predavanja 1

KVANTITATIVNE METODE U EKONOMIJI I MENADMENTU

Dobro doli na predavanja iz predmeta:

1

Nastavnici:

Prof. dr Rabija Somun-Kapetanovi

Doc. dr Almira Arnaut-Berilo

Ass. mr MerimaBalavac

Obavezna literatura: R. Somun-Kapetanovi. A. Arnaut-Berilo, E. ehi, E. Kahvi-

Begi: Kvantitativne metode u ekonomiji i menadmentu, Ekonomski fakultet u Sarajevu, 2009.

2

Dodatna literatura: Vukovi, ., Osnovne ekonometrijske funkcije, Ekonomski fakultet u Sarajevu, 2004. Vukovi, ., Tehnike mrenog planiranja, Ekonomski fakultet u Sarajevu, 2004.

ECO 202

CILJ PREDMETA: Upoznati studente sa osnovnim savremenim kvantitativnim metodama

i modelima u ekonomskim analizama i njihovoj primjeni u funkciji odluivanja.

3

Matematika Statistika

Ekonomija

KMEIM

ECO 202

Predmeti koji su preduslov za polaganje: Matematika za ekonomiste

Osnovne tematske jedinice 1. Osnovne ekonometrijske funkcije 2. Tehnike mrenog planiranja 3. Input- Output analiza 4. Linearno programiranje

4

Struktura ocjenjivanja

Tokom semestra Kviz 1 (5 bodova) (VII sedmica)

Ekonometrijske funkcije i TMP (on line)

Test 1 (20 bodova) (VIII sedmica) Ekonometrijske funkcije i TMP (in class)

Kviz 2 (5 bodova) (XII sedmica) Linearno programiranje (on line)

Test 2 (20 bodova) (XIII sedmica) Linearno programiranje i input output analiza (in class)

Zavrni ispit (50 bodova) (XVI sedmica) Cjelokupno gradivo

5

Uslovi za polaganje ispita

Za prolaznu ocjenu potrebno je osvojiti minimalno 55 bodova i to:

1. Preporuka: u toku semestra potrebno je osvojiti minimalno 25 bodova od ukupno 50 bodova

2. Na zavrnom ispitu potrebno je osvojiti minimalno 30 od moguih 50 bodova.

3. Popravni ispit e biti organizovan samo za izradu zavrnog ispita, koji nosi ukupno 50 bodova.

6

KVANTITATIVNE METODE U EKONOMIJI I MENADMENTU

Osnovne ekonometrijske funkcije

Mreno planiranje

Linearno programiranje

Input output analiza

7

Neka su X, Y: mjerljive ekonomske pojave Funkcionalna zavisnost obiljeja X i Y moe se izraziti:

Y=f(X) odnosno F(X, Y)=0

To znai da za konkretnu vrijednost x obiljeja X postoji vrijednost y obiljeja Y takvo da je y=f(x).

Funkcija jedne varijable

Definicija: Neka su A i B neprazni skupovi.

Funkcija f sa A u B (f: A B) je relacija (zakon, pravilo) koji svakom elementu skupa A pridruuje element skupa B.

8

Predstavljanje funkcije

Algebarski: Y = f(X)

Tabelarno

Grafiki

Skup taaka u ravni x0y koje zadovoljavaju uslov y=f(x)

X x1, x2, . . . . . xn . . . .

Y y1, y2, . . . . . yn . . . .

9

Funkcija dvije promjenjljive z=F(x, y)

Neka su A, B, C neprazni skupovi. Ako svakom paru taaka (x, y) iz AxB pridruimo po nekom zakonu F samo jedno z iz C onda kaemo da je z funkcionalno zavisan od (x, y) i piemo z = F(x, y)

Grafiki, funkcija z = F(x, y) predstavlja skup taaka u prostoru Oxyz, pa je grafik funkcije z=F(x, y) u optem sluaju neka povr u 3D prostoru

10

Etape konstrukcije modela

Kompletirati na osnovu podataka dijagram rasipanja da bi se potvrdila ili odbacila pretpostavka o zavisnosti 2 statistike varijable

Odrediti oblik veze (linearna, krivolinijska, eksponencijalna itd.)

