


En el ejemplo 2, pudo haber elegido para representar el a o 1990. En

ese caso, el eje horizontal no se hubiera cortado y las marcas sobre el eje se hu-

bieran se alado del 1 al 14 (en lugar de 1990 a 2003).

t � 1

VERIFICACIÓN

A o

Dóla

res

(en m

illo

nes

)

t1991 1995 1999 2003

100

200

300

400

500

600

700

800

A

Cantidad gastada en equipo de esquí

t

�1990, 475�.

(t, A)

t

A

Sección 1.1 Coordenadas rectangulares 3

Año, t Cantidad, A

1990 475

1991 577

1992 521

1993 569

1994 609

1995 562

1996 707

1997 723

1998 718

1999 648

2000 495

2001 476

2002 527

2003 464

La gráfica de dispersión del ejemplo 2 es una forma de representar los datos de

manera gráfica. Los datos también se pueden representar utilizando una gráfica

de barras o una gráfica poligonal. Si tiene acceso a un graficador intente repre-

sentar de manera gráfica los datos indicados en el ejemplo 2.

Tecnología

Ejemplo 2

El CD-ROM HM mathSpace® y Eduspace®,para este texto, contienen fuentesadicionales relacionadas con losconceptos analizados en este capítulo.


Teorema de Pitágoras y la fórmula de la distanciaEl famoso teorema siguiente se usa con frecuencia en este libro.

Suponga que se quiere determinar la distancia entre dos puntos y

, en el plano. Con estos dos puntos se forma un triángulo rectángulo, co-

mo se muestra en la figura 1.6. La longitud del cateto vertical del triángulo es

y la longitud del cateto horizontal es Mediante el teorema de

Pitágoras se puede escribir

Este resultado es la Fórmula de la distancia entre dos puntos.

� "�x2 ! x1�2 " �y2 ! y1�2.d � "'x2 ! x1'2 " 'y2 ! y1'2

d2 � 'x2 ! x1'2 " 'y2 ! y1'2

'x2 ! x1'.'y2 ! y1'

�x2, y2��x1, y1�d

Fórmula de la distanciaLa distancia entre los puntos y del plano es

d � "�x2 ! x1�2 " �y2 ! y1�2.

�x2, y2 ��x1, y1�d

a

b

c

a b2 2

+ = c2

FIGURA 1.5

xx1 x2

� �x x2 1!

� ! �y y2 1

y1

y2

d

( , )x y1 2

( , )x y11

( , )x y22

y

FIGURA 1.6

Determinación de una distancia

Encuentre la distancia entre los puntos y �3, 4�.�!2, 1�

Ejemplo 3

Solución algebraicaSea y Aplicando la fórmula de la

distancia se tiene

Fórmula de la distancia

Simplifique.

Simplifique.

Use una calculadora.

Así, la distancia entre los puntos es, aproximadamente, 5.83 unida-

des. Se puede usar el teorema de Pitágoras para verificar que la dis-

tancia es correcta.

Teorema de Pitágoras

Sustituya d.

Se comprueba la distancia. �

Ahora resuelva los ejercicios 31(a) y (b).VERIFICACIÓN

34 � 34

�"34 �2�?

32 " 52

d2 �?

32 " 52

� 5.83

� "34

� "�5�2 " �3�2

� " (3 ! �!2�)2 " �4 ! 1�2

d � "�x2 ! x1�2 " �y2 ! y1�2

�x2, y2 � � �3, 4�.�x1, y1� � �!2, 1�Solución gráficaUse papel cuadriculado en centímetros para tra-

zar los puntos y Dibuje el seg-

mento Despu s use una regla graduada en

centímetros para medir su longitud.

FIGURA 1.7

El segmento mide aproximadamente 5.8 centí-

metros, como se muestra en la figura 1.7. Así, la

distancia entre los puntos A y B es de casi

5.8 unidades.

1

2

3

4

5

6

7

cm

B.A

B�3, 4�.A�!2, 1�

Sustituya x1, y1, x2 y y2.

