prednáška 28.január turbulencia z pohĽadu · 2008. 1. 28. · 11/54 prednáška 28.január 2008...

1/54

Prednáška28.január2008

ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

TURBULENCIA Z POHĽADUKVANTOVEJ TEÓRIE POĽA

Celoústavný seminár ÚEF SAV

Michal Hnatič

2/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

CloseFig. 1: 1976–1977

3/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

4/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

5/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

transport (presun, šírenie, difúzia):

ds

dt∝ sγ, s ∝ tα, α ≡ 1

1− γ

mechanika:

γ = 0, α = 1 – rovnomerný pohyb, γ = 12, α = 2 – zrýchlený pohyb

štatistika:

s →√〈R2〉, γ = 0, α = 1,

√〈R2〉 ∝

√t – Brownov pohyb,

γ = 23, α = 3,

√〈R2〉 ∝ t3/2 – turbulentná difúzia, Richardsonov zá-

kon 4/3superdifúzia (α > 1): turbulencia, finančné trhy,subdifúzia (α < 1): polyméry, kontaminácia podzemných vôd

6/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Fig. 2: 1977–1987

7/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

8/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

9/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

10/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Fig. 3: Homogeneous turbulence behind a grid.

11/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

poznať prostredie: experiment, Zem, vesmír

• turbulentné pohyby v nestlačitelnej kvapaline (DivV = 0)• vysoký počet makroskopických stupňov voľnosti;rýchlosť: fluktuujúce pole – analógia QFT

• otvorený systém: prílev a odtok (disipácia) kinetickej energie

dynamika: časovo-priestorové správanie sa rýchlostného poľa V

Navier-Stokesova rovnica:

∇tV = ν0∆V − ∇p

ρ+ F , ∇t ≡ ∂t + (V ·∇)

• Reynoldsovo číslo: Re = V L

ν0

• rozvinutá turbulencia: Re� Recr � 1, 〈v2〉/c2 =Ma2 � 1hydrodynamická, MHD turbulencia, turbulencia v plazme, . . .

12/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Fig. 4: Uniform flow with velocity V , incident on a cylinder of diameter L.

13/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Fig. 5: Homogeneous turbulence behind a grid.

14/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

15/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

CloseFig. 6: Turbulence on Jupiter, in the vicinity of the great red spot

16/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

črty: univerzalita, škálovanie, nestabilitalietadlá, transport, kozmické lety – všetky tri vlastnosti sa využívajú

17/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Fig. 7: One second of a signal recorded by hot-wire in the S1 wind tunnel of ONERA (a); samesignal, about four seconds later (b).

18/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Fig. 8: Construction of the histogram of a signal by binning.

19/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Fig. 9: Histogram for same signal as in Fig. 24(a) sampled 5000 times over time span of 150seconds (a); same histogram a few minutes later (b)

20/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Hydrodynamická turbulenciaŠtatistický popis: V = 〈V 〉 + v, 〈v〉 = 0Stochastická Navierova-Stokesova rovnica pre fluktuačnú zložku v:

∂vi

∂t= ν0∆vi − (vs∇s)vi −∇ip + fi, ∇v = 0, ρ = 1

Vonkajšia náhodná sila s gaussovským rozdelením

〈fi(x)fj(x′)〉 ≡ Dij(x, x′) =

δ(t− t′)(2π)d

∫dk D(k)Pij(k) exp[ik · x],

D(k) = D0k4−d−2εF (kL), D0 = g0ν

30

F (kL) – škálovacia bezrozmerná funkcia

ε = − d− 12(2π)d

∫dk D(k) .

21/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Iné úlohy (transportné javy, magnetické pole):

∂tθ + (v∇)θ −R0∆θ +H(θ, v) = f θ ,

Skúmané objekty: rôzne korelačné a odozvové funkcie uvažovanýchnáhodných polí.

Príklad: štruktúrne funkcie (ŠF) Sn poľa rýchlosti v:

Sn(r) ≡ 〈[vr(x)− vr(x′)]n〉 , r ≡ |x− x′| , vr ≡ vr/r .

Najčastejšie skúmanou oblasťou mierok je tzv. inerciálny interval in-termediálnych škál l � r � L (l � L).Experimentálne pozorované univerzálne správanie sa štatistických cha-rakteristík poľa rýchlosti.Univerzalita: nezávislosť ŠF od konkrétnych počiatočných a hranič-ných podmienok a koeficientu viskozity.

