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5/12/2018 Presentación Proyecto Métodos Interactivos - slidepdf.com
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Presentado por:
Ing. Romy Cristina Parrella
Caracas, Junio 2011
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Métodos Interactivos en PMO
CONTENIDO
Introducción
Clasificación de los Métodos Interactivos
Métodos Tradeoff Método GDF
Métodos de Generación de Soluciones
Método Ziontz - Wallenius
Métodos de Soluciones de ReferenciaMétodo VIA
Conclusiones
Bibliografía
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INTRODUCCIÓN:
En el enfoqueinteractivo
Decisor
Preferencias
Proceso deResolución
Alternativa mejor entre todas las
posibles
Incorporación
Conducir a «
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INTRODUCCIÓN:
Con vistas a la incorporación de la
información suministrada por el
decisor, al modelo
ProcesoIterativo
Cálculo
Diálogo
Característica de los problemas de programación multiobjetivo: poseer un
número muy grande de soluciones eficientes sobre las cuales es difícil que el
decisor pueda concretar, a priori y con precisión
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Las preferencias locales del decisor son establecidas sobre elementos delconjunto de puntos eficientes
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La clasificación de los métodos interactivos de acuerdo a la información
proporcionada por el decisor:
GDF
SPOT
ISWTZionts-Wallenius
Tchebychev STEM
VIA
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INTEREST
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La clasificación de los métodos interactivos de acuerdo a la información
proporcionada por el decisor:
GDF
SPOT
ISWT
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el decisor en cada iteración deberá proporcionar los tradeoffs ó tasas de
intercambio entre objetivos de forma local
desarrollados para problemas multiobjetivos convexos
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GDF: Geoffrion, Dyer y Feinberg
Asumir que las preferencias del decisor son descritas mediante una
función de utilidad cóncava, diferenciable y creciente en los objetivos.
Se asume que dicha función no es conocida explícitamente por el decisor.
El propósito del procedimiento es determinar el máximo de dicha función
Utiliza el algoritmo de frank wolfe para ir buscando una dirección
ascendente en la utilidad del decisor.
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GDF: Geoffrion, Dyer y Feinberg
Considerar una aproximación lineal local de la función de utilidad del
decisor
Los valores suministrados por el decisor proporcionan los pesos de cada
uno de los objetivos en la función de utilidad que, vista localmente, adopta
una forma lineal
Estos valores no son más que los coeficientes de dicha función respecto a
los objetivos.
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La clasificación de los métodos interactivos de acuerdo a la información
proporcionada por el decisor:
Zionts-Wallenius
Tchebychev
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En cada iteración, la única interacción con el decisor se lleva
a cabo mediante la presentación de un conjunto de solucionespara que éste elija la más preferida.
Si, dada esta solución elegida, el decisor no está totalmente
satisfecho con la misma como solución final, se llevará a cabootra iteración del método.
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ZIONTS ² WALLENIUS: Un método de Programación Interactivo para Resolver
Problemas Multicriterio
Se parte de las siguientes premisas:
p objetivos u i
variables de decisión: x1, x2,«, xn ( x )
La función de utilidad U: una función lineal
de las variables función objetivo ui, i = 1, «, p
los pesos precisos entales funciones no son
explícitamente conocidos
A: matriz de orden apropiado
B: vector de orden apropiado
x: vector de variables de decisión de
orden apropiado
Conjunto de restricciones (aprox. Linealizados):
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ZIONTS ² WALLENIUS: Un método de Programación Interactivo para Resolver
Problemas Multicriterio
Se parte de las siguientes premisas:
Forma de la función objetivo:
Esta función puede aproximarse tan exacta como sea posible,
por un conjunto de restricciones
f i j : vector fila de orden apropiado
g i j : constante
ui : valor de la función objetivo f i (x)Conjunto de restricciones:E = I una matriz identidad
D matriz de todas las funciones
objetivo
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ZIONTS ² WALLENIUS: Un método de Programación Interactivo para Resolver
Problemas Multicriterio
Se parte de las siguientes premisas:
Otra restricción tomada en cuenta:
Conjunto de pesos:
Niveles mínimos
absolutos de u
Herramientas adicionales para hacer uso de las respuestas del decisor:
Satisface la siguiente
expresión:
es un número positivo
suficientemente pequeño
La función objetivo:
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Problemas Multicriterio
x j variable no básica
wij decrecimiento en la función objetivo ui
³Ud. Está decidiendo aceptar una reducción en la función objetivo
u1 de w1j , una reducción del objetivo u2 de w2j , y una reducción
del objetivo upj de wpj ?
