presenta: maría susana sánchez...

Instituto Politécnico NacionalEscuela Superior en Física y Matemáticas

ESTUDIO DE ALGUNOS CONVERTIDORES LÍNEALES DE ENERGÍA

T E S I SQUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN FÍSICA

PRESENTA:

María Susana Sánchez Palacios

Director de tesis:

Dr. Luis A. Arias Hernández

UP Zacatenco México D.F. Febrero 2006.

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ResumenEl acoplamiento entre dos procesos se puede hacer de tal manera que uno

de ellos transcurra en una direccion no natural pasando a un estado de mayorenergıa mientras que el otro pase a un estado de mınima energıa aumentandola entropıa del universo. Este es el caso de una maquina de Atwood funcio-nando en el vacio o dentro de un medio viscoso, es decir, en conjunto estosprocesos son espontaneos, en donde la masa mas pesada levanta a las masligera, en analogıa con las reacciones de sıntesis de ATP en donde la reaccioncon mayor caida de energıa libre puede acoplarse a otra reaccion para im-pulsarla en una direccion forzada aumentando la entropıa del universo. Estasanalogıas se dan en el contexto de la Termodinamica Irreversible Lineal (TIL)(capıtulo 2), despues de hacer un analisis de la maquina de Atwood en losmedios mencionados (capıtulo 1). Posteriormente, en el capıtulo 3 hacemosun analisis de un convertidor lineal de energıa con tres flujos y tres fuerzasgeneralizadas e irreducibles, las cuales pueden acoplarse en diferentes formas,dadas dos combinaciones posibles de la energıa de entrada y la energıa desalida, esto se hace en diferentes regımenes de trabajo encontrando expresio-nes para las funciones caracterısticas (funcion de disipacion Tσ, potencia desalida P y funcion ecologica E) en terminos de los grados de acoplamientoque dependen fuertemente del grado de acoplamiento entre los flujos maneja-dos. Estas funciones nos ayudan a describir el funcionamiento del convertidorlineal de energıa a presion y temperatura constantes reduciendose a un sis-tema caracterizado por dos flujos y dos fuerzas haciendo las aproximacionesadecuadas. Una aplicacion de estos resultados se da con un sistema formadopor tres masas acopladas en serie.

ii

AbstractThe coupling between two processes can be construct in a manner that

one of they take a nonatural direction toward to the next level of energy stateand the other to a state with minimum energy estate, increasing the universentropy. This is the case of the Atwoods machine, working in a vacuum orwithin viscous medius, it is, altogether these processes are spontaneous, inwhere a heavy mass is using to raise a light mass, in analogy with the ATP-synthesis reaction in which the reaction with greatherfall of free energy candrive other reaction in a forced direction increasing the entropy universe. Thisanalogies can be found in the linear irreversible thermodynamics context,(chapter 2) after an analysis of the Atwood machine in the mentioned medium(chapter 1). Later in the chapter 3 we do an analysis of a energy linearconverter with a coupling between three fluxes and three forces, these fluxescan be coupling in two possible combinations of the output energy and theinput energy, this analysis was made for diferents regimes expressions forthe characteristic functions (disipation function Tσ, power output P andecological funtion E) of the coupled degrees and these functions dependentstrongly of the coupled degree between the driven fluxes. These functionhelp to describe the operation of the linear converter of energy at constantspressure and temperature. An aplication of these results was applied to asystem composed by three coupled masses.

Indice general

1. Maquina de Atwood 11.1. Definicion de funciones para un convertidor mecanico . . . . . 1

1.1.1. Definicion de sistema mecanico . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. Potencia de Salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3. Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.4. Funcion de Disipacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.5. Funcion Ecologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.6. lema g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Descripcion de la Maquina de Atwood . . . . . . . . . . . . . 41.2.1. Maquina de Atwood en el vacio (MAV) . . . . . . . . . 41.2.2. Maquina de Atwood en un Medio Viscoso (MAINMV) 12

2. Analogıas entre procesos quımicos y mecanicos acoplados 212.1. Def. de Funciones para un Convertidor Lineal de Energıa . . . 21

2.1.1. Funcion de Disipacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.2. Potencia de Salida y Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Primera y segunda leyes de la termodinamica . . . . . . . . . 232.2.1. Energıa libre y constante de Equilibrio . . . . . . . . . 252.2.2. Enzimas e inhibidores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3. Analisis de 2 reacciones de sıntesis de ATP . . . . . . . . . . . 272.4. MAINMV en el contexto de la TIL . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4.1. Ecuaciones Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4.2. Funciones Caracterısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4.3. Relaciones Fenomenologicas . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. Analisis de un convertidor lineal de energıa 353.1. Optimizacion de Procesos Irreversibles . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.1. Ecuaciones Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

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iv INDICE GENERAL

3.1.2. Funciones Caracterısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.1.3. Criterios de Optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . 403.1.4. Sistema caracterizado por 2 flujos manejadores . . . . . 48

3.2. Acoplamiento entre 3 masas(A-3m) en un medio viscoso µk . . 533.2.1. Caso lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2.2. Flujos y fuerzas para el acoplamiento-3m . . . . . . . . 55

Introduccion

Dentro del contexto de la termodinamica irreversible lineal propuesta porOnsager, Prigogine y De Groot [1,2] de flujos y fuerzas generalizadas se hanpodido estudiar los cambios en la entropıa en la sustancia de trabajo dealgun sistema termodinamico y de esta manera se ha llegado a compren-der una gran cantidad de procesos convertidores de energıa. Estos procesosson de gran importancia dentro del mundo biologico y han sido estudiadosdesde un punto de vista termodinamico por varios autores (ver por ejem-plo [3]). Algunos de estos procesos convertidores de energıa son: los vientosde la atmosfera, que son producidos por la energıa solar [5], la contraccionmuscular (energıa mecanica), que es producida por la hidrolisis de adenosıntrifosfato ATP (energıa quımica) [6], etc. Sabemos que algunos sistemas con-vertidores de energıa no son lineales pero bajo ciertas aproximaciones sepuden considerar lıneales, los cuales han sido analizados con la ayuda de al-gunas cantidades introducidas a la termodinamica irreversible lıneal (TIL)desarrollada por Caplan y Essing [3], donde ellos introducen definiciones depotencia de salida y eficiencia a presion y temperatura constantes. Santillany Angulo [7] hacen un analisis de dos convertidores de energıa, de sıntesisde ATP, mediante glucolisis anaerobica y respiracion aerobica y demuestranque siguen diferentes criterios de optimizacion termodinamica, encontrandoexpresiones para la potencia de salida, eficiencia, produccion de entropıa yfuncion ecologica [11].

El objetivo principal de esta disertacion de maestrıa es el de hacer unanalisis de diferentes convertidores de energıa construidos por el hombre quese llevan a cabo espontaneamente para encontrar algunas analogıas con lasreacciones de sıntesis de ATP mediante glucolisis anaerobica y respiracion.En el capıtulo uno de este trabajo se presenta el estudio de un convertidorde energıa llamado ”Maquina de Atwood” tanto en el vacıo como dentrode un medio viscoso, para determinar las ecuaciones que caracterizan a este

v

vi INDICE GENERAL

proceso mecanico trabajando en el contexto de la mecanica clasica. En elcapıtulo dos se hace un analisis cualitativo de dos reacciones de sintesıs deATP para poder comparar sus resultados con las funciones que caracterizanal proceso mecanico ”Maquina de Atwood dentro de un medio viscoso” anali-zado en el contexto de la termodinamica irreversible lineal. Por ultimo, en elcapıtulo tres analizamos el funcionamiento de un convertidor lineal de energıacaracterizado por tres flujos acoplados y sus fuerzas generalizadas, diremosque criterio de optimizacion termodinamico es mas conveniente dando unaaplicacion a los resultados obtenidos.

Capıtulo 1

Maquina de Atwood

1.1. Definicion de funciones para un conver-

tidor mecanico

Para describir el funcionamiento de la maquina de Atwood, primero defi-niremos algunas funciones que nos seran de gran utilidad, como por ejemplo:el trabajo realizado durante el proceso W, la eficiencia η, la funcion de disipa-cion Tσ o combinaciones lıneales de estas, tales como la Funcion EcologicaE.

1.1.1. Definicion de sistema mecanico

Primero consideremos un sistema arbitrario, alrededor del cual hay unacurva cerrada imaginaria llamada frontera del sistema. El sistema tiene den-tro de su frontera, una energıa que puede incluir muchas formas de energıa,por ejemplo: la energıa potencial U, la energıa cinetica K, y la energıa internaEint; y las interacciones con el entorno se representan en terminos de trabajo(externo) W. La energıa del sistema dentro de la frontera puede ser cambiadasolo cuando el trabajo externo W actua sobre el sistema (el trabajo interno,efectuado dentro de la frontera del sistema al actuar una parte del sistemasobre otra, no cambia la energıa del sistema, puede convertirla de una formaa otra, tal como de potencial a cinetica).Por lo tanto, escribiremos el balance de energıa del sistema de la siguienteforma:

1

2 CAPITULO 1. MAQUINA DE ATWOOD

Figura 1.1: Representacion esquematica de un sistema arbitrario.

�U + �K + �Eint = Wext (1.1)

donde W ext representa el trabajo externo total efectuado por todas lasfuerzas a traves de las cuales actua el entorno sobre el sistema.

1.1.2. Potencia de Salida

Para un sistema mecanico, la potencia mecanica como consecuencia deltrabajo mecanico es definida como la razon a la que se efectua trabajo. Porlo tanto, la potencia de salida Ps desarrollada por un agente que ejerza unafuerza particular sobre un cuerpo es el trabajo total efectuado por esa fuerzasobre el cuerpo entre el intervalo de tiempo total, es decir,

Ps =Wext

t.(1.2)

la unidad de la potencia es el joule por segundo=1Watt en honor a JamesWatt (1736-1819).

1.1.3. Eficiencia

La eficiencia de un proceso mecanico la definimos como la conversion deenergıa de salida entre la energıa de entrada del sistema, es decir,

1.1. DEFINICION DE FUNCIONES PARA UN CONVERTIDOR MECANICO3

η =energıa de salida

energıa de entrada(1.3)

tal que esta funcion es adimensional.

1.1.4. Funcion de Disipacion

La funcion de disipacion esta definida como la energıa no utilizable parallevar a cabo el objetivo del proceso, es decir, como la energıa de entradamenos la energıa de salida por unidad de tiempo donde T0 es la temperaturaa la que se encuentra el sistema y σ es la entropıa, expresada de la siguienteforma:

Φ = T0σ = T0

(energıa de entrada − energıa de salida

t

). (1.4)

donde T0 es la temperatura a la que se encuentra el sistema y σ la produc-cion de entropıa, por ejemplo, si no hay perdidas ya sea por friccion u otrosmecanismos y toda la energıa de entrada del sistema es la de salida, esteno seria disipativo y se tendrıa entonces que el sistema mecanico trabajarıaal 100 %, que no ocurre en las maquinas construidas por el hombre, por lotanto, en las maquinas construidas por el hombre sı hay disipacion.

1.1.5. Funcion Ecologica

La Funcion Ecologica E esta definida en el contexto de la Termodinamicade Tiempos Finitos(TTF) [11] como una funcion que representa un compro-miso entre potencia de salida alta y baja produccion de entropıa, que paramaquinas termicas endoreversibles tiene la propiedad de que la potencia desalida en el regimen de maxima E es aproximadamente el 80 %, que en elregimen de maxima potencia de salida. Mientras que la produccion de en-tropıa se reduce aproximadamente a un 30 %. Por esta razon, E es llamadafuncion ecologica.

