TEMA 4

Prepardo por el prof.AntoniEspasa

REFERENCIAS

• Una posible referencia para la preparación de este tema es el capítulo 3 de

• Espasa,A. y J.R. Cancelo (eds.),1993,Métodos Cuantitativos para el Análisis de la Coyuntura Económica, Alianza Editorial

MODELOS UNIVARIANTES Y ANÁLISIS CUANTITATIVO EN LA EMPRESA.

La realidad económica de una empresa no se compone de variables – series temporales –aisladas entre sí,

sino que viene determinada por la interrelación existente entre distintas variables.

Así pues, los modelos ARIMA univariantes de los capítulos anteriores constituyen un paso inicial, necesario, para modelizar contextos económicos de interés en la empresa,

pero en sí mismos son de utilidad muy limitada, pues ignoran la interrelación entre variables.

USOS DE UN MODELO ARIMA SOBRE UNA VARIABLE DE VENTAS

Un modelo ARIMA sobre las ventas de un cierto productode una empresa en una determinada área geográfica resulta útil para un cierto análisis estructural sobre dichas ventas como

conocer sus características tendenciales, estacionales y cíclicas, y

conocer la incertidumbre asociada a sus expectativas futuras dadas sus realizaciones pasadas, etc.

USOS DE UN MODELO ARIMA SOBRE UNA VARIABLE DE VENTAS

• EL MODELO ARIMA SE PUEDE UTILIZAR PARA PREDECIR.

En efecto.El modelo recoge la dependencia de las ventas en un determinado momento en función del pasado.

Así,esa relación de dependencia se puede utilizar para proyectar su valor futuro en el momento (t+h),conocido el pasado hasta el momento t .

LIMITACIONES DE UN MODELO ARIMA SOBRE UNA VARIABLE DE VENTAS

pero el modelo anterior tiene un interés limitado dentro de las labores de planificación y gestión empresariales,

ya que no proporciona información estructural más relevante como relación de las ventas con otras variables como

campañas publicitarias,cambios de precios relativos respecto a, bienes sustitutivos,

renta de los consumidores,nivel de empleo, etc.

Modelos multivariantes

• Para lo anterior se necesitan modelos multivariantes, es decir, referidos a un conjunto n de variables, que están interrelacionadas.

• Ahora, pues, el modelo serámultiecuacional, con una ecuación por cada variable considerada.

•

EJEMPLOS DE ANALÁSIS SOBRE CONJUNTOS INFORMATIVOS MULTIVARIANTES

• LA INFLACIÓN A NIVEL NACIONAL se analiza junto con variables como:- costes laborales unitarios-agregados monetarios-precios de importación-un indicador de presión de la demanda-diferenciales entre tipos de interés-etc

• LA INVERSIÓN EN UN SECTOR INDUSTRIAL SE RELACIONA CON VARIABLES COMO:

• -la producción del sector• -el nivel de utilización de la capacidad productiva• -del coste de uso del capital• -etc.

• LOS INGRESOS DE UNA EMPRESA DE TURISMOSE RELACIONAN CON VARIABLES COMO:

• -Un indicador de la renta de los turistas• - indicadores de precios relativos respecto otras

empresas o respecto otros paises oferentes de servicios turísticos

• -etc.

• EL TIPO DE CAMBIO ENTRE EL EURO Y EL DÓLAR SE RELACIONA CON VARIABLES COMO :

• -El diferencial entre las expectativas de crecimiento económico entre ambas áreas geográficas

• -el diferencial entre tipos de interés• -el diferencial de inflación• -etc.

• EL EMPLEO EN UN SECTOR INDUSTRIAL SE RELACIONA CON VARIABLES COMO:

-la producción del sector-el salario real en el sector-etc.

MODELOS MULTIVARIANTES SIN REALIMENTACIÓN

• No obstante, si de todas las variables consideradas sólo una es la de interés relevante y las demás, restantes, sólo se contemplan en cuanto a que ayudan a explicar la primera, puede estudiarse si la relación entre variables es tal que las variables restantes influyen en la variable de interés, pero no al revés. Es decir no existe realimentación desde la variable de interés hacia las restantes.

MODELOS UNIECUACIONALES

• En dicho caso y sólo en él, puede contemplarse un modelo uniecuacional sobre la variable de interés en función de las restantes variables que actúan como explicativas y que ,en las condiciones señaladas, tienen la calidad de variables exógenas.

• Las variables exógenas son independientes de las innivaciones presentes y pasadas de la ecuación en la que aparecen como variables explicativas.

Modelos uniecuacionales en la empresa

• Estos modelos son de utilidad cuando quiere analizarse la dependencia de una variable de empresa en función de variables nacionales,como el producto interior bruto, consumo privado, empleo, paro, índices de precios o deflactores, variables demográficas, etc.; internacionales como la producción mundial, el producto interior bruto de países relevantes, índices de precios de tales países, precios internacionales de materias primas, etc.; o incluso de ciertas variables de la misma empresa como gasto en publicidad.

• En todos estos casos parece razonable suponer que no hay realimentación desde las variables explicativas hacia las variables de empresa.

• En ausencia de realimentación las variables explicativas son exógenas.

• Este tema se dedica al estudio de modelos uniecuacionales con variables exógenas.

