PREDISPITNE VJEZBE IZ LINEARNE ALGEBRE I GEOMETRIJE

1. Dati su vektori { } { } { }1,1,22,0,4;2,4,3 ==−= siqp rrr .

- Za triedar ( provjeriti koje je orijentacije, te razložiti vektor )sqp rrr ,, qp rr× na

komponente tog triedra.

- Izračunati rastojanje tačke ( )pA r od prave povučene tačkama ( ) ( )sCiqB rr .

- Odrediti ravan R koja sadrži pravu

−=⋅=⋅

12

:rqrp

p rr

rr

i odsjeca jednake odsječke na

koordinatnim osama Oy i Oz, te rastojanje tačke O(0,0,0) od te ravni.

2. Date su ravni R1 i R2. Na datom pravcu p odrediti barem jednu tačku M koja je jednako udaljena od datih ravni, zatim odrediti tačke A i B (na tim ravnima) i površinu trokuta . ABC∆

ℜ∈∀=−+

==−

=++=−+−

ttzyxp

yxRzyxR

,11

231:

0143:0122:

2

1

3. Dat je vektor i kriva . Odrediti { 1,1,1=ar }

( )

( ) ℜ∈∀

=

−==

= ttztytx

tl2

12

- Jednačinu cilindrične površi čija je izvodnica paralelna vektoru , a direktrisa data krivom .

ar

tl

- Odrediti prodornu krivu lR dobivene površi kroz ravan 012: =−−− zyxR

- Odrediti projekciju lxOy krive lR na xOy ravan.

4. Data je ravan 032: =−+− zyxR , vektor { }2,1,1=ar i tačke A(4,-2,2) i T(5,3,1). Odrediti:

- Simetričnu tačku A' tački A u odnosu na ravan R.

- Simetričnu pravu p' praveoj p povučenoj kroz tačku A paralelno vektoru , u odnosu na ravan R.

ar

- Zapreminu tetraedra sa tjemenom u T čija je baza trokut PAA'∆ , gdje je P tačka prodora prave p kroz ravan R.

- Jednačinu kružnog konusa sa vrhom u T čije izvodnice prolaze tačkama A i A'.

- Jednačinu krive drugog reda koja nastaje prodorom konusa kroz ravan R.

Skinuto sa www.etf.ba

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET Osvojeni bodovi: ____________ UNIVERZITETA U SARAJEVU

II parcijalni pismeni ispit iz predmeta LINEARNA ALGEBRA I GEOMETRIJA

GRUPA A

Prezime i ime studenta: _____________________________

Broj indeksa: ___________ Potpis studenta: _______________

1. lijevi trijedar vektora ( cba ,, ), je:

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

vektorski proizvod vektora ( v,u ) je:

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

2. projekcija vektora p na vektor q je:

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Formulisati i dokazati stav koji povezuje mješoviti proizvod i zapreminu paralelopipeda, oba nad trijedrom ( )⋅cba rrr ,, _________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

12.01.2007. Skinuto sa www.etf.ba

3. Kanonski (simetrični) oblik jednačine prave p:

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________ Normalni oblik jednačine ravni α:

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

4. Izvesti uslove da prava p data jednačinom n

zzm

yyl

xx 111 −=

−=

−

leži u ravni: R: 0=+++ DCzByAx .

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________ Zadatak 1. Dati su vektori ( ) ( )0,2,11,1,3 −−== bia

rv . rr

a) Naći vektor ( ) bbabac rrvr⋅⋅−×=

r

b) Naći vektor komplanaran sa vektorima d av i br

takav da vrijedi: 1=⋅ ad rr i d 5=⋅b

rr

c) Napisati jednačinu konusne površi kojoj je vrh u koordinatnom početku, centralni ugao

2πϕ = a centralna osa paralelna vektoru d

r.

