Preiserhöhungen, Lohnerhöhungen, Steuererhöhungen, ………Preisermäßigungen, Lohnabzüge, Wertminderungen, ……….. werden meist nicht absolut in €, sondern relativ in % angegeben.

Vermehrter- und verminderter Grundwert G+ und G-

„ Die Heizkosten steigen um 5 %“

Die drei Größen G, P und p der Prozentrechnung werden um die Begriffe G+ , G- und q erweitert:Den Ausgangswert nennen wir weiterhin Grundwert G. Die relative Erhöhung in % ist der Prozentsatz p.Die absolute Erhöhung in € ist der Prozentwert P.Den erhöhten Betrag nennt man den vermehrten Grundwert G+.Den gesenkten Betrag nennt man den verminderten Grundwert G-.Den Änderungsfaktor nennt man q.

Die Aktienkurse sinken um 3 %“

Verminderter Grundwert G-

Bsp: Der Eintritt ins Kino kostet 6,00 €. Der Eintrittspreis wird um 10% ermäßigt. Wie viel kostet der Eintritt nach der Ermäßigung ?

Berechnung in 2 Schritten:

1. Zuerst berechnen wir den Prozentwert P: P = 10% von 6,00 €

P = 0,1• 6 = 0,6 P = 0,60 €

2. Dann subtrahieren wir den Prozentwert vom Grundwert:G- = G - PVerminderter Grundwert G- = 6,00 € - 0,60 € = 5,40 €

Antwort: Der Eintritt kostet nach der Ermäßigung 5,40 €

Grundwert in %

100 %

Grundwert in €

6,00 €

10 %

Ermäßigung in €

90 %

Verminderter Grundwert G-

5,40 €

Mithilfe der Rechengesetze ( hier Ausklammern) kann mandie beiden Rechenschritte zu einem einzigen zusammenfassen:

6

0,1∙ 6

Ermäßigung

Grundwert in €

Verminderter Grundwert G-

= 6 ∙ ( 1 - 0,1 )

0,9Durch Ausklammern erhält man den Faktor 0,9

G- = 6 ∙ 0,9 G- = 5,40

So kann man den Verminderten Grundwertdurch eine Multiplikation berechnen:

∙0,9 ∙0,9

Verminderter Grundwert G-

0,60 €

Verminderter Grundwert G-

Ermäßigungin %

6 - 0,1∙ 6

Bei einer Senkung um p% werden immer die gleichenRechenschritte durchgeführt:

Grundwert

G

P

Senkung Verminderter Grundwert G-

G - P

Grundwert

G

Senkung Verminderter Grundwert G-

G •p

100

p100G - G •

Durch Ausklammern erhält man für jede Senkung einen Faktor q:

p100G- = G - G • = G ∙ ( 1 - )p

100= G ∙ q

q

Verminderter Grundwert G-

Zusammenfassung:

- Eine Verminderung um 1% führt zum Faktor q = 0,99 G - G∙ 0,01 = G∙ ( 1 - 0,01) = G∙ 0,99

Jede Verminderung um p% führt zu einem Faktor q, mit dem man den Verminderten Grundwert berechnen kann G- = G ∙ q

- Eine Verminderung um 5% führt zum Faktor q = 0,95 G - G∙ 0,05 = G∙ ( 1 - 0,05) = G∙ 0,95

- Eine Verminderung um 10% führt zum Faktor q = 0,9 G - G∙ 0,1 = G∙ ( 1 - 0,1) = G∙ 0,9

- Eine Verminderung um 15% führt zum Faktor q = 0,85 G - G∙ 0,15 = G∙ ( 1 - 0,15) = G∙ 0,85

- Eine Verminderung um 50% führt zum Faktor q = 0,5 G - G∙ 0,5 = G∙ ( 1 - 0,5) = G∙ 0,5

Verminderter Grundwert G-

Übung: Ergänze jeweils die Tabellen.

Senkung - 4 % - 4,5 % - 14 % - 14,5 %

Faktor q

Senkung

Faktor q 0,7 0,75 0,25 0,995

- 30 %

0,96 0,955 0,86 0,855

- 25 % - 75 % - 0,5 %

Verminderter Grundwert G-