Konstruisati model.

Provjeriti ex-post kvalitet konstruisanog modela.

11

xy

a x

y

b x

y

c

x

y

d x

y

e x

y

f

Razliiti oblici veza izmeu dvije varijable dijagram rasipanjeGrafik 3.1.

Dijagram rasipanja i oblik veze

12

Izvor: Somun Kapetnovi Rabija, Statistika u ekonomiji imenadmentu, tree izdanje, Ekonomski fakultet u Sarajevu, Sarajevo, 2012, str. 112.

Ocjena polaznog modela linearne regresije za skup od

n vrijednosti (xi,yi) varijabli X i Y moe se napisati u sljedeem obliku:

n.1,2,...,i ,

ii

iii

iii

bxay

eyy

ebxay

13

Konstrukcija modela Linearna regresija

iii

iii

bxay

yy

Odstupanje

e

odnosno , e

: jednako je e i

13

yi

= a + bx

x

i

y

xi

Rezidualna odstupanjaGrafik 3.3.

ei = ( yi - i )

14

Izvor: Somun Kapetnovi Rabija, Statistika u ekonomiji imenadmentu,

tree izdanje, Ekonomski fakultet u Sarajevu, Sarajevo, 2012, str. 118.

Rezidualna odstupanja

Minimiziranje zbira kvadrata rezidualnih odstupanja

2

1

2

11

2 )()( i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i bxayyye

je mogue uz potrebne uslove koji zahtijevaju da parcijalni izvodi ovog zbira po parametrima a i b budu jednaki nuli.

Metod najmanjih kvadrata OLS

15

n

i

i

n

i

ii

xxn

yxyxn

b

1

22

1

1

1

xbya

Metod najmanjih kvadrata OLS

2

),(

X

YXCovb

16

Rjeavanjem sistema normalnih jednaina dobivaju se izrazi za izraunabvanje

parametara a i b

Standardna greka regresionog modela

n

yyn

i

ii

y

1

2

)(

17

Primjer 1:

Kompletirati na osnovu podataka dijagram rasipanja da bi se potvrdila ili odbacila pretpostavka o zavisnosti 2 statistike varijable

Odrediti oblik veze (linearna, krivolinijska, eksponencijalna itd.)

Konstruisati model. Provjeriti ex-post kvalitet

konstruisanog modela.

q(kom.) p (km/kom.)

36

32

30

28

24

17

13

12

10

400

600

700

800

1000

1300

1500

1800

2000

Prodate koliine friidera Super (q) i cijene po jedinici proizvoda (p) date su u tabeli.

18

Linearna veza izmeu varijabli

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 500 1000 1500 2000 2500p

q

19

20

Ocjena regresionog modela u Excelu

21


22


23


24


41 55 0 017i iy , , x

Indikatori koji mjere reprezentativnost i kvalitet modela

R2 = 0,9668 znai da je 96,68% varijacije objanjeno regresorom

Significance F = 1,96*10-6

Karakteristike funkcije

Odsjeci na osama Odsjeak na x osi (y=0) Odsjeak na y osi (x=0)

Domena funkcije Stacionarne take

Maximum, minimum and prevoj Test prvog i drugog izvoda

Asimptote Rast ili pad

Test prvog izvoda Konkavnost ili konveksnost

Test drugog izvoda -

26

Karakteristike funkcije sa grafa

x0 0 x3 x2 x1

y0

y

x

f > 0

f < 0

f 0

Usporeno raste

Ubrzano opada

Usporeno opada

Ubrzano raste

27

Osnovne ekonometrijske funkcije

Funkcije koje odreujemo iz osnovne funkcije: granina, prosjena i funkcija elastinosti

Definicija i znaenje

Jedinica mjere

Meusobne relacije

28

Osnovna, granina i prosjena funkcija

Za analizu ekonomskih pojava neophodno je

definisati pojmove :

Osnovne (ukupne) y = f(x) ,

Prosjene

Granine funkcije (veliine)

i analizirati odnose meu njima.