•MODELOS VAR RECURSIVOS

Cuando un modelo VARMA sólo tiene parte autorregresiva se le denomina VAR (p). Estos modelos son muy utilizados en economía.EJEMPLO: VAR (2).

( ) ( )( ) ( ) ,

1 1

2

1

2

12)2(

22)1(

222)2(

21)1(

21

2)2(12

)1(12

2)2(11

)1(11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−−−−−−

t

t

t

t

aa

XX

LLLLLLLL

φφφφφφφφ

(2)es decir,

tt aXL =Φ )(donde Φ (L) es una matriz polinomial.

MODELOS VAR RECURSIVOS

• Se dice que un modelo VAR es recursivo si:

• (a) es posible ordenar las variables de forma que la matriz de polinomios dinámicos tenga una estructura triangulary

• (b) la matriz de varianzas y covarianzas es diagonal.

IMPLICACIONES DE LA HIPÓTESIS DE RECURSIVIDAD

• Cuando se cumple la hipótesis de recursividad todas las variables explicativas en cualquier ecuación son fuertemente exógenas.

• El modelo se estima eficientemente aplicando MCO a cada ecuación aisladamente.

IMPLICACIONES DE LA HIPÓTESIS DE RECURSIVIDAD

La predicción de una determinada variable se puede realizar utilizando aisladamente su correspondiente ecuación incorporando predicciones de las variables explicativas.

Para estas últimas predicciones se utilizarán ,también de forma aislada,suscorrespondientes ecuaciones.

IMPLICACIONES DE LA HIPÓTESIS DE RECURSIVIDAD

• ES POSIBLE TRATAR CUALQUIER ECUACIÓN DEL MODELO DE FORMA AISLADA TANTO PARA ESTIMACIÓN COMO PARA PREDICCIÓN.

• PARA LA PREDICCIÓN SERÁ NECESARIO INCORPORAR EN LA ECUACIÓN PREDICCIONES DE LAS VARIABLES EXÓGENAS,QUE SE OBTIENEN FUERA DEL MODELO Y DE FORMA INDEPENDIENTE DEL MISMO.

• EN EL RESTO DE ESTE TEMA SE SUPONDRÁRECURSIVIDAD Y SE TRABAJARÁ CON MODELOS UNIECUACIONALES.

Supóngase un modelo VAR(1) sobre dos variables, con estructura dinámica triangular pero con dependencia contemporánea entre los residuos:

xt = Ф11 xt-1 + a1t (1.a)

yt = Ф21 xt-1 + Ф22 yt-1+ a2t (1.b)

MODELOS UNIECUACIONALES CON DEPENDENCIA CONTEMPORÁNEA ENTRE LAS VARIABLES

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Ω 2

212

1221

σσσσ

El modelo anterior es un modelo VAR con restricciones y con matriz de varianzas y covarianzas residuales que no es diagonal.

Por lo que para su estimación eficiente se necesita utilizar todo el modelo.

Una alternativa a la estimación conjunta está en ortogonalizar los residuos.

Supóngase que la variable de interés es yt.

Su dependencia contemporánea con xt en el modelo VAR aparece en el parámetro σ12 que vincula a1t y a2t.

Para incorporar esa dependencia contemporánea en un modelo uniecuacional sobre yt se puede utilizar la regresión:

a2t = ba1t + εt (2)

donde εt y a1t son ortogonales.

Si en (2) se sustituye a1t por su valor en (1.a) se tiene

a2t = bxt – bФ11 xt-1 + εt (3)

Sustituyendo (3) en (1.b)

yt = bxt + (Ф21 – bФ11) xt-1 + Ф22 yt-1 + εt (4)

yt = bxt + b1 xt-1 + Ф22 yt-1 + εt (5)

Ahora el modelo VAR se puede formular como

xt = Ф11 xt-1 + a1t (6.1)

yt = bxt + b1 xt-1 + Ф22 yt-1 + εt (6.2)

Que tiene estructura dinámica triangular y una matriz de varianzas y covarianzas diagonal:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Ω 2

21

00σ

σ

En la transparencia anterior σ2 es la varizanza de εt, que es también el residuo de la regresión (2).

Recordando resultados sobre el modelo de regresión simple, de (2) se tiene que

(7)

El coeficiente de regresión β es

, (8)

Donde ρ es la correlación (σ12/σ1σ2) entre a1t y a2t.

Sustituyendo (8) en (7) se tiene que

y

221

222 σσβσ +=

1

2

σσρβ =

222

222 σσρσ += )1( 22

22 ρσσ −= (9)

En el sistema (6) es posible sacar la ecuación (6.2) y trabajar con ella asiladamente.

La ecuación (6.2) se estima eficientemente por MCO.

Su utilización en la predicción sólo será de interés si la observación de xt se publica con anterioridad a la de yt.

Esto último suele ocurrir cuando xt es un indicador de confianza sobre un sector macroeconómico en yt la medición de dicho sector, por ejemplo, ytpuede ser la producción industrial.

Los resultados anteriores ponen de manifiesto que los modelos uniecuaciones pueden incluir como regresores los valores contemporáneos de las variables explicativas.

EL MODELO DE REGRESIÓN

DINÁMICA MULTIPLE

Modelos uniecuacionalesdinámicos.Formulaciones alternativas: a) Módelos de función de transferencia o retardos racionales.b) Modelos de retardos autorregresivos distribuidos (ADL).

