MAŠINSKI MATERIJALI

2. Predavanje

4. KRISTALNA STRUKTURA I GEOMETRIJA ELEMENTARNIH KRISTALNIH REŠETKI 2

4.1 Kristalna i amorfna građa 3

4.2 Kristalni sistem 4

4.3 Elementarne rešetke tehničkih metala 6 4.3.1 Prosta kubna rešetka (SC - Simple Cubic) 7 4.3.2 Površinski centrirana kubna rešetka (A1) (FCC Face-Centered Cubic) 8 4.3.3 Zapreminski centrirana kubna rešetka (A2) ) (BCC Body-Centered Cubic) 9 4.3.4 Gusto pakovana heksagonalna rešetka (A3) (HCP Hexagonal Close-Packed) 10

4.4 Pravci i ravni u kristalu 12 4.4.1 Kristalografski pravci 12 4.4.2 Određivanje Miller-ovih indeksa ravni 14 4.4.3 Određivanje Miller-Bravais-ovih indeksa za ravni i pravce heksagonalne

gusto pakovane rešetke 16 4.4.4 Pravci gustog pakovanja 18

4.5 Izotropski i anizotropski materijali 20

4.6 Teoretska gustina, ρ 20

2

4. KRISTALNA STRUKTURA I GEOMETRIJA ELEMENTARNIH KRISTALNIH REŠETKI

Kristalografija (potiče od grčkih reči «krýstallos» = led, naziv upotrebljen za prozirni kvarc, gorski kristal, za koji se smatralo da je zamrznuta voda, i "gráphein" = pisati) je nauka o kristalnom stanju. Proučava spoljašnji oblik kristala i njihovu unutrašnju građu.

Kristalizacija je prelaz tečne ili gasne faze u čvrstu, i to pravilnim trodimenzionalnim raspoređivanjem materijalnih čestica u kristalnu rešetku.

Uređenost kristala u tečnom i čvrstom stanju

Svi metali i njihove legure, mnogi keramički i neki polimerni materijali formiraju kristalnu strukturu pod normalnim uslovima očvršćavanja. Prilikom prelaska iz tečnog u čvrsto stanje atomi se pravilno raspoređuju u kristalografske ravni. Više ovakvih ravni paralelno postavljenih u prostoru grade kristalnu rešetku.

Nivoi pakovanja atoma u materijalima su: a) Inertni monoatomski gas sa neuređenim atomima, b) Neki materijali, kao što je vodena para, amorfni silicijum i silikatna stakla imaju samo

delimično uređene atome i c) Metali, legure, mnoge keramike i neki polimeri imaju uređene atome po celoj zapremini.

Nivoi pakovanja atoma u materijalima: a) neuređeni, b) i c) delimično uređeni i d) uređeni

3

4.1. Kristalna i amorfna građa

Čvrste materije mogu biti amorfne i kristalne. Amorfne materije nemaju pravilnu unutrašnju građu i ne smatraju se pravim čvrstim

materijama, već jako pothlađenim tečnostima. One nemaju određeno topljenje, već pri zagrevanju postepeno omekšavaju dok se ne rastope. Primeri takvih materija su staklo i vosak.

Kristali, nasuprot tome, imaju pravilnu unutrašnju građu svojstvenu za većinu čvrstih materija. Oni su pravilna geometrijska tela, omeđena površnama koje se seku u ivicama, a ivice u uglovima. Kristali su pravilne unutrašnje građe i imaju određen geometrijski oblik. Uglovi između odgovarajućih površina kristala neke materije konstantni su i karakteristični za tu materiju.

Kristalna i amorfna građa

Geometrijski oblik kristala u vezi je s njegovom geometrijskom unutrašnjom strukturom. Drugim rečima, spoljni geometrijski oblik kristala u vezi je s određenim rasporedom njegovih strukturnih jedinica - jona, atoma ili molekula. Svaki kristal se sastoji, dakle, od trodimenzionalno pravilno raspoređenih strukturnih jedinica, a njihov raspored daje karakteristična svojstva i oblik. Kristalna struktura neke materije predstavlja celokupni poredak strukturnih jedinica u tzv. prostornoj rešetki.

Tipični predstavnici kristalnih materija jesu metali. U grupu metala spada, od ukupnog broja od 106 elementa svrstanih u periodnom sistemu, gotovo tri četvrtine, ostalo čine nemetali. Svi su metali (izuzev žive) na normalnoj temperaturi kristalni i odlikuju se visokom električnom i toplotnom provodljivošću i pre svega se po tim osobinama razlikuju od nemetala. Sa gledišta tehničke primene najcenjeniji su prelazni metali, koji se odlikuju korisnim mehaničkim osobinama koje proizilaze iz njihove kristalne strukture.