De la misma manera como se definio E en el contexto de la TTF, eneste caso definimos una funcion ecologica para sistemas mecanicos como unafuncion que mida el compromiso que hay entre la potencia de salida delsistema y su disipacion de la siguiente manera,

E = P − Tσ. (1.5)


Por otro lado, tenemos que la potencia de salida y la funcion de disipa-cion estan relacionadas mediante una funcion g(η) que termodinamicamentees una consecuencia directa del uso de primera y segunda ley de la termo-dinamica, conocido como lema g.

1.1.6. lema g

Sea g(η) una funcion de la eficiencia, que relaciona la potencia P con ladisipacion total T0σ de un sistema mecanico, que trabaja isotermicamente auna temperatura T0, tal que:

P = g(η)T0σ (1.6)

con g(η)= ηηmax−η

, en donde η es la eficiencia del sistema mecanico y ηmax laeficiencia maxima.

1.2. Descripcion de la Maquina de Atwood

La maquina de Atwood [8] es un convertidor de energıa mecanico queesta formado por un conjunto de masas m′ a una elevacion z igual a cero(considerado como el cero de energıa potencial) y otro conjunto de masasm>m′ a una elevacion z=h, acopladas por medio de una cuerda ideal (inex-tendible e incompresible) de longitud l, y que por lo tanto se aceleran a lamisma velocidad a lo largo del eje z, y poleas (de masa despreciable) en dondeno consideramos disipacion.

1.2.1. Maquina de Atwood en el vacio (MAV)

Primero consideremos que nuestro sistema esta formado por la maquinade Atwood en el vacıo, entonces, solo habra una transferencia de energıa,el trabajo positivo W g efectuado sobre el sistema por la fuerza gravitacio-nal. Para analizar el funcionamiento de la maquina de Atwood en el vacıoconsideraremos el siguiente proceso: la masa m cae espontaneamente de unaaltura z=h, tal que parte de su energıa potencial es usada para subir la masam′, por lo tanto, la masa m se le llama masa manejadora dando paso a uncambio espontaneo con una contribucion positiva a la entropıa, mientras quea la masa m′ se le llama masa manejada que sufre un cambio no espontaneo ypor lo tanto, tiene una contribucion negativa a la entropıa, es decir, se trata

1.2. DESCRIPCION DE LA MAQUINA DE ATWOOD 5

Figura 1.2: Maquina de Atwood en el vacıo con dos masas acopladas pormedio de una cuerda ideal.

de un proceso irreversible que alcanza su equilibrio cuando la masa m′ llegaa la altura z=h y la masa m llega a z= 0, es decir, Um(z= 0)= 0. Por lotanto, el cambio en la energıa cinetica es cero �K=0 porque las masas par-ten del reposo y llegan al reposo, y tambien el cambio en la energıa internadel sistema �Eint=0, puesto que no hay cambios en la temperatura ni en ladisposicion de las moleculas de las masas m y m′, entonces de acuerdo con elbalance de energıa tenemos que W g=�U. Tal que, el objetivo principal delproceso es elevar el mayor numero de masas m′ por unidad de tiempo a unaaltura z=h, ası como se muestra en la figura 1.2.

Suponiendo que m′ es variable encontremos como varıa la potencia desalida con la eficiencia.

Eficiencia de la MAV

De acuerdo con la definicion de eficiencia ec. (1.3), para este sistemamecanico, consideramos que la energıa que entra es solo energıa potencialgravitacional mgz y la energıa de salida tambien es solo energıa potencialgravitacional m′gz en un instante dado. Por lo tanto, la eficiencia con la quetrabaja la maquina de Atwood quedara de la siguiente forma,

η =m′gz

mgz=

m′

m< 1 (1.7)

A partir de que la eficiencia es igual al cociente de las masas, obtenemos


dos casos extremos que analizamos a continuacion:

1. Si, m′m

=1, la eficiencia es maxima pero la potencia de salida es cero,esto es porque el tiempo que se requiere para que la masa m′ llegue ala altura z=h tiende a infinito, es decir, un sistema operando a maxi-ma eficiencia no serıa util porque es como si estuvieran las masas enequilibrio.

2. Si, m′m

−→0, la masa m′ es aproximadamente cero, es decir, la cantidadde masa elevada por unidad de masa que cae serıa cero.

Funciones Caracterısticas (P, Φ y E)

Potencia de Salida de la MAV

De la definicion de potencia de salida ec. (1.2), consideremos que W ext

=W g=�U ′ donde �U ′ es el cambio en la energıa potencial de la masam ′, es decir, la energıa por unidad de tiempo que se convierte en energıapotencial por unidad de tiempo es,

P MAVs =

m′gz

t=

mηgz

t(1.8)

y t lo determinamos a partir de las ecuaciones de movimiento de m y m′.Si consideramos segunda ley de Newton y que el movimiento es a lo largo deleje z, obtenemos las siguientes ecuaciones de movimiento para las masas my m′ respectivamente,

m′••z = T − m′g (1.9)

−m••z = T − mg (1.10)

con T la tension en la cuerda y g la magnitud de la aceleracion gravitacional,observemos que la magnitud de la aceleracion es la misma en ambas masasdebido a que la cuerda es ideal y porque la direccion de la tension en lapolea cambia. Resolviendo ambas ecuaciones simultaneamente, obtenemos lasiguiente ecuacion para la aceleracion a lo largo del eje z,

••z =

(m − m′

m + m′

)∗ g (1.11)


integrando una vez con respecto al tiempo, considerando la siguiente condi-

cion inicial (a t=0,•z=0) es decir, las masas parten del reposo, tenemos que

la velocidad es,

•z =

(m − m′

m + m′

)∗ g ∗ t (1.12)

integrando nuevamente con respecto al tiempo (en t=0, z=0), obtenemos lasiguiente expresion para la variable z en terminos de t (tiempo requeridopara subir la masa m′ a una altura z=h),

z =

(m − m′

m + m′

)∗ g ∗ t2

2(1.13)

resolviendo para t,

t =

√2 ∗ z

g∗

(m + m′

m − m′

)=

√2 ∗ z

g∗

(1 + η

1 − η

)(1.14)

substituyendo t en la ec.(1.8), obtenemos la expresion general para la poten-cia de salida, necesaria para subir la masa m′ a una altura z=h, en terminosde la eficiencia,

P MAVs = mη ∗

√g3 ∗ z

2∗

(1 − η

1 + η

)(1.15)

observemos que en ηMAV =1 y ηMAV =0 la potencia de salida es igual a ceroası como se muestra en la Grafica (1.3a), es decir, son los dos casos extremosque analizamos anteriormente.

Funcion de Disipacion de la MAV

Para determinar la disipacion de la MAV primero consideremos lo si-guiente: En un proceso de conversion de energıa cuya eficiencia es menor a launidad una parte de la energıa no se convierte en trabajo, a ella se le llamaenergıa disipada. Esta cantidad de energıa es T0 veces el cambio de entropıadel universo ocasionado por el proceso irreversible. En este sistema mecanicola energıa potencial de la masa manejadora es la energıa de entrada, partede esa energıa es utilizada para subir la masa m′ y la energıa no utilizada esdisipada en el choque con el piso en forma de calor produciendo entropıa. Es


por esto, que le asociamos a la MAV una funcion de disipacion diferente decero, y de acuerdo con la definicion de T0σ ec.(1.4) queda expresada de lasiguiente manera,

ΦMAV =(mgz − m′gz)

t=

mgz ∗ (1 − η)

t(1.16)

substituyendo t en esta ecuacion,

ΦMAV = m(1 − η) ∗√

g3z

2

(1 − η

1 + η

)(1.17)

de esta ecuacion tenemos que cuando ηMAVmfd =1 la disipacion es mınima y en

ηMAVmfd =0 la disipacion es maxima, que es lo que se observa en la siguiente

grafica (1.3b) y ademas concuerda con lo ya conocido.

Funcion g(η)

Del lema g consideremos que la MAV trabaja isotermicamente a unatemperatura T0, entonces como la eficiencia maxima es uno, ηmax=1, tenemosque g(η) = η

1−η. Si multiplicamos a la funcion de disipacion ΦMAV por g(η)

tenemos,

ΦMAV ∗(

η

1 − η

)=

c(1 − η) ∗ η

1 − η∗

(1 − η

1 + η

) 12

= P MAVs (1.18)

donde c = m√

g3z2

, es decir,

P MAVs = g(η)ΦMAV (1.19)

por lo tanto la funcion g(η) relaciona la potencia de salida de la MAV con lafuncion de disipacion en concordancia con el lema g.

Funcion Ecologica para la MAV

Haciendo uso de las ecs. (1.15) y (1.17),en la definicion de Funcion Ecologi-ca (FE), esta queda expresada de la siguiente manera en terminos de la efi-ciencia,


EMAV = m(2η − 1) ∗√

g3z

2

(1 − η

1 + η

)(1.20)

Que se puede observar en la Grafica 1.3c. A partir de este resultado obtene-mos algunos puntos importantes sobre la FE:

1. Para η=1 la funcion EMAV es igual a cero, porque la MAV tienedisipacion cero y potencia de salida igual a cero.

2. Cuando η=0, la potencia de salida es igual a cero pero la disipacion esmaxima, es decir ΦMAV > P MAV

s , es por esto que la funcion ecologica podrıatomar valores negativos.

Ası como se muestra en la Grafica (1.3c).

Regimenes de operacion

De la figura (1.3) observemos que las funciones caracterısticas representanuna forma de operacion optima. En lo que sigue discutiremos esas formas deoperacion y veremos cual es mas eficiente.

Regimen a maxima potencia de salida

Para obtener el maximo de la funcion PMAV ec.(1.15) tomamos su de-rivada con respecto a la eficiencia e igualamos a cero, y lo que obtenemoses:

η2 + η − 1 = 0 (1.21)

resolviendo para η, obtenemos la eficiencia que hace que la potencia seamaxima, lo cual ocurre cuando,

ηMAVMPS =

−1 ±√5

2(1.22)

como la eficiencia es definida positiva tomando valores entre 0 y 1, tomare-mos el valor positivo de la ecuacion anterior, por lo tanto, la eficiencia quemaximiza la potencia de salida es en η = 0,618, substituyendo este valor enlas ecuaciones caracterısticas,

P MAVMPS = 0,3 ∗

√m2g3z

2(1.23)


Figura 1.3: Funciones caracterısticas para la MAV con valores de m=1kg,g=9.8m/s y z=5m, a)grafica de la potencia de salida, b)grafica de la funcionde disipacion y c)grafica de la funcion ecologica.


ΦMPSMAV = 0,19 ∗

√m2g3z

2(1.24)

EMAVMPS = 0,11 ∗

√m2g3z

2(1.25)

observemos que para un sistema mecanico como la maquina de Atwood MAVque trabaja isotermicamente a una temperatura T0 su potencia de salida esmayor que su disipacion y con una funcion ecologica menor que su potenciade salida.

Regimen a maxima funcion ecologica

El maximo de la funcion ecologica lo obtenemos tomando la derivada dela funcion EMAV (ec.1.20) con respecto a la eficiencia e igualamos a cero,

(2 ∗ η2 + 2 ∗ η − 3

)= 0 (1.26)

resolviendo para η, obtenemos la eficiencia que hace que la funcion ecologicasea maxima, por lo tanto,

ηMFE =−1 ±√

7

2(1.27)

tomando el valor positivo de η, obtenemos que ηMFE = 0,8228, substituyendoeste valor de la eficiencia en las funciones caracterısticas obtenemos,

P MAVMFE = 0,256 ∗

√m2g3z

2(1.28)

Φ = 0,055 ∗√

m2g3z

2(1.29)

EMAVMFE = 0,201 ∗

√m2g3z

2(1.30)

La eficiencia encontrada en este regimen de trabajo es mayor que la efi-ciencia que maximiza la potencia de salida ηMAV

MFE > ηMAVMPS , por lo tanto,

podemos decir que al trabajar en este regimen es mas eficiente y ademasobtenemos que la potencia de salida es menor que en el regimen anterior aligual que la disipacion de la MAV, pero con EMAV

MFE>EMAVMPS .