Zadatak 2. Date su: tačke A(2,1,0) i B(0,3,2), prava i prava

Odrediti:

=−+=−−+

052022

:zx

zyxp

+−=+=−=

tzty

txq

121

:

a) sredinu T duži AB i simetričnu jednačinu prave p (kanonski oblik);

b) ravan R, koja prolazi kroz tačku T i paralelna je sa pravim p i q;

c) rastojanje tačke A od prave q i ravni R;

Skinuto sa www.etf.ba

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET Osvojeni bodovi: ____________ UNIVERZITETA U SARAJEVU

II parcijalni pismeni ispit iz predmeta LINEARNA ALGEBRA I GEOMETRIJA

GRUPA B

Prezime i ime studenta: _____________________________

Broj indeksa: ___________ Potpis studenta: _______________

1. desni trijedar vektora ( sqp ,, ), je:

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

skalarni proizvod vektora ( ba, ) je:

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

2. projekcija vektora u na vektor v je:

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Formulisati i dokazati stav koji povezuje mješoviti proizvod i zapreminu tetraedra, oba nad trijedrom ( sqp ,, ) _________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

12.01.2007. Skinuto sa www.etf.ba

3. Parametarski oblik jednačine prave q:

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________ Segmentni oblik jednačine ravni β:

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________ 4. Izvesti uslove da ravan R 0=+++ DCzByAx sadrži pravu p datu jednačinom

nzz

myy

lxx 111 −

=−

=− .

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________ Zadatak 1. Dati su vektori ( ) ( )3,0,11,1,2 =−= viu rr .

rra) Naći vektor ( ) uvuvup rrrr⋅⋅+×=

rb) Naći vektor q komplanaran sa vektorima ur i vr takav da vrijedi: 6=⋅uq rr i 5=⋅ vq rr c) Napisati jednačinu konusne površi kojoj je vrh u koordinatnom početku, centralni ugao

2πϕ = a centralna osa paralelna vektoru qr .

Zadatak 2. Date su: tačke A(0,3,2) i B(2,1,0), prava i prava

Odrediti:

=+=−=

tztytx

p 5825

:

=+=++−

0032

:zx

zyxq

a) sredinu T duži AB i simetričnu jednačinu prave q (kanonski oblik);

b) ravan R, koja prolazi kroz tačku T i paralelna je sa pravim p i q;

c) rastojanje tačke B od prave q i ravni R;

Skinuto sa www.etf.ba

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET Osvojeni bodovi: ____________ UNIVERZITETA U SARAJEVU

Popravni II parcijalni pismeni ispit iz predmeta LINEARNA ALGEBRA I GEOMETRIJA

GRUPA A

Prezime i ime studenta: _____________________________

Broj indeksa: ___________ Potpis studenta: _______________

1. Vektori ( sqp ,, ) su komplanarni ako vrijedi:

_________________________________________________________________________

2. Izvesti jednačinu ravni koja sadrži tri tačke

( ) ( ) ( )333322221111 ,,,,,,, zyxMizyxMzyxM :

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________ Napisati jednačinu dvogranog hiperboloida čija je realna osa Ox:

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Zadatak 1. Data su tri uzastopna tjemena paralelograma M(1,2,0), N(-1,0,2) i P(2,1,-1).

Odrediti koordinate četvrtog tjemena Q, ugao između dijagonala i površinu paralelograma. Zatim naći rastojanje tačke O(0,0,0) od ravni paralelograma MNPQ. Zadatak 2.

Date su tačke: S(1,1,-1); A(2,-1,0) i B(-1,0,2). Odrediti:

- Simetrične jednačine prave (kanonski oblik) po: kroz tačke S i A, i ps: kroz tačke S i B

- Ugao između pravih po i ps

- Jednačinu uspravnog kružnog konusa kome je centralna osa prava po a jedna izvodnica prava ps.

02.02.2007. Skinuto sa www.etf.ba

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET Osvojeni bodovi: ____________ UNIVERZITETA U SARAJEVU

02.02.2007.

Popravni II parcijalni pismeni ispit iz predmeta LINEARNA ALGEBRA I GEOMETRIJA

GRUPA B

Prezime i ime studenta: _____________________________

Broj indeksa: ___________ Potpis studenta: _______________

1. Vektori ( b,a ) su kolinearni ako vrijedi:

_________________________________________________________________________

2. Izvesti jednačinu prave koja sadrži dvije tačke ( ) ( 22221111 ,,,, zyxMizyxM ) :

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________ Napisati jednačinu jednogranog hiperboloida čija je imaginarna osa Oy:

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Zadatak 1. Data su tri uzastopna tjemena paralelograma A(2,1,-1), B(-1,0,2) i C (1,2,0).