22/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Stochastická dynamika:

∂tϕ(x) = U(x, ϕ) + f (x), 〈f (x)f (x′)〉 = D(x, x′) .

Langevinova rovnica:

∂tϕ(x) = α

{δSst(ϕ)δϕ(x)

|ϕ(x)→ϕ(x)

}+ f (x), 〈f (x)f (x′)〉 = 2αδ(x−x′) ,

(1)α Onsagerov koeficient δ(x− x′) ≡ δ(t− t′)δ(x− x′).fluktuačná teoria Landau pre fázové prechody

S(ϕ) = −∫dx (∇ϕ(x))2/2−m2ϕ2(x/2 + ϕ4(x)/4!

Brownov pohyb:

∂tri(t) = fi(t), 〈fi(t)fj(t′)〉 = 2αδijδ(t− t′) , (2)

kde ϕ(x) ≡ ri(t) sú súradnice častice v čase t a α je difúzny koeficient.

23/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Kvantovo-poľový model so zdvojeným počtom polí φ ≡ ϕ, ϕ′ s funk-cionálom účinku

S(φ) =∫ ∫

dx dx′ ϕ′(x)D(x, x′)ϕ′(x′)/2+

+∫dx ϕ′(x) [−∂tϕ(x) + U (ϕ(x))] .

Martinov-Siggiaov-Rosseho mechanizmus 1973

C. de Dominicis, H. K. Jansen, R. Bauch a H. Wagner 1975, 1976

Kruciálny význam KTP pre turbulenciu: METODOLOGICKÝ!!!

24/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Greenove (odozvové a korelačné) funkcie, funkcionálne stredné hodnotypolí φ ostredované s váhou exp

(S(φ)

)s účinkom S. Generujúci funk-

cionálG(A) =

∫Dφ exp [S(φ) + Aφ] ,

< ϕ′(x′)ϕ(x) >=∫Dφ ϕ′(x′)ϕ(x) expS(φ) ,

25/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Renormalizácia a renormalizačná grupa

začiatok 50-ych rokov: E.Stuekelberg, A.Petermann, N.N.Bogoljubov,D.V.Shirkov – vytvorenie RG

renesancia RG: 1973K.G.Wilson, fazové prechody, Nobelova cena 1982D.J.Gross, F.Wilczek, H.D.Politzer, asymptotická voľnosť v QCD,Nobelova cena 2004

26/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

1. štúdium rozvinutej turubulencie ako takej

2. šírenie pasívnej prímesi v turbulentnom prostredi

3. stochastická magnetohydrodynamika, magneto-hydrodynamická tur-bulencia, turbulentné dynamo

27/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Skalárna pasívna prímes: 1982–83, 1988–1990, 1996–1998

S(v, v′, θ, θ′) = v′Dv′/2 + v′ · [−∂tv + ν∆v − (v ·∇)v]

+θ′ · [−∂tθ + uν∆θ − (v ·∇)θ]

• výpočty Feynmanovych grafov v jednoslučkovom priblížení,• odvodenie RG rovníc pre efektívnu viskozitu a Prandtlovo číslo,• nájdenie stabilného pevného bodu RG rovníc (u = 1.393),• dôkaz existencie asymptotického režimu s kolmogorovskými inde-xami,

• potvrdenie platnosti fenomenologického zákona Richardsona 4/3:

R2 =∫dx x2〈θ′(x, t)θ(0, 0)〉

dR2/dt ∼ R4/3

korekcie k Richardsonovmu zákonu pre chemicky aktívne a rádioaktívneprímesi

28/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Stochastická magnetická hydrodynamika: 1984–85, 1987, . . .

S(v, v′, b, b′) = v′Dv′/2 + v′ · [−∂tv + ν∆v − (v ·∇)v + (b ·∇)b]

b′ · [−∂tb + uν∆b− (v ·∇)b + (b ·∇)v]

narušenie zrkadlovej symetrie (helicity) 〈v rotv〉 ⇒ vznik nestabilít⇔ rot b členy v MHD rovniciach, exponenciálny nárast magnetickýchfluktuácií: b ∝ eαkt

Mechanizmus spontánneho narušenia symetrie – turbulentné dynamo:KTP: Higgsov mechanizmus, fázové prechody:

m2ϕ2 + gϕ4, m2 = T − Tc

29/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

b → b + c

|c| = 8νl−1u1/2/3π

30/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

modifikácia linearizovaných MHD rovníc:

