4. ° grado: Matemática

SEMANA 11

Proyectamos el sueldo de un trabajador a través de inecuaciones

DÍA 3

Cuaderno de trabajo de Matemática:

Resolvamos problemas 4 - día 3, ficha 10, páginas 133, 134 y 135.

Disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma.

Los recursos que utilizaremos:

Días 3 y 4:

Resolvamos

Leemos y observamos la siguiente situación

Las pizzerías locales, durante los últimos años, se han

especializado en la entrega de pizzas a domicilio. Las

empresas se han dado cuenta de la importancia de

entregarles el producto a sus clientes en la comodidad

de sus casas. Por ello, les brindan el servicio de la mejor

calidad disponible en el menor tiempo posible. Para

lograr todo esto, han diseñado rutas de transporte y han

aumentado la rapidez en la producción de pizzas.

El repartidor de pizzas

Calcula el número de pizzas que debe entregar un repartidor para que le convenga escoger la primera opción.

A partir de la situación, responde:

Por los motivos descritos, las pizzerías requieren de repartidores, a quienes ofrecen dos

opciones de contrato:

• Opción 1: sueldo mínimo de 850 soles, más 11 soles de comisión por cada pizza repartida.

• Opción 2: sueldo fijo de 1500 soles, independientemente del número de pizzas repartidas.

Comprendemos la situación

1. ¿En qué se han especializado las pizzerías locales, durante los últimos años?

2. ¿Cuál es la primera opción de contrato que ofrecen las pizzerías?

En la entrega a domicilio, pues se han dado cuenta que es importante hacer la

entrega a los clientes en la comodidad de su hogar, para ello, han diseñado rutas

de transporte y han aumentado la rapidez en la producción de pizzas.

Sueldo mínimo de 850 soles, más 11 soles de comisión por pizza repartida.

3. ¿Cuál es la segunda opción de contrato que ofrecen las pizzerías?

Sueldo fijo de 1500 soles, independientemente del número de pizzas repartidas.

4. ¿Qué nos pide calcular la pregunta de la situación?

Pide el número de pizzas que debe entregar un repartidor para que le convenga

escoger la primera opción.

Diseñamos una estrategia o plan

¿Qué acciones realizaré para resolver la situación?

• Realizo un diagrama tabular indicando el número de pizzas y su comisión.

• Obtengo el sueldo con la opción 1.

• Planteo una inecuación, que represente que el sueldo con la opción 1 es mayor que el

sueldo con la opción 2.

• Obtengo el número de pizzas a repartir para que le convenga al repartidor la opción 1.

• a < b ↔ a + 5 < b + 5

• a < b ↔ a − 3 < b − 3 • a + 4 < b + 4 ↔ a < b

• a − 2 > b − 2 ↔ a > b

• a < 10 ∧ b < 2 ↔ a + b < 10 + 2

Algunas nociones previas

Ejemplos:

Teoremas sobre desigualdades

1. a < b ↔ a + c < b + c

2. a < b ∧ x < y ↔ a + x < b + y

3. a < b ∧ b < c ↔ a < c

∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥, 𝑦 ∈ ℝUn teorema es un enunciado que

puede ser demostrado como

verdadero mediante axiomas

y argumentos lógicos.

4. a < b ⟶ ac < bc ↔ c > 0

a < b ⟶ ac > bc ↔ c < 0

5. 0 < x < a ∧ 0 < y < b → 0 < xy < ab

• a < b ↔ 12a < 12b

• 𝑎10 < 𝑏10 ↔ 𝑎 < 𝑏• a < b ↔ –5a > –5b

• 𝑎−11 < 𝑏−11↔ 𝑎 > 𝑏

Ejemplos:

ab > 200

• Si x > y

3x > 3y

3x + 2 > 3y + 2

3𝑥+27 > 3𝑦+27• Si a > 10

b > 20

×3

+2

× 17

6. Sea ab > 0, 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 ↔ 1𝑎 > 1𝑥 > 1𝑏 .Ejemplos:Corolario

Puedes proponer más ejemplos

en tu cuaderno. ¡Tú puedes!