Radiografskim ispitivanjima ustanovio se raspored atoma unutar mikrostruktura materijala. Atomski raspored igra vrlo važnu ulogu u objašnjavanju mikrostrukture i ponašanju čvrstih materijala. Na primer, duktilnost aluminijuma, čvrstoća gvožđa se objašnjava njihovim atomskim rasporedima. Zbog različitih atomskih rasporeda, polietilen se lako deformiše, guma se elastično rasteže, a epoksid je čvrst i krt.

Geometrijski oblik kristala u vezi je s njegovom geometrijskom unutrašnjom strukturom. Drugim rečima, spoljašnji geometrijski oblik kristala u vezi je s određenim rasporedom njegovih strukturnih jedinica – jona, atoma ili molekula. Svaki kristal sastoji se, dakle, od trodimenzionalno pravilno raspoređenih strukturnih jedinica, a njihov raspored daje karakteristična svojstva i oblik.

Kristalna struktura neke materije predstavlja celokupni poredak strukturnih jedinica u tzv. prostornoj rešetki.

Kristalna rešetka predstavlja prostornu mrežu u čijim čvorovima su smešteni atomi. Svaki čvor kristalne rešetke ima identičnu okolinu.

Jedinična ili elementarna ćelija je najmanji deo prostorne rešetke koji, ponavljan u tri dimenzije, daje celu kristalnu rešetku. Elementarna ćelija zadržava karakteristike celokupne rešetke. Jedinična ćelija kristalne strukture sadrži najmanji mogući broj strukturnih jedinica.

4

Kristalna rešetka i elementarna ćelija

Jedinična ćelija je osnovna “cigla” čijim se slaganjem može izgraditi čitav kristal. Pravljenje kristalne strukture iz jedinične ćelije izvodi se ponavljanjem po kristalografskim

osima.

Prikaz konstruisanja kristalne strukture iz jedinične ćelije uz ponavljanje po kristalografskim

osima

4.2. Kristalni sistem

Veličina i oblik elementarne kristalne rešetke definisani su sa tri vektora - a, b i c, koji polaze iz ugla elementarne rešetke. Veličine vektora - a, b i c i uglovi među njima - a, p i y, nazivaju se parametrima elementarne kristalne rešetke .

Kristalni sistem se opisuje: • kristalnim osima: x, y, z • parametrima po kristalnim osima: a, b, c • uglovima između kristalnih osa: α, β, γ. Parametar rešetke je najmanja udaljenost između dva atoma uzduž ivice jedinične ćelije.

Shematski prikazi kristalnog sistema

5

Prema odnosu veličina parametara a, b, c i uglova α, β i γ sve kristalne strukture mogu se prikazati u 14 vrsta jediničnih ćelija razvrstanih u 7 osnovnih kristalnih sistema. Tačke kristala (kristalni čvorovi) se nalaze u uglovima elementarne ćelije, u nekim slučajevima i na površinama ili u unutrašnjem prostoru jedinične ćelije.

Četrnaest tipova jediničnih ćelija.

Parametri rešetke opisuju veličinu i oblik jedinične ćelije, dimenzije stranica jedinične ćelije i uglove između stranica. U kubnom kristalnom sistemu samo dužina jedne stranice kocke je potrebna da se kompletno opiše ćelija (uglovi su 90°). Dužina stranice, a se meri na sobnoj temperaturi i obično se daje nanometrima (nm) ili Angstremima (Å), gdje: 1 nanometar (nm) = 10-9 m = 10 -7 cm = 10 Å 1 angstrem (Å) = 0,1 nm = 10-10 m = 10-8 cm

Da bi se definisao oblik i veličina jedne kompleksne jedinične ćelije potrebno je više parametara. Na primer, za romboedarsku ćeliju moraju se specificirati sve tri stranice ćelije: a, b i c. Heksagonalna jedinična ćelija zahteva dve dimenzije, a i c i ugao 120° između a stranica. Najkomplikovanija triklinična ćelija se opisuje sa tri dužine i tri ugla.

U geometrijskoj kristalografiji se koristi sedam različitih koordinatnih sistema. Ti tzv. kristalografski sistemi se razlikuju po veličini medjusobnih uglova i parametrima rešetke. Elementi koji karakterišu oblik osnove ćelije u navedenim sistemima, dati su u sledećoj tabeli.

Karakteristike sedam kristalnih sistema

Sistem Broj osa

Odsečci na osama

Uglovi izmedju osa Primeri

Triklinični 3 a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ ≠ 90° CuSO4·5H2O (plavi kamen) Monoklinični 3 a ≠ b ≠ c α = β = 90° ≠ γ CaSO4·2H2O (gips)

Ortorombični 3 a ≠ b ≠ c α = β = γ = 90° Fe3C, Ga Tetragonalni 3 a = b ≠ c α = β = γ = 90° TiO2

Kubni 3 a = b = c α = β = γ = 90° Cu, Fe, Al, Ni, ...

