presentacion funciones
TRANSCRIPT
Docente Julián Caicedo
¿QUE ES UNA FUNCIÓN?
FUNCIONES
¿Qué es una función?
Gráficas de funciones
Funciones crecientes,
decrecientes y tasa de cambio
promedio
Transformaciones de funciones
Elementos de una función
Docente Julián Caicedo
¿Qué es una función?
Definición de función Como reemplazar Dominio Representación de una función
Una función es una regla que asigna a cada elemento x en un
conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), en un conjunto B.
• El símbolo f(x) se llama el valor de f en x. • El conjunto A se llama dominio de la función.• El rango de f es el conjunto de los valores reales
que toma la variable y o f(x). • La variable independiente (x) es la que no varia
dependiendo de la otra.• La variable dependiente (y) es la que varia
dependiendo del desplazamiento de x.
se debe reemplazar el numero en la variable
independiente (x), para hallar Y.
Es el conjunto de elementos que tienen
imagen.
1. Verbal2. Algebraica3. Visual4. Numérica
Docente Julián Caicedo
Elementos de una función
Conjunto de salida
Conjunto de llegadadominio
rango
Función Inyectiva
Función Sobreyectiva
Función Biyectiva
Docente Julián Caicedo
Gráficas de funciones
GraficaciónGraficación de
funciones definidas por partes
Ecuaciones de funciones
f(x)= mx + b (se llama función lineal)
f(x)= b (se llama función constante)
Se define mediante formulas distintas en su dominio, depende de la variable independiente
x.
Funciones linealesf(x) = mx + b
Funciones exponencialesf(x) = x^n
Funciones de raizf(x) = x
Funciones recíprocasf(x) = 1/x^n
Función valor absolutof(x) = IxI
Docente Julián Caicedo
Funciones crecientes y decrecientes, tasa de
promedio
Funciones crecientes
Tasa de cambio promedio
Se dice que es creciente cuando
la grafica sube, asciende desde (-
00, 00) en Y.
Es la pendiente de la recta secante entre x=a y x=b en la grafica de f, es decir, la recta que pasa por (a, f(a)) y (a, f(b)).
Tasa de cambio promedio = cambio en
y / cambio en x
Funciones decrecientes
Se dice que es decreciente
Cuando la grafica baja, desciende de (00, -00)
Es decir con respecto a Y.
Docente Julián Caicedo
Transformaciones de funciones
Desplazamiento vertical
Desplazamiento horizontal
Desplazamiento(acortar, alargar) vertical
Desplazamiento( alargar o acortar)
horizontal
Sumar una constante a la función vertical:
se desplaza hacia arriba si la constante
es positiva y hacia abajo si es negativa.
y= f(x + c) desplaza la grafica c unidades a la izquierda y si se resta desplaza hacia la derecha.y= f (x - c)
Para alargar verticalmente una grafica se multiplica por un numero c mayor
que 1.Para acortar la grafica se multiplica por un numero
a menor que uno pero positivo, entre 1 y 0.
Para alargar una grafica se divide
por un numero 1/a, a es mayor que 1.
Para acortar la grafica se divide por
un numero 1/a, cuando a es menor
1, pero positivo.
Docente Julián Caicedo
Es el conjunto de números que son llamados conjunto A y son las pre imágenes, cada elemento debe estar relacionado una ves con unelemento del conjunto de llegada B y posee una imagen. Por lo general reales.
Conjunto de salida
Docente Julián Caicedo
Conjunto de llegada
Es el conjunto de números del conjunto B, llamados imágenes, y están relacionados con los elementos del conjunto A. Generalmente son reales.
Docente Julián Caicedo
rango
Es el conjunto de imágenes, el conjunto de números que se relacionan una ves con los elementos del conjunto A.
Docente Julián Caicedo
dominio
Es el conjunto de pre imágenes, el conjunto de números que del conjunto A están relacionados una ves con un solo elemento del conjunto B. Generalmente reales.
Docente Julián Caicedo
Función inyectiva
si todos los elementos del dominio están relacionados una sola vez con un elemento del rango. No puede haber dos o mas elementos del dominio con la misma imagen.
cuando f(x) = f(y), x = y.
Ejemplo: f(x) = x+5 del conjunto de los números reales es una función Inyectiva
ABCD
12345
Docente Julián Caicedo
Función sobreyectiva
si a cada elemento del dominio le corresponde un elemento del rango.
F(x)=B
Ejemplo: la función f(x) = 6x del conjunto de los números naturales al de los números pares es Sobreyectiva.
12345
DFGHi
Docente Julián Caicedo
Función biyectiva
Todos los elementos del conjunto A tienen una imagen distinta en el conjunto B (Inyectiva), cada elemento del conjunto A le corresponde un elemento del conjunto B (Sobreyectiva). Es Inyectiva y Sobreyectiva a la ves.
