presentació de l'historial i del pla de treball › eva.miranda › upcmiranda2.pdf2 camille...

Presentacio de l’Historial i del Pla de Treball

places de lector LEC-13,14/725

Universitat Politecnica de Catalunya

Eva Miranda Galceran

Eva Miranda (UAB) LEC-13,14/725 18 Juny 2009 1 / 38

Trajectoria


Presentacio

Situacio actual: Investigador Juan de la Cierva, Universitat Autonomade Barcelona (fins al Maig de 2010).

2004-2007, Postdoc Marie Curie EIF a l’Universite PaulSabatier.(classificada 25 al ranking europeu de matematiques)

Setembre 2003, Doctorat en Matematiques, Universitat de Barcelona.

Professor Ajudant a la Universitat de Barcelona i professora a tempsparcial a l’UPC (MA I i MA IV), UB i UdL.

Juny 1995, Llicenciada en Matematiques, Universitat de Barcelona.


Experiencia docent i administrativa

He impartit classes de teoria, problemes i practiques a les universitats:UAB, UB, UPC, UdL.

Ensenyament :14 assignatures diferents a nivell de primer, segon ciclei doctorat. (l’any 2004 vaig impartir l’assignatura de GeometriaSimplectica).

Experiencia docent a la Facultat de Matematiques (especialment enassignatures de Geometria i Topologia) aixı com EnginyeriesTecniques i Superiors (en un total de 13 titulacions diferents).

Tutela i supervisio de postdoctorants (3) i doctorants en DoctoratEuropeu (1).

Coordinadora del programa Erasmus amb l’Universitat de Poitiers.


Experiencia docent i administrativa

Rapporteur i membre del Tribunal de tesi doctoral d’Iman Alamiddinea l’Universite de Toulouse Toulouse (defensa 10 de Juliol).

Coordinadora del programa de recerca Fluxos geometrics i problemesequivariants en geometria simplectica al CRM (2008-2009).

Organitzacio de conferencies 10:GESTA,GAP VI, Moment Maps,Weekendoıd Geometrie de Poisson, Col.loqui Paulette Libermann:Heritage et descendance a Paris IHP al Desembre de 2009.

Altres comites: Comite cientıfic, membre de jurats de fi de carrera....


Activitats de recerca

Comunicacions en Seminaris: 25 (inclou Observatoire de Paris,Jussieu, ENS-Lyon, MIT, Berkeley, Toronto...).

Communicacions com conferenciant convidada a colloquis i congresosinternacionals 19. (inclou Workshop on Conservative Dynamics andSymplectic Geometry, Dynamical Integrability, Poisson 2010, PoissonGeometry and its applications,Conferencia Moment Maps aLausanne..)

Estades en centre de recerca 15 (inclou M.I.T amb Victor Guillemin,Toronto amb Yael Karshon , ESI-Viena, UCSC amb Viktor Ginzburg).

Beca Leibnitz amb Mark Hamilton per a col.laborar a MFOOberwolfach (2008-2009).


Col.laboradors

1 Alain Albouy (Observatoire de Paris)

2 Carles Curras-Bosch (UB)

3 Victor Guillemin (MIT)

4 Mark Hamilton (Tokyo)

5 Camille Laurent-Gengoux (Poitiers)

6 Jean-Pierre Marco (Paris 6)

7 Philippe Monnier ( Toulouse)

8 Francisco Presas (CSIC-Madrid)

9 Ana Rita Pires (MIT)

10 Pol Vanhaecke (Poitiers)

11 San Vu Ngoc (Rennes)

12 Nguyen Tien Zung (Toulouse)


Publicacions i Activitats editorials

Articles publicats: 10 (inclou Ann. Sci Ec. Norm Sup, Annales del’Institut Fourier, IMRN, MRL, Diff.Geom Appl....).

Preprints 4.

Referee per Journal of Regular and chaotic dynamics, AmericanInstitute of Physics i CRM-Birkhauser.