Responda sí, no, ó si le es indiferente´
Debido a algún
incremento especificado
en x j
Herramientas adicionales para hacer uso de las respuestas del decisor:
Para cada variable
eficiente, habrá al
menos un w ij positivo y
uno negativo.
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Problemas Multicriterio
Para cada respuesta ³sí´ se construye:
Herramientas adicionales para hacer uso de las respuestas del decisor:
Para cada respuesta ³no´ se construye:
Para cada respuesta ³indiferente´ se construye:
Usadas además para eliminar
las variables
eficientes de las preguntas de
las sesiones subsecuentes
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Problemas Multicriterio
Es análogo al método simplex ------- solo se consideran las soluciones en los
puntos extremos del conjunto de restricciones de las ecuaciones:
Procedimiento:
Función de utilidad asumida como lineal ------ existe una solución óptima en un
punto extremo
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ZIONTS ² WALLENIUS: Un método de Programación Interactivo para Resolver
Problemas Multicriterio
Procedimiento:Se genera una solución en un punto
extremo arbitrario
Para cada punto extremo, se le pide al
decisor evaluar una o más variables
no básicas
Esto es, especificar el conjunto de
cambios marginales asociados, si es
atractivo o no que la variable no
básica sea incrementada.
El coeficiente de la variable no básica en la fila del
tablero simplex, da la cantidad por la cual el objetivo ui
se reduce por cada unidad de variables no básicas
introducida
Cuando se encuentre la variable no
básica atractiva, esta se introduce en
la base
De otra manera, son evaluadasvariables no básicas adicionales
hasta encontrar una aceptable.
Cuando se alcanza una base en la
cual ninguna variale no básica es
atractiva al decisor, la solución es
óptima
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Ejemplo que ilustra el método:
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Problemas Multicriterio
Sean las siguientes funciones objetivo:
Sujetas a las siguientes restricciones:
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Ejemplo que ilustra el método:
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puntos extremos factibles y las funciones objetivo
para cada punto extremo:
Las soluciones E, G e I
están dominadas
los 6 puntos
restantes son
eficientes.
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Se asume la función de utilidad:
selección arbitraria:
se utilizó solo el
conocimiento de esta
función respondiendo
las preguntas sí o no
Inicialización:
maximizar la siguiente expresión :
1 = 2 = 3 = 0.333
Sujeta a las
restricciones del
problema
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La solución óptima corresponde con el punto D
se utilizó solo el
conocimiento de esta
función respondiendo
las preguntas sí o no
Las variables no básicas son:
x1 = x3 = x5 y x6
Los costos reducidos para cada una de las tres funciones objetivo
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Resolviendo la siguiente secuencia se obtienen los valores de los multiplicadores :
minimizar:
sujeto a:
minimizar:
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También las variables x3 y x6 ofrecen compensaciones eficientes
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Como el mínimo es negativo ( 1 = 0.818, 2 = 0.182, 3 = 0)
las compensaciones ofrecidas por x1 son eficientes
Ya sea que el decisor
guste o no de cada
conjunto de soluciones
compromiso eficientes
Así, se tiene que, para x1 el decisor decide aceptar :
u1
2 unidades
u2
0.5 unidades
u3
4.5 unidades
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Se computa una evaluación:
Hay un incremento neto en la utilidad del decisor,
él preferirá ese conjunto de soluciones compromiso
El decisor NO elige las compensaciones propuestas por x3 y x6
Se generan las desigualdades * y se consigue una solución eficiente para el conjunto de
restricciones (fijando arbitrariamente = 0.001 )
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Se obtiene la solución básica factible: 1 = 0.777, 2 = 0.222, 3 = 0.001
Se usan estos multiplicadores para generar la nueva función de utilidad