Teorema de PitágorasPara un triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud y catetos de longi-

tudes y se tiene como se ve en la figura 1.5 (El recíproco

tambi n es cierto; es decir, si el triángulo es rectángulo).a2 " b2 � c2

a2 " b2 � c2,b,a

c


Verificación de un triángulo rectángulo

Justifique que y son v rtices de un triángulo rectángulo.

SoluciónLos tres puntos están en la figura 1.8. Usando la fórmula de la distancia se pue-

den encontrar las longitudes de los tres lados, como sigue:

De la igualdad

se concluye, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, que el triángulo debe ser un

triángulo rectángulo.


La fórmula del punto medioPara encontrar el punto medio del segmento de recta que une dos puntos en un pla-

no coordenado, simplemente, se pueden encontrar los valores promedio de las coor-

denadas respectivas de los dos puntos extremos usando la fórmula del punto medio.

Para una demostración de la fórmula del punto medio vea Demostraciones en ma-

temáticas en la página 124.

Determinación del punto medio de un segmento de recta

Halle el punto medio del segmento de recta que une los puntos y

SoluciónSean y

Fórmula del punto medio

Sustituya

Simplifique.

El punto medio del segmento de recta es como se muestra en la figura 1.9.

Ahora resuelva el ejercicio 31c.VERIFICACIÓN

�2, 0�,

� �2, 0�

x1, y1, x2 y y2.� #!5 " 9

2,

!3 " 3

2 $

Punto medio � #x1 " x2

2,

y1 " y2

2 $�x2, y2 � � �9, 3�.�x1, y1� � �!5, !3�

�9, 3�.�!5, !3�

VERIFICACIÓN

�d1�2 " �d2�2 � 45 " 5 � 50 � �d3�2

d3 � "�5 ! 4�2 " �7 ! 0�2 � "1 " 49 � "50

d2 � "�4 ! 2�2 " �0 ! 1�2 � "4 " 1 � "5

d1 � "�5 ! 2�2 " �7 ! 1�2 � "9 " 36 � "45

�5, 7��2, 1�, �4, 0�

x2 3 5 7

1

2

3

4

5

6

7 (5, 7)

(4, 0)

d1 =d3 =

d2 =

5045

5(2, 1)

y

4 61

FIGURA 1.8

x!6

3

6

!6

(9, 3)

(2, 0)

( 5, 3)! ! Punto medio

y

!3 3 96

!3

FIGURA 1.9

La fórmula del punto medioEl punto medio del segmento de recta que une los puntos y

está dado por la fórmula


2,

y1 " y2

2 $.

�x2, y2 ��x1, y1�

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Aplicaciones

Determinación de la longitud de un pase

Durante el tercer cuarto del Tazón del Azúcar 2004, el mariscal de campo del

equipo de Luisiana State University lanzó un pase desde la línea de la yarda 28 a

40 yardas de la línea lateral. El pase llegó al receptor en la yarda 5, a 20 yardas de

la misma línea lateral, como se ve en la figura 1.10. Qu tan largo fue el pase?

SoluciónSe puede encontrar la longitud del pase determinando la distancia entre los pun-

tos y

Fórmula de la distancia.

Sustituya y

Simplifique.

Simplifique.

Use una calculadora.

Por tanto, el pase fue, aproximadamente, 30 yardas de longitud.


En el ejemplo 6 la escala en la línea de meta, generalmente, no aparece en

un campo de fútbol americano. Sin embargo, cuando se emplea geometría coor-

denada para resolver problemas de la vida real, se tiene libertad para colocar el

sistema coordenado de forma que convenga a la solución del problema.

Estimación del ingreso anual

La corporación FedEx tuvo ingresos anuales de 20,600 millones de dólares en

2002 y 24,700 millones de dólares en 2004. Sin saber otra información adicio-

nal, en cuánto estima que fue el ingreso en 2003? (Fuente: FedEx Corp.).