Odrediti koordinate četvrtog tjemena D, ugao između dijagonala i površinu paralelograma. Zatim naći rastojanje tačke O(0,0,0) od ravni paralelograma ABCD. Zadatak 2.

Date su tačke: S(1,-1,1); P(-1,0,-2) i Q(2,1,0). Odrediti:

- Simetrične jednačine prave (kanonski oblik) qo: kroz tačke S i P, i qs: kroz tačke S i Q

- Ugao između pravih qo i qs

- Jednačinu uspravnog kružnog konusa kome je centralna osa prava qo a jedna izvodnica prava qs.

Skinuto sa www.etf.ba

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET Školska 2007/2008 UNIVERZITETA U SARAJEVU

11.01.2008.

II parcijalni pismeni ispit iz predmeta

LINEARNA ALGEBRA I GEOMETRIJA

GRUPA A

TEORETSKA PITANJA:

(i) Definirati skalarni proizvod dva vektora, projekciju jednog vektora na drugi i

uslov normalnosti dva vektora biarr

. [2p]

(ii) Uzajamni odnos dvije prave

p1: 1

1

1

1

1

1

n

zz

m

yy

l

xx −=

−=

− i p2:

2

2

2

2

2

2

n

zz

m

yy

l

xx −=

−=

−. [2p]

(iii) Napisati jednačinu dvogranog hiperboloida čija je realna osa Oy: [1p]

ZADACI

Zadatak 1.

Dati su vektori: { } { } { }0,1,3c,1,1,1b,2,1,0a =−==rrr

.

Izračunati: ( ) ( )( )abca4cba2rrrrrrr

××⋅−⋅+ , a zatim odrediti orijentaciju triedra ( )c,b,arrr

,

zapreminu tetraedra ( )c,b,arrr

i vektor Hr

visine na stranu ( )carr

, tetraedra. [5p]

Zadatak 2.

Naći jednačinu prave p koja je okomita na pravu p1, leži u ravni R i prolazi kroz presječnu tačku prave p2 i ravni R.

p1: 1

z

1

1y

2

1x

−=

+=

−

R: 04zy2x =−+−

P2: t1

2z

2

1y

1

x=

−=

−=

−[5p]

Zadatak 3.

Odrediti jednačinu konusne površi ako generatrisa prolazi kroz tjeme ( )0,1,1 −T , dok je

direktrisa kriva

=+

−+=

4

1222

yx

yxzl .

Naći prodor dobivene površi kroz ravan 0=−+ zyx .[5p]

Skinuto sa www.etf.ba

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET Školska 2007/2008 UNIVERZITETA U SARAJEVU

11.01.2008.

II parcijalni pismeni ispit iz predmeta

LINEARNA ALGEBRA I GEOMETRIJA

GRUPA B

TEORETSKA PITANJA:

(i) Definirati i dati geometrijsku interpretaciju vektorskog proizvoda, te navesti uslov

kolinearnosti dva vektora biarr

. [2p]

(ii) Uzajamni odnos dvije ravni. R1: 0DzCyBxA 1111 =+++ i R2: 0DzCyBxA 2222 =+++ [2p]

(iii) Napisati jednačinu dvogranog hiperboloida čija je realna osa Oz: [1p]

ZADACI

Zadatak 1.

Dati su vektori: { } { } { }2,0,3,0,2,1,1,1,1 −=−== cbarrr

.

Izračunati: ( ) ( )( )abca4cba2rrrrrrr

××⋅−⋅+ , a zatim odrediti orijentaciju triedra ( )c,b,arrr

,

zapreminu tetraedra ( )c,b,arrr

i vektor Hr

visine na stranu ( )cbrr

, tetraedra. [5p]

Zadatak 2.

Naći jednačinu prave p koja je okomita na pravu p1, leži u ravni R i prolazi kroz presječnu tačku prave p2 i ravni R.

p1: 2

3z

0

1y

1

1x −=

−=

+

R: 02zyx2 =−−+

P2: t1

2z

2

y

1

1x=

−

+=

−=

+[5p]

Zadatak 3.

Odrediti jednačinu cilindrične površi ako je generatrisa paralelna sa vektorom { }1,1,1=ar

a direktrisa kriva

+=

++=

22

3

yxz

yxzl .

