5.° grado: Matemática

SEMANA 15

DÍA 3

Empleamos el ángulo de depresión y utilizamos los triángulos rectángulos en situaciones

de la vida cotidiana

Leemos y observamos la siguientes situaciones

Situación 1 Dos barcos son observados desde loalto de un faro en la mismadirección. El barco más cercano seobserva con un ángulo de depresión𝛽𝛽 y el otro, con un ángulo dedepresión de 37°. Si la altura delfaro es de 50 m, ambos botes estánseparados por 40 m y el faro está a22 m sobre el nivel del mar.

Determina el valor de la tangente del ángulo 𝜷𝜷.

A partir de la situación:

2. ¿Qué distancia hay entre la parte más alta del faro y el nivel del mar?

3. ¿Cuánto es la distancia de separación de los barcos?

4. ¿Qué te pide calcular la pregunta de la situación?

Comprendemos la situación1. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos de

depresión en la situación?

1. Describe el procedimiento que seguirías para dar respuesta a las preguntas de la situación.

Diseñamos una estrategia o plan

Algunas nociones previas

Ángulos alternos internos

Ejemplos:

Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante a ellas

α = β

Si L1 // L2, entonces,↔ ↔

L1

L2

1. Del gráfico, halla x.

2. Del gráfico, halla x.

Se cumple:x = 70°

Se cumple:3x = 123°

x = 123°3

x = 41°β

α

Si L1 // L2 , entonces:↔ ↔

L2

L1

70°

x

3. Del gráfico, calcula el valor de β.

Se cumple:4β = 120°

β = 120°4

β = 30°

123°

3x

L1

L2

4β120°

Los ángulos verticales son ángulos agudos que se abren en el plano vertical. Estudiaremos que están formados por una línea imaginaria horizontal y una línea imaginaria visual.

Línea visualEs una línea recta

imaginaria que une el punto de observación con

el objeto observado.

Línea horizontalEs una línea recta

imaginaria paralela al plano horizontal.

Ángulos verticales

Obsevador

Línea horizontal

Estos ángulos pueden ser:• De elevación.• De depresión.

Algunas nociones previas

Ángulo de elevaciónEs el ángulo agudo formado por la línea horizontal y la línea visual, cuando el objeto se encuentra por encima de la línea horizontal.

objetoLínea visual

0 < θ < 90°

θ

Línea horizontal

53°

Línea horizontal

Ejemplo:Un adolescente de 1,5 m de estatura observa la parte alta de un árbol con un ángulo de elevación de 53°.

Algunas nociones previas

Ángulo de depresión

Es aquel ángulo agudo que está formado por una línea horizontal y la línea visual, cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal.

Ejemplo:Desde un avión, un piloto observa un barco con un ángulo de depresión de 60°.

Línea horizontal

60°

0 < α < 90°

Línea horizontal

α°

objeto

Algunas nociones previas

θ

Ángulo de observaciónEl ángulo de observación es aquel ángulo formado por dos líneas visuales.

θ: ángulo de observación (no necesariamente está en el plano vertical)

Algunas nociones previas

Volvamos a la situación

Dos barcos son observados desde lo alto de un faro en la misma dirección. Elbarco más cercano se observa con un ángulo de depresión β y el otro, con unángulo de depresión de 37°. Si la altura del faro es de 50 m, ambos botes estánseparados por 40 m y el faro está a 22 m sobre el nivel del mar.

Determina el valor de la tangente del ángulo 𝛽𝛽.

• Utilizo un gráfico para representar los datos.

• Me piden determinar el valor de la tangente del ángulo β.

Ejecutamos la estrategia o plan

BNivel del mar

A

β°

50 m

22 m

37°

40 m

Si L1 // L2 , entonces,↔ ↔

• Observo que β° y 37° están en un triángulo rectángulo.

Recuerda:El ángulo de depresión se determina con la línea horizontal y la línea visual.

Recuerda:

B A

β°

50 m + 22 m = 72 m

37°

40 m

β°37°X°

X°

BNivel del mar

A

β°

50 m

22 m

37°

40 m

Línea horizontalSigo respondiendo

Recuerda: Triángulos notables

53°

4k

5k

37°

3k

• Observo que FBC es un triángulo rectángulo notable de 37° y 53°, en el cual relaciono la medida de sus lados en la proporción con 3k y 4k.

B A

72 m = 3(24 m)

37°

40 m

β°37°

d

F

C

B

72 m = 3k

37°

37°

4k = 4(24 m) = 96 m

F

C

53° 3k = 72 m

k = 72 m3

k = 24 m

β°

Sigo respondiendo

Observo en el gráfico que:BC = BA + AC.

B A

β°

72 m

37°

40 m

β°37°

d96 m

40 m + d = 96 md = 96 m – 40 md = 56 m

C

• Observo el triángulo rectángulo BFC de 37°.F

Sigo respondiendo

Recuerda:

tan𝛽𝛽 =Cateto opuesto

Cateto adyacente

Para βCateto opuesto es 72 mCateto adyacente es 56 m

Respuesta: La tangente de β es .97

• Relaciono el valor de AC = 56 m en el triángulo rectángulo AFC.

tgβ° = =72 m56 m

97

72 m

56 m

β°

F

A C

Sigo respondiendo

Situación 2 Las líneas de Nazca están formadas por una enormered de líneas y dibujos de animales, plantas y otrasfiguras atribuidas a la cultura Nazca. Las líneas,ubicadas entre los km 419 y km 465 de la carreteraPanamericana Sur, cubren un área aproximada de350 km2. Una avioneta sobrevuela este patrimoniocultural en línea recta y horizontalmente divisa entierra un punto A, con un ángulo de depresión iguala 53°. Si luego de recorrer 900 m se encuentraexactamente por encima del punto A.

A partir de la situación:

Determina la longitud de la primera visual.

Resolución• Represento los datos y condiciones de la situación.

Desde el punto F trazo una línea visual al punto Acon un ángulo depresión de 53°.

Luego de recorrer 900 m se encuentra exactamente por encima del punto A.

Recuerda: Para formar el ángulo de depresión es importante reconocer la línea horizontal y la línea visual.

A900 m

F

53°

A

Línea horizontalF

53°

Línea horizontal

• Con la ayuda de los ángulos alternos internos, traslado el ángulo de 53° para facilitar el desarrollo de la situación.

Recuerda: Ángulos alternos internosSi L1 // L2, entonces, se cumple:

↔

L1

L2

α

α

↔

F

53°

A

Línea horizontal

900 m

53°

B

• Necesito calcular la longitud de la línea visual, es decir, la longitud FA, que es la hipotenusa del triángulo rectángulo notable FBA.

F

53°

A

Línea horizontal

3k = 900 m

53°

B

• Relaciono la medida de los lados del triángulo FBA.

4k5k

3k = 900 m

k = 900 m3

k = 300 m

• Calculo la longitud de la línea visual.La línea visual es 5k = 5(300) = 1500 m.

Repuesta: La longitud de la línea visual es 1500 m.

Recuerda: Triángulos notables

37°

3k

5k

53°

4k

2. En la situación 2, ¿es correcto considerar a 53°como un ángulo de depresión? Justifica tu respuesta.

1. En la situación 1, se podrá calcular el seno de β. Justifica tu respuesta.

Reflexionamos sobre lo desarrollado

Gracias