L ToraSov, A. Tarasova

PREGUNTAS Y

PROBLEMAS DE

FrsrCA Q ) + v

,

A

EDITORIAL MIR MOSC

L. TA RASOV, A. TARASOVA

PREGUNTAS Y

PROBLEMAS DE

FJ:SJ:CA

PRIMERA REIMPRESION

T roducldo del ruso por .1 LTcenetado JAIME BLANCO CASTRO

EDITORIAL MIR MOSC

Trtvlo originol en ruso :

11. 8 . TAPACOB. A. H. TAPACOBA

BonPQCbI H 3AI\A4H nc H3HI(E

nQ,l, ~AU~Md npot. r . 11 . EnH4IMIOBA

PREFACIO

los autort:s de este Ilbro han sabido. tn la forma mis expresiVl del dilogo. analizar profundamente cui todas las preguntas del programa y tri especial aquellas que son de dificil comprensin. En el libro SI! haet un anlisis deta ll ldo tle 10& trfores ms carlCleristi~ que comelen los estudiantes. El lulo ha sido .serito de mlntrl singular, sencilla y amMI, las preguntas diflciles SI! discuten desde diltr'tnles puntos de vista, los dibujos bien delallad~ (que M el libro son nu-merosos) ayudan I comprender mas-prolundamente II idea de los autores.

los autores de esta obra son profesores. del Instituto dt! Construccin de Maquinaria Electrnica de Mosc, La alta calificacin de los aulores, en combinacin coo 'a \liveza y comprensibilidad de la exposicin, hacen este libro muy til pafil 105 estudian tes en la etapa inicial de 50s estudios de la Fsica.

No dao:llick l. dnernUal El probl~ml acerca de romo.e dHplu.n 11>11 ( __ poi en el esp.do y en el liemtO es de ,.., n Inlffn lanto d""de el pun lo de vIII. de 1. Fitiu ('O!IIO ~e tL punto de vist. prktlc".

! I ~SABE USTEO AHAUZA~ GRAFlCAMENTE LA CINE/IIAT1CA. DEL /llQV1/lllENTO RECT1LINEO?

PROFESlJR: Usted h. Inaliudo anttriormenle las grjficas de l. velocidad r del Qmlno recxnido respecto I tiempo para el mo-vlmltnto reclilllleo unifonnemen: te variable. En relacin con esto le formulo la siguiente pregunta. Supongamos q~ la ,r6fim rJl!lo-

cidod-I~mpo (jt~ la lornw. rt-prtltntoda tn fa lig_ 1, a partir ~ ida, (IOfIslru!J(l la grdfim dll avnino ' tronido tn !utlcin tl tinnpo. ESTUDIANTE: Nunca he di bu-,l.ado tales grficas. PROFESOR: Esto no es nada COfTIpliudo. Vam05 razonar

untos. Dividamos el tiempo lotal empleado en tres intervalos: J, 2 Y 3 (ver lig. 1). ;Cmo se mueve ei CUNpo durante el intervalo J? Cuil SH' la ffmula para el camino recorrido en dicho interVllo? . ESTUDIANTE: En el Inltrv.lo 1, el movimiento de l CUtrpo es unilormmlenle acelerado sin velocidad inicial. La frmula

A

para el camino recorrido es, en este caso, la siguiente:

s (/) _ " /2. (1) " donde a es la aceleracin :: del cuerpo .

. ~d'~'::::C:'~Dl::i~r,- PROFESOR. : Podrla usted ~ J J I utili:r.ando la grlifica de la velocidad , encontrar la ac~ eruJn? ESTUDIANTE: SI. La

acelCl'"acin, que es la variacin de la velocidad, en , unidad de tiempo, es igual, la razn enlre los segmentos A8108. PROFESOR: Biffl. Ahor. an.lice los in tervalos 2 y 3. ESTUDIANTE: En el in tCl'"valo 2 el CUCl'"po llene un mov i miento uniforme con una velocidad v. la cual a!eanz al rinal del inltrvalo 1. la frmula parl.el umlno recorrido t'S:

,

PROFESOR: Su ~Spllest. no n preciu. Usted no tuvo ~ cuenta, qlle el movimiento unlorm~ mpn en el momento l . y no m el inshnte inicial. Dllrallle este tiem po el cuerpo ya I ha rf'COl'rido 1111 camino igual

I a /}t: /2. En el intervalo 2 l. dependencia del camino r~ rrido respecto al timpa llene

l. siglllen!e expresin; ", S(/) - 01 : /24'u(t- I,) . (2)

''''''''i---t-----i-t Tefli~ndo en cuenta esta obstr J '1 vacin, ~rib. 'a lf'mull del

camino recorrido pua el inter-valo 3 .

/

F1r ,

, , ' , ' , :

,

: , ,

FiC l

.'

, I

ESTUDIANTE: En el inler-Vi lo Jel movimiento es uni(O( merntnte rehrdado. Si he como prend ido bien , en este CI50 l. lrmllla plTl el camino rtcOrri-60 ~ tent'f" la siguiente u presin; s (1) - 111 :12 + 11(1. -1.)+

+ u(l- tJ - a. (1 - 1,,.,2, donde o, es la kel~ac:i6n en el intervalo 3.' Esta es dos ve-ces me'IOf que la kelerac:in o m 1, puesto que el In tervalo

3 es dos veces mis lariO que el / . PROFESOR : Su lrmula se puede slmplilic.r un poco

s t i) _ 0/l/ 2 + 11 (/ - 1,)-0, (/- 1.)',2. (3) Ahora usted simplemente puede sumar 105 resultados obteni dos en (l) - (3). . ESTUD IANTE: SI, entiendo. En I 1. gdlka del cam ino I't!COfTldo es un. par'boll, en 2 es un. linea retla y por ltimo en el Intervalo 3 es nuevamenle una par'bola, pero Invertid'l (convua hac:11 arrlbl) . EsI, es mi crAfica (lIg. 2). PROFESOR: SU dibujo no es totalmente correcto. LI curva del camino recorrido no debe ser una linea quebrada, debe estar ~Rraenlada por unl l inea suave, es decir. lu par'. bolas deben C'Orllundine con II tlnea rect . Adem, el vifti~

de la segunda parbola debe corlesponder al inslanle de tiempo /, . Esta grMita I'~ la corrt'l:la tlig. JI. ESTUDIANTE: EKpliqueml'. por fa vor. PROFESOR: Analicemos una parle de alguna otra grafica del camino recorrido durante un cierto intervalo de tiempo

s (Iig. 4) . la velocidad media delcuer-po t'n el intervalo desde t hUi a

/1 H -l es igual a 1 MI - H/I I

\j = ' So;, ~ Q'L''-1f-- +''.---'' donde Ct t's el angulo que forma la

cu,,"rda AB coo la hl)fll.Olllal. Para calcular la v .. locidall del cuerpo en t'l n~tanle l. hay que encontrar el

limite de las velocidades medias cuando (_ O (1) r .(1 + 41) - . (1) v =~:~~ \j . (4)

F.n el limite, la cuerda se convierte en la taugente de la curva en el punto A (ver la linea punteada en la Ilg. 4) . El valor de la velocidad en el ins tante / , sera igua l a la pendiente de la tangente en A . Por lo lanto, se puede hallar la velocidad de un cuerpo en cualquier instante d~1 liempo por la ~ pendientes de las langentes a ta gralica del camino recorrido.

Regresemos ahora a la grarica (Iig. 2). De esta se concluye, que en el instante t, (yen el nslante t,) la velocidad del cuerpo tiene dos valores diferentes: si nos acercamos hada /, por la izquierda, la velocidad .ser igual a la tg Ct , . mientras que si nos acercamos a es te mismo punto desde la derecha. la velocidad tendr un valor igual a la tg Ct . Segun su grfica la velocidad del cuerpo en el instante t, (lo mismo que en t.) seria una linea interrumpida. lo que en realidad /1() se ob5ervl (la grfica de la velocidad en la lig. 1 es una linea conU-nua) ESTUDIANTE: He entendido. la continuidad de la linea que repre.

Ahora. utililando /Il gr fica d~ /Il loetocidad de III fig . l. haf/e el Cllmina ri'corrido pur t!/ cuerpo, pur ~itmplo, haslu '" "slanle 1,. ESTUDIANTE : E~ necesario. con ayuda de la grf ic ~ de I ~ velocidad, determinar la aceleracin a en el inlerva lo I y I~ velocidad ti en el in tervalo 2 y luego aplicar la frmula (2). E-I camino recorrido durante el tiempo /" es igual a

5(1,) = ul:2 + u (1 , -/,). PROFESOR: Correcto. sin embargo, se puede obrar en for ma m~ senci lla . El camino f

en el intervalo

---

_- ---- -

" - -- ._- -

. ' - - ...

--. ....... ---

-- - -

'"

- :-

--._----

- - -

- -------- --

El (on

\ .. , POORIA USTED IN OICA R

QU E FUE PZAS AC TlJ AN SOfll1E

UN CU ( IIPO>'

ESTUDIANTE: Los problemas de la mecanica me pll''tll los mas dificiles. lEn base I q~ se debe tmpt"Zlr su'SOludn? PROFESOR: En II mlyorll de 1O!i casos se debe empezlr por el anilisis de las futfU5 que IC-tiJan sobre un cuerpo. Considere-mos algunos ejemplos (lig. 7): 1) un cuerpo es lanudo formando un angula con la horizontal; b) un cuerpo .se desliza por un pllno inclinado; e) un cues-po Illdo I una cutfda gira sobre el plano ver tical; d) un pndulo simple. Explique y haga un diagrama de las (uenas aplicadas I los cuero

pos eo cada uoo dI:' los casos anteriores.

.---.... " .........

m,mmnm;mmh. a)

, 1 ' , , , , , , , , , ,

- " 0'

" Fil . 7

, af"----,

,"TP ...... ;m,,,,,,,;;;mnm>hh. a,

\ "t ; '... r i .... ...' p a,

~:,r : I p ., FIl. 8

"

ESTUDIANTE: Esta fS mi grfica (fig. 8). En el priml'r caso: P H ,,1 pfSO rlel CUt'f(1O. F es la fueru 0.1(' lanumiellto. En el Sf'gundocaso: Pes el pfSO: F, 1

ESTUDIANTE: Pero si 5Ob~ el cuerpo lIClu. nada mis que su peso, por qu etll00ccs este no cae verticalmente, sino que describe un. trayedoria determinad.? PROFESOR : A LUted le parece exlr.fio que en este tl30 \. direc:ci6n del movimiento del cutrpo no coineid. con la de l. fuerza que Kll sobre este. No obstante, todo esto esta plenamente de ac:uerdo con l. segunda lel de Newton. Su pregunlJ hace pensar que usted no ha re luionado deteni damente sobre la, leyes de la dinimic:a de N_ton. Yo sugiero detenernos mis adelante en esto (ver 4) mientras que, por .hon contino con el ,nlisls de 1011 cuatro ejemplos anteriores del movimiento de un cuerpo. En el segundo caso (fig. 9, b): lQu cuerpos interaccionan con el bloque? ESTUDIANTE; SegUn mi (riltrio, dos cuerpos: 1. Tierra y el plano inclinado. PROFESOR : El pe50 P es resultado de la interaccin de , Tierra con el cuerpo. mientras que la luen. de rm.miento F, 'J la rucc!n d~ 8po)'0 N, llamada hmbin fuerza normal , $Ofl resultado de la interaccill MI plano indinado con el cu~rpo , Advierto qu~ en su diagrama no apar~ e5ta fuena N , ESTUDIANTE: Pero, un mOl11fl1lol Re5ulla entonce5, que el plano irn:linado acciona sobre ~I bloque con dos fuerzas en lugar de una? PROFESOR: La fuerza, por supuesto, es una sola, Sin em bargo para su ana lisis, es mas cmodo descomponerla en dos componenles una de 11$ cua les e5 paralela al plano (la foena de rozamiento) )' la segunda, en direccin perpendicular a ste (la fuerza d~ reaccill del apoyo) , El hecho, ~ que estas dos {uerzas tengan un origen cemun, es decir, sean las campo-ne-nte5 de una misma fuerza, se refleja en la siguie-nte re-Iacin universal que e-xis te entre F, y N:

F, _ ItN, (5) donde It es una con51anle, llamada coeficiente de roumienlo, Mas adelante, anaHuremos esta relacin COI1 mAs detalles (ver 3) , ESTUDIANTE: En mi diagrama, he representado la fuerza de desliumiento F , Sin embargo, en base: a lo que usted dic:e, lal fuerza noexisle. Por qu. entonces, antes hemos utilizado frecuentemente el termino eluen. de deslizamienlo-? PROFESOR: SI, en rulidad dicho ttermino existe. Pero se debe tener tf1 cuent., que "eSta fut'fu es simplemente una