MODELOS UNIECUACIONALES

FORMULACIONES ALTERNATIVAS DEL MODELO DE REGRESIÓN DINÁMICA

Un modelo uniecuacional extraido de un VAR recursivo no es más que un modelo de regresióm dinámica múltiple.

Éste se puede formular:(a) de la forma habitual en un modelo de regresión y

entonces se le denomina modelo autorregresivo de retardos distribuidos(ADL) y

(b) en forma de cocientes de polinomios y entonces se le denomina modelo de retardos racionales o de función de transferencia(FT).

FORMULACIÓN DEL MODELO DE REGRESIÓN DINÁMICA EN TÉRMINOS AURORREGRESIVOS

CON RETARDOS DISTRIBUIDOS (ADL)

• Se supone que x1, x2, … xk son k variables fuertemente exógenas con respecto a Y.

• La formulación general del modelo ADL es:α(L) yt = β1(L)x1t + β2(L)x2t + … βk(L)xkt + at

donde α(L), β1(L), … βk(L) son polinomios en el operador de retardos.

Ejemplo: yt = 0.5yt-1+0.2xt-1+0.1xt-2+at(1-0.5L)yt = (0.2L+0.1L2)xt + at

MODELOS ADL

La estructura general es

Su formulación consiste en poner suficientes retardos de la variable endógena y en las variables exógenas de modo que el término residual sea ruido blanco.

Tal formulación sólo necesita de la teoría Económica la especificación del vector de variables (yt, x1t, …, xkt)

α(L) yt = β1(L) x1t + β2(L) x2t + … + βk(L) xkt + at (1)

FORMULACIONES ALTERNATIVAS DEL MODELO DE REGRESIÓN

DINÁMICA• Modelos de retardos racionales o modelos de

función de transferencia (FT).Formulación General

Yt = Σj=1m (wo,j + w1,j L + … + ws,j Ls,j) Xjt + θq(L) at

(1-δ1jL - … - δrj Lrj) φp+q(L)

Variables explicativas

Efecto dinámico de las variables Dinámica residual

MODELOS DE FTSu estructura general es

En él la relación dinámica entre yt y cada variable explicativa xjt viene recogida por un cociente de polinomios:

wj(L) / δj (L),

Además las variables omitidas pueden tener un efecto dinámico en yt y se recoge en un término residual:

.)()(

)()(

1t

k

jjt

j

jt a

LLx

LLw

yφθ

δ+=∑

=(2)

.)()(

tt aLLN

φθ

=

EL TERMINO RESIDUAL EN EL MODELO FT

Ф(L)Nt = θ(L)at

Nt = Ф1Nt-1+ … + ФpNt-p - θ1at-1- … - θqat-q + at

Donde recoge toda la dependencia del término residual respecto al pasado.

Es la parte predecible del término residual.

ttt aNN +=ˆ

tN

MODELO FT

Necesita de la teoría económica información sobre el vector de variables que aparecen en el modelo y

de algunas orientaciones sobre el tipo de estructuras dinámicas entre las variables exógenas y las variables endógenas.

FUNCIÓN DE RESPUESTA EN Y ANTE CAMBIOS EN UNA VARIABLE

EXPLICATIVA Xj• La dinámica general entre Xj e Y se puede representar

mediante un polinomio de la forma :

v∞,j (L) = v0,j + v1,jL + v2,jL2 + ...

La respuesta puede ser de orden ∞ , pero tiene que ser convergente ,así que se puede aproximar por el cociente de polinomios de órdenes finitos de la forma ws,j(L)/δr,j(L),tal como aparece en la transparencia anterior.Implicación: el efecto de una variación transitoria de Xj sobre Y

no es permanente.Esto parece ser una característica del mundo real.

EJEMPLO• Xj es una variable en equilibrio permanente,

excepto en el momento t = t*Xjt

e, si t < t*Xjt = Xjt

e + 1, si t = t*Xjt

e, si t > t*

Dinámica asociada a 2L3 + 2.5 L4 +L5/(1-0.8L)

00.5

11.5

22.5

3

t*

EL MODELO UNIECUACIONAL DINÁMICO LINEAL

atinnovación θq(L)/φp+q(L) Nt

YtVariable dependiente

XjtVariableexógena

wsj(L)/δrj(L) Xjt*

Xjt*• Contribución de las

variables explicativas (la parte de Y explicada por los valores de las Xj’s).

• El filtro tiene que ser estacionario.

• Lo que es predecible en el término residual.

• Debido principalmente al efecto de las variables omitidas.

• No es preciso suponer estacionariedad.

tY

tN

ESPECIFICACIÓN DEL MODELO TF

Reglas generales:

1º) Si la respuesta de Y a cambios en Xj se retrasa b períodosws(L)/δr(L) Lb

Si la respuesta es inmediata, b=0

2º) Una respuesta larga se puede obtener mediante:(a) ws(L) con s suficientemente grande(b) δr(L) con r=1 ó 2

En general, formulaciones comow0/(1-δL) Lb o (w0+w1)/(1-δ1L)Lb

Pueden ser bastante útiles.

LA ESTRUCTURA DE UN MODELO UNIECUACIONAL dinámico

El modelo econométrico es una identidad, por lo tanto:Las características presentes en la variable endógena que

aparece a la izquierda de la ecuación tienen que venir explicadas por los términos incluidos en la parte derecha.