Ejemplo: La función f(x) = 3x del conjunto de números reales es Inyectiva y Sobreyectiva. Por lo tanto es Biyectiva.
12345
-1-2-3-4-5
Docente Julián Caicedo
Funciones
Polinómicas
Constante Grado par
Otras
Grado impar Lineal
Afín Lineal Identidad
Cuadrática Lineal Cúbica
Trigonométrica
Exponencial
A trozos
Racional
Logarítmica
Valor absoluto
Docente Julián Caicedo
Polinómicas Son aquellas funciones que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos.
donde es un polinomio en , , es decir, una suma finita de potencias de multiplicados por coeficientes reales.
Dominio= Conjunto de Salida= IRConjunto de llegada= IR
Docente Julián Caicedo
Ejemplo:
Docente Julián Caicedo
Funciones de grado par
Son funciones que como máximo grado de un término es un número par. Está dada por la ecuación:
Conjunto de salida=Dominio=IRConjunto de llegada=IR Rango =(depende de la función, de sus máximos y mínimos.)
Punto de corte con y= igualando x a 0Puntos de corte con x= igualando y a 0Vértice= +-b/2aConjunto de salida=Dominio=IRConjunto de llegada =IR Rango= máximos y mínimos.F(x) ≥0 en x IR positivos. F(x) ≤0 en x IR negativos
Por lo general es la función cuadrática.
Docente Julián Caicedo
Funciones de grado impar
Son funciones en las cuales el máximo grado de un término es un número impar . Está dada por la ecuación:
Conjunto de salida=Dominio=IR
Conjunto de llegada=IR Rango =IR
en la función constante el rango es la variable f(x)=a
Función cúbica
Punto de corte con y= igualando x a 0Punto de corte con x= igualando y a 0Conjunto de salida=Dominio=IRConjunto de llegada =IRRango= IR
F(x) ≥0 en x IR positivos F(x) ≤ 0 en x IR negativos
Se divide en función cúbica y lineal.
Docente Julián Caicedo
Lineal
Un polinomio de primer grado de una variable real es una función matemática de la forma:
F(x)= mx + b
donde m y b son constantes. La función lineal , pasa por el punto (0,0) como origen a diferencia de la función lineal afín.
Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la forma siguiente
•m es denominada la pendiente de la recta. •b es la ordenada en el origen, el valor de y para x= 0, es el punto (0,b).
Docente Julián Caicedo
Ejemplo:
Y = 5x
Pendiente:
Docente Julián Caicedo
Afín Una función lineal afín es aquella cuya expresión matemática viene dada por: Y= mx + n
donde x e y son variables, m una constante que se denomina pendiente y n otra constante denominada ordenada en el origen. Su gráfica es una recta que corta al eje de ordenadas en .
La pendiente m de una recta mide la inclinación de la siguiente manera: •Si M>0 la función es creciente. •Si M=0 la función es decreciente. •Si M<0 la función es constante (recta horizontal).
La pendiente de una recta se puede hallar de la siguiente manera:
m= Y2-Y1/X2-X1
para lo cual es necesario disponer de dos puntos de la recta y hallar las variaciones restando sus coordenadas x e y respectivamente. Docente Julián Caicedo
Ejemplo:
Y=4x+2
Docente Julián Caicedo
Identidad
Una función identidad es una función matemática, de un conjunto M a sí mismo, que devuelve su propio argumento.
La función identidad puede describirse de la forma siguiente:
f(x)=x / f(x)=y
Docente Julián Caicedo
Ejemplo:
F(x)=x
x 1 2 3 4
y 1 2 3 4
Docente Julián Caicedo
Constante Se llama función Polinómicas de grado cero o función matemática constante a la que no depende de ninguna variable, se la representa de la forma:
F(x)= a
donde a es la constante.
Docente Julián Caicedo
Ejemplo:
Y= 5
Docente Julián Caicedo
Función cuadrática
Una función cuadrática, es una función polinómica de grado par, que tiene como máximo grado el numero 2. se define por la siguiente ecuación:
Conjunto de salida: IR= dominio
Conjunto de llegada= IR
Rango= (máximos y mínimos de la función)
Punto de corte con y= c
Pun to de corte con x=
Para hallar el mínimo y máximo relativos, se usa la ecuación: x= -b 2a
Docente Julián Caicedo
Función:
Docente Julián Caicedo
Función cúbicaEs una función polinómica de grado impar, cuyo grado mayor en el termino de la ecuación es de 3.
Se da por la siguiente ecuación:
Conjunto de salida= IR=dominio
Conjunto de llegada= IR= rango
Punto de corte con y= d
Punto de corte con x= factorizacion( teorema del factor)
Docente Julián Caicedo
Función=
Docente Julián Caicedo