1.2.2. Maquina de Atwood en un Medio Viscoso (MAINMV)

Esta maquina de Atwood esta constituida de las mismas partes que lamaquina anterior, con la diferiencia de que ahora esta inmersa en un medioviscoso con coeficiente de viscosidad µk, por lo tanto, habra un flujo de calorentre las masas y el medio viscoso, pero en principio no consideraremos esteflujo de calor hacia el medio o desde el medio. Nuestro sistema estara formadopor la maquina de Atwood mas el medio viscoso, por lo tanto, solo habra unatransferencia de energıa a traves de la frontera del sistema, es decir, el trabajopositivo W g efectuado sobre el sistema por la fuerza gravitacional. Debidoa que las masas m y m′ no experimentan cambio alguno de energıa cineticaentonces, �K=0 y como no estamos considerando los flujos de calor entrelas masas y el medio no habra tal cambio en la disposicion de las moleculas,por lo tanto �Eint=0, entoces W g=�U. E igual que en el sistema anterior,el objetivo es elevar el mayor numero de masas m′ por unidad de tiempot a una altura z=h y ver que consecuencias se tiene cuando la maquina deAtwood queda inmersa en el medio viscoso de coeficiente de viscosidad µk.

En este sistema no solamente estan actuando la fuerza gravitacional y lafuerza de friccion viscosa sino tambien la fuerza de empuje que se consideradespreciable con respecto a ambas fuerzas mencionadas, debido a que noconsideramos la geometrıa en las masas.

Eficiencia de la MAINMV

La eficiencia con la que trabaja esta maquina de Atwood, como la conver-sion de energıa de entrada mgz en la energıa de salida m′gz, puede expresarsede la siguiente forma:

η =m′gz

mgz=

m′

m< 1 (1.31)

una funcion adimensional menor que uno puesto que se considera a m>m′.

Desarrollo y solucion a las ecs de movimiento - MAINMV

Potencia de Salida de la MAINMV

A menudo nos preguntamos cual es el trabajo efectuado por una persona,un caballo o un motor y nuestra respuesta esta en la potencia entregada porcada uno de ellos. En el caso de MAINMV la potencia de salida se puede


determinar a traves de la ec. (1.2), tal que la energıa de salida en este casotambien es energıa potencial gravitacional es decir W g=�U ′, por lo tanto,

P MAINMVs =

m′gz

t=

mgzη

t(1.32)

t se determina apartir de las ecuaciones de movimiento para m y m′ de segun-da ley de Newton. Como solo tenemos movimiento vertical, las fuerzas queactuan sobre las masas m y m′ son: la fuerza gravitacional, la fuerza de fric-cion viscosa y la tension en la cuerda, entonces las ecuaciones de movimientoson las siguientes,

m′ ··z = T − m′g − fk (1.33)

−m··z = T − mg + fk (1.34)

con T la tension en la cuerda, g la magnitud de la aceleracion gravitacionaly f k la fuerza de friccion viscosa expresada linealmente con la velocidad, esdecir,

fk = µk ∗ ·z (1.35)

tal que µk representa la fuerza viscosa por unidad de velocidad que actuasobre las masas m y m′.

Resolviendo simultaneamente las ecs. (1.33) y (1.34) para··z obtenemos lo

siguiente,

··z −

(m − m′

m + m′

)∗ g +

2fk

m + m′ = 0 (1.36)

substituyendo en esta ecuacion diferencial m′=mη y f k obtenemos,

··z +

2µk

m(1 + η)∗ ·

z =

(1 − η

1 + η

)∗ g (1.37)

la solucion a esta ecuacion diferencial es del tipo: z=exp(rt), tal que las raicesdel polinomio son r1=0 y r2=- 2µk

m(1+η)t, por lo tanto,

zh = C1 exp(0 ∗ t) + C2 exp(− 2µk

m(1 + η)∗ t) (1.38)


con C1 y C2 constantes arbitrarias. Y se propone una solucion particular ala ec.(1.37) de la forma,

zp =m(1 − η)

2µk∗ gt (1.39)

con lo que obtenemos de las ecs. (1.38) y (1.39),

z = C1 + C2 exp(− 2µk

m(1 + η)∗ t) +

m(1 − η)

2µk

∗ gt (1.40)

esta solucion a la ec.(1.37) es trascendental en t por lo tanto, consideraremosun caso en partıcular y esto es cuando ambas masas alcanzan su velocidadlımite dentro del medio viscoso.

Caso Lımite

Tomaremos el caso lımite cuando la aceleracion de ambas masas acopladastiende a cero, es decir, cuando la fuerza de friccion viscosa que actua sobrem y m′ las va frenando hasta que estas alcanzan una velocidad lımite de:·z=constante=c.

Para determinar los coeficientes C1 y C2 de la ec. (1.40) consideremos elcaso lımite, entonces C2=0 y la siguiente condicion inicial (a t=0, z=0), conla suma de C1+C2=0, por lo tanto C1=-C2=0, ası obtenemos que z quedaexpresada unicamente por el tercer termino de la ec.(1.40) es decir,

z =m(1 − η)

2µk

∗ gt (1.41)

Funciones Caracterısticas-MAINMV en el lımite cuando··z → 0:

(a).-Potencia de salida - MAINMV

A partir de la expresion para z podemos obtener el tiempo t que serequiere para subir la masa m′ a una altura z=h y por lo tanto conocer lapotencia de salida, ec.(1.32), de la maquina de Atwood dentro de un medioviscoso en terminos de constantes conocidas y de la eficiencia, es decir,

P MAINMVs (η) =

m2g2

2µkη(1 − η) (1.42)


tal que esta expresion como el producto de una constante y una funcion de-pendiente de la eficiencia tiene la forma de una parabola con un maximo enηMAINMV

MPS =0.5, ası como se muestra en la figura (1.4a). Es decir, la potenciamaxima entregada por la MAINMV se obtiene cuando esta trabaja con unaeficiencia de 0.5.

(b).-Funcion de Disipacion - MAINMV

Anteriormente identificamos cual era la energıa de entrada y de salida enun instante dado de la MAINMV, tal que la diferencia de energıas potencialeses diferente de cero, y esta energıa no utilizable para subir la masa m′ a unaaltura z=h fue disipada en el choque de la masa m y el piso produciendoentropıa. De acuerdo a lo anterior identificamos al sistema como disipativo,y de la definicion de funcion de disipacion, ec. (1.4), tenemos,

ΦMAINMV (η) =m2g2

2µk

(1 − η)2 (1.43)

esta funcion de disipacion es una funcion monotona decreciente con un mıni-mo en ηMAINMV

mfd =1, ver figura (1.4b).

(c).-Funcion Ecologica - MAINMV

Un buen regimen de trabajo para la MAV fue al trabajar con la FE puestoque se obtuvo una eficiencia mayor que la eficiencia que maximiza la potenciade salida, en este caso tambien determinaremos la FE para la MAINMV comoel compromiso que hay entre la potencia de salida y la funcion de disipacionec. (1.5); substituyendo las ecs. (1.42) y (1.43) obtenemos lo siguiente,

EMAINMV (η) =m2g2

2µk

(1 − η)(2η − 1) (1.44)

tal que esta funcion tiene un maximo en ηMAINMV = 0,75 ver figura 1.4c.Observemos que en este caso se cumple el llamado teorema de la semisuma,es decir,

ηE =1

2(ηMPS + 1) =

1

2(0,5 + 1) = 0,75 (1.45)


Figura 1.4: Graficas de las funciones caracterısticas de la MAINMV (potenciade salida(a), funcion de disipacion(b) y funcion ecologica(c)), para valores dem=1Kg, g=9.8m/s y con el coeficiente de viscosidad µk tomando valoresentre 0.5 y 1.


Funcion g(η) - MAINMV

En este caso utilizaremos la misma condicion anterior de la MAV, es de-cir, la MAINMV trabaja isotermicamente a una temperatura T0 entonces laeficiencia maxima es uno, por lo tanto g(η)= η

1−η. Teniendo las expresiones

de potencia de salida y funcion de disipacion en terminos de la eficiencia, loque haremos es tomar el cociente de estas funciones,

P MAINMVs

ΦMAINMV=

[m2g2η(1−η)]2µk

[m2g2(1−η)2 ]2µk

=η

1 − η(1.46)

y lo que obtenemos es que: PMAINMVs (η)=g MAINMV (η)ΦMAINMV (η) es

decir, existe una funcion gMAINMV (η) que relaciona la potencia de salidacon la funcion de disipacion para la MAINMV, y ademas obtenemos quegMAV (η)=gMAINMV (η).

Regımenes de operacion para la MAINMV

Observamos que las graficas de la potencia de salida, funcion de disipa-cion y funcion ecologica se optimizan en la eficiencia, por lo tanto, en lo quesigue analizaremos los diferentes regımenes de operacion para la MAINMV.

Regimen a maxima potencia de salida

Para obtener el maximo de la funcion PMAINMV tomaremos la derivadade esta funcion con respecto a la eficiencia e igualamos a cero, obtenemos losiguiente,

dP MAINMV

dη=

m2g2

2µk

(−2 ∗ η + 1) = 0 (1.47)

resolviendo para η, obtenemos la eficiencia que hace que la potencia seamaxima, es decir, en ηMPS = 0,5 substituyendo este valor de la eficiencia enlas ecuaciones caracterısticas,

P MAINMVMPS = 0,125 ∗

(m2g2

2µk

)(1.48)


ΦMAINMVMPS = 0,125 ∗

(m2g2

2µk

)(1.49)

EMAINMVMPS = 0 (1.50)

en este regimen de trabajo obtenemos una potencia de salida igual a la di-sipacion del sistema y por lo tanto una funcion ecologica igual a cero deacuerdo a la construcion de esta funcion.


El maximo de la funcion ecologica lo obtenemos tomando la derivada deesta funcion con respecto a la eficiencia e igualamos a cero,

dEMAINMV

dη=

m2g2

2µk(−4 ∗ η + 3) = 0 (1.51)

por lo tanto la eficiencia que maximiza la funcion ecologica es en ηMFE =0,75, substituyendo este valor en las ecuaciones caracterısticas obtenemosque:

P MAINMVMFE = 0,187 ∗

(m2g2

2µk

)(1.52)

ΦMAINMVMFE = 0,062 ∗

(m2g2

2µk

)(1.53)

EMAINMVMFE = 0,125 ∗

(m2g2

2µk

)(1.54)

en este regimen de trabajo obtenemos una eficiencia mayor que en el regi-men anterior y una potencia de salida mayor que su disipacion, pero con unafuncion ecologica diferente de cero.

Lo importante de la Maquina de Atwood (MA) no es el trabajo que realizasi no el trabajo que realiza por unidad de tiempo. Cuando la MA se encuentraen el vacıo, esta trabaja con mayor eficiencia que cuando esta dentro de unmedio viscoso, esto se debe al medio en cuestion, es decir, cuando el medioes viscoso(µk) las masas se desplazan con menor rapidez disminuyendo laeficiencia de la MA respecto al caso en el vacıo y la diferencia entre un caso


y otro es que el medio viscoso linealiza las funciones caracterısticas. Perola MA no solo esta caracterizada por su potencia de salida y la eficienciacon la que trabaja sino tambien por la cantidad de energıa que no utilizapara realizar trabajo y esa cantidad es la funcion de disipacion, en amboscasos encontramos que la forma funcional de esta variable del proceso tieneun mınimo en η=1 es decir, si la MA ya sea en el vacıo o dentro de unmedio viscoso trabajara a eficiencia maxima su disipacion serıa nula perosu potencia de salida serıa cero, y si trabajara con una eficiencia η →0 ladisipacion serıa maxima.