Heksagonalni 4 a1 = a2 = a3 ≠ c α1 = α2 = α3 = 120°; γ = 90° Zn, Cd, Mg, Ti, Be, SiO2, H2O

Romboedarski 3 a = b = c α = β = γ ≠ 90° As, Sb, Bi

6

Prema načinu popunjavanja elementarne ćelije odgovarajućim česticama (iste vrste) mogu se dobiti u kristalografskom ortorombičnom sistemu sledeći tipovi rešetki: primitivna, bazno centrirana, prostorno centrirana i površinski centrirana.

Primitivna (prosta, jednostavna) - elementarnoj ćeliji pripada po jedna čestica (atom); u svakom roglju (čvoru) elementarne ćelije nalazi se 1 atom koji je zajednički za svih osam ćelija ((8 ⋅ 1/8) = 1),

Bazno centrirana - elementarna ćelija ima po jedan atom na svakom roglju i još po jedan atom u sredini donje i gornje osnove; to znači da na elementarnu ćeliju dolazi 2 atoma ((8 ⋅ 1/8 + 2 ⋅ 1/2 ) = 2).

Prostorno centrirana - ima po jedan atom u rogljevima elementarne ćelije i jedan atom u njenom središtu; to znači, da elementarnoj ćeliji pripadaju 2 atoma (8 ⋅ 1/8 + 1 ) = 2).

Površinski centrirana - ima u elementarnoj ćeliji po jedan atom na svakom roglju i po jedan atom u sredini svake strane; elementarnoj rešetki tada pripada 4-atoma ((8 ⋅ 1/8 + 6 ⋅ 1/2) = 4).

4.3. Elementarne rešetke tehničkih metala

Prema usvojenoj simbolici struktura hemijskih elemenata označava se slovom A (npr. A1, A2, A3, do A8). Slovo A se dopunjava odredjenim brojem za tip strukture (1 - površinski centrirana, 2 - prostorno centrirana, 3 - gusto pakovana heksagonalna, 4 - dijamantska kubna, 5 - prostorno-centrirana tetragonalna, 6 - površinski centrirana tetragonalna, 7 - romboedarska, 8 - trigonalna (trougaona)).

Kod tehničkih metala, uglavnom se sreću tri tipa osnovnih ćelija: • površinski centrirana kubna rešetka (A1), • prostorno centrirana kubna rešetka (A2) i • gusto pakovana heksagonalna rešetka (A3). Po drugim tipovima rešetke kristališu se neki za tehniku manje značajni metali, keramike i

polimeri. Većina inženjerskih metala kristališe se po kubnoj rešetki, a samo nekoliko po

heksagonalnoj rešetki.

7

Razlikuju se: • površinski centrirana kubna rešetka (A1),

• prostorno centrirana kubna reš etka (A2) i

• gusto pakovana heksagonalna rešetka (A3).

Pored tipa rešetke bitno je još poznavati broj atoma (n) koji pripadaju osnovnoj ćeliji, radijus atoma R, koordinacioni broj (K) koji predstavlja broj atoma podjednako udaljenih od centralnog atoma u elementarnoj rešetki i koeficijent ispunjenosti rešetke (KIR) koji se odredjuje iz odnosa zapremine atoma elementarne rešetke i zapremine same rešetke.

Kad bude reči o obrazovanju legura videće se značaj atomskog radijusa za legiranje, jer se samo atomi sličnih dimenzija mogu zamenjivati. Atomski radijus se može izračunati iz dimenzija elementarne rešetke.

4.3.1. Prosta kubna rešetka (SC - Simple Cubic)

Primitivna (prosta, jednostavna) - elementarnoj ćeliji pripada po jedna čestica (atom); u svakom roglju (čvoru) elementarne ćelije nalazi se 1 atom koji je zajednički za svih osam ćelija ((8 ⋅ 1/8) = 1).

• Kubna jedinična ćelija je 3D ponovljiva jedinica • Retka (samo Po (polonijum) ima ovu strukturu) • Gusto pakovani pravci su ivice kocke.

8

4.3.2. Površinski centrirana kubna rešetka (A1) (FCC Face-Centered Cubic)

Elementarna ćelija ovog tipa rešetke jeste kocka ivice "a" (parametar rešetke), koja ima atome smeštene na rogljevima i u sredini strana.

Elementarna ćelija poseduje samo četiri atoma, pošto svi čvorni atomi pripadaju svakoj od osam susednih ćelija, a atomi u središtu stranica jesu zajednički dvema ćelijama. Od osam čvornih atoma pipada jednoj ćeliji uvek 1/8, a od šest atoma u sredini stranice 1/2, to znači 8⋅1/8 + 6⋅1/2 = 4. Pravci gustog pakovanja su dijagonale stranica.

