Chumaña ByronGarcía MarjorieMuenala Edwin

Proyecto de Investigación relacionado a la aplicación del Cálculo Integral

Facultad de Ingeniería en Geología, Minas, Petróleos y Ambiental

Universidad Central del Ecuador

“Presa de Arco”

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN

PROPUESTA

OBJETIVOS

JUSTIFICACIÓN

CAPITULO I: MARCO TEÓRICO1.1 CONCEPTO DE INTEGRAL1.2 INTEGRAL DEFINIDA1.2.1 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA1.2.2 FUNCIÓN INTEGRAL1.3 VOLUMEN DE UNA FUNCIÓN

RECURSOS1.4 RECURSOS HUMANOS1.5 RECURSOS ECONÓMICOS

CRONOGRAMA

CAPITULO II: APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA EN PROBLEMAS DE CÁLCULO DE VOLUMEN ‘PRESA DE ARCO’2.1 PARAMETROS PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LA PRESA2.1.1 CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DEL HORMIGÓN2.2 DIMENSIONES DE LA PRESA2.3 ECUACIONES PARA CALCULO INTEGRAL2.4 RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA

CAPITULO III: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES3.1 CONCLUSIONES

ANEXOS

BIBLIOGRAFÍA

INTRODUCCIÓN

Hasta ahora únicamente hemos aprendido a calcular integrales, sin plantearnos la

utilidad que estas pueden tener. Sin embargo, la integral definida es un método rápido

para el cálculo de áreas volúmenes, longitudes, etc., lejos de los procesos lentos y

laboriosos que empleaban los griegos. En física su empleo es constante al estudiar el

movimiento, el trabajo, la electricidad.

Como tema principal en este proyecto utilizaremos el cálculo integral, para el

cálculo de volumen aproximado de concreto que se usaría en la construcción de una

Presa de Arco.

Las presas se proyectaron al principio para asegurar reservas de agua en las

épocas de sequía. Conforme los conocimientos técnicos han progresado, han sido

dedicadas a otros menesteres, tales como formación de lagos de recreo, saltos

generadores de energía o previsión de riadas.

Junto con esos beneficios, una presa puede implicar daños ecológicos y obliga a

recolocar a las personas e incluso la fauna de la zona. Así mismo, una presa de

construcción deficiente supone un riesgo de catástrofe para la región de su entorno.

Uno de los diseños empleados en la construcción de presas, es la Presa de Arco.

Suele utilizarse en cañones estrechos y se curva hacia el agua que contiene. La fuerza

del agua presiona las paredes de la presa contra el cañón, de manera que la roca hace

de soporte adicional para la estructura. Eso permite, ahorrar materiales en la

construcción de la presa, por comparación con las de soporte vertical.

PROPUESTA

¿Cómo resolver problemas de volumen en edificaciones, mediante la aplicación

de cálculo integral, haciendo énfasis en la integral definida?

OBJETIVOS

Adquirir destreza en el cálculo de volúmenes mediante el uso de Integrales

Definidas.

Demostrar que el cálculo integral resulta ser muy útil en las acciones que se

realizan en la vida diaria.

Aplicar Cálculo de Integral Definida en diferentes tipos de edificaciones.

JUSTIFICACIÓN

El Cálculo Integral, constituye en una herramienta básica para orientar el

desarrollo de los conocimientos, habilidades y destrezas para el estudio de temas

relacionados a la construcción, donde deja de ser abstracta e inaplicable y pasa a ser

práctica y aplicable a soluciones de problemas actuales en el campo de problemas de

construcción.

De allí que consideramos que la presente investigación, se constituye en una

herramienta de investigación y consulta para todo estudiante que se encuentra en

proceso de formación profesional.

CAPITULO I

MARCO TEÓRICO

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas,

especialmente en los campos del cálculo.

El cálculo integral es el proceso inverso a la diferenciación. Es decir, es el proceso de

determinar la función cuando se conoce su derivada se llama integración, y la función

de determinar se denomina la antiderivada o la integral de la función dada, o de otra

manera dada la derivada de una función se debe encontrar la función original. Por

ejemplo, podemos estar manejando un modelo de costos en que el costo marginal es

una función conocida del nivel de producción y necesitamos calcular el costo total de

producir X artículos.