SoluciónUna solución para el problema es suponer que el ingreso tuvo un patrón lineal.

Con esta suposición se puede estimar el ingreso en 2003 determinando el punto

medio del segmento de recta que conecta los puntos y

Fórmula del punto medio

Sustituya y

Simplifique.

Por tanto, se estimaría que el ingreso fue de casi 22,650 millones de dólares, co-

mo se muestra en la figura 1.11 (El ingreso real en 2003 fue de 22,500 millones

de dólares).


� �2003, 22.65�

y2.x1, y1, x2,� #2002 " 2004

2,

20.6 " 24.7

2 $


2,

y1 " y2

2 $�2004, 24.7�.�2002, 20.6�

VERIFICACIÓN

� 30

� "929

� "400 " 529

y2.x1, y1, x2� "�40 ! 20�2 " �28 ! 5�2

d � "�x2 ! x1�2 " � y2 ! y1�2

�20, 5�.�40, 28�


A o

Ingre

so

(en m

il m

illo

nes

de

dóla

res)

20

21

22

23

24

25

26

2002 2003 2004

Ingreso anual de FedEx

Punto

medio

(2002, 20.6)

(2003, 22.65)

(2004, 24.7)

FIGURA 1.11

Distancia (en yardas)

Dis

tanci

a (e

n y

ardas

)

Pase en fútbol americano

5 10 15 20 25 30 35 40

5

10

15

20

25

30

35

(40, 28)

(20, 5)

FIGURA 1.10

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Traslación de puntos en el plano

El triángulo de la figura 1.12 tiene v rtices en y Mueva

el triángulo tres unidades a la derecha y dos unidades hacia arriba y determine

los v rtices del triángulo desplazado, como se muestra en la figura 1.13.

FIGURA 1.12 FIGURA 1.13

SoluciónPara mover los v rtices tres unidades a la derecha, sume 3 a cada . Para llevar

los v rtices dos unidades hacia arriba, sume 2 a cada .

Punto original Punto trasladado


Las figuras proporcionadas en el ejemplo 8, en realidad, no fueron esencia-

les para la solución. Sin embargo, se recomienda que se desarrolle el hábito de

incluir ilustraciones gráficas con las soluciones, incluso si no se requieren.

Las fórmulas geom tricas siguientes se emplean con frecuencia en este libro.

Para su conveniencia, estas fórmulas, y otras, se proporcionan en la contraportada.

VERIFICACIÓN

�2 " 3, 3 " 2� � �5, 5��2, 3�

�1 " 3, !4 " 2� � �4, !2��1, !4�

�!1 " 3, 2 " 2� � �2, 4��!1, 2�

y

x

x−2 2 3 5 71−1 6

4

3

2

1

5

−2

−3

−4

y

x−2 2 3 5 71−1 4 6

4

5

−2

−3

−4

(2, 3)

(1, 4)−

( 1, 2)−

y

�2, 3�.�!1, 2�, �1, !4�,


Gran parte de las gráficas hechas

por computadora, incluyendo este

mosaico de un pez de colores

generado en una de ellas, consiste

en transformaciones de puntos en

un plano coordenado. Un tipo de

transformación, la traslación, se

ilustra en el ejemplo 8. Otros tipos

incluyen reflexiones, rotaciones o

alargamientos.

Pa

ul M

orr

ell

Ejemplo 8

Fórmulas para el área A, el perímetro P, la longitud de la circunferencia Cy el volumen VRectángulo Círculo Triángulo Sólido rectangular Cilindro Esfera

r

r

h

h

wl

h

b

a cr

l

w

P � a " b " cC � 2#rP � 2l " 2w

V �4

3#r3V � #r2hV � lwhA �

1

2bhA � #r2A � lw


ESCRIBIENDO ACERCA DE MATEMÁTICAS

Ampliando el ejemplo. En el ejemplo 8 se justificó cómo trasladar puntos del plano

coordenado. Escriba un párrafo breve describiendo de que manera cada uno de los

siguientes puntos transformados está relacionado con el punto original.

