presentacion 4
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CÁLCULO EN UNA VARIABLE
Longitud de Arco de una curva plana
GRUPO No. 4:Ananganó Georginio
Jara LuisMoposita Wellington
Ríos Juan
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•INTRODUCCIÓN•SUMA DE RIEMANN•INTEGRAL DEFINIDA•TEOREMA DE PITÁGORAS•CONCEPTOS DE LONGITUD DE ARCO•CÁLCULO DE LA LONGITUD DE ARCO DE FUNCIONES•EJEMPLOS
CONTENIDOS
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Introducción
Longitud de Arco
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Introducción
Longitud de Arco
Problema recurrente del
Cálculo
Tiene diferentes mecanismos
Utilizado para calcular perímetros de cualquier figuraAbarca diferentes
tipos de funciones
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Introducción
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Suma de Riemann
Longitud de Arco
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Suma de Riemann
Recordaremos la notación sigma antes de hacer una remembranza de la sumatoria de Riemann.
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Suma de Riemann
La forma generalizada de la suma de términos se establecería de la siguiente manera:
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Suma de Riemann
De este conocimiento de sumatoria podemos entender que, la sumatoria de Riemann permite el definir el área bajo la curva de una función.
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Integral definida
Longitud de Arco
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Integral definida
Sabemos que la integral definida, por definición es la generalización de la sumatoria de Riemann cuando la norma de mayor tamaño tiende a cero y por tanto el numero de rectángulos de área tienden al infinito.
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Teorema de Pitágoras
Longitud de Arco
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Teorema de Pitágoras
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Conceptos
Longitud de Arco
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Conceptos
Si en la gráfica tenemos esta función y queremos determinar la longitud de la cuerda entre los puntos de interés, ¿qué se nos ocurriría?
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Conceptos
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Conceptos
Pero si queremos encontrar la longitud de toda la curva debemos aplicar la sumatoria en n términos.De tal manera que si los n términos de la sumatoria tienden al infinito, tenemos:
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Cálculo de longitud en funciones
Longitud de Arco
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Cálculo de Longitud en Funciones Rectangulares y Paramétricas
En esta sección emplearemos los límites al infinito y el teorema del valor medio.
Ahora transformaremos la ecuación conseguida en forma de límite, en su forma generalizada con el Cálculo Integral
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Cálculo de Longitud en Funciones Rectangulares y Paramétricas
Se define el Teorema del Valor medio para reemplazar en la ecuación conocida de Límite, relacionada con la Longitud de Arco.
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Cálculo de Longitud en Funciones Rectangulares y Paramétricas
Realizamos un despeje de variables con respecto a lo que se verá en el siguiente proceso:
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Cálculo de Longitud en Funciones Rectangulares y Paramétricas
Nótese cómo cambia la ecuación de límite al reemplazar este nuevo valor:
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Cálculo de Longitud en Funciones Rectangulares y Paramétricas
Ahora se sigue el siguiente proceso:
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Cálculo de Longitud en Funciones Rectangulares y Paramétricas
Por si no se entendió qué sucedió…
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Funciones Paramétricas
Longitud de Arco
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Funciones Paramétricas
Pero hay otra clase de funciones que necesitan un análisis de ciencia mayor. Por tanto aquí se presenta cómo calcular la longitud de arco en funciones paramétricas.
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Funciones ParamétricasPara calcular la longitud del arco de estas funciones debemos tener en cuenta la siguiente condición obtenida del teorema del Valor medio:
La forma en la que se presentarán estas funciones es la siguiente
A partir de la forma anterior del cálculo de la curva:
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Funciones Paramétricas
Sabiendo que de acuerdo a los parámetro de cada función se cumplirá:
Al reemplazarlo en la expresión general:
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Funciones Paramétricas
Finalmente, podemos apreciar que la longitud del arco de una función paramétrica viene dada por la expresión:
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Ejemplos
Longitud de Arco
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Ejemplos
Tomando en cuenta el método de cálculo de funciones paramétricas calcule la longitud de la curva entre t=0 y t=1.
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Podemos ver la función en el siguiente gráfico:
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Ejemplos
Tomando en cuenta el método de cálculo de funciones ordinarias halle la longitud del arco de una cuerda dada por la función y, en el intervalo [0,3], sea y definida por:
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Para realizar este tipo de ejercicios debemos recordar la expresión por:
Entonces desarrollamos la expresión ubicada dentro de la raíz cuadrada:
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GRACIAS POR SU ATENCIÓN