"

de las compotnles del pel'O del bloqut, que aparece 81 des-(omponer el peso en dos fuenas. una en la direc:n de l plano inclinado y ta otra en direccin perpendicular a ble. Si lI~ted en el diagrama de las fuerzas aplicadas al Cuerpo ha indicado su pt'so. no hay enlances nl'(:esid.d de rcp~nt.r l. f~rzll lIe Mslizamiwto. es dedr. la componen te del ~ paral!"l. al plano Inclinado. En ellerCff caso (Iig. 9. r ) ~I cuerpo- gira en un plano vertical. Que cuerpos" actuan sobre el obje to considerado? ESTUDIANTE : Dos cuer~: la Tierra y la cuerda . PROFESOR: Corra:to. Por esta fun. sobre el cuerpo que gin aclan dos '(uerus: su peso y la tensin de l. cuerda. ESTUDIANTE: iY 1. fuerza cenlripe\a? PROFESOR: Un momentol Precisamente en los problnnas sobre el movimiento circu lar es muy fcil errar y por esta Tllzn es preciso estudiarlos con mas detalles (ver 8); aqui me lim ito simplemente a indicar que la luerza centrlpeh no es una IUel'"Z8 mh, sino la resuHante de lodas las fuenas aplicadas al cuerpo. En el ejemp lo considerado (cuando el cuerpo se encuentra en el punto mas bajo de su Ira)'ec loria) la fuerza centripeta es igual a la di ferencia entre la te1\Sin de la cuerda )' el peso del cuerpo. ESTUDIANTE: Si he enlend ido correctamente, en el cuar to U!oO (fig. 9, d), la fuena resti lulora es tambin la rt$ultanle de dos fuenas, la del peso )' la de tensin de la cuerda . PROFESOR: E:Uldamenle. Tanto en este ca!oO como en el tercero, interaccionan con el objeto considerado la cuerda

p

)' la Tierra )' por lo tanto, el cuerpo ~ l somet ido a la accin de dos fu erzas: la lenin de la cuerda y el peso. Quie-ro subrayar una Vet mas, que toda fuerza aparece como resultado de la interaccin de cuerpos y no por ol ras causas. Si usted sabe qu cuerpos ac-cionan sobre el objeto considerado, us-ted podr deducir fas fuerzas que ad-

Fil. 10 an sobre este. ESTUDIANTE: 5eRuramenle habr6

ejemplos mi! dillcJles que Jos que usted ha COI)jiderado en los diagramas de 1, Ilg. 7. Podrra IIsted estudiar al-gunos de esos problemas~ PROFESOR : Existen muchos problemas m6s dil lciles sobre interaccin de cuerpos. Por ejemplo, hacemos presin sobre

"

un bloque por med io de una 'uena horizontal constante F. hacitndo que el cuerpo suba por un (\1100 inclinado. Las 'uenas aplicadas 81 bloque en este CI$O eslin repr~t.dl5 en 1. lig. 10. Otro ejt'fflplo: las OKiladOlln de un pindulo cargado el~lricamente .1 introducirlo dentro de un condeno sador plano. En esle caso. aplre:e una luutl complemmlari. F,. con la cual el campo elctrico del coodensador ae:{uI sobre la carga elctrica del pndulo (lig. I J) . Se sobreen t iende que es priclicamenle imposible Iffiumeur lodos los casos que podri.mO$ encontrar . 1 resolver problemas de esta ndole.

""',,'"'----, \ D

p

Fo. 1I ro. 12

ESTUDIANTE: (Cmo ~ de~ proceder. cuando en un problema intervienen varios cuerpos? Tomemos. por ejemplo. el problema represent ado en la lig. 12. PROFESOR: En Cid. caso usted detNo tener bien claro a que cutrpo (o conjunto de cuerpos) corresponde el movim iento que usted quiere anllizar . Veamos, por ejemplo, el movi mIento del cuerpo I en el problema que usted ha propuesto. Con este cuerpo inleraa:ionln la Tierra, el pllno inclinado y II cuerdl AB, ESTUDIANTE: i.Y el cuerpo 2 no interacciona con el cuerpo n PROFESOR: Slo por in lermedio de l. cuerda AB. l. IIS fuerzas Iplicadas al cuerpo I :son : 511 peso P', la fuerza de ro-zamiento F;. la reaioo N' y la \c.'nsioo T, de la cuerda AB (fig, 13, a) . ESTUDIANTE: .. Por que en MI gnifiu , la I~a de roza-miento esta dirigida hacia la izquierda ? Me parece que de igull minera hlbr a podIdo f"

SI l'Slo no se dk~ ~ ('1 enunciado dd problema. ent(Ml5, hay qu~ suponl'1' una u otra direccion o En el caso c(Mlsider.do, he supuesto que el cuerpo I se mueve unlo con lodo el sislema de cuerpos) hacia la derecha. la polea gira en el seotido de 11$ agujas del reloj. Claro est que esto no lo sabia con ante rioridad. la dlreccifl del movimiento queda determinada

.' ,

"

solamente desp~ d~ reemplazar los valores numericos. SI me equivoco e.nlo~es, al calcular la aceleracin obtengo un valor ne-gativo. En lal caso hay que supo

n~r que el cuerpo se muel'e hacia la ilquierda )' no hacia 1. derl'(ha (la polea gira ~ el seotido con Irado a las agujas del reloj), di r~ riR;' luego la luena d~ friccin

6} e, en la direccion de/:lida, obl~er

;(

7" la frmula para el calculo de la aCll'leracin y Il'fllonces comp'robar

I la segiJn \"1 signo que ob t~g.mos z , r despues d~ r~plazar los v. lo-

r' res numeric05 correspondi~tes . ,~ ESTUDIANTE: 'y para qu

comprueba por segunda vu el P" sigilO de la aceleracin? Si al su

Fill Il poner el movimiento hlCia la de-recha . estl resull ntga!iv . en!(Mlces es e-vid~te que al su

porIH lo contrariO, rbullar~ posiliva , PROFESOR: Nu ~ lfflJ llrl' Pllt'de tll'sultar negativa incluso en el segunclo caso. ESTUDIANTE. E_lo 110 lo ell l ielldo. Luego. no ('5 evidente que si 110 -.e IIlueve- hacia ladcrt'Cha.se mueve hacia la ilquierda? PROFESOR : U~led olvida que el cuerpo ademas puede pero malll'(ff en repo:.o. "b~ tarde regresaremos a esta pregunt

PROFESOR: Perfectamen te, Ahora analice el CUl'I"po 3. ESTUDIAN TE: El cuerpo :1 interaccionll solamente coo la Titrra y la cuerda CD. Las fuerzas aplicadas a "dicho cuerpo. estan indicadas en la lig. 13, c. PROFESOR: Despus de encontrar las fuerzas aplicadas a cada uno de los cuerpos, usted " debe escribir las ecuaciones del movimiento para cada uno de ellos y luego resolver el slsltma de ecu&ciones que obtenga . ESTUDIANTE: Usted ha indicado que se puede analiur tambin un conjunto de cuerpos. PROFESOR: Si. a los cuerpos " 2 Y 3 ~ les puede tambin considerar en conjunto, como un solo sistema , En esle caso no hay que prestar atencin a las tensiones de las cuerdas, puesto que ahora, estas se consideran fuenas in lernas. es decir. son fu erzas de interaccin t'!I lre diferentes partes del objeto analizado. El sistema de tres cuerpo$ en cfljurito interacciona solamente con la Tierra y 1'011 el plano inclinado. ESTUDIANTE: Hay un punto que yo lui~iera aclarar m~jOf . Cuando represent las fuerzas en las iguras 13. b Y 13.1', yo supuse que la tensin de la cuerda CD es la misma a ambos lados de la polea. Esto es rorrecto? PROFESOR : Rigurosamente hablando, no e$ correcto. Si la polea gira en el sentido de las agujas del re loj. entonces. la tensin del trozo de la cuerda CD. que sostiene al ~uerpo;J. debe ser mayor que ta tensin det trozo de la cuerda CD. que sostiene al cuerpo 2. La diferencia entre tas tensiones. e~ decir, la resultante de ellas ori~ina la aceltracin de rolacin de la polea. Sin embargo. en ti ejtmplo estudiado se supone que la masa de la polea es despredablt:, es decir, no tit'ne masa la cual sea necesario impu lsar. La polea ~ considera simple mente como un medio para hllcer cambiar la direcritn de la cuerda que enlau los cutrpos 2 y ;1. Por t'sta razon 51:' puede decir que la tensin le la .:uerda CD es la misma tll ambos lados de la [101t'a . Como re:la general la maYl de la polea se desprec ia. En caso con1rario. es necesario mdicarlo. Aun le quedHn alj.!unas dudas? ESTUDIANTE : Si. 1t'lIgo una pregunla mas con relacin al punto de IIplicaci,m de las fuerus. En toclas sus grficas, ust .. d ha aplicado las fuerzas en un solo punto del cut'rpo. Es correc tu esto? (Se podria. por ejemplo. aplicar la fuerza nI' rozamiento l'l1 el centro de gravedad del cuerpo ? PROFESOR: No hay que olv idar que nosotros noesludiamos la cinem,;II ~ :' ) la dinamica de cuerpos exll'flsos, sino de pun-

"

los malerial~. es dtcir, supoM'ltlos qut el t Uf'Tpo es una masa puntual. En las gr ilica~ se represtntan CUf'Tp05 y no puntos. simpltrntfl le para mayor claridad . Por eslo, todas ras futl'"lII s . la, cuales esta sometido UI I cueqlO se Ilueden considt'Tar aplicadas a un punto. ESTUD I ANTE: Nos han enseallo que tod.:l simplificacin Irpe cunsigo la p."rdida de cierlos asplru; del problema consi-.,

Fil 14

derado. Pr('(isamente. que perdemos al colUiderar un cuerpo como un punto malerial? PROFESOR: En UJl. simpriflCxi.W1 de esla na turalua, no lenemos en cuen ta los momentos de giro. los cuales en condiciones reales pueden llegar a pro-voc.r un vueko al hacer que el cuerpo gire. El movimiento de un punto ma te'tial puede ser nicamente de trasla-cin. Veamos un ejemplo: supongamos que sobre un CUtf"po actan dos fuerzas en puntos diferentes: F. en el punlo A y F. en B, como lo indica la lig. t4 , a.

Apliquemos sobre el punto A una fuefu F; igual a F. Y paralela a isla. lo mismo que ta fueru F; igual a F .. pero en sent ido con trar io (ver lig. 14 . ti) . Como las fuerzas F;)' r, se anulan entre si. su int rod uccin no causa ninguna a llefaciun lisica. Sin embargo, la lig . 14 , ti se puede !ralllr de la siguiente ma ner.: sobre el punto A l"stan aplicadas las !ueru. f, Y F; que pueden conducir a un despluamienlo del cuerpo Adtrnas sobre el mismo cuerpo aclan un par Ik futl'"us (Ia~ hwru~ F. y F;,l que hlCfll que el objelo gire. En otras p~labras. a l. fUl"ru F , :.t" la puede trasladar al pun(o A, siempre '! cuando al mismo \lempo agrc-guemos el mom~nlo dI.' gi ro correspondiente. ESTUDIANTE: U~ I ed dice que un punto mateflal uo puede girar, sino que puede lrasladar$('. Pero anl!:!> hemos ana Iludo el movimiento I 10 IITIIO de unl Clrcun!ffencla. PROFESOR : No confundl dos cmas diferentes; El movimien to de Iraslacin de un pun jo puede rtalolarse siguirlldo dife-rentes Irl)'('(lo.'IIs. en particular, a lu larj!o de una cm;un !erencia . Al dedr que no nis!e el mm' lmlelllo d~ ro!acuW1 de IIn punto, qUiero dar. I':n!endt'r que uu .punto nu puede rolar, es d('(lr. gi rar .Irededor de ~i mlsmu o de un eJ!': que pISe pcN" ese plinto.

j3 ;:SABE liSTt.:D CA LCULAR LA fUERZA DE ROZAMIEt\Tm

PROFESOR : Quisiera cldllerme un poco ma5 delallauanwnte en el calculo de la IUl'fZ3 rlo' lricciiill ('11 dill'rentes problemas. 51." trata tic la friccin de deslizam iento en 5('("0 friccin l'n Sf'CO se rlenomi na al rozamiento entH' las super-f icies de cootacto de dI)

normal N P-- Fs'l\'!. (6)

0.,1..:

Par3

friccin F, Y la fljeru qUl'obli:3 a deslizar alcutrpo P5foa. Por ('s ta razon, la rf'SpUc5 ta rorrc.::ta es F, P,,on a . PROFESOR: Exachmenll'. Para concluH anal!\:~rnos el Siguiente probll"ma r('presentado en la fiJ( o 17. Un bloque (lIga ma.w t'S m. tUscaflsu SlJbrt O/fa de moSD .\1 ; t: / Uo ~u ri clfntemenle p

(CO,.,OC f. USlE ll RlfN lAS

LEYE!. DE N(WT ON?