Los términos en la parte derecha de la ecuación son:(a) Las variables exógenas(b) Los cocientes polinomiales dinámicos sobre cada

variable(c) Los polinomios dinámicos del término residual(d) Las innovaciones at

MODELOS EQUILIBRADOS

Los términos (a) (b) y (c) de la transparencia anterior configuran la estructura del modelo y at es la innovación contemporánea.

Un modelo econométrico uniecuacional estáequilibrado si incluye toda la estructura que la variable endógena necesita en cuyo caso el término at es realmente una innovación y, por tanto, un componente ruido blanco.

Si un modelo no está equilibrado,

como yt está ligada por un signo igual con la parte derecha del modelo,

se tendrá que at no será ruido blanco indicando que el modelo está mal especificado.

EL MODELO UNIECUACIONAL EN UNA VARIABLE ENDÓGENA NO ESTACIONARIA.

En un modelo equilibrado la posible no estacionariedad de la variable endógenasólo puede venir explicada por dos de los cuatro factores mencionados anteriormente:

-(a) por lo no estacionariedad de las varia-bles exógenas

-(c) por raices unitarias en el polinomio autorregrasivo del componente residual.

MODELO SOBRE LAS VARIABLES EN NIVELES

Si la no estacionariedad de la variable endógena viene plenamente explicada por la no estacionariedad de las variables exógenas

el término residual - que recoge el efecto de las variables omitidas – será estacionario.

En este caso toda la no estacionariedad de la variable endógena viene determinada por variables explicitadas en el modelo,

por lo tanto ,el modelo da una explicación de lo que puede ser el componente más importante de la variable endógena :su evolutividad en el nivel.

En este caso el modelo se formula sobre las variables en niveles.

Un modelo sobre variables no estacionarias en niveles y con un término residual estacionario, por ejemplo,

(1– Ф22 L) yt = (b + b1L) xt + εt , (10)

yt = bxt + b1 xt-1+ Ф22 yt-1 + εt , (11)

donde yt e xt son I(1),

Implica que siendo ambas variables I(1) existe una vinculación entre sus evaluaciones a largo plazo, ya que la regresión dinámica entre ellas tiene residuos meramente estacionarios.

Para entender tal relación restemos yt-1 a ambos lados de (11) yt = bxt + b1 xt-1+ Ф22 yt-1 + εt , (11)

y sumemos y restemos bxt-1, con lo que

∆yt = b∆xt + (b + b1) xt-1 + (Ф22-1) yt-1 + εt (11)

Que finalmente se pude formular como

∆yt = b∆xt + α (yt-1 - βxt-1) + εt (12)

donde α = Ф22-1 (13)

β = (b + b1) / (1 - Ф22) (14)

El modelo (12) expresa ∆yt que es estacionaria en términos de ∆xt, que también es estacionaria, de εt, que además es ruido blanco y de (yt-1 - βxt-1), que necesariamente tiene que ser estacionaria para que se cumpla la igualdad en (12).

En consecuencia, siendo xt e yt variables I(1) la combinación lineal entre ellas

yt - βxt = mt (15)

es estacionaria. Es decir, sus evoluciones a largo plazo no son independientes, sino que están restringidas por tal combinación lineal.

En el ejemplo anterior se dice que las variables están cointegradas.

Como (15) es estacionario, se tiene que a largo plazo

yt = βxt, (14)

Que supone una relación de equilibrio entre ambas variables.

De modo que mt es el desvio de yt sobre su valor de equilibrio.

En este ejemplo partiendo de un sistema multiecuacional sin realimentación se ha formulado el modelo uniecuacionalyt = bxt + b1 xt-1+ Ф22 yt-1 + εt , (11)

para la variable de interés yt.

Como la no estacionalidad de yt viene plenamente explicada por la no estacionalidad de xt se tiene que ambas variables están cointegradas.

Existiendo cointegración es conveniente formular el modelo uniecuacional en términos de (12).

En este ejemplo partiendo del sistema (1) que tenía una estructura dinámica triangular se han ortogonalizado los residuos y se ha formulado el modelo uniecuacional (5) para la variable de interés (5).

Como la no estacionalidad de yt viene plenamente explicada por la no estacionalidad de xt se tiene que ambas variables están cointegradas.

Existiendo cointegración es conveniente formular el modelo uniecuacional en términos de (12).

El modelo (12) que repetimos aquí

∆yt = b∆xt + α (yt-1 - βxt-1) + εt (12)

Se denomina “modelo con mecanismo de correción de equlibrio” por la presencia del término (yt-1 - βxt-1) = mt-1.

Cuando mt-1 es positivo, yt-1 está por encima de su valor de equilibrio, por lo que es necesario que el incremento de yt sobre yt-1 sufra una corrección a la baja y eso se hace con el término αmt-1, que resulta ser un mecanismo de correción de equilibrio.

α,que es el parametro de velocidad del ajuste, definido en (13), es efectivamente negativo ya que para que las variables xt e yt sean I(1) y no I(2) es fácil demostrar que Ф22 es menor que la unidad.