Debe maximizarse s.a. las restricciones del problema original
Se encuentra que el óptimo es el punto extremo Acuyas variables básicas son: x2, x4,x5 y x6
Búsqueda de variables eficientes para estas variablesUsando restricciones derivadas a partir de las respuestas
A la compensación temprana
Las únicas
compensaciones
eficientes son lasasociadas a x
4
Evaluación
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Como el conjunto es atractivo, las compensaciones son usadas para generar las restricciones:
Una solución factible es:
1.51 ± 2.5 2 -2 3 <= - 0.001 Que se adicionan a las
restricciones *
Se usan estos multiplicadores para generar la función de utilidad
Se encuentra que la solución óptima al problema original es la B y
Ninguna de las variables no básicas en el extremo B son eficientes
Por lo tanto, la solución B es la óptima
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CONCLUSIÓN:
Hay un incremento estricto de la utilidad desde la primera solución eficiente encontrada
D a la segunda A, y luego, desde ésta a la óptima, B
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La clasificación de los métodos interactivos de acuerdo a la información
proporcionada por el decisor:
STEM
VIA
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En cada iteración el decisor proporciona un valor de
referencia para cada objetivo.
Estos niveles de referencia, o metas, han de estar de
acuerdo con las preferencias del decisor.
Para ir de una iteración a otra, se basan en la minimización
de una distancia, la que existe entre el punto de referencia y el
conjunto de oportunidades.
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Características Relevantes:
No depende de ningún supuesto relacionado con una función de
utilidad de la unidad de decisión
Combina los métodos de Geoffrion et al., Wierzbicki y Ziontz- Wallenius,
Incorporando nuevas ideas de los autores Korhonen y Laakso.
Usa un método de proyección d e g rad iente mod i f icad o , pero no hace
esfuerzos en estimar la dirección del gradiente
Las direcciones de búsqueda se determinan usando ´direcciones de referenciaµ.
Se realiza una búsqueda lineal interactiva a lo largo de la curva obtenida.
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Características Relevantes:
Las direcciones de búsqueda se determinan usando ´direcciones de referencia´
De acuerdo a las preferencias del decisor.
Se realiza una búsqueda lineal interactiva a lo largo de la curva obtenida.
Cada direcciónde referencia Frontera
eficiente Curva que atraviesa
la frontera
proyección
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Características Relevantes:
Se muestran al decisor los valores de los objetivos a lo largo de la curva,
para su evaluación.
Si el decisor no puede encontrar un punto factible en el que su utilidad
es más alta que en el punto actual, el método chequea si hay las condiciones
de optimalidad suficientes.
En caso negativo, se encuentra inmediatamente la
solución factible mejorada
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Se parte de las siguientes premisas:
Problemas del tipo:
f (x)=( f1(x), f2 (x),«, f r (x)) r-vector de funciones objetivo
u: la función de utilidad (desconocida) del decisor
x: es un vector de variables de decisión
X: es el conjunto de decisiones factibles
Se asume que
todas las funcionesobjetivo deben ser
maximizadas
El conjunto de vectores ef i c i entes, Q*, está definido como:
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Algoritmo Método VIA1. Encontrar un puntoarbitrario q 0 en el espacio de
criterios. Haga k=1
2. Especificar un vector gk y
tome el vector dk
= gk
- qk-1
como la nueva dirección dereferencia
3. Encontrar el conjunto Qk de vectores eficientes q queresuelva el problema:
t se incrementadesde cero hasta
infinitos es una función de
escalarizaciónw es un vector deponderación
4. Encontrar la soluciónpreferida qk en Qk
5. qk-1 qk ?hacer k= k+1
6. Chequear las condiciones deoptimalidad
No
SíFIN: qk es unasolución óptima
8. Hacer k= k+1 y dk = unanueva dirección de búsqueda
identificado por el
procedimiento de chequeo deoptimalidad
No
Sí
7. Se satisfacenlas condiciones
?