Naći prodor dobivene površi kroz ravan 05z3x =+− .[5p]

Skinuto sa www.etf.ba

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET Školska 2007/2008 UNIVERZITETA U SARAJEVU

01.02.2008.

Popravni pismeni ispit iz predmeta

LINEARNA ALGEBRA I GEOMETRIJA

GRUPA A

TEORETSKA PITANJA:

I pitanje

Definisati:

• binarnu relaciju ωωωω u skupu A,

• navesti kad je ωωωω relacija ekvivalencije u A,

• provjeriti da li je (ili nije) relacija = (jednakosti) u skupu C relacija ekvivalencije.

II pitanje

Za matrice G = (gij)u,v Z=(zi)v,1 H = ( hj)u,1 :

• definisati rang matrice G,

• zapisati sistem linearnih algebarskih jednačina GZ=H, zapisujući samo prvu, drugu i zadnju jednačinu i nepoznatu u sistemu,

• iskazati Kroneker-Kapelijev stav za sistem GZ=H

III Pitanje

Odgovoriti samo na jedno pitanje:

• Definisati konusnu površ i odrediti njenu jednačinu.

• IZVESTI jednačinu rotacione površi, koja nastaje kad kriva, koja leži u koordinatnoj ravni XOY, rotira oko y-ose (obavezno nacrtati sliku).

Skinuto sa www.etf.ba

ZADACI

Zadatak 1.

Date su matrice

−

−

=

210

102

101

A i

−

−=

1

2

1

1

3

2B . Primjenom Keli-Hamiltonova

stava odrediti inverznu matricu matrice A, a zatim riješiti matričnu jednačinu:

BAX =⋅ .

Zadatak 2.

Za sistem linearnih jednačina:

x + y + z = 6, αx + 4y + z = 5, 6x + (α+2) y + 2z = 13,

odrediti:

a) za koje α∈R sistem ima jedinstveno rješenje i odrediti to rješenje,

b) za koje α∈R sistem ima beskonačno mnogo rješenja i odrediti ta rješenja,

c) za koje α∈R sistem nema rješenja.

Zadatak 3.

Zadani su vektori { } { } { }2,0,3,0,2,1,1,1,1 −=−== cbarrr

. Odrediti vektor dr

komplanaran sa vektorima biarr

ako vrijedi: 3dbi5da −=⋅=⋅rrrr

.

Zatim naći zapreminu paralelopipeda nad vektorima dic,arrr

.

Zadatak 4.

Da li se prave : (p) y = -x + 2, z = x + 1 , (q) x = z - 2, y = 2z - 1 , sijeku ili su mimoilazne ?

Odrediti tačke P∈ p , Q∈q tako da je vektor PQuuuruuuruuuruuur

zajednička normala tih pravih.

Napisati jednačinu prave (r) koja prolazi kroz tacke P,Q.

Zadatak 5.

Odrediti jednačinu kružnog konusa sa vrhom u tački ( )1,1,1T − , centralnim uglom konusa

3

2πΘ = kome je centralna osa prava p:

1

1z

2

1y

1

1x

−

−=

+=

−.

Skinuto sa www.etf.ba

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET Školska 2007/2008 UNIVERZITETA U SARAJEVU

01.02.2008.

Popravni pismeni ispit iz predmeta

LINEARNA ALGEBRA I GEOMETRIJA

GRUPA B

TEORETSKA PITANJA:

I pitanje

Definisati:

• binarnu relacija σσσσ u skupu B,

• navesti kad je σσσσ relacija poretka u B,

• provjeriti da li je (ili nije) relacija < (manje) u skupu R relacija poretka.

II pitanje

Za determinantu D m-tog reda:

• definisati minor i kofaktor,

• zapisati razvoj te determinante po minorima m-te vrste, te po kofaktorima 2-ge kolone,

• iskazati Kramerovo pravilo.

III Pitanje

Odgovoriti samo na jedno pitanje:

• Definisati cilindričnu površ i odrediti njenu jednačinu.

• IZVESTI jednačinu rotacione površi, koja nastaje kad kriva, koja leži u kordinatnoj ravni YOZ, rotira oko z-ose.

Skinuto sa www.etf.ba

ZADACI

Zadatak 1.