Po površinski centriranoj kubnoj rešetki kristališu se npr. Pb, Au, Ag, Cu, Pt, Ni, Al, Ce, a u odredjenim termodinamičkim uslovima Fe i Mn. Svi ovi metali su dobro obradljivi na hladno, jer u rešetki tog tipa postoji znatan broj ravni gusto posednutih atomima, koje pri obradi deformacijom služe kao ravni klizanja.

Metali koji kristališu sa ovim tipom kristalne rešetke imaju veoma veliku sposobnost deformisanja, veliku žilavost i malu čvrstoću.

Za rešetku A1 koordinacioni broj iznosi K = 4 + 4·2 = 12 (referentni atom je u centru bočne strane),

a) b) c)

Modeli površinski centrirane kubne rešetke: a) stvarni položaj atoma u prostornoj rešetki, b) atomi koji pripadaju jednoj jediničnoj ćeliji, c) položaj atoma u jediničnoj ćeliji

9

a) b)

Prostorni izgled površinski centrirane kubne rešetke (a) i koordinacioni broj (b) Napomena: Svi atomi su identični; površinski centrirani atomi su osenčeni (beli) samo da bi bili

istaknuti. Koeficijent ispunjenosti rešetke

KIR za površinski centriranu kubnu rešetku = p/(3√2) = 0.74 (najbolje moguće pakovanje je

sa identičnim sferama)

4.3.3. Zapreminski centrirana kubna rešetka (A2) ) (BCC Body-Centered Cubic)

Elementarna ćelija prostorno centrirane kubne rešetke prikazana je na slikama dole. To je kocka strane a (parametar rešetke), koja ima atome smeštene na rogljevima i u preseku prostornih dijagonala. Jednoj elementarnoj ćeliji pripadaju samo dva atoma, pošto se čvorni atomi rasporedjuju na osam ćelija. Zbog toga od osam čvornih atoma pripada razmatranoj ćeliji uvek 1/8, a u središtu ćelije nalazi se još jedan atom, to znači 8 ⋅ 1/8 + 1 = 2. Najgušće posednuti pravci jesu prostorne dijagonale kocke.

Metali koji imaju ovaj tip rešetke imaju umerenu sposobnost deformisanja i srednju čvrstoću i žilavost.

Modeli prostorno centrirane kubičnerešetke: a) stvarni položaj atoma u prostornoj rešetki, b)

položaj atoma u jediničnoj ćeliji, c) atomi koji pripadaju jednoj jediničnoj ćeliji

10

Po prostorno centriranoj kubnoj rešetki kristališu se npr.: W, Mo, Ta, Nb, V, Li, Na, K, a u odredjenim termodinamičkim uslovima Fe, Mn, Cr, Ti. Uglavnom je reč o metalima koji su slabije obradljivi na hladno. Za rešetku A2 koordinacioni broj je K = 8,

Prostorni izgled površinski centrirane kubne rešetke (a) i određivanje koordinacionog broja (b)

Napomena: Svi atomi su identični; centralni atom je osenčen (beo) samo da bi se razlikovao od ostalih atoma.

Koeficijent ispunjenosti rešetke

KIR za zapreminski centriranu kubnu rešetku = p√3/8 = 0.68

4.3.4. Gusto pakovana heksagonalna rešetka (A3) (HCP Hexagonal Close-Packed)

Oblik elementarne ćelije i razmeštaj atoma u njoj prikazan je na donjoj slici. Elementarna rešetka je prizma, čiju osnovu čini ravnostrani šestougao sa stranom a; visina prizme je c. Atomi su smešteni u svakom čvoru osnove (bazalne ravni), jedan atom je uvek u sredini donje i gornje osnove, a dalja tri smeštena su na sredini duži koja spaja čvor bazalne ravni i središta susedne bazalne ravni. Jednoj elementarnoj ćeliji pripada 6 atoma, jer je svaki rubni atom zajednički za šest susednih rešetki, oba atoma u sredini osnove pripadaju svaki dvema rešetkama i tri atoma unutar rešetke koji pripadaju samo toj ćeliji, to znači 12·1/6 +2 ⋅ 1/2 + 3·1 = 6. Elementarna rešetka ima 4 ose, od kojih su 3 u ravni osnove šestougaone prizme i medjusobno zaklapaju ugao od 120°. Četvrta osa, upravna na osnovnu ravan, može biti različita za razne metale. Odnos parametara rešetke za tehnički važne metale jednak je c : a = 1.633.

Tehnički važni metali, koji se kristališu po ovom tipu rešetke jesu npr. Be, Mg, Zn, Cd, i dr. (i još kristalna maziva: grafit, MoS2). Metali sa ovim tipom rešetke imaju umerenu čvrstoću i sposobnost deformisanja.

11

Za rešetku A3 koordinacioni broj iznosi K = 12, a odnosi se na jedan od tri centralna atoma u srednjoj ravni prizme. Okružuju ga 3 atoma iz donje i 3 atoma iz gornje osnove kao i 6 atoma iz srednje ravni (dva iz sopstvene i četiri iz okolnih ćelija).