En ambos casos encontramos que las eficiencias que maximizan la FEη=0.8228 en el vacıo y η=0.75 dentro del medio viscoso(µk) son mayoresque las encontradas en el regimen de trabajo de potencia de salida maxima,entonces podemos decir que la FE nos da un buen regimen de trabajo enambos casos.

Capıtulo 2

Analogıas entre procesosquımicos y mecanicos acoplados

2.1. Def. de Funciones para un Convertidor

Lineal de Energıa

Consideremos siguiendo a Prigogine [1] y Yourgrau [12], un sistema enestado estacionario que esta formado por dos procesos acoplados con lossiguientes flujos generalizados J1, J2 y sus correspondientes fuerzas generali-zadas X1, X2. Estan relacionados segun Onsager de la siguiente manera,

J1 = L11X1 + L12X2 (2.1)

J2 = L21X1 + L22X2 (2.2)

tal que L12=L21 (de acuerdo al teorema de reprocidad de Onsager), y defini-mos el grado de acoplamiento entre los flujos como:

q =L12√L11L22

(2.3)

de aqui, podemos analizar dos casos extremos para el grado de acoplamientoq. Cuando q=0, observemos en las ecuaciones (2.1) y (2.2) que cada flujo esdirectamente proporcional a su propia fuerza conjugada, y por lo tanto los dosflujos se vuelven independientes. Y en q=1, los dos flujos toman una relacionestequiometrica fija, independientemente del valor que tomen las fuerzas.

21

22CAPITULO 2. ANALOGIAS ENTRE PROCESOS QUIMICOS Y MECANICOS ACOPLAD

Figura 2.1: Diagrama de un convertidor energetico con acoplamiento q=1entre los flujos J1 y J2

Una forma de representar el acoplamiento entre los flujos J1y J2 se da enla figura 2.1.

El flujo J2 que va en direccion de las manecillas del reloj indica que elflujo es espontaneo en concordancia con su fuerza conjugada, mientras que elrecorrido del flujo J1 en direccion contraria a las manecillas del reloj indicaque el flujo de salida va en direccion opuesta a su propia fuerza conjugadacomo consecuencia del acoplamiento con J2.

2.1.1. Funcion de Disipacion

Una de las caracterısticas mas importantes de un sistema termodinamicoes la cantidad de energıa que ya no intercambia con los alrededores pararealizar trabajo, esa cantidad de energıa es la disipacion interna de energıadel sistema.

De la termodinamica irreversible lıneal cerca del equilibrio [1, 2], la pro-duccion de entropıa consta de dos terminos, un termino que representa laenergıa de entrada J2X2 y el otro la energıa de salida J1X1 por lo tanto,

σ = J1X1 + J2X2 (2.4)

y apartir de esta ecuacion podemos formar la ecuacion de la funcion dedisipacion como:

2.2. PRIMERA Y SEGUNDA LEYES DE LA TERMODINAMICA 23

Φ = T ∗ (J1X1 + J2X2) (2.5)

2.1.2. Potencia de Salida y Eficiencia

Caplan y Essig [3] introdujeron definiciones de potencia de salida P yeficiencia η para convertidores de energıa trabajando en estado estacionarioa presion y temperatura constantes, de la siguiente manera,

P = −T ∗ (J1X1) (2.6)

y


energıa de entrada= −TJ1X1

TJ2X2(2.7)

el signo menos es debido a que consideramos al proceso 2 como espontaneoy al proceso 1 no, bajo esas circunstancias J2X2 > 0 y J1X1 ≤0.

2.2. Primera y segunda leyes de la termo-

dinamica

En reacciones biologicas se han logrado simplificaciones muy grandes de-bido a que estas tienen lugar en soluciones acuosas diluidas que estan enequilibrio con la atmosfera, condiciones en las que tres de las variables masimportantes, temperatura T, presion P y volumen V permanecen constantes.Los calculos de la energıa de reacciones quımicas se dan siempre en Kilo-calorias de energıa intercambiada por peso molecular-gramo del compuestotransformado y se supone siempre que en el estado estandar estan presentestanto reactivos como productos. El estado estandar de una sustancia se de-fine como su forma mas estable a 1,0 atmosfera de presion y 25oC (298oK),mientras que el estado estandar para reacciones biologicas que tienen lugar ensolucion acuosa de un reactivo o producto se define a una concentracion de unpeso molecular-gramo por litro de agua; la concentracion de iones hidrogenotomada en el estado estandar es 1, 0x10−7 o PH 7,0.

Primera ley de la termodinamica


Definida como el cambio infinitesimal en la energıa interna en sistemasreversibles e irreversibles, igual a la suma de los cambios infinitesimales deltrabajo positivo hecho sobre el sistema mas el calor absorbido por el sistema,

dEint = δW + δQ (2.8)

δ indica que no es una diferencial exacta debido a que W y Q no son funcio-nes de estado.

Segunda ley de la termodinamica

Los cambios fısicos o quımicos espontaneos tienen un sentido que no puedeser explicado por la primera ley, la segunda ley de la termodinamica nosproporciona un criterio para predecir el sentido de cualquier proceso, reconoceel estado o condicion de la materia y de la energıa llamado entropıa,

∆S ≥ 0 (2.9)

la variacion de entropıa que se produce en un proceso esta cuantitativamenterelacionada con el incremento de energıa interna del sistema mediante unatercera funcion llamada energıa libre,

G = H − TS (2.10)

con G la energıa libre de Willard Gibbs, T la temperatura absoluta y H y Sson, respectivamente la entalpıa y la entropıa del sistema. Dicha ecuacion seconviente en,

∆G = ∆H − T∆S = ∆E + P∆V − T∆S (2.11)

para procesos que se llevan a cabo a temperatura (T) y presion (P) cons-tantes. Si, ademas se considera el proceso a volumen constante, P∆V=0,entonces la ecuacion anterior se convierte en:

∆G = ∆E − T∆S (2.12)

esta ecuacion es importante en energetica bioquımica porque se cumple enprocesos que se encuentran a temperatura, presion y volumen constante con-diciones en las que tambien estan las reacciones celulares.

2.2. PRIMERA Y SEGUNDA LEYES DE LA TERMODINAMICA 25

2.2.1. Energıa libre y constante de Equilibrio

Consideremos una reaccion bioquımica descrita por 4 sustratos,

ν1X1 + ν2X2 ↔ ν3X3 + ν4X4 (2.13)

donde ν1, ν2 son el numero de moleculas de los reactivos X1,X2 respectiva-mente y ν3, ν4, el numero de moleculas de los productos X3, X4, esta reac-cion alcanzara su punto de equilibrio en el cual no se produce ningun cambioquımico ulterior; en este punto la velocidad de conversion de ida estara exac-tamente contrarrestada con la velocidad de regreso. Se define la constante deequilibrio quımico alcanzada por este proceso como,

Keq =[X3]

ν3 [X4]ν4

[X1]ν1 [X2]

ν2(2.14)

donde los corchetes indican las concentraciones de los reactivos y los pro-ductos existentes en el punto de equilibrio. Cuando el sistema quımico seencuentra en condiciones estandar la relacion matematica que existe entrela variacion de energıa libre y la constante de equilibrio viene dada por lasiguiente ecuacion,

∆G0 = −RT ln Keq (2.15)

donde R es la constante de los gases ideales (1, 987Kcal/molgrado), T latemperatura y ln Keq el logaritmo natural de la constante de equilibrio.

Los calculos para la variacion de energıa libre de una reaccion quımicaen condiciones diferentes a las estandar se hacen de acuerdo a la siguienterelacion,

∆G = ∆G0 + RT ln Keq (2.16)

con ∆G0 la variacion de energıa libre estandar, es decir, la ganancia o perdidade energıa libre estandar en calorias cuando se convierte un mol de reactivoen un mol de producto a 25oC y PH 7,0.

2.2.2. Enzimas e inhibidores

Las enzimas son moleculas proteicas que tienen la capacidad de acele-rar la velocidad de una reaccion quımica y son conocidas por el poder decatalisis sobre la reaccion, por su eficiencia, precision y especifidad, es decir


Figura 2.2: Acoplamiento cerradura-llave entre la enzima de gran tamanocon la molecula de sustrato.

son verdaderos catalizadores, no influyen sobre el punto de equilibrio ni seconsumen durante la catalisis. Como otros catalizadores, las enzimas dismi-nuyen la energıa de activacion de la reaccion que catalizan permitiendo queun numero mayor de moleculas de la poblacion reaccione rapidamente paraformar un complejo o compuesto inestable con el sustrato proporcionandoun canal o paso a traves de la barrera de energıa de activacion. Como lasenzimas tienen tal precision y especifidad en su accion, se ha postulado queexiste un acoplamiento del tipo cerradura- llave de la molecula del sustratoa una pequena parte de la superficie de la molecula de gran tamano de laenzima ası como se muestra en al figura (2.2). Cuando estas actuan con-secutivamente, es decir cuando el producto de la enzima se convierte en elsustrato reactivo de la siguiente tenemos lo que se llama un sistema multien-zimatico. Algunas enzimas son responsables de la regulacion de la velocidadde secuencias multienzimaticas, tales enzimas se llaman enzimas reguladoras,por ejemplo, la glucolisis anaerobica contiene una enzima reguladora, la fos-fofructoquinasa que cataliza la fosforilacion de la fructosa 6-fosfato a fructosa1,6-difosfato.

El estudio de inhibicion enzimatica en celulas y tejidos ha dado invalua-ble informacion sobre el mecanismo de la catalisis enzimatica por ejemplo;la inhibicion de ciertas enzimas por metabolitos especıficos es un elementoimportante en la regulacion del metabolismo intermediario. Se conocen dife-rentes tipos de inhibidores enzimaticos reversibles y son de gran importanciaporque se prevee que cierta informacion sobre los productos y su accion puede

2.3. ANALISIS DE 2 REACCIONES DE SINTESIS DE ATP 27

ser reservada para incrementar la concentracion del sustrato.

2.3. Analisis de 2 reacciones de sıntesis de

ATP

En la referencia [7] se presento un estudio de dos reacciones de sıntesis deATP mediante glucolisis anaerobica y respiracion, estas reacciones se llevana considerable velocidad suponiendo que exista una trayectoria disponiblepara catalizarlas. Estas reacciones se pueden representar sumariamente porlas siguientes reacciones quımicas, para la glucolisis anaerobica,

{glucosa} +[2ADP + 2P+

]� {2lactatos} + [2ATP] (2.17)

la produccion de ATP en glucolisis es un proceso anaerobico es decir el proce-so no necesita oxıgeno, que requiere un total de once moleculas enzimaticasespecıficas actuando consecutivamente, de tal forma que el producto de laprimera reaccion enzimatica catalizada se convierte en el sustrato reactivode la siguiente, cuyo efecto neto es el rompimiento de una molecula de glu-cosa para crear 2 moleculas de lactatos y se forman 2 moleculas de ATP apartir de dos de ADP mas dos de fosfato. Y para la respiracion,

{6O2 + glucosa} +[36ADP+36P+

]� {6CO2 + 6H2O} + [36ATP] (2.18)

(oxidacion enzimatica de las moleculas de combustible por el oxıgeno mo-lecular), en este caso los sistemas enzimaticos que catalizan la respiracion yla conservacion de la energıa respiratoria en forma de ATP son mucho mascomplejos que los correspondientes al de la glucolisis, puesto que se requieren36 moleculas enzimaticas actuando consecutivamente.