Publicacions

1 Mark Hamilton i Eva Miranda, Geometric quantization of integrablesystems with hyperbolic singularities, Annales de l’Institut Fourier, n59, 2009.

2 Eva Miranda, Symmetries and singularities in Hamiltonian systems,acceptat per publicaco al Journal of Physics, Conf. Series, 2009.

3 Eva Miranda, Rigidity of Poisson group actions, Oberwolfach ReportPoisson Geometry and its applications, 2007.

4 Eva Miranda, Some rigidity results for Symplectic and Poisson groupactions Proceedings of the XV International Workshop on Geometryand Physics) , 2007 Publicaciones de la RSME.

5 Eva Miranda i Nguyen Tien Zung, A note on equivariant normalforms of Poisson structures MRL Mathematical Research Letters,2006 , vol 13-6, 1001-1012, (2006).

6 Eva Miranda i San Vu Ngoc, A singular Poincare lemma IMRNInternational Mathematics Research Notices, 1, 27-46, (2005).

7 Eva Miranda, A normal form theorem for integrable systems oncontact manifolds Publicaciones de la Real Sociedad MatematicaEspanola, Proceedings of the XIII Fall Workshop on Geometry andPhysics, Publ. R. Soc. Mat. Esp., 9, R. Soc. Mat. Esp., (2005),240–246.


Publicacions

8 Eva Miranda i Nguyen Tien Zung, Equivariant normal form fornondegenerate singular orbits of integrable hamiltonian systems,Annales Scientifiques de l’Ecole Normale Superieure, 37, n 6, pag819-839, 2004.

9 Eva Miranda i Carlos Curras-Bosch,Symplectic linearization ofsingular lagrangian foliations in M4. Differential Geometry and itsapplications, 18, n 2, pag 195-205, 2003.

10 Eva Miranda, On the symplectic classification of singular Lagrangianfoliations., Publicaciones de la Real Sociedad Matematica Espanola,239-244, vol 3, 2001.

11 Eva Miranda, On symplectic linearization of singular Lagrangianfoliations, Tesi Doctoral, Departament d’Algebra i Geometrıa,Universitat de Barcelone, 2003.


Prepublicacions

1 Victor Guillemin, Eva Miranda and Ana Rita Pires, Poissonb-manifolds and their normal forms, Preprint 2009.

2 Camille Laurent-Gengoux, Eva Miranda et Pol Vanhaecke,Action-angle coordinates for integrable systems on Poisson manifolds,preprint 2008, arxiv 0805.1679 [math SG].

3 Eva Miranda, Symplectic linearization of semisimple Lie algebraactions preprint 2008.

4 Eva Miranda, Philippe Monnier i Nguyen Tien Zung, Rigidity ofPoisson group actions, preprint 2009.


Recerca


Escenari. Objectes.

Geometria Simplectica (M, ω) ⊂ Geometria de Poisson (P, Π).

1 Sistemes Hamiltonians.

2 Sistemes integrables.

3 Foliacions Lagrangianes generalitzades (donades per un sistemaintegrable amb singularitats).

4 Foliacions simplectiques a una varietat de Poisson (singulars).

5 Accions (Hamiltonianes) de grups de Lie compactes i algebres de Lie(semisimples).

6 Aplicacio moment µ : M −→ g∗.


Recerca. Resultats obtinguts

(M, ω) ⊂ (P, Π).

1 Coordenades accio-angle per sistemes integrables singulars i pervarietats de Poisson.

2 Formes normals: models locals, semilocals (orbita) i globals peraquests objectes aixi com per ω i Π.

3 Teorema de Linealitzacio d’accions i formes de Darboux(-Weinstein)pels punts fixos.

4 Simetries addicionals: Formes normals equivariants.

5 Quantitzacio geometrica associada a un sistema integrable (singular) iper foliacions Lagrangianes generals.

6 Rigidesa i estabilitat (infinitesimal, per deformacions, global) a laMather. (estabilitat= objectes “propers” son equivalents). Filosofia:Estabilitat infinitesimal Estabilitat.