29

dX

dYXfY )(''

tgx

xfxxf

x

y

dx

dyxfy

xx

)()(limlim)(''

00

Granina funkcija

Granina funkcija pokazuje promjenu zavisne varijable Y ili F(X) uzrokovanu beskonano malom promjenom nezavisne varijable X.

Uz pretpostavku da je mala promjena jedinina, granina funkcija se tumai kao promjena Y ili F(X) uzrokovana jedininom promjenom X.

30

)()(

XfX

Xf

X

YY

Pokazuje koliko u prosjeku po svakoj jedinici nezavisne varijable X dolazi jedinica zavisne varijable Y. Za konkretnu vrijednost x varijable X prosjena veliina e biti jednaka:

)()(

xfx

xf

x

yy

Prosjena funkcija (veliina)

31

Nezavisna varijabla X i zavisna varijabla Y imaju svoje jedinice mjere Prosjena i granina funkcija su izraene u sljedeoj jedinici mjere:

.

Jedinica mjere granine i prosjene funkcije

)/...()()('' jmXjmYXdX

dYXfY

)/...()()(

jmXjmYXfX

Xf

X

YY

32

X mjere Jedinica

Y mjere Jedinica

Odnosi izmeu granine i prosjene funkcije

Grafovi granine i prosjene funkcije se sijeku u onoj vrijednosti nezavisne varijable x u kojoj prosjena funkcija ima stacionarnu taku (minimum, maksimum ili prevoj) ili za x=0 ako je 0 element definicionog podruja funkcije.

Dokaz:

0' i/ili 0 xza odnosno ,0'y je kada '

''

yxyy

yxyyxyyx

yy

33

0' za 0

' za 0

' za 0''

'

0x za

2

xza

yy

yy

yy

x

yy

x

yxyy

x

yy

Odnosi izmeu granine i prosjene

funkcije

34

Ukupna funkcija

0 Rastui prinos

Funkcija

ubrzano

raste

y > 0

y > 0

Opadajui prinos

Funkcija

usporeno

raste

y > 0

y < 0

Funkcija

ubrzano

opada

y < 0

y< 0

Funkcija

usporeno

opada

y < 0

y > 0

Taka prevoja

y > 0 y = 0

Taka extrema

Maksimum

y = 0 y < 0

Taka prevoja

y < 0 y = 0

35

Ukupna funkcija

0 A

0 A

B

B C

C

D

D

Prosjena funkcija Granina funkcija

Maksimum

granine funkcije

Ma

ksim

um

pro

sje

n

e

fun

kcije

Ma

ksim

um

osn

ovn

e

fun

kcije

Minimum

granine funkcije 36

Prosjena funkcija

Granina funkcija

0 x

y

A

f(x)

C

xA xC

f(x)

yF

0 x

y,

A

f(x) x

C

B

xA xB xC

x

y

Grafik ukupne (osnovne) funkcije

Grafik granine i prosjene funkcije

37

Relativna promjena neke veliine

Elastinost na luku

Elastinost u taki

Znaenje elastinosti

Elastinost funkcije i osobine elastinosti

38

Relativna promjena

Pitanje:

Prije septembarskog ispitnog roka, ispit iz statistike je poloilo 200 studenata I godine. Nakon septembarskog roka ukupan broj studenata koji su poloili statistiku je 250.

Kolika je promjena broja studenata koji su poloili ispit?

Kolika je relativna promjena?

Kako se tumai?