El modelo (12) es la formulación más convenientepara la contrastación de hipótesis pues estádefinido en términos de variables estacionarias y sobre los parámetros de interés que tienen la siguiente interpretación:

β : (si el modelo está en logartimos) es la elasticidad a largo plazo de yt respecto a xt.

α : es la tasa de ajuste sobre los desequilibrios a largo plazo y

b : recoge la relación contemporánea entre ∆yt y ∆xt.

Contrastes de hipótesis en modelos lineales con variables estacionarias y no estacionarias.

Sims, Stock y Watson (1990):

El contraste t sobre un coeficiente de interés es válido si dicho coeficiente se puede poner como el coeficiente de una variable estacionaria.

Formulaicón general del modelo uniecuacional con una variables exógena y cointegración.

El modelo (12) se generaliza de la siguiente forma

∆yt = b∆xt + b1∆xt-1 + … + br∆t-r + α1∆yt-1 + … + + αr∆yt-r + α(yt-1 - βxt-1) + εt

Un modelo para un tipo de interés a corto plazo (rt) y otro a largo (Rt) cuando el primero es exógeno.

En este caso el modelo (12) puede ser válido.Así

∆Rt = b∆rt + α(Rt-1 - βrt-1) + εt (14)

∆rt = ait (15)

Para otro tipo de variables la estructura dinámica del modelo anterior puede ser muy simple y es necesario generalizar el modelo (12).

REGRESIONES ESPURIAS

• El modelo uniecuacional (regresión dinámica) en niveles tiene sentido,tal como se ha señalado anteriormente,cuando el término residual es estacionario.

• Una regresión entre variables no relacionadas entre sí,pero ambas no estacionarias,puede dar valores altos de los estadísticos R2 y t,cuando se trata de una regresión espuria pues las variables no están relacionadas.

• La regresión espuria se detecta contrastando la estacionariedad de los residuos.

• En tal caso hay que formular el modelo sobre las variables diferenciadas.

MODELO SOBRE VARIABLES DIFERENCIADAS

Si la no estacionariedad de la variable endógena no viene plenamente explicada por la no estacionariedad de las variables exógenas,

el término residual será no estacionario con raices unitarias en su parte autorregresiva,

es decir,en el denominador de su estructura polinomial,enel que aparecerán los operadores de diferencias correspondientes a tales raices unitarias.

Multiplicando ambos lados del modelo por dichos operadores ,éstos desaparecerán del término residual y todas las variables del modelo,endógena y exógenas, aparecerán diferenciadas.

EJEMPLO DE MODELO DE FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA.El consumo de cemento en la economía española

CEM = Consumo de cementoRES = ResidencialNRES = No residencialOC = Obra Civil

Todas las variables están en logaritmos y se han tomado sus primeras diferencias.

CEMt = (0.12 L2 + 0.17L3) RESt + (0.20 + 0.32L3) NRESt ++ 0.45 OCt + (1-0.32L)/(1+0.83L2) at

En el ejemplo anterior el consumo de cemento en la economía española (CEM) depende de:

- RES: la producción en la edificación residencial

- NRES: la producción en la edificación no residencial y

- OC: la producción en obras civiles.

En las tres variables los denominadores de los cocientes polinomiales son la unidad.

RELACIÓN ENTRE LA FORMULACIÓN FT DE UN MODELO UNIECUACIONAL DINÁMICO Y LA

FORMULACIÓN ADL.

Para simplificar supondremos una sola variable explicativa

FT:

ADL: α(L) yt = β(L) xt + at

Como los cocientes polinomiales en FT son convergentes se puden aproximar como:

ttt aLLx

LLwy

)()(

)()(

φθ

δ+=

)()()( L

LLw β

δ≅

)(1

)()(

LLL

αφθ

≅y

Con las aproximaciones anteriores

Denominando

β(L) = βa(L) α(L)

Se obtiene

α(L)yt = β(L) xt + at ,

Que es el modelo ADL.

tta

t aL

xLy)(

1)(α

β +=

Interpretación de un modelo con la variable endógena diferenciada

De lo dicho anteriormente se desprende que cuando la no estacionariedad de la variable endógena no viene plenamente explicada por las variables exógenas,elmodelo se debe estimar sobre las variables diferenciadas.

• Una vez estimado el modelo se puede formular de dos modos alternativos:

(1)Con la variable endógena en niveles ,en cuyo caso el término residual tiene un componente autorregresivo no estacionario y

(2)Con la variable endógena diferenciada ,en cuyo caso el componente residual es estacionario.

.

• El pasar de la forma (1) a (2) es inmediato y

• la primera puede ser más directa para interpretar la explicación que el modelo ofrece sobre la variable endógena.

• La forma (2) sobre las variables estacionarias es la que se tiene usar para estimar el modelo.

EL TERMINO RESIDUAL EN EL MODELO FT

Ф(L)Nt = θ(L)at

Nt = Ф1Nt-1+ … + ФpNt-p - θ1at-1- … - θqat-q + at

Nt = Nt + at1

Donde Nt recoge toda la dependencia del término residual respecto al pasado.

Es la parte predecible del término residual.

Interpretación de un modelo con la variable endógena diferenciada

De lo dicho anteriormente se desprende que cuando la no estacionariedad de la variable endógena no viene plenamente explicada por las variables exógenas,el modelo se puede formular de dos modos alternativos:

(1) Con la variable endógena en niveles ,en cuyo caso el término residual tiene un componente autorregresivo no estacionario y

(2) Con la variable endógena diferenciada ,en cuyo caso el componente residual es estacionario.