Principio.- Con el objeto de evaluar la antiderivada de alguna función f(x), debemos

encontrar una función F(x) cuya derivada sea igual a f(x), por ejemplo, supongamos

que f(x)= 3x2. Puesto que sabemos que (d/dx)(x3)= 3x2, concluimos que podemos decir

F(x) = x3, en consecuencia, una antiderivada de 3x2 es x³.

El cálculo integral también involucra un concepto de límite que nos permite determinar

el límite de un tipo especial de suma, cuando el número de términos en la suma tiende

a infinito. Con él podemos conocer la tasa de producción de un pozo de petróleo como

función del tiempo y debemos calcular la producción total durante cierto periodo. ¡Ésta

es la verdadera fuerza del cálculo integral!

1.2 Integral definida

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada

entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

La integral definida se representa por 

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

1.2.1 Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de

integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como

una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por

la integral de la función.

1.2.2 Función integral

Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define

la función integral:

que depende del límite superior de integración.

Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero

si la referencia es a la variable de F, se la llama x.

Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la

curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo

[a, b].

1.3VOLUMEN DE UNA FUNCIÓN

Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la

figura rota alrededor del eje X, ésta genera un sólido de revolución cuyo volumen

tratamos de determinar.

Un volumen con forma de toro (geometría) se obtiene por la rotación de un círculo.

Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos

El volumen de los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos

se puede obtener mediante las siguientes ecuaciones cuadráticas.

Rotación paralela al eje de abscisas (Eje x)

El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos

gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es

decir, una recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado

por la siguiente fórmula genérica

En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b

alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la

fórmula:

 método de discos.

Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)

Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por

el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera, f(x) y g(x), en un

intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya

expresión es x=K siendo K constante positiva. La fórmula general del volumen de estos

sólidos es:

Esta fórmula se simplifica si giramos la figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a

y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado

por:

 Método de cilindros o capas.

RECURSOS

2.1 RECURSOS HUMANOS

Contamos con la ayuda del docente, quién nos guió para la realización del proyecto al

igual que un grupo de estudiantes capaces de realizar el proyecto.

2.2 RECURSOS ECONOMICOS

Con la ayuda de los integrantes del grupo obtuvimos los materiales necesarios para la

creación de la maqueta que será una representación a escala del proyecto real.

Materiales

Tabla de madera de balsa

Molde de aluminio´

Pistola de silicona

Silicona

Cartón

Cartulina

Tijeras

Arena

CRONOGRAMA

CAPITULO II

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA EN PROBLEMAS DE CÁLCULO DE VOLUMEN

‘PRESA DE ARCO’

2.3 PARÁMETROS PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LA PRESA

Las presas de hormigón las más utilizadas en los países desarrollados ya que con éste material se pueden elaborar construcciones más estables y duraderas; debido a que su cálculo es del todo fiable frente a las producidas en otros materiales.

Las presas de arco generalmente se clasifican en delgadas, medianas y gruesas

dependiendo de la razón entre el ancho de la base (b) y la altura (h): Delgada: b/h < 0,2

Media: 0,2 < b/h < 0,3 Gruesa: b/h > 0,3

2.1.1 CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DEL HORMIGÓN

Las principales características físicas del hormigón, en valores aproximados, son:

Densidad: en torno a 2.350 kg/m3

Resistencia a compresión: de 150 a 500 kg/cm2 (15 a 50 MPa) para el hormigón

ordinario.

Existen hormigones especiales de alta resistencia que alcanzan hasta 2.000 kg/cm2

(200 MPa). Resistencia a tracción: proporcionalmente baja, es del orden de un décimo

de la resistencia a compresión y, generalmente, poco significativa en el cálculo global.

