predmet: mehanika 2 -...
TRANSCRIPT
GRAĐEVINSKI FAKULTETSVEUČILIŠTA U MOSTARU
Predmet: MEHANIKA 2Vježbe br. 10
Profesor: doc dr sc Mladen KožulProfesor: doc. dr. sc. Mladen KožulAsistent: Ante Džolan, mag. ing. građ.
1Mostar, 20. prosinca 2013.
Lagrange – ove jednadžbe II. vrste
ZADATAK 1.Teret težine P, pomoću nerastegljivog užeta prebačenog preko homogenogdiska A težine izaziva gibanje kalema B težine i2 PG Q 2 P diska A, težine , izaziva gibanje kalema B, težine ipolumjera inercije mase . Odrediti ubrzanje tereta B.
2 PG 3 Q 2 P
0
5i r 3 R 3 r.
2
Rješenje:
Lagrange – ove jednadžbe II. vrste:
d E E K K
q
d E EQ
dt qq
P
q
EQ
q
3
K K Pd E E E
0dt q qq
2
K ,B B 2
1E I ( )
2
2
2 2 2 2 2
B 0
Q Q 5 32 QI i R r r r
g g 3 3 g g g 3 3 g
2 2
z zz R r
R 4
2 R r 4 r
2 2 2 2
K B
1 32 Q z Q 2 PE r ( ) (z) (z)
2 3 4 3 3
4
K ,B( ) ( ) ( )
2 3 g 4 r 3 g 3 g
2
K ,A A 1
1E I ( )
2
2
2 2 2
A A
1 1 G PI m r r r
2 2 g 3 g
g 3 g
1 1
zz r
1 r
2 2 2
K A
1 P z PE r ( ) (z)
2 3 6
5
K ,A( ) ( )
2 3 g r 6 g
2 2
K ,P P
1 PE m (z) (z)
2 2 g
2 2 g
P ,P P
PE m g h g ( z) P z
g
g
K ,ukupna K ,A K ,B K ,PE E E E
Pa je ukupna kinetička energija sustava:
2 2 2
K ,ukupna
P 2 P PE (z) (z) (z)
6 g 3 g 2 g
62 2 2
K ,ukupna
4 P P 3 P 8 P 4 PE (z) (z) (z)
6 g 6 g 3 g
K K Pd E E E
0dt z zz
2KE 4 P 8 P
(z) z3 g 3 g
3 g 3 gz z
Kd E d 8 P 8 P
z z
z zdt dt 3 g 3 gz
E 4 P 2KE 4 P
(z) 0z z 3 g
PE
P z Pz z
8 P 8z P 0 z 1
3 g 3 g
7
3z g
8
ZADATAK 2.Valjak A kotrljajući se bez klizanja niz kosu ravninu podiže, pomoćuj j j j p , pnerastezljivog užeta, teret C. Uže je prebačeno preko kotura B. Valjak A i koturB su homogeni kružni diskovi jednake težine Q i jednakog polumjera r, a P jet ži t t C Od diti b j ljk Atežina tereta C. Odrediti ubrzanje valjka A.
8
Rješenje:
2 21 1E m (x) I ( )
K ,A A CM AE m (x) I ( )
2 2
2 2
A A
1 1 QI m r r
A A2 2 g2
2
A A
(x)(x) r
2 2 2
K ,A
1 Q 1 1 Q xE (x) r ( )
2 g 2 2 g r
A r
2 g 2 2 g r
23 QE (x)
9
K ,AE (x)
4 g
QE m g h g ( x) sin Q x sin
P ,A AE m g h g ( x) sin Q x sin
g
1 2
K ,B B B
1E I ( )
2
1 1 Q2 2
B B
1 1 QI m r r
2 2 g
2( )
2
2
B B
(x)(x) r
r
1 1 Q Q
10
2 2 2
K ,A
1 1 Q x QE r ( ) (x)
2 2 g r 4 g
1 P 2 2
K ,C C
1 PE m (x) (x)
2 2 g
P
E h ( ) PP ,C C
E m g h g (x) P xg
K ,ukupna K ,A K ,B K ,CE E E E
2 2 2
K ,ukupna
3 Q Q PE (x) (x) (x)
4 g 4 g 2 g
2
K ,ukupna
Q PE (x)
g 2 g
P ,ukupno P ,A P ,B P ,CE E E E
g g
11P ,ukupnaE (P Q sin ) x
K K Pd E E E
0dt x xx
2KE Q P 2 Q P
(x) xg 2 g g g
g 2 g g gx x
Kd E d 2 Q P 2 Q P
x x
x xdt dt g g g gx
E Q P 2KE Q P
(x) 0x x g 2 g
PE
(P Q sin ) x P Q sinx x
2 Q P 2 Q Px P Q sin 0 x Q sin P
g g g g
12
g (Q sin P)x
2 Q P
ZADATAK 3.Homogeni kružni cilindar polumjera R leži na glatkoj kosoj ravnini, koja jenagnuta pod kutom u odnosu na vodoravni položaj. U točki B je vezanaopruga krutosti c, čiji je drugi kraj vezan za nepomičnu točku K. Podpretpostavkom da je opruga paralelna s kosom ravninom odrediti diferencijalnu
pretpostavkom da je opruga paralelna s kosom ravninom odrediti diferencijalnujednadžbu kretanja valjka.
13
Rješenje:
2
K P
1E I
2
22
P CMI I m d
2 2 2
P
1 3I m R m R m R
2 2
2
2 2 21 1E m x I
2
2
K
1 3 xE m R
2 2 R
k CME m x I
2 2
21I m R 2 x
x R
CMI m R
2 x R
R
2
2 2 21 1 1 x 3E m x m R m x
14
kE m x m R m x
2 2 2 R 4
E E EP P ,m P ,op .
E E E
P mE m g h m g x sin
P mE m g h
P ,mg g
2
P ,op .
1E c
2
P ,mg
15
2
22
P ,op . st . st .
1 1E c x f c f
2 2
2 2 21 1 1E f f f 2 2 2
P ,op . st st . st .E c x c x f c f c f
2 2 2
21E c x c x f
P ,op . stE c x c x f
2
21E i f
16
2
P stE m g x sin c x c x f
2
21E m g x sin c x c x f
P stg
2
opX 0 m g sin F 0
st .m g sin c f
21E m g x sin c x m g x sin
17
PE m g x sin c x m g x sin
2
2
P
1E c x
2
K K Pd E E E
0dt x xx
2KE 3 3
m x m x4 2x x
4 2x x
Kd E d 3 3
m x m x
m x m xdt dt 2 2x
E 3 2KE 3
m x 0x x 4
2PE 1
( c x ) c xx x 2
3 2 cm x c x 0 x 0
2 3 m
18
19