PROfESOR . Enuncit, por lavot, l. primer. te') de NtwlOfl. ESTUDI ANTE: Un cutrpo pt'I'-mallt'(rril tn

ltet , coolina c()f1!ot1YandO!\tl t

relaciof1ado con la T,,:'rra fe' dKir. el si~ tema inerdal). en , IDnCts el movIm iento etel cuerpo se e:.luetl3 como un mo\'i miento circular. Yo le aconsejo que escoja precisamente un

si~lema inercial de referencia, y ahora le ruego que formule la segunda le)' de Nl'\l'toll. ESTUDIANTE: Esta le)' se enuncia asi: F= ma, en donde F es la luerza que actua sobre el cuerpo, //l, su masa, y D, aceleracin. PROFESOR : Su respuesta lacnica es muy comun . En cuanto a su lormulacin hay que bacer tres observaciones, una esencial)' dO/; no muy esenciales En primer lugar, la luer za !la es consecuencia de la aceleracin ~ino, lo contrar io, la acelerac ion es un resultado oe la luena. Por esto la formulJ ' CIll lgica de esla ley ~e er.crie ilsi ;

a ::.. 8F 111, (10) donde 8 es el factor de proporcional idad que depende de la" unidades e;n que 5" miden las magnitudes que Ii:::uran en la frmula (~O) . Quiero hacer notar que en su formulacion usted no habl del factor de proporcionalidad B. En ~undo lugar, 'al cuerpo le comunican aceleracin todas las fuerzas aplicadas a el (aunque no se exclu}'e que algunas de ellas se anulan mutuamente). Por eso al formula r esta ley es mejor, en lugar del termino duo:rza., ulil;zar un term ino ms prKiso .Ia resultante de las luenas. la tercera ob:;er vaci" es la mas importante. La segunda ley de Newton es tablKe la re lacin enlre la fuerza y la .aceleradn. Pero la fuerza y la aceleracian son magnitudes vKtoria les que ~ caracterizan no solamente por su valor numirico sino tambien por su direccin . En su formulacin usted no dice nada sobre la di reccin. Esto es una grave omisin. Resu lt a que usted

. formul la ley de Ne .... 'toll en forma incompleta. La formuta cin correcta de la segunda ley de Newtoll es la siguiente: la acelerllCin de un cuerpo es directamente proporciona! a la resultante de lodas las fuerzas aplicadas a dicho cuerpo, e inversamente proporcional a la masa del cuerpo y dirigida a lo largo de la resultante de las fuenas. Anal iticamente est a ' frase se puede expresar CM la siguien te frmula:

(11) (las flechas sobre las letras sirven para indicar las magnitudes vectoriales).

"

ESTUOIANTE : AI1trlahzar tn tI 2 las lutrus aplicadas a UII cm'rpo qllO: l'~ lanzarlo lormando un angulo con la hor izOll' 131. u~led prometi mo~lr ar que la diret:cin. dt'J movi miMlo dl'l cuerpo no cOlllcidt' nE'Cesarlamente con la dirl'(cin de la

_ lueua aplicada al CUl'fpo. Para ('510

--=====:Jl'I usted hizo referencia a la 5t'gundlt Tu ley de Nl.'Wlon. . PROFESOR : Si. anora es (onve-u~ 'nien te detenernos en eSll' problema. Ret:uerde que es la aceleracin; co-F,~ 18 mo es ~abido, la que caracleriu.

la variacin de la velocidad t'fl la Imi-dar! dl' til'lnpo. En la liS . 18 es tan representados los vet: lores de la vt'locidad dl'l cuerpoul )' ~. para dos instantts muy ' ( .. rcaI1OS de !lempo I y t+!J.t. La variacio de la velocidad en el tiempo !J.1l',S el vector tJ.~= ;.-~, . Por definicin, la ace-leradn

(12) o, en torma mas rigurosa,

;jl) = [i m(&'/M). (.l,_DI

De aqui resulta que el vector de la aceleracio eshi dirigido a 10 largo del vector tJ.u, que representa la variacin de la ' velocidad en un in tervalo de tiempo sulicientermnte pequeo. En la lig. 18 se ve. que los vet: lort's de la velocidad y de la variacin de la velocidad pueden tener di recciones comple-lamente diferentes. Esto quiere decir, que en general los vedores de la aceleracin y de la 'velocidad tambin pueden ' estar orientados de manera diferente. Se entiende esto? ESTUDIANTE: Si, esto lo entiendo. Por ejemplo, en el muvimienlo circular de Ull cuerpo, su vt' locidad es t dirigida tangencialmellte a la ci rcunrert'ncia, mientras que la ace l~ udn esta dirigida radialmente y hacia el centro. (!ole re fiero a la aceleracin centripeta.) PROFESOR: SU adecuado ejemplo sirve para aclarar la {r. mula (11) y explicar que la direccin de la fuerza coincide- ' con la direccin de la aceleracin y no con la de la velocidad, y que la magnitud de la fuena esta relacionada , precisamente CQll la magnitud de la aceleracin y no con la velocidad : Por otra parte, el caracler del movimiento de un cuerpo en

"

un instante dado ~t cteiftmma ror la dirKcin y el .... 101" de la velocuiarl 1.'11 l'\ In~\an\e dado \el \Ktor de la vehxid.d esta siempre dirigido ~un la lan~nle I la traylori. d-I cuerpo) . Pue.do que la aceleracin y la velocidad son vedoru dilerenlts, 1'11 el caso general l. dlTn:cin de 1, f~r'!-' '1," direcCin 1'11 que ~ mueve el cuerpo pueden no COincidir, por cO/lsil,/illente y el cara.cll"f del movimiento del c~po en un inslante dado no 5e define univocamente por las flltnas. que actuan $Obre col cLltrpo considl"fado 1.'1\ _ "slanle.

ESTUDIANTE : Esto en el caso gefle-~ ni Pero se sobaenliffidt que put1le M'r que In dlff'CCIOflts de 'a luerll y la velOCidad coincidan ? PROFESOR: Por suputslO que ts po-slble. Ll'vanle un cun-po y djelo c.tf libremente. es decir. sin impr imirle

F'K 19 velOCidad inicial. En este (aso l. di. rcioo del movlmit'nlo coincidir Corl

la c\lrrcciIl de la fut'rta de gravedad. Si usle"

pr_nlt,l':S 11t'Clf, ct !'flllnI'H) 01' ,'IIU"lllIlall 1).~nOll ns cnfil' la que )i tOI la f\lrm tlla d~ 111 "-1!utltla 11'\ 11(> N('wlou Itlh-r,

vim~ la I'tloculatl tJl lug.1r dI' la a.,'I"I('Iat:HUI. entunce'. la rt lack'N:1 IRdlCllda anle:. ('1t lll,' 1"1 paS

ESTUDIANTE : ,\hora entiendo, un mismo conjun to de fuer -1.85 apl icado , UII t'UI.'rJO pueclc condUCir 1'0 diferen tes mov i-mientos. Por lo hnto, tus datos sobre el cankter del movi-miento no pueden ~rvir como punto de partida pafa deducir las fuerza s aplicadas a e~ te cuerpo. PROFESOR: Usted se ha expresado en forma exacla . Sin embargo. al hater esta obst>fvacin no hay 'que caer en los extremO!;. Aunque diferentes aspectos del movimi~lo se?,,-den llevar a cabo para las mismas combinaciones de las lItr-

zas (como en la fig. 20) . las relaciones numricas entre las fuerzas que ac-tan en diferentes aspec_ tos del movimiento son diferentes. Esto signifi ca. que para di ferent es aspedos del movimiento

~ran diferentes 135 resul-' antes de las fuenas ap-licadas. As i. por ejl'Jll plo. en el movimiento circu-lar uniforme de un cuer-

. ) ,

f ll . 21

po, la resu llanle de las fuerzas debe ser la fuerza centr ipe-ta, mientras que en fas oscilaciones la resultante debe ser la fuerza resti tutora. De aqui se concluye. que los datos $O br!! el carcter del mov im iento de urr cuerpo no pueden servir como pun to de part ida para deducir las fuerzas. Claro que aqullos de ninguna manera sobran . A propsito, regresemos al ejemplo represenlado en la fig. 20. Supongamos que se conocen el ngulo a entre la ver t ical y la dire

est dirigida horizonlalmt'nle. Por lo lan lo, es ne

apropiado. Al emplearlo cuando nos rtr~mos i c:ltr la fuerza (o a ciertas luerus), ~ como si n05001ros reca lcbemos el pa~1 que desempea esta fuerZl (o estas luerzas) en comunicule ulla aceleracin al cuerpo. Se puede Cfft!r que las otras luerns influyen menos. Esto es complelarnenle 18150. El movimiento de un cuerpo es t.I ft$ultanle

De acuerdo COIl la tercera ley. la interaccion filtre el caballo y la carreta no puede producir el movimiento de este sistema como un todo (mas pr:isamenle: no puede comunicarle ace IN.dn 81 sistema considerado en conjunto). En este caso es necesaria la exisleneia de una interaccin complementaria. En otras palabras, adems del caballo y de la carreta debe intervenir en el problema por lo menos un cuerpo ms. En nuestro caso dicho cuerpo es la Tierra . En COll5eCutncia,

~ .. ,;hji~~~iiL;r , ,

Fil_ '22

tenemos tres ,interacciones en lugar de una: 1) la del caballo con la carreta (llamemos esta fuma f,,); 2) la del caballo con la Tierra (fuerza n, el caballo se apoya en la .superficie de la Tierra; e) la de la carreta con la Tierra (fuerza 1), la fric-cin enlr~ la carreta y la superficie de la Tierra. En la lig. 22 estn representados tres cuerpos: el caballo, la carreta y la Tierra; sobre cada unq de stos estn aplicadas dos fuerzas como resultado de la interaccin de uno de los cuerpos con los otros dos. La aceleracin del sistema ccaballo-catreta_ es producIda por la resultante de lodas las fuenas apl icadas a este sislema. Estas fuerzas son cuatro y su resultante es igual a F - f. Esta es la que imprime la aceleracin al sis-tema estudiado. Como usted ve. esta aceleracin no est relacionada con la interaccin de la carreta v el c'ballo. ESTUDIANTE: Resulta entonces que la suPerficie de la TIerra no es simplemente el lugar en donde.se Jleva JI cabo uno u otro acontecimiento, sino que tambin es un _partid _

p.nt~ activo en los acontecimientos. PROFESOR: Su observacin metafrica es correcta. A pro-psito, coloque 111 caballo con la carreta sobre una pista ideal de hielo y de esta manera excluir la interaccin horizontal de este sis temll con la Tierra y no habra ningn movimiento. Hay que subrayar, sobr todo, que: ninguna interaccin in tema puede comunicarle aceleracin al sistema considerado como un lodo, para I'.';to es absolutamenle necesaria la accin el[terna (uno mismo no puede levantarse por tos cabellos). Esta es una cohclusion prctica,! muy importante de la ter-cera ley de Newlon.

~

I~

Si .lIted CORIX:" bi", l. Min..: nol~Of.& "' .... nl

os. COMO RESUE LVE USTED LOS PROBI.EM,\ S DE l ,\ CIN EMAT ICA?

PROFESO R: Supongamos que do~ cuerpos caen desde una cier!a al!ura : uno de ellos cae libremen le (sin velocidad inicial) y al olro se le COfllWlica cierla ve locidad inicial dirigida horizontalmente. Aqu i y en lo sucesivo despre-ciaremos la resistend a que ofreo;:e el aire. Compare los tiempos que emp lean los cuerpos considerados dUflw te su ca ida. ESTUDIANTE: Pata su an3lisis , el movim iento de un Cllerpo lanu-do horil-on lalmenle se pueM des componer en dos movimientos : uno en la direo;:cin vertical' y ot ro en direccin horizontal. El tiem-

po cte ca ida .se obtiene a parti r del movimiento vertica l, Ilues to que el desplazamiento vertical de los cuerpos en ambos casos se de termina de las mismas cond iciones inicia-les (la misma alt ura y ademas la componente vert ical de la \"t'locidad es /lula), de ah result a, que el t iempo deca ida pata los dos cuer pos es el mismo e igual 11 V2 Hlg, donde H es

I~ al t ura de la posicin in icial. PROFESOR.- Exact amente. Ahora consideremos un caso mas complicado. SupongamoJ, que ambos CiUUpos alen, dtw LIIIQ

FIa:. ~3

altura H sin utlocidod inicial, pero LIIh) de e[[os duran fe su recorrido dwm contra un ptano inclinado fijo JI ro/vea-do a una altura h!l que tiene un /Igntu tk inclinacill igual a 45". Debido al cJwqu.e tk este cuupo (Y)t) tra ti pIar/

PROFESOR : Su . espuesta no (>$ correcta. E$ cierto 10 que usted dice de que la componente horizontal de la velocidad " no influye sobre el desp lazamiento v~IiC.lI del cuerpo y. por consiguiente. tampoco en el tiempo de calda . Sin embargo, d ch"oque contra el plano no solamente conduce a que el cuerpo adquiera una componente horizontal de la velocidad , ademis desaparece la componente vertical y esto. por supuesto. in-fluir en el tiempo de eaida del cuerpo. Al chocar contra el plano el cuerpo pierde su velocidad vertical y cal" desde la altura h sin velocidad vert ical inicia l. El plano, por un ins-tante, no permite I!l desplazamiento vert ka' del cudpo y por lo lanlo, demora su ca ida. El tiempo de cada del cuerpo que no choca contra el plano incl inado es igu al a V-2 Hlg: mientras que el cuerpo que experimenta el choque demora en caer un tiempo igual i'. Y2H hJg + Y2hlg. En relacin con eslo quiero formular la siguiente pregunla : cuOt tUbe ~, la razn tn f,~ las alturas H !I h paTa qUl! ti tit mpo cU caida cUl CUl!Tpa ~a ti maximo poi/bit? O, dicho en ai ras palabras, la qu altura hay que colocar el plano inclinado, para que sle demare la caida del cuerpo en la lorma m.!. electiva? ESTUDIANTE: Es dificil para mi dar una respuesta exacta . Me parece que el va lor de la razn hlH na debe estar cerca de uno, ni tampoco de cero, ya que al ser igual esta razn a una o a cero es equivahm\e a la ausencia del plano, Por esto ctto que e l plano inclinada se debe colocar mas o menas en el cenlro de la distancia entre la superf icie ele 18 Tierra y el punto en dandI' se inicia la ca ida. PROFESOR: Su observacin es jusi a y na es di fici l obtener 111 respuesta preci~ . Escribamos el tiempo de caida del cu~po

I = V2HgW-'-.l'+Vi). dandI' .l' = hl H . Hl!y que encontrar el valor de .l', para el cual la funcin t (.l') alclnUl su valor mhimo. Elevemos al cuadrado el t iempo t

t' = (2H/g)( 1+2V( 1 .l').l'). Si el \it'tTlpo es el mhimo, lo ser tambin el cuadrado de ste. De.la ultima igualdad se ve que el valor t' es mh.ima cuando lo es el valor de la funcin !I = I- .l').l'. En esta forma al problema considerado lo convertimos en la determinacin del valor mxima del tr inomio

y _ - .l'" + .l' = - (.l' - 1/2)' + 1/4. Este trinomio es mximo para.l' = 1/2, es decir, que la altura h debe ser dos veces menor que H.