Modeli gusto slagane heksagonske jedinične ćelije: a) stvarni položaj atoma u prostornoj

rešetki, b) položaj atoma u jediničnoj ćeliji, c) atomi koji pripadaju jednoj jediničnoj ćeliji Koeficijent ispunjenosti rešetke

KIR za heksagonalnu centriranu kubnu rešetku (c=1.6333a) = 0.74 (najbolje moguće pakovanje je sa identičnim sferama)

Na sledećoj slici pokazani su oblici kristalnih rešeti za sve elemente periodnog sisteme.

12

Samo nekoliko metala upotrebljavamo u čistom ili približno čistom stanju (bakar i aluminijum). Većina inženjerskih metala legira se drugim metalima ili nemetalima da im se poboljša čvrstoća, korozijska otpornost i druga željena svojstva. Između atoma u kristalnoj rešetki postoje praznine koje omogućavaju ulazak legirnih atoma. Legirni atomi kod legiranja dolaze u praznine ili na mesta atoma osnovnog metala ili može doći do stvaranja novih faza sa drugim, boljim svojstvima.

4.4. Pravci i ravni u kristalu

Analiza strukture i osobina kristala nije moguća bez definisanja pojedinih pravaca i ravni u kristalu ili u prostornoj rešetki. Često je potrebno pozivati se na određene pravce u kristalnim rešetkama. Ovo je naročito važno za metale i legure čija se svojstva menjaju promenom orijentacije kistala.

4.4.1. Kristalografski pravci

Radi uprošćenja dalje ćemo se ograničiti na kubnu rešetku, po kojoj se kristališe većina tehničkih metala. Za kubne kristalne rešetke kristalografski indeksi pravaca su komponente vektora pravca razložene duž svake koordinatne ose i svedene na najmanji ceo broj.

Primer koordinata atoma u jednostavnoj jediničnoj kubnoj rešetki

Ako u nekom čvoru datog kristala postavimo pravougli koordinatni sistem sa osama x, y, z, možemo položaj svakog čvora rešetke opisati pomoću tri koordinate. Npr. čvoru O odgovaraju koordinate: 0, 0, 0; a čvoru D: a, b, c, gde su a, b, c parametri rešetke u pravcu triju kristalografskih osa x, y, z (za kubnu elementarnu rešetku a=b=c).

Parametar rešetke predstavlja jediničnu dužinu, to znači da koordinate čvora možemo izraziti takodje pomoću umnožaka parametara rešetke. Koordinate čvora stoga će biti: čvor O: 0, 0, 0; čvor D: 1, 1, 1; to u zadnjem slučaju znači: jedan parametar u pravcu "x", jedan parametar u pravcu "y" i jedan parametar u pravcu "z".

Viliam Halou Miler (Villiam Hallowes Miller) (1801-1880).

Engleski kristalograf koji je objavio “Treatise on Crystallography” (Naučna rasprava o kristalografiji) u 1839, koristeći koordinatne ose koje su bile paralelne ivicama kristala i koristeći recipročne indekse

Određivanje Miller-ovih indeksa pravaca Pri odredjivanju Milerovih indeksa za dati pravac postupamo na sledeći način: 1) na pravoj datog pravca biramo dve tačke. Jedna od tih tačaka obično je koordinatni

početak, druga najbliži čvor kroz koji data prava prolazi; 2) za odsečak omeđen tim dvema tačkama odredjujemo veličinu projekcija na tri

kristalografske ose; 3) odredjujemo odnose izmedju tih projekcija i izražavamo ih celim brojevima (bez

razlomaka - redukovati dobijeno na najmanje cele brojeve, ali da je zadržan njihov odnos).

4) označavamo indekse pravca u uglastim zagradama [s t v]

13

Ako se traži obrnuto, da se iz Milerovih indeksa [s t v] nacrta odgovarajući pravac, ucrtaćemo pravac koji polazi iz koordinatnog početka, a prolazi kroz tačku sa koordinatama s; t; v.

Negativne vrednosti se prikazuju crticom nad odgovarajućim indeksom, npr. [121], što znači pravac minus jedan, dva, jedan.

X

-Y Y

Z

-Z

-X[011]

[101]

[011]

[110]

[110]

[101]

0

Primeri kristalografskih pravaca u jednostavnoj

jediničnoj ćeliji kubnog sistema Pravci istog kristalografskog tipa

Označavanje ekvivalentnih pravaca Pravce nazivamo kristalografski ekvivalentnim ako je rastojanje atoma duž svakog pravca

jednako. Kao primer kristalografski ekvivalentnih pravaca uzmimo stranice kuba: [100] [010] [001] [ 010 ] [ 001 ] [ 100 ] = <100 >

Ekvivalentni pravci imaju zajednički indeks, koji se obeležava <100> i predstavljaju familiju stranica kuba. Drugi primer ekvivalentnih pravaca je familija pravaca dijagonale kuba <111>. Treći primer je ekvivalentni indeks <110> koji predstavlja familiju pravaca dijagonale stranice kuba.