En ambos casos la reaccion manejadora (�G2 < 0) con un decremento enla energıa libre de Gibbs, se representa por parentesis en llaves y las reaccionesmanejadas (�G1 > 0) con un incremento en la energıa libre de Gibbs porparentesis cuadrados. En este sistema los flujos y las fuerzas generalizadasestan dados por:

J1 = v1, X1 = −�G1

T(2.19)


J2 = v2, X2 = −�G2

T(2.20)

donde v1 y v2 son las velocidades de reaccion de la reaccion manejada y ma-nejadora respectivamente y T la temperatura. Estas ecuaciones son conside-radas como dos procesos acoplados, por lo tanto, la velocidad de la reaccionen el estado estandar para el proceso manejado y manejador es la misma, esdecir,

v1 = v2 = v (2.21)

De acuerdo con la definicion de eficiencia ecuacion(2.7) y ya identificadoslos flujos y las fuerzas generalizas, queda expresada de la siguiente manera,

η = −�G1

�G2(2.22)

y la potencia de salida como;

P = �G1 ∗ v (2.23)

con �G1 la energıa libre adquirida en la reaccion manejada y v la veloci-dad de reaccion. Las reacciones bioquımicas aquı consideradas son una largacadena de reacciones [9], y de acuerdo con Prigogine [1], la afinidad globalesta definida por:

A = −(�G1 + �G2) (2.24)

y puede ser escrita como:

A =

n∑i=1

Ai (2.25)

donde n es el numero de reacciones en cadena y Ai la afinidad de cadauna de esas reacciones, las cuales pueden ser lo suficientemente pequenaspara satisfacer la linealidad, tal que A cumple con |A|/RT>> 1. Ası, laexpresion propuesta por Torres [13] para la velocidad de reaccion de unareaccion enzimatica,

v = vmf

[1 − exp(− bA

RT)

](2.26)

2.3. ANALISIS DE 2 REACCIONES DE SINTESIS DE ATP 29

fue aproximada como:

v = vmf

n∑i=1

bAi

RT=

vmfbA

RT(2.27)

donde R es la constante de los gases ideales, T la temperatura y b es unparametro que contiene los efectos globales de las enzimas. La aproximacionque hicieron solo es valida si b no es un parametro muy grande.

Substituyendo las ecuaciones (2.22), (2.24) y (2.27) en la potencia desalida, esta queda expresada como:

P =�G2

2vmfb

RTη(1 − η) (2.28)

con c =�G2

2vmf b

RTuna constante, esto es porque vmf , R y T son constantes

y �G2 puede ser considerada aproximadamente constante [13]. La ecuacionanterior corresponde a una parabola con un maximo en η∗=0.5, en buenaconcordancia con la eficiencia observada por glucolosis anaerobica en eritro-citos la cual es η∗

ob=0.53. Para una reaccion quımica la produccion de entropıadefinida por Prigogine es,

σ =Av

T(2.29)

substituyendo las ecuaciones (2.24) y (2.27) y posteriormente substituyendola eficiencia, σ queda expresada como:

σ =�G2

2vmfb

RT 2(1 − η)2 =

c

T(1 − η)2 (2.30)

esta funcion representa una funcion monotona decreciente con un mınimo enη=1.

En el contexto de los flujos y fuerzas acoplados tambien es posible cons-truir la funcion E de acuerdo con la definicion que se dio en el capıtulo 1ecuacion (1.5) substituyendo la potencia de salida y la funcion de disipacionobtenemos lo siguiente,

E(η) = c(1 − η)(2η − 1) (2.31)

una funcion de la eficiencia que corresponde a una parabola con un maximo

en η = 0,75, la cual esta cerca de la eficiencia observada de la reaccion de


la respiracion que es en ηob=0.7[1, 9]. Este ultimo resultado sugiere que larespiracion es una reaccion bioquımica que maximiza la ası llamada FuncionEcologica E.

Funcion g(η)

Finalmente si tomamos el cociente de la potencia de salida y la produccionde entropıa, obtenemos una funcion que solo lo es de la eficiencia, es decir,

P (η)

σ(η)=

cη(1 − η)

c(1 − η)2=

η

1 − η= g(η) (2.32)

por lo tanto, existe una funcion g(η) que relaciona la potencia de salida conla funcion de disipacion P(η)=g(η)Tσ(η) en concordancia con el lema g.

2.4. MAINMV en el contexto de la TIL

En este sistema la energıa potencial de una masa se usa para subir otramasa en analogıa con las reacciones de sıntesis mencionadas, donde la energıalibre de la reaccion manejadora se usa para sintetizar la reaccion manejaday ademas en los dos casos tenemos acoplamiento perfecto y procesos que sellevan a cabo espontaneamente con un decenso en la energıa libre de Gibbspara el caso de las reacciones de sıntesis de ATP y para el caso de la maquinade Atwood en la energıa potencial de la masa manejadora.

2.4.1. Ecuaciones Constitutivas

Eficiencia

Definimos la eficiencia de la maquina de Atwood inmersa en un medio deviscosidad µk en el contexto de la TIL como el negativo del cociente de loscambios en la energıa potencial de salida y entrada de las masas,

η = −�Usal

�Uent(2.33)

con �U sal=m′gz> 0 el incremento en la energıa potencial de la masa mane-jada m′, y �U ent=-mgz< 0 el decremento en la energıa potencial de la masamanejadora m, substituyendo estos cambios obtenemos a la eficiencia comoel cociente de las masas m y m′,

2.4. MAINMV EN EL CONTEXTO DE LA TIL 31

η =m′

m< 1 (2.34)

la eficiencia siempre sera menor que uno, puesto que m>m′.

Flujos y fuerzas generalizadas

En este caso, tenemos que el gradiente de energıa potencial es la fuerzaque promueve los flujos es decir,

→F = −∇U = −∂U

∂zk (2.35)

es por esto que consideramos a las fuerzas generalizadas como el cambio enla energıa potencial por unidad de longitud y por unidad de temperatura delas masas m′ y m respectivamente de la siguiente manera,

X1 =∣∣∣→F1

∣∣∣ =�Usal

T�z= −m′g

T(2.36)

y

X2 =∣∣∣ →F2

∣∣∣ =�Uent

T�z=

mg

T(2.37)

mientras que a los flujos generalizados los identificamos con la velocidad delas masas a lo largo del eje z, es decir,

J1 =·z1 (2.38)

y

J2 =·z2 (2.39)

donde·z1 es la velocidad de la masa m′ y

·z2 es la velocidad de la masa

m, debido a que las masas estan acopladas por medio de una cuerda ideal(inextensible e incomprensible) las masas se aceleran a la misma velocidad

es decir,·z1 =

·z2 =

·z. Donde

·z la tomaremos como

·z = mg(1−η)

2µk, al considerar

el caso lımite del Capıtulo 1, cuando··z −→ 0.


2.4.2. Funciones Caracterısticas

Funcion de Disipacion MAINMV - TIL

La energıa que no utiliza este sistema mecanico para realizar trabajo porunidad de tiempo puede ser determinada a partir de la funcion de disipacionecuacion(2.5) entonces, substituyendo los flujos y las fuerzas generalizadasidentificados anteriormente, tenemos:

Φ = T (J1X1 + J2X2) =m2g2

2µk

(1 − η)2 (2.40)

y si definimos a c′ = m2g2

2µkla ecuacion anterior se convierte en,

Φ = c′(1 − η)2 (2.41)

y lo que obtenemos es una funcion monotona decreciente con un mınimo enηMAINMV

mfd =1.

Potencia de Salida MAINMV - TIL

Lo importante de esta maquina de Atwood dentro de un medio viscosono es el trabajo que realiza sino el tiempo en el que lo realiza, y se puededeterminar esta potencial de salida substituyendo las ecuaciones (2.36) y(2.38) en la ecuacion (2.6),

P = −TJ1X1 = c′η(1 − η) (2.42)

se trata de una parabola con un maximo en ηMAINMVMPS =0.5, esta eficiencia

que maximiza la potencia de salida es la misma que la reportada por Anguloy col. [7], para una reaccion bioquımica (glucolisis anaerobica).

Funcion Ecologica MAINMV - TIL

La Funcion Ecologica para la MAINMV en el contexto de la TIL defini-dida como el compromiso que hay entre la potencia de salida y la disipaciondel sistema la podemos determinar apartir de la ecuacion (1.5) substituyendolas ecuaciones (2.42) y (2.41) obtenemos:

EMAINMV (η) =m2g2

2µk(1 − η)(2η − 1) (2.43)

2.4. MAINMV EN EL CONTEXTO DE LA TIL 33

esta es una funcion que se maximiza en ηMAINMVMFE =0.75, que es la misma que

reportaron Angulo y col. [7] para la reaccion de la respiracion.

Funcion g(η) MAINMV - TIL

De acuerdo con el lema g, consideraremos que la eficiencia maxima esuno, por lo tanto la funcion g(η) = η

1−η. Entonces, de las expresiones de

potencia de salida ecuacion (2.42) y funcion de disipacion ecuacion (2.41) enterminos de la eficiencia, si tomamos el cociente de estas funciones obtenemoslo siguiente,

P MAINMV

ΦMAINMV=

[m2g2η(1 − η)] /2µk

[m2g2(1 − η)2] /2µk=

η

1 − η(2.44)

por lo tanto, PMAINMV (η)=gMAINMV (η)ΦMAINMV (η) es decir, existe unafuncion gMAINMV (η) que relaciona la potencia de salida con la funcion de di-sipacion para la MAINMV, y ademas obtenemos que gMAV (η)=gMAINMV (η).

2.4.3. Relaciones Fenomenologicas

Consideremos las relaciones entre flujos y fuerzas para convertidores deenergıa, el teorema de reprocidad de Onsager Lij=Lji y acoplamiento perfec-to entre las masas es decir cuando q=1, obtenemos el siguiente sistema deecuaciones;

·z = −L2

12

L22

∗(m′g

T

)+ L12 ∗

(mg

T

)(2.45)

y

·z = −L12 ∗

(m′gT

)+ L22 ∗

(mg

T

)(2.46)

substituyendo la magnitud de la velocidad·z, m′ =mη y resolviendo si-

multaneamente el sistema de ecuaciones para los coeficientes fenomenologi-cos, estos quedan expresados unicamente por la temperatura T y el coefi-ciente de viscosidad µk,

L11 = L22 = L12 =T

2µk(2.47)


esto muestra que hay una analogıa muy clara entre estos dos procesos aco-plados, pues para la formacion de ATP los coeficientes fenomenologicos deOnsager estan dados por:

L11 = L22 = L12 =νmfb

R(2.48)

Las analogıas entre las reacciones de sıntesis de ATP y la maquina deAtwood dentro de un medio viscoso como convertidores lıneales de energıase resumen en la siguiente tabla (Tabla 1).

Tabla 1.-Resumen de las analogıas entre la reaccion de sıntesis de ATP, yuna maquina de Atwood sumergida en un medio viscoso.

Reacciones Bioquımicas Maquina de Atwood dentro de unmedio viscoso

Proceso espontaneo con una reac-cion manejadora y una manejada

Proceso espontaneo irreversible conuna masa manejadora y una mane-jada

Las reacciones se llevan a cabo enun (medio enzimatico)

Se lleva a cabo en un medio viscosocon coeficiente de viscosidad µk

Se define la eficiencia como: η=-�G1

�G2

con �G2 < 0Se define la eficiencia como: η=-�Uout

�Uincon �U in < 0

Las reacciones transcurren a veloci-dad cte. (regimen estacionario)

En el lımite cuando··z →0, ambas

masas se desplazan a velocidad cte.Se tiene acoplamiento perfecto q=1 Se considera acoplamiento perfecto

(cuerda ideal)

Capıtulo 3

Analisis de un convertidorlineal de energıa

3.1. Optimizacion de Procesos Irreversibles

Una de las caracterısticas de las maquinas electricas como el motor electri-co [14] es que su potencia de salida puede ser obtenida de forma lıneal enterminos de parametros conocidos y que por lo tanto puede ser estudiadapor medio de la TIL, caracterizado por tres flujos y las fuerzas que los pro-mueven; este tambien puede ser el caso para la maquina de Atwood con tresmasas acopladas.