.

• El pasar de la forma (1) a (2) es inmediato y

• la primera puede ser más directa para interpretar la explicación que el modelo ofrece sobre la variable endógena.

• La forma (2) sobre las variables estacionarias es la que se tiene usar para estimar el modelo.

ESPECIFICACIÓN DE UN MODELO DE

REGRESIÓN MÚLTIPLE

• FORMULACIÓN EN NIVELES O EN DIFRENCIAS-Información a priori y-Analisis de residuos

• ESTRUCTURA DINÁMICA DE FTPor información a priori y pruebas

empíricas.

• ESTRUCTURA DINÁMICA DE ADLEmpirícamente utilizando el AIC.

Multiplicadoresde impacto y de largo plazo.

MULTIPLICADORES DE IMPACTO

ANÁLISIS DE MULTIPLICADORES

• Multiplicadores de impacto

Xjt* = ws(L)/δj(L) Xjt = (v0,j + v1,j L + v2,j L2 + …) Xjt

donde vi,j tiende a cero cuando i tiende a infinito

v0,j , v1,j , v2,j … son los multiplicadores de impacto

Los multiplicadores de impacto caracterizan totalmente la relación dinámica entre Xj e Y

Ejemplo

• Xj es una variable en equilibrio permanente, salvo en el momento t = t*

Xjte, si t<t*

Xjt = Xjte + 1, si t=t*

Xjte, si t>t*

Dinámica asociada a 2L3 + 2.5 L4 +L5/(1-0.8L)

00.5

11.5

22.5

3

t*

MULTIPLICADORES DE IMPACTO (2)

Antes de t* el sistema está en equilibrio, por lo que

Nt = Ne = 0Xt = XeYt = v(L) Xt + Nt = v(L)Xe + 0 = Ye

Yt*-1 = v(L)Xt*-1= v0Xt*-1 + v1Xt*-2 + v2Xt*-3 + …= vo Xe + v1Xe + … = v(L) Xe = Ye

Yt* = v(L)Xt*= v0Xt* + v1Xt*-1 + v2Xt*-2 + …= vo (Xe+1) + v1Xe + … = v(L) Xe = Ye + v0

Yt*+1 = v(L)Xt*+1 = v0Xt*+1 + v1Xt* + v2Xt*-1 + …= vo (Xe) + v1(Xe+1) + … = v(L) Xe = Ye + v1

Yt*+k = v(L)Xt*+k = Ye + vk

EFECTOS DEL FILTRO SOBRE LA VARIABLE EXPLICATIVA

Xjt* = ws(L)/δj(L) LbXjt = (v0,j + v1,j L + v2,j L2 + …) Xjt

• Lb retarda la respuesta b períodos.• ws(L) prolonga la respuesta del impulso sin estructura

durante s+1 períodos.• δr(L) prolonga la respuesta imponiendo un cierto

patrón dependiendo de las raíces del polinomio.

Ejemplo: Multiplicador de impacto asociado a 2L3 + 2.5 L4 +L5/(1-0.8L)

vo = v1 = v2 = 0 v6 = 0.8v3 = 2 v7 = 0.82

v4 = 2.5 v8 = 0.83

v5 = 1 ….

Debido a la restricción de estacionariedad del polinomio ws(L)/δj(L) Lb, los coeficientes vj tendenrán a cero cuando i crezca.

Implicación: El efecto de un impacto puntual sobre una variable explicativa desaparecerá en el tiempo y

Yt*+k = v(L)Xt*+k = Ye + vk

Como se ha visto antes,

Y volverá a su valor de equilibrio Ye.

Antes de t* el sistema está en equilibrio, con lo queNt = Ne = 0Xt = XeYt = v(L) Xt + Nt = v(L)Xe + 0 = Ye

Yt*-1 = v(L)Xt*-1= v0Xt*-1 + v1Xt*-2 + v2Xt*-3 + … = vo Xe + v1Xe + … = v(L) Xe = Ye

Yt* = v(L)Xt*= v0Xt* + v1Xt*-1 + v2Xt*-2 + … = vo (Xe+1) + v1Xe + … = v(L) Xe = Ye + v0

Yt*+1 = v(L)Xt*+1 = v0Xt*+1 + v1Xt* + v2Xt*-1 + … = vo (Xe+1) + v1(Xe+1) + … = v(L) Xe = Ye + vo +v1

Yt*+k = v(L)Xt*+k = Ye + (v0 + v1 + … + vk)

Pero después de t* Xe cambia permanentemente a Xe+1

MULTIPLICADORES ACUMULADOS:

MULTIPLICADORES ACUMULADOS:

V0 = v0V1 = v0 + v1V2 = v0 + v1 + v2…Vk = v0 + v1 + v2 + … +vk

Cuando vi tiende a cero al crecer i, Vi tiende a una constante

Vj Constante

Esta constante es el multiplicador de largo plazo del filtro o ganancia del filtro.

Ejemplo

Multiplicadores acumulados asociados a 2L3 + 2.5 L4 +L5/(1-0.8L)Vo = V1 = V2 = 0 V6 = 0.8V3 = 2 V7 = 0.82

V4 = 2.5 V8 = 0.83

V5 = 1 ….