El anlisis de los mtodos mas comunmente usados en la so-lucin de los problemas de cinematica lo expondremos en el ejemplo de un cuerpo que es lanzado formando un cierto an gulo con la hOfizonta1. ESTUDIANTE: No comprendo muy bien ~ta clase de pro-blemas. . PROFESOR: Empecem05 por el planteamiento general del problema: un cut!rpfi, . 24

tienrpo T: la altura nrcixinra H JI el alcance IuJrizr)lfat L del laIlUlfTlitllo. Como sil"mpre empecemos 1'01" encontrar las fuerzas aplicadas al mvil. Sobre este actoa solamente la fuerza de gravedad, por esta razn . en la direccin horizontal el cu~po se mueve uniformemente mientras que en el eje vertical su movimiento es unilormementl" acelerado con una acelerilCin igual a g. Analizaremos la.s componentes vertical y horizontal del movimiento por separado. para eslo. descomo ponemos el vector de la velocidad inicial en su componente vertical (v. sen a) y horizon tal (v . cos a) . La componente horizon tal de la velocidad permanece constante durante el lan::amien to. mientas que en la direccin vertical la velocidad varia como se indica en la Hg. 24. Empecemos por el amj lisis del movimiento vl'I"lica1. El tiempo del lanzamiento es T= T .+ T l. donde T. representa el tiempo que demora el cuerpo en ascender (es dl"

se puede expresar por medio de la f;rmula de la veloddad en funcin del tiempo en el movimiento uniformemente retar dado de donde obtenemos que

O "" v.~na-IJT,. o.

T, = u. sen alg. (14) Conociendo T,. hallamos

H = v.5e1laT ,- gT:/2=.u: sen'al2g. (15) El tiempo del descenso T, si puede cakular. considerando la calda del cuerpo desde una altura H y sin velocidad \'l'rti ca l inidal (caida libre):

T . = V2Hig = v. sena/g. Comparando' este resullado con (1~) \'emos que el tiempo em pleado en el descenso es igual al tiempo del ascenso. El tiempo total del lanzamiento es

T ,= 2v. sen afg. (16) Para encon trar el akance L del lanzamiento. es necesario uliJizaJ. la componente hor i ~onta l del movimiento del cuerpo. Como ya lo hemos dicho antes, en la di reccin horiron ta l el cuerpo se mueve uniformemente. De abi encontramos

L = u.c03aT = v:sen2a/g. (17) De (11) se ve que si los ngu los del lanzamien le> de dO!\ cuerpos sum4l n 90' y si son iguales los valores de sus velocidades

inicia~. los dos cuerpos caern en un mismo punto. Est todo daro en este prob lema ? ESTUDI ANTE: Si, esU todo claro. PR:QFESOR: En ~ caso. compliquemos un poco el problema. SU){}IIgamru qu~ d uim to actua !OWrot1II'nIl~lIt~ $Vbr~ t i cutrpo dJrcmlt su rtcOrrdo con UlI'; !utrla F h"riwltlal crms /(II/Ir . El fJf5JO tUl CIItffJO tS igual a P. St pidt. romo tU I.'f caSI) anlr rior . t ttCOll tra f t I titmp) T dellunlilmituto. la al/uro H Ij t i

a~ca'la L. ESTUDIANTE: ESle problema se di fer-encia del anterior en que el desplazamiento del cuerpo a lo largo del eje horizon tal no es unilOfme; en es ta direccin el cuerpo se mueve con una aceleracion a= tFI P)g. PROfESOR : Varia en algo e l movimien to del cuerpo a 10 largo .de) eje ver t ical?

ESTUDIANTE: PUt'SIO que el viento aclua horizontalmente, ste no debt influir en el desplazamiento verlical del mvil. PROFESOR : Esta bien . Ahora avtr;gue lo siguiente; cuales de las magnitudes qu" buscamos en el problema allterior .'i(' e.presan de la misma manera ? ESTUDIANTE: Evidentemente que el tiempo T del lanza, miento y la altura matima H. ya que esas magnitudes se dettrminan a partir det movimiento vertical y por 1u tanto no cambiaran. PROFESOR: Magnific.o. Ahora le falta por determ inar el alcance del lantamienlo. ESTUDIANTE: Conociendo la aceleracin horizontal y l'1 til'IIlDO dl'1 IIInzamiento. encontramos el alcance

L = v.cosaT -j-aT'/2 "" (v:~n 2a/g) + + 2 (fPJ (v: sen'alg)

PROFESOR; EsU bien . Slo que esta I'Xprt~;,in se puede escribir de una mallera m~ cmoda

L = Msen2a/g)(I + (Fp)I\l:a!. (18) Estudiemos un problema mas: un C/lupa es IUlIludn {omulfld

ac

de l. parlbola para cada uno de estos puntos lI.e - UXc + b e _ t 1I ... = uxA + b.{/I. I

Las coordenadas de los pun tos B y e nos son conocidas. Por consiguiente. el sis lftTll de KuacionH que hem05 ~rUo nos permite determinar los coeficicntn ti y b. le propongo que m su tiempo libre uslt'd mismo encucnlre la respUl!'SliI y la lleve a la lorma (19) . ESTUDIA NTE: Me gust mas el primer mtodo de solucin. PROFESOR: Eso VI en gustos. Los dos metodos indicdos .soo po!' 1>11 urkl~ t'$eflCia lmenle direrentes, al primero lo podemos llamar disicoo porque utiliza un modelo caracleri!> tico de la Fsica (nosotros hemos cambiado un lanlo nuestro pun to de vista y reducimos I1I1E'SIrO problema al problema con el viento que anaUtamus anter iormente). mientras que al

~ulldo lo podemos Uilmar cm. temtico- lo anali t ico) . En nle

2 melros y 6 metros, respedivamente. Uno de 10'5 cuerpos H lanzado horiZOfl\almcnle con una velocidad de 8 mfs y el otro hacia abajo formando un ngulo de 45 con la hori-lontal 'J ron una Yclocl:lad inicial 1.1 que ambos cucrpos choquen durante el vuelo. l a distancia horizontal entre Jos puntos A y B es igua l 8 8 m . Calcu lar la velocidad inicial v . del cuerpo lanudo bajo un ngulo de 45 , las cOOfdenadas x e 1J del punto donde chocan, el tiempo t que tardan los cuerpos hasta el choque y las velocidades VA y "e de amb05 cuerpos tri el instante ~ que chocan. las Irayl'Clorias de 105 cuerpos descansan sobre el mismo plano 3. Desde un puniD son lanzados dos cuerpos formando ngulos (l., y (:l. con la horizontal y CM velocidades oid. les U, '! v , respedivameole. A qu d is tancia enlre s i se enconlrarn los cuerpos despus de un liempo t? Para mayor senci llez suPondremos que: l tI sen o.)",I.lg. donde (ti stn o. )!'!;n es el producto mnimo entre v, ~ a, y ti, sen a . Analizar dos ,C asos. Primero: las IrayKtodas de los cuerpos descansan 60bre un m ismo plano y los cuerpos son lanzados tfI diferentes sentidos; segundo: las trayKtorias de los cuerpos deliCansan sobre planos perpendiculares en tre si. 4. Un cuerpo cae desde una a ltura H sin velocidad inicial. A una altura h, este choca elhUcamente contra Ull plano colocado formando un 'ngu lo de 30' con la horizontal. En contrar el tiempo de ca ida de l cuerpo. S. tBajo qu angulo con la horizontal debe ser lanudo un cuerpo c uyo peso rs P para que la altura mh ima a que se eleva sea igual al alcance del lanum iento1 Suponer que sobre e l cuerpo actua horitontalmente el vienlo oon una fuena constante F. 8. Desde un plano inclinado un nguloa rs lanzada una piedra con una velocidad inidal ti. y perpendicularmente al plano. A qu distancia del punto de lanzam iento cae esta piedra? 7. Un muehacho de I.S m de estat ura y que est parado 8 una dlstand a de 15 rn frente a una cerca de 5 m de altura . lanu una piedra bajo UI1 ngulo de 45 ' COI1 la horizontal. ~Con que velocidad mlnima debe lanzar la piedra para que rsta PIse por encima de la cerca?

, 6.

.COMO RESUELVE USTED l.OS PIWBI.EM,\S DE OINA."UCA1

PROFESOR: Al resolver los pore> blemlS de dimimic. n muy im-portante deduci r correctamente In fuerzas aplicadas 11 un c~rpo (ver 2). ESTUDIANTE: Q uiero hacerle una pregun ta a l respedo. Supon-gamos que yo he deducido co-

rrecl.m~ te todas In IUffZU "plleadas al cuer po considc'l"ado. Qu debo h.ccr dcspues de esto? PROFESOR: Si las futnas no estan dii'igidas a lo largo de una misma recta hay que descompo-nerlas en sus dos componeo les segun los ejes ver tical y hor i 20n lat y luego analiur es tas

componen les por ~pltlldo para cada uno de los ejes. Ahora mi5ffiO quisiera dar le .1gullOS consejos practicos al respolo. Como primera medida, para no confundirse al d6-componer las fuerzas, debe repr~tar a estas en el diagrama en forma bien clara . Gmer.lmmle eo los di.gramas el est u-diante suele representar a las fuerzas por mt

Por ejemplo, ffi .. 1 problema indicado en la ng. 10. el cuerpo. se desplaza uniformemente hacia arriba por un pl.no incli n.do. En este caso 1. eleccion ({e los ejes a lo largo de los s:u3les descomponemos las fuerz!ls es Indiferente; se pueden escoger o bien los ejes horizontal y \'ertical (lig. 27, a) o bien

ti) 6) N ____ NQI$4r , , , 11.:- 1"

p

las direcciones paralela y perpendicular al plano indiJ.do (fig. 27, b). Una vez que hayamos terminado la descomposi

obtel'lunos: N(cosa - A-senal - P ", 0, \1 F - N(kco~a -+ sena) = O.

De la primera ecuacin de esle sistema encontramos que N _ P (cosa - k sen a) - ' . Reemplazllndo esle resultado en la .segunda ecuacin, obtenemos la respuesta :

F = P" co~ Q "" Jl'nQ . ros", .........

Elactaml'nte la misma respuesta se obtiene a partir del sis-tema (22). Ustl'd mismo puede foicilmente comprobarlo. ESTUDIANTE: Y cmo hacer tuando el movimiento del cuerpo es acelerado? PROFESOR: En este caso, debemos escoger los ejes de acuer-clo ti la dirtccin de la aceleracin del tuerpo (la direccin de la fuena resultante). Es decir, descomponnnos las fuerzas en la d.reccifl de la aceleucifl y perpendicularmente a sla. Entoncef. la suma algebraica de las componentes de las luer-us en la direccifl perpendicular a la aceleracin, Sol' iguala a cero. mientras que a lo largo de la aceleracin, de acuerdo a la .segunda ley de NtwlOll, l. suma algeb;tica de las corno ponentes es igual al producto de la masa del cuerpo por la aceleracin . Resolvamos el (!limo ejemplo de un bloque $Obre un plano inc linado, su ponitndo ahora que el cutrpo se mueve hacia arriba COl1 ciert a aceltfacin . De acuerdo con las observaciones an teriores hay que descomponer las fuerzas, de la misma mane ... que en el caso represenlado en la l ig. '27, b. Asi pues, en IURar de (22), tendremos el siguiente sistnnl de ecuaciones:

N- Pc.osa-Fsena _ O, l F cosa-F, - PSoI'n a _ ma = P(alg) . ('23)

Utilizando la expresin (5), determinamos la aceleracin del cuerpo

a _ g [Fc.os a - (P cos a + F SoI'na)A-- PsenaJlP. ESTUDIANTE: Cuando el movimiento es acelerado, (.Sol' puede descornpont'J' las fuenas tf\ dos ejes que no sean las direcciones paralela y normal ti la direccin de la aceleracin? Stgn he entendido de sus exphcaCIOIlts parece que esto no se puede hacer . ..

PROFESOR: Despus de su pn'guntCl veo que deoo prl'Cisar mejor mis explicaciones. Cuando el movimien to es acelerado usted puede descomponer las fuenas en dos direcciones cua-lesquiera perpendiculares entre si. Slo que en tonces usted debe deScomponer. adftTlas de las fuenas, el vector de la ace-leraciOn. Es deci r, de esta minera usted hace mas di ficil la solucin. Para evitar complica:iones. es mejO!" obrar como le he aconsejado. Esta es la 1000ma mas r.enci lla. En el problema siempre se sabe la di reccin de la aceleracin del cuerpo (por lo menos COIl precisin del signo) y us led puede ulilillr esle dato. El hecho de no saber escoger de la manera mas tOIl\'e-nien!e los ejes de las componentes de las fuerzas, es una de las caU!i-iS de C"Oflfusin de los exami nandos al resolver [Iro-blemas de dinamica mis o mertos dificiles. ESTUDI A NrE: Hemos hablado de descomposicin en dos rlirecciones, pero seguramentl". en general, hay que hablar de las componentes en t res ejes perpendicu larl"S entre si. teniendo en cuent a que el espacio es tridimensional. PROFESOR: AbsOlutamen te ;ierto. Hemos supuesto sUlo tos ejes rli rccdonale5 . porque hemos trat ado problemas en el plarlQ (prob.lemas en dos dimensiones). Hay que ut ilizar tres dirciones, pero en este caso todas las obr.ervacione-5 que hemos hecho an les. conservan su \"a lor, aunque debo anolar que en los tltO .. ftmenes, se prefieren los problemas en dos dimensiones. pO!" supuesto que no el(luimos 111 posibilitlali de generalizar con algunos problemas relativamente f.kiles en el espacio de Ires di mensiones.