Ako uporedimo na primer pravce [110], [101], [011], [ 1 10], [ 1 01], [0 1 1] itd. (slika gore) vidimo da je njihova orijentacija u odnosu na koordinatne ose u svim slučajevima u izvesnoj meri slična; reč je o pravcima istog kristalografskog tipa. Zato ponekad skupljamo sve takve pravce u jednu grupu koju uopšteno označujemo <s t v>; u ovom slučaju <110>.

Posebno treba naglasiti da svi paralelni vektori pravaca imaju iste indekse pravaca rešetke. Odrediti Miller-ove indekse za pravce A, B, i C na slici dole Primeri: Pravac A 1. Koordinate krajnje tačke vektora A su (1, 0, 0) a koordinate početne tačke vektora A su (0, 0, 0) 2. Oduzimanjem početnih od krajnjih tačaka dobija se (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1-0, 0-0, 0-0) = [100] 3. Pa je pravac A - [100] Pravac B 1. Koordinate krajnje i početne tačke su: (1, 1, 1) i (0, 0, 0) 2. (1, 1, 1) - (0, 0, 0) = [111] 3. Pravac B je: [111] Pravac C 1. Koordinate krajnje i početne tačke su: (0, 0, 1) i (1/2, 1, 0) 2. (0, 0, 1) - (1/2, 1, 0) = (-1/2, -1, 1) 3. 2(-1/2, -1, 1) = [-1 -2 2] ili

2]21[ .4

14

Neki rešeni primeri

a) b) c) d) Primeri za vežbu: Ucrtati Miller-ove indekse pravca

U dole navedenim primerima odrediti kristalografske indekse pravca.

a) b) c) d)

e) f)

4.4.2. Određivanje Miller-ovih indeksa ravni

Milerovi indeksi koji odredjuju orijentaciju ravni imaju sličan smisao kao indeksi pravca s tim što definišu orijentaciju normale razmatrane ravni. Da bismo istakli da je reč o pravcu ravni (a time i pravcu normale), koristimo se malim zagradama; npr. ravan (21 1 ) - "ravan dva, jedan, minus jedan" predstavlja ravan čija normala ima Milerove indekse [211]. Uopšteno izražavamo Milerove indekse ravni kao (h k l).

Pri utvrdjivanju Milerovih indeksa (h k l) za ravan postupa se na sledeći način:

15

• odredjuju se odsečci (x, y, z) koje gradi razmatrana ravan na kristalografskim osama x, y, z;

• nalaze se njihove recipročne vrednosti 1/x, 1/y, 1/z; • dobijeni razlomci svode se na zajednički imenilac, pa će brojioci razlomaka predstavljati

Milerove indekse ravni Primeri: Odrediti Milerove indekse za ravni A, B i C Ravan A

1. x = 1, y = 1, z = 1 1. 1/x = 1, 1/y = 1, 1 /z = 1 2. 1/1 = 1, 1/1 = 1, 1/1 = 1 3. (111)

Ravan B 1. Ravan nikad ne seče z osu - z = ∞, i x = 1, y = 2 2. 1/x = 1, 1/y =1/2, 1/z = 0 3. 1/1 = 1, 1/2 =1/2, 1/∞= 0 4. Pretvaranje razlomaka u cele brojeve (množenje sa 2): 1/x = 2, 1/y = 1, 1/z = 0 5. (210)

Ravan C 1. Nije teško uočiti da se Milerovi indeksi ne mogu direktno odrediti za ravni koje prolaze kroz

koordinatni početak (npr. ravan C). Zato se, radi prikaza ravni koje prolaze kroz 0, 0, 0, uzimaju ravni koje su paralelne traženim ravnima (y= -1).

Tako je: x = , y = -1, i z = 2.1/x = 0, 1/y = -1, 1/z = 0 3. ( )010

Rešeni primeri

a) b) c) d) Primeri za vežbu Za označene ravni odrediti Milerove indekse!

a) b)

16

c) d) e)

Ako je zadatak obrnut, da se na osnovu datih Milerovih indeksa konstruiše ravan, postupa se ovako: nadju se recipročne vrednosti Milerovih indeksa 1/h, 1/k, 1/l i te veličine nanesu na ose x, y, z; tako se dobiju tri tačke tražene ravni.

Nije teško uočiti da se Milerovi indeksi ne mogu direktno odrediti za ravni koje prolaze kroz koordinatni početak (ravni A, B, C slika dole). Zato se, radi prikaza ravni koje prolaze kroz 0, 0, 0, uzimaju ravni koje su paralelne traženim ravnima.