Recerca: Resultats

1 Sistemes integrablesSistemes integrables en varietats simplectiques: formes normals iversions equivariants (simetria).Sistemes integrables en varietats de contacte.Sistemes Hamiltonians de tipus semisimple: linealitzacio,contraexemple a la Conjectura d’Eliasson.Formes normals per les estructures de Poisson amb simetriesaddicionals: sistemes integrables (accio-angle), accions de grups,sistemes integrables no-commutatius.Teorema de Splitting de Weinstein equivariant.Quantitzacio Geometrica de sistemes integrables (singulars).Formes normals (semilocals) per les estructures de “b-Poisson”(generalitzacio del fibrat b-cotangent de Melrose).Construccions globals de varietats de b-Poisson.

2 EstabilitatEstabilitat infinitesimal de sistemes integrables.Rigidesa per accions de grups (i algebres) preservant estructuresgeometriques addicionals. Rigidesa per accions Hamiltonianes avarietats de Poisson a la Nash-Moser.


Sistemes integrables: Tesi

Un sistema integrable a una varietat simplectica (M2n, ω) ve donat per nfuncions fi genericament independents i en involucio {fi, fj} = 0.Aplicacio moment F = (f1, . . . , fn).

orbita regular compacta: Teorema d’Arnold-Liouville coordenadesaccio-angle formes normals semilocals per l’estructura simplectica il’aplicacio moment.

punt singular no-degenerat: Eliasson formes normales locals pelssistemes el.lıptics.(Cas general a la meva tesi).

Tors de Liouville ke comp. el.lıptica kh comp. hyperbolica kf comp. focus-focus


Formes normals equivariants

A la meva tesi vaig donar una demostracio pel cas d’una orbita singular(semilocal) no-degenerada generalitzant els resultats de Eliasson. Es unteorema de Morse-Bott simplectic.

Teorema (Accio-angle equivariant amb singularitats, Miranda-Zung)

Formes normals en un entorn d’una orbita singular no-degenerada enpresencia de simetria.

Aquest resultat es tambe valid al contexte de contacte sota condicions alcamp de Reeb (tesi).


Estabilitat infinitesimal de sistemes integrables

(Thom-Mather) Estabilitat (infinitesimal) d’un sistema integrable estabilitat de l’aplicacio moment F = (f1, . . . , fn) amb lesrestriccions {fi, fj} = 0.

Per les singularitats no-degenerades

Teorema (Miranda-Vu Ngoc)

Els sistemes integrables son infinitesimalment estables en un entorn d’unpunt fix.

estabilitat infinitesimal implica estabilitat?H1(f) = 0! lema de Poincare singular descomposiciosimplectica ortogonal.


Estabilitat infinitesimal de sistemes integrables

Podem definir un complexe de deformacions a la Chevalley-Eilenbergutilitzant la representacio adjuntada donada per l’accio Hamiltoniana Rn aX = C∞(M) (L0 ×X 3 (`, g) 7→ {f(`), g} ∈ X).(cocicles) Z1(f) n funcions g1 = α(e1), . . . , gn = α(en) (mod. funcionsbasiques) tals que

∀i, j {gi, fj} = {gj , fi}. (1)

Un cocicle es una deformacio infinitesimal d’un sistema integrable donatque mod ε2 tenim

{fi + εgi, fj + εgj} ≡ 0.

Un lema de poincare singular demostra que tot 1-cocicle es un 1-cobord


Quantitzacio geometrica de sistemes integrables

( (M,ω,L,∇), K∇ = ω) {seccions planes seguint una polaritzacio}Si no hi ha seccions globals la definim a la Kostant com

Q(M) =⊕

k

Hk(M ;J ).

J= feix de seccions planes.

Cas regular y polaritzacio definida per una foliacio: Sniatycki Q(M) determinat per les fulles de Bohr-Sommerfeld.

