presentación de powerpoint · espiral de fasores. zonas de fresnel. 7. 01.10 orificio circular....
TRANSCRIPT
1
Tema 2 TRANSMISIÓN ACÚSTICA A TRAVÉS DE VARIOS MEDIOS
1 10.09 Repaso: reflexión, ondas estacionarias. Formula de la línea
2 15.09 Coeficiente de transmisión. Multicapa. Dos y tres medios
3 17.09 Extremo abierto. Rama lateral.
4 22.09 Bifurcación. Método matricial
5 24.09 Incidencia oblicua. Refracción acústica.
Tema 3 DIFRACCIÓN ACÚSTICA. BARRERAS CONTRA EL RUIDO
6 29.09 Array. Espiral de fasores. Zonas de Fresnel
7 01.10 Orificio circular. Espiral Cornú. Fórmula de Maekawa. Barreras
8 06.10 Resolución de los problemas de difracción
9 08.10 Repaso
2
PROPAGACIÓN DE LA IMPEDANCIA: FÓRMULA DE LA LÍNEA
( ) ( )( )
=⇒
++
= kL,zzlinzz
ytgxj1ytgjxy,xlin
0
201
En adelante para escribir esta fórmula utilizaremos función “lin(x,y)”:
==
⇒−+
== −
−
)F,x(zz)F,x(zz
FeeFeez)F,x(z
)x(v)x(p
22
11jkxjkx
jkxjkx
0
Excluyendo F de este sistema, obtenemos la fórmula de la línea, que expresa la impedancia de entrada de un tramo a través de la de salida:
1x1z
2x2z
L
( )( )kLtgzjzkLtgzjzzz
20
0201 +
+=
( )kLtgjzzz 0
12 =⇒∞→
( )kLtgzjz0z 012 =⇒→
0102 zzzz =⇒→
Algunos casos interesantes:
Aquí los tubos se suponen ESTRECHOS: diam < longitud de onda
3
Impedancia específica Z0de una línea infinitamente larga
MEDIO Z Z0
espacio libre
tubos
barras longitudinales
cuerdas
vp
vSp
vF
cρ
Scρ
Scρ
vF cµ
COEFICIENTE DE
TRANSMISION
5
Rigidez de la pared Resonancias
masa de la pared
Ley de 6 dB/octAmortiguamiento
amortiguamiento menor
amortiguamiento mayor
frecuencia crítica(efecto de coincidencia)
frecuencia
Pérdidas por transmisión a través de una pared, dB
Modo fundamental es el más importante
En las primeras 4 clases de Ingeniería acústica
hablaremos solo del caso “masa de la pared”.
Otros casos se comentarán de el capítulo “Aislamiento” de “Acústica
arquitectónica” (cuatrimestre 6)
aireλ
paredλ
p
airesenλλ
=θ
Por ejemploLibro de R.Barron, cap.4, fig. 4-10
6
TRANSMISIÓN A TRAVÉS DE DOS MEDIOS
Al incidir normalmente una onda plana armónica y progresiva con la amplitud p0idesde un medio con la impedancia z0 sobre una superficie con la impedancia de entrada z, se cumplen las condiciones de continuidad de la presión y velocidad :
Coeficientes de reflexión y de transmisión de la potencia acústica :
( )2
0
02
0
02
0
0
zzzzRe4
zzzz,
zzzz
1r1t
2
i0pr0p̂
ir
r +=
+−
+−
−=α−=α===αII
Podemos escribirlo en términos de la función “transm”:
i0p
r0p̂
===∞==
0zz,1Imz;,0z,0
⇒
=α
0zztransmt
t0p̂0z
z
( )2
1x1x1xtransm
+−
−=
𝐩𝐩𝟎𝟎𝟎𝟎 + �𝐩𝐩𝟎𝟎𝐫𝐫 = �𝐩𝐩𝟎𝟎𝐭𝐭𝐩𝐩𝟎𝟎𝟎𝟎𝒛𝒛𝟎𝟎
−�𝐩𝐩𝟎𝟎𝐫𝐫𝒛𝒛𝟎𝟎
=�𝐩𝐩𝟎𝟎𝐭𝐭𝐳𝐳
⟹�𝐩𝐩𝟎𝟎𝐫𝐫𝐩𝐩𝟎𝟎𝟎𝟎
=𝐳𝐳 − 𝒛𝒛𝟎𝟎𝐳𝐳 + 𝒛𝒛𝟎𝟎
�𝐩𝐩𝟎𝟎𝐭𝐭𝐩𝐩𝟎𝟎𝟎𝟎
=𝟐𝟐 𝐳𝐳
𝐳𝐳 + 𝒛𝒛𝟎𝟎
7
[ ] [ ]
[ ] ( )zRez2
Uz(z)Re
z2Ucos
z2UeRe
z2U
ezUURe
21eIeURe
21UIRe
21UIW
2
2222j
j)t(ωjtωj
==ϕ==
=
====
ϕ−
ϕ−ϕ+−∗
deducimos que la potencia eléctrica disipada en una impedancia z al aplicar la tención alterna U:
Por tanto esta potencia es nula en tres casos:z=0, U = 0, “cortocircuito”z=∞, pared absolutamente rígidaRe (z) = 0, impedancia puramente reactiva
Si al final de una línea (sin bifurcación ni atenuación) la transmisión es nula lo es también al principio, es decir a través de la línea.