∂tv = i(ck)b

∂tb = i(ck)v − iµ [k × e] (be)

ba(t,x) = [a + bt] exp(−i(ck)t + ikx) ,

va(t,x) = [a′ + b′t] exp(−i(ck)t + ikx)

The origin of astrophysical magnetic fields remains controversial. It ismore or less generally accepted that they are most often produced andthen supported by some form of a self-sustained dynamo action, that is,by conversion of kinetic energy of a plasma flow into magnetic energy.It has been proved that the motions involved must be three-dimensional(Cowling’s and Zeldovich’s theorems), so simple low-dimensional modelsare of limited value. Furthermore, both non-chaotic and non-random

31/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

flows can only produce the so-called slow dynamos, where the growthrate of the magnetic field tends to zero for large magnetic Reynoldsnumbers typical of astrophysical environments. Since virtually any cha-otic or random astrophysical flow becomes turbulent because of the largeReynolds number, astrophysical dynamos usually are turbulent dynamos.

32/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Spektrum kinetickej energie v oblasti veľkých škálbilančná rovnica:

∂tE(k) = −2νk2E(k) + T (k) +D(k)

spektrum kinetickej energie:

E(k, t) = Ck ε2/3k−5/3F (kL)

testovacia funkcia ≡ funkcia v korelátore náhodnej sily:

F (kL) =(kL)11/3

[(kL)4 + 2m2(kL)2 + b4]11/121

[1 + h(c2 + (kL)2)−1/3]

b = 1.570, m = 0.657, c = 2.838, Ck = 1.577, h = 0.643

pozdĺžne spektrum na obrázku:

E||(k)u2l

= C−5/3k

∫ ∞

1

dq q−8/3(1− q−2)F (q)

33/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Fig. 10: Longitudinal spectrum. Comparison between theoretical curve and experimental data.

34/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Rozvinutá turbulenciaČo treba nájsť?Vo všeobecnosti hustotu pravdepodobnosti P(v).

Prakticky skúmané objekty:

• korelačné a odozvové funkcie poľa v,

• experimentálne merané štruktúrne funkcie:

Sp(r) = 〈[vr(x, t)− vr(x′, t)]p〉,

vr =v · r|r|

, r = x− x′.

Sp(r) = N

∫df [vr(x, t)− vr(x

′, t)]p e−12fD−1f

35/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Tri typické oblasti:

• energetická oblasť: charakteristická vonkajšia škála L

• disipačná oblasť: charakteristická vnútorná škála l

• inerciálny interval: l � r � L, r = |x− x′|

Poznámka:colorred quad Re = [L/l]4/3 � 1 ⇒ l � L

36/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Fig. 11: Náčrt Leonarda Da Vinci

37/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Fenomenologická teória Kolmogorova-Obuchova (K41)

Prvá Kolmogorovova hypotéza

Sp(r) = (εr)p/3fp(r/L), r � l.

Druhá Kolmogorovova hypotéza

Sp(r) = Cp(εr)ςp, ςp = p/3, r � L (L →∞).

Skrytý predpoklad o nesingulárnom správaní sa škálovacej funkcie fp

v asymptotickej oblasti:lim

r/L→0fp = 0,

p = 2, C2 ' Ck — Kolmogorovova konštanta Ck ≈ 1.5

38/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Fig. 12: Normalized longitudinal velocity spectrum in the time domain according to differentauthors (Gibson and Schwarz 1963).

39/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Fig. 13: The cascade according to the Kolmogorov theory 1941. Notice that each step the eddiesare space-filling.

40/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Úloha teórie:

1. Zdôvodniť takéto univerzálne správanie fluktuácií rýchlosti.

2. Odvodiť škálovanie s kolmogorovskými exponentami, resp. nájsť ko-rekcie (anomálie) k týmto exponentom.

3. Nájsť súvislosť s geometriou (topológiou) turbulentných pohybov.

4. Nájsť vhodný jazyk na opis týchto makroskopických javov; prechodod molekulárnych konštánt (molekulárna viskozita) k efektívnymkonštantám (turbulentná viskozita).

41/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Fig. 14: The cascade according to the β model. Notice that with each step the eddies becomeless and less space-filling.