Cas singular: polaritzacio donada per un sistema integrable ambsingularitats no-degenerades en una varietat compacta.

Teorema (“figura del ∞”, Hamilton-Miranda)

En un entorn de la figura del ∞ que no conte fulles de Bohr-Sommerfeldregulars la quantitzacio ve donada per: H1(M ;J ) ∼= CN ⊕ CN



Cas regular i polaritzacio donada per una fibracio

Guillemin-Sternberg, cas regular

Les fulles de Bohr-Sommerfeld d’una fibracio regular venen donades pelsvalors sencers de les coordenades accio.

Cas singular i polaritzacio donada per un sistema integrable

Teorema (Hamilton-Miranda, Superfıcie compacta amb singularitatsno-degenerades)

La quantitzacio ve donada perH1(M ;J ) ∼=

⊕p∈H

(CN ⊕ CN)⊕⊕b∈BS Cb .

amb H el conjunt de punts singular hiperbolics i l’ensemble i BS les fullesBohr-Sommerfeld regulars.



Aquesta quantitzacio depen fortament de la polaritzacio (perque lacontribucio en cohomologia depen de l’ındex de les singularitats).

Exemples:

(a l’esquerra) Funcio alcada a l’esfera. La quantitzacio ve donada per lesfulles de Bohr-Sommerfeld.

(a la dreta) La quantitzacio geometrica te contribucions de dimensio infinita(dues per cada punt hiperbolic).


Quantitzacio geometrica. Cirugia integrable.

Construccions de sistemes integrables via cirugia integrable:

Podem adjuntar singularitats hiperboliques i canviar la quantitzacio


Quantitzacio geometrica.

Polaritzacio donada per una foliacio Lagrangiana qualsevol.

Al cas singular utilitzem cohomologia de Cech pels oberts “Eliasson”.

Al cas regular utilitzem resolucions fines del feix inspirats per lacohomologia foliada,

Teorema (Miranda-Presas)

Al cas de T2 la quantitzacio ve donada per les orbites periodiques que sonde Bohr-Sommerfeld.

Utilitzem un teorema de Denjoy-Godbillon que descriu les foliacionsregulars de T2.


Accions Hamiltonianes de tipus semisimple

Bochner Les accions de grups de Lie compactes son linealitzablesen un entorn d’un punt fix.

Guillemin-Sternberg Les accions de les algebres de Lie semisimplees poden linealitzar en el contexte analıtic pero no en el contextediferenciable.

Eliasson va posar la questio en el cas Hamiltonia.

Cas simplectic:

Teorema (Miranda)

Les accions simplectiques analıtiques d’algebres semisimples es podenlinealitzar en un entorn d’un punt fix en coordenades Darboux. Les accionsdiferenciables no es poden linealitzar en general.


Formes normals en varietats de Poisson

Teorema (Weinstein)

Tota varietat de Poisson es localment un producte

(Pn,Π, p) ≈ (M2k, ω, p1)× (Pn−2k0 ,Π0, p2)

La foliacio simplectica es localment un producte d’una foliacio simplecticaa P0 i de la fulla simplectica per x.


Coordenades accio-angle en varietats de Poisson

Sistemes integrables en varietats de Poisson (ex. Gelfand-Ceitlin, sistemesintegrables donats per homogenitzacio de sistemes que provenen detransformacios d’Appell (dinamica projectiva)....

Accio-angle i tors de Liouville.

Teorema (Laurent-Miranda-Vanhaecke)

Existencia de coordenades accio-angle per sistemes integrablescommutatius i no-commutatius.

Obstruccions cohomologiques a l’existencia d’splitting pel sistemaintegrable.

Laurent-Miranda

Les dades geometriques de Vorobjev donen obstruccions cohomologiquesper l’existencia de splitting.

Les dades geometriques de Vorobjev(ΠV ert,Γ,F) generalitzen el “minimalcoupling” de Guillemin-Sternberg per les fibracions de Poisson.