Punto original Punto transformado

�!x, !y��x, y�

�x, !y��x, y�

�!x, y��x, y�

Empleando una fórmula geométrica

Una lata cilíndrica tiene un volumen de 200 centímetros cúbicos y un radio de 4centímetros, como se muestra en la figura 1.14. Encuentre la altura de la lata.SoluciónLa fórmula para el volumen del cilindro es Para encontrar la altura dela lata se despeja

Luego, empleando y se determina la altura.Sustituya V por 200 y r por 4.Simplifique el denominador.Use una calculadora.Como el valor se aproximó por redondeo, la comprobación no conduce a unaigualdad. Si la solución es correcta, las expresiones a cada lado del signo “igual”son, aproximadamente, iguales entre sí.Escriba la ecuación original.Sustituya V por 200, r por 4 y h por 3.98.La solución es correcta. �También se puede usar el análisis unitario para saber si la respuesta es razonable.


200 cm316# cm2 � 3.98 cm 200 � 200.06200 �? #�4�2�3.98�

V � #r2 h

h

� 3.98�

20016#

h �200

# �4�2r � 4,V � 200

h �V

#r2h. V � #r2h.

FIGURA 1.14

Ejemplo 9


Ejercicios1.1 El CD-ROM HM mathSpace® y Eduspace® para este libro contienen soluciones paso a pasopara los ejercicios impares. También proporcionan ejercicios guiados como ayuda adicional.

En los ejercicios 1 y 2 aproxime las coordenadas de los

puntos.1. 2.

En los ejercicios 3 a 6 trace los puntos en el plano car-

tesiano.3.4.5.6.En los ejercicios 7 a 10 encuentre las coordenadas del punto.7. El punto se localiza tres unidades a la izquierda del eje y cuatro unidades arriba del eje .8. El punto se localiza ocho unidades debajo del eje y cua-tro unidades a la derecha del eje .9. El punto se localiza cinco unidades debajo del eje y am-bas coordenadas son iguales.10. El punto está en el eje y 12 unidades a la izquierda deleje .

En los ejercicios 11 a 20 ubique los cuadrantes en los que

se halla el punto (x, y), tal que se satisfagan las condicio-

nes.11. y 12. y13. y 14. y15. 16.17. y 18. y19. 20.En los ejercicios 21 y 22 dibuje una gráfica de dispersión

con los datos que se muestran en la tabla.21. Número de tiendas. En la tabla se muestra el número detiendas Wal-Mart para cada año, , de 1996 a 2003.(Fuente: Wal-Mart Stores, Inc.). x

y

xy < 0xy > 0 y < 0!x > 0!y > 0x < 0 x > 4y < !5 y � 3x > 2y > 0x � !4 y < 0x < 0y < 0x > 0

y

x

x

y

x

x

y

�!43, !32��!3, 4�,� 34, 3�,�1, !13�, �!2, 2.5��5, !6�,�0.5, !1�,�3, 8�, �1, !1��!2, 4�,�3, 1�,�0, 0�, �1, !4��0, 5�,�!3, !6�,�!4, 2�,

x

A

B

C

D 2−2−4−624

−2−4

y

x

A

B C

D

2 4−2−4−6246

−2−4

y

CONTROL DE VOCABULARIO1. Relacione cada término con su definición.(a) Eje (i) Punto de intersección del eje vertical con el horizontal(b) Eje (ii) Distancia dirigida desde el eje x(c) Origen (iii) Distancia dirigida desde el eje y(d) Cuadrantes (iv) Cuatro regiones del plano coordenado(e) Coordenada (v) Recta horizontal de números reales(f) Coordenada (vi) Recta vertical de números realesEn los ejercicios 2 a 4 complete los espacios vacíos.2. Un par ordenado de números reales se puede representar en un plano, denominado sistema coordenadorectangular o plano ________.3. El _______________ es el resultado derivado del Teorema de Pitágoras.4. La determinación de los valores promedio de las coordenadas de los dos puntos extremos de un segmento de recta en un planocoordenado, también se conoce como ________ ________.REVISIÓN DE TÉCNICAS PRELIMINARES: Practique y refuerce algunas técnicas de álgebra útiles para esta sección en

www.Eduspace.com.