( )2
0
02
0
02
0
0
zzzzRe4
zzzz,
zzzz
1r1t
2
i0pr0p̂
ir
r +=
+−
+−
−=α−=α===αII
Otra manera de demostrarlo en el caso acústico:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]φ+ω−ω=φ
=φ+ωω∫ tjtjT
0
eeRe21
2cosdttcostcos
T1
Utilizando la relación :
En el caso acústico :
( )zRez2
pW 2
2
=
8
De la fórmula de línea se deduce fácilmente que si la impedancia final de un tramo uniforme de una línea es infinita, nula o reactiva, su impedancia de entrada siempre será reactiva. Retrocediendo así hasta la entrada principal deducimos que la transmisión a través de toda la línea es nula.
Por tanto en aquellos problemas de transmisión sin bifurcaciones, donde la impedancia final de la línea es infinita o nula o reactiva, para demostrar que el coeficiente de transmisión a través de la línea es nulo NO ES NECESARIO ir calculando la impedancia de entrada de cada tramo.En estos casos consecuencia en cada tramo se forma una onda estacionaria pura.
Ejemplos:
1 2
3
MULTICAPA
10
TRANSMISIÓN A TRAVÉS DE “MULTICAPA”
i0p
r0p̂....
=α
0zztransmt
t0p̂1 2 3 1n − n
finz
= nkL,
n0zfinz
linn0znz
( ) ( )
−
−−=− 1nkL,
1n0znz
lin1n0z1nz
= 2kL,
02z3z
lin02z2z
== 1kL,
01z2z
lin01z1zz
Impedancia z de entrada al“multicapa”
0z
1. Intensidad acústica es la misma en todas las capas2. Principio de reciprocidad: ←→ α=α
tt
11
05.06.07Una onda acústica armónica plana y progresiva se propaga en el aire verticalmente e incide sobre una placa que flota en el agua:El espesor de la placa L es igual a un cuarto de la longitud de onda en la placa. Las impedancias acústicas específicas son (rayls) : aire 400, placa 10000, agua 1500000. Calcular el coeficiente de transmisión acústica del aire al agua. Solución:
( )
( )( ) 3
2003R2R
kL·tan3R·j2RkL·tan2R·j3R2Rimp
kLtan2
kL15000003R100002R4001R2
==++
=
∞→π
====
001.0400
1500000transm:placasin49.04924
161
161
161transm
2
t =
==
+
−−=
=α→
→==61
1R·3R2R
1Rimp 2
2Sc2R,
1Sc1R,
ScR ρ
=ρ
=ρ
=
S
Solución:
05.02.00 En un conducto muy largo se insertan dos cámaras de expansión. Calcular el coeficiente de transmisión.
= 2Lk,
2RRlin2R2z
1L,1S SL,S 2L,2S
z 2z R1z
= Lk,
R2zlinRz
= 1Lk,
1Rzlin1R1z
=α
R1ztransmt
12
TRES MEDIOS
14
TRANSMISIÓN A TRAVÉS DE TRES MEDIOS
1R01z = 3R03z =
2R02z =
L
==
→kL,
RRlin
RRtransm
II
31α
2
3
1
2t
1eldesdeincidente
3alatransmitid
( ) ( ) ( )kLsenR
RRRkLcosRR
RR4
31 22
2
312
2231
31t
+++
=→α
( ) 2
1
2
2
12
31
t
RR
RR
4kLsen1
1
RR
−+
==
α
El primer y el tercer medios son semiinfinitos
tα
10RR
1
2 =
5.1RR
1
2 =
kL0
0π π2
5.0
1
Ley de masa Ancho de banda Espesor mínimo =
4λ
k =k0 - jα atenuación
αt =1 (!), adaptación entre los medios ⇒312 RR=Ry4λ
=Lsimétodo de “rebotes”el mismo resultado
En cada encuentro con una de las dos paredes parte de la energía de la onda se transmite y el resto se refleja (de acuerdo con las fórmulas para αt y αr en el caso de dos medios, pag. 6).Es un proceso infinito. Sumando todos los fasores transmitidos al tercer medio (color verde) tenemos el coeficiente de transmisión resultante. Los fasores forman una progresión geométrica. Lo mismo con la reflexión resultante.
El resultado coincide con las fórmulas de la página anterior .