39

Relativna promjena

Promjena vrijednosti x:

x=xnovo xstaro

Promjena broja studenata je x= 250-200 =50 rx relativna promjena vrijednosti x

Relativna promjena iznosi: rx =50/200=0,25

Tumaenje je u %:

Broj studenata koji su poloili statistiku nakon septembarskog roka je za 25% vei nego prije.

staro

staronovox

x

xx

x

xr

40

Elastinost na luku

Pitanje:

Broj studenata I godine koji su stekli uslov da upiu narednu godinu prije septembarskog roka bio je 160, a nakon tog roka 180.

Kolika je relativna promjena broja upisanih studenata?

Koliko je na tu promjenu uticala promjena prolaznosti iz predmeta Statistika?

41

Elastinost na luku

Relativna promjena upisanih studenata ry je:

y/y= (180-160)/160 =20/160 = 0,125 Nakon septembarskog ispitnog roka broj studenata koji su

upisali narednu godinu je 12,5% vei nego prije.

Porast prolaznosti iz statistike je 25%, a ukupna prolaznost je porasla za 12,5% Pa moemo rei da u prosjeku na svakih 1% porasta prolaznosti iz statistike raste i broj upisanih za 0,5%

42

Elastinost

rx relativna promjena varijable X

ry relativna promjena varijable Y

Elastinost (neimenovani broj) je kolinik (omjer) relativne promjene varijable Y sa relativnom promjenom varijable X. Izraava se u procentima.

x

xrx

y

yry

43

Elastinost na luku (koristi se ako je zavisnost varijabli izraena prekidno)

Elastinost na luku (neimenovani broj) je omjer relativne promjene y sa relativnom promjenom x. Izraava se u procentima i rauna:

Tumaenje: Ako se veliina x povea za 1% onda e se veliina y u prosjeku promjeniti za Ey,x %.

(Poveati ako je Ey,x >0 odnosno smanjiti ako je Ey,x

Elastinost na luku

Elastinost na luku zanemaruje promjene koje su se desile izmeu krajnjih taaka luka i daje prosjenu vrijednost promjene.

A

B

x1 x2

y1

y2

A

B

x1 x2

y1

y2

Elastinost na luku za ove dvije funkcije je potpuno ista 45

Elastinost u taki (koristimo kada je zavisnost varijabli izraena neprekidno)

Kad e se smanjiti greka koja nastaje pri mjerenju elastinosti na luku?

Kad je x manje.

Greka e biti 0 kad x 0

Odnosno kad se na prethodnoj slici A i B poklope. Tako dolazimo do definicije elastinosti u taki i do

funkcije elastinosti u taki:

y

y

x

x

y

y

x

r

rE

xx

y

xxy

00, limlim

46

Tumaenje koeficijenta elastinosti u taki:

Ako se vrijednost x promjeni za 1% (povea ili smanji) tada e se y promjeniti za Ey,x % (poveati ili smanjiti)

Pravimo greku u tumaenju jer aproksimiramo beskonano malu promjenu sa promjenom od 1%

47

Elastinost

Elastinost moe primati vrijednosti od - do +

- + 0 -1 1

Elastinost Elastinost

Neelastinost Neelastinost

Savrena neelastinost Savrena

elastinost

Indiferentna elastinost

Savrena

elastinost Indiferentna elastinost

48

Osobine elastinosti

1. Elastinost konstante

Y=C=const. Ec,x=0

2. Elastinost inverzne funkcije

Ey, x = 1/ Ex, y

3. Veza elastinosti prosjene i ukupne funkcije

Ey/x, x= Ey, x 1

4. Elastinost stepene funkcije

., constbE

xay

xy

b

49

Elastinost eksponencijalne funkcije

Elastinost sloene funkcije

Elastinost proizvoda

Elastinost kolinika

Elastinost zbira i razlike

bxEbay xyx ln,

xyyzxz EEExyzz ,,,)(

xyyxy EEEyyy x ,,21 2,1

xyxyxy EEEy

yy ,,,

2

1

21

xyxyxy EyEyy

Eyyy ,2,1,21 211

50

Funkcija tranje

Posmatraemo trite potpune konkurencije.

Koje su pretpostavke ovog trita?