y

x

y

x

Año, x Número de tiendas, y1996 3,0541997 3,4061998 3,5991999 3,9852000 4,1892001 4,4142002 4,6882003 4,906


22. Meteorología. En la tabla siguiente se muestra (en gradosCelsius) el registro de la temperatura menor, y, enDuluth, Minnesota para cada mes donde represen-ta enero. (Fuente: NOAA).

En los ejercicios 23 a 26 determine la distancia entre los

puntos (Nota: en cada caso, los dos puntos se encuentran

en la misma recta, horizontal o vertical).23.24.25.26.En los ejercicios 27 a 30 (a) determine la longitud de cada

lado del triángulo rectángulo y (b) demuestre que estas

longitudes satisfacen el teorema de Pitágoras.

27. 28.

29. 30.

En los ejercicios 31 a 40 (a) grafique los puntos, (b) deter-

mine la distancia entre los puntos y (c) determine el punto

medio del segmento de recta que une los puntos.31. 32.33. 34.35. 36.37.38.39.40.En los ejercicios 41 y 42 demuestre que los puntos forman

los vértices del polígono que se indica.41. Triángulo rectángulo:42. Triángulo isósceles:43. Un segmento de recta tiene como un punto extre-mo y como su punto medio. Determine el otropunto extremo del segmento de recta en términosde y 44. Use el resultado del ejercicio 43 para encontrar las coorde-nadas del punto extremo de un segmento de recta si las co-ordenadas del otro punto extremo y del punto medio son(a) y (b)45. Use la fórmula del punto medio tres veces para encontrarlos tres puntos que dividen el segmento de recta que uney en cuatro partes.46. Emplee el resultado del ejercicio 45 para encontrar lospuntos que dividen el segmento de recta que une los pun-tos dados en cuatro partes iguales.(a) (b) .47. Deportes. Un jugador de fútbol pasa el balón desde unpunto a 18 yardas de la línea final y a 12 yardas de la línealateral. El pase lo recibe un compañero que está a 42 yar-das de la línea final y a 50 yardas de la línea lateral, comose muestra en la figura. ¿Cuál es la longitud del pase?

48. Distancia de vuelo. Un aeroplano vuela en línea recta deNápoles a Roma, Italia, que se encuentra a 120 kilómetrosal norte y a 150 kilómetros al oeste de Nápoles. ¿Cuál es ladistancia de vuelo del aeroplano?

Distancia (en yardas)

Distancia (

en yardas)

10 20 30 40 501020304050

60(12, 18)

(50, 42)

�!2, !3�, �0, 0��1, !2�, �4, !1�

�x2, y2��x1, y1�

�!5, 11�, �2, 4�.�1, !2�, �4, !1�

ym.x1, y1, xm, �x2, y2��xm, ym�

�x1, y1��1, !3�, �3, 2�, �!2, 4�

�4, 0�, �2, 1�, �!1, !5�

�!16.8, 12.3�, �5.6, 4.9��6.2, 5.4�, �!3.7, 1.8��!13, !

13�, �!16, !12�

� 12, 1�, �!52, 43��2, 10�, �10, 2��!1, 2�, �5, 4��!7, !4�, �2, 8��!4, 10�, �4, !5��1, 12�, �6, 0��1, 1�, �9, 7�

x

(1, 5)

(1, −2)(5, −2)

6−2

24

y

x

(9, 4)(9, 1)

(−1, 1) 6 8246

y

x4 8

84 (13, 5)(1, 0)

(13, 0)

y

x1 2 3 4 512345 (4, 5)