Na donjoj slici su prikazani još neki primeri ravni koji pripadaju elementarnoj ćeliji. Ravni (110) zovu se dodekaedarske, ravni (111) oktaedarske, a ravni tipa (100) kubne.

Indeksi u velikoj zagradi {h k l} označavaju one kristalne ravni koje su medjusobno ekvivalentne. Na primer simbol {100} obuhvata ravni (100), (010), (001), (100), (001), (010)

X

Y

Z

A

BC

D (001)

X

Y

Z

(111)

X

Y

Z

(110)

a) b) c)

Primeri najvažnijih ravni u kubnoj rešetki: a) kubne, b) dodekaedarske, c) oktaedarske

4.4.3. Određivanje Miller-Bravais-ovih indeksa za ravni i pravce heksagonalne gusto pakovane rešetke

Modifikovani Milerovi indeksi pravaca i ravni koriste se za definisanje heksagonalne kristalne rešetke i koriste četiri indeksa h, k, i i l. Ako su određeni indeksi h, k i l tada je indeks i određen izrazom - (h + k). Ovi indeksi nazivaju se Miler-Braveovi indeksi i kod njih se umesto osa x, y, z uzimaju četiri ose a1, a2, a3 i c. Tri ose su u horizontalnoj ravni a1, a2 i a3 i postavljene su pod uglom od 120° i četvrta osa c je u pravcu z-ose, kako je to pokazano na slici levo. Pri tome važi relacija 321 aaa rrr

−=+ . Pomoću ovog izraza odredjuju se indeksi ravni, dok se indeksi pravca odredjuju na isti način kao kod kubne rešetke.

(010)

(100)

(100)

(010)

(001)

(001)

X

Y

Z

Ravni istog kristalografskog tipa {100}

17

Primeri: Ravan A 1. a1 = a2 = a3 = ∞, c = 1 2. 1/a1 = 1/a2 = 1/a3 = 0, 1/c = 1 3. (0001) Ravan B 1. a1 = 1, a2 = 1, a3 = -1/2, c = 1 2. 1/a1 = 1, 1/a2 = 1, 1/a3 = -2, 1/c = 1

3. ]1211[ Pravac C 1. Dve tačke su 0, 0, 1 i 1, 0, 0. 2. (0, 0, 1) –(1, 0, 0) = -1, 0, 1

3. ]1132[]011[ ili Pravac D 1. Dve tačke su 0, 1, 0 i 1, 0, 0. 2. (0, 1, 0) –(1, 0, 0) = -1, 1, 0

3. ]1001[]101[ ili Primeri za vežbu: Za dole navedene primere odrediti Milerove indekse pravca.

a) b) c) Za dole navedene primere odrediti Milerove indekse ravni.

a) b)

18

4.4.4. Pravci gustog pakovanja

Najgušći raspored atoma u prostoru biće ispunjen pri sledećim uslovima: • ako atomi budu najgušće rasporedjene u ravni i • ako se tesno ispunjene ravni slažu jedna preko druge na najgušći moguć način. U ravni čestice će biti spakovane najgušće ako središta čestica obrazuju mrežu ravnostranih trouglova stranice jednake prečniku atoma. Takav raspored u ravni je prikazan na slici levo.

Treba li da bude ispunjen uslov najgušćeg slaganja slojeva, moraju biti čestice sledećeg sloja (B) poredjane u udubljenjima izmedju tri susedne čestice prethodnog sloja (slika dole). Uloženi treći sloj (C), kako je to prikazano na donjoj slici predstavlja raspored u kome se ni jedan od tri sloja u odgovarajućem pravcu (upravno na crtež) ne prekriva. Tek bi položene čestice četvrtog sloja bile saglasne sloju A. Druga mogućnost polaganja čestica sloja C predstavlja poredak gde položaj čestica ove vrste odgovara sloju A. U prvom slučaju može se

redosled ravni označiti shemom ABCABC..., u drugom ABAB... Pakovanje prvog tipa je karakteristično za površinski centriranu kubnu (A1), drugog tipa za gusto pakovanu heksagonalnu rešetku (A3).