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V ector q 0 no tiene que ser eficiente o incluso factible
se proyecta sobre la frontera eficiente (paso 2)
V
ector gk puede elegirse para ser el vector de ³objetivos de referencia´
En lugar de examinar solo un conjunto discreto de puntos eficientes
que están ³cerca´ de los niveles de aspiración del decisor,
se examina una curva eficiente completa que atraviesa la frontera eficiente
La solución al problema en el paso 2 define una curva eficiente que emana
a partir del punto qk-1 (o su proyección, si k=1)
atravesando el límite de la f rontera ef iciente
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VIA: Un Método Interactivo Visual para Resolver Problemas Multicriterio
No se examina solo un
conjunto discreto de
puntos eficientes ubicados
cerca de los niveles de
aspiración del decisor
Se examina una curva eficiente
completa que atraviesa la curva
eficiente
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La curva mencionada en el punto anterior es presentada al decisor, quien
debe indicar cuál punto sobre la curva es el que más prefiere
Se usa entonces nuevamente la aproximación de Wierzbicki,se especifica primero el logro de la f unción d e escalarización s como sigue:
w = (w1, w2,«,wr ) es un vector deponderaciónz : vector arbitrario en el espacio
de criteriosq = (q1, q2,«,qr ) es un vector factible de valores de funciónobjetivo
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el problema en el paso 2 se convierte en:
El parámetro t seincrementa desde cerohasta infinito.
se obtiene una curva eficiente emanada a
partir de el punto q k-1 que atraviesa el límitede la frontera eficiente.
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Veamos un ejemplo que ilustra el método:
Sea el siguiente problema:
Las funciones objetivo:
Todas a ser
maximizadas
La función de utilidad planteada:
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f 1= 2.5, f 2 = 1.5, f 3= 2.5
La solución óptima del problema:No es un punto
extremo, es un
punto interior del
espacio CDEF
La mejor solución
de punto extremopara este
problema donde
f = ( 1, 4, 1 ), está
muy lejos la
solución óptima
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La mejor solución de punto extremo puede en algunas situaciones, como estas,
ser soluciones más bien pobres y se requiere un método de examinación.
SESIÓN INTERACTIVA
Se simula el comportamiento del decisor utilizando la función de
utilidad:
¿Cómo se selecciona la solución preferida sobre la curva eficiente
que se está examinando? (paso3)
Será aquella en la cual la f unc ión d e ut ilidad asume su más alto
valor
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Se define la solución inicial, q0, un vector eficiente
correspondiente al vector de objetivos de referencia
especificadospor el decisor.Se supone que g0, vector de objetivos de
referencia es g0 = (1, 6, 1) (paso2)
Vector eficiente obtenido, mediante la
función de escalarización:
w = g 0 es q0 = ( 0.706, 4.24, 0.706)Si al decisor no le satisface
la solución, se le pide
especificar un nuevo
objetivo de referencia
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Se asume que el decisor está dispuesto a incrementar los valores
del primer y tercer objetivo:
Se tomará como vector objetivo de referencia del
decisor (paso 1)
g 1= (2, 3, 2.5)
Para la línea de búsqueda e identificación de la curvaeficiente (paso 2) se usa el problema de programación lineal
paramétrico siguiente:
Toma en cuenta además las
restricciones del problema
original
2. Especificar un vector gk
y tome el vector dk = gk -
qk-1 como la nuevadirección de referencia
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El punto q0 y los puntos en los cuales las nuevas restricciones del problema se hacen
completamente activas, define el tramo de la curva lineal eficiente:
y
Luego, los valores de las funciones objetivo a lo largo de lacurva son graficadas en la pantalla :
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Con base en la f unc ión d e ut ilidad , el decisor seleccionaría el
siguiente punto, como el mejor sobre la curva
(2.18, 1.30, 2.96)
Nueva Iteración:
Se asume que el decisor quiere incrementar el primer y segundo
objetivo y que su vector objetivo de referencia en la segunda
iteración es:
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VIA: Un Método Interactivo Visual para Resolver Problemas Multicriterio
La curva eficiente que resuelve el problema de programación lineal paramétrico en el
paso 2 se define por los puntos:
y
El decisor seleccionaría el punto (
2
.48,1
.57,2
.48) como lamejor solución en el paso 3:
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¿Nueva Iteración?