(4, 2)(0, 2)

y

�!3, !4�, �!3, 6��!3, !1�, �2, !1��1, 4�, �8, 4��6, !3�, �6, 5�

x � 1x,Mes, x Temperatura, y1 −39 ˚C2 −39 ˚C3 −34 ˚C4 −21 ˚C5 −8 ˚C6 −3 ˚C7 2 ˚C8 0 ˚C9 −6 ˚C10 −13 ˚C11 −31 ˚C12 −37 ˚C


Ventas. En los ejercicios 49 y 50 use la fórmula del punto

medio para estimar las ventas de Big Lots, Inc. y Dollar Tree

Stores, Inc. en 2002, dadas las ventas en 2001 y 2003. Su-

ponga que las ventas siguieron un patrón lineal. (Fuente:

Big Lots, Inc.; Dollar Tree Stores, Inc.).49. Big Lots

50. Dollar Tree

En los ejercicios 51 a 54 el polígono está desplazado a una

nueva posición en el plano. Encuentre las coordenadas de

los vértices del polígono en su nueva posición.51. 52.

53. Coordenadas originales de los vértices:

.

Desplace ocho unidades hacia arriba y cuatro unidades a la

derecha.54. Coordenadas originales de los vértices:

.

Desplace 6 unidades abajo y 10 unidades a la izquierda.

Precio al menudeo. Para los ejercicios 55 y 56 emplee la

gráfica siguiente, donde se muestra el precio promedio, al

menudeo de 1 kilogramo de mantequilla, de 1995 a 2003.

(Fuente: U.S. Bureau of Labor Statistics).

55. Aproxime el precio mayor de un kilogramo de mantequi-

lla, que se muestra en la gráfica. ¿Cuándo sucedió esto?56. Aproxime el cambio porcentual en el precio de la mante-

quilla, a partir del precio en 1995, para el precio mayor

mostrado en la gráfica.

Publicidad. Para los ejercicios 57 y 58 use la gráfica siguien-

te, donde se muestra el costo de un anuncio de 30 segundos

en televisión (en miles de dólares), durante el Súper Tazón

de 1989 a 2003. (Fuente: USA Today Research y CNN).

57. Aproxime en qué porcentaje aumentó el costo de un anun-

cio de 30 segundos del Súper Tazón XXIII en 1989 al Sú-

per Tazón XXXV de 2001.58. Estime en qué porcentaje aumentó el costo de un anuncio

de 30 segundos (a) del Súper Tazón XXIII de 1989 al Sú-

per Tazón XXVII en 1993, (b) del Súper Tazón XXVII en

1993 al Súper Tazón XXXVII de 2003.59. Música. En la gráfica siguiente se muestra la cantidad de

artistas de la industria de la grabación que fueron elegidos

para el Salón de la Fama del Rock and Roll, de 1986 a 2004.

(a) Describa una tendencia de los datos. A partir de ésta,

estime el número de artistas para el 2008.

(b) ¿Por qué piensa que el número de elegidos en 1986 y

en 1987 fue mayor que en otros años?

Año

Núm

ero d

e el

egid

os

1987 1989 1991 1993 1995 1997

2

6

10

1999 2001

14

2003

4

8

12

16

Año

Cost

o d

el a

nunci

o d

e T

V d

e

30 s

egundos

(en m

iles

de

dóla

res)

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003

1995 1997 1999 2001 2003

Año

Pre

cio p

rom

edio

(en d

óla

res

por

kil

ogra

mo)