Multiplicador de largo plazo:

0 + 0 + 0 + 2 + 2.5 + 1 + 0.8 + 0.82 + … = 9.5

LA FORMA DE CALCULAR LOS MULTIPLICADORES DE LARGO

PLAZO,Dado el filtro ws(L)/δj(L)

g = (w0 + w1 + w2 + … + ws)/(1-δ1-δ2-…-δr)

MULTIPLICADOR DE LARGO PLAZO O GANANCIA

EJEMPLO DE MODELO CON VARIABLES DIFERENCIADAS:LA DEMANDA DE TURISMO EN ESPAÑA..

• En el capítulo 10 de Espasa y Cancelo (1993),se construyen modelos sobre la demanda de turismo por extranjeros en España.

• La variable endógena son los ingresos por tal tipo de turismo en pesetas constantes.

• Las variables explicativas son:• (1) un indice de la renta en términos

reales de los turistas,• (2) un índice de precios relativos de

España frente a los paises clientes y• (3) un índice de precios relativos

respecto a los paises competidores.• En este caso todas las variables

explicativas son exógenas.

Modelo sobre la demanda de turismo en España

En el conjunto informativo descrito en la diapositiva anterior se omite una variable importante para la demanda de turismo, como es la mejora en la oferta turística española.

Sobre esta variable no se dispone de observaciones y su efecto queda relegado al término residual.

Como la variable omitida es no estacionaria con oscilaciones locales de nivel ,es decir con una raíz unitaria ,el término residual es no estacionario con una diferencia en su estructura autorregresiva.

Modelo sobre la demanda de turismo en España

Además,en el conjunto informativo no hay variables que expliquen los hábitos estacionales de los turistas ,por lo que la evolutividad estacional de la variable endógena queda también relegada al término residual,con lo que la diferenciaque aparecía en el mismo será estacional.

ESTIMACIÓN E INTERPRETACIÓN DEL MODELO DE INGRESOS TURÍSTICOS

Por lo dicho en la diapositiva anterior el modelo se estimará sobre la formulación en diferencias anualesde todas las variables,que tiene un término residual estacionario.

Para su interpretación conviene poner el modelo en su formulación con las variables en niveles ,pasando el operador de diferencias al denominador del término residual.

Esta formulación pone de manifiesto que parte de la tendencia y de la estacionalidad de los ingresos por turismo no viene explicada por las variableseconómicas incluidas en el modelo.

En el ejemplo anterior conviene señalar que los ingresos por turismo muestran crecimiento sistemático,son una variable I(2),y su modelo univariante requiere dos diferenciaciones,una regular y otra estacional.

El modelo econométrico anterior pone de manifiesto que la variable explicativa indicede renta,que es I(2) , tiene una contribución importante para explicar la tendencia del turismo,ya que es el factor del modelo que explica el crecimiento tendencial.

MODELO DE DEMENDA DE TURISMOEN LA ECONOMÍA

ESPAÑOLA

• Véase Espasa y Cancelo(eds.),1993,capítulo 10.

EJEMPLO DE MODELO CON VARIABLES DIFERENCIADAS:LA DEMANDA DE TURISMO EN ESPAÑA..

• En el capítulo 10 de Espasa y Cancelo (1993),se construyen modelos sobre la demanda de turismo por extranjeros en España.

• La variable endógena son los ingresos por tal tipo de turismo en pesetas constantes.

• Las variables explicativas son:• (1) un indice de la renta en términos

reales de los turistas,• (2) un índice de precios relativos de

España frente a los paises clientes y• (3) un índice de precios relativos

respecto a los paises competidores.• En este caso todas las variables

explicativas son exógenas.

Modelo sobre la demanda de turismo en España

En el conjunto informativo descrito en la diapositiva anterior se omite una variable importante para la demanda de turismo, como es la mejora en la oferta turística española.

Sobre esta variable no se dispone de observaciones y su efecto queda relegado al término residual.

Como la variable omitida es no estacionaria con oscilaciones locales de nivel ,es decir con una raíz unitaria ,el término residual es no estacionario con una diferencia en su estructura autorregresiva.

Modelo sobre la demanda de turismo en España

Además,en el conjunto informativo no hay variables que expliquen los hábitos estacionales de los turistas ,por lo que la evolutividad estacional de la variable endógena queda también relegada al término residual,con lo que la diferenciaque aparecía en el mismo será estacional.

ESTIMACIÓN E INTERPRETACIÓN DEL MODELO DE INGRESOS TURÍSTICOS

Por lo dicho anterior el modelo se estimará sobre la formulación en diferencias anuales de todas las variables,que tiene un término residual estacionario.

Para su interpretación conviene poner el modelo en su formulación con las variables en niveles ,pasando el operador de diferencias al denominador del término residual.

Esta formulación pone de manifiesto que parte de la tendencia y de la estacionalidad de los ingresos por turismo no viene explicada por las variableseconómicas incluidas en el modelo.

En el ejemplo anterior conviene señalar que los ingresos por turismo muestran crecimiento sistemático,son una variable I(2),y su modelo univariante requiere dos diferenciaciones,una regular y otra estacional.

El modelo econométrico anterior pone de manifiesto que la variable explicativa indicede renta,que es I(2) , tiene una contribución importante para explicar la tendencia del turismo,ya que es el factor del modelo que explica el crecimiento tendencial.