El decisor puede que quiera incrementar el valor del primer objetivo
ligeramente. Dará el siguiente dato:
g3 = (2.8,1.6, 2.6) su nuevo vector objetivo dereferencia
Se obtendrá una curva eficiente que pase a través de los puntos
(2.48, 1.57, 2.4), (5.44, 0, 0.56) y (6, 0, 0)
El mejor punto sobre la curva resulta ser la misma que en la iteración anterior:
(2.48, 1.57, 2.48)
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Métodos Interactivos en PMO
La dirección de búsqueda puede ser reversada y obtenerse una nueva
curva eficiente
(2.48, 1.57, 2.48), (0, 2.87, 4.08) y (0, 0, 6).
Atraviesa estos
puntos
Si, el decisor no puede encontrar un punto sobre la curva que prefiera
más que el punto (2.48, 1.57, 2.48), el algoritmo termina.
FIN
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Métodos Interactivos en PMO
INTEREST
Se basa en la aproximación de la función de alcance-escalarización.
Adapta la filosofía del punto de referencia a problemas
estocásticos.
Dado que el problema es estocástico, ninguna solución asegura
alcanzar al final algún nivel de referencia.
En cada iteración al decisor se le pide que de para cada objetivo,
no solo un nivel de referencia sino también una probabilidad
deseada de alcanzar ese nivel.
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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia paraProblemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos
La estructura de la información dada por el decisor para cada objetivo,
sería como sigue:
³M e g ustaría alcanzar el valor u , con al menos una probabili d ad ´
Se obtiene una solución eficiente usando la función de alcance-
escalarización con ponderaciónes normalizadas.
Se genera para el decisor, compensaciones entre los diferentes
objetivos, así como también la naturaleza estocástica del problema.
En cada iteración indicadores estadísticos como: valores esperados,
desviaciones estándar y cuantiles.
Diseñadas para
problemas
estocásticos
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es un vector aleatorio cuyos componentes son variables contínuas
aleatorias definidas sobre el conjunto .
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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia paraProblemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos
Se parte de las siguientes premisas:
El tipo de problema multiobjetivo estocástico a ser considerado tiene la siguiente
estructura:
Stochastic
Multiobjective
Programming
Problems
x Rn es un vector de variables de decisión del problema
Funciones
objetivo,
definidas enRn x E
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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para
Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos
Se asume:
Familia de eventosF un subconjunto de E
La distribución de probabilidad P definida sobre F
la probabilidad de A, P (A)
Conocidas para
cualquier A F
Independiente de
las variables de
decisión:
x1,«, xnEl conjunto factible del problema es no vacío y
compacto
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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para
Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos
Concepto de eficiencia ( -ef iciencia) para problemas SMOP:
Dado un vector de probabilidades , = (1 , 2 ,«, q )
Si existe un u Rq tal que (x, u) es una solución eficiente para el problema
se dice que x* D es una solución eficiente
con probabilidades para SMOP
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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para
Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos
Considerando el siguiente problema general de programación
multiobjetivo:
El vector de niveles de referencia para cada objetivo:
vector de pesos estrictamente positivos
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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para
Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos
La función de alcance-escalarización definida por Wierzbicki
Por minimización de esta función sobre el conjunto factible
de forma equivalente, por resolución del siguiente problema
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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para
Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos
El procedimiento interactivo basado en el punto de referencia
obtiene una nueva solución eficiente
de acuerdo a la información suministrada por el decisor
( el punto de referencia , y/o el vector de pesos )
Esta función de alcance extiende la distancia minmax en el sentido siguiente:
si los valores de referencia k, k=1,«,q, no son simultáneamente
alcanzables, entonces la función s es la distancia minmax.
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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para
Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos
Si estos valores son alcanzables:
Entonces los valores óptimos alcanzados usando la función s
mejora el nivel de referencia dado ³tanto como sea posible´.