• 0 < 𝑥 < 𝑏 → 1𝑥 > 1𝑏Ejemplo:

Si 0 < 5 < 8→ 15 > 18• 𝑎 < 𝑥 < 0 → 1𝑎 > 1𝑥

Ejemplo:

Si −5 < −2 → −15 > −12

• 2 < 𝑥 < 9 ↔ 12 > 1𝑥 > 19• 14 < 𝑥 < 12 ↔ 114 > 1𝑥 > 112 ↔ 4 > 𝑥 > 2• −6 < 𝑥 < −3 ↔ − 16 > 1𝑥 > − 13• 0 < 𝑥 < 5 → 1𝑥 > 15• −2 < 𝑥 < 0 → − 12 > 1𝑥

Al invertir los valores cambia el sentido de la desigualdad.

Inecuación lineal

• Son aquellas inecuaciones que se

reducen a la siguiente forma general:

ax + b ≥ 0; a ≠ 0 y a, b ∈ ℝEjemplos:

• 4x – 3 > 0

• 5x – 4 ≤ 0

• 𝑥6 − 5 ≥ 0

"

Solución particular

• Es aquel valor (o valores) de la incógnita (o

incógnitas) que verifica la inecuación.

• Por ejemplo, en la inecuación 2x + 3 > x + 5,

una solución particular es x = 5, pues

2(5) + 3 > 5 + 5 es cierto.

Conjunto solución

• Es aquel conjunto denotado por C. S. que

agrupa a todas las soluciones particulares (si

existen) de una inecuación. Si la inecuación

no tiene solución, entonces diremos que el

C. S. es el conjunto vacío.Puedes también identificar una

inecuación lineal cuando el exponente

de la o las incógnitas es uno.

Solución de una ecuación:

es aquel valor que toma la

incógnita y verifica la ecuación.

Conjunto solución de una

inecuación: es el conjunto

formado por todas las

soluciones de una inecuación.

Resolución de una inecuación

Ejemplo: resuelve la siguiente inecuación:

• Resolver una inecuación lineal es hallar su conjunto solución,

es decir, todos los valores que hagan verdadera la desigualdad.

• A diferencia de una ecuación lineal, una inecuación por

lo general tiene infinidad de soluciones que forman un

intervalo o una unión de intervalos en la recta real.

2x + 3 > x + 5

2x + 3 – 3 > x + 5 – 32x > x + 2

2x – x > x + 2 – xx > 2

Gráficamente:2

x +∞−∞Luego: C.S. = {x∈ ℝ / x > 2} = <2;+ ∞>

Recuerda:

• Realizo un diagrama tabular indicando la opción 1.

Ejecutamos la estrategia o plan

Sueldo opción 1 = Sueldo mínimo + Comisión por n pizzas

= 850 + 11n

Número de pizzas 1 2 3 … n

Comisión por cada pizza (S/) 11(1) 11(2) 11(3) … 11(n)

Resolución:

Respuesta: Debe repartir como mínimo 60 pizzas.

Resto 850.

• Quiero que la primera opción sea mayor que la segunda opción.

Multiplico por 𝟏𝟏𝟏 .

Repartiendo 59 pizzas ganaría S/ 850 + S/ 11(59) = S/ 1499, lo cual le seguiría conviniendo la opción 2.

Por lo tanto, tendría que vender como mínimo 60 pizzas para que le convenga la opción de sueldo 1.

Sigamos respondiendo

Sueldo opción 1

850 + 11n

850 + 11n – 850

Sueldo opción 2

>

11n

n

1500

1500 – 850

650

59,09

>

>

11n

11

650

11>

>

Resolución

Respuesta: Debería repartir como mínimo 37 pizzas.

1. Si en la segunda opción te pagarán un sueldo fijo de S/ 1250, ¿cuántas pizzas como mínimo deberías repartir para que te convenga la primera opción?

De lo anterior tenemos

850 + 11n

850 + 11n – 850

Suposición opción 2

11n

1250

1250 – 850

400

–850>

n 36,36

( 111)11n 400 ( 111)>

>

>

>

Para seguir aprendiendo en casa

Disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma.

Estimada y estimado estudiante, con la finalidad de afianzar

tus aprendizajes matemáticos te invitamos a revisar los

desafíos de las páginas 139, 140 y 141 del cuaderno de

trabajo de Matemática, Resolvamos problemas 4 - día 4

donde encontrarás otras situaciones similares que te serán

útiles resolver.

Gracias