Formes normals de Poisson

Splitting equivariant

Teorema (Miranda-Zung)

Podem trobar formes normals simultaneament per les accions de Poissonde grups de Lie (linealitzacio) i per l’estructura de Poisson en un entornd’un punt fix si la varietat de Poisson es “tame”.

Podem escriure l’accio com lineal i

Π =k∑

i=1

∂

∂xi∧ ∂

∂yi+∑ij

fij(z)∂

∂zi∧ ∂

∂zj, (2)

on k es el rang de Π i les funcions fij s’anul.len a p.

Linealitzacio d’accions de Poisson:

Teorema (Miranda-Zung)

Si l’estructura de Poisson transversa te part lineal de tipus semisimplecompacte podem linealitzar l’accio del grup i l’estructura de Poissontransversa.Eva Miranda (UAB) LEC-13,14/725 18 Juny 2009 28 / 38

Formes normals de Poisson

Metode del camı en simplectica i Poisson (Moser):

iXtωt = −α

Xt(φt(q)) =∂φt

∂t(q). (3)

Llavors, φ∗t (ωt) = ω0.Per fer-lo equivariant fem el promig,

XGt =

∫Gρ(g)∗(Xt)dµ.

Poisson: el camı lineal no es Poisson.Localment podem trobar camins utilitzant les dades geometriques deVorobjev.


Rigidesa d’accions de grups

Palais Dues accions “properes” d’un grup de Lie compacte a unavarietat compacta son equivalents.

simplectic Via el metode del camı podem fer aquesta equivalenciasimplectica.

Poisson Podem utilitzar el metode iteratiu de Newton utilitzat perRichard Hamilton a la demostracio del teorema de Nash-Moser perdemostrar que:

Teorema (Miranda-Monnier-Zung)

Sigui g semisimple de tipus compacte i siguin µ0 : M −→ g∗ iµ1 : M −→ g∗ dues aplicacions moment C l-properes, llavors podem trobarun difeomorfisme de PoissonΦ t.q µ1 = µ0 ◦ Φ.


Rigidesa

Rigidesa sense estructures addicionals: Una accio dona un element deM = Hom(G,Diff(M)). Considerem l’accio suplementaria ,

β : Diff(M)×M 7−→M(φ, α) 7→ φ ◦ α ◦ φ−1

Dues accions α0 i α1 son conjugades si estan a la mateixa orbita.

Observacio

Orbites de β obertes rigidesa.

L’espai tangent a l’orbita es pot identificar amb els 1-cobords per lacohomologia de grups associada a l’accio amb coeficients aV = V ect(M) i l’espai tangent a M es pot identificar amb els1-cocicles.

Lema de Whitehead generalitzat: G compacte H1(G;V ect(M)) = 0 espai tangent a l’orbita = espai tangent aM.Eva Miranda (UAB) LEC-13,14/725 18 Juny 2009 31 / 38

Rigidesa per accions de grups

Si M es una varietat o una varietat tame Frechet podem aplicar elteorema de la funcio inversa de Nash-Moser.Problema: En general la condicio “tame Frechet” es difıcil de comprovar.A vegades podem utilitzar el metode de Newton per demostrar rigidesa


Rigidesa d’accions de grups

En el cas d’accions Hamiltonianes podem utilitzar el complexe deChevalley-Eilenberg associada a l’accio Hamiltoniana. de g a C∞(M) i elsoperadors d’homotopia per construir una successio convergent dedifeomorfismes donats per

φd = φ1XSt(h(ηd))

on ηd = (µ1 − µ0) ◦ φd−1.

Miranda-Monnier-Zung

Podem utilitzar aquesta estrategia per demostrar un teorema de formesnormals de Nash-Moser per espais SCI.