Método de “rebote”
16
DEDUCCIÓN DE LA LEY DE MASA
( )≈
−+
=α 2
1
2
2
12t
RR
RR
4kLsen1
1
1kL,RR 12 <<>>
( )( )
2
paredm1
aire2
1
22 2M
c2
RR
4kL
1
ωρ
≈
( ) dBc2
Mlog201log10AISL
aire
paredm1
t
2
ρ
ω=
α
=
Pared de 1 ladrillo de espesor: ρ=1700 kg/m3, L=0.27 m, f=2000 HzdB77AISL =
Otro ejemplo: agua acero de espesor 2.5 cm, agua, f=1000 Hz, datos de acero: ρ=7800 kg/m3, c=5000 m/s
857'0
26126025'0
500010002sen
411
12
2t =
−
π
+
=α
26=Mrayls5.1Mrayls39
=RR
agua
acero
17
ANCHO DE BANDAS DE PASOVeamos el principio de la gráfica ( )kLtα
( )5'0
RR
RR
4kLsen1
12
1
2
2
12t =
−+
=α
1
0 kL
5'0
2f∆
( )kLtα
1f
Lc
RR
2ff1
RR
2kL
2
11
1
2π
=∆
=⇒=
1kL,RR 12 <<>>
Ejemplo: Pared de acero de 2.5 m (!!!) de espesor:rayls400RR,Mrayls40R aire12 === 5
2
1 10RR −=
dB31=fΔlog10+50=BLHz013.0=fΔ ⇒
Un tono de1 kHz no pasa a pesar de que para 1 kHz: sen2 (kL) = 0 ( ) .1=kLαt
de la transmisión a través de tres medios:
18
Se puede comprobar experimentalmente que la transmisión de un tono puro de 1 kHz a través de una pared de acero de 2’5 m de espesor (!) , situada en el aire, es prácticamente nula. Sin embargo, al sustituir en la fórmula
( ) 22t
1R2R
2R1R
4kLsen1
13R1R
−+
==
α
¿Cómo se explica esta contradicción ?
(R1 y R2 las impedancias acústicas específicas,respectivamente, del aire y de la pared )
( ) )!!(!1,0kLsen,1000/50005.22L2kL t =α=π=
π=
λπ
=
L = 2.5 m, c = 5000 m/s, f = 1000 Hz, tenemos:
Por otro lado Δf que es proporcional a la proporción entre las impedancias del aire y de la pared (ver la transpar. de teoría) y en el caso “aire-acero-aire” se hace muy pequeño:
El nivel del sonido transmitido a través de la pared es proporcional al ancho de banda del espectro:
flog10SLBL ∆+=
Hz013.0=40000000400
=RR
~fΔ2
1
Es decir, los máximos del espectro son tan estrechos que el nivel transmitido es despreciable.
π π2 π3
19
21.02.05 Una onda plana armónica y progresiva incide normalmente sobre una pared que separa dos habitaciones muy grandes. La longitud de onda dentro del material de la pared = 10 cm, el espesor de la pared = 13 cm. Luego aumentamos el espesor de la pared en 10 %.
¿Qué es lo que ocurre con el coeficiente de transmisión a través de la pared: sube o baja ?
( ) 22t
1R2R
2R1R
4kLsen1
13R1R
−+
==
α
La única magnitud que se cambia es el espesor de la pared L. Veamoscómo se modifica :
Solución :En este caso el coeficiente de transmisión a través de tres medios secalcula de acuerdo con la fórmula:
( )kLsen
43.01.1·13102sen,95.013
102sen =
π
=
π
Por tanto el denominador baja y el coeficiente de transmisión sube.
Aquí R1 y R2 son las impedancias específicas de los medios 1 y 2respectivamente.
20
R
L
r
02.02.10 Para reducir el coeficiente detransmisión acústica a través de untubo muy largo al valor 0.25 para 100Hz insertamos al tubo una cámara deexpansión. R = 11 cm, r = 5 cm.
Calcular la longitud mínima de lacámara L.
( ) 22t
1R2R
2R1R
4kLsen1
13R1R
−+
==
α
La proporción entre las impedancias específicas de los tubos R1 y R2 esinversa a la proporción entre los cuadrados de sus radios. Por tanto
( )( )
( ) m457.01002
340·844.0k844.0L844.0748.0senarckL
748.0
115
511
12kLsen
115
511
4kLsen1
125.02
2
2
22
2
2
2
22
=π
==→==
→=−
=→
−+
=
Solución:
21
02.09.09 Un tubo está compuesto por tres tramos, con secciones transversales son 1, 2, y 3 m2 , respectivamente. Los tramos 1 y 3 son semiinfinitos. Desde el tramo 1 incide una onda progresiva. La longitud de onda es ocho veces mayor que la longitud del segundo tramo. Calcular el coeficiente de transmisión a través del tubo.
03z3z =2z
3Sc03z,
2Sc02z,
1Sc01z ρ=ρ=ρ=
π=
=
4,
3S2Slin02zkL,
02z3zlin02z2z
85.011396
1j46j32
1j46j32
1j46j32transm
4tan
32j1
4tanj
32
21transm
4,
32lin
21transm
4,
3S2Slin
2S1Stransm
01z2ztransm
2
t
==+
++
−++
−=
++=
π+
π+
=
=
π=
π=
=α