(Homogenost dobara, prisutnost velikog broja potraaa i ponuaa, savrena informiranost uesnika na tritu, sloboda izlaza i ulaza)

ta sve moe uticati na potranja za nekim dobrom?

(cijena konkretnog dobra, cijena supstituta, cijena komplementa, kupovna mo kupca, cijene drugih dobara za koje je kupac zainteresovan, vremenski trenutak, ukus potroaa, ... )

51

Funkcija tranje

Na zadatak je da upoznamo osnovne osobine funkcije potranje u uem i u irem smislu.

Da analiziramo, sa matematske strane, uslove koje mora zadovoljiti funkcija potranje.

Da kroz zadatke upoznamo najee oblike funkcija agregatne i individualne tranje.

52

Funkcija individualne tranje u irem smislu

x = f(p, B, ps, pk, pd, T, r) Gdje je: p cijena predmetnog dobra, B budet, ps cijena dobara koji su suptituti predmetnom dobru, pk cijena komplementarnog dobra, pd cijena drugih dobara za koje je potroa

zainteresovan, T vremenski trenutak, r ostali faktori

53

Kako se ponaa potranja ako se promijeni jedan od faktora?

Ako poraste buet, a ostale determinante potranje ostanu iste, kako se mijenja tranja za konkretnim dobrom?

Moe porasti a moe i opasti.

Kad e se desiti prva a kad druga situacija?

Tranja e opasti ako se radi o inferiornom dobru - porast budeta omoguava potroau da pree na supstitut koji je kvalitetniji.

Tranja e porasti ako se radi o tzv. normalnom dobru.

54

Kako se ponaa potranja ako se promijeni jedan od faktora?

Ako poraste cijena supstituta, a ostale determinante ostanu iste, kako se mijenja potranja za predmetnim dobrom?

Potranja e porasti, jer e cijena privui potroae koji su

koristili supstitut. Ako poraste cijena komplementarnog dobra kako e se

promijeniti potranja za predmetnim dobrom? Potranja e opasti, jer e porast cijene odbiti dio potroaa

i oni e prei na supstitut.

55

Funkcija tranje u uem smislu

Agregatno tranja predstavlja zbir individualnih tranji svih potroaa predmetnog dobra na posmatranom tritu.

U uem smislu tranja zavisi od cijene konkretnog dobra. Simboli i oznake: x = x(p) funkcija individualne tranje u uem

smislu q = q(p) funkcija agragatne tranje u uem

smislu

56


Ako poraste cijena konkretnog dobra kako e se promijeniti potranja za predmetnim dobrom?

Potranja e opasti, jer e porast cijene odbiti dio potroaa i oni e prei na supstitut.

Definiciono podruje tranje:

p>0; x>0; x0; q>0; q

0,0 pq

0 pfq 0dp

dq

Nenegativnost zavisne i nezavisne promjenljive:

.

Zakon normalnosti tranje koji se matematiki izraava negativnom vrijednou prvog izvoda funkcije tranje:

.

Da bi relacija q=q(p) predstavljala funkciju tranje moraju biti ispunjeni sljedei uslovi:

58


ili


Granina cijena pi+ (maksimalna cijena do koje postoji

individualna tranja)

Nivo zasienja x+ (to bi bio nivo tranje kad bi cijena bila 0)

Agregatno granina cijena i nivo zasienja se raunaju:

ii

i

n

i

i

pp

xxq

max

0;1

59

bpaq

2bpaq

2)( bpaq

pbaq

cbpapq 2

bpaeq

capq b

capq b

p

baq

)( cpba epq

Analitiki oblici funkcije tranje

Funkcija tranje kojom se odreuje zavinost tranje nekog dobra od sopstvene cijene moe imati razliite analitike oblike. Navodimo neke od njih:

60

Analiza funkcije tranje na Primjeru 1.

Za procjenjenu funkciju potranje u primjeru 1 odrediti:

a) Kolika bi bila potraivana koliina friidera za cijenu

p =2200

a) Odrediti nivo zasienja i maksimalnu cijenu do koje postoji tranja (q+ i p+)

b) Odrediti koeficijent elastinosti tranje za p =700 i protumaiti.