En este capıtulo estudiaremos diferentes regımenes de trabajo de unamaquina lineal e isotermica con tres flujos y tres fuerzas acopladas, comopor ejemplo: en el regimen de Maxima Potencia de Salida, en el regimen deMınima Funcion de Disipacion o combinaciones lineales de estos tales comoa Maxima Funcion Ecologica.

3.1.1. Ecuaciones Constitutivas

Consideremos los flujos generalizados J1, J2 y J3 y sus correspondientesfuerzas generalizadas que promuven estos flujos es decir, X1, X2 y X3. Si elsistema es un convertidor lıneal de energıa las relaciones fenomenologicas deOnsager para tres flujos y tres fuerzas, estan dadas de la siguiente manera,

J1 = L11X1 + L12X2 + L13X3 (3.1)

35

36CAPITULO 3. ANALISIS DE UN CONVERTIDOR LINEAL DE ENERGIA

J2 = L12X1 + L22X2 + L23X3 (3.2)

J3 = L13X1 + L23X2 + L33X3 (3.3)

con Lij=Lji (de acuerdo al teorema de reprocidad de Onsager) y definimosel grado de acoplamiento entre los flujos a pares,

q12 =L12√L11L22

(3.4)

q13 =L13√L11L33

(3.5)

q23 =L23√L22L33

(3.6)

donde q12 mide el grado de acoplamiento entre J1 y J2, q13 mide el grado deacoplamiento entre J1 y J3 y q23 mide el grado de acoplamiento entre J2 yJ3.

Esquematicamente podemos representar el acoplamiento entre los tresflujos generalizados con sus grados de acoplamiento en la fig. 3.1 en dondeel flujo J1 que va en direccion de las manecillas del reloj es espontaneo yJ2, J3 que van en direccion contraria a las manecillas del reloj son los flujosmanejados por J1.

Considerando los grados de acoplamiento definidos anteriormente y subs-tituyendo en los flujos generalizados ecuaciones (3.1), (3.2) y (3.3) las pode-mos reescribir de las siguiente forma,

J1 =√

L11(√

L11X1 + q12

√L22X2 + q13

√L33X3) (3.7)

J2 =√

L22(q12

√L11X1 +

√L22X2 + q23

√L33X3) (3.8)

J3 =√

L33(q13

√L11X1 + q23

√L22X2 +

√L33X3 (3.9)

de estas ecuaciones podemos analizar dos casos extremos que se tienen parael grado de acoplamiento, el primero es cuando los qij −→ 0, en este casotenemos que cada flujo es directamente proporcional a su fuerza conjuga-da, eliminandose los efectos cruzados, por lo que los flujos generalizados se

3.1. OPTIMIZACION DE PROCESOS IRREVERSIBLES 37

Figura 3.1: Diagrama energetico considerando acoplamiento entre tres flujosJ1, J2 y J3, a) con un flujo manejador J1 y dos manejados J2 y J3, b)un flujoJ2 manejado por J1 y J3.

vuelven independientes, y el segundo es cuando los qij −→ 1, en este casotenemos una relacion fija entre los flujos independientemente del valor quetomen las fuerzas generalizadas.

Tambien definimos el parametro que mide el efecto cruzado entre ambasfuerzas generalizadas [3] (fuerzas reducidas),

xij =

√Lii

Ljj

Xi

Xj

(3.10)

el primer ındice se refiere a la fuerza asociada al flujo manejado y el segundoa la fuerza asociada al flujo manejador, en este caso consideraremos a X1

como la fuerza asociada al flujo manejador J1, por lo tanto,

x21 =

√L22

L11

X2

X1(3.11)

x31 =

√L33

L11

X3

X1(3.12)

Los valores de x21 y x31 se encuentran en el intervalo [−1, 0], puesto queX2,3 < 0 es decir, los flujos J2,3 no son espontaneos y se efectuan contragra-


diente de potencial. A partir de este punto podemos construir los terminosenergeticos, es decir, la energıa de entrada y de salida en terminos de losgrados de acoplamiento y las fuerzas reducidas, suponiendo que la energıa deentrada se mantiene constante J1X1=cte,

E1(q21, q31, q23, x21, x31) = J1X1 = [L11X21 ] ∗ [1 + q21x21 + q31x31] (3.13)

E2(q21, q31, q23, x21, x31) = J2X2 = [L11X21 ] ∗ [q21x21 + q23x21x31 +x2

21] (3.14)

E3(q21, q31, q23, x21, x31) = J3X3 = [L11X21 ] ∗ [q31x31 + q23x21x31 +x2

31] (3.15)

Y por ultimo definiremos la eficiencia del proceso termodinamico comola conversion de energıa que sale del acoplamiento entre la que entra,


energıa de entrada(3.16)

y de acuerdo con Caplan y Essig la energıa por unidad de temperatura quesale del acoplamiento esta dada por,

η = −T (J2X2 + J3X3)

TJ1X1= −E2 + E3

E1(3.17)

esta ecuacion se puede reescribir considerando los terminos energeticos, y loque obtenemos es una exprecion para la eficiencia del proceso termodinamicoen terminos de los grados de acoplamiento y la razon de potenciales,

η = − [x221 + x2

31 + q21x21 + q31x31 + 2q23x21x31]

[1 + q21x21 + q31x31](3.18)

3.1.2. Funciones Caracterısticas

En seguida construiremos las funciones caracterısticas de una maquinalıneal e irreversible con tres flujos y tres fuerzas como funcion de los parame-tros q y x definidos anteriormente para determinar las condiciones de opera-cion de un sistema.


Funcion de Disipacion

De la TIL sabemos que cuando un sistema ya no intercambia energıa conlos alrededores para realizar trabajo los procesos internos son los responsablesde ese uso de energıa, a este consumo interno de energıa se le da el nombrede disipacion.

Pero, para construir la funcion de disipacion consideremos primero quepara un sistema cerca del equilibrio la tasa de produccion de entropıa σesta expresada en terminos de los flujos y las fuerzas generalizadas como [2,3].

σ = J1X1 + J2X2 + J3X3 (3.19)

entonces, si el proceso es isotermico la funcion de disipacion estara dada por,

Φ = Tσ = T (J1X1 + J2X2 + J3X3) = T (E1 + E2 + E3) (3.20)

substituyendo las ecuaciones (3.13), (3.14) y (3.15), Φ puede expresarse dela siguiente forma,

Φ = TL11X21

[1 + 2q21x21 + 2q31x31 + x2

21 + x231 + 2q32x21x31

](3.21)

la grafica de esta funcion de disipacion se muestra en la figura 3.2a, para losgrados de acoplamiento q21=0.9, q31=0.9 y q32=0.55.

Potencia de Salida

De acuerdo con la definicion que introdujeron Caplan y Essig de potenciade salida como la energıa de salida en teminos de los flujos y las fuerzasgeneralizadas,

P = −T (J2X2 + J3X3) (3.22)

substituyendo los flujos J2 y J3 e introduciendo los parametros x obtene-mos una expresion para la potencia de salida como funcion de los grados deacoplamiento q y x,

P = −TL11X21 [x21(q21 + x21) + x31(q31 + x31) + 2q32x21x31] (3.23)

para los grados de acoplamiento q21=0.9, q31=0.9 y q32=0.55, la funcionP(x,q) es una funcion convexa optimizable (figura 3.2b).


Funcion Ecologica

En el contexto de la TIL podemos definir la funcion ecologica como unacombinacion lineal entre la potencia de salida y la disipacion del sistema, sedefine ası para encontrar el mejor compromiso entre estas dos funciones parapoder analizar algun objetivo en particular del proceso termodinamico,

E = P − Tσ (3.24)

considerando las ecuaciones (3.20) y (3.22) en esta ecuacion, obtenemos unaexpresion para la funcion E en terminos de los flujos y las fuerzas generali-zadas de la forma,

E = −T [J1X1 + 2J2X2 + 2J3X3] (3.25)

substituyendo en esta ecuacion los flujos generalizados en terminos de lasfuerzas generalizadas y los grados de acoplamiento y posteriormente subsiti-tuyendo los parametros x,

E = −TL11X21

[1 + 3q21x21 + 3q31x31 + 2x2

21 + 2x231 + 4q32x21x31

](3.26)

obtenemos una funcion que solo lo es de los grados de acoplamiento y losparametros x, considerando a la fuerza manejadora X1 constante y al coefi-ciente fenomenologico directo L11 fijo, la grafica de esta funcion se muestraen la fig. 3.2c, para los grados de acoplamiento q21=0.9, q31=0.9 y q32=0.55.

3.1.3. Criterios de Optimizacion

En la figura 3.2 podemos observar que las funciones caracterısticas paraun sistema termodinamico representan una forma de operar el sistema demanera optima. En lo que sigue discutiremos esas formas de operacion ycuales son las ventajas y desventajas de cada una de ellas.

Mınima Funcion de Disipacion (mfd)

Una forma de operar un sistema termodinamico es hacer que la disipacioninterna de energıa sea mınima, y esto se consigue de la siguiente manera.

Para encontrar el mınimo de la funcion de disipacion tomamos la deri-vada parcial de Φ con respecto a x21 considerando a qij constante donde


Figura 3.2: Graficas de las funciones caracterısticas para un proceso termo-dinamico lıneal e irreversible, para los grados de acoplamiento q21 =q31 = 0,9y q32 = 0,55


Figura 3.3: Eficiencia como funcion de x21 y x31 con q21=q31=0.9 y q32=0.55.

qij ∈(q21,q31,q32) y despues con respecto x31 a qij constante e igualando acero, tenemos:

∂Φ (xij , qij)

∂x21

= TL11X21{2q21 + 2x21 + 2q32x31} = 0 (3.27)

∂Φ(xij , qij)

∂x31= TL11X

21{2q31 + 2x31 + 2q32x21} = 0 (3.28)

donde xij ∈(x21,x31), entonces la funcion de disipacion es mınima cuando lasrazones de fuerzas generalizadas cumplen las siguientes relaciones,

x21,mfd =q32q31 − q21

1 − q232

(3.29)

x31,mfd =q32q21 − q31

1 − q232

(3.30)

y calculamos los valores de la eficiencia y de las funciones caracterısticasde esta maquina operando en un regimen de mınima funcion de disipaciontenemos que:

ηmfd(qij) = 0 (3.31)


Φmfd(qij) = TL11X21 (1 − (q2

21 + q231)

(1 − q232)

+2q32q21q31

(1 − q232)

) (3.32)

Pmfd(qij) = 0 (3.33)

Emfd(qij) = −TL11X21

{1 − (q2

21 + q231)

(1 − q232)

+2q32q21q31

(1 − q232)

}(3.34)

evidentemente una maquina operando en este regimen de trabajo no es con-veniente puesto que su eficiencia y su potencia de salida son nulos es decir,toda la energıa que entra al acoplamiento es solo para mantener al acopla-miento entre los flujos. Pero, cuando consideramos acoplamiento perfectoentre los flujos es decir qij → 1, la disipacion de mi sistema es cero al igualque la FE, en este punto el sistema se vuelve reversible y se cumple que enel lımqij→1 ηmfd = 1.