1.50

1.75

2.00

2.25

2.50

2.75

3.00

3.25

3.50

�5, 2��7, 6�,�3, 6�,�5, 8�,

�!7, !4��!2, !4�,�!2, 2�,�!7, !2�,

x( 3, 0)−

( 5, 3)−

( 3, 6)− ( 1, 3)−

3 u

nid

ades

6 unidades

31

5

7

y

x

( 1, 1)− −

( 2, 4)− −(2, 3)−

2 unidades

5 u

nid

ades

4

2−2−4

y

Año Ventas (en millones)2001 3,433 dólares

2003 4,174 dólares

Año Ventas (en millones)2001 1,987 dólares

2003 2,800 dólares


61. Ventas. La compañía Coca-Cola tuvo ventas por 18,546millones de dólares en 1996 y 21,900 millones de dólaresen 2004. Use la fórmula del punto medio para estimar lasventas en 1998, 2000 y 2002. Suponga que las ventas siguie-ron un patrón lineal. (Fuente: The Coca-Cola Company).62. Análisis de datos: Calificaciones en exámenes. En la ta-bla siguiente se muestran las calificaciones de los exáme-nes de admisión de matemáticas, x, y las calificaciones delos exámenes finales, , en un curso de álgebra de unamuestra de 10 estudiantes.

(a) Bosqueje una gráfica de dispersión de los datos.(b) Halle la calificación del examen de admisión de un es-tudiante con 80 puntos en el examen final.(c) ¿Implica una calificación mayor en el examen de ad-misión un aumento en el examen final? Explique.63. Volumen de una bola de billar. Una bola de billar tiene vo-lumen de 98 centímetros cúbicos. Encuentre su diámetro.

64. Longitud de un tanque. El diámetro de un tanque cilín-drico de gas propano es de 1.2 metros. El volumen total deltanque es de 17 metros cúbicos. Determine su longitud.65. Geometría. Una señal para que un vehículo se desplace abaja velocidad tiene la forma de un triángulo equilátero. Laseñal tiene un perímetro de 129 centímetros. Encuentre lalongitud de cada uno de los lados y el área de la señal.66. Geometría. El radio de un cono de señalamiento de tránsi-to tiene 14 centímetros y la superficie lateral del cono es de1,617 centímetros cuadrados. Encuentre la altura del cono.67. Dimensiones de un cuarto. Un cuarto es 1.5 veces máslargo que ancho y su perímetro es de 25 metros.(a) Dibuje un diagrama que represente el problema. Iden-tifique la longitud como y el ancho como (b) Escriba en términos de y encuentre una ecuaciónpara el perímetro, en términos de (c) Encuentre las dimensiones del cuarto.68. Dimensiones de un recipiente. El ancho de un recipientede base rectangular de almacenamiento es 1.25 veces su al-tura. La longitud del recipiente es 16 centímetros y el volu-men del recipiente es 2,000 centímetros cúbicas.(a) Dibuje un diagrama que represente el problema. Iden-tifique la altura y el ancho del recipiente y determinesus longitudes.(b) Escriba en términos de y escriba una ecuación pa-ra el volumen en términos de (c) Encuentre las dimensiones del recipiente.69. Análisis de datos: correo. La tabla siguiente muestra elnúmero de envíos de correo (en miles de millones), movi-lizados por el Servicio Postal de Estados Unidos para cadaaño de 1996 a 2003. (Fuente: U.S. Postal Service).

(a) Bosqueje una gráfica de dispersión de los datos.(b) Aproxime el año en que hubo el mayor descenso en elnúmero de envíos de correo.(c) ¿Por qué considera que disminuyó el número de envíos?

x

h.hw

w.wl

w.l

y

60. Fuerza de trabajo. Use la gráfica siguiente donde semuestra el salario mínimo en Estados Unidos (en dó-lares) de 1950 a 2004. (Fuente: U.S. Department ofLabor).

(a) ¿En qué década se presenta el mayor aumento en elsalario mínimo?(b) Aproxime el aumento en porcentaje del salario mí-nimo de 1990 a 1995 y de 1995 a 2004.(c) Use el aumento en porcentaje de 1995 a 2004 parapredecir el salario mínimo en 2008.(d) ¿Considera que su predicción en el inciso (c) es ra-zonable? Explique.

AñoSalario mí

nimo (en d

ólares)

1950 1960 1970 1980 199012345

2000

Para modelarlo

x 22 29 35 40 44y 53 74 57 66 79x 48 53 58 65 76y 90 76 93 83 99

Año, x Piezas de correo, y1996 1831997 1911998 1971999 2022000 2082001 2072002 2032003 202


70. Análisis de datos: atletismo. En la tabla siguiente semuestra el número de equipos de básquetbol colegial dehombres, H, y mujeres, M, para cada año , de 1994 a2003. (Fuente: National Collegiate Athletic Association).