42/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Modely a porovnanie s experimentom:

β-model:

ςp =p

3+ (3−D)

(1− p

3

)bifractal model:

Sp(r) ' A(r/L)ph1+3−D1 +B(r/L)ph2+3−D2 ∼ (r/L)ςp,

ςp = min(ph1 + 3−D1, ph2 + 3−D2)

“battle of catastrophes”Kvantovo-poľný prístup

43/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Sp(r) = N ′∫dv dv′[vr(x, t)− vr(x

′, t)]p eS(v,v′)

Účinok

S(v, v′) =12

∫dx dx′v′i(x)Dij(x, x′) vj(x

′) +

+∫

dxv′i(x)[−∂tvi(x)] + ν0∆vi(x)− vs(x)∇svi(x)]

44/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Renormalizačná grupa.

[µ∂

∂µ+ β(g)

∂

∂g+ γ(g)ν

∂

∂ν]Sp(r) = 0

sdg

ds= β(g), g|s=1 = g,

sdνds= γ(g), ν|s=1 = ν,

s ≡ k/µ alebo ≡ rµ,

ν = νe∫ gg

γν (x)β(x) dx = (

g0ν30

gk2ε)1/3

majú pevný bod pri k → 0 alebo r →∞g → g∗ – vypočítavá sa poruchovoν → ν∗γν(g∗) = 2ε

3 presný výsledok!!!

45/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

v okolí pevného bodu r/l � 1 škálovanie:

[r∂

∂r+ L

∂

∂L+∆p]Sp(r) = 0.

Riešenie:

Sp(r) = (εr)∆pfp(r/L)

∆p = p[γν − 1] ⇒ ε = 2 — kolmogorovský index!

Výsledok:

kolmogorovské škálovanie — prvá hypotéza — ÁNO,

druhá hypotéza — niet odpovede,

RG dáva recept ako prejsť od molekulárnych konštánt k efektívnympremenným na úrovni makroskopického opisu

46/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Wilsonovské operátorové rozloženie:

fp(r/L) =∞∑i=1

Cpi (r/L)

∆pi , r/L � 1,

fázové prechody v tuhých látkach, korekcie na tzv. vyššie twisty v teóriielementárnych častíc

∆pi > 0 ⇒ fp je regulárna funkcia pri L → ∞ ⇒ korekcie

k hlavným anomáliám vypočítaným v rámci RG

V teórii turbulencie je situácia úplne odlišná:

Dôsledok:anomálne multiškálovanie ⇔ intermittency ⇔ multifraktál-nosť!!!

Tento problém je v turbulencii nevyriešený.

Toy (hračkové) modely teoretické laboratórium.

47/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Prenosové difúzne stochastické rovnice

∂tθi + V(1)

i −AV(2)

i + ∂iP = ν0∂2θi + fi,

V(1)

i ≡ ∂j (vjθi) , V(2)

i ≡ ∂j (viθj) = θj∂jvi.

〈fi(x)fj(x′)〉 = δ(t− t′)Cij(r/L), r = x− x′.

A = 0, θ - skalar, tlak nulový: prenos pasívnej skalárnej prímesi (Kraich-nan model)

A = 1, θi ≡ bi - magnetické pole, tlak nulový: rovnica pre magnetecképole Kraichnan-Kazantsev model

A = −1, θi ≡ Vi - pole rýchlosti, tlak nenulový: linearizovaná Navier-Stokesova rovnica

48/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Prenos pasívnej prímesi

Stochastická rovnica

∂tθ + vi∂iθ = ν0∆θ + f

49/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

teoreticko-poľový model

S(θ, θ′, v) = θ′Dθθ′/2 + θ′[−∂t + ν04− (vi∂i)]θ − vD−1

v v/2

korelačné (štruktúrne) funkcie: funkcionálne stredné hodnoty príslušnýchpolí s váhou expS

Sn(r) ≡ 〈[θ(t,x)− θ(t,x′)]n〉, r = |x− x′|

ich správanie sa v inerciálnom intervale: ⇒ l � r � L

50/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

RG analýza

asymptotické riešenie v stabilnom pevnom bode v limite veľkých mierok(škál):

Sn(r) ∝ (r/L)∆n

∆n = ∆(1)n ε +∆(2)n ε2 ∆(1)n =

−n(n− 2)2(d + 2)

51/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

Fig. 15: Cartoon drawn in 1977 by the astronomer Philippe Delache, a penetrating observer ofthe turbulence comunity. The figure shows the ’Navier-Stokes peak’ and four explored faces:experimentation, closure, mathematics and renormalization. It also shows a reduced model,the rock-climbing school of numerical simulation.

52/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

53/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

54/54


ÚEF SAVKošice

JJIIJIBack

Close

prednáška 28.január turbulencia z pohĽadu · 2008. 1. 28. · 11/54 prednáška 28.január 2008...

Documents