Maxima Potencia de Salida (MPS)

El objetivo principal de un proceso termodinamico es que la disipasioninterna de energıa sea mınima pero no a costa de que la potencia de salidasea nula, que es lo que obtuvimos al trabajar en el regimen anterior, nopermitiendo los flujos de salida. Pero, si observamos la grafica de la potenciade salida, esta se puede optimizar, lo cual se logra con la condicion de maximo.Tomamos la derivada parcial de P(xij ,qij) con respecto a x21 a qij constantey despues con respecto a x31 considerando a qij constante e igualamos a cero,tenemos lo siguiente:

∂P (xij , qij)

∂x21

= −TL11X21{x21 + q21 + x21 + 2q32x31} = 0 (3.35)

∂P (xij , qij)

∂x31= −TL11X

21{x31 + q21 + x31 + 2q32x21} = 0 (3.36)

resolviendo simultaneamente este sistema de ecuaciones, obtenemos las ra-zones de fuerza que hacen que la pontencia sea maxima:

x21,MPS =q32q31 − q21

2(1 − q232)

(3.37)


x31,MPS =q32q21 − q31

2(1 − q232)

(3.38)

ası los valores de la eficiencia y las funciones caracterısticas quedan expresa-das de la siguiente manera,

ηMPS(qij) = −{

2q21(1 − q232)

q32q21−q31+

2q31(1 − q232)

q32q31 − q21+

q32q31 − q21

q32q21−q31+

q32q21−q31

q32q31 − q21+ 2q32

}/

(3.39){2q21(1 − q2

32)

q32q21−q31+

2q31(1 − q232)

q32q31 − q21+

4(1 − q232)

2

(q32q21−q31)(q32q31 − q21)

}

ΦMPS(qij) = TL11X21

{1 − 3

4

(q231 + q2

21)

(1 − q232)

+3

2

q32q31q21

(1 − q232)

}(3.40)

PMPS(qij) = TL11X21

{1

4

(q231 + q2

21)

(1 − q232)

− 1

2

q32q31q21

(1 − q232)

}(3.41)

EMPS(qij) = −TL11X21

{1 − (q2

31 + q221)

(1 − q232)

+2q32q31q21

(1 − q232)

}(3.42)

obteniendo los siguientes resultados:

1.-La disipacion en este regimen de trabajo es mayor que la potencia desalida es decir, ΦMPS(qij) > PMPS(qij) y comparando estos resultados conel regimen anterior la disipacion es mayor en este regimen pero con una efi-ciencia diferente de cero. Por otro lado, cuando consideramos acoplamientoperfecto entre los flujos J2,J1 y J3,J1 la eficiencia y las funciones caracteristi-cas toman los siguientes valores en terminos del coeficiente de acoplamientoq32,

ηMPS(q32) =1

2q32

(3.43)

ΦMPS(q32) = TL11X21

{1 − 3

2

1

(1 + q32)

}(3.44)


PMPS(q32) = TL11X21

{1

2∗ 1

(1 + q32)

}(3.45)

EMPS(q32) = −TL11X21

{1 − 2

(1 + q32)

}(3.46)

si consideramos acoplamiento perfecto entre los flujos J2 y J3 la funcionde disipacion y la potencia de salida toman el mismo valor y por lo tantola funcion ecologica es igual a cero y la eficiencia con la que trabajaria elsistema en este regimen de trabajo serıa de 0.5.

Maxima Funcion Ecologica (MFE)

Para determinar las condiciones de operacion a MFE calculamos la rela-ciones de potenciales que maximizan la FE de la siguiente manera, tomamosla derivada parcial de EMPS(xij ,qij) con respecto a x21 a qij constante ydespues con respecto a x31 considerando qij constante e igualando a ceroobtenemos lo siguiente:

∂E(xij , qij)

∂x21= −TL11X

21 {3q21 + 4x21 + 4q32x31} = 0 (3.47)

∂E(xij , qij)

∂x31= −TL11X

21 {3q31 + 4x31 + 4q32x21} = 0 (3.48)

resolviendo este sistema de ecuaciones simultaneamente obtenemos las rela-ciones de potenciales que hacen posible que la funcion ecologica sea maxima:

x21,MFE =3

4∗

[q32q31 − q21

1 − q232

](3.49)

x31,MFE =3

4∗

[q32q21 − q31

1 − q232

](3.50)

considerando estas relaciones de potenciales en la eficiencia y las funcionescaracterısticas, estas quedan expresadas unicamente por los grados de aco-plamiento de la forma:


ηMFE(qij) = −{

3

4(1 − q2

32)(q21

q32q21−q31+

q31

q32q31 − q21) +

q32q31 − q21

q32q21−q31+

q32q21−q31

q32q31 − q21+ 2q32

}/

/

{4

3(1 − q2

32)(q21

q32q21−q31

+q31

q32q31 − q21

) +16

9

(1 − q232)

2

(q32q21−q31)(q32q31 − q21)

}(3.51)

ΦMFE(qij) = TL11X21

{1 − 15

16

(q231 + q2

21)

(1 − q232)

+15

8

q32q31q21

(1 − q232)

}(3.52)

PMFE(qij) = −TL11X21

{− 3

16

(q231 + q2

21)

(1 − q232)

+3

8

q32q31q21

(1 − q232)

}(3.53)

EMFE(qij) = −TL11X21

{1 − 9

8

(q231 + q2

21)

(1 − q232)

+9

4

q32q31q21

(1 − q232)

}(3.54)

en comparacion con el regimen de MPS ahora tenemos que la potencia desalida es mayor que la disipacion del sistema ΦMFE(qij) < PMFE(qij) yEMFE(qij) > EMPS(qij). Si consideramos primero que hay acoplamiento per-fecto entre los flujos J2,J1 y J3,J1 la eficiencia y las funciones caracterısticasquedan expresados de la siguiente forma en terminos del coeficiente de aco-plamiento q32,

ηMFE(q32) = − 3

4(1 − 2q32)(3.55)

ΦMFE(q32) = TL11X21

{1 − 15

8(1 + q32)

}(3.56)

PMFE(q32) = TL11X21

{3

8(1 + q32)

}(3.57)

EMFE(qij) = −TL11X21

{1 − 9

4(1 + q32)

}(3.58)

para q32 = 1 la eficiencia con la que trabajarıa el sistema serıa de 0.75 ytendrıamos una potencia de salida mayor que la disipacion, por otro ladotenemos que al comparar la potencia de salida en este regimen con el deMPS obtuvimos que: PMFE= 3

4PMPS al igual que en la TTF y para sistemas

caracterizados por dos flujos generalizados y sus correspondientes fuerzas.


Regimen a maxima eficiencia

Por ultimo podemos ver en la (figura 3.3) que la eficiencia en algunasregiones del plano [x12, x13] tambien tiene un comportamiento convexo, porlo que esta funcion puede ser optimizable, por lo tanto tomaremos la derivadaparcial con respecto a x21 a qij constante y despues con respecto a x31 a qij

constante,

∂η

∂x21= (1 + q21x21 + q31x31)(2x21 + q21 + 2q23x31)

− q21(x221 + x2

31 + q21x21 + q31x31 + 2q23x21x31) = 0 (3.59)

∂η

∂x31

= (1 + q21x21 + q31x31)(2x31 + q31 + 2q23x21) (3.60)

− q31(x221 + x2

31 + q21x21 + q31x31 + 2q31x21x31) = 0

resolviendo este sistema de ecuaciones simultaneamente obtenemos a x21 yx31 que hacen que la eficiencia sea maxima,

x21 =q21 − q31q23

q223 − 1 − √

q223 − 1

√q221 + q2

31 + q223 − 2q21q31q23 − 1

(3.61)

x31 =q31 − q21q23

q223 − 1 −

√q223 − 1

√q221 + q2

31 + q223 − 2q21q31q23 − 1

(3.62)

substituyendo en la eficiencia y en las ecuaciones caracterısticas, obtenemosque estas funciones quedan expresadas unicamente por los grados de acopla-miento qij ,

ηME(qij) = −((q221 + q2

31 − 2q21q31q23)

+ 2(−1 + q223 +

√q223 − 1

√q221 + q2

31 + q223 − 2q21q31q23 − 1))/

(q221 + q2

31 − 2q21q31q23) (3.63)


ΦME(qij) = TL11X21 (2(q2

21 + q231 + q2

32 − 2q21q31q32 − 1))/

(−1 + q232 −

√q232 − 1

√q221 + q2

31 + q232 − 2q21q31q32 − 1) (3.64)

PME(qij) = −TL11X21 ((q2

21 + q231 − 2q21q31q32)

√q232 − 1

√q221 + q2

31 + q232 − 2q21q31q32 − 1)/

(1 − q232 +

√q232 − 1

√q221 + q2

31 + q232 − 2q21q31q32 − 1)2 (3.65)

EME = −TL11X21 (4(q2

21 + q231 + q2

32 − 2q21q31q32 − 1)

+1√

q232 − 1

√q221 + q2

31 + q232 − 2q21q31q32 − 1 ∗ (3q2

21 + 3q231 + 4q2

32 − 6q21q31q32 − 4))/

(q221 + q2

31 − 2q21q31q32) (3.66)

evidentemente el acoplamiento que se tiene entre los flujos es mucho mascomplejo que en los regimenes anteriores y ademas tenemos que se reduceal caso de dos flujos y dos fuerzas acopladas considerando los coeficiente deacoplamiento q31 =q32 = 0.

3.1.4. Sistema caracterizado por 2 flujos manejadores

Anteriormente los resultados que obtuvimos al trabajar en los diferentesregimenes de operacion fueron cuando consideramos un flujo manejador y dosmanejados, otra posible combinacion es considerar dos flujos manejadores yuno manejado. En lo que sigue discutiremos este caso y veremos si es posibleoperar en los diferentes regımenes de trabajo. De la definicion de fuerzasreducidas, obtenemos:

x21 =

√L22

L11

X2

X1(3.67)

x23 =

√L22

L33

X2

X3(3.68)

substituyendo estas fuerzas reducidas en los flujos generalizados J1, J2 y J3

ecs. (3.7), (3.8) y (3.9) podemos construir los terminos energeticos,


Figura 3.4: Graficas de la eficiencia considerando los grados de acoplamientoq21 =q31 = 0,9 y q32 = 0,55

E1 = J1X1 = L11X21 (1 + q21x21 + q31

x21

x23) (3.69)

E2 = J2X2 = L11X21 (q21x21 + x2

21 + q23x2

21

x23) (3.70)

E3 = J3X3 = L11X21 (q31

x21

x23+ q23

x221

x23+

x221

x223

) (3.71)

tomando en cuenta estos terminos energeticos podemos construir la eficienciay las funciones caracterısticas, de acuerdo con las definiciones que se dieroninicialmente en este capıtulo, por lo tanto,

η = − TE2

T (E1 + E3)= −(x2

21 + q21x21 + q23x2

21

x23)/

(1 + q21x21 + 2q31x21

x23+ q23

x221

x23+

x221

x223

) (3.72)

P = −TE2 = −TL11X21 (x2

21 + q21x21 + q23x2

21

x23) (3.73)


Φ = T (E1 +E2 +E3) = TL11X21 (1+2q21x21 +2q31

x21

x23+x2

21 +2q23x2

21

x23+

x221

x223

)

(3.74)

E = −T (E1 +2E2 +E3) = −TL11X21 (1+3q21x21 +2q31

x21

x23+2x2

21 +3q23x2

21

x223

)

(3.75)Las graficas de estas funciones se muestran en la figura 3.4 y 3.5, y ob-

servemos que la unica funcion no optimizable es la potencia de salida, porlo tanto solo trabajaremos en el regimen de mınima funcion de disipacion ymaxima fuencion ecologica.