Varietats de b-Poisson

Les varietats de b-Poisson son una generalitzacio dels fibrats cotangents deMelrose per varietats amb vora.Son estructures de Poisson Π a varietats de dimensio 2n tals que Πn tallatransversalment la seccio zero de

∧n(TM).Exemple tipus: M = R2n et Z = {z = 0}

Π =n−1∑i=1

∂

∂xi∧ ∂

∂yi+ z

∂

∂z∧ ∂

∂t.

Seguint les idees de Weinstein sobre la classe modular podem associar tresobjectes a una varietat de b-Poisson: una funcio modularh, una 1-formamodular α i una 2-forma modular a Z, ω

Teorema (Guillemin-Miranda-Pires)

Si el conjunt crıtic Z es compacte, en un entorn de Z tenim,

ωΠ = dh ∧ α+ ω.


Projecte de recerca: Geometria, topologia i dinamica de lessingularitats als sistemes Hamiltonians

1 Formes normals per sistemes integrables en varietats simplectiques, dePoisson i folded.

2 Estudi de les varietats de b-Poisson, de sistemes Hamiltonians enaquestes varietats i de construccions de les mateixes.

3 Teoria de Delzant per sistemes integrables en varietats simplectiquescompactes.

4 Problemes de linealitzacio i rigidesa per accions de grups en varietatssimplectiques i de Poisson i aplicacions a altres problemesd’estabilitat.

5 Quantitzacio geometrica associada a una polaritzacio real (inclou elcas integrable Poisson).

6 Entropia topologica de sistemes integrables i estudi d’altres invariantsdinamics i topologics de sistemes integrables


Projecte docent: Grups de Lie i Aplicacions

Assignatura de Grau de matematiques. Optativa.

Nombre de credits total: 7,5 ECTS.

Hores presencials:2’5 hores de teoria setmanals, 1 hora de problemessetmanal y 1’5 hores dites de “Seminari”.Avaluacio:

1 Nota de problemes P .2 Nota de seminaris S (on es valorara el treball setmanal- es passara el

seminari per adelantat via campus virtual- i les entregues de la meitatd’aquests seminaris).

A banda d’aquesta nota, es tindran dues notes mes.

1 Nota de treballs d’ampliacio: T .2 Nota de l’examen E.

La nota final N s’obtindra via la formula seguent:

N =310C +

710max{0, 25T + 0, 75E,E}

on C = 0.25P + 0.75.



Temari:

1 Definicio de grups de Lie. Motivacio. Exemples classics.

2 Repas de nocions basiques de geometria diferencial i teoria de grups.

3 Topologia dels grups de Lie.

4 Grups de Lie de matrius. Els grups ortogonals. Els grups O(p, q). Grup deLorentz. Els grups unitaris. Els grups simplectics. Relacio amb les equacionsde Hamilton.

5 Algebres de Lie.

1 Exemples d’Algebres de Lie conegudes.2 Algebres de Lie de funcions: Corxet de Poisson. Subalgebres de Lie de

funcions en involucio. Integrals primeres.3 Algebra de Lie d’un grup de Lie.

6 L’aplicacio exponencial.

7 El grup fonamental d’un grup de Lie. Teoria de Galois de la Teoria de Grupsde Lie.

8 Accions de grups de Lie en una varietat diferenciable.Eva Miranda (UAB) LEC-13,14/725 18 Juny 2009 37 / 38


1 Classificacio de grups i algebres de Lie en dimensions 2 i tres.

2 Grups de Lie que no son grups de Lie de matrius.

3 El grup de Lorenz i les equacions de Maxwell.

4 El tercer teorema de Lie.

5 Les equacions d’Euler restringides a l’esfera.

6 Accions de tors en varietats diferenciables i sistemes integrables.Teorema d’Arnold-Liouville.

7 Grups de Lie i robotica al pla.

8 Accions de grups i geometries: Geometria euclidiana, esferica iGeometria Hiperbolica.


presentació de l'historial i del pla de treball › eva.miranda › upcmiranda2.pdf2 camille...

Documents