PROBLEMAS

8. Un cuerpo de 5 kg de masa. se mueve sobre un pJano horizontal Jldr accin rle una fuerza de 3 kgl, que se aplica al cuerpo formando 011 :in

""r",,,,,';{,,;;;;.L,. F i ~ ~II

r

,

,

Fig. Z9

gulo de JOG con la horizontal. El ~oeficicnte de rozamiento es igual a 0,2. Calcular la velocidad del (uerpo despu~ de

"

di~l segundos de hab~r ~ido 1I11licadl la luena y ellrabaJo de 11 fuerza de fricci n duran te ~s l e liffilpo. 9. Un hombre Ura dos h ineos enlazados entre 51, de un.-cuerda qu~ forma un ngulo de 45~ roo la hOfizonlal y a la cual aplica una fu erza de 12 kgf (lig. 28) . Las masu d~ los tri neos son igua les a m, _ m. _ 15 kg. El coeficiente de roza-miento de los patinu con la nih'e. es igual a 0.02 . Encontrar:

fi. 31 .

1) la aceleracin de los trineos r la tensin de la cutrda que los mantiene unidos; 2) la fuerza con la cual el hombre debe halar de II cuerda para que los trin~ se muevan uniforme-mente. 10.' A travs de unl polea que permanece inmvil . pasa una cuerda de la cual estn suspendidas tres cargas igualei, cada uno de 2 kg d~ masa lig. 29) . EncorJlr.r la acelera-d n del sistema y la tensin de la cuerda que une a los bloques I y 2. 11. Calcu lar la aceleradol1 de I!!,s cargas y las tensiones de las cutrdas en el caso repr~ntado en II fill . JO. Los dl los conocidos $OIl : a. = 30 , P, = 4 kgL P.=2 kgf. P~=8 kg{. Se M$prccia la fricc in COIl f'1 plano. 12. En 1"1 sistema de ca r~as repre!>C"ntado en la lig. 31 P, = - 1 ].;gf; p . ..... '}. kgf; P. _ 5 kj:f; P . .... 0.5 kllf : a. ... 30. El coc-fidtntt dt rotamiento rle as carllas con ti plano C$ itual a 0.2. Encontrar la a~eradlI del sistema de carllas, las ten-SIones de [as cuerda~ y la fuerza con la cual el bloqut p. hact prtsin sobre p .

lEN QUE MEDIDA LA FUERZA DE fR1CClON CQ,\\PUC,\ L,'S. WLUCIONES. DE LOS PROBLEMAS DE OINA!.I ICA?

PROFESOR: La fueru de frie. cin puede complicar ba . I~lll e un problema. ESTUDIANTE: Pero nosolros va hemos estudiado la lueru de Ir iccin (ver 3) . Si el cuerpo se mueve. 'a futfll de friccin se determina por l. u:accin nor-mal (F,-IrN); 5; el cuerpo tita t1l reposo, la futl'd de fricc in es igua' en magnitud I la fuena que Irata de sacar al cuerlK' de su estado de reJlO5O. Eo;to no ti dificil de entender y recordar. PROFESOR: Asl es. Sin embar go. usted no toma en cuenta un hecho muy importante . Usted

supone que de antemano puede responder a las siguientes preguntas: 1) El cuerpo est en reposo o en movimiento ? 2) En qu sentido se mueve el cuerpo? Si esto se sabe con ano terioridad. entonces en realidad lo dems es retativame!\te fileil. Sin embargo, si no es asi, el problema se complica y es necesario hacer un antisis especial. ESTUDIANTE: Si. ahora recuerdo. Nosotros ya hemos tratado de esto en el t 2, cuando hablibamos de cmo escoe:er la di recc::in de la fuerza de friccin. PROFESOR,: Ahora quiero delenerme ms delalladamente en esta pregunta. Me parece que lanto los estudiantes como algunos de los profesores t1lcargados de lormular los proble-mas no analizan qu dificultades representa un problema de dinmica en el cual se tiene en cuenta la luena de friccin. Estudiemos tl ejemplo representado en lo tig. 10 en donde se conoct': el iUlgulo de inc/inaci6n a. el ~!XJ P del cuerpo. lo

t~rla F y ti coeficiente cinitico de friccitI le. Para mayvr sencillu IIaIlIOS a spponer q~ k.= k (donde k. es el va tor ma-ximo del coefic iente de friccin estilico) . Se pide llaar un andlisis tl IIIwim{ento d.tl cuerpo y encontrar la aaltraciII . Suponemos que el cuerpo se mueve hacia arribll a lo largo del plano inclinado. Descomponemos todas las flle.nas de la manera indicada en lB lig. 27, b. Utilizamos el resu!t.nlo que obtuvimos para la aceleracin en el 6:

a"" IJ [F eos a- psena-(P cos

De (2

b) ~ , F ~ P (k J IV o.)/(I - k Ig :21, d fll"rp .. Sf' /I1U"\" hKi~ .. rrll'a uuifon n"me1llt o II

ESTUDIANTE : A lIosotros nunca SI'IIOS hi to una demostra-CI(\1I de I's tr llpo. PROrESOR : Pr~iSllme111e por es lo. yo qutria C'oncen(rar '~ll ah."ncioll t'fl este probtemll . Por supuesto, qu., en t"1 examen us-ted se,:,ulBmente troPE'zara ton probll:'mas menos dif ic iles. en dondl! o bien !oI' drsl'[l'('ia la llll!rza de (r icc in, o bien se tiene l' l1 cu~n ta pero se conote con an t iciplK:Ln el carcter del movi, mil'nto del cutrl''' (por ejemp lo. se sabe si el C'Ul'TpO esl a en r("!'uso se mueve). De todos modos aunque no se presenten ('st as dificultades. es cOllvenientl' sa~r 'lue u is ten . EST UD I ANTE: (y qu': sucedera. si ('rl su ami lisis considera-mos el caso cuando k = O? PROFESOR: Cuando fa friccin no se lime en cuenla, el problema se modifica bastante. En este caso, para cualql1ier angulo de inclinacin del plano tendremos que: cuando F> >P tg a el cuerpo se mueve hacia arriba con una acelerad!!

u = g{Fcos a - Psena)'P ; (30) si F~, P Iga el cuerpo se mueve unilormemente (hacia arriba hacia abajo) o permanece en reposo si F

dn la si,:uien!t e'lpre~in: a - g( P, - P, !>l'lla - P,k casa)!(P,+p. ). (32)

En CIISO de que el sistema se mueva hacia la izquierrla ten dremos

0 = g (P, sen a - P,- P ,kc()sa)/(P, + p. ). (33) Hagamos el ana lisis para los va lOl"ts dados a y ot. Para ts lo, hacemos var iar la ratn p= P.lP,_ In 111 frmula (.32) se con cluye. que para que el sistema se mueva de la iZ.9ui~da hacia la derecha es necesario que se cump la la condicion

p ~ (sen a -t II' COSa) - ' . BasandonO!'\ en la frmula f3J) vemos que, para que el sistema se m ueva de la derecha hacia la izquiC'fda se debe cumpl ir q ue

p ~ (sen a - k cos tt) - ' . Para eslo se necesita una condicin comp lementar ia que ('1 ngulo de inclinacin no (jebe .ser demasiado pt'queo: tg a > k .. Si por el contrario tg a"'k, por mj~ grande que sea la razn p. I!' I sistem a no se moverli de la derecha hacia la, lquier_ da. Si 18 a>k, e l sistema permanecer en reposo: siempre y cuando se cum pla la desigualdad :

(sena + k cos o.) - ' < p < (sen a .-kcosa)- ' . Si Ig a ~ k: 1'1 sis tema no se mueve si se cumple

p> (sena + kcosa)- ' . ESTUDIANTE: Y qu sucede si variamos 1'1 ngulo a o el coefic ienle k? PROfESOR: Le sugiero que Ud. mismo haga el amilisis desde eSI", punto de vista (ver problemas NCN 13, 14) . PROBLEMAS 13. Haga un an lisis del prob lema ilustrado en la lig. 32, para diferentes valor .. s del coeficiente k, suponiendo que se conocen el ngulo a y la ratn p .... P"'P ,. 14. Para diferentes va lores del angulo de inc linacin , haga un anlisis del proble.ma ilustrado en la fig. 32, su Poniendo que se conOCefl el coefic iente de friccin k y hl razn p= P.lP, . Para mayor sencillez considere slo dos valores de esta rurl : p =n ! (loscuerpm l ienen igual peso) y P""". (el peso del cuerpo que descansa sobre el plano incl inado es dos vece-s mlyor que el del cuerpo que pende de 111 cuerda).

El 1IOO"lm;"1\1o H un (I/.,PO que " .. ~btndo una ';rcunr"'tnti ... el c_ m',"lmple dt! un mo~mltn\o furviliMO. P uo ok-~os ron mR" r rlllft __ b ... nla d_ de movimiento En ti unlnn .. abundan 101 dem,1oI K movimimt .. auilhwos. AllArkano. tI movimlt'fllo 11111101'_ y nO un,I ... "", de u'" ,.,kul, m~k fl.1 que lit m"Uf en ...... drfUn'tftnc,a. ti moVImiento de los ... Itllltl y en lelacln con esto invntlclttmos lu auUf lisie., de L. lmpol\oo~bm. dad de 1 .. cuerpol.

, .

USHD El MOVIMIENTO

CIRCUI "11 DE lJ\ U,.: t:Rl'U

PUOFE~OI< ta l'JI~ro('n('l.a ha d ~on el movlIlllenlo de un Cllerpo qUl' gira ~n una circunferencld re~unan bastante dificiles para l'lesludian te. En 18 ~ respuestas a las pregun-las lIe este llpo $e comc\e una cantidad de fallas muy caracleris IIc.s. Para demostrar esto, ,"VI-IffilOS a participar Hl nuestra dIscusin a un estudiante mis, ljuum no "sta mfOfm.do de lodo lu que hasta ah('lr3 hl!fTlos hablatlo; comliclOnalmente Jo llamaremos .es tudiante 13. (. mi mlerlocutor anl!:'r;o.- lo llamaremos 3hma .esludi!lIlle A.).

Al estudiante B , ~ propollemO$ Sf'Ii.lar IIU fuerzas que cluan sobre ull.,Wlh~lile artificial, que giT' .lrededor de la Tierra No $e !imm'm cuenta 1. resistenci. de la atmsfera y la alraccl:t de l. Luna 'J el Sol y dernas asiros. ESTUDIANTE B: Sobre el .salelile acl elan dos furrza~ : la .traccin de la Tieru y la furrza centr ilug . PROFESOR: En cuanto a la .traccin de la Tierra esloy de acuerdo oon usted, ]>UD no ent iendo por que a'''UlCi! la fuerza centrifuga . Acla~ eso. por lavor. ESTUDIANTE B: Si esll !ut'ru no exi~tierl. el satlite 110 podril sostenerse i!0 rbitl. PROFESOR: Y qul suce

al cucrpo que gir'l. sino a la li~adura. mi('fl!ras que sobre 11'1 ClU.'f(KJ que ~Ira esta aplicada la fuerZil Ci!fltrpel~ ESTUDIANTE 8: (Resulttl entonces que ~brl!' el uh!llte aclLia :!oOlamenle su peso? PROFESOR : Si, solamente su llCSO. ESTUDIANTE B: Y en ~as condiclQlles noue en la Til,'rra? PROFESOR,: El movimicnl(\ de un CUeTpo IlOr ~cln de la fueru de gravedad ~ llama calda. E$lo quiere dl'Cir, qllt' el

~1I1i!:lltl!' Cle. Sin embargo, al 'U~' di!'5Cribe un' d rcunfen"fl. el. alrrdedor de la Tiern 'J por lo tanto ~u c:aid3 :!ot P'l'olOllga indefinidamente. Nosotros '11 hnnos in,,~ligado el h~ho de que la dir~Cln del movimiento de un cuerpo y ta de la lueru quc sobre este acta no li~en nesariamenle que coincidir (ver 4). ESTUDIANTE B: Al hablar de la atraccin de la Tierra 'J dI! la hiena ceJl ' rjfug~. )'0 part de la frmu la

ymMlr' _ mv'/r. (34) el h'rmino de la i:r:qu\tfda en fila igualdad reprcost.nlll la lu~ru de alr/ICCin (m es la masa del sa l lit~ y M, la masa de la Titfrl, , es el radio de la rbita y y, la constante gravllaIOfla). mientras que el I"rmino de la derecha es la futfu centriluga v es la velocidad del salt lilco) . Quiere decir que esta fOrmul. no es ti!'rla? PROFESOR: No, la lrm ula es correcla. Seguramenle no lo es el anlisis Que usted hace de la frm ula. Usted mlerprl'ta la relacin (34) como la t(:uaCIOII dl.'l equilibrio de dos fUffu~. Si,\ embargo, esta fOrmula t!$. la expresioo de la segunda ley de Newlon

F _ mo. (3-4a) donde F Y mMI ,' ) 0_ 11'1, l'~ la aceleracin cenlri~ta . ESTUDIANTE 8: Esto)' de acu('nto en que)1) nlcf!lrelacin llefmlle hltl'r el anabsis dl'l mO\'lmll'nto sin inlroduclf la ut:rza ce-nl rHuga , pero enlonces. si 110 e,'li5le esta !ueru. por lo me-nos debe existir la fuerza centripela. Sin tmbar"o, usled tampoco habla de esla dUma, PROFESOR: En el caso dado la lunu eenl(ipela. es la fuerza de atr lCCin que la Tn:orra e('ree sobre, el salel.te. Subrayo: .qui no 5e trata de dos fuerus distintas SlIlO que e5 una misma fUtfu . ESTUD I ANTE B: Entonces (para qu mtrodUClf el cOlxeplo de luena centripeta?