Date su matrice 1 1 0

B 4 2 1

2 1 0

−

= − −

i 2 3

H 2 0

1 1

= −

. Primjenom Keli-Hamiltonova stava

odrediti inverznu matricu matrice B, a zatim riješiti matričnu jednačinu:

B Y H⋅ = .

Zadatak 2.

Za sistem linearnih jednačina:

x + y - z = 4, βx - 6y + 2z = -9, -4x + (β+2) y + z = -3,

odrediti:

a) za koje β∈R sistem ima jedinstveno rješenje i odrediti to rješenje,

b) za koje β∈R sistem ima beskonačno mnogo rješenja i odrediti ta rješenja,

c) za koje β∈R sistem nema rješenja.

Zadatak 3.

Zadani su vektori { } { } { }0,1,3c,1,1,1b,2,1,0a =−==rrr

. Odrediti vektor dr

komplanaran

sa vektorima biarr

ako vrijedi: 3dbi1da =⋅=⋅rrrr

, zatim naći zapreminu

paralelopipeda nad vektorima dic,arrr

.

Zadatak 4.

Da li se prave : (a) x = -z + 2, y = z + 1 , (b) x = y - 2, z = 2y - 1 , sijeku ili su mimoilazne ?

Odrediti tačke A∈ a , B∈b tako da je vektor ABuuuruuuruuuruuur

zajednička normala tih pravih.

Napisati jednačinu prave (c) koja prolazi kroz tacke A, B.

Zadatak 5.

Odrediti jednačinu kružnog konusa sa vrhom u tački ( )1,1,1T − , centralnim uglom konusa

3

πΘ = kome je centralna osa prava p:

1

1z

1

1y

2

1x −=

−

−=

+.

Skinuto sa www.etf.ba

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET Školska 2007/2008 UNIVERZITET U SARAJEVU

Popravni pismeni ispit (Septembarski rok) iz predmeta LINEARNA ALGEBRA I GEOMETRIJA

II parcijalni ispit - GRUPA A

TEORETSKA PITANJA:

I. Definirati: a) skalarni proizvod dva vektora i ;

b) vektorski proizvod dva vektora i ;

c) Projekciju vektora na vektor .

II. Napisati: a) opštu jednačinu ravni b) jednačinu ravni u segmentnom obliku c) jednačinu ravni sa datom normalom , koja prolazi kroz datu tačku

d) jednačinu ravni kroz tri date tačke , , .

III. Definisati konusnu površ i odrediti njenu jednačinu..

ZADACI

1. a) Odrediti parametar λ da vektor obrazuje jednake uglove sa vektorima i ; b) Naći zapreminu paralelopipeda konstruisanog nad vektorima , i ;

c) Provjeriti orijentaciju triedra (, , );

d) Naći površinu paralelograma konstruisanog nad vektorima i .

2. Kroz presjek ravni i , postaviti ravan koja je paralelna sa y – osom.

3. Napisati jednačinu prave koja prolazi kroz tačku , paralelna je sa ravni i siječe pravu .

28.08.2008

Skinuto sa www.etf.ba

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET Školska 2007/2008 UNIVERZITET U SARAJEVU

Popravni pismeni ispit (Septembarski rok) iz predmeta LINEARNA ALGEBRA I GEOMETRIJA

II parcijalni ispit - GRUPA B

TEORETSKA PITANJA:

I. Definirati: a) skalarni proizvod vektora i ;

b) vektorski proizvod vektora i ;

a) mješoviti proizvod vektora i .

II. Napisati: a) jednačinu prave u kanonskom obliku; b) jednačinu prave u parametarskom obliku; c) jednačinu prave paralelne vektoru , koja prolazi kroz datu tačku

; d) jednačinu prave kroz dvije date tačke , .

III. Definisati cilindričnu površ i odrediti njenu jednačinu.

ZADACI

1. a) Odrediti parametar λ da vektor obrazuje jednake uglove sa vektorima i ; b) Naći zapreminu paralelopipeda konstruisanog nad vektorima , i ;

c) Provjeriti orijentaciju triedra (, , );

d) Naći površinu paralelograma konstruisanog nad vektorima i .

2. Kroz presjek ravni i , postaviti ravan koja je normalna na ravan .

3. Napisati jednačinu prave koja siječe prave

i ,

i paralelna je sa ravnima i .

28.08.2008

Skinuto sa www.etf.ba