ABCABC... način pakovanje karakterističan za površinski centriranu kubnu rešetku (A1)

ABAB... način pakovanje karakterističan za gusto pakovanu heksagonalnu rešetku (A3)

Poređenje A1, A2 i A3 kristalnih struktura

Za A1 (FCC) rešetku je najgušće zaposednut skup ravni {111}; KIR za A1 je 74%)

Najgušće zaposednuta ravan u FCC rešetki, obuhvata osim tri atoma na rogljevima i tri atoma na

ravnima; u dijagonalnoj ravni atomi nistu gusto pakovani

AB

C

19

Za A3 (HCP) (heksagonski sustav) je najgušće zaposednuta ravni (0001); (KIR za A3 je 74%)

Najgušće zaposednuta ravan u HCP rešetki, obuhvata ravan osnove (6 atoma i sredinji na

osnovi) Za A2 (BCC) rešetku je najgušće zaposednut skup ravni {110}; (KIR za A2 je 68%) Atomi se mogu postaviti u prostornom sistemu, tako da sredine atoma obrazuju u pojedinim

slojevima temena kvadrata. Dalji slojevi tog tzv. kvadratnog pakovanja dobijaju se slaganjem čestica gornjeg sloja (B) u udubljenjima donjeg sloja (A). Treći sloj se poklapa sa prvim slojem (A), pa se redosled slojeva u tom rasporedu može označiti šemom ABAB... U poredjenju sa najgušćim pakovanjem koordinatni broj je 8, a prostorna popunjenost iznosi 68%. Taj raspored je onda manje ekonomičan i karakterističan je za prostorno centriranu kubnu rešetku (A2).

Najgušće zaposednuta ravan u A2 rešetki, je dijagonalna ravan kocke

Kristalna struktura nekih karakterističnih metala

Struktura Pravac gustog

pakovanja a0 od r Atoma po

rešetki Koordinacioni

broj KIR Primeri

Prosta kubna Ivica a0=2r 1 6 0.52 Polonijum (Po), α-Mn

Prostorno centrirana kubna

Dijagonala kocke a0=4r/√3 2 8 0.68 Fe, Ti, W, Mo, Nb,

Ta, K, Na, V, Zr, Cr

Površinski centrirana kubna

Dijagonala stranice a0=4r/√2 4 12 0.74 Fe, Cu, Au, Pt, Ag,

Pb, Ni

Heksagonalna gusto pakovana

Šestougaona strana

a0=2r c0≈1.633a0

2 12 0.74 Ti, Mg, Zn, Be, Co, Zr, Cd

20

4.5. Izotropski i anizotropski materijali

Raspored atoma u kristalnoj rešetki nije isti u različitim ravnima i pravcima kristala. Zbog toga, fizička i mehanička svojstva kristala variraju zavisno od ravni kristalne strukture. Materijal je anizotropan ako njegova svojstva zavise od kristalografskog smera. Na primer, metali se deformišu u smerovima duž kojih su atomi u tesnom kontaktu. Elastični modul aluminijuma, koji kristališe u površinski centriranoj kubnoj rešetki, je 75.9 GPa u pravcu [111], ali samo 63.4 GPa u pravcu [100]. Materijal je izotropan ako ima ista svojstva u različitim pravcima.

Kristalografske ravni

4.6. Teoretska gustina, ρ

Na osnovu atomske težine metala i parametra elementarne rešetke može se izračunati njegova gustina:

33 , /

atGnM N g cmV a

ρ⋅

= = ,

gde je: n- broj atoma koji pripadaju elementarnoj rešetki, Gat- atomska težina, g, N- Avogadrov broj i V- zapremina elementarne rešetke. Gustina = masa/zapremina masa = broj atoma u rešetki × masa svakog atoma masa svakog atoma = atomska težina/Avogadrov broj

21

Teoretska gustina – primeri: Primer: Gvožđe

Za površinski centriranu kubnu rešetku A1 (α – Fe)

• kristalna struktura = A1: 4 atoma/rešetki

• atomska težina = 55.848 g/mol (1 amu = 1 g/mol)

• parametar rešetke a = 0.3659 nm, (4

2⋅=

aR )

( )23

337

55.84846.023 10 7.57 / .

0.3659 10g cmρ

−

⋅⋅= =⋅

stvarna: ρFe = 7.874 g/cm3

Za zapreminski centriranu kubnu rešetku A2 (γ – Fe)

• kristalna struktura = A2: 2 atoma/rešetki

• atomska težina = 55.848 g/mol

• parametar kristalne rešetke a = 0.2866 nm (4

3⋅=

aR )

( )23

337

55.84826.023 10 7.87 /

0.2866 10g cmρ

−

⋅⋅= =⋅

,

Primer: Cink

Za heksagonalnu gusto pakovanu rešetku A3.

• kristalna struktura = A3: 6 atoma/rešetki • atomska težina = 65.38 g/mol • parametri rešetke a = 0.26648 nm i c = 0.4947 nm

233

2 221

65.386.023 10 7.14 /

6 3 6 0.26648 3 0.4947 104 4

at

Zn

GN g cm

a cρ

−

⋅= = =⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

stvarna: ρZn = 7.13 g/cm3 Primer: Bakar

• kristalna struktura = A1: 4 atoma/rešetki • atomska težina = 63.55 g/mol (1 amu = 1 g/mol)

• parametri rešetke a = 0.363 nm (4

2⋅=

aR )

Rezultat: teoretska gustina ρ = 8.89 g/cm3 stvarna: ρCu = 8.94 g/cm3