Regimen a mınima funcion de disipacion

Para encontrar los puntos crıticos de esta funcion lo que haremos es sacarla derivada parcial con respecto a x21 a qij constante y despues con respectoa x23 a qij constante e igualar a cero,

∂Φ

∂x21

= TL11X21 (2q21 + 2

q31

x23

+ 2x21 + 4q23x21

x23

+ 2x21

x223

) = 0 (3.76)

∂Φ

∂x23= TL11X

21 (−2

q31x21

x223

− 2q23x2

21

x223

− 2x2

21

x323

) = 0 (3.77)

resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos los x que hace que la disi-pacion del sistema sea mınima,

x21 =q21 − q31q23

q223 − 1

(3.78)

x23 =q21 − q31q23

q31 − q21q23

(3.79)

evaluando estas fuerzas reducidas en la eficiencia y en las funciones carac-terısticas,

ηmfd (qij) = 0 (3.80)


Figura 3.5: Graficas de las funciones caracterısticas para el caso de dos flujosmanejadores, con los grados de acoplamiento q21 =q31 = 0,9 y q32 = 0,55.


Φmfd = TL11X21

q221 + q2

31 + q223 − 2q21q31q23 − 1

q223 − 1

(3.81)

Pmfd (qij) = 0 (3.82)

Emfd (qij) = −TL11X21

q221 + q2

31 + q223 − 2q21q31q23 − 1

q223 − 1

(3.83)

en este regimen de trabajo obtenemos una eficiencia y una potencia de salidaigual a cero es decir, toda la energıa que entra al sistema es solo para mantenerel acoplamiento entre los flujos al igual que en el sistema caracterizado porun flujo manejador.


Para encontrar los puntos optimos de la funcion ecologica lo que haremoses determinar la derivada parcial con respecto a las fuerzas reducidas x21 yx23 a qij constantes e igualando a cero obtenemos lo siguiente,

∂E

∂x21= −TL11X

21 (3q21 + 4x21 + 2

q31

x23+ 6q23

x21

x23+ 2

x21

x223

) = 0 (3.84)

∂E

∂x23= −TL11X

21 (−2q31

x21

x223

− 3q23x2

21

x223

− 2x2

21

x323

) = 0 (3.85)

resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos las fuerzas reducidas quehace que la funcion ecologica sea maxima,

x21 =6(q21 − q31q23)

9q223 − 8

(3.86)

x23 =6(−q21 + q31q23)

8q31 − 9q21q23(3.87)

substituyendo estas fuerzas reducidas en la eficiencia y en las funciones ca-racterısticas,

ηMFE = ((8 − 9q223)

2 + (3q221 − 6q21q31q23)(−16 + 27q2

23) + 32q231(−2 + 3q2

23))/

12(q21 − q23q31)2 (3.88)

3.2. ACOPLAMIENTO ENTRE 3 MASAS(A-3M) EN UN MEDIO VISCOSO µK53

ΦMFE = TL11X21 ((8 − 9q2

23)2 + (3q2

21 − 6q21q31q23)(−20 + 27q223) + 4q2

31(−16 + 21q223))/

12(q21 − q23q31)2 (3.89)

PMFE = TL11X21

12(q21 − q23q31)2

(8 − 9q223)

2(3.90)

EMFE = TL11X21 (8 − 9q2

21 − 9q223 − 8q2

31 + 18q21q31q23)/

(−8 + 9q223) (3.91)

si consideramos a q31=q23=0 obtenemos los mismos resultados para el casode dos flujos y dos fuerzas [15].Una de las aplicaciones de estos resultados es el acoplamiento que se daentre tres masas dentro de un medio viscoso, su funcionamiento se describea continuacion.

3.2. Acoplamiento entre 3 masas(A-3m) en

un medio viscoso µk

El sistema inmerso en un medio viscoso µk esta formado por tres masasm1, m2 y m3 acopladas por medio de dos cuerdas ideales (inextensibles eincompresibles) l1 y l2 y poleas de masas despreciables, las masas m1 y m3

caen espontaneamente de una altura z1 y z3 siendo por lo tanto las masasmanejadoras de la masa m2, el movimiento de m2 es hacia arriba con respectoa m1 y m3, ası como se muestra en la figura 3.6.

Consideremos a nuestro sistema de referencia como positivo apartir delcentro de la polea hacia arriba y negativo de su centro hacia abajo, porlo tanto la energıa potencial de cada una de las masas sera negativa y suenergıa cinetica como un medio de su masa por su velocidad al cuadrado,ası la funcion lagrangeana (definida como la energıa cinetica menos la energıapotencial) del sistema queda expresada de la siguiente manera:

L =1

2

3∑ν=1

mν·z

2

ν + g

3∑ν=1

mνzν (3.92)


Figura 3.6: Acoplamiento entre tres masas con m1> m2 y m3 >m2.

donde ν denota el rango del numero de partıculas del sistema y g la magnitudde la aceleracion gravitacional, si consideramos que las cuerdas son idealesla velocidad de cada una de las masas es la misma, por lo tanto la funcionlagrangeana la podemos reescribir de la siguiente forma,

L =1

2

3∑ν=1

·z

2mν + gz(m1 − m2 + m3) + m2gl1 + m3g(l2 − l1) (3.93)

de la figura 3.6 podemos observar que las unicas fuerzas que actuan sobrelas masas son: la fuerza gravitacional considerada como conservativa debidoa que se puede obtener a partir de un potencial V’ y la fuerza de friccionviscosa no conservativa entonces, las ecuaciones de Lagrange a utilizar sonlas siguientes:

d

dt

(∂L

∂·z− ∂L

∂z

)= Φ′ con Φ′ =

3∑ν=1

Fν∂rν

∂z(3.94)

donde L=T-V y Φ′ son las fuerzas generalizadas asociadas con las fuerzasno conservativas del sistema, substituyendo L y Φ′ obtenemos la siguienteecuacion diferencial,

··z − µk

m1 + m2 + m3

·z = g

(m1 − m2 + m3

m1 + m2 + m3

)(3.95)


la solucion general a esta ecuacion es,

z = C1 + C2 exp(µkt

m1 + m2 + m3) +

g(m1 − m2 + m3)

µkt (3.96)

donde C1 y C2 son constantes, si consideramos que las masas parten del

reposo es decir a (t=0,·z = 0) obtenemos que C2=- g(m1−m2+m3)(m1+m2+m3)

µ2k

y

a (t=0, z=h) C1=-(C2-h) entonces, substituyendo el valor de las constanteobtenemos lo siguiente,

z = h+g(m1 − m2 + m3)(m1 + m2 + m3)

µ2k

[1 − exp(

µk

m1 + m2 + m3t)

]+

g(m1 − m2 + m3)

µkt

(3.97)tal que esta ecuacion es trascendental en t, por lo tanto lo que haremos estomar un caso en particular.

3.2.1. Caso lımite

Esto es cuando la aceleracion de las masas tiende a cero, es decir, cuandoel medio viscoso las va frenando hasta que estas alcanzan su velocidad lımite,(··z → 0,

·z = cte

)obtenemos que C2 = 0 y si consideramos que en (t=0, z=h)

C1=-(C2-h) entonces,

z = h +g(m1 − m2 + m3)

µkt (3.98)

por lo tanto,

·z =

g(m1 − m2 + m3)

µk= cte (3.99)

3.2.2. Flujos y fuerzas para el acoplamiento-3m

En el contexto de la TIL los flujos los identificamos con las velocidadesde las masas y las fuerzas generalizadas con la fuerza de gravedad que actuasobre cada una de las masas es decir,

J1 =·z, X1 =

m1g

T(3.100)


J2 =·z, X2 = −m2g

T(3.101)

J3 =·z, X3 =

m3g

T(3.102)

entonces, el sistema de ecuaciones quedara de la siguiente forma:

·z = L11

m1g

T− L12

m2g

T+ L13

m3g

T(3.103)

·z = L12

m1g

T− L22

m2g

T+ L23

m3g

T(3.104)

·z = L13

m1g

T− L23

m2g

T+ L33

m3g

T(3.105)

considerando acoplamiento perfecto entre las masas y substituyendo la velo-cidad constante en este sistema de ecs, los coeficiente fenomenologicos quedandescritos por T y µk,

Lij =T

µk

(3.106)

y para las fuerzas reducidas,

x21 = −m2

m1

(3.107)

x23 = −m2

m3

(3.108)

Funciones caracterısticas para el acoplamiento-3m

Substituyendo las fuerzas reducidas x21 y x23 en la eficiencia ec. (3.72)con la condicion de que m1 >m2 y m3 >m2, y en las funciones (P, Φ y E)obtenemos lo siguiente,

ηMAINMV −A3 =m2

m1 + m3

< 1 (3.109)

PMAINMV −A3 =g2

µk

m2(m1 + m3 − m2)

=g2

µk(m1 + m3)

2η (1 − η) (3.110)


ΦMAINMV −A3 =g2

µk(m1 + m3 − m2)

2

=(m1 + m3)

2g2

µk(1 − η)2 (3.111)

EMAINMV −A3 =g2

µk(2m2 − m1 − m3)(m1 + m3 − m2)

=(m1 + m3)

2g2

µk

(1 − η) (2η − 1) (3.112)

obtenemos una potencia de salida diferente de cero maximizandose en η =0,5, una funcion de disipacion decreciente con un mınimo en η = 1 y unafuncion ecologica con un maximo en η = 0,75. Al comparar la potencia desalida con la funcion de disipacion del sistema obtenemos que σMAINMV −A3 >PMAINMV −A3 en el mejor de los casos cuando η = 1/2 estas se igualan y lafuncion ecologica es igual cero, pero cuando η = 3/4 la funcion ecologicatoma su valor maximo disminuyendo en 1/16 la funcion de disipacion. Estosresultados al compararlos con los obtenidos para MAINMV-2A aumentanen 2m1m3+m2

3 las funciones caracterısticas teniendo por lo tanto la mismaforma funcional al igual que en las reacciones de sıntesis de ATP.

Conclusiones

En este trabajo se ha demostrado que a las maquinas de Atwood (MA)tanto en el vacıo como dentro de un medio viscoso (con coeficiente de vis-cosidad µk) que alcanzan un estado estacionario, se les puede asociar unafuncion de disipacion Tσ que esta relacionada con la potencia de salida me-diante una funcion h(η); resultando ser la misma en ambos casos. Por otrolado, cuando la MA se encuentra en un medio viscoso, una vez que se al-canza el equilibrio entre la fuerza de gravedad y la fuerza viscosa las masasse desplazan a velocidad constante, y sus funciones caracterısticas resultanser analogas a las obtenidas para las reacciones de sıntesis de ATP y estoes porque ambos sistemas son espontaneos y se desplazan en un medio quepermite hacerlo a velocidad constante. En el caso de las reacciones de sınte-sis de ATP es el conjunto de enzimas reguladoras. Finalmente del analisis deun convertidor lıneal de energıa caracterizado por tres flujos y tres fuerzasacopladas se encontro que al trabajar en los diferentes regımenes de opera-cion (mfd, MPS y MFE) dentro de la TIL, el mas conveniente fue el de MFEpuesto que obtuvimos una funcion ecologica diferente de cero y eficienciashasta de 0.75. Una de las aplicaciones de estos resultados es el acoplamientoentre tres masas y lo que encontramos es que sus funciones caracterısticasaumentan en 2m1m3+m2

3 comparadas con las obtenidas para la MAINMV-2A, como se esperaba entre mas masas acopladas tengamos, la potencia desalida aumentara con respecto al acoplamiento entre dos masas, y esto esmuy importante porque al generalizarlo para un numero arbitrio de masasacopladas podrıamos obtener mas informacion acerca del acoplamiento de lasreacciones de sıntesis de ATP puesto que son una larga cadena de reaccionesacopladas.

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Bibliografıa

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presenta: maría susana sánchez...

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