"

PROFESOR: En eslo nloy completamt'nte de &Cuerdo con u5led. Yo considero, que ellermino de .fueru cl'n tripeta. slo trae mayor confusin. Lo que se entiende por fuerza cenl.rl. peta. de ninKllna manera es una fuer1-a independiente aplicada 1\ u\\ cuerpo junto COfl las demh luerus. sino que es la multan le de lodas las fuerus aplicadas al cuerpo, Que se mueye uni. formemente en una circunlerencia . La magnitud m""!r no es una fuerza sino Que representa el producto de la masa del cuero po m por la a

hacia 1"1 o;:enlro y .roe llama fuerza centript'ta, la fuerza Pes e l resultado de la interaccin de la bolita con la Tierra y su reaccin es 181111"n:8 P" ejercida sobre la Tierra. La fuerza T es el producto de la interaC

plo. que w tr~ta de un cuerpo qlK' deJamo~ dt'Sllur desde 13 :umbre de un aro. \\ Ientras dt':>1iu sobre .... 1 aro. el cuerpo lit! mueve e'l una circunferencia. Sin embargo, es muy claro que este movimien to no ts uniforme puesto que la velocidad del werpo crece constantemente. ('Que se debe hacer en es te caso? PROFESOR: SI el cuerpo ira en una circunferencia unifor memente, la rtsullan!e de todas las fuerzas aplicadas a ste nectsariamente esU dirigid3 hada el centro y le comunica al cuerpo la aceleracin centripeta . En el CllSO mas gen~al de un movimiento drcular no umforme. la resultan te no esU diri gida es tr ictamente hacia el centro. sino que \iene una compo nente rad ial dirIg ida had" el centro y la otra en la direccin de la tangenle a la trayec toria del cuerpo (es decir. a la ci rcun

f~encia) . La pr imera compooen le produce la aceleracin cen tr ipela del cuerpo. la segunda. la aceleracin t al1l~enci al. que es la que oca~lona un cambiO en la direccin de la velocidad del cutrpo. Hay que subrayar. que como la velocilJad del cUerJKI varia. debe tambin variar la aceltracill centripela u"r. ESTUDIANTE A : Esto indica que para cada instante de tiempo. la aceleracin centr ipeta se determina por la frmu la a '" v"r. donde v es la veloddad inslanUnea. PROFESUR: Exactamente. Si en 1'1 movimiento circular uni forme la ace!eradn cell tr lpeta permanece constante en el mo-vimien to circular no uniforme sta varia duranle el movimien lo del cuerpo. ESTUD I ANTE A: tEn qu debo basarme, para silber precio samt'n te cmo varIa la velocidad u cuando el cu~po no gira un iformemente> PRUFE$OR: Gt'fleralmenle se apoyan M la ley de la conser vacin de la energa. Veamos un ejemplo cOllcrt'to. Suponga.

Fig ~

N mos qu~ UII C'Uf'fJ1l) dullza sin 'ricci6n. atw lo cumbrt dt un oro. d.t radio R. L'Olocudo IJf!rlicalmm lt. Cul es la presidn que rslt cutrpv ejrru sobre ti oro al pasar por ti pun lo qult st rllcutrl Ira a una altura ~nor qut la cumbrt tll UII lXI/Uf h'l l.u w/ocjdiJd inicial atl cutrflO rtl la cumbre d.tl aro rs iguo/ a erro. Primero ha )' qlle

enconlrilr las Fuerzas ejercidilS .sobre el cuerpo ESTUDIANTE A: Sobre el cuerpo acluan dos fuerz as: ti

~ P y l' fuerza de ruecio" N. E~la$ f)!jn rtpr~ladl5 en ti diagrama de l. fig. 35. PROFESOR: Correcto. (-Qu hace despLlis? ESTUDIANTE .4: Prtndnt de k~do' sus indicaciones. Encuentro l. fut'l"lI resultante y lut'go l. descompongo en 5US d05 componentes: rad i .. 1 y tangenci.1. PROFESOR: Todo esli bien. Sin mlb.rgo. es mis $offtCi llo, sin necesidad de encoolr.r hl rewll.nle, dHoomponer de una vn 10015 liS fuerzas apliCldls sobre tI cucs-po en las dos direcciones ndiudas . .sobre todo si ImmlOS ~ cuenta que tI p~ es la linic. fuena que I~ que d~omponer. ESTUDIANTE A: l.a descomposicin l. hago en l. lig. 35. PROFESOR: l; fueu. P, proporcional. ~Jtucin tangen-cial del CI~po, ~I. no nos interesa. L. resultanle de las fuer-zas P, y N produce la acf lffllcin ceolr fpela del c~po. es dfeiT,

P, - N _ tWIR. (35) la velocidad del cuerpo en el punto que nos interesa (ti punto A de l. lig. 35). la encoutramos a partir de l. ley de la ronser-vacioo de ' la eHerlCia:

Ph _ mu"/2. (36) Unificando (35) y (36) Y teniendo en cuenta que p. _ _ Pcosa. _ P(R - h)I R, obtenernos

P(R-hIIR-N = 2Ph/R . La prtsirl que buscamos. ~ iguat, de acuerdo a la lern ley de Nrov'on, a la reattin del apo)'o

N = P(R - 3h)R. (37) ESTUDIA NTE B: En su rlZonam i~to, SI' supone que en el punto A el cun-p6 lodl\' ia descansl sobre II supn-fici~ del aro. pero puede sucfi!er que 1'1 cuerpo st dl'Spe@:ue del .ro anles de llegar .1 punto A. PROFESOR: Se puedl' encontrar el punto en donde el currpo de~ despegarse del .ro Este punto co.-rHponde .1 caso I mite cu.ndo II pr~in del CUl'fpo sobre el aro disminuye I cero. Para esto en (37) color3mo.s el valor N - O y luego de I~ ecuacin que obteogamo.s encontramos 11. es dedr, la distanCIa vn-tical desde el punto v~rl ice del aro hasta el punto dondl' se separa el CUl'fpo

(38) ..

Si en el problema propueslp el valor de h sa\islacela condicin h < h . entonces es valido el resultado (37): en el uso contra-. rio, h ~ h . lendrefftQS N = 0. ESTUDIANTE A: Segn entiendo, en el problema conside-rado se han utlliz.ado dos leyes ,de la Fisica (35) y (36) .

Fig . 36

PROFESOR: Esta muy bl~ que usl~ haya prestado almcin es-le hec.ho. Realmente, en este pro-blema se emplearon dos lt'yes: \. ~unda ley de Newlon Iver (35)1 y la ley de la conservacin de la energa ver (36)\ . Desaloctuna damenh-, lOS examinandos no sa-ben claramente, cu;iles son [as leyes que han ulilizado en la so' lucin de un problema, lo cual es de gran importancia. Traigo al caso el siguIente ejem-plo. A un cuupo le romunicanW$ una fH'focidnd in icial v . para qul tslt! putda palIO' dtl pUfllo A of punlo 8, siguiendo dos cominoS difertntes (ver fg. 36. a, b). En

ambos casos tI ClU!rpo drfHl sobrepaSllr la misma a/luro H, puo ell fornltl di/ut"tt. S t pide tnrontrar fa IJf'locidad inicial mnima u. partl ambas casos. St puNe Isprtciar la flU!rla k t ,ccin. ESTUD IANTE B : Yo creo que en ambos casos la velocid.d inicial mnima debe ser la mi~ltla, puesto que. con1ideramos que no uiste friccin y hay que sobrepasar la misma altura. Esta velocidad se puede. calcular a partir de la ley de la con-servacin de la energla:

mgH = . mu:/2, de donde ". = V 2gH. PROFESOR: Su respuesta rs incorrecla. Usted no l uvo en cuen ta que en el primer caso el cuerpo se mueve CO/1 movi-miento giratOl"iocuando pasa por el punto ms alto de la Irayec-loria. Esto quiere deci r que en el vrtice (Iig. 36, a) rl mvil tendrir. una velocidad 11, quesedetermina a parlir de una igual-dad (dinmica) anloga a la igualdad (35). Por cuanlo en este problema .se investiga el caso crtico, hay que lomar el caso ex lremo y suponer que en el punto B la presin del cuerpq sobre el apoyo se hace igual a cero. En este caso sobre

"

tI cuerpp achia 5Qlamffile el pesc:!, tI cual le comunica la acelt'-racin cenlripctll. es dec ir.

(39)

Si 11 esta igualdad (dmamica) Ir 3j!rl'gamos la igualdad (Y-J) de las energias

(mt':J 2 = mIl! 2 j. mglf. (40) obtl"nemo~ Que elulor minimD de la velocidad inicial es igual a ~ ~. En el ~undo

Uniendo las i~ualdad ... s, ]in;hnicn (41) y pnerRc\tica (42), y len iemlo en .. '\lenla que C,,~ ry; = (, -n) , R, obtenernos

mg(h-R )= nw,l - 2mgh. a partir de 10 cual encontramos que

h = (2l'H gll )f6g . (43) Colocando aqui u: = 2gH. obtenemos el re~ultado que bus-camos

h = 511 /O. PROFESOR: ,Todo est

PROFESOR: Correclo. EsU bien que usted no hay. agregado 1. fuern ttll lr ipeta. Que hani luego? ESTUDIANTE A . D~pucs de esto. d~omponf;!o fu fuer-1as 1'11 ~us compooentes rerpendiculares y paralelas al plano

b,

"

inclinado, como SE' ind ica en la il(. 38. b. PROfESOR : Aqui le in terrum-po. No me gusta su procedimien-to. Oigame, hacia dnde esta di ri;: id . la aceleracion del cuero po? ESTUD IANTE A : L. acelera-cin est dirigid. horizon talmente yes precisamente la aceleracin centr peta. PROFESOR: Corrt'Cto, KIt esta razn es necesario descom poner 1.5 fuerzas en la di rec

cidu s;no tn 5010 un. d" fllu : fl COf'hclfn lf . Las m.gni. ludfS P )' N Sot pufdfn fllln,nll fkilmfnk d.vidifndo l. pri-OI"r iI t'Cuacin por ta Sotgund . ESTUDIANTE A : DHPutS df dividir HI.s ,u.cioors obtr-m'mos

co ... + .. .. n.. ro I Dl wnDl = "'R '

Df .qu i delf rminamos fl resull.do que bU5UrYKlS - t .. ,' R cU O, la cu. 1 puede .escribirse en la forma

tga < (gfw'R) . (45) Si l. condicin (45) 110 s.c cumple enlon}H ninguna IUl'rta de fr iccin podr sostener el cuerpo sobre el pl.no indinado cuando i sle gira. PR08LE"'''S 15. COmo Htan relacion.d.s enhe si las luenas con lIS cUlles un tlnque hace presin en el centro de un puente con yexo y de un puente cOOc.vo? El radio de cur .... lur. del puente en .mbos usos es iguala 40 m y la velocidad del tanque es de 45 km/h. l . Un cuerpo desliu sin fr iccin desde una .1Iura H~60cm y rin un rizo de radio R- 20 cm (Iig. 39). Encontrar la rel.-

FIl . 19

dn Mtre las lucnas con lIS cualts el cuerpo presiona sobre el .poyo en los pun tos A. 8 Y C. f7 . Un cuerpo girl M el platlo vert ic.1 .lldo a UII' cuerda de longitud R. (Cuil debe ser la v~loddad horl.lon la l que

"

hay q~ comunicarle al cuerpo tri MI posicin I'!)s alla para que la tenslII de la cuerda en la posicin mi, baja rnulle 10 vt

.9. {COMO EXPLICA USTED LA IMPONDERABILlDAD DE lOS CUE RPOS1

PROfESOJ,. Cmo tnHende uslt'd la siluiMle t-xprein?: _En ~I ecu.dor de un pi.neta un cuerpo pesI mmos que M los polos.. ESTUDIANTEB: Yolomlimdo . s i. En el ecuador 1. fueru Con l. cual ' a Tierl'Ji .lr~.1 cuerpo es menor que. en los polos, lo c\jll se uplica pot' dos cauus. Prj. mt'fO. pot'que la Tierra e. ligera_

ment~ach.l.da en los polos y por lo tanlo la disl8nci. del cenlro de l. Tierra 81 polo es 81go mwor que la dis lanci. ckl centro 8 la linea f'Cu8toriat. Segundo. poI'que l. Tierra lira sobre su ej~ y debido

a esto la atraccin en el e no resulta l&r. Ikil . No en "ano esta pregunta COI'responde a aquellas preguntas sobre las cuales los u:aminandos muy Irecuenlemc-nle respondfl\ inco-rrectamen le. En reslidad, si entendemos por ~I trrmino .p~so del cuerpo a la fueru de atraccin que la Tierra ejf'rc~ so-brt' el cueroo o sea a la lueru igull a ymMl r', enlOflces la .disrnlllucu:IIl del peso de un cuerpo en el ecuador> !t' debe relacionar solamrnle con ~I achlltamiento del globo ttrr~stre eH Jos IlOl o~. ESTUDIANTE B: iPtrO dt'bemos lener en cuen la la rotacin lk la flt'fI'a!