(a) Trace gráficas de dispersión de estos dos conjuntos dedatos en el mismo sistema de ejes coordenados.(b) Encuentre el año en que la cantidad de equipos dehombres y mujeres fueron casi iguales.(c) Encuentre el año en que la diferencia entre la cantidadde equipos de hombres y mujeres fue mayor. ¿Cuál fueesta diferencia?71. Haga una conjetura. Grafique los puntos y en un sistema coordenado rectangular. Luegocambie el signo de la coordenada de cada uno de los pun-tos y grafique los tres nuevos puntos en el mismo sistemacoordenado. Establezca una conjetura acerca de la localiza-ción de un punto cuando ocurre lo siguiente:(a) Se cambia el signo de la coordenada .(b) Se cambia el signo de la coordenada .(c) Se cambian ambos signos de las coordenadas y .72. Puntos colineales. Tres o más puntos son colineales si todosestán en la misma recta. Use los pasos siguientes para deter-minar si los conjuntos de puntos y el conjunto son colineales.(a) Para cada conjunto de puntos, use la fórmula para de-terminar la distancia de a de a y de a ¿Qué relación existe entre estas distancias para cadaconjunto de puntos ?(b) Grafique cada conjunto de puntos en el plano cartesia-no. ¿Considera usted que están alineados los puntos decada conjunto?(c) Compare sus conclusiones del inciso (a) con las con-clusiones que hizo a partir de las gráficas en el inciso(b). Haga un enunciado general acerca de cómo emple-ar la fórmula de la distancia para determinar colineali-dad de los puntos.

Síntesis

¿Cierto o falso? En los ejercicios 73 y 74 determine si el

enunciado es cierto o falso. Justifique su respuesta.73. A fin de dividir un segmento de recta en 16 partes iguales,tendría que emplear 16 veces la fórmula del punto medio.74. Los puntos y representan los vér-tices de un triángulo isósceles.75. Reflexione lo siguiente: Cuando se grafican puntos en elsistema coordenado rectangular, ¿es cierto que las escalasde los ejes y deben ser iguales? Explique.76. Prueba. Demuestre que las diagonales del paralelogramoque se muestra en la figura siguiente se intersecan en suspuntos medios.

FIGURA PARA 76 FIGURA PARA 77–80

En los ejercicios 77 a 80 use la gráfica del punto en la

figura. Relacione la transformación del punto con la gráfica

correcta [las gráficas están identificadas con (a), (b), (c) y (d)].(a) (b)

(c) (d)

77. 78.79. 80.Rehafirmación de habilidades

En los ejercicios 81 a 88 resuelva la ecuación o desigualdad.81. 82.83. 84.85. 86.87. 88. '2x " 15' ≤ 11'x ! 18' < 4 3x ! 8 ≤ 12�10x " 7�3x " 1 < 2�2 ! x�2x2 " 3x ! 8 � 0x2 ! 4x ! 7 � 013x " 2 � 5 !

16x2x " 1 � 7x ! 4

�!x0, !y0��x0, 12 y0��!2x0, y0��x0, !y0�

x

y

x

y

x

y

x

y

�x0, y0 �

(x , y )0 0x

y

x(0, 0)( , )b c ( + , )a b c

( , 0)a

y

yx

�!5, 1��2, 11��!8, 4�,

C.ACBB,A

C�2, 1�*B�5, 2�,+A�8, 3�, C�6, 3�*B�2, 6�,+A�2, 3�,yx

y

x

x

�7, !3��2, 1�, �!3, 5�,

x

Año, x Equipos de Equipos dehombres,H mujeres,M1994 858 8591995 868 8641996 866 8741997 865 8791998 895 9111999 926 9402000 932 9562001 937 9582002 936 9752003 967 1009

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