Tiempo de fraguado: dos horas, aproximadamente, variando en función de la

temperatura y la humedad del ambiente exterior. Tiempo de endurecimiento:

progresivo, dependiendo de la temperatura, humedad y otros parámetros. De 24 a 48

horas, adquiere la mitad de la resistencia máxima; en una semana 3/4 partes, y en 4

semanas prácticamente la resistencia total de cálculo.

Dado que el hormigón se dilata y contrae en magnitudes semejantes al acero, pues

tienen parecido coeficiente de dilatación térmico, resulta muy útil su uso simultáneo en

obras de construcción; además, el hormigón protege al acero de la oxidación al

recubrirlo.

El hormigón es el material resultante de unir áridos con la pasta que se obtiene al

añadir agua a un conglomerante. El conglomerante puede ser cualquiera, pero cuando

nos referimos a hormigón, generalmente es un cemento artificial, y entre estos últimos,

el más importante y habitual es el cemento portland. Los áridos proceden de la

desintegración o trituración, natural o artificial de rocas y, según la naturaleza de las

mismas, reciben el nombre de áridos silíceos, calizos, graníticos, etc.

El árido cuyo tamaño sea superior a 5 mm se llama árido grueso o grava, mientras que

el inferior a 5 mm se llama árido fino o arena. El tamaño de la grava influye en las

propiedades mecánicas del hormigón. La pasta formada por cemento y agua es la que

confiere al hormigón su fraguado y endurecimiento, mientras que el árido es un material

inerte sin participación directa en el fraguado y endurecimiento del hormigón. El

cemento se hidrata en contacto con el agua, iniciándose diversas reacciones químicas

de hidratación que lo convierten en una pasta maleable con buenas propiedades

adherentes, que en el transcurso de unas horas, derivan en el fraguado y

endurecimiento progresivo de la mezcla, obteniéndose un material de consistencia

pétrea.

Una característica importante del hormigón es poder adoptar formas distintas, a

voluntad del proyectista. Al colocarse en obra es una masa plástica que permite

rellenar un molde, previamente construido con una forma establecida, que recibe el

nombre de encofrado.

CÁLCULOS

A1= π (12,5)²– (10)²

A1= π (56,25)

A1= π ( 2254 ) =

176,712

A1= 88,36 cm²

V= 88,36 x 25

V= 2209 cm³

P1= (10; 25)

P2= (12,5; 0)

0= 25x + 2,5y – 312,5

0= 10x + y – 125

Y = -10x +125

12,5

10

V=π2∫0

25

(¿ 125− y10

)² ¿ dy

V= π200

∫0

25

(¿125−4) ² ¿ dy

V= π200

∫0

25

15625−250 y+ y ²

V= π200

(15625 y−250 y2

2+ y ³3

) ∫0

25

❑

V=π200

(390625−78125+5208,33)

V=π200

(317708)

V= 4990

P3= ( 8 ; 18)

P4= (5; 0)

0= 18x - 3y – 90

0= 6x - y – 30

Y = 6x - 30

V=π2∫0

18

(¿ y+306

) ² ¿ dy

V= π72

∫0

18

(¿ y ²+60 y+900)¿ dy

V= π72

( y3

3+ 60 y

2

2+900 y) ∫

0

18

❑

V=π72

(27864 )

VT= 8414,8 cm³

CAPITULO IIi

Conclusiones

Podemos observar que en la vida diaria, se puede utilizar los cálculos

matemáticos con excelentes resultados para el progreso de sociedad.

Aprendimos utilizar la destreza de las integrales definidas para verificar que son

aplicables en la industria, con márgenes de errores mínimos para evitar

accidente.

Bibliografía

http://issuu.com/jr.econde/docs/proyectos_de_calculo_integral

http://biblio3.url.edu.gt/Libros/2012/calc/6.pdf

http://www.vitutor.com/integrales/definidas/integrales_definidas.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Hormig%C3%B3n#Resistencia

http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lido_de_revoluci%C3%B3n

https://www.google.com.ec/search?

q=ejemplo+de+cronograma+de+un+proyecto&oq=ejem&aqs=chrome.1.69i57j69i59j0l4.2112j0j4&sourc

eid=chrome&espv=210&es_sm=122&ie=UTF-8