"

PROFESOR: Estoy descuerdo con ustl'd. Simplemente, Quil' ro subrayar que en la prctica por el t~rmno .peso del cuerpo. entienden no la fuerza de atraccin de la Tierra, y esto es completl'lmellte lgico, sino. la Suena Que ~ mide con lIyud:' de las balanzas de resortes, es decir, a la fuerza con la cual e cuerpo hace presi6n la Tierra. Dicho t'1l olru palabras, miden la !uena de reaccin del apoyo (la fuerza con la cual el cuerpo hace presin sobre el apoyo y la fuerza dI' reaccin de ste sor igual

ESTUDIA NTE 8: SI 1"10 t'S si. yo puedo dbponer libremen te dI? la eponderabllidac1_ de un cuerpo. Que me implc11? (' ~ v ilr por d~bajo dl?l cuerpo que cae un tunel proFundo? De~pu"'s dl?jo que el cuerpo junio con el apoyQ ca~an en 01 hlo('1. En cste caso el cuerpo no ejerceni ni llRul la pr('sin sobre el IOyo. es decir, "pierde to\a lm('n le su peso_, lo que sign ifica que ~ encuentra en es tado de imponderabi1idad? PROFESO'R : Usted mismo hll legadoa tilla conclusin corrl!'C' ta . .En realidad, el ~tado de impondt'l"abilidarl es el nlado de un cuerpo q ue c~ libremente. Al respecto, quit'l"o hact'r al gunas ObSWvlICi~ . .En cierta ocasin me enconlre con una interpretacin de la im ponderabilidad Comll un estado en el c ull la fuerza de atraccin de la Tierra 5(' compellsa por 1 .&ccj;1! de olra fu('ru . En calidad de la fuerza compPll5adofa. en ('1 ca~ de un salelite. SI' hahlaba de la fuerza cenlrilul!iI . Decan as : la Fuerza de alnecin que la Tierr~ ejerc .. !.Obre 1'1 " t lile y la fuerza centrifuga se compensan entre si y corno con $ttut'nci a de e3to, la resull llnte de las fuerza s aplicadas al sao Iflile es igual a cero. lo que .. orresponde a la imponderabllidarl. Ustedes por ~upuesto )'a com prend('o que esta intl"rpretaCl6n es lals. puesto que sobf(' el u tl ite no ac tua la fuena centri fuga . A propsit o, si por im ponderabilid.d se entiende 1"1 t~ t a do en el cu. ll. fuena de .traccin se compensa con otra fll('rl3. enl oncl'S sera lgico llamar imponderable a un fUl'rpO que sim plemente ~ encuentra en rp~so !.Obre un plann horj7.0nhl. puesto que precisamente 1'1 peso y la reaccir'in lIel plano se como pt'nsan m utuamente. L. imponderabil idaft no r'~'1uiere 111 com o pt>ns.cin de la fuerza de atraccin . por ct eontrano. para que un cuerpo adquit'fa el ,"sl.do de impond('rabilidad hay que cr!'llr condiciont's, mediante las cua ltoS sobre el cuerpo no actuan ms fuertas que la de .traccin. En otras palabras, ~ nl!'C.e..ar io que la reaccin del apoyo sea n!Jla. La caida de un cuerpo t's el molo'i !JI ien lo de es te por accin de la Illerl1l grayitalor ia . Por coll5i!l:u iente. la impondefahi lidad es ('1 es-tado de uo CUl'rpt, que cae libremente, por ejemplo. la clida de uo ascenSO/', o un satlite terrestre. ESTUDIANTE 11: En e l paragr. lo anterior ya se dijo que el mo .... imiento de un satelite de la Tit'rra flO 1"5 mas que la CII ida. que ~ Nolon1I indf'finldamente d('1 salli\(' a la Tierra. PROFESOR . Podemos convencernos de que el movimiento de un ~atli l e alrededor de la Tierra eli si mplemt'nte la calda libre de este con ayuda de este sencillo ejemplo. Imagine- . monos que desde la c ima de una montaa lantlmos una piedra

"

horizon ta lmente. Despreciamos el dedo del aire; cuanto mayor Sl."3 la velocidad inicial que le imprimimos a la piedra, mas lejos caera sta del pie de la montaa. La lig. 42. a muestra cmo varia regularmente la trayectoria de la piedra

,)

cuando aumentamos su velocidad inicia l. Para una ciert a velocidad ti , la trayectoria que describe la piedra al caer es una circunferen-cia entonces se convierte en un

1), sal He de la TielT8. La velocida"d v , se denomine p'rimen velocidad csmica y se puede determinar a partir de la relacin (34)

V, '" V,M /r. (47) Si SE' loma el radio r de la rbita del satlite aproximadamente igual a l radio de la Tierra, tendre mas 11 ,"""8 km/s. ESTUDIANTE A: lY que su ceder si con I i nuamos aum91tando la velocidad inicial de la .piedra que lanzamos desde la montana ? PROFESOR :- En nito caso la (1: piedra se: moy~ni a lred~dor de la Tierra describiendo una ~li pse cada yet ms alargada (Iig, 42. b) Y para uTI ci~rto valor v, d~ la velocidad inicial . la trayectoria es una parabola y la piedra deja

Fi,. 42 de ser un satlite de la Tierra . A esta vl!'locidad v , se la denomina segunda y~locidad c5lllica .. Como lo muestran los calculos, la Yelocidad v, es aproximada-

ment~ igua l a 1I kmls. es df'Cir, casi V2 veces mayor qu~ la yelocidad v, . ESTUDIANTE A: Usted d~fini ~I eltado de impooderabi lidad como la calda de un cuerpo, Sin embargo, si la y~locidad inldal de la piedra alcanza e l valor de la ~unda velocidad csmica. la piedra ~ alejar. de la Tierra y en este ca.'IO no S(' podrla hablar de la cada dt' la piedra a la Tierra. Cmo se:

d~be interpretar en este caso l. imponderabilidad de l. piedra? PROFESOR: Muy Seflci llo. La impooderabllidad ert esle ('8SO es l. (".Ida de la piedra en e l Sol. ro

ESTUDIANTE A: Es decir, t ia impondffabllidad de una nave c5mica que Se! ~ctJenlr. en .Jgim JU8at del espacio inter-estelar se debe inlerprelar tomo la carda de dicha n.ve in el" campo gr.vitacional de Rlgunos asiros? PROFESOR: Exactamente. ESTUDIANTE B: A mi me parece de todumaneru, que ,. definicin de Impoodenbilid.d , (:00\0 l. calda de un cuerpo. requiue mlyor Iclnacin un parac.ldistl, por ejemplo. lam

bi~n cae. sin embargu. il nouperimenl.la sen5aCin de impon-deUlbiJidad . PROFESOR: Es ciedo. la mpond~lbilid.d no es un. Cllda cualquiera. 'a imponderabllldad es lo que dcnminamos caida libre. es decir, el movimiento de un cuerpo por accin, (mica-m!nte. de 11 fuera guvilaloria. Ya lo he dltno .ntH que para que un cuerpo sea Impooderlble. hay que cruf COIldidOlles me-diante las cuales sobre el cuefpo no acte nineuna otra fuerza ms que a gravitatoria en el caso del paracaidisll edsle unl fuenl complementaril , II ft:Slalencll del lire.

PROBLEMA 21. Calt:ular II densidld de un planeta de forml eslica, donde el d [a et de JO horu, si se ube que 1 el eculdoc de dicho pllneta los cuerpos son imponderlbles.

I " ,SABE USfED EMPLEAR LAS lEYES UE LA CONSUVACION DE LA ENERGlA Y DE LA CANtiDAD DE HOVI/I4IENTOI

PROFESOR: Qult'fo pl(lpooft una !oO.'lIe dt I'robltmas bl>lanle stnc:.llos.

PTiIl~r problem.:St1ttnln dospla I(J~ InclilliJllos de ilJuu{ blluta H pero d'fl'rtllll's dlllJu los tU /Idilio, C.M CI, ya . A lo fo,go de ISIM pirulOS dt'sfilOlI S'-', rOlumirnlo 00s CIIUpoS cuya.~ udrxuladts 1I1iriaf..s S"" IlUlus Cu/culal lus wlorldudt's dt Islas CUllpuS al f,nuf dd plu'", indinado Squndo problema . SI' sobt qll.' lu /rirmula u "'* , r 2 as, la cual ~Xptl" ~ la fltlocidud fi/1ul dl> un CIlf"PO 1'11 funcin tU lu QCtll'raciII y dtl I'5pQCjo tl'C"OII,df.l, ~ r('fiNt ul caso,

C/lal/d" lu fltfocidad irudal tS igual a uro. Cmo qutrlarJ cslu f 6rmulacltUndoIJI (uupa Sil It imp,,~ UlIo fltlociIJod inicial Va? Ttrur probltma. Un cuupo tS lunu!do lto,jlOll:olmt:nll' ron una ull'foctdod iniCIal u., desrh UIIO al/uta H , S, pidt calcula, lu IJf!loctdod tUI c'!Lrpo al aM!r 1'11 la titila.

cuerpo al final dt (('Corrido es igual a tI, _ 1' 2

funcin d{'! I I('mpo jOn ('1 rnm 111I i{'nlo uniformem('n!t' d('SH -, vo'it'nat l - gt:J2 (u; 2g,~n'a. PROFESOR: La ~ rf'spueslas que u!:Iled obtuvo para loscuatro caso~ son correcla~. Sin emba r~o, no me sati sface com plela-mente fl m~jodo dI.' resolucin de estos problemas. Todos stos se pueden resolver de un a manera ms sencilla , si se uti liza la ley de la conservacion de la energi a. Convencemonos de eslo. Primer problema. La lry de la conservacin de la energ ia se exprt'sa asi : mgH=m~/2 !la energia potencia l l!('l cuerpo t'11 el punto mas alto del pl ano inclinadn es igual a la energia ci neli ra de este en el punto mas bajo). De ahi fci lmenle en contramos la velocidad del cuerpo en el punl o inferice

u- ~r 2gH . Sqz:undo problema . En este raso la ley de la conservacin de la ('nergia se expresa as : mu:/2+ mas= mu'/2, donde mas es igual a l trabajo de 1", fuerza . que le comunica al cuerpo una aceleracin a. Da ah. inmediatamente obtenemos que u:+

+~OS= UI. o fillalmE'nte. u= V2as + u: .

Terur problema. La ley de la conservacin de la energa tiene la forma mgH + mU:l2 = mut l2 . De donde oblenemos el resul tado que buscamos

u= V2gfl + v:. Cuarto problema. En el pun lo del lanzamiento la energa del cuerpo es igual a mU:12. En el punto ms alto de su lcayecto-ria. el cuerpo tiene energa igual a mgH+mv:/2. Puesto que la velocidad VI en el punto de altura mxima es igual a Ve COS a, entonces, utilizando la ley de la conservacin de la energa

mvlf2 = mgH + (mv~/2) cos' a, encontramos H = (t/:J2g) (1 -COS' a), O nnalmente,

H = (v:2g) sen' a . ESTUDIANTE A: Me he convencido de que estos problemas se habran podido resolver de una manera mucho ms fcil. Simplemente no pens en la ley de la conservacin de la enero gia . PROFESOR: Desafortunadamente, en los exmenes a menudo se olvidan de esta ley y los estudiantes empiezan 8 resolver esta