61

Analiza funkcije tranje: Primjer 2.

Na nekom tritu interes za odreenom robom imaju 3

potroaa A, B i C. Njihove individualne funkcije tranje su:

xA= 8 p, xB = 6 0,5p; xC=3 1,5p

a) Analizirati svaku od tih funkcija tranje.

b) Odrediti odgovarajuu funkciju agregatne tranje.

c) Na istom grafiku prikazati funkcije xA, xB , xC i q(p).

62

Rjeenje a) xA = 8 p, xB = 6 0,5p; xC = 3 1,5p

xA= 8 p

p>0;

x>0 8 - p>0 p

Rjeenje b)

)12,85,06

)8,25,114

)2,0(317

)(

)12,8

)8,2

)2,0(

)(

2

21

321

pp

pp

pp

pq

pX

pXX

pXXX

pq

64

Rjeenje c)

8

17

0

q

11

2

12 2 p

65

Elastinost tranje

Definicija:

Kakva je elastinost tranje po znaku?

Ako se povea cijena predmetnog dobra za 1% kako e se promijeniti tranja?

Matematski dokaz:

p>0; q>0; q

pq

q

p

p

p

q

q

r

rE

p

q

pq

,

Koeficijent elastinosti tranje u prekidnom sluaju:

67

qq

p

dp

dq

q

p

p

q

q

p

p

q

q

pE

pppq

p

00,

0limlimlim

Koeficijenti elastinosti tranje u neprekidnom sluaju

Koeficijent elastinosti tranje pokazuju procentualno smanjenje tranje izazvano poveanjem cijene za 1%.

68

Tabelarna analiza koeficijenata cjenovne elastinosti tranje

Vrijednosti Znaenje

Eq = 0 Savrena neelastinost tranje

- 1 < Eq < 0 Neelastinost tranje

Eq = - 1 Jedinina ili indiferentna elastinost tranje

- < Eq < - 1

Elastinost tranje

Eq = - Savrena elastinost tranje

69

Koeficijenti parcijalne elastinosti tranje

Relativna promjena tranje koja je uslovljena relativnom promjenom bilo koje nezavisne promjenljive.

Moe se utvrditi u odnosu na, cijene ostalih dobara, dohodak potroaa i ostale faktore.

Unakrsna elastinost

Dohodovna elastinost

70

iipq

p

q

q

pE

i

,

i

ipq

p

q

q

pE

i

,

Koeficijent unakrsne elastinosti tranje

Eq,pi >0 supstititski odnos posmatranog dobra i dobra i.

Eq,pi =0 nezavisan odnos posmatranog dobra i dobra i.

Eq,pi

dq

q

dE dq

,

d

q

q

dE dq

,

)0( , dqE

)0( , dqE

Koeficijent dohodovne elastinosti tranje

Pomou ovog koeficijenta vri se klasifikacija dobara na normalna i inferiorna.

72

Ukoliko je vrijednost koeficijenta dohodovne elastinosti pozitivna radi se o normalnom dobru.

Ukoliko je vrijednost koeficijenta dohodovne elastinosti negativna radi se o inferiornom dobru.

Pitanja za ponavljanje

Ponoviemo kroz pitanja ono to smo uradili.

Ako za funkciju y=f(x) kaemo da usporeno raste, kako se matematski zapisuje ta osobina?

Kako definiemo i tumaimo elastinost funkcije u taki?

U kakvom su odnosu granina i prosjena funkcija?

Da li ponuda konkretnog dobra predstavlja determinantu tranje za tim dobrom?

Ocjenjena je funkcija potranje za nekim dobrom sa q=5p-0.76. Kako e se promjeniti tranja ako cijena poraste za 1%?

Ako se povea cijena supstituta ta se deava sa potranjom?

Osobine elastinosti tranje ...

73

predavanja 1

Documents