Como resultado, siempre se obtiene una (débil) solución eficiente
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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para
Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos
En cada iteración h,
se le pide al decisor dar, para cada objetivo k (k= 1,2,«,q), lo siguiente:
Un nivel de referencia uk-h el cual el decisor desea
alcanzar comofunción estocástica
La probabilidad mínima, kh, para alcanzar tal nivel, esto es
kh
Dados estos dos valores para cada objetivo,
se obtiene una nueva solución xh
usando una aproximación de un punto de referencia
adaptado con la función de alcance-escalarización s
con las
restricciones ya
mencionadas, que
reflejan lasprobabilidades
mínimas
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Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos
Esto significa que un problema como este se ha resuelto:
la solución óptima del problema es:
Al menos
débilmente
eficiente
con probabilidades 1h, 2
h,«, qh
Si la solución
es única
también es
eficiente
Dada la definición de
eficiencia con
probabilidades y dadas
las soluciones existentes
para el método de punto
de referencia
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es la solución óptima del siguiente problema:
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Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos
Los pesos ukh han sido construidos con propósitos de normalización y
se obtienen de la siguiente manera:
Esto es, el valor máximo alcanzable para la k-ésima función objetivo tomando en cuenta
la probabilidad mínima dada por el decisor
El ´valor ideal delobjetivoµ en
términos estocásticos
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es la solución óptima para el siguiente problema:
esto es, el valor que la función objetivo puede tomar, con una probabilidad de 0.99
otra probabilidad cercana auno puede usarse y la
solución constituye una
aproximación del valor anti-ideal del objetivo, en el
sentido estocástico
En la información mostrada al decisor en cada iteración, es importante ayudarle a
entender que el resultado final real (esto es, los valores de las funciones objetivo
estocásticas) no es determinístico.
Los valores de las funcionesobjetivo estocásticas
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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para
Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos
Esta es la información que se le provee de forma gráfica al decisor, en cada iteración:
Ninguna solución producida por cualquiera de los criterios existentes elimina laaleatoriedad del problema, y el resultado final dependerá de los resultados finales
alcanzados por los parámetros aleatorios
valor que cada objetivo puede (al menos) alcanzar con las probabilidades actuales,
es decir, el valor de tal que:
La probabilidad de alcanzar un valor mejor o igual al nivel de referencia dado por el decisor, es decir,
un valor tal que
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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para
Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos
Los valores alcanzables para cada función objetivo, con probabilidades 0.25, 0.5 y
0.75, es decir, los valores tal que:
El valor esperado:
Y la desviación estándar:
de cada
función objetivoen la solución
actualLa distribución de probabilidad de se
muestra también, si es posible
Obtener el vector
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Resolviendo el problema Ec. 19
Para cada k = 1, , q, resolver el sistema Ec. 18 para
las probabilidades iniciales dadask0 =0.5
Hacer que:
Sean los valores óptimos de las funciones objetivo delproblema.
Hacer h = 0. Considerar los valores iniciales
Resolver el sistema Ec. 17, y se denotará la solución
óptima del decisor como:
donde:
uh = (uh1,, uhq) son los valores óptimos de las
funcionesobjetivo.
Paso 0 (ideal y no ideal)
Paso 0 (ideal y no ideal)
Paso 1:
Inicialización
Paso 2:
Solución
Algoritmo Método INTEREST
Algoritmo Método INTEREST
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Algoritmo Método INTERESTCalcular y mostrar la información descrita en losapartados a, b, c, d y e al decisor, junto con la
solución actual xh .
Al decisor lesatisfacen los
valores actuales delos objetivos?
Sí
x h es la solución
final. FIN
Se hace h = h+1 y para cada objetivo
Se le pide al decisor provea la siguiente información:
-el nivel que quiere que el objetivo alcance,
-La probabilidad que está dispuesto a aceptar y que no puede
flexibilizarse.
No
Para cada objetivo, tal que:
Resolver el problema:
Hacer la solución óptima del objetivo k . Ir al paso 2.