75

c1a!>e ele I'roblem,s con la ayuela dI' m;looos mas comp licados, debuto a lo cual. ~umenta \a probabilidad ce error. Le acoosejo que utilice llIs ampliame:1te y con mayor seguridad la ley dI' la conservacin de la t'ner,:ia. Al respec to qUlSu~r a saber como ut iliza Ud . esta le)' ESTUDIANTE A: Me par('(:l' que aqui no se neendBa. PROFESOR : La habilidad para utilizar una ley no se deter-m na por su complejidad o Sl'nci lIez. Veamos un ejemplo coo-creto. Supongamos, que un cuerpo se mueve uni formemente en una circunlert'ncia situada en UII plano horizon lal . sin tener en cuenta la fri ccin. Sobre el cuerpo actua la fuena cl'nlrlpela . A qu e~ igual el trabajo que esta luerza ru ti:ta durante 'un ciclo? ESTUDIANTE A: El frabajoes igual al produdode la fuerza por ... 1 camino recorrido. O sea . que ... n este caso ... s igua l a (ffll/"R}2nR ... 2nmti', dond ... R es el radio de la ci rcunferencia. m y 1/. la masa y la velocidad ~I cuerp.o, fl'Speclivamenle . PROFESOR: 'Segn la ley de la conservadn de la energia el trabajo no pued ... desaparecer en vano. Qu se tiizo el Ira bajo que I.lsled ha calcu lado? ESTUDIANTE A: Se gasla en la roladon del cuerpo. PROFESOR : No_entiendo. Expresese en forma ms clara. ESTUDIANTE A: Para mantener el cuerpo girando sobrl' l. circunferencia . PROFESOR: SU ralonamienlo es lalso. Para manll'ner un cuerpo giraudo en ulla circunferencia, no se exige nhign tra-bajo. ESTUDIANTE A: En tal caso, no s cmo responder a su pregunta. PROFESOR: La entrgia comunicada a un cuerpo se pue

mueve en un plano horizontal. por lo lanlo, lampoco varia su energia poltmcilll : cerrado el ~undocanal, El cuupoconsi-derado no rea\lza trabajO sobrt: ningun otro cuerpo: cerrado el tercer canal. Filialmente. esta ucluda cualquier clasoe de fric -cin: 1'1 cuarto canal resul ta tambin cerrlldo. ESTUDIANTE A: tSucede entonces que 1'1 trabajo de la luerta centflpeta slmplemen le no hay en qu gastarlo? PROFESOR: Si. asi para:e. Usted debe ahora delinir su po sicin. O bi"n usted reconoce simplemente qu .. la ley JI' la con,ervacill de la cnergia no se cumple, y cnlollce~ no obtene mas ningun resultado, o bien usted se basa en la Il"y de la conservacin de la energia y entonces ... seria mejor que usted mismo tratara de sa lir de esta situacin. ESTUDIANTE A: Yo crtQ, que en tste ca!>O debo conclUir que la luerta centrpela 00 realiu trabaJO. PROFESOR: Esta es una condLlsin totalmente t

del liquido resulta dos \'tce$ menor, que en el ~lldo inicial. 5f! pr~unt. : Qu se hizo la olr, milad de la entrgja? ESTUDIANTE A : Yo trillare de r.loo.r de l. mantra como usltd h. indicado. L. ~g. polmei.t PHI4 pudo glsluse en ellrab.jo del liquido S

tulre las molculas del I quldo! las de la ~ parl'd .. ~ el .. t tubo in-fluye sobre la velocidad del mO\'lm\(' nlo de las capas que se encuentran Cef(anas a las paredes. Si el liquido moja al lubo, qUiere dl'Cir que en tal caso la capa de liquido qUl' se adhiere l1ireclamenle al lubo, practicamenh: no se mueve. ESTUDIANTE A: Esto si,:nilica que en el es tado final l. temperatura del Jiquido debe ser algo mayor que en el estado inicial? PROFESOR: Si Precisamente, Ahora, cambiemos un poco las cOlldklOlltS MI problema. SUllongamos que entre el I quieto

~ las parwes del lubo no ha)' ninguna in teraccin y por lo tan-lo todas las capas l i!,'nen igual velocidad 'J la friccin in terna 110 St' manifiesta. Cmo es en este caso ('1 proce,o de corri-miento del liqUido de un redpieult a olro? ESTUDIANTE A : En este caso la perdida de enerllia poten-cia l se elebe a la aparicin de enerllia cintica en el liquido. En olras palabras. el es tlldo, rl'presentado en la fi g. 43, b. no es en e~ll' caso lUl estado de n'p(&). El liquido debe cont i-llUU flu yendo del redplenle dt' la ilquierda al de la der~ha.

h3~la lalltu no alcance el l'staelo representado en la fig. 43, c. En eslas condiciones la energa potencial del liquido ~s la mis-ma que en el estado inicial. representado en la ~. 43, a. PROFESOR : Y que sucede despus con l'llquido? ESTUDIANTE A: De~pui5deesloelliquidoempieza a co rrer l'O !.t'ntidoconlrario: del r~ipenle de la ' derecha al de la izquierda. Como resultado de esto observamos la oscilacin de lO!. niveles del liquido en los vasos comunicantes. PROFESOR: Estas oscilaciones se pueden observar, si llena-mos los n:lOS comunicantes, por ejemplo. con mercurio. Como

\ , \

Fle. 44

es sabido, el mercurio no moja el vidr io. Se sobreentiende que con el tiempo estas oscilaciones se amor-tiguan, puesto que es imposible e cluir complelamenk la interaccin de las molculas elelliquido con las molculas de las paredes del tubo. ESTUDIANTE A: Veo que la tey de la cOI1!rervacin de la entrll[a se puede uliliuT ampliamente. PROFESOR: Estudiemos olro pro-blema ms. EtI utla al/a tk lrnIIIl M,

q/N c~/ia tk un hilo t/gado. ,lolpttJ utla bala di me-$(1 m, q~ tille/ti horjwnta/mentl ron una ut/ocidod ti y Jt

"

incrus la en 111 cuja. A qutO/IUfO H 91' e/tvo lo co io al dtsviorf;t tI lulo di: $11 posKitNl de equilibrio por ti impacto ~ lu bala (1Ig. 44 ESTUDIANTE A: UlImemos ti, a la velocidad de la caja in medial amen le de5pus del impacto. Para encontrar estl velo- cidad ut ilicemos la ley de la conservacin de la tnergfa

mtl:,2 >= (m + M) v:t2. (SO) de donde

t, """", u.V mf (m + M ). (5 1) Conociendo esla velocidad, encontramos la alt ura H I que se eleva la caja ulil iundo nuevamente la ley de J. con:ltf-vltCin de la energia

(m + M)gU ... (m+M)tI:/ 2. (52) Si juntamO! las relaciones (SO) y (52):

(m + Al) gH '"" mtl:n, obtenemos

H .. (u: /2g) m./(m + M) . (53) ,

PROFESOR (dirigitndose al es tudiante B) : (Usted cmo pltnsa? ESTUDIANTE 8 : Yo noesloy de acuerdo con la solucin Gue !>t le da al problema . Nos han hab lado de que m casos como ste hay que utilita r la ley de la conservacin de la cantidad de movimiento. Por lo lan to, en vez de la frmula (50) yo utilizarla otra relaci6n: '

mtI, = lm + M)o, (54) (la cantidad de movimiento rte la bala antes del impaclo es igul l a la cantidad de movimiento de la caja con la hala incrus tada despus del choque). De aqul se deduce. que

ti, "" 11,m/(m + M) . (55) Si de~pus de esto uti lizamos II le) de la conservacin de la energla (52) )' colocamos en (52) el resu llldo (55), obten dremos

H _ M /2g) m'f(m + M)'. (56) PROFESOR : Aql1l tienen usledrs un ejemplo bien dlro de dos opiniones diftfen!rs y de dos resultados diferentes . LI tserK:ia de este desacuerdo sr basa tr1 que. M un cno, plrl el choquf' de la bllll cont ra II ca ja se util ill 1, ley de II COfl.stn'I-.,

cil'm de la t'11t'r::ia cint ica. ",jtntra~ qUl' tn ti otro ns.o e 3po~a en la Il' }' de la con~r\'acl n dl' la Clt'1tldad de movi Iml'lIlo. Qllien liene la razll? (Dirigiendrue a/ estlldian/e A): Que puede usted dl't:ir para lundamentar so posicin? ESTUDIANTE A: A mi no.-e me vino a la cabeza uti lizar la Il'}' de la (Ofbl'r\'acin de la calltdaE' al estudiante B); Uslf'd qlJC opio na? ESTUDIANTE 8: No se l'fI qUl; basar mi posicin. Yo rl't:ul'l" do que cuando estudiamos 111' choqul's, la ley de la conSl'rva cin de la canlidad de movin)!!'nto SI' cumpla en lodl)S los casos, mienlras que la ley de la con~rvacin de la t'flergia no siempre ~ cumple. Puesto que en el caso dado estas dos leyes conducen a resultados diferentes. entonces, por lo visto, 1'1 resultado CO((('(:to es juslamente el mio. PROFESOR: Efectivamente. Sil resullado es corree/o. Sin embarRO, es o('(:('S.lIrio esludiar mejor esle asun lo. El choque, despues del cual los dos cuerpos que colisionan !ot mUtven en conjunto, es decir. pegados uno a otro (o el uno den tro del olro), se llama _choque absolulamenle inelast ic(p. Esle choque e caracteriza por la presencia de una deformacio permanente. razn por la cual despus de su colisio se desprende uoa citrta (antidad de tllor y, por lo lanto. la relacin (50), que induye solamente las energias cinl icas de los cuerpos, es inadmisible. En tal caso. para enconlrar la velocidad de la caja con la bala ionustada despues del choque l'S nl"Cesario utilinr la ley de la conservacin de la cantidad dI' movimiento (54) . ESTUDIANTE A: Quiere decir, que para un choque abso-/II /aml'llle ine/sstien no .se cllmple la ley de la C

La primt'ra de t's tas f'Cuadont's tllpre53 la ley de la (Onsen'a civn (lt' la canlidad de lIlovimitnlO 'j la ~gi.lnda la It'j dt la

con~r\f~cin dI' la tl,ergla (incluyendo no ~Jo la energia tJ1f'C~nica. ~ino lambin el calor desprendido). El S;SIfl113 de f'Cuadones (57) contiene dos magnitudes desconocidas: 0', y Q. Dtll'rminando 11, de la primera l'Cuadn, ~ puede utilizar ta st1lunda pata encontrar 1'1 calor desprendido Q Q- (lIw:m - tm + Mjm'II: /2 (m + M)' ... "'~! ( l -m ~ M ).

(58, De aqu podem::l5 vtr que cuanto mayor ~a la ma~a M, tanto ma\"Or cantidad de energia se invierte en calor. Y en el limite. cuanoo la maSll M se hace infinitamente grandt, obttnemos Q= IIr,: 2. es dh; ' . toda la tnergia cin~lica ele la bala se con vitrte l'f1 CBIOf". Esto es romple tamenle natural: supon~a usted 'lut una bala se incrusta en la Ilared. ESTUDIANTE A : Son posiblts los choques sin rlt~prtndimitnto ele calor? f'ROf"ESOR: Si. eslo~ choques son po:;ib les)' reeiben el nom-tlre de .choques absolutamente tlisticos_. Por tjfmplo. 1'1 choque ele dos f sll'uS de actro, con un buen grado de aproxi. ll1acin, se puede considerar como UJI choque absolutamente rl~stico . En n t!' caso hav una' dtlormacin de las tsleras completaml'nte elist ica y 110 ha )' desprendimiento de calor :

De~pos dtl choque las esltta~ reeol1eran so lorma inicial. ESTUDIANTE A: Es deeir ,

choqu~ absolulam .. nle in,1.1~lIco los CUl'rI'O'i que colisionan $t mu'~t'11 fon ulla lI11sma \l'loc ldad IPor cuanto lot junlan), d~WU"5 dI' un choqu~ ~1.i~llcO cada cu~rpo se mu~vecon su pro-pIa \~Iocidad. y paTa ('ncoulrar las dos Incgnitas se nec,sitan precl~aml'n'l.' las dos ecuacion's, Veamos un ~jemplo. Un cuerpo dI' ",a~a In se mue\'e coo una velocidad u. )' choca ,n lorma el~st lca con otro CUt'f pO de masa M que se Mcuentra en reposo Supongamos qu, como fe:.ultado d,1 choque el primt'r cu,rpo l'S Techando hacia atris. Llamaremos l'l a la v,locidad d,1 cuerpo dI' masa In d,~pues d,1 chOQue y v. a la v~locidad d,1 currpo M . En e:.le callO las leyes de la cOI1SftVaCill de la canlidad de movimi'1I10 y lIe la Mergia se puede escr ibir 1.'11 l. forma siglllt'nte:

nw. ""!u.-mu,, } 1111':, 2 ... Mv: l :;! I 1II1,t2. (59)

Quiero que presten su atencin al signo menO'> de la primera KuaCln Este aparKe, puesto que hemos ~upuesto que ,1 cuerpo que choca es rhalado y despus del choqul' se mue\e en

PROFESOR: Si, lo qul' ustt'd dice ~ CLerto, N~tros hemos analiudo ~I ClSO parl icu1.lLr de un choque cenlral : las esteras !ot. mueven anlts dfl choquf y dtspuis de ':511' a lo largo de 1,

r~la qUo! pasa por sus adenlros. El caso ms l.'tneTal de un choque .no cl'ntralo lo tstudi3TI'mos ms .delanle , Ahora qui sier. sahtr si ustedes han entendido bien mLS explicaciones. ESTUDIANTE A: Vo. por ejemplo, I'nll'ndi. Stogn hl' como prendido, en cualquiff clsSot dI' choque (1'lstico o inl'lsllcol se cumplen dos leyes: ta ley de la conseTvaciul1 dI' la cantI dad de movimiento y la de la ener~ia , Simplemente, para dile renles cllLses de choques exi sten diferen tes formas de ~U~C IO' nes para de!oC:ribir las leyes de la conM'f\'acin. En el anllsLs de los choques ind;isticos adems de la energa mecnica ha y que tenff en cu Lta el calor desprendido en la colislun. PROFESOR: Su obsl.-rvacifl f'S justa. ESTUDIANTE B: ~un ent Iendo, los choque~ ab'oOlutamm te el;isllco y absolu tamente .. elstico r('llr~ntan dos casos extremos. tS1emprl' podl'f11os hacer uso de tilos al d~nbi( los ChoqUH reales? PROFESOR: S, ~ vl'rdad . La claSC' dI' choqul's que hnnosH' tudiado .wn casos extremos. En los casos rl'lllt'll sil'f11pre hay dtsprendimiento de una cierta cantidad de

velocidad de la bola que buscamos y 11. a la velocidad dd cuer po/M. Por cuanlo el choque tos elstico, lengo derecho a (OOsi derar que la enerela cinttica :le conserva:

mvt2 mv!, 2 + MII!f2. (60) Nt