MODELO DE DEMANDA DE EFECTIVO EN LA ECONOMÍA ESPAÑOLA

• Véase Espasa y Cancelo (eds.),1993,pgs 211 a 214.

ANÁLISIS DE INTERVENCIÓN

ANÁLISIS DE INTERVENCIÓN

• Teoría de dinámica general para variables artificiales.– En muchas ocasiones se observa que en algunos

momentos, la serie que se analiza presenta movimientos bruscos importantes, que no son posible capturar siguiendo el comportamiento regular de los datos.

• Estos movimientos no se pueden explicar bien mediante modelos ARIMA.

– Para resolver este problema se introduce el uso de variables artificiales y la técnica del análisis de intervención.

ANÁLISIS DE INTERVENCIÓN• Utilidad del análisis de intervención.

– El análisis de intervención es útil para explicar atípicos en series temporales cuya causa es conocida, pero es difícil de cuantificar.

• Errores en la construcción de los datos publicados. • Cambios en la definición de la serie temporal.• Intervenciones económicas especiales o cambios de

leyes• Acontecimientos extraordinarios (huelgas, conflictos

internacionales, ...)• Fiestas nacionales que pueden cambiar a lo largo del

año y afectar el esquema estacional. • Crisis económicas.

Tipos de variables artificiales y filtros dinámicos usualespara la modelización de

acontecimientos especiales.

00.20.40.60.8

11.2

F-3 F-2 F-1 F F+1 F+2 F+3

00.20.40.60.8

11.2

F-3 F-2 F-1 F F+1 F+2 F+3

01234567

F-3 F-2 F-1 F F+1 F+2 F+3

TIPOS PRINCIPALES DE VARIABLES ARTIFICIALES

• Se describen las principales variables artificiales útiles para describir los acontecimientos anómalos.

• Impulso: siempre es cero, excepto en el momento F, cuando toma el valor 1.

• Escalón: es cero antes de F y 1 posteriormente.

• Tendencia: es cero antes de F y desde ese momento toma los valores: 1, 2, 3, 4, ...

PRINCIPALES FILTROS PARA LAS VARIABLES ARTIFICIALES

• Filtros sobre variables impulso.

(a) w (L) ItF = (w0 + w1 L + … + ws Ls) ItF

lo que implica extender el efecto del impacto durante s+1 períodos. Estos filtros no imponen ninguna estructura en los efectos.(w0 + w1L) It

F (w0 + w1L + w2L2 + w3L3 +w4L4) ItF

0 si t ≠ FIt

F =1 si t = F

(b) FtIL

wδ−10

sLwLwLwwLLLwL

w sss δδδδδδδ 0

22000

220

0 ...)...1(1

+++=+++++=−

En este caso, los efectos de una intervención se extienden a lo largo del tiempo con una estructura determinada por el parámetro δ.

Ejemplo de una intervención del tipo FtI

Lwδ−10

Los efectos de una intervención, habitualmente desaparecen en el tiempo, por lo que es frecuente imponer |δ| < 1.

PRINCIPALES FILTROS PARA LAS VARIABLES ARTIFICIALES

• Filtros sobre variables escalón.

Los escalones se utilizan para modelizar intervenciones de tipo permanente.

(a) (w0 + w1 L + w2 L2 + … + wsLs) StF

El efecto comienza en F y se prolonga hasta F + s.El efecto total del acontecimiento esw0 + w1 + … + ws.

0 si t < FSt

F =1 si t ≥ F

PRINCIPALES FILTROS PARA LAS VARIABLES ARTIFICIALES

(b) FtS

Lwδ−10

Este tipo de filtro permite un efecto más prolongado en el tiempo. Presenta restricciones impuestas por el parámetro δ.

Efecto total:

δ−11

0w

PRINCIPALES FILTROS PARA LAS VARIABLES ARTIFICIALES

ESPECIFICACIÓN DEL MODELO ARIMA CON ANÁLISIS DE INTERVENCIÓN

• Realizar Una regresión entre los datos diferenciados y las variables artificiales del análisis de intervención.

• Tomar los residuos de la regresión.

• Analizar la FAC y la FACP y especificar un modelo ARMA.

EJEMPLOS• Cambios en la Encuesta de Población Activa

en España.– 1999 cambio en la metodología de la encuesta.

• El Instituo Nacional de Estadística (INE) no midió el impacto.

• Mediante el análisis de intervención se estima un incremento alrededor de 200,000 empleos (en un crecimiento total de 600,000 empleos) básicamente en el sector de servicios.

– La intervención incluida en el modelo ARIMA para el empleo en servicios:

(w0) LS9901 = 0.001 LS9901LS9901 = 0 si t < 99-01

1 si t ≥ 99-1

EJEMPLOS• Cambios en la Encuesta de Población Activa

en España (2)– 2000, cambio en la distribución de la

población utilizada para construir la encuesta.

• El INE midió exactamente el impacto del cambio en 77,500 nuevos empleos (72,200 en el sector de servicios).

• Se impone en nuestro modelo para el empleo en servicios un análisis de intervención de esta magnitud.

300

400

500

600

700

800

900

86 88 90 92 94 96 98 00

COL

Ventas de cemento en Colombia