Paso 3:
Mostrarinformación aldecisor
Paso 4:
Obtener
mayorinformacióndel decisor
Paso 5:
Actualizar lospesos denormalización
Mét d I t ti PMO
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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para
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Ejemplo que ilustra el método
Se considera el siguiente problema estocástico bi-objetivo:
Donde:
Mét d I t ti PMO
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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para
Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos
Esto implica que ambos objetivos estocásticos siguen una distribución normal,
con valores esperados:
y varianzas respectivas:
Mét d I t ti PMO
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Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos
El conjunto factible de este problema es la región sombreada :
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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para
Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos
Proceso Iterativo - Interactivo
Iteración Paso 0
Es llevada a cabo tomando en cuenta los valores esperados de cada función
objetivo (50 y 104, respectivamente, en este caso) como los niveles de referencia
Se consideran ambas probabilidades iguales a 0.5
Con esta data, la primera solución mostrada al decisor es el punto A en la figura 4, con lainformación adicional mostrada :
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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para
Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos
Diferentes niveles de referencia de la variable aleatoria en el eje de las abcisas
La flecha muestra la
probabilidad de la
función objetivo deser mayor o igual
que cada nivel dado
Información dadapor los cuantiles
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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para
Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos
Lo mostrado en la figura anterior:
Los niveles que pueden ser (al menos) alcanzados con la probabilidad dadapor el decisor ( 0.5 en este ejemplo)
La probabilidad de alcanzar el valor de referenciadado por el decisor
Los niveles alcanzables correspondientes a los cuantiles 0.25, 0.5 y 0.75
El valor esperado y la varianza de cada objetivo estocástico
El la información dada directamente por el decisor están represenctadas conuna línea contínua
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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para
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Asumiendo que el decisor no está satisfecho con estos valores, se procede a la
próxima iteración. Iteración 1
El decisor da los siguientes valores (optimistas):
Objetivo1: Nivel de referencia: 30, con probabilidad: 0.85
Objetivo2: Nivel de referencia: 60, con probabilidad: 0.85
Dados estos valores, la solución óptima es (punto B de la figura)
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Con la información adicional:
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En esta iteración, el decisor ha incrementado las probabilidades y ha reducido los niveles de
referencia.
Como resultado, los valores promedio y la dispersión de los objetivos también
han sido reducidos.
Además, los niveles alcanzables de las funciones objetivo se han reducido también.
La solución óptima de esta iteración tiene un nivel de riesgo significativamente menor
que la anterior (esto significa que el rango de variabilidad de ambos objetivos se ha reducido).
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Por otro lado, se observa que los niveles que las funciones objetivo pueden (al menos)
alcanzar con las probabilidades dadas (-1.109 para el primer objetivo, 0.323 para la segunda)
están lejos de los niveles de referencia establecidos por el decisor (30 y 60 respectivamente).
Por lo tanto, esta solución pone de relieve la compensación existente entre las probabilidad es y
los niveles de referencia, y así, el decisor puede leer acerca de la posible influencia de la
probabilidad en la solución final.
Se asume que el decisor se da cuenta de que los niveles dados en la iteración 1 son demasiado
estrictos, y así, decide suavizarlos en la siguiente iteración.
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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para
Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos
Iteración - paso 2:
El decisor da los siguientes valores (más pesimistas):
Objetivo1: Nivel de referencia: 30, con probabilidad: 0.7Objetivo2: Nivel de referencia: 50, con probabilidad: 0.6
Dados estos valores, la solución resultante es (punto C de la figura)
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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para
Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos
La nueva solución alcanza el nivel de referencia fijado por el decisor. Un análisis de estasolución muestra lo siguiente:
Esta solución es drásticamente diferente a la obtenida en la iteración 1.
Los niveles y dispersiones de ambos objetivos estocásticos han sido incrementados.
Además de esto, la dispersión del objetivo 2 es comparativamente más alto que este del objetivo 1.
Esto es el resultado de haber fijado una probabilidad mínima más pequeña para el objetivo 2 que
para el objetivo 1.
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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para
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El decisor puede leer acerca de la compensación entre el nivel y la probabilidad en un problema
estocástico, y acerca de la importancia de reducir las probabilidades mínimas del problema.
En esta solución, con las probabilidades mínimas dadas, ambos objetivos alcanzan niveles másaltos que los niveles de referencia dados por el decisor, esto significa que los niveles de referencia
están actualmente mejorados en la solución.
Por lo tanto, se asume que el decisor decide iterar de nuevo, para buscar mejorar la solución.
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Iteración - paso 3:
El decisor da los siguientes valores (más pesimistas):
Objetivo1: Nivel de referencia: 35, con probabilidad: 0.75
Objetivo2: Nivel de referencia: 55, con probabilidad: 0.6
Dados estos valores, la solución resultante es (punto D de la figura)
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En esta nueva solución, la probabilidad del primer objetivo ha sido mejorado mientras que los
valores de ambas funciones objetivo han sido ligeramente empeorados.
Esta es una consecuencia lógica de los nuevos niveles de referencia y de las probabilidades
mínimas fijadas por el decisor.
Se asumirá que el decisor queda satisfecho con estos valores y así el proceso queda terminado.
FIN
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SELECCIÓN SUBJETIVA DE LOS MÉTODOS INTERACTIVOS
Según el tipode algo empleadoen su resolución
Tipo de información requerida al decisor
Cantidad de soluciones
a analizar encada iteración
Dificultad Operativa del Método (bajo, medio, alto)
al incrementar el número de ob jetivos
Requerimientos previode información al decisor (sí, no)
Grado de intervención del decisor en la generación
de soluciones (alto, medio, bajo)
Dificu
ltad operativadel método alincrementar el númerode restriccioneso variables(bajo, medio, alto)
Dific
u
ltad con qu
e puede encontrarse el decisor frente a
la informaciónque se le solicita
Posibilidad de qu
e se produzcan Inconsistencias
(sí, no)
Cantidad de soluciones a analizar en
cada iteración
Número de programaciones
entre iteraciones para generar una o varias
soluciones
Conocimientos previos del analista para el desarrollo de
cada método
Laboriosidad en la obtención de nuevas
soluciones
(baja, media,alta)
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CONCLUSIONES
1. En el método Ziontz ² Wallenius los pesos de las variables nobásicas en cada iteración son las que determinan los cambios en lafunción de utilidad
2. El uso del método VIA es más sencillo que el del método de Ziontz² Wallenius.
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BIBLIOGRAFÍA
MARTÍN, P.(1992): ´Una Evaluación Crítica de los Métodos Interactivos deProgramación Multicriterioµ. Trabajos de Investigación Operativa. Vol. 7. Núm.1,pp.173 a 193.
CABALLERO, R.(S/F): ´Métodos Interactivos en Programación Fraccionalµ.Departamento de Economía Aplicada. Facultad de Ciencias Económicas yEmpresariales. Universidad de Málaga. s/ Vol. s/Núm.1, s/pp.
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BIBLIOGRAFÍA
MARTÍN, C.(1987): ´Un Algoritomo Interactivo Basado en la Distancia delMáximo Ponderadoµ. Trabajos de Investigación Operativa. Vol. 2. Núm.1, pp.81 a92.
MAINO, M.(S/F): ´Programación Multicriterio:Un Instrumento para el Diseñode Sistemas de Producciónµ. Red Internacional de Metodología de Investigación deSistemas de Producción. s/ Vol. s/Núm.1, s/pp.
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BIBLIOGRAFÍA
ZIONTS, S.(1976): ´An Interactive Programming Method for Solving theMultiple Criteria Problemµ. Management Science. Vol. 22. Núm.6, pp.652
KORHONEN, P.(1986): ´A Visual Interactive Method for Solving the Multiple
Criteria Problemµ. European Journal of Operational Research. Vol. 24. pp.277 ²287.
MUÑOZ, M.(2010): ´INTEREST A Reference-Point-Based InteractiveProcedure for Stochastic Multiob jetive Programming Problemsµ. OR Spectrum.
Vol